Einf¨uhrung in Approximationsalgorithmen

Einführung in Approximationsalgorithmen
Skript zur Vorlesung Effiziente Algorithmen
von Berthold Vöcking, RWTH Aachen
1. Juni 2007
Hilfreiche Literatur
• Vazirani: Approximation Algorithms, Springer Verlag, 2001.
• Wanka: Approximationsalgorithmen – Eine Einführung, Teubner Verlag, 2006.
• Hochbaum: Approximation Algorithms for NP-Hard Problems, Thomson Publishing, 1996.
• Ausiello, Crescenzi, Gambosi, Kann, Marchetti-Spaccamela, Protasi: Complexity and Approximation: Combinatorial Optimization Problems and Their Approximability Properties, Springer Verlag, 1999.
• Garey, Johnson: Computers and Intractability, Freeman and Company, 1979.
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
1.1
Konstante Approximationsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Eine 2-Approximation für das Vertex-Cover-Problem . . . . . . . . .
3
1.3
Approximationsfaktor als Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Eine logarithmische Approximation für das Set-Cover-Problem . . . .
5
2 Optimierungsprobleme auf Graphen und Metriken
7
2.1
Approximierbarkeit von TSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Christofides Algorithmus für Metrisches TSP . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Approximation des Steinerbaumproblems . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Makespan-Scheduling auf identischen Maschinen
12
3.1
Analyse von zwei einfachen Heuristiken . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Ein polynomielles Approximationsschema . . . . . . . . . . . . . . .
16
4 Makespan-Scheduling auf allgemeinen Maschinen
2
20
1 Einleitung
1.1 Konstante Approximationsfaktoren
Ein Approximationsalgorithmus für ein Optimierungsproblem berechnet eine zulässige Lösung, die den optimalen Zielfunktionswert nur annähernd erreicht. Die Güte der
Lösung wird typischerweise durch einen Approximationsfaktor beschrieben.
Sei A ein Approximationsalgorithmus für ein Optimierungsproblem Π. Sei I die Menge der möglichen Eingabeinstanzen für Π. Für I ∈ I bezeichne wA (I) den Wert der
von A für die Instanz I berechneten Lösung, und opt(I) den optimalen Lösungswert.
Der Approximationsfaktor von Algorithmus A auf einer Eingabeinstanz I ∈ I ist
definiert durch
wA (I)
rA (I) =
.
opt(I)
Ein Algorithmus für ein Minimierungsproblem garantiert einen (konstanten) Approximationsfaktor α ≥ 1, falls gilt
∀I ∈ I : rA (I) ≤ α .
Ein Algorithmus für ein Maximierungsproblem garantiert einen (konstanten) Approximationsfaktor α ≤ 1, falls gilt
∀I ∈ I : rA (I) ≥ α .
1.2 Eine 2-Approximation für das Vertex-Cover-Problem
Sei G = (V, E) ein Graph. Eine Teilmenge der Knoten U ⊆ V wird als Vertex-Cover
(Knotenüberdeckung) bezeichnet, falls jede Kante aus E inzident zu einem Knoten aus
U ist.
Problem 1.1 (Vertex Cover) Gegeben sei ein Graph G = (V, E). Gesucht ist ein
Vertex-Cover kleinster Kardinalität.
Das Vertex-Cover-Problem ist NP-hart und kann somit nicht in polynomieller Zeit
optimal gelöst werden; es sei denn P=NP. Der folgende Algorithmus berechnet jedoch
in Zeit O(|E|) eine 2-Approximation.
3
Algorithmus Approx-Vertex-Cover
• Berechne ein inklusions-maximales Matching M ⊆ E.
• Gib V (M), die Menge aller Endpunkte der Kanten in M, aus.
Frage am Rande: Wie berechnet man ein inklusions-maximales Matching?
Satz 1.2 Algorithmus Approx-Vertex-Cover berechnet eine 2-Approximation des optimalen Vertex Covers.
Beweis:
Korrektheit: Zu zeigen ist, V (M) deckt alle Kanten ab. Widerspruchsbeweis: Sei e
eine nicht abgedeckte Kante. Dann ist e ∈ E \ M und M ∪ {e} ein Matching. Also ist
M nicht inklusions-maximal. Ein Widerspruch!
Approximationsfaktor: Sei opt die Kardinalität eines Vertex-Covers kleinster Kardinalität. Es gilt opt ≥ |M|, weil jedes Vertex-Cover mindestens einen Endpunkt jeder
Kante in M abdecken muß. Somit gilt |V (M)| = 2|M| ≤ 2 opt.
2
1.3 Approximationsfaktor als Funktion
Im Allgemeinen wird der Approximationsfaktor als Funktion R : N → R in einem
geeigneten Parameter n ∈ N beschrieben. Beispielsweise könnte n die Anzahl der
Knoten eines Eingabegraphen bezeichnen.
Für n ∈ N bezeichne In die Menge der Eingaben mit Parameter n. Ein Algorithmus für
ein Minimierungsproblem garantiert einen Approximationsfaktor R(n), z.B. R(n) = 2
oder R(n) = ln n, falls gilt
∀n ∈ N : ∀I ∈ In : rα (I) ≤ R(n) .
Ein Algorithmus für ein Maximierungsproblem garantiert einen Approximationsfaktor
R(n), z.B. R(n) = 21 oder R(n) = ln1n , falls gilt
∀n ∈ N : ∀I ∈ In : rα (I) ≥ R(n) .
4
1.4 Eine logarithmische Approximation für das Set-Cover-Problem
Problem 1.3 (Set Cover) Gegeben sei
• eine Grundmenge X mit n Elementen,
• m Teilmengen S1 , . . . , Sm der Grundmenge X mit
S
i∈{1,...,m}
Si = X, und
• für jede Teilmenge i ∈ {1, . . . , m} ein Kostenwert ci ∈ N.
Gesucht istP
eine Auswahl der Teilmengen A S
⊆ {1, . . . , m} mit minimalen Kosten
cost(A) = i∈A ci unter der Nebenbedingung i∈A Si = X.
In Worten: Alle Elemente der Grundmenge sollen zu möglichst geringen Kosten abgedeckt werden.
Anwendungsbeispiel. Sei X eine Menge von Fähigkeiten. Es gebe m Personen, von
denen jede über einige der Fähigkeiten in X verfügt. Person i verfüge über die Fähigkeiten Si ⊆ X und verlange die Bezahlung ci . Wir möchten ein möglichst günstiges
Arbeitsteam A ⊆ {1, . . . , m} zusammenstellen, so dass alle Fähigkeiten aus X abgedeckt sind.
Auch das Set-Cover-Problem ist NP-hart, da es eine Verallgemeinerung des VertexCover-Problems ist. Warum?
• Ein Graph, in dem Kanten nicht nur aus zwei Knoten bestehen, sondern aus
Teilmengen von beliebig vielen Knoten, heißt Hypergraph. Diese Teilmengen
der Knoten heißen Hyperkanten.
• Beim Vertex-Cover-Problem für einen Hypergraphen H = (V, E) muss eine
Knotenmenge U ⊆ V minimaler Kardinalität gewählt werden, so dass jede der
Hyperkanten zu mindestens einem Knoten in U inzident ist.
