Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie

Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
September 2007, Zahlentheorie 1
a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz einschließlich der
Definitionen der Legendre- und Jacobi-Symbole.
b) Für a ∈ Z \ {0} definieren wir
χa : N+ → {0, 1, −1}
durch
χa (n) =
(
a
n
0
falls ggT(n, 2a) = 1
sonst.
Zeigen Sie, dass für n, n′ mit n ≡ n′ (mod 4|a|) gilt
χa (n) = χa (n′ ) .
c) Finden Sie die kleinste Zahl Na , so dass
χa (n) = χa (n′ )
für n ≡ n′
(mod Na )
in den Fällen a = −1, 3, 2, −2.
September 2007, Zahlentheorie 2
Sei m ≥ 1 eine natürliche Zahl. Sei ψ(m) die Maximalordnung eines Elements
von (Z/mZ)× = R× (m).
a) Zeigen Sie, dass gilt: ψ(m) | ϕ(m) (m ≥ 1).
b) Sei p eine Primzahl, k ≥ 1. Bestimmen Sie ψ(pk ).
c) Für m, n > 2; m, n teilerfremd zeigen Sie, dass gilt
ψ(mn) < ψ(m)ψ(n) .
Kommentar vom Hiwi: Mit Maximalordnung“ ist die maximale Ordnung,
”
also das Maximum über die jeweils auftretenden Ordnungen gemeint.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
März 2007, Zahlentheorie 1
Sei p ∈ Z eine Primzahl, Z/pZ der Körper der Reste modulo p; a, b, c ∈ Z/pZ,
dabei a 6= 0.
a) Wie viele Elemente hat das Bild der quadratischen Funktion
ϕ : Z/pZ → Z/pZ ,
x 7→ ϕ(x) = ax2 + bx + c ?
b) Hat die quadratische Gleichung
ax2 + bx + c = 1
für den Fall p = 61, a = 1, b = 2, c = 38 Lösungen?
März 2007, Zahlentheorie 2
Seien m, n ∈ N natürliche Zahlen, d = ggT(m, n) der größte gemeinsame
Teiler.
a) Zu zeigen: Jede genügend große natürliche Zahl der Form r · d, r ∈ N,
kann in der Form
rd = α · m + β · n
mit α, β ∈ N ∪ {0} geschrieben werden.
b) Finden Sie eine Lösung (α, β) wie oben im Fall
m = 29, n = 31, r = 901, d = 1 .
September 2006, Zahlentheorie 1 (und Kryptographie 1)
a) Formulieren und begründen Sie den euklidischen Algorithmus.
b) Lösen Sie
95x + 432y = 1
in ganzen Zahlen x, y.
c) Finden Sie eine Lösung von
35x + 55y + 77z = 3 ,
x, y, z ganze Zahlen 6= 0.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
September 2006, Zahlentheorie 2
a) Zu zeigen: Jede sechsstellige Zahl der Form abcabc ist durch 7, 11 und
auch durch 13 teilbar.
b) Zu zeigen, dass 11 . . . 1 (k Ziffern), k ≥ 2, keine Quadratzahl ist.
(Hinweis: Betrachten Sie Reste mod 2l , l geeignet)
März 2006, Zahlentheorie 1
a) Definieren Sie den Begriff multiplikative Funktion“. Zeigen Sie, dass
”
die Eulerfunktion ϕ und die Funktion σ (für n ∈ N sei σ(n) die Summe
der Teiler von n) multiplikative Funktionen sind.
b) Zeigen Sie, dass für eine Primzahl p ∈ N und k ∈ N
σ(pk )ϕ(pk ) = p2k (1 −
1
pk+1
)
gilt.
c) Folgern Sie die Existenz einer positiven Zahl C ∈ R so, dass für alle
n∈N
n2 C < ϕ(n)σ(n) < n2
gilt.
Kommentar vom Hiwi: In c) sei n > 1 oder ersetze in diesem Fall das zweite
<-Zeichen durch ein ≤-Zeichen.
März 2006, Zahlentheorie 2
Zeigen Sie:
a) Ist das Produkt mn zweier teilerfremder natürlicher Zahlen n, m eine
Quadratzahl, dann sind auch n und m Quadratzahlen.
b) Zu drei paarweise teilerfremden natürlichen Zahlen a, b, c mit geradem
b, welche die Gleichung
a2 + b2 = c2
erfüllen, gibt es natürliche Zahlen u, v mit
a = u2 − v 2 , b = 2uv,
3
c = u2 + v 2 .
Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
September 2005, Zahlentheorie 1
a) Sei p eine ungerade Primzahl und a eine ganze, nicht durch p teilbare
Zahl. Zeigen Sie, dass die Kongruenz
x2 ≡ a
(mod p2 )
genau dann lösbar ist, wenn a quadratischer Rest modulo p ist, und
dann genau zwei Lösungen modulo p2 besitzt.
b) Entscheiden Sie, ob die Kongruenzen
x2 ≡ 8 (mod 289)
bzw.
x4 ≡ 8 (mod 289)
lösbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Lösungen.
September 2005, Zahlentheorie 2
Zeigen Sie:
a) 13 + 23 + . . . + n3 =
n2 (n+1)2
4
für n ∈ N.
b) Ist p eine ungerade Primzahl und schreibt man
1
1
1
+ 3 + ...+
3
1
2
(p − 1)3
als gekürzten Bruch, so ist der Zähler durch p teilbar.
März 2005, Zahlentheorie 1 (und Algebra-Zahlentheorie 2)
a) Sei
R = {x ∈ Q : es gibt m, n > 0 mit 2m 3n x ∈ Z} .
Zeigen Sie, dass R ein Ring ist.
b) Zeigen Sie, dass R ein Hauptidealring ist. Beschreiben Sie die Ideale.
c) Zeigen Sie, dass die Einheitengruppe R× von R zu Z/2Z × Z × Z isomorph ist.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
März 2005, Zahlentheorie 2
Zu zeigen für die Eulersche ϕ-Funktion
a) Sind d, n ∈ N, d teilt n =⇒ ϕ(d) teilt ϕ(n).
b) Für n ≥ 2 gilt:
X
d =
d∈N, d≤n, (d, n)=1
n
ϕ(n) .
2
c) Sei ϕ(n) ≡ 2 mod 4. Dann folgt: n = pa oder n = 2pa mit p Primzahl.
September 2004, Zahlentheorie 1
Seien a, b, c ganze Zahlen, die der Gleichung
a2 + b2 = c2
genügen, so ist wenigstens eine der drei Zahlen durch 3 und eine durch 5
teilbar.
September 2004, Zahlentheorie 2
a) Seien m, n ≥ 1 natürliche Zahlen. Sei S = {mk + nℓ | k, ℓ ∈ Z}; sei
d = Min{s ∈ S | s > 0}. Zeigen Sie, dass d der größte gemeinsame
Teiler von m und n ist.
b) Seien m und n wie oben. Sei
S ∗ = {mk − nℓ | k, ℓ ≥ 1, mk > nℓ} .
Zeigen Sie, dass Min S ∗ wieder der größte gemeinsame Teiler von m
und n ist.
c) Sei m = 10100 + 1, n = 1010 + 1. Zeigen Sie, dass m und n teilerfremd
sind. Zeigen Sie auch, dass weder m noch n eine Primzahl ist. Zeigen
Sie, dass der Rest, wenn m durch n geteilt wird, gleich 2 ist.
März 2004, Zahlentheorie 1
a) Berichten Sie über die Theorie der Primitivwurzeln.
b) Wie viele Primitivwurzeln (mod 27) gibt es? Wie viele (mod 26)?
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
c) Schreiben Sie alle Restklassen (mod 27) auf, die teilerfremd zu 27 sind.
Auf diesem Weg finden Sie alle Lösungen der Kongruenz
x6 + y 6 = 2 (mod 27) .
(Geben Sie die möglichen Werte von X = x6 und Y = y 6 an; für die
verschiedenen X, Y geben Sie die entsprechenden x, y an.)
März 2004, Zahlentheorie 2
a) Für eine ungerade Primzahl p und a teilerfremd zu p zeigen Sie, dass,
wenn
x2 ≡ a (mod p)
lösbar ist, dann ist auch
x2 ≡ a
(mod pk )
für alle k ≥ 1 ebenfalls lösbar.
b) Ist die Aussage von a) richtig, wenn die Bedingung a teilerfremd zu
”
p“ weggelassen wird? Ist die Aussage richtig für p gerade? Begründen
Sie ihre Antworten.
c) Zeigen Sie, dass die Kongruenz
(x2 − 13)(x2 − 17)(x2 − 221) ≡ 0
(mod m)
für alle m lösbar ist. Gibt es ganzzahlige Lösungen von
(x2 − 13)(x2 − 17)(x2 − 221) = 0 ?
