Mechanik 2.nb - Hochschule Trier

Mechanik 2.nb
*UXQGODJHQGHU3K\VLN
Vorlesung im Fachbereich VI der Universität Trier
Fach: Geowissenschaften
Wintersemester 2000/2001
'R]HQW
'U.DUO0ROWHU
'LSORP3K\VLNHU
)DFKKRFKVFKXOH7ULHU
7HO
)D[
(0DLOPROWHU#IKWULHUGH
,QIRV]XU9RUOHVXQJXQWHUKWWSZZZIKWULHUGHaPROWHUJGS
Version: 1.0
02.01.01
/LWHUDWXU
•
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•
6WURSSH: 3K\VLN,
Hanser Fachbuchverlag, 1999, ISBN 3-446-21066-0
+HULQJ0DUWLQ6WRKUHU: 3K\VLNIU,QJHQLHXUH,
Springer, Berlin; VDI, 1999, ISBN 3-540-66135-2
3DXO$7LSOHU: 3K\VLN,
Spektrum Akademischer Verlag, 2000, ISBN 3-86025-122-8
*HUWKVHQ: 3K\VLN,
Springer Verlag, 1999, ISBN 3-540-65479-8
%URQVWHLQ6HPHQGMDMHZ: 7DVFKHQEXFKGHU0DWKHPDWLN,
Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-2005-2
-UJHQ(LFKOHU: 3K\VLN,
Vieweg Verlag, 1993, ISBN 3-528-04933-2
+DQV-3DXV: 3K\VLN,
Hanser Verlag, 1995, ISBN 3-446-17371-4
.ODXV:HOWQHU: 0DWKHPDWLNIU3K\VLNHU,
Vieweg Verlag (nur noch als CD-ROM, ISBN 3-528-06775-6, erhältlich!)
6WHSKHQ:ROIUDP: 7KH0DWKHPDWLFD%RRN,
Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-64314-7
Mechanik 2.nb
Mechanik fester Körper (2)
'\QDPLN/HKUHYRQGHQ.UlIWHQ
Bisher haben wir uns nur mit der Beschreibung von Bewegungen befasst, ohne auf deren Ursache, die
Kräfte, näher einzugehen.
Aufbauend auf den Erkenntnissen von
Galileo Galilei(1564 - 1642)
(Fallgesetze, Relativbewegungen)
und
Christian Huygens (1629 - 1695)
(Kreisbewegung, Stossgesetze)
veröffentlichte
Isaac Newton (1642 - 1727)
1686 seine 3KLORVRSKLDH1DWXUDOLV3ULQFLSLD0DWKHPDWLFD (Mathematische Prinzipien der
Naturphilosophie), in denen er unter anderem eine mathematische Formulierung der Lehre von den
Kräften entwickelte und die Theorie der Gravitation aufstellte.
Grundlage der Newtonschen Dynamik sind 3 Axiome. (Axiom: Grundsatz, der QLFKWORJLVFK aus
bestehenden Sätzen DEJHOHLWHW werden kann.)
Notwendig für solche Axiome sind letztlich Experimente, genaue Beobachtung und - so scheint es! Lebenserfahrung.
È 1HZWRQVFKH$[LRPH
ì $[LRP7UlJKHLWVJHVHW]
Ohne äußere Einwirkung einer Kraft bleibt ein ruhender Körper in Ruhe, ein bewegter Körper bewegt
sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.
¾»
¾»
Y = const, wenn  ) = 0 .
Beschreibung:
Körper wollen ihren %HZHJXQJV]XVWDQGHUKDOWHQ. Das 0D‰, mit dem sie sich einer Änderung ihres
Bewegungszustandes ZLGHUVHW]HQ, ist eine charakteristische Eigenschaft des betreffenden Körpers.
Mechanik 2.nb
Beispiel:
Nahezu reibungsfreie Bewegung auf einer Luftkissenbahn.
OXIWVFKPSHJ
Bemerkung:
Der Gebrauch der physikalischen Größe Geschwindigkeit erfordert die Definition eines Bezugsystems:
Das Trägheitsprinzip gilt nur in Bezugssystemen, die nicht beschleunigt sind (d.h. die sich allenfalls mit
einer konstanten Relativgeschwindigkeit zueinander bewegen!).
