7. Klasse - Luisenburg

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel
Grundwissen für das Fach Mathematik
Jahrgangsstufe 7
1. Achsen- und Punktspiegelung
a) Achsensymmetrie
C
–Die Achse halbiert die Strecke [PP’] senkrecht.
–Alle Achsenpunkte sind von symmetrischen Punkten P
und P’ gleich weit entfernt.
–Entsprechende Strecken sind gleich lang, entsprechende
Winkel gleich groß mit entgegengesetztem Drehsinn.
Konstruktion Bildpunkt P’:
Achsenpunkte A,B beliebig, gleiche Radien!
P
A
C‘
B
B‘
A‘
Symmetrieachse
Konstruktion Achse (=Konstruktion der
Mittelsenkrechten der Strecke [PP’])
Kreise um P,P’ mit gleichen Radien!
B
P‘
P‘
P
A
b) Punktsymmetrie
C
–Das Symmetriezentrum halbiert die Verbindungsstrecke
[PP’] zweier zueinander symmetrischer Punkte P und P’.
–Entsprechende Strecken sind gleich lang, entsprechende
Winkel gleich groß mit gleichem Drehsinn.
Konstruktion Bildpunkt P’:
A‘
B‘
Z
B
A
Symmetriezentrum Z
C‘
Konstruktion Symmetriezentrum Z:
Kreise um P,P’ mit gleichen Radien!
P‘
Z
P‘
Z
P
P
2. Winkelbetrachtungen
a) Nebenwinkel
α
β
α+β=180°
β Nebenwinkel zu α
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b) Parallele Geraden
An einer Doppelkreuzung mit parallelen Geraden
sind:
- Stufen(F)-Winkel gleich groß
- Wechsel (Z-)-Winkel gleich groß
- Ergänzen sich Nachbarwinkel zu180°. (Unterscheide
Nebenwinkel von Nachbarwinkeln).
g
γ
β
δ
Stufenwinkel α=β, ρ=δ..
Wechselwinkel γ=α
σ=δ
Nachbarwinkel α,δ α+δ=180°
α
σ
ρ
h
g||h
Auch die Umkehrungen gelten, beispielsweise: Sind zwei
Stufenwinkel gleich groß, dann sind die Geraden g und h
parallel,… .
c) Dreiecke
• Seiten-Winkelbeziehung: Der längeren Seite (hier: c)
liegt stets der größere Winkel (hier: γ) gegenüber.
• Die Summe zweier Seitenlängen ist immer größer als
die 3. Dreiecksseite.
• Die Summe der Innenwinkel im Dreieck ist 180°.
• Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360°.
• Thalessatz: Ein Dreieck ABC hat genau dann einen
rechten Winkel bei C, wenn C auf einem Kreis über der
Strecke [AB] liegt.
3. Kongruenzsätze für Dreiecke
Figuren, die man deckungsgleich aufeinander legen kann
nennt man kongruent ( F ≅ G ).
a) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie
übereinstimmen in:
• sss allen drei Seiten.
G
F
sss
• sws zwei Seiten und dem Zwischenwinkel
sws
• wsw, sww einer Seite und zwei gleich liegenden
Winkeln
• SsW zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren
der beiden Seiten.
Konstruktion: Sind Stücke eines Dreiecks so wie in den
Kongruenzsätzen gegeben, ist das Dreieck eindeutig
konstruierbar.
wsw
sww
SsW
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C Spitze
4. Besondere Dreiecke
a) Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit
zwei gleich langen Seiten.
Satz vom gleichschenkligen Dreieck:
Wenn eine der 3 folgenden Eigenschaften erfüllt ist, so
gelten auch die anderen:
– das Dreieck ist gleichschenklig
– das Dreieck ist achsensymmetrisch
– das Dreieck hat zwei gleich große Winkel
(Basiswinkel)
Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der Basis.
Schenkel
Schenkel
α
A
β
Basis
Basiswinkel α=β
B
b) Ein Dreieck mit 3 gleich langen Seiten nennt man
gleichseitig.
Alle Innenwinkel sind 60° groß.
c) Ein Dreieck mit einem rechten Winkel nennt man
rechtwinkliges Dreieck. Dem rechten Winkel gegenüber
liegt die Hypotenuse, die anliegenden Seiten nennt man
Katheten. Die Hypotenuse ist die längste Seite.
C
Hypotenuse
Kathete
a
b
A
Kathete
c
B
Fläche: A = 12 bc
5. Besondere Punkte im Dreieck
a) Die Mittelsenkrechten schneiden sich im
Umkreismittelpunkt. Der Umkreis verläuft durch alle
drei Ecken eines Dreiecks.
b) Die Winkelhalbierenden schneiden sich im
Inkreismittelpunkt. Der Inkreis berührt alle Seiten
(Konstruktion des Radiuses: Ein Lot vom
Inkreismittelpunkt auf eine Seite fällen)
c) Die Höhen schneiden sich im Höhenschnittpunkt.
