Geometrie als Übungsfeld für das Beweisen
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Didaktik der Geometrie und Stochastik WS 2010/11 Bürker, 11. 11. 10 Geometrie als Übungsfeld für das Beweisen 3.2.1 Die Kongruenzsätze können aus der folgenden Aufgabe „gewonnen“ werden: Aufgabe Gegeben sei ein beliebiges Dreieck. Übertrage das Dreieck auf verschiedene Arten mit Zirkel und Lineal so, dass ein kongruentes Dreieck entsteht. Methodisch kann diese Aufgabe z. B. als Hausaufgabe gestellt werden. In der folgenden Unterrichtsstunde können aus der Besprechung der Ergebnisse die 4 Kongruenzsätze entwickelt werden (nach Amann, SSDL Heidelberg). Die 4 Kongruenzsätze lauten: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie entweder (1) in 3 Seiten (sss) oder (2) in 2 Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws) oder (3) in 1 Seite und zwei gleichliegenden Winkeln (wsw) oder (4) in 2 Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite (Ssw) übereinstimmen. Dabei ist der KGS (4) Ssw didaktisch am schwierigsten. Hier kommt es darauf an, auch den Fall zu erwähnen, dass es zwei nicht kongruente Dreiecke geben kann, wenn sie in 2 Seiten und dem Gegenwinkel der kleineren Seite übereinstimmen. Die Kongruenz hängt eng mit der Konstruierbarkeit eines Dreiecks aus gegebenen Stücken bzw. mit der Eindeutigkeit der Konstruktion zusammen: Wenn z. B. ein Dreieck aus drei gegebenen Seiten konstruiert werden kann, dann ist es (bis auf Kongruenz) eindeutig, d. h. jedes Dreieck, das aus drei Seiten konstruiert werden kann, ist eindeutig bestimmt. Entsprechendes gilt für Dreiecke, die aus anderen Stücken konstruiert werden, mit Ausnahme von zwei Seiten und einem Winkel: Ist der Gegenwinkel der kleineren Seite gegeben, dann kann es kein Lösungsdreieck, ein Lösungsdreieck oder zwei Lösungsdreiecke geben. 3.2.2 Die Sonderlinien im Dreieck Die jeweils 4 gleichartigen Sonderlinien im Dreieck (Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden, Höhen, Seitenhalbierenden) schneiden sich in jeweils einem Punkt. Zum Beweisen : Umkreismittelpunkt: Inkreismittelpunkt: Höhenschnittpunkt: Beweisidee: Die Höhen im Dreieck ABC sind die Mittelsenkrechten im „Umdreieck“, das aus den Parallelen durch die Eckpunkte A, B, C zu den jeweiligen Gegenseiten besteht. Schwerpunkt: Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Beweisidee: Je zwei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, der beide Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt. Dieser Punkt ist für ein Paar von Seitenhalbierenden eindeutig bestimmt, somit schneiden sich die 3 Seitenhalbierenden in einem Punkt. 3.2.3 Der Fermat-Punkt eines Dreiecks: Setzt man einem beliebigen Dreieck ABC auf jeder Seite ein gleichseitiges Dreieck auf, so gilt: a) Die „Eckentransversalen“ AA', BB', CC' sind gleich lang und schneiden sich in einem Punkt, dem so genannten Fermat-Punkt. b) Der Fermat-Punkt F ist der Punkt im Inneren des Dreiecks ABC, für den die Summe der Entfernungen von den drei Ecken A, B, C minimal ist unter allen Punkten P im Inneren dieses Dreiecks. Beweisidee: Das Dreieck AA'C geht bei Drehung um den Punkt C um 60° in das Dreieck BB'C über. Daraus folgt: AA' = BB' und die Transversalen AA' und BB' schneiden sich unter einem Winkel von 120°. Entsprechendes gilt für die Transversalen BB' und CC' bzw. AA' und CC'. Die Minimalitätseigenschaft des Fermat-Punktes folgt aus der Überlegung: Ist G ein beliebiger Punkt im Innern des Dreiecks, so wird das Dreieck AGC um A um 60° gedreht. Das Bilddreieck sei AC*G*. Die Summe der Entfernungen von G zu den drei Eckpunkten A, B, C wird durch den Streckenzug BGG*C* dargestellt. Dieser Streckenzug hat minimale Länge, wenn BC* auf einer Geraden liegt. Auf diese Weise ergibt sich der Fermat-Punkt als „Minimalpunkt“ für die Summe der Entfernungen von den Eckpunkten. Siehe auch http://www.mevis-research.de/~albers/Veranstaltungen/GeoPeitg08/Material/HAEx_Fermatpunkt.pdf 3.2.4 Aufgabe zum Beweisen Behauptung: Alle Dreiecke sind gleichschenklig. Wo liegt der Fehler ? Beweisidee: P ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten m und der Winkelhalbierenden wγ . Die kongruenten Dreieckspaare PEC und PDC sowie PDA und PBE führen auf AD + DC = BE + EC (?!)