Ein solches Bezugsystem bezeichnet man als ,QHUWLDOV\VWHP.
Ein rotierendes System ist kein Inertialsystem!
(karussl.mpeg)
Frage:
Ist der Hörsaal, in dem wir uns gerade befinden, ein Inertialsystem?
ì $[LRP$NWLRQVJHVHW]
Die Änderung des Bewegungszustandes erfolgt in Richtung einer äußeren Kraft und ist dem Betrag nach
dieser Kraft proportional.
¾»
¾»
) = m·D
Beschreibung:
Um den Bewegungszustand eines Körpers doch zu ändern bedarf es einer :HFKVHOZLUNXQJ mit diesem
Körper. Die 6WlUNH dieser Wechselwirkung bestimmt, um ZLHYLHO sich der Bewegungszustand ändert.
Beispiel:
Festklemmen bzw. Lösen eines Hammerstils.
KDPPHUPSHJELHUWUDHPSHJJZDIGPSHJ
Bemerkung:
Die Gültigkeit des Aktionsgesetzes kann man beispielsweise sehr gut durch Experimente an der
Luftkissenbahn demonstrieren.
ì $[LRP'DV:HFKVHOZLUNXQJVJHVHW]DFWLR UHDFWLR
¾»
Übt ein Körper 1 auf einen zweiten Körper 2 eine Kraft ) aus, so übt auch der zweite auf den ersten
¾»
eine Kraft ) aus.
Diese Kräfte sind entgegengesetzt und von gleichem Betrag.
Mechanik 2.nb
¾»
) ¾¾¾¾¾¾»
= - )
Beschreibung:
Die Wechselwirkung erfolgt immer zwischen mindestens zwei Teilchen, es gibt keineLVROLHUWHQ.UlIWH.
Beispiel:
Aufeinanderprallen zweier Luftschlitten.
OXIWVFKPSHJ
Bemerkung:
Das Actio-Reactio-Prinzip
folgt ebenfalls aus Experimenten. Z.B. kann man auf der Luftkissenbahn Versuche mit Sprengschlitten
gleicher und unterschiedlicher Masse machen.
È 0DVVHXQG.UDIW
ì 0DVVH
Die SI-Einheit der Masse wird durch den internationalen
Kilogrammprotyp festgelegt.
Nach dem Aktionsgesetz von Newton sind zwei Massen vergleichbar, indem man auf sie die gleiche
Kraft wirken lässt und die Beschleunigung misst:
P€1€€€ = €€€€
D2€€ .
€€€€
P2
D1
Die so ermittelte Masse bezeichnet man als WUlJH0DVVH(sie wird quasi über das Beharrungsvermögen
der Massen ermittelt).
Andererseits können wir Massen über die Gravitation der Erde vergleichen (beispielsweise mit Hilfe einer
Balkenwaage). Die auf diese Art ermittelte Masse bezeichnet man alsVFKZHUH0DVVH.
Träge und schwere Masse sind physikalisch identisch.
Dies ist keineswegs trivial sondern ein Ergebnis der Einsteinschen Relativitätstheorie!
Eine wichtige, von der Masse abgeleitete Größe ist die Dichte r :
kg
Masse
r = €€€€€€€€€€€€€€€€
€€€€€ A €€€€
Volumen
P€3€€€ E
Mechanik 2.nb
ì .UDIW
Nach dem Newtonschen Aktionsgesetz ist die Kraft ein Vektor, der die gleiche Richtung aufweist, wie die
Beschleunigung:
¾»
¾» kg P
) = m·D A €€€€€€€€
V2€€€€ E ¢ [N] (Newton).
:LFKWLJH1HEHQEHPHUNXQJ
Jede Beschleunigung ist durch eine Kraft verursacht. Aber QLFKWMHGH Kraft
verursacht eine Beschleunigung: (planke.mpeg)
Im folgenden werden Kräfte, die im Zusammenhang mit Problemstellungen der Mechanik auftreten,
näher beschrieben.
Wie bereits oben erwähnt, sind Kräfte vektorielle Größen.
Um Probleme näher zu analysieren, ist es daher manchmal sinnvoll, eine Zerlegung in verschiedene
Komponenten vorzunehmen.
