Lösungsvorschlag zur Klausur vom 04.05.2002

Bericht zur Priifung im M~rz 2002 fiber Mathematik
der Schadenversichemng (Gmndwissen)
Christian Hipp (Karlsruhe) und Martin Morlock (Giessen)
Zu jedem der Gebiete Grundlagen, Pr~imienkalkulation, Solvabilit~it, Risikoteilung und Reservierung ist jeweils eine Aufgabe gestellt. Die Zusatzaufgabe wird nur gewertet, wenn eine der anderen
Aufgaben nicht bearbeitet wurde. Als Hilfsmittel sind die beigefiigte Formelsammlung sowie ein
nicht programmierbarer Taschenrechner zugelassen. Die Zahlen in der Aufgabenstellung geben
jeweils die maximal erreichbare Punktzahl an. Die Klausur ist bestanden, wenn 36 der 90 m6glichen
Punkte erreicht wurden.
L Aufgabe (Grundlagen) (20 Punkte):
a) X, Y > 0 sind beliebige (nicht notwendigerweise stochastisch unabh~ingige) Risiken (Zufallsvariable). In welcher Beziehung stehen die Gr6Ben ,,VarK (X + Y)" und ,,VarK (X) + VarK (Y)"
wobei VarK den Variationskoeffizient bezeichnet ?
Benutzen Sie die Ungleichung Var(X + Y) _< ( ~
+~)2
b) Zeigen Sie: Ftir ein beliebiges Risiko X und a > 0 gilt VarK(aX) = VarK(X).
LOsung der Aufgabe Grundlagen:
a) Gem~il3dem angegebenen Hinweis gilt:
VarK(X) + VarK(Y) - ~
E[X]
~ v/Var(Y)
E[Y]
~E[X]
E[X] + E[Y]
=
E[X]
E[Xl+ Epr]
- E[X] + E[Y]
+
E[X] + ElY]
> x/Var( x + Y)
E[X + Y]
+ ElY]
EIXl+ ElY1
(X bzw. Y > 0)
(Hinweis)
= VarK(X + V).
b) Ffir beliebiges a :~ 0 gilt:
VarK(aX) - ~
E[aX]
v/a2' Var(X)
a. E[X]
= la[. Var(X) = [a]. VarK(X) = sign(a). VarK(X)
a. E[X]
a
Far a > 0 gilt somit die behauptete Skaleninvarianz VarK (aX) = VarK (X).
2. Aufgabe (Prfimienkalkulation) (20 Punkte)
Der ftir einen Versicherungsvertrag m6gliche Gesamtschaden S werde beschrieben durch eine
gemischte Verteilung
S ~ 0,660 + 0,4 U(0,1)
d.h.P(S=O)=O,6undP(S>t)=O,4.(1-t)
(O_<t<l).
83
Das Versicherungsunternehmen bietet ftir dieses Risiko alternativ die Vertr~ige
V1: ohne Beitragsriickerstattung zur Nettorisikopr~imie B1 und
V2: mit einer BeitragsrQckerstattung von 30% der Nettorisikopramie B2, falls im Versicherungszeitraum kein Schaden zu regulieren ist,
an.
a) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von S und geben Sie die Nettorisikopramie B~ an.
b) Berechnen Sie die Nettorisikopr~imie B2.
c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion der Zahlungen des Versicherungsunternehmens fiir den
Fall der Beitragsriickerstattung gem~iB Vertrag V2.
Hinweis: Unterstellen Sie bei b) und c), dass sich alle Versicherungsnehmer rational verhalten, d. h.
dass sie einen Gesamtschaden bis zur H6he der Beitragsrtickerstattung selbst tragen.
LOsung der Aufgabe Pri~mienkalkulation:
a) Ftir die Verteilungsfunktion F(t) von S gilt:
F (t) = 0,
t < 0
F(t) = 0,6 + 0,4t,
0< t < 1
F(t) = 1,
1< t
F(t)
0,6
Damit betr~igt die Nettorisikopramie wegen S >__0
c¢
B1
1
E[S] = [ (1 - F(t))dt = [ (0,4 - 0,4t)dt = 0,2
0
0
1
oder ohne Integration: B1 = E[S] = 0,6 . 0 + 0,4 • E[U(0,1)] = 0 + 0,4 • ~ = 0,2.