September 2003, Aufgabe 1
a) Formulieren Sie den kleinen Fermatschen Satz und den Wilsonschen
Satz.
b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass
1 · 2 · · · (p − 1) ≡ (−1)
≡ (−1)
p−1
2
p−1
2
p−1 p−1
·
···2 · 1
·1·2···
2
2
2
p−1
!
(mod p) .
2
! ≡ ±1 (mod p).
c) Ist p eine Primzahl mit p ≡ 3 (mod 4), so gilt p−1
2
p−1
Berechnen Sie die Werte von 2 ! (mod p) für die ersten 6 Primzahlen
dieser Art.
Kommentar vom Hiwi: In b) sei p 6= 2.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
September 2003, Aufgabe 2
a) Definieren Sie die Eulersche ϕ-Funktion.
b) Beweisen Sie die Multiplikativität dieser Funktion.
c) Für welche natürlichen n gilt ϕ(2n) = ϕ(3n)?
September 2003, Aufgabe 3
Seien p 6= 2 und q =
p−1
2
Primzahlen.
a) Welche Zahlen kommen als Ordnungen in der primen Restklassengruppe modulo p für a, p ∤ a, in Frage?
b) Zeigen Sie im Fall p ≡ 3 (mod 4): ist 2 keine Primitivwurzel modulo
p, so ist −2 eine Primitivwurzel modulo p.
c) Beweisen Sie im Fall p ≡ 3 (mod 8), dass 2 eine Primitivwurzel modulo
p ist.
März 2003, Aufgabe 1
a) Welche ganzen Zahlen n lassen sich darstellen in der Form
n = x2 − y 2
mit x, y ∈ Z ?
b) Zeigen Sie, dass jede ganze Zahl n eine Darstellung
n = x2 + y 2 − z 2
mit x, y, z ∈ Z hat.
März 2003, Aufgabe 2
Für n ∈ N sei σ(n) die Summe aller positiven Teiler von n. Zeigen Sie
a) σ(n) ist multiplikativ,
b) σ(pk ) =
pk+1 −1
p−1
für p prim, k ∈ N,
c) σ(n) ist genau dann ungerade, wenn n oder 2n eine Quadratzahl ist.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
März 2003, Aufgabe 3
a) Formulieren Sie das Quadratische Reziprozitätsgesetz.
Für eine von 2
und 5 verschiedene Primzahl p folgern Sie, dass 5p = 1 genau dann
gilt, wenn p ≡ 1 (mod 5) oder p ≡ 4 (mod 5).
b) Es sei Fn , n ≥ 0 die (Fibonacci-)Folge, die durch F0 = 1, F1 = 1 und
Fn+2 = Fn+1 + Fn für n ≥ 0 definiert wird. Es sei p eine Primzahl und
p ≡ 1 (mod 5). Zeigen Sie, dass es a, a′ (mod p) und c (mod p) gibt
mit Fn ≡ c(an+1 − a′n+1 ) (mod p). (Die Restklasse von c wird durch
c(a − a′ ) ≡ 1 (mod p) bestimmt.)
September 2002, Aufgabe 3
Es sei f (x) = 2015 x2 + 31x + 94.
a) Hat f (x) ≡ 0 (mod 7) eine Lösung?
b) Hat f (x) ≡ 0 (mod 31) eine Lösung?
c) Hat f (x) = 0 eine ganzzahlige Lösung?
September 2002, Aufgabe 4
Seien a, m, n natürliche Zahlen, a > 1. Man zeige:
a) Ist d ein gemeinsamer Teiler von m, n, so ist ad − 1 ein gemeinsamer
Teiler von am − 1 und an − 1.
b) Ist m > n und r der Rest von m bei Division durch n, so ist ein
gemeinsamer Teiler von am − 1 und an − 1 auch Teiler von ar − 1.
c) Es gilt
ggT(am − 1, an − 1) = aggT(m,n) − 1
September 2002, Aufgabe 5
a) Definieren Sie die Möbius-Funktion µ(n).
b) Folgern Sie aus dieser Definition, dass
(
X
1 für n = 1
µ(d) =
0 für n > 1
d|n
gilt.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
c) Sei
Fn (x) =
X
µ(d)xd
d|n
und n = pla1 · . . . · plkk die Primfaktorzerlegung von n. Zeigen Sie, dass
sich Fn (x) durch die Rekursion
f1 (x) := x − xp1
fj (x) := fj−1 (x) − fj−1 (xpj ) , (1 < j ≤ k)
zu
Fn (x) = fk (x)
berechnet.