¾»
¾»
¾»
Hier ein Beispiel für die Zerlegung der Kraft ) in die Komponenten ) und ) , so dass gilt:
¾»
¾»
¾»
) = ) + ) .
[email protected]
F2
F1
F3
Man bezeichnet eine derartige Zerlegung auch als .UlIWHSDUDOOHORJUDPP.
6WDWLVFKHV*OHLFKJHZLFKW
Bei Problemen der Statik ist die vektorielle Summe aller Kräfte, die an einem Körper (oder einem Punkt)
angreifen, gleich Null (daraus resultiert nach dem 1. Newtonschen Axiom, dass der Körper in Ruhe, also
statisch ist):
Mechanik 2.nb
¾¾¾»
 = ) = Q
L
L
Hier ein Beispiel für die Überlagerung von fünf Kräften mit der resultierenden Kraft 0:
[email protected]
F1
F5
F3
F4
F2
Überprüfen Sie, ob die Summe der Kräfte tatsächlich Null ist!
*HZLFKWVNUDIW
Im Schwerefeld der Erde unterliegt jeder Körper der Erdbeschleunigung
P
g = 9.81 €€€€
V2€€ .
Dadurch wirkt auf eine Masse P gemäß dem 2. Newtonschen Axiom folgende Gewichts- oder
¾»
Schwerkraft ) :
¾»
¾»
) PJ .
Die Kraft ist entlang des Erdradius gerichtet!
SODQNHPSHJ
(ODVWLVFKH.UlIWH
Wie bereits oben erwähnt, verursachen Kräfte nicht nur dynamische Wirkungen (also eine
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Beschleunigung), sie können auch zu Deformationen führen.
Diese üben dann HODVWLVFKH.UlIWHoder )HGHUNUlIWH aus.
Das Verhalten von Festkörpern wird als HODVWLVFK bezeichnet, wenn die Deformation nach Wegfall der
Kraft wieder völlig verschwindet (d.h. keine Energie durch die Deformation verloren geht, dazu später
mehr.)
Innerhalb gewisser Grenzen gilt für elastische Kräfte das +RRNHVFKH*HVHW], weches besagt, dass die
Rückstellkraft )H proportional zur Ausklenkung V ist:
)H = c V
(fed-pdl.mpeg)
,QHODVWLVFKH.UlIWH
Man spricht von inelastischen Kräften, wenn die Deformation nicht oder nur teilweise reversibel ist.
Hier wird Bewegungsenergie in Verformungsenergie (Wärme) umgewandelt. Auch hierzu später mehr.
(knautsch.mpeg)
5HLEXQJVNUlIWH
In der Praxis sind Reibungskräfte von großer Bedeutung, da sie nahezu unvermeidlich auftreten.
Sie sind der bewegenden Kraft immer entgegengerichtet.
In der Mechanik fester Körper unterscheidet man die Phänomene:
Haftreibung
Gleitreibung und
Rollreibung.
Experimentell lässt sich zeigen, dass für alle drei Reibungsarten gilt, dass die Reibungskraft )5
proportional zur Normalkraft )1 ist, d.h. der Kraft, die den Körper senkrecht auf seine Unterlage drückt:
)5 = m )1
Die Konstante m wir 5HLEXQJV]DKO genannt. Sie ist für die verschiedenen Reibungsarten unterschiedlich
und darüber hinaus vom Material abhängig, wie die folgende Tabelle zeigt:
Oberflächen
m+
m*
Gummi auf Asphalt
Gummi auf Beton
Gummi auf Eis 0.2
Stahl auf Holz
Stahl auf Stahl
Kfz auf Straße
Bahn auf Schiene
0.9
0.65
0.85
0.5
m5
0.15
0.5-0.6
0.15
0.2-0.5
0.12
0.02-0.05
0.002
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0HVVXQJYRQ.UlIWHQ
Das klassische Instrument zur Messung von Kräften ist die Federwaage unter Ausnutzung des
Hookeschen Gesetzes.
Modernere Verfahren benutzen Dehnungsmessstreifen, deren elektrischer Widerstand proportional zur
Längenänderung ist, oder den Piezo-Effekt in Kristallen, der bei Deformationen des Kristalls zu
elektrischen Oberflächenladungen führt, die elektronisch gemessen werden.