• Beim gewichteten Vertex-Cover-Problem haben die Knoten Gewichte und die
Summe der Gewichte in U soll minimiert werden.
Das gewichtete Vertex-Cover-Problem für Hypergraphen ist auch unter dem Namen
Hitting-Set-Problem bekannt.
Das Set-Cover-Problem entspricht dem Hitting-Set-Problem, wenn man die Mengen
S1 , . . . , Sm mit den Knoten des Hypergraphen indentifiziert und die Grundmenge X
mit den Kanten, wobei ein Knoten Si genau dann in einer Kante x ∈ X enthalten ist,
wenn x ∈ Si gilt.
5
Algorithmus Greedy-Set-Cover
Startend mit A = ∅, solange A nicht alle Elemente aus X abdeckt, füge jeweils denjenigen Mengenindex i ∈ {1, . . . , m} zu A hinzu, der die niedrigsten
relativen Kosten r(i|A) hat, wobei
r(i|A) =
|Si \
c
Si
j∈A
Sj |
.
Wie gut ist diese Heuristik? – Zum Zwecke der Analyse verteilen wir die Kosten
des Algorithmus auf die Elemente der Grundmenge: Die Kosten, die ein zu A hinzugefügter Index i verursacht, werden gleichmäßig auf diejenigen Elemente aus Si
verteilt, die bisher noch nicht abgedeckt waren. Jedes dieser Elemente erhält somit
einen Kostenanteil in Höhe von
c
Si
= r(i|A) .
|Si \ j∈A Sj |
Sei nun xk ∈ X das k-te Element, das durch den Algorithmus abgedeckt wird, wobei
wir in derselben Iteration abgedeckte Elemente beliebig anordnen. Bezeichne c(xk )
die dem Element xk zugeteilten Kosten.
Lemma 1.4 Für k ∈ {1, . . . , n} gilt c(xk ) ≤ opt/(n − k + 1), wobei opt die Kosten
eines optimalen Set-Covers bezeichnet.
Beweis: Bezeichne i ∈ {1, . . . , m} den Index derjenigen Menge durch deren Hinzunahme Algorithmus Greedy-Set-Cover das Element xk erstmalig abdeckt. Betrachte
den Zeitpunkt vor der Hinzunahme von i zu A. Wir leiten eine untere Schranke für opt
her:
• Jeder Mengenindex j ∈ {1, . . . , m} \ A hat relative Kosten von mindestens
r(i|A), da i der Index mit den geringsten relativen Kosten ist.
• Um die n − k + 1 nicht durch A abgedeckten Elemente abzudecken, benötigt
jeder Algorithmus somit mindestens Kosten (n − k + 1) · r(i|A).
• Es folgt opt ≥ (n − k + 1) · r(i|A) = (n − k + 1) · c(xk ).
Aus dieser unteren Schranke für opt folgt das Lemma nun unmittelbar.
P
Die k-te Harmonische Zahl ist definiert durch Hk = ki=1 1i . Es gilt
ln(n + 1) ≤ Hn ≤ ln n + 1 .
6
2
...
1/n
1/(n−1)
1+ ε
1/(n−2)
1/3
1/2
1
Abbildung 1: Beispiel einer Set-Cover-Instanz. Wie lautet die optimale Lösung für
dieses Set-Cover-Instanz? Was sind die Kosten des Greedy-Algorithmus?
Satz 1.5 Algorithmus Greedy-Set-Cover hat einen Approximationsfaktor von höchstens Hn .
Beweis: Die Summe der Kosten über alle Elemente ergibt die Gesamtkosten des Algorithmus. Lemma 1.4 zeigt, diese Kosten sind höchstens
n
X
i=1
n
X
opt
opt
=
= opt · Hn .
n−i+1
i
i=1
2
Es gibt eine Set-Cover-Instanz, für die die Greedy-Heuristik den Faktor (1 − ǫ)H(n)
für beliebig kleines ǫ > 0 erreicht, siehe Abbildung 1. Also war unsere Analyse exakt.
Dieselbe untere Schranke lässt sich sogar für den Spezialfall nachweisen, in dem alle
Mengen dieselben Kosten haben.
Feige hat 1995 gezeigt, dass es keinen Polynomialzeit-Algorithmus mit Approximationsfaktor (1 − ǫ)H(n) gibt, es sei denn NP = T IME(nO(log log n) ). Auch dieses
Ergebnis gilt sogar dann, wenn alle Mengen dieselben Kosten haben. Unter den üblichen komplexitätstheoretischen Annahmen bedeutet dies, dass der einfache GreedyAlgorithmus den bestmöglichen Approximationsfaktor für Set-Cover liefert. Ein wirklich erstaunliches Ergebnis.
2 Optimierungsprobleme auf Graphen und Metriken
2.1 Approximierbarkeit von TSP
Es stellt sich die Frage, ob jedes NP-harte Problem in polynomieller Zeit bis auf einen
relativ kleinen Faktor approximiert werden kann? – Die Antwort ist Nein. Beispielsweise kann das folgende Problem nicht sinnvoll approximiert werden.
7
Problem 2.1 (Traveling Salesperson Problem - TSP) Gegeben sei ein vollständiger
Graph G = (V, E) mit Kantenlängen aus N. Gesucht ist ein Hamilton-Kreis (auch
TSP-Tour genannt) minimaler Länge.
Satz 2.2 Sei α(n) eine beliebige polynomialzeit-berechenbare Funktion. Unter der
Annahme P 6= NP gilt, TSP hat keinen Polynomialzeit-Algorithmus mit Approximationsfaktor α(n), wobei n die Anzahl der Knoten im Graphen ist.
Der Beweis dieses Satzes wird in der Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität
präsentiert. Die Beweisidee ist einfach: Mit Hilfe eines polynomiellen α(n)-Approximationsalgorithmus kann man das NP-harte Hamiltonkreisproblem in polynomieller
Zeit lösen. Daraus würde P=NP folgen.
Beachte, der Satz schließt selbst eine 2n -Approximation aus, da die Funktion 2n in
polynomieller Zeit berechnet werden kann. (Wie?)
2.2 Christofides Algorithmus für Metrisches TSP
Die Nichtapproximierbarkeit von TSP basiert darauf, dass die TSP-Tour jeden Knoten
nur einmal besuchen darf. Das ist keine besonders praktische Annahme, insbesondere
dann nicht, wenn die direkte Verbindung von einem Knoten u zu einem Knoten v
länger ist als der Weg von u zu v über einen oder mehrere Zwischenknoten.
Zu jedem Graphen mit nicht-negativen Kantenlängen können wir eine Distanzmatrix
angeben, die jeweils die Länge der kürzesten Verbindungen zwischen den Knoten beschreibt. Eine solche Distanzmatrix ist eine Metrik.
Definition 2.3 (Metrik) Eine Metrik entspricht einem vollständigen ungerichteten Graphen mit nicht-negativen Kantenlängen, die die Dreiecksungleichung erfüllen, d.h. für
jeweils drei Knoten u, v, w ist die Länge der Kante {u, v} nicht länger als die Summe
der Längen der Kanten {u, w} und {w, v}.