Frühjahr 2002, Aufgabe 3
a) Zeigen Sie, dass
N!
K!(N −K)!
b) Zeigen Sie, dass
(2K−2)!
K!(K−1)!
schließen Sie daraus, dass
:=
N
K
ganz ist (0 ≤ K ≤ N).
· (2K − 1) und
(2K−2)!
K!(K−1)!
(2K−2)!
K!(K−1)!
· K ganz sind, und
für K ≥ 1 ebenfalls ganz ist.
1
c) Zeigen Sie, dass die Taylorentwicklung von (1 − x) 2 um x = 0 lautet:
1
1
5 4
1
(2K − 2)! k
1
x − . . . − 2K−1 ·
x − ...
1 − x − x2 − x3 −
2
8
16
128
2
K!(K − 1)!
Folgern Sie, dass die Nenner der Taylorkoeffizienten sämtlich Potenzen
von 2 sind.
Frühjahr 2002, Aufgabe 4
Sei p eine Primzahl.
a) Erklären Sie das Legendre-Symbol pr und zeigen Sie
r
s
rs
=
p p
p
für ganze Zahlen r, s, die 6= 0 und teilerfremd zu p sind.
b) Zeigen Sie, dass −1 quadratischer Rest mod p für jede Primzahl p ≡ 1
mod 4 ist.
c) Ermitteln Sie, ob 646 ein quadratischer Rest mod 419 ist.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
September 2001, Aufgabe 3
a) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n, für die das Produkt ihrer
Teiler n2 ergibt:
Y
d = n2 .
d|n
b) Sei p eine Primzahl. Verallgemeinern Sie Ihr Resultat in a) auf den Fall
Y
d = np .
d|n
September 2001, Aufgabe 4
Sei p > 2 eine Primzahl. Beweisen Sie:
a) Die Quadrate x2 mod p ohne die Nullklasse bilden bezüglich der Multiplikation eine Untergruppe der Ordnung p−1
und vom Index 2 in der
2
multiplikativen Gruppe von Z/pZ.
b) Die Quadrate x2 mod p (einschließlich der Nullklasse) bilden keine Untergruppe in der additiven Gruppe von Z/pZ.
c) Jede Restklasse mod p ist Summe von zwei Quadraten, d. h. zu jedem
ganzen a gibt es ganze Zahlen x und y mit
a ≡ x2 + y 2
mod p .
d) Stellen Sie jede Restklasse mod 7 als Summe von zwei Quadraten dar.
März 2001, Aufgabe 4
a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz (einschl. Ergänzungssätze) für das Jacobi-Symbol. Erklären Sie alle nötigen Begriffe.
b) Seien a, b ∈ Z, a, b ungerade, b 6= ±1, |a| > |b|, ggT(a, b) = 1. Zeigen
Sie, dass es ein k ∈ Z gibt, so dass folgende Aussagen gelten
(i) |a − kb| < |b|
(ii) a − kb ≡ 1 (mod 2).
c) Sei ab definiert für a, b ∈ Z, a, b ungerade mit ggT(a, b) = 1. Wir
setzen voraus, dass Folgendes gilt:
(1) ab = ab
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
a′ falls a ≡ a′ (mod b).
Zeigen Sie: ab = 11 .
Kommentar vom Hiwi: In c) soll ab nicht die Gaußklammer darstellen,
sondern ein Symbol, das abhängig von seinen zwei Einträgen definiert ist –
wie genau, ist unbekannt und egal, bekannt sind nur die beiden Eigenschaften
(1) und (2).
(2)
a
b
=
b
März 2001, Aufgabe 5
Wie viele Nullen treten am Ende der Dezimal- bzw. Dualdarstellung von 100!
auf? Welches sind die letzten beiden Ziffern von 3523 in der Dezimaldarstellung?
März 2001, Aufgabe 6
Seien a, b teilerfremde ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass jede Strecke der Länge
√
a2 + b2 auf der Geraden
ax + by = 1
einen Punkt (x, y) mit ganzzahligen Koordinaten enthält.