b) Da ein rational handelnder Versicherungsnehmer bei einer Nettorisikopr~imie Ba nur einen
Gesamtschaden melden wird, der grSBer als 0,3 B2 ist, gilt far die zu leistenden Zahlungen $2 des
Versicherungsunternehmens
$2=
{0'3B2'
S,
S<0'3B2}=max(S_0,3Bz;0)+0,3B2"
0,3B2<S
1. L6sungsweg:
Die Verteilungsfunktion F2 (t) der vom Versicherungsunternehmen zu leistenden Zahlungen $2 hat
die Gestalt:
84
0,
t< 0,3 BE
F(t), 0,3B z < t"
F2(t) =
Da der H6chstschaden hier S = 1 betr/igt, kann ohne Einschr/inkung angenommen werden, dass
B2 < 1 gilt. Fiir die Nettorisikopr/imie B2 gilt damit:
B2=E/S2]=f(1-F2(t))dt=
I dt+
0
(1-F(t))dt=0,3B~+0,4
0
0,3 B 2
(1-t)dt
0,3 B2
= 0,3B2 + 0,4(1 - 0,3Bz - 0,5 + 0,045 B~),
also 0,018B2z - 0 , 8 2 B 2 + 0 , 2 = 0 und folglich 8 2 = 0,245,
(Die 2. L6sung der obigen quadratischen Gleichung ist 45,31 und somit hier nicht relevant, da von
B z < 1 ausgegangen werden kann.)
2. LOsungsweg:
Mit p = P(S > 0,3B2) = 1 - F(0,3B2) = 0,4 • (1 -0,3B2) gilt, dass das Versicherungsunternehmen mit der Wahrscheinlichkeit 1 - p die Zahlung 0,3B2 zu leisten hat und sich die dariiber
hinausgehenden Zahlungen aus der Integration ergeben:
I
B2=E[S2]=(1-p).0,3B2+0,4
I tdt
0 3 B2
= (0,6 + 0,12 B2)- 0,3 Bz + 0,4- (0,5 - 0,005 Bz2)
= 0,18Bz + 0,018B~ +0,2
also 0,018 B2z - 0,82 B2 + 0,2 = 0 und folglich B2 = 0,245.
Die Nettopr~imie muss also aufgrund der Beitragsrtickerstattung um 22,5% erh6ht werden.
c) Die Z a h l u n g SE =
lungsfunktion:
0,3
S, B2, S0,<30,3
Bz B2
< S
F2(t) =
des Versicherungsunternehmens hat die Vertei-
0,
F(t),
t < 0,3 B2
0,3 B2 _< t"
F2(t)
0,6+0,12 B2
0,3 B2
85
3. Aufgabe (Solvabilit~it) (15 Punkte):
Ein Versicherungsbestand produziert pro Jahr N Sch~iden mit E [N] = 100, und die SchadenhOhen
sind stochastisch unabh~ingig sowie stochastisch unabh~ingig von N mit
P{X~ = 100} = P[X i ----200}. . . . .
X i
P{Xi = 1.000} = 1/10.
a) Zeigen Sie: Eine Bestandspr~imie yon 55.000 ist nicht ausreichend, d.h. auch ftir ein Startkapital
von s = 550.000 ergibt sich eine Ruinwahrscheinlichkeit von 1.
b) Verbessert sich die Situation des Versicherungsunternehmens durch Abschluss des folgenden
Rtickversicherungsvertrages: Bei j edem Einzelschaden tiber 500 bezahlt der Rtickversicherer 200,
und die Rtickversicherungspr~imie fur den Gesamtbestand betr~igt 10.000? Und ist diese
RiJckversicherungspr~imie fur den Rtickversicherer in obigem Sinn ausreichend?
c) Wie ver~indert sich die Situation des Versicherungsunternehmens, wenn statt des Rtickversicherungsvertrages ein Selbstbehalt des Versicherungsnehmers in H/She von 100 pro Schadenfall
vereinbart wird und die Bestandspr~imie auf 46.000 reduziert wird ?
LOsung der Aufgabe Solvabiliti~t:
a) Ist S der Gesamtschaden des Bestandes, dann gilt
E [S] = E [N] • E[Xa] = 100 • 550 = 55.000 -- Jahrespramie,
und damit wird ~p(s) = 1 ftir alle s > 0, d.h. mit Wahrscheinlichkeit 1 tritt (bei unendlichem
Planungshorizont) irgendwann der Ruin ein, gleichgtiltig wie groB die Anfangsreserve ist, da das
Pr~imienaufkommen nicht gr6Ber ist als das Schadenaufkommen.
b) Mit der angegebenen Rtickversicherung gilt
l
E[S]
E[N].