Problem 2.4 (metrisches TSP) Gegeben sei eine Metrik G = (V, E) mit n Knoten
und Kantenlängen aus N. Gesucht ist eine TSP-Tour minimaler Länge.
Das metrische TSP ist ebenfalls NP-hart, aber es gibt effiziente Algorithmen mit einem
konstanten Approximationsfaktor für dieses Problem. Als Warm-Up starten wir mit
einer 2-Approximation.
8
Algorithmus Metric-TSP-via-MST
1 Finde einen MST T von G.
2 Verdopple die Kanten von T und erhalte einen Euler-Graphen T ′ .
3 Berechne eine Euler-Tour auf T ′ .
4 Bereinige die Euler-Tour um wiederholt vorkommende Knoten.
MST steht für Minimum Spanning Tree (minimaler Spannbaum). Ein MST kann in polynomiell beschränkter Zeit mit einem Greedy-Algorithmus berechnet werden. (Wie?)
Ein Euler-Graph ist ein Graph, in dem jeder Knoten einen geraden Grad hat. Eine
Euler-Tour durch einen Graphen ist ein Kreis, der jede Kante genau einmal enthält.
Eine Euler-Tour existiert genau dann, wenn der Graph ein Euler-Graph ist. Auch eine
Euler-Tour kann in polynomiell beschränkter Zeit berechnet werden. (Wie?) Man kann
die Euler-Tour um wiederholt vorkommende Knoten bereinigen, indem man an einem
beliebigen Knoten startet, der Euler-Tour folgt und die Knoten in der Reihenfolge ihres
ersten Auftretens ausgibt.
Satz 2.5 Algorithmus Metric-TSP-via-MST berechnet eine 2-Approximation für das
metrische TSP.
Beweis:
• Aus einer TSP-Tour können wir einen Spannbaum erzeugen, indem wir eine
Kante löschen.
• Also ist ein minimaler Spannbaum nicht teurer als die Länge einer minimalen
TSP-Tour.
• Die Länge der berechneten Euler-Tour entspricht den doppelten Kosten des minimalen Spannbaums, ist also höchstens zweimal so lang wie die minimale TSPTour.
• Das Überspringen von mehrfach besuchten Knoten in Schritt 3 macht wegen der
Dreiecksungleichung die Tour nicht teurer.
2
Der folgende Algorithmus ist ein echter Klassiker unter den Approximationsalgorithmen und wurde von Christofides im Jahr 1976 vorgestellt.
9
Der Algorithmus von Cristofides
1 Berechne einen MST T von G.
2 V ′ := {v ∈ V | v hat ungeraden Grad in T }.
3 Finde ein min-cost Matching M auf V ′ .
4 Finde eine Euler-Tour auf den Kanten aus T und M.
5 Bereinige die Euler-Tour um wiederholt vorkommende Knoten.
Ein min-cost Matching auf V ′ ist eine Kantenmenge M ⊆ E, die jeden Knoten aus V ′
genau einmal abdeckt und dabei die kleinstmöglichen Kosten hat, d.h. die Summe der
Kantenlängen in M ist so klein wie möglich. Als Matchingkanten sind nicht nur die
Baumkanten von T , sondern alle Kanten aus E zwischen den Knoten in V ′ erlaubt.
Beachte, jedes Knotenpaar in V ′ ist durch eine Kante aus E miteinander verbunden,
weil G eine Metrik und somit ein vollständiger Graph ist. Die Laufzeit des Algorithmus wird durch die Berechnung dieses Matchings dominiert. Das Matching kann in
Zeit O(n3 ) berechnet werden.
Die Existenz eines perfekten Matchings ist gesichert, weil die Knoten in V ′ vollständig
miteinander verbunden sind und V ′ eine gerade Anzahl von Knoten enthält. Letztere
Eigenschaft folgt aus dem folgenden Lemma.
Lemma 2.6 Gegeben sei ein beliebiger Graph H = (V, E). Sei V ′ ⊆ V die Teilmenge
der Knoten, die einen ungeraden Grad haben. Dann ist |V ′ | eine gerade Zahl.
Beweis: Zum Zwecke des Widerspruchs nehmen wir an, dass |V ′ | ungerade ist. Jede
Kante in E ist inzident zu zwei Knoten, hat also zwei Endpunkte. Bezeichne q die
Anzahl dieser Kantenendpunkte.
• Einerseits ist q = 2|E|, und somit ist q eine gerade Zahl.
• Andererseits entspricht q der Summe der Knotengrade aller Knoten in V . Da
wir annehmen, dass |V ′ | ungerade ist, ist auch die Summe der Knotengrade in
V ′ ungerade. Somit ist auch die Summe der Knotengrade aller Knoten, also q,
eine ungerade Zahl.
Ein Widerspruch. Es folgt, |V ′ | ist eine gerade Zahl.
2
Für eine Menge von Kanten X ⊆ E (z.B. beschrieben in Form eines Matchings oder
einer TSP-Tour) bezeichne cost(X) die Kosten von X, also die Summe der Kantenlängen in X.
Bezeichne opt die minimalen Kosten einer TSP-Tour.
10
Lemma 2.7 Es gilt cost(M) ≤ 12 opt.
Beweis:
• Sei τ eine optimale TSP-Tour, also cost(τ ) = opt.
• Aus τ erhalten wir einen Kreis τ ′ , der die Knoten in V ′ verbindet, wenn wir alle
nicht in V ′ enthaltenen Knoten streichen. Wegen der Dreiecksungleichung gilt
cost(τ ′ ) ≤ cost(τ ).
• τ ′ ist die Summe von zwei perfekten Matchings, die jeweils aus jeder zweiten
Kante auf dem Kreis τ ′ gebildet werden. Das günstigere der beiden Matchings
hat höchstens die Kosten 21 cost(τ ′ ) ≤ 21 cost(τ ) = 12 opt.
• Also hat das günstigste perfekte Matching auf V ′ höchstens die Kosten 21 opt.
2
Satz 2.8 Der Algorithmus von Christofides berechnet eine 23 -Approximation für das
metrische TSP.
Beweis: Die in Schritt 4 berechnete Euler-Tour hat die Kosten
cost(T ) + cost(M) ≤ opt + 12 opt =
3
opt
2
.
In Schritt 5 erhöhen sich die Kosten aufgrund der Dreiecksungleichung nicht.
2
2.3 Approximation des Steinerbaumproblems
Problem 2.9 (Steinerbaum) Gegeben sei ein Graph G = (V, E) mit Kantenlängen
bzw. Kosten c : E → N und eine Knotenmenge T ⊆ V . Die Knoten in T heißen
Terminals.
Gesucht ist ein Steinernetzwerk, das alle Terminals mit möglichst geringen Kosten
′
′
′
′
verbindet,
P d.h. ein Teilgraph G = (V , E ) von G mit T ⊆ V , der die Summe der
Kosten e∈E ′ c(e) minimiert.
Das kostenminimale Steinernetzwerk ist natürlich ein Baum. Man spricht deshalb vom
Steinerbaum- statt vom Steinernetzwerkproblem. Im Spezialfall T = V entspricht das
Steinerbaumproblem dem Problem des Minimalen Spannbaums (MST) und ist somit
in polynomieller Zeit lösbar. Im Allgemeinen ist das Steinerbaumproblem allerdings
NP-hart.