September 2000, Aufgabe 7
Seien a, b, c und m ganze Zahlen.
Geben Sie mit Beweis Kriterien dafür an, dass folgende Kongruenzen lösbar
sind:
a) ax ≡ b mod m
b) ax + by ≡ c mod m
c) Entscheiden Sie, ob das Kongruenzsystem
(
3x + 5y ≡ 1 mod 15
2x + 7y ≡ 3 mod 14
eine Lösung in ganzen Zahlen x, y hat und berechnen Sie gegebenenfalls
eine Lösung.
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– Zahlentheorie –
September 2000, Aufgabe 8
Sei n ∈ N Produkt paarweise verschiedener, ungerader Primzahlen und sei
a ∈ Z mit (a, n) = 1.
a) Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) Die Kongruenz x2 ≡ a mod n ist lösbar.
(ii) Für alle Primteiler p von n gilt ap = 1.
b) Entscheiden Sie, ob x2 ≡ a mod 105 für a = 19, 52, 79 lösbar ist und
konstruieren Sie gegebenenfalls eine Lösung.
März 2000, Aufgabe 7
a) Bestimmen Sie die quadratischen Reste modulo 3, 5 und 8.
b) Erfüllen die ganzen Zahlen a, b, c die Gleichung
a2 + b2 = c2 ,
(1)
so zeige man, dass 3, 4 und 5 das Produkt abc teilen.
c) Man folgere, dass nicht alle drei Zahlen a, b, c, die (1) genügen, Primzahlen sein können.
März 2000, Aufgabe 8
Beweisen Sie unter Benutzung des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie folgende Irrationalitätsaussagen für reelle Zahlen:
√
a) Ist m ∈ N keine k-te Potenz, so ist k m irrational.
√
√
b) Sind m und n quadratfreie natürliche Zahlen 6= 1, so ist m + n
irrational.
c) Die Menge {log p | p Primzahl} ist linear unabhängig über Q.
September 1999, Nachschreibeklausur, Aufgabe 5
Man berechne den größten gemeinsamen Teiler von 259 und 511. Wie viele
Lösungen modulo 511 hat die Kongruenz
259x ≡ 385 (mod 511) ?
Man bestimme alle diese Lösungen.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
September 1999, Nachschreibeklausur, Aufgabe 6
Sei p eine Primzahl. Man zeige
2
p
für n = 1, 2, . . . , p2 − 1
p|
n
und folgere
2
2
(a + 1)p ≡ ap + 1 (mod p)
für ganzzahliges a.
September 1999, Aufgabe 7
Sei n eine natürliche Zahl und p eine Primzahl, die n nicht teilt. Beweisen
Sie:
a) Ist p = x2 + ny 2 mit x, y ∈ N lösbar, so ist −n
= 1.
p
b) Ist p = x2 + 5y 2, x, y ∈ N, so ist p ≡ 1, 3, 7 oder 9 mod 20.
c) Keine der Zahlen m ≡ 3 oder 7 mod 20 lässt sich in der Form m =
x2 + 5y 2 , x, y ∈ N darstellen.
Kommentar vom Hiwi: In b) sei p 6= 5.
September 1999, Aufgabe 8
a) Geben Sie eine Definition der Möbius-Funktion µ an. Beweisen Sie aus
Ihrer Definition, dass gilt:
(
X
1 für n = 1
µ(d) =
0 für n > 1
d|n
b) Sei c ∈ N und sei f eine Funktion auf {0, 1, . . . , c − 1}. Zeigen Sie, dass
gilt:
X
X
X
f (x) =
µ(d)
f (x)
0≤x≤c
ggT(x,c)=1
d|c
0≤x≤c
x≡0 mod d
c) Beweisen Sie, dass für die Eulersche ϕ-Funktion gilt:
X
n
ϕ(n) =
µ(d)
d
d|n
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
März 1999, Aufgabe 7
a, b, c seien ganze Zahlen. a und b seien 6= 0.
a) Formulieren Sie ein Kriterium für die Lösbarkeit der Gleichung ax +
by = c in ganzen Zahlen x und y.
b) Beweisen Sie: Besitzt ax + by = c eine Lösung x0 , y0 ∈ Z, so besitzt die
Gleichung unendlich viele Lösungen x, y ∈ Z.
c) Beweisen Sie: 123x + 57y = 531 ist in ganzen Zahlen lösbar. Geben Sie
(mit Begründung) alle Lösungen x, y ∈ Z an.
d) Besitzt die Gleichung aus c) auch Lösungen in positiven ganzen Zahlen,
also mit x, y ∈ N ?