È 'LHVFKLHIH(EHQH
Mit dem, was wir bisher über Kräfte und Massen erfahren haben, können wir untersuchen, wie sich eine
Masse auf einer schiefen Ebene verhält.
Dazu zerlegen wir die Gewichtskraft )* in eine Komponente )1 senkrecht zur Auflagefläche und eine
Komponente )+ in Richtung der schiefen Ebene:
6FKLHIH(EHQH@ D
FH =mg sina
FN =mg cosa
FG =mg
a=45°
Die Komponente senkrecht zur Ebene ist verantwortlich für die Reibung, wie bereits oben beschrieben.
Sie wird auch als Normalkomponente bezeichnet und ergibt sich aus der Gewichtskraft )* und der
Neigung a der Ebene zu:
)1 = )* cos( ) = m g cos( )
a
a
Die Komponente entlang der Ebene ist für die Bewegung verantwortlich.
Sie wird auch als Hangabtriebskraft bezeichnet und ergibt sich aus dem Kräfteparallelogramm zu:
[1]
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)+ = )* sin( ) = m g sin( )
a
[2]
a
Wie man der Gleichung [2] entnehmen kann, handelt es sich um eine Bewegung mit einer konstanten
Beschleunigung der Größe:
a = g sin( ) .
[3]
a
As dem vorherigen Abschnitt wissen wir, dass Die Reibungskraft der Bewegung entgegenwirkt, vom
Betrag her aber proportional zur Normalkraft ist.
Die Verhältnisse sind in der folgenden Skizze veranschaulicht:
6FKLHIH(EHQH0LW5HLEXQJ@ D
FR =mmg cosa
FH’ =mg Hsina-mcosaL
FH =mg sina
FN =mg cosa
FG =mg
a=45°
Der Betrag der resultierenden Hangabtriebskraft ergibt sich demnach zu:
)+ ’ = )* sin( ) - )* cos( )
a
= m g (sin( ) a
m
m
a
cos( ))
a
Nur wenn diese Komponente größer Null ist (d.h. die Kraft in Abwärtsrichtung der Ebene gerichtet ist),
kommt überhaupt eine Bewegung zu Stande.
Mit Gleichung [4] können wir daraus unmittelbar einen Zusammenhang zwischen Reibungskoeffizient
und Neigung der Ebene ableiten, der erfüllt sein muss, damit eine Bewegung zu Stande kommt:
[4]
Mechanik 2.nb
sin( ) a
m
cos( ) > 0
a
[5]
ð
tan( ) >
a
m
Wenn der Tangens des Neigungswinkels größer als der Haft- oder Gleitreibungskoeffizient ist, bewegt
sich der Körper unter der Schwerkraft auf der schiefen Ebene.
Können Sie sich mit Hilfe der oben aufgeführten Informationen ein einfaches Experiment ausdenken, um
die Haft- und Gleitreibungskoeffizienten verschiedener Materialien zu bestimmen?
Unter der folgenden URL können Sie online mit der schiefen Ebene experimentieren:
Simulation der schiefen Ebene mit Reibung.
È %HZHJXQJVJOHLFKXQJHQ
Die Kenntnisse der Kinematik bezüglich des Zusammenhangs von Weg, Geschwindigkeit und
Beschleunigung, die Newtonschen Axiome und entsprechende mathematische Kenntnisse versetzen
uns in die Lage, Bewegungsgleichungen für physikalische Probleme aufzustellen und zu lösen.
ì %HLVSLHO)UHLHU)DOO
Wir wissen, das auf einen Körper im freien Fall lediglich die Schwerkraft wirkt:
)*
=
PJ
[6]
Aus der Kinematik wissen wir, dass der Zusammenhang zwischen Beschleunigung a und Weg x über
die zweite Ableitung hergestellt wird:
[¸
=
D
[7]
Fasst man die Aussagen der Gleichngen [1] und [2] zusammen, erhält man die Bewegubgsgleichung für
den freien Fall:
P [¸
=
-
PJ
Durch zweifache Integration der Gleichung [3] erhalten wir einen Ausdruck für x(t) (beachte die
Integrationskonstanten Y0 und [0 !):
[8]
Mechanik 2.nb
[HWL
ˆ
[HWL
=
=
-
1
2
JW
- €€€€
+
J W2
Y0
+
Y0 W
+
[9]
[0
Gleichung [4] unten ist die uns bereits aus der Kinematik bekannte Bewegungsgleichung für den Fall
einer konstanten Beschleunigung.