11
Algorithmus Approx-Steiner
1 Berechne die Distanzmatrix M für alle Paare von Terminals bzgl. G.
2 Berechne einen MST für die durch M definierte Metrik GM mit
Knotenmenge T .
3 Für jede Kante {u, v} in diesem MST bestimme einen
kürzesten Weg von u nach v in G.
′
4 Gib den Graphen G mit allen Kanten und Knoten auf diesen Wegen aus.
Der Algorithmus Approx-Steiner berechnet einen Teilgraphen G′ = (V ′ , E ′ ) von G,
der alle Terminals miteinander verbindet. Wir behaupten, die Kosten von G′ sind
höchstens zweimal so groß wie die des optimalen Steinerbaums. G′ kann allerdings
Kreise enthalten. Wenn man wirklich einen Steinerbaum möchte, kann man auf G′
natürlich nochmals einen MST-Algorithmus anwenden, und man erhält einen Steinerbaum, dessen Kosten nicht größer als die Kosten von G′ sind.
Satz 2.10 Algorithmus Approx-Steiner berechnet eine 2-Approximation für das Steinerbaumproblem.
Beweis: Die minimalen Kosten eines Steinerbaums bezeichnen wir mit opt. Die Kosten des Graphen G′ entsprechen den Kosten des MST für GM , die wir mit cost(MST)
bezeichnen. Wir müssen somit zeigen, dass cost(MST) ≤ 2 opt gilt.
Eine T -Tour sei eine Rundreise in G, die alle Knoten aus T besucht. Sei nun τ eine
kürzeste T -Tour und bezeichne cost(τ ) die Länge dieser Tour. Wir können eine T Tour erzeugen, indem wir einen minimalem Steinerbaum umrunden, wobei wir jede
Kante aus diesem Baum zweimal entlanglaufen. Somit gilt
cost(τ ) ≤ 2 opt .
Eine kürzeste T -Tour in G benutzt nur kürzeste Wege zwischen den Terminals und
entspricht somit einer (kürzesten) TSP-Tour in GM . Es folgt
cost(MST) ≤ cost(τ ) ,
da wir durch Streichen einer Kante aus einer TSP-Tour einen Spannbaum erzeugen
können. Zusammenfügen dieser beiden Abschätzungen vervollständigt den Beweis.
2
3 Makespan-Scheduling auf identischen Maschinen
Wir untersuchen ein fundamentales Problem aus der Schedulingtheorie.
12
Problem 3.1 (Makespan Scheduling auf identischen Maschinen) Gegeben sei eine
Menge von Jobs [n] = {1, . . . , n} mit Größen p1 , . . . , pn ∈ N und eine natürliche Zahl
m.
Gesucht ist eine Zuteilung f : [n] → [m] der n Jobs auf m identische Maschinen, so
dass der Makespan, also
X
max
pi
j∈[m]
i∈[n]:f (i)=j
minimiert wird.
Diese Zuteilung wird als Schedule (Ablaufplan) bezeichnet. Zu einem Schedule gehört
normalerweise auch eine Beschreibung, in welcher Reihenfolge die Jobs auf den einzelnen Maschinen abgearbeitet werden. Diese Reihenfolge spielt jedoch bei der Minimierung des Makespans offensichtlich keine Rolle, deshalb gehen wir nicht weiter auf
sie ein.
3.1 Analyse von zwei einfachen Heuristiken
Algorithmus Least-Loaded (LL)
Für i = 1 bis n: Weise Job i derjenigen Maschine zu, die bisher die
geringste Last hat.
Wie gut ist diese Heuristik?
Ein Beispiel:
• Sei n = m(m − 1) + 1.
• Jobs 1 bis m(m − 1) haben Größe 1.
• Job m(m − 1) + 1 habe Größe m.
• Die LL-Heuristik erreicht den Makespan 2m − 1.
• Der optimale Makespan ist m.
Damit ist der Approximationsfaktor bestenfalls (2m − 1)/m = 2 − 1/m. Der folgende
Satz zeigt, dass dieses Beispiel tatsächlich den schlimmsten Fall beschreibt.
Satz 3.2 LL garantiert eine (2 − 1/m)-Approximation.
13
Beweis: Es gelten die folgenden zwei trivialen unteren Schranken für einen optimalen
Schedule:
1 X
pi
(2) opt ≥ max(pi ) .
(1) opt ≥
i∈[n]
m
i∈[n]
Wir gehen davon aus, jede Maschine arbeitet ihre Jobs nacheinander in der Reihenfolge ihrer Zuweisung ab. Sei i′ der Index desjenigen Jobs, der als letztes fertig wird. Sei
j ′ = f (i′ ), d.h. Maschine j ′ wird als letztes fertig und bestimmt damit den Makespan.
Zum Zeitpunkt als Job i′ Maschine j ′ zugewiesen wurde, hatte diese Maschine die
geringste
Last. Die Last von Maschine j ′ zu diesem Zeitpunkt war also höchstens
P
1
′
i<i′ pi . Damit ist die Last von Maschine j höchstens
m
!
! 1 X
1 X
1
pi′
=
pi + pi′
pi + 1 −
m ′
m ′
m
i<i
i≤i
(1) & (2)
1
opt .
≤
opt + 1 −
m
2
Algorithmus Longest-Processing-Time (LPT)
1. Sortiere die Jobs, so dass p1 ≥ p2 ≥ · · · ≥ pn .
2. Für i = 1 bis n: Weise Job i derjenigen Maschine zu, die bisher
die geringste Last hat.
Graham hat 1969 gezeigt, dass LPT einen Approximationsfaktor von höchstens
Auch diese Schranke ist scharf.
4
3
hat.
Satz 3.3 LPT garantiert eine 34 -Approximation.
Beweis: Zum Zwecke des Widerspruchs nehmen wir an, es gibt eine Eingabeinstanz,
für die LPT einen Makespan von τ > 34 opt auf m Maschinen erzeugt. Sei p1 , p2 , . . . , pn
eine Eingabeinstanz minimaler Länge mit τ > 43 opt. Es gelte p1 ≥ p2 ≥ · · · ≥ pn .
Sei i′ der Index desjenigen Jobs, der als letztes fertig wird. Es gilt i′ = n, sonst wäre
ja p1 , . . . , pi′ , i′ < n, eine kürzere Eingabesequenz mit τ > 43 opt, aber wir haben
angenommen p1 , p2 , . . . , pn ist die kürzeste Eingabe mit dieser Eigenschaft. Job n wird
auf der am wenigsten belasteten Maschine platziert. Zum Zeitpunkt der Zuweisung von
14
n
1
2
3
...
...
...
...
m+1
... m−1 m
Abbildung 2: Optimaler Schedule, falls jeder Maschine nur zwei Jobs zugeordnet werden.
Pn−1
pi ≤ opt. Damit τ > 43 opt gilt, muss
Job n hat diese Maschine höchstens Last m1 i=1
1
1
also gelten pn > 3 opt. Aus pn > 3 opt und p1 ≥ p2 ≥ · · · ≥ pn folgt nun, dass jeder
Job größer als 31 opt ist.