März 1999, Aufgabe 8
a) Definieren Sie das Jacobi-Symbol und formulieren Sie das Reziprozitätsgesetz nebst Ergänzungssätzen für das Jacobi-Symbol.
b) Sei b eine ungerade natürliche Zahl und a eine zu b prime ganze Zahl.
Beweisen Sie: Ist ab = −1, so ist a kein quadratischer Rest mod b.
a
für a = 111, 113, 114.
c) Berechnen Sie die Jacobi-Symbole 455
d) Entscheiden Sie, welche der a aus c) quadratische Reste mod 455 sind.
Ältere Aufgaben
Es waren in den 4 Stunden jeweils nur 2 Aufgaben zu bearbeiten, die einzelnen Aufgaben waren umfangreicher.
September 1998, Aufgabe 1
Sei p eine ungerade Primzahl.
a) Beweise: Es gibt eine natürliche Zahl a mit
a
p
= −1.
Im folgenden sei q die kleinste natürliche Zahl mit pq = −1
b) Berechne q für p = 37, 47 und 71.
Beweise die folgenden Eigenschaften von q:
c) q ist eine Primzahl.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
d) Ist k eine natürliche Zahl mit (k − 1)q < p < kq, so ist kq
= 1.
p
√
e) Für k = 1, . . . , q − 1 gilt: kq
= −1. Folgere: q < p + 1.
p
März 1996, Aufgabe 1
a) Warum ist eine Zahl n ≡ −1 mod 4 nicht als Summe zweier Quadrate
darstellbar?
b) Warum ist eine Zahl n ≡ −1 mod 8 nicht als Summe von 3 Quadraten
darstellbar?
c) n besitze eine Darstellung der Form
n = a2 + b2
mit ggT(a, b) = 1 .
Dann besitzt n keinen Primteiler p ≡ 3 mod 4.
d) Stelle die Zahlen 99, 159 und 202 als Summe von möglichst wenigen
Quadraten dar. Begründen Sie, warum Sie mindestens so viele Quadrate benötigen.
Frühjahr 1995, Aufgabe 2
a) Man berechne die Jacobi-Symbole
b) Sind die Kongruenzen
46
105
und
58
105
x2 ≡ 46 bzw. 58 (mod 105)
lösbar?
c) Besitzt die Primzahl p eine Darstellung
p = 2x2 + 3y 2
mit x, y ∈ N, so liegt p in einer der Restklassen 5 oder 11 (mod 24).
September 1993, Aufgabe 3
Zu der natürlichen Zahl m existiere eine Primitivwurzel g mod m.
a) Für welche n ∈ N ist g n wieder Primitivwurzel mod m?
b) Wieviel inkongruente Primitivwurzeln mod m gibt es?
c) Man zeige, daß das Produkt aller Primitivwurzeln aus einem Restsystem mod m kongruent 1 mod m ist, falls m 6= 3, 4.
Kommentar vom Hiwi: Ergänze in c) noch m 6= 6.
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Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik
– Zahlentheorie –
März 1992, Aufgabe 2
a) Man formuliere und beweise den Kleinen Fermatschen Satz.
b) Sei p eine von 2 und 5 verschiedene Primzahl. Man zeige, daß unendlich
viele Zahlen 9, 99, 999, . . . von p geteilt werden, ebenso unendlich viele
der Zahlen 11, 111, 1111, . . .
c) Welches sind die letzten beiden Ziffern von 27322 im Zehnersystem?
März 1991, Aufgabe 2
Sei f (x) = xn +an−1 xn−1 +. . .+a0 mit ai ∈ Z und sei pk eine Primzahlpotenz,
k ≥ 1.
a) Man beweise: Ist w ∈ Z eine Lösung von f (x) ≡ 0 mod pk und
f ′ (w) 6≡ 0 mod p, so ist
v≡w−
f (w)
f ′ (w)
mod pk+1
eine Lösung von f (x) ≡ 0 mod pk+1 .
b) Man bestimme alle Lösungen von x3 + x + 1 ≡ 0 mod 36 .
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