E[X1] =
100. (550 - 1~" 200) : 100. 450 = 45.000,
und dies ist gerade die dem Erstversicherer verbleibende Jahrespr/imie.
Auch hier gilt ~p(s) = 1 ftir alle s > 0.
FOr den Rtickversicherer ergibt sich aus dem Gesch~ift ein Gesamtschaden mit dem Erwartungswert 10.000, also stimmen Jahrespr~imie und Erwartungswert des Gesamtschadens tiberein.
Auch ftir den Rtickversicherer betr~igt die Ruinwahrscheinlichkeit ~p(s) = 1 fiar alle s > 0.
c) Ein Selbstbehalt der H/She 100 ver~indert die Schadenh6henverteilung:
Yi = (X~- 100) ÷ = max(X i - 100, 0)
mit P{Y~ = 0} = PIY~ = 1001 . . . . .
PlYi = 900} = 1/10.
Also ist der Erwartungswert des Gesamtschadens S
E[S] = E [ N ] - E [ Y ~ ] = 100. 450 =-45.000,
und dieser ist kleiner als die Jahrespramie 46.000.
Somit ist die Ruinwahrscheinlichkeit ~p(s) < 1 fur alle s > 0.
4. Aufgabe (Risikoleilung) (20 Punkte):
Bei einem Risiko k(Jnnen 0, 1, 2 oder 3 Sch~iden mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 0,25 eintreten.
Die Schadenh6he ist U (0, 10)-verteilt, d. h. auf dem Intervall (0, 10) gleichverteilt. Alle auftretenden
Zufatlsgr/SBen werden als stochastisch unabh~ingig angenommen.
86
a) Berechnen Sie die Risikopr~imie nach dem Varianzprinzip mit einem Risikozuschlag von 1% der
Varianz des Gesamtschadens.
b) Das Erstversicherungsuntemehmen m6chte einen Teil der Sch~iden durch eine RUckversicherung
abdecken. Hierbei werden die R0ckversicherungspramien ebenfalls nach dem Varianzprinzip mit
dem Parameter 1% fur den Sicherheitszuschlag berechnet. Diskutieren Sie die folgenden
RUckversicherungsm0glichkeiten aus Sicht des RUckversicherungsunternehmens:
ba) Falls mehr als ein Schaden auftritt, wird dieser von dem RiJckversicherer Ubernommen;
d.h. falls zwei Sch/iden auftreten, tibernimmt der Rtickversicherer den zweiten Schaden;
falls drei Sch/iden auftreten, Ubernimmt der RUckversicherer den zweiten und den dritten
Schaden.
bb) Der RUckversicherer Ubernimmt von allen Sch/iden den v / ~ Ubersteigenden Schadenbetrag.
LOsung der Aufgabe Risikoteilung:
Es bezeichne
N, die Anzahl der Sch/~den und
X, die U (0, 10)-verteilte Schadenh6he.
a) Bestimmung der Risikopramie
Mit den Gr613en
E[N]
=(0+1+2+3)/4--1,5
Var(N) = (0 + 1 + 4 + 9)/4 - 1,52 = 1,25
E[X l
= 5
Var(X) = (10 - 0)2/12 = 8,333
erhalt man
E[S]
= E[N] - E[X] = 7,5
Var(S) = E[N] • Var(X) + Var(N) • (E[X]) 2
= 1,5 • 8,3333 + 1,25 • 52 = 43,75
und damit die (Brutto-)Risikopr~imie
BRP
= EIS] + 0,01 • Var(S) = 7,5 + 0,01 • 43,75 = 7,9375.
ba) Bestimmung der Rtickversichertmgspramie, falls jeweils der 2. und 3. Schaden iibemommen
wird.
Es sei lq die vom Riickversicherer gem~iB der Vereinbarung aus ba) zu tibernehmende Anzahl
der Sch~iden. Offenbar ist lq eine diskrete Zufallsvariable, die den Wert 0, 1 oder 2 annehmen
kann, wobei
1
1
P(/q = O) = ~ und P(lq = 1) = P(Iq = 2) =
gilt. Die Vereinbarung ba) beeinflusst die Verteilung der EinzelschadenhOhen der vom
RUckversicherer zu Ubernehmenden Sch~iden nicht. Somit ergibt sich der Gesamtschaden Sa
des RUckversicherers in ba) aus den Verteilungen von lq und X.