Falls jeder Job größer als 13 opt, so kann ein optimaler Schedule nicht mehr als zwei
Jobs an eine Maschine zuweisen. Insbesondere gilt n ≤ 2m. Wenn jedoch nicht mehr
als zwei Jobs pro Maschine zugewiesen werden dürfen, so ist es optimal
• Job i für i ≤ m auf Maschine i zu platzieren, und
• Job i für i > m auf Maschine m − i + 1 zu platzieren,
wie in Abbildung 2 dargestellt. Dies Aussage gilt offensichtlich für n ≤ m und folgt
für jedes n ∈ {m + 1, . . . , 2m} per Induktion von n − 1 nach n.
Dieser optimale Schedule entspricht nun aber genau dem LPT-Schedule. Dies ist jedoch ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass LPT für die betrachtete Instanz einen
2
Makespan von mehr als 34 opt erzielt. Somit folgt der Satz.
Wir haben jetzt einen Algorithmus mit Approximationsfaktor 2 und einen mit Approximationsfaktor 43 für das Makespan-Scheduling-Problem gesehen. Es gibt tatsächlich
noch einige ausgefuchstere Heuristiken, die auf der einen Seite etwas bessere Approximationsfaktoren garantieren, aber auf der anderen Seite auch eine längere, obgleich
ebenfalls polynomiell beschränkte Laufzeit benötigen. Dies führt zu der Frage: Wie
gut kann man das Makespan-Scheduling-Problem in polynomieller Zeit approximieren? Gibt es eine untere Schranke für den bestmöglichen Approximationsfaktor, den
man in polynomieller Zeit erreichen kann? – Die Antwort ist Nein. Wir werden zeigen, dass es keine derartige untere Schranke geben kann, da das Problem beliebig gut
in polynomieller Zeit approximiert werden kann.
15
3.2 Ein polynomielles Approximationsschema
Wir sagen ein Optimierungsproblem Π hat ein polynomielles Approximationsschema,
ein sogenanntes PTAS (Polynomial Time Approximation Scheme), falls für jede Konstante ǫ > 0 eine (1 + ǫ)- bzw. (1 − ǫ)-Approximation in polynomieller Zeit berechnet
werden kann.
Es gibt noch eine bessere, strengere Form eines Approximationsschemas: Π hat ein
voll polynomielles Approximationsschema, ein sogenanntes FPTAS (Fully Polynomial
Time Approximation Scheme), falls die Laufzeit für eine (1 ± ǫ)-Approximation nicht
nur polynomiell in der Eingabelänge beschränkt ist, sondern auch polynomiell in 1ǫ .
Das Problem des Makespan-Scheduling ist stark NP-hart, d.h. es ist selbst dann NPhart, wenn man die Eingabezahlen unär kodiert. Daraus folgt (vgl. Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität), dass das Problem kein FPTAS haben kann; es sei denn
P=NP. Wir zeigen, dass das Problem jedoch ein PTAS hat.
Bei der Beschreibung des PTAS setzen wir zunächst voraus, dass wir ein Orakel haben,
das uns den optimalen Makespan verrät, so dass wir nur eine Zuordnung der Jobs
finden müssen, die diesen Makespan bis auf einen Faktor 1 + ǫ erreicht. Um eine
geeignete Realisierung des Orakels kümmern wir uns anschließend.
PTAS für Makespan-Scheduling
1. Ein Orakel verrät uns den Wert des optimalen Makespans, den wir Z nennen.
2. Wir weisen zunächst die großen Jobs zu, d.h. die Jobs {i ∈ [n] | pi > ǫZ}.
a) Wir skalieren und runden die Größen dieser Jobs d.h. wir setzen
l p m
i
′
pi =
.
2
ǫZ
b) Wir berechnen einen Schedule bzgl. der Jobgrößen p′i mit Makespan
höchstens
1
′
Z = (1 + ǫ) 2 .
ǫ
3. Jetzt weisen wir die kleinen Jobs zu, d.h. die Jobs {i ∈ [n] | pi ≤ ǫZ}. Wir
verteilen diese Jobs mittels der LL-Heuristik auf das durch die großen Jobs
entstandene Lastgebirge.
Das Skalieren und Runden der Jobgrößen in Schritt 2a) läßt sich am Besten durch ein
Beispiel illustrieren. Sei Z = 1000 und ǫ = 10%. Die großen Jobs haben dann Größe
16
mehr als ǫZ = 100. Wir gehen schrittweise vor, skalieren zunächst ohne zu runden,
d.h. wir setzen
pi
pi
.
p∗i = 2 =
ǫZ
10
Nach dem Runden setzen wir dann p′i = ⌈p∗i ⌉. Aus pi = 101 ergibt sich also beispielsweise p∗i = 10.1 und p′i = 11. Der relative Rundungsfehler in diesem Beispiel ist
somit
p′i − p∗i
11 − 10.1
=
≤ 10% = ǫ .
∗
pi
10.1
Dies gilt auch im Allgemeinen.
Lemma 3.4 Der relative Rundungsfehler (p′i − p∗i )/p∗i ist höchstens ǫ.
Beweis: Für jeden großen Job i ∈ [n] gilt pi > ǫZ und somit p∗i ≥ ǫZ/(ǫ2 Z) = 1/ǫ.
Es folgt
p′i − p∗i
1
≤
= ǫ .
∗
pi
1/ǫ
2
Das Aufrunden der skalierten Größen der großen Jobs verzerrt diese Größen also
höchstens um den Faktor 1 + ǫ.
Bezüglich der eigentlichen Jobgrößen pi gibt es einen Schedule mit Makespan höchstens Z. Für die skalierten (ungerundeten) Jobgrößen p∗i gibt es also einen Schedule
mit Makespan ǫ2ZZ = ǫ12 . Durch die Rundung erhöht sich dieser Wert maximal um den
Faktor 1 + ǫ. Also gibt es für die großen Jobs bezüglich der skalierten und gerundeten
Jobgrößen p′i einen Schedule mit Makespan höchstens
(1 + ǫ)
1
.
ǫ2
Wegen des Aufrundens der Jobgrößen ist der Makespan ganzzahlig. Also kann er
tatsächlich höchstens den Wert
1
(1 + ǫ) 2 = Z ′
ǫ
annehmen. Somit existiert der in Schritt 2b) beschriebene Schedule. Wie aber können
wir diesen Schedule effizient berechnen? – Bevor wir diese Frage klären, analysieren
wir zunächst den Approximationsfaktor.
Lemma 3.5 Der skizzierte Algorithmus berechnet eine (1 + ǫ)-Approximation für den
minimalen Makespan.
17
Beweis: Zunächst nehmen wir an, es gibt nur große Jobs. Für diese Jobs berechnet der
Algorithmus einen Schedule mit Makespan Z ′ bezüglich der skalierten und gerundeten
Jobgrößen. Bezüglich der eigentlichen Jobgrößen kann der Makespan höchstens um
den Skalierungsfaktor ǫ2 Z größer sein. Damit ist der Makespan für die großen Jobs
höchstens
1
′ 2
Z (ǫ Z) = (1 + ǫ) 2 (ǫ2 Z) ≤ (1 + ǫ)Z .