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d) Die Schwerlinien oder Seitenhalbierenden schneiden
sich im Schwerpunkt des Dreiecks.
Die Seitenhalbierenden verlaufen von einer Ecke zur
Mitte der gegenüberliegenden Seite.
6. Terme
Rechenausdrücke mit Variablen nennt man Terme.
T ( a ; b ) = a + b 2 − 2b
Setzt man für die Variablen Zahlen ein, so erhält man den
T (1;3) = 1 + 32 − 2 ⋅ 3 = 4
Wert des Terms.
1
; D=Q\{-2;1}
( x + 2)( x − 1)
Die Definitionsmenge besteht aus allen Zahlen, die man
einsetzen darf.
T ( x) =
Zwei Terme heißen äquivalent, wenn sie bei jeder
zulässigen Einsetzung denselben Wert liefern.
T ( x ) = 2 x + 4 ist äquivalent zu
T ( x ) = 2( x + 2 )
a) Gleichartige Terme
– haben dieselben Variablen mit denselben Exponenten
– werden addiert/ subtrahiert, indem man die
Koeffizienten (Zahlen) addiert/ subtrahiert
gleichartig: 2ab 2 ; − 5ab 2 ;
2,5ab 2
nicht dazu gleichartig: a 2b
5a 2b + 3ab 2 − a 2b = 4a 2b + 3ab 2
b) Potenzen
– werden multipliziert, indem die Exponenten addiert
werden
– werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert
werden
c) Summen
–werden multipliziert, indem jeder Summand der ersten
Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer
multipliziert wird.
–werden faktorisiert, indem ein Faktor, der in jedem
Summanden vorhanden ist, ausgeklammert wird.
7. Lineare Gleichungen
a2 ⋅ a3 = a5
( )
a2
2
3
=
a6
8
(3a − 2b) ⋅ ( a − b) =
= 3a 2 − 3ab − 2ab + 2b 2 =
= 3a 2 − 5ab + 2b 2
a − 1 + 3b( a − 1) =
= ( a − 1)(1 + 3b)
In linearen Gleichungen kommt die Variable (hier: x) nur
allein und nicht in einer Potenz vor.
Äquivalenzumformungen ändern die Lösungsmenge
einer Gleichung nicht. Das wären zum Beispiel:
Auf beiden Seiten der Gleichung
– die selbe Zahl/ Term addieren oder subtrahieren
– mit derselben Zahl (ungleich Null) multiplizieren
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– durch dieselbe Zahl (ungleich Null) dividieren
Lösungsstrategie:
1. Beide Seiten vereinfachen
2. alle x-Terme nach links sortieren
3. durch eine Division x isolieren.
3( x + 2) − 4 x = 4( x − 2) + 4 vereinfach e
3x + 6 − 4 x = 4 x − 8 + 4
x nach links
3 x − 4 x − 4 x = −8 + 4 − 6
− 5 x = −10
: ( −5)
x isolieren
x = 2 L = {2}
8. Daten, Diagramme
Notenverteilung
7
10
a) Zum Vergleich von Daten sind Säulen- (senkrecht)
und Balkendiagramme geeignet.
5
5
2
3
3
4
5
0
0
1
2
3
Durchschnitt:
b) Anteile an einer Gesamtheit stellt man durch
Kreisdiagramme dar.
6
2 ⋅1 + 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 + 0 ⋅ 6
=3
20
Sprachwahl
Mittelpunktswinkel: 60% ⋅ 360° = 0,6 ⋅ 360° = 216°
Französisch
40%
Latein
60%
c) Abhängigkeiten zwischen zwei Größen lassen sich
durch Punkte in einem Koordinatensystem oder durch
Liniendiagramme veranschaulichen.
B e nzinpre is
1,6
1,5
1,4
1,3
Jan
Feb
M rz
Der Durchschnitt (arithmetisches Mittel, Mittelwert) ist
der Quotient aus der Summe aller Werte und der Anzahl
der Werte.
d) Prozentrechnung
Suche zunächst immer nach dem Grundwert (100%).
Zunahme um 20%, d.h. man erhält dann
100%+20%=120% =1,2 des Grundwertes.
Preissteigerung um 20% auf nun 240€
Abnahme um 20%, d.h. man erhält dann 100% –20%
=80% =0,8 des Grundwertes.
200€, Preissenkung um 20%, d.h.
der neue Preis beträgt 80% des alten Preises:
80% von 200€ = 0,8 ⋅ 200€ = 160€
d.h. 120% sind 240€
240€:1,2 = 200 € war der alte Preis
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