Hier noch einmal das bereits bekannte Weg - Zeit Diagramm:
Y = [ = J = 3ORWA- €€€€ J W + Y W + [ 8W < $[HV/DEHO – 8W @VD [ @PD<E
x@mD
140
120
100
80
60
40
20
t@sD
1
2
3
4
5
È %H]XJVV\VWHPH
Wir haben bereits weiter oben erwähnt, dass die Newtonschen Axiome nur für ,QHUWLDOV\VWHPH gelten,
also Systeme die sich allenfalls mit NRQVWDQWHU *HVFKZLQGLJNHLW zueinander bewegen.
Beschleunigte Systeme sind keine Inertialsysteme.
Da die Schwerkraft eine unendliche Reichweite hat, Körper im Raum damit immer einer Beschleunigung
(schwere Masse = träge Masse, siehe weiter oben) unterliegen, sind Inertialsysteme strenggenommen
idealisierte Gebilde.
Wenn die Auswirkungen der Schwerkraft jedoch klein im Vergleich zu den Effekten sind, die wir
untersuchen, oder wenn wir die Untersuchungen so gestalten, dass die Schwerkraft keinen Einfluss
darauf hat, können wir mit guter Näherng von Inertialsystemen sprechen.
ì *DOLOHL7UDQVIRUPDWLRQ
¾»
¾»
Bewegen sich zwei Inertialsysteme 1 und 2 mit den konstanten Geschwindigkeiten Y 1 und Y 2 , so
besitzen sie die Relativgeschwindigkeit
Y» = Y»1 - Y»2 .
[10]
Mechanik 2.nb
Koordinaten, Geschwindigkeiten und Beschleunigen lassen sich nach folgenden Formeln umrechnen:
U1 = »U2 - Y» W
[11]
Y»1 = Y»2 - Y»
[12]
D1 = ¾D»2
[13]
»
¾»
Dabei ist vorausgesetzt, dass die Zeit in beiden System gleich verläuft.
Da es sich bei der Beschleunigung um die ]HLWOLFKH bQGHUXQJ der Geschwindigkeit handelt, müssen
auftretende Beschleunigungen in beiden Systemen gleich sein.
ì /RUHQW]7UDQVIRUPDWLRQ
Die Newtonschen Axiome und die Galilei Transformation gelten nur für Geschwindigkeiten, die sehr viel
kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind.
Experimente, die sich mit der Messung der Lichtgeschwindigkeit befassen, haben gezigt, dass die
Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Bewegung der Quelle oder des Empfängers immer den
gleichen Wert aufweist.
Dies widerspricht der Aussage der Galilei Transformation!
Albert Einstein zog aus diesen Experimenten zwei Wichtige Schlüsse, die unseren Alltagsbeobachtngen
zunächst zu widersprechen scheinen:
1.:
Die Zeit verläuft in zueinander bewegten Systemen
unterschiedlich.
2.:
Die Raumkoordinaten (Abstände) verändern sich
durch die Bewegung.
Raum und Zeit hängen also von der Geschwindigkeit eines Systems ab.
Ein Beobachter innerhalb eines Systems spürt nichts von diesen Veränderungen.
Man registriert sie, wenn man vom eigenen System aus ein (mit möglichst großer Geschwindigkeit)
bewegtes System beobachtet.
Die Transformation, die Raum- und Zeitkoordinaten von einem System in das andere umrechnet,
bezeichnet man als /RUHQW]7UDQVIRUPDWLRQ.
Sie ist Gegenstand der Relativitätstheorie, auf die wir hier nicht weiter eingehen.
Die Relativitätstheorie hat großen Einfluss auf die Erkenntnisse der Astrophysik und Astronomie, da erst
durch sie viele vorher ungeklärte Beobachtungen erklärt werden konnten.