ǫ
Dies ist eine (1 + ǫ)-Approximation des optimalen Schedules.
Nun untersuchen wir den Einfluss der kleinen Jobs auf den Makespan. Falls die Zuteilung der kleinen Jobs den Makespan nicht erhöhen sollte, so ist der Schedule eine
(1 + ǫ)-Approximation aufgrund obiger Überlegungen für die großen Jobs. Nehmen
wir also nun an, dass die Zuteilung der kleinen Jobs den Makespan erhöht. Sei L der
Makespan nach der Platzierung der kleinen Jobs und sei i derjenige kleine Job, dessen
Platzierung den Makespan auf L erhöht hat. Dann haben aufgrund der LL-Heuristik
alle Maschinen nach der Platzierung der kleinen Jobs mindestens Last L − pi . Für den
optimalen Makespan gilt somit Z ≥ L − pi . Folglich gilt L ≤ Z + pi ≤ (1 + ǫ)Z. 2
Jetzt erläutern wir, wie wir die großen Jobs in Schritt 2b) platzieren. Zur Vereinfachung
der Notation nehmen wir an, dass wir n große Jobs haben. In Schritt 2b) müssen wir
die folgende Variante des sogenannten Bin-Packing-Problems lösen.
Problem 3.6 (Bin Packing mit eingeschränkten Gewichten) Gegeben sei eine Menge von Objekten [n] = {1, . . . , n} mit Gewichten w1 , . . . , wn ∈ [k] = {1, . . . , k},
k ≥ 1, sowie zwei natürliche Zahlen m ≥ 1 und b ≥ k.
Gesucht ist eine Verteilung der Objekte auf m Kisten (Bins), die jeweils ein Gewicht
von höchstens b tragen können.
Die Objekte des Bin-Packing-Problems repräsentieren dabei die großen Jobs des Schedulingproblems. Die Gewichte entsprechen den Jobgrößen p′1 , . . . , p′n , und die Gewichtsschranke b entspricht der oberen Schranke für den Makespan Z ′ . Eine geeignete
Abschätzung für k werden wir später bestimmen.
Die Lösung für das Bin-Packing-Problem spezifiziert eine Einteilung in m Teilmengen
mit Gewicht höchstens b, aus der sich dann ein Schedule für die großen Jobs bezüglich
der Jobgrößen p′1 , . . . , p′n mit Makespan höchstens Z ′ ergibt.
Lemma 3.7 Das Bin-Packing-Problem mit eingeschränkten Gewichten kann in Zeit
O((n + 1)k · (b + 1)k /k!) gelöst werden.
Beweis: Sei f (n1 , n2 , . . . , nk ) die minimale Anzahl von Kisten mit Gewichtsschranke b, in die wir eine Menge von Objekten bestehend aus ni vielen Objekten mit Ge18
wicht i ∈ [k] packen können. Wir zeigen, wie man die Funktion f durch dynamische
Programmierung in einer Tabelle berechnen kann. Diese Tabelle wird dann so ergänzt,
dass man nicht nur den Wert der Funktion f , sondern auch die zugehörige Bepackung
ablesen kann.
Die Funktion f erfüllt die folgende Rekursionsgleichung.
f (n1 , n2 , . . . , nk ) = 1 + min f (n1 − q1 , n2 − q2 , . . . , nk − qk ) ,
q∈Q
wobei Q = {(q1 , . . . , qk ) | f (q1 , q2 , . . . , qk ) = 1}, d.h. Q beschreibt alle Gewichtskombinationen, die in eine Kiste passen.
Wir berechnen die Lösung dieser Gleichung für alle k-Tupel aus {0, . . . , n}k in einer
k-dimensionalen Tabelle der Größe (n + 1)k . Falls f (n1 , n2 , . . . , nk ) den Wert mindestens m hat, so existiert eine zulässige Platzierung der Objekte in die m Kisten, und
diese Platzierung kann aus der Tabelle extrahiert werden, indem man für jeden Tabelleneintrag a einen Zeiger auf denjenigen Eintrag b angibt, aus dem a durch Hinzufügen
eines weiteren Objektes hervorgegangen ist.
Laufzeitanalyse: Es müssen (n + 1)k Tabelleneinträge berechnet werden. Die Berechnung eines Tabelleneintrages kostet Zeit O(|Q|). Beachte, (q1 , . . . , qk ) ∈ Q impliziert qi ∈ {0, . . . , ⌊b/i⌋} für jedes i ∈ [k], da nicht mehr als ⌊b/i⌋ Objekte der
Größe i in dieselbe Kiste passen. Es folgt |Q| ≤ (b + 1)k /k!. Damit ist die Laufzeit
O((n + 1)k · (b + 1)k /k!).
2
Was sind die Werte von b und k bezogen auf unser Schedulingproblem? – Die maximale Größe eines Jobs vor der Skalierung ist durch Z beschränkt, weil es ja einen
Schedule mit Makespan Z gibt. Nach der Skalierung und Rundung ist die maximale
Größe also höchstens ⌈Z/(ǫ2 Z)⌉ = ⌈ ǫ12 ⌉. Also können wir
1
= O(1)
k =
ǫ2
und
1
b = Z = (1 + ǫ) 2 = O(1)
ǫ
setzen. Damit ist die Laufzeit von Schritt 2 beschränkt durch
2
O (n + 1)k · (b + 1)k /k! = O n⌈1/ǫ ⌉ .
′
Zum Schluss müssen wir noch erklären, wie das Orakel in Schritt 1, das uns den optimalen Makespan opt verrät, realisiert werden kann. Tatsächlich werden wir nicht
den exakten Wert für opt bestimmen, sondern möglicherweise einen Wert, der etwas
kleiner als opt ist, aber dennoch sicherstellt, dass alle Schritte wie beschrieben durchgeführt werden können.
19
Wir beobachten, es gibt einen Wert Z ∗ ≤ opt mit der Eigenschaft, dass das BinPacking-Problem in Schritt 2b genau dann eine zulässige Lösung hat, wenn in Schritt 1,
der Parameter Z so gewählt ist, dass gilt Z ≥ Z ∗ . Wir modifizieren unseren Algorithmus derart, dass wir für Z < Z ∗ in Schritt 2b die Antwort erhalten, dass Z zu klein ist.
Falls wir Z ≥ Z ∗ setzen, so können alle Schritte wie beschrieben durchgeführt werden. Allerdings ist für zu groß gewähltes Z der Approximationsfaktor nicht garantiert.
Wir erhalten nur dann eine (1 + ǫ)-Approximation, wenn gilt Z ∗ ≤ Z ≤ opt.
P
Z ∗ kann wie folgt mit einer Binärsuche bestimmt werden: Der Wert S =
i pi ist
eine obere Schranke für den Makespan. Der Wertebereich für Z ∗ ist somit die Menge {1, . . . , S}. Wir können deshalb Z ∗ durch eine Binärsuche mit O(log S) vielen
Aufrufen unseres Algorithmus mit jeweils verschiedenen Werten für den Parameter Z
ermitteln.