Mit den Gr6Ben
E [iq]
= 0/2 + 1/4 + 2/4 = 0,75
Var (lq) -- 0/2 + 1/4 + 4/4 - 0,752 = 0,6875
E[X]
= 5
Var(X) = 8,3333
87
erh/ilt m a n
E [Sa]
= E [lq] • E [X] = 0,75 • 5 = 3,75
Var (Sa) = 0,75 • 8,3333 + 0,6875 • 52 = 23,4375
und damit die (Brutto-)Risikopramie
BRPa
= E[Sa] + 0,01 • Var(Sa) = 3,75 + 0,01 • 23,4375 -- 3,984375.
b b ) Rtickversicherungspr~imie ftir den Fall, dass jeder Schaden bis zur H 6 h e v / ~ b e i m
Erstversicherer verbleibt und die diesen Wert tibersteigende S c h a d e n h 6 h e v o m Riickversicherer t i b e r n o m m e n wird; EinzelschadenexzedentenrOckversicherung
Die Vereinbarung b b ) beeinflusst - im Gegensatz zu ba) - die Verteilung der Schadenanzahlen der v o m Rtickversicherer zu t i b e r n e h m e n d e n Sch~iden nicht. Hingegen wird die
Verteilung der Einzelschadenh6he ver~indert. M a n geht von den S c h a d e n h 6 h e n X~ tiber auf
die Entsch~idigungen
X,=max(Xi-v~;
0).
Somit ergibt sich der G e s a m t s c h a d e n Sb des Rtiekversieherers in b b ) aus d e r Verteilung von N
und X (wobei X stellvertretend far X~ steht).
Mit
10
EI I : I
4~
10-~6
J
1/10 " x dx = 1/20 " (10 - x / ~ ) 2= 0'4289
0
10-~6
Var(~:) =
-]
1 / 1 0 . x 2 dx - 0,42892 = 1 / 3 0 . (10 - v/if6)3-0,4289 z = 0,6536
0
erh~ilt m a n
E [Sb]
= E IN] • E IX] = 1,5 . 0,4289 = 0,6434
Var(Sb) = 1,5 • 0,6536 + 1,25 • 0,42892 ---- 1,2103
und damit die (Brutto-)Risikopr~imie
BRPb
= E [Sb] + 0,01 • Var (Sb) = 0,6434 + 0,01 • 1,2103 = 0,655503.
Ergebnis:
Die Risikopr/imie ist ftir die O b e r n a h m e des Risikos in Teil bb) wesentlich kleiner als bei ba).
U n t e r diesem Aspekt w~re aus Sicht des Rtickversicherers die Rtickversicherung gem~iB ba)
vorzuziehen (gr6Beres Pramienvolumen).
Betrachtet m a n ferner die Variationskoeffizienten der beiden Rtickversicherungsvarianten,
so ergibt sich
ftir ba) VarK(Sa) -
3,7~
- 1,291.
far b b ) VarK(Sb) -- - -- 1,7099.
0,6434
Die U b e r n a h m e der Spitzenrisiken bei kleinerer Pramie stellt ftir den Rtickversicherer ein
gr6Beres Risiko dar (gemessen mit d e m Variationskoeffizienten). Auch aus diesem G r u n d ist
fiir den Rtickversicherer die Variante ba) vorzuziehen.
88
5. Aufgabe (Schadenreservierung) (15 Punkte):
Ein VersicherungsunternehmenweiB, dass die Sch~ideneiner bestimmten Sachsparte nach 5 Jahren
vollst~indigabgewickelt sind. Vor 2 Jahren hat eine Gesetzes~inderung dazu gefiihrt, dass seitdem die
zu leistenden Schadenzahlungen um 50% erh6ht sind. Die Pr~imien wurden entsprechend um 50%
erh0ht. Auf eine Erh0hung der Pr~imien auf Grund der nunmehr zu niedrig eingesch~itzten
Sp~itsch~idender Anfalljahre 1997, 1998 und 1999 wurde verzichtet. Die monet~ire Inflation spielt bei
der betrachteten Sparte eine zu vernachlassigende Rolle.