Sei N die Länge der Eingabe in Bits. Dann gilt log S ≤ N. Die Anzahl der Aufrufe
unseres Algorithmus in der Binärsuche ist somit durch O(N) beschränkt. Jeder Aufruf
2
2
hat eine Laufzeit von O(n⌈1/ǫ ⌉ ). Die Laufzeit des Algorithmus ist somit O(Nn⌈1/ǫ ⌉ ).
Für konstantes ǫ > 0 ist die Laufzeit also polynomiell in der Eingabelänge. Es ergibt
sich der folgende Satz.
Satz 3.8 Es gibt ein PTAS für das Makespan-Scheduling-Problem auf identischen Maschinen.
2
Wegen des dramatischen Einflusses von ǫ auf die Laufzeit kann dieses PTAS nicht als
praktisch angesehen werden. Wenn wir beispielsweise mit der LPT-Heuristik konkurrieren wollen, so müssen wir ǫ = 31 setzen und erhalten eine Laufzeitschranke von
O(Nn9 ). Das PTAS ist somit zwar nicht praktikabel, aber dennoch ist der obige Satz
signifikant, weil er zeigt, dass es keine untere Schranke für den besten in polynomieller
Zeit erreichbaren Approximationsfaktor geben kann.
4 Makespan-Scheduling auf allgemeinen Maschinen
Es gibt verschiedene Varianten des Makespan-Scheduling-Problems.
• Scheduling auf identischen Maschinen: Job i ∈ [n] hat Laufzeit pi auf jeder
Maschine.
• Scheduling auf Maschinen mit Geschwindigkeiten s1 , . . . , sm : Job i ∈ [n] hat
Laufzeit spji auf Maschine j ∈ [m].
20
• Scheduling auf allgemeinen Maschinen: Die Eingabe besteht aus einer Matrix
(pij )i∈[n],j∈[m]. Dabei bezeichnet pij die Laufzeit von Job i ∈ [n] auf Maschine
j ∈ [m].
Die ersten beiden Probleme haben ein PTAS. Das Approximationsschema für das erste
Problem haben wir vorgestellt. Das Schema für das zweite Problem ist ähnlich.
Für das dritte Problem, Makespan-Scheduling auf allgemeinen Maschinen, ist kein
PTAS bekannt. Der beste bekannte Algorithmus hat den Approximationsfaktor 2. Diesen Algorithmus von Lenstra, Shmoys und Tardos (1990) werden wir uns im Folgenden näher anschauen.
ILP-Formulierung des allgemeinen Schedulingproblems.
torvariablen
xij ∈ {0, 1}, i ∈ [n], j ∈ [m]
Wir verwenden Indika-
sowie eine Variable t, die dem Makespan entspricht.
Die Zielfunktion lautet
minimiere t
Die Nebenbedingungen sind
X
∀i ∈ [n] :
xij ≥ 1
j∈[m]
X
∀j ∈ [m] :
xij pij ≤ t
i∈[n]
∀i ∈ [n], j ∈ [m]
xij ∈ {0, 1}
Wir können dieses ILP relaxieren, indem wir die Ganzzahligkeit aufgeben. Das so erhaltene LP kann in polynomiell beschränkter Zeit gelöst werden. Anschließend könnte
man versuchen, aus der LP-Lösung eine ganzzahlige Lösung abzuleiten, die annähernd
denselben Makespan liefert. Das folgende Beispiel zeigt jedoch, dass diese Idee so
nicht aufgehen kann.
Beispiel. Wir nehmen an, es gibt nur einen Job und dieser Job hat Laufzeit 1 auf jeder
Maschine. Dann hat die optimale ILP-Lösung den Wert 1. Die optimale Lösung des
durch Relaxierung entstandenen LPs hingegen hat den Wert m1 . Damit ist der Faktor
zwischen ILP- und LP-Optimum, das sogenannte Integrality-Gap, gleich m.
21
Ein derartig großes Integrality-Gap bedeutet, dass man aus der Lösung für das LP
wohl keine gute Lösung für das ILP ableiten kann. Um ein kleines Integrality-Gap zu
erzwingen, entwickeln wir eine alternative ILP-Formulierung.
Wir nehmen an, ein Orakel verrät uns den optimalen Makespan T . Das Orakel können
wir, wie schon im Fall der identischen Maschinen gesehen, durch eine Binärsuche in
polynomiell beschränkter Laufzeit simulieren. Wenn der Makespan bekannt ist, haben wir die folgende Zusatzinformation, die wir in unser ILP einfließen lassen: Ein
Job i kann nur dann auf einer Maschine j platziert werden, falls gilt pij < T , denn
sonst würde die Laufzeit dieses einzelnen Jobs bereits den vorgegebenen Makespan
überschreiten.
Alternative ILP-Formulierung. Wir definieren das gannzzahlige lineare Programm
ILP(T ) folgendermaßen. Definiere
ST = {(i, j) ∈ [n] × [m] | pij ≤ T } .
ILP(T ) hat die Variablen xij nur für Paare (i, j) ∈ ST . Eine Zuteilung von Job i auf
Maschine j für (i, j) 6∈ ST ist damit, wie erwünscht, nicht möglich.
Der Lösungsraum von ILP(T ) wird beschrieben durch die Nebenbedingungen:
X
∀i ∈ [n] :
xij ≥ 1
j:(i,j)∈ST
∀j ∈ [m] :
X
xij pij ≤ T
i:(i,j)∈ST
∀(i, j) ∈ ST
xij ≥ 0
Wir spezifizieren keine Zielfunktion. Es ist ausreichend, eine beliebige zulässige Lösung
zu berechnen, weil jede zulässige Lösung den Makespan (höchstens) T hat.
Überblick über den Algorithmus. Wir beschreiben jetzt einen Algorithmus, der
zunächst eine nicht-ganzzahlige Lösung für ILP(T ) berechnet und dann daraus eine
ganzzahlige Lösung ableitet, die höchstens den Makespan 2T hat. Der Algorithmus
verwendet die folgenden zwei Schritte.
• Relaxierungsschritt: Wir lassen die Ganzzahligkeitsbedingung fallen und erhalten aus ILP(T ) das lineare Programm LP(T ). Wir berechnen eine zulässige Basislösung für LP(T ).
• Rundungsschritt: Aus der Basislösung für LP(T ) konstruieren wir durch geeignete Auf- oder Abrundung der nicht-ganzzahligen Variablen eine zulässige ganzzahlige Lösung mit Approximationsfaktor 2.
22
Der Relaxierungsschritt kann mit der Ellipsoidmethode in polynomiell beschränkter
Laufzeit durchgeführt werden. Im Folgenden beschreiben wir den Rundungsschritt genauer. In die Analyse dieses Schrittes gehen Eigenschaften von Basislösungen ein.
Lemma 4.1 In einer Basislösung für LP(T ) haben alle bis auf höchstens n + m der
Variablen den Wert 0.
Beweis:
• Die Anzahl der Variablen in LP(T ) bezeichnen wir mit D und die Anzahl der
Nebenbedingungen mit C.
• Es gilt D = |ST | ≤ nm und C = D + n + m.
• In einer Basislösung sind mindestens D der Nebenbedingungen exakt (also mit
Gleichheit) erfüllt, d.h. es gibt höchstens C − D = n + m viele Nebenbedingungen, die nicht exakt erfüllt sind.
• Somit sind auch höchstens n + m der Nichtnegativitätsbedingungen (also der
Bedingungen xij ≥ 0) nicht exakt erfüllt.
• Es folgt, alle bis auf höchstens n + m Variablen haben den Wert 0.
2
Der Allokationsgraph. Zu einer Basislösung x von LP(T ) definieren wir den Allokationsgraphen G = ([n] ∪ [m], E). G ist ein bipartiter Graph, dessen Knoten den Jobs
und Maschinen entsprechen. Job i ∈ [n] ist mit Maschine j ∈ [m] genau dann durch
eine Kante verbunden, wenn xij > 0.
Ein Pseudobaum mit Knotenmenge V ist ein zusammenhängender Graph mit höchstens |V | Kanten. Jeder Spannbaum enthält |V | − 1 Kanten. Ein Pseudobaum ist also
entweder ein Spannbaum oder ein Spannbaum mit Zusatzkante, d.h. ein Graph, der
höchstens einen Kreis enthält. Ein Graph ist ein Pseudowald, wenn jede Zusammenhangskomponente jeweils einem Pseudobaum entspricht.
Lemma 4.2 Falls G zusammenhängend ist, so ist G ein Pseudobaum.
Beweis: G ist ein zusammenhängender Graph mit n + m Knoten. Aus Lemma 4.1
folgt, G hat höchstens n + m Kanten. Damit ist G ein Pseudobaum.
2
23
Lemma 4.3 Der Allokationsgraph G ist ein Pseudowald.
Beweis: Betrachte eine beliebige Zusammenhangskomponente G′ = (V ′ , E ′ ). Die
Knotenmenge V ′ besteht aus Teilmengen der Jobs und Maschinen, d.h. V ′ = J ′ ∪ M ′
mit J ′ ⊆ [n] und M ′ ⊆ [m]. Wir müssen zeigen, dass G′ ein Pseudobaum ist.
Das Tupel (J ′ , M ′ ) definiert ein eingeschränktes Schedulingproblem, bei dem die Jobs
aus J ′ auf die Maschinen in M ′ verteilt werden sollen. Sei LP′ (T ) die Relaxierung
zum Schedulingproblem (J ′ , M ′ ) mit vorgegebenem Makespan T . Wenn wir die Basislösung x für LP(T ) auf die Variablen xij mit i ∈ J ′ und j ∈ M ′ einschränken, dann
erhalten wir eine Basislösung x′ für LP′ (T ).
Damit ist G′ also ein zusammenhängender Allokationsgraph zur Basislösung x′ von
LP′ (T ). Jetzt folgt aus Lemma 4.2, dass G′ ein Pseudobaum ist. Da diese Eigenschaft
für jede Zusammenhangskomponente von G gilt, ist G somit ein Pseudowald.
2
LP-Rundung mit Hilfe des Allokationsgraphen: Als Nächstes zeigen wir, wie
man aus dem Allokationsgraphen G eine ganzzahlige Lösung für ILP(T ) mit Makespan höchstens 2T erzeugt.
• Ungeteilte Jobs: Falls die Basislösung x für einen Job i ∈ [n] eine ganzahlige
Zuteilung berechnet hat, d.h. es eine Maschine j ∈ [n] mit xij = 1 gibt, so wird
diese Zuteilung direkt übernommen. Wir entfernen die entsprechenden Jobknoten und die inzidenten Kanten aus dem Graphen G und erhalten dadurch einen
Allokationsgraphen, den wir H nennen.
• Geteilte Jobs: Wir berechnen ein einseitig perfektes Matching M für H, d.h
eine Teilmenge der Kanten, so dass jeder Jobknoten zu genau einer Kante in
M inzident ist und jeder Maschinenknoten zu höchstens einer Kante. M ordnet
jedem geteilten Job i also genau eine Maschine j zu, und wir setzen xij = 1 und
xij ′ = 0 für j ′ 6= j. Beachte, jede Maschine erhält bei diesem Rundungsschritt
höchstens einen zusätzlichen Job.
Abbildung 3 erläutert die Konstruktion des Matchings M anhand eines Beispiels.
Wir müssen noch die Existenz des einseitig perfekten Matchings M auf H nachweisen
und zeigen, wie dieses Matching effizient berechnet werden kann. Wir beobachten,
dass der Graph H ein bipartiter Pseudowald ist, in dem alle Blätter Maschinenknoten
sind, weil alle Jobknoten mit Grad 1 durch Streichung der ungeteilten Jobs entfernt
wurden. Diese Eigenschaft werden wir ausnutzen.
Lemma 4.4 Der Allokationsgraph H hat ein einseitig perfektes Matching, und dieses
Matching kann in polynomiell beschränkter Laufzeit berechnet werden.
24
Abbildung 3: Darstellung des einseitig perfekten Matchings M (= rote, gestrichelte
Kanten) für den Allokationsgraph H. Jeder Jobknoten (rot, viereckig) wird genau einem Maschinenknoten (blau, rund) zugeordnet. Jedem Maschinenknoten wird höchstens ein Jobknoten zugeordnet.
Beweis: Wir beschreiben einen einfachen Algorithmus, der das Matching berechnet.
Wir nutzen aus, dass alle Blätter im Pseudowald H Maschinenknoten sind. Zunächst
entfernen wir alle isolierten Maschinenknoten, d.h. alle Zusammenhangskomponenten, die nur aus einem Maschinenknoten bestehen. Den folgenden Schritt wenden wir
solange an, bis kein Blatt mehr verfügbar ist.
Wähle ein beliebiges Blatt j ∈ [m], und füge die inzidente Kante {j, i}
(i ∈ [n]) zu M hinzu. Dann entferne die Knoten j und i mit allen inzidenten Kanten aus H und lösche die dadurch möglicherweise neu entstandenen isolierten Maschinenknoten.
Da der Graph H ein bipartiter Pseudowald ist, verbleiben nach dem iterierten Entfernen aller Blätter nur ein paar Kreise gerader Länge. Von diesen Kreisen nehmen wir
jede zweite Kante zum Matching M hinzu. Auf diese Art wird jeder Jobknoten durch
genau eine Kante aus M abgedeckt, und wir haben ein einseitig perfektes Matching
konstruiert.
2
Satz 4.5 Das Makespan-Scheduling-Problem für allgemeine Maschinen hat einen Polynomialzeitalgorithmus mit Approximationsfaktor 2.
Beweis: Wir müssen nur noch den Approximationsfaktor nachweisen.
• Auf jeder Maschine verursachen die durch die Basislösung ungeteilt zugewiesenen Jobs eine Last von höchstens T .
25
• Beim Runden der geteilten Jobs wird jeder Maschine maximal ein Job zugeordnet, weil wir ein Matching verwenden. Eine Matchingkante {i, j} existiert nur
dann, wenn in der Basislösung xij > 0 gilt. Notwendige Bedingung dafür ist,
dass (i, j) ∈ ST ist. Aus (i, j) ∈ ST folgt pij ≤ T . Deshalb erzeugt die Zuteilung
entlang der Matchingkanten einen Lastzuwachs von höchstens T je Maschine.
Somit ist der berechnete Makespan höchstens zweimal so groß wie der optimale Makespan T .
2
26