Das folgende Abwicklungsdreieek der letzten 5 Anfalljahre 1997, 1998, 1999, 2000 und 2001 enth~ilt
die geleisteten Zahlungen - also auch die erhOhten Zahlungen und Pr~imien ftir die Jahre 2000 und
2001 auf Grund der Gesetzes~inderung (in Mio. EURO).
Anfalljahr
Abwicklungsjahr
(Pr~mie)
k=l
k=2
k=3
k=4
k=5
1997
1998
1999
2000
2001
(20)
(25)
(40)
(90)
(120)
4
6
7
21
24
6
7
15
24
4
6
9
3
3
3
a) Berechnen Sie mit dem Chain-Ladder-Verfahren eine Sch~itzung der im Jahr 2002 ftir
Sch~iden des Anfalljahres 1999 zu leistenden Schadenzahlungen und eine Sch~tzung der
Sp~itschadenreserve fur das Anfalljahr 2001.
b) Berechnen Sie Sch~itzungen fur die Sp~itschadenreserve fur die Anfalljahre 1998 und 2001
mit dem Verfahren der anfalljahrunabh~ngigen Schadenquotenzuw~ichse.
LOsung der Aufgabe Schadenreservierung:
a) Die um die (durch die Gesetzes~inderung verursachte) superimposed inflation in den
Jahren 2000 und 2001 bereinigten Pr~imien und nichtkumulierten Schadenzahlungen S~
ergeben sich aus den gegebenen Daten dutch Multiplikation mit 2/3 (damit ein 50%Zuschlag auf die Ausgangsdaten fiihrt):
Anfalljahr
Abwicklungsjahr
(Pr~imie)
k=l
k=2
k=3
k=4
k=5
1997
1998
1999
2000
2001
(20)
(25)
(40)
(60)
(80)
4
6
7
14
16
6
7
10
16
4
4
6
2
2
2
(Eine andere - rechentechnisch einfachere - Variante inflationiert die Zahlungen, die die Jahre
1997, 1998 und 1999 betreffen. Als Basisjahr wird dabei das Jahr 2001 gew~ihlt. Diese
Berechnungsweise ftihrt zu den gleichen Ergebnissen.)
Bereinigte Pr~imien und bereinigte kumulierte Schadenzahlungen C~*k
89
k=l
k=2
k=3
k=4
k=5
(20)
4
10
14
16
18
1998
(25)
6
13
17
19
1999
(40)
7
17
23
2000
(60)
14
30
2001
(80)
16
AnfaUjahr
Abwicklungsjahr
(Pr~mie)
1997
Abwicklungskoeffizienten {[,:
f~ = 2,258;
f~ = 1,35;
^*
f3
1,129;
f~ = 1,125
Schadenzahlungen des Anfalljahres 1999 im 4. Abwicklungsjahr
Sb99.4 = (~999.4 - C~999.3 = Q999.3 " (f; - 1) = 23 • 0,129 = 2,967
U n t e r Berticksichtigung der superimposed inflation ergibt sich dann
S1999,4 = 2,967 • 1,5 = 4,45.
Sch~itzung der Spiitschadenreserve far das Anfalljahr 2001
t5"~oo~= (~oo,,5 - C~oo~.1 = C~ooLx ' (f~ f~f;f~ - 1) = 1 6 . 2,872 = 45,952
U n t e r Berticksichtigung der superimposed inflation ergibt sieh dann
lb,2ool = 45,952 • 1,5 = 68,928.
b) Sch~itzung der Schadenquotenzuwiiehse
~,: ~; = 0,1; ~ = 0,089; s^*3 = 0,165; ^*
s 2 = 0,269
Als Sch~itzung der Sp~itschadenreserve ftir 1998 ergibt sich ohne Berticksichtigung der superimposed inflation:
~; • 25 = 2,5
und unter Berticksichtigung der superimposed inflation 2,5 - 1,5 = 3,75.
Als Sch~itzung der Sp~itschadenreserve fiir 2001 ergibt sich ohne BerOcksichtigung der superimposed inflation:
^* + ~ ) • 80 = 49,84
( ~ + ~; + s4
und unter Beriicksichtigung der superimposed inflation 49,84 - 1,5 = 74,76.
6. Z u s a t z a u f g a b e n (15 P u n k t e ) :
Das Kollektiv eines Versichertmgsunternehmens besteht aus den 2 Risiken A und B mit den folgenden
Eintrittswahrscheinlichkeiten der stochastisch unabh~ingigen Einzelschadenh6hen XA und XB:
Versicherungssumme
Schadenh6he
½ VS
VS
Risiko A
VS
6
"0,6
0,2
0,2
Risiko B
10
0,8
0,1
0,1
a) Das Erstversicherungsunternehmen schlieBt zun~ichst einen Summenexzedentenrtickversicherungsvertrag mit d e m M a x i m u m (Selbstbehalt) 6 ab. FUr den bei ihm v e r b l e i b e n d e n Schaden
90
schliel3t es (bei einem a n d e r e n Rtickversicherungsunternehmen) eine Einzelschadenexzedentenrtickversicherung mit der Prioritat (Selbstbehalt) 3 ab.
B e r e c h n e n Sie die Nettorisikopr~imien, die der Erstversicherer an die beiden Rtickversicherer zu
zahlen hat.
b) Wie ~indert sich durch die beiden Rtickversicherungen das beim Erstversicherer verbleibende
Risiko (gemessen mit dem Variationskoeffizienten)?
L6sung der Zusatzaufgabe:
a) Summenexzedentenriackversicherungsvertrag mit d e m M a x i m u m 6
Rtickversichereranteil SRVS
Schadenh6he//Eintrittswahrscheinlichkeit
Risiko A
Versicherungssumme
VS
6
0//0,6
0//0,2
0//0,2
Risiko B
10
0//0,8
5 . 4/10//0,1
10 • 4/10//0,1
Nettorisikorfickversicherungspr~imie:
E [SRvs] = 2 " 0,1 + 4 • 0,1 = 0,6
Nachfolgender Einzelschadenexzedentenriickversicherungsvertrag mit der Priorit~it 3
Rtickversicherungsanteil SRVE
Versicherungssumme
VS
Risiko A
Risiko B
10
Schadenh6he//Eintrittswahrscheinlichkeit
0//0,6
0//0,2
3//0,2
0//0,8
0//0,1
3//0,1
Nettorisikortickversicherungspr~imie
E [SRvE] = 3 " 0,2 + 3 " 0,1 = 0,9
Die gesamte Rtickversicherungspr~imie betr~igt damit 0,6 + 0,9 = 1,5.
b) Variationskoeffizient der d e m Erstversicherer gemeldeten Schadenzahlungen S = XA + XB (ohne
Riickversicherung)
Risiko A
Erwartungswert:
E[XA] = 3 ' 0 , 2 + 6 ' 0 , 2 = 1 , 8
Varianz:
Var(Xa) =(9+36)'0,2-1,82
5,76
Risiko B
Erwartungswert:
E [XB]
= 5 • 0,1 + 10 • 0,1 = 1,5
Varianz:
Var(Xa) = (25 + 100) - 0,1 - 1,52 = 10,25
Mit der stochastischen Unabh~ingigkeit von XA und X a ergibt sich
Variationskoeffizient:
VarK(S) = v/5, 76 + 10, 2 5 / ( 1 , 8 + 1, 5) = 1,212
Nach Rtickversicherung ergeben sich die folgenden Eigenanteile des Erstversicherers:
91
Schadenh6he//Eintrittswahrscheinlichkeit
Risiko A
Versicherungssumme
VS
6
0//0,6
3//0,2
3//0,2
Risiko B
10
0//0,8
3//0,1
3//0,1
Mit XEVA bzw. XEVB sei der (zuf~illige) Eigenanteil des Erstversicherers am Risiko A bzw. B
bezeichnet, mit SEV = XEVA+ XEVB der Gesamtschaden nach Rtickversicherung.
Risiko A
Erwartungswert:
E [XEvA]
Varianz:
V a I ' ( X E v A ) = 9 • 0,4 - 1,22 = 2,16
= 1,2
Risiko B
Erwartungswert:
E [XEvB]
Varianz:
Var(XEvB) ----9 - 0,2 -- 0,62 = 1,44
= 0,6
Mit den Ausgangsrisiken XA und XB sind auch die Eigenanteile XEVA und XEW stochastisch
unabh/ingig. Somit gilt insbesondere Var (SEv) = Var (XEvA) + Var (XEva) und es ergibt sich
Variationskoeffizient: VarK(SEv) = x/2,16 + 1,44/(1, 2 + 0, 6) = 1,054
Durch die Kombination Summenexzedenten-Einzelschadenexzedentenriickversicherung sinkt
der Variationskoeffizient yon 1,212 auf 1,054.
92