1. Klausur - lehrer.uni
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2011-10-21 K2 - Klausur Nr. 1 Lage von Geraden und Ebenen zueinander Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche VP Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift brin/2 gen Ihnen bis zu 2 Punkte. 1. Gegeben sind die Ebenen :3 3 6 und bzw. mit :2 3 0 Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. /3 Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat diese Gerade? 2. Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen Die Ebene ist parallel zu und und . und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene bestimmen /3 kann. bitte wenden… 2011-10-21 VP 3. Die Gerade verläuft parallel zur x1-Achse durch den Punkt P(0/2/0). Geben Sie eine Gleichung der Geraden an. Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit A(6/4/0) und B(1/4/0) einen rechten Winkel hat. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden. /4 2011-10-21 K2 - Klausur Nr. 1 Lage von Geraden und Ebenen zueinander Wahlteil Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: VP 4. Die Skizze zeigt das Dach eines Gebäudes. In dem gezeichneten Koordinatensystem haben die Punkte A, B, …, K folgende Koordinaten: A(24/0/0), B(24/9/0), C(0/9/0), D(0/0/0), E(24/4,5/6), F(0/4,5/6), G(9/9/0), H(9/15/0), I(0/15/0) und K(4,5/15/4). Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter. a) Berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E1, in der die Punkte B, C, F und E liegen. Der zur x2-Achse parallel verlaufende Dachfirst des kleinen Dachteils trifft im Punkt L auf die Fläche BCFE des Daches. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L. Berechnen Sie den Neigungswinkel der in der Ebene E1 liegenden Dachfläche. (Teilergebnis: E1: 4 3 36 und L(4,5/6/4) ) /7 b) Die in der Ebene BCFE liegende Dachfläche soll neu gedeckt werden. Berechnen Sie den Inhalt der Dachfläche. Sonnenstrahlen fallen entlang der Richtung des Vektors 19 12 ein. 8 Zeigen Sie, dass der Schatten des Punktes K auf der Strecke BG liegt. /7 Wie viel Prozent der neu gedeckten Dachfläche liegen dann im Schatten? c) Im Dachraum soll ein zylinderförmiger Wassertank installiert werden, dessen Grundkreis mit Radius 1,00m in der x1x2-Ebene liegt und die Kante AB berührt. Wie hoch kann der Zylinder höchstens werden, wenn er von der Dachfläche /4 mindestens 1,30m Abstand haben soll? Viel Erfolg! Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe http://www.hoeger.org Schule Notengebung http://www.hoeger.org/M11/ m12_1_1112_lage-geraden-ebenen.pdf Rückgabe am 28. Oktober 2011 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel: von 30 VP 2011-10-21 Erwartungshorizont Lage von Geraden und Ebenen zueinander Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche VP Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift brin/2 gen Ihnen bis zu 2 Punkte. 1. Gegeben sind die Ebenen :3 3 6 und mit :2 bzw. 3 0 Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. /3 Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat diese Gerade? 6. Eingesetzt in F erhält man Subtraktion der beiden Gleichungen liefert 3 12. Sei 3 dann erhält man 12. (1 VP) 6 12 0 Damit lautet eine Geradengleichung : 0 ∙ 3 , ∈ 1 . (1 VP) Die Gerade ist parallel zur x2x3-Ebene. (1 VP) 2. Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen Die Ebene ist parallel zu und und . und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Ebene bestimmen /3 kann. Man wählt zwei beliebige Punkte P und Q auf bzw. . (1 VP) Man bestimmt den Mittelpunkt M der Strecke PQ. Mit einem Normalenvektor der Ebenen und als Normalengleichung für die gesuchte Ebene : (1 VP) erhält man ∙ 0. (1 VP) bitte wenden… 2011-10-21 VP 3. Die Gerade verläuft parallel zur x1-Achse durch den Punkt P(0/2/0). Geben Sie eine Gleichung der Geraden an. Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit A(6/4/0) /4 und B(1/4/0) einen rechten Winkel hat : 0 2 0 1 0 , 0 ∈ (1 VP) Punkt C auf g: C(r/2/0) (1 VP) Mehrere Lösungsmöglichkeiten (eine genügt natürlich ): 1. Rechter Winkel bei A (oder B): Da AB parallel zu g verläuft muss die x1-Koordinate von C mit der von A (bzw. B) übereinstimmen, ∙ dann gilt 0 (bzw. ∙ 0). (1 VP) Der gesuchte Punkt C lautet daher C1(6/2/0) (bzw. C2(1/2/0)). (1 VP) 2. Rechter Winkel bei C: Wegen 7 ∙ 10 0 gilt 6 2 ∙ 0 1 2 0 0, also 0 also r = 2 oder r = 5 (1 VP) und damit C1(2/2/0) (bzw. C2(5/2/0)). (1 VP) 2011-10-21 Erwartungshorizont Wahlteil 4. Die Skizze zeigt das Dach eines Gebäudes. In dem gezeichneten Koordinatensystem haben die Punkte A, B, …, K folgende Koordinaten: A(24/0/0), B(24/9/0), C(0/9/0), D(0/0/0), E(24/4,5/6), F(0/4,5/6), G(9/9/0), H(9/15/0), I(0/15/0) und K(4,5/15/4). Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter. a) Berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E1, in der die Punkte B, C, F und E liegen. Setzt man allgemein an: : und setzt die Koordinaten dreier Punkte (z.B. B, C und F) ein, erhält man das folgende LGS: 24 mit der Lösung Ebenengleichung: 9 9 4,5 , :4 0. Also ist für z.B. und 3 6 36 eine mögliche 36. Der zur x2-Achse parallel verlaufende Dachfirst des kleinen Dachteils trifft im Punkt L auf die Fläche BCFE des Daches. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L. Aus den Koordinaten von K ergibt sich sofort L(4,5/x2/4). Einsetzen in E1 liefert 6. L hat also die Koordinaten L(4,5/6/4). Berechnen Sie den Neigungswinkel der in der Ebene E1 liegenden Dachfläche. Für den Schnittwinkel zwischen E1 und der x1x2-Ebene gilt: ∙ cos √ 0,6 daher 53,1° b) Die in der Ebene BCFE liegende Dachfläche soll neu gedeckt werden. Berechnen Sie den Inhalt der Dachfläche. 2011-10-21 Aus der Gleichschenkligkeit des Dreiecks GCL ergibt sich P(4,5/9/0). Für den Inhalt A1 der zu deckenden Dachfläche gilt: ∙ ∙ ∙ 24 ∙ 7,5 ∙9∙5 157,5 Der gesuchte Flächeninhalt beträgt also 157,5m². Sonnenstrahlen fallen entlang der Richtung des Vektors 19 12 ein. 8 Zeigen Sie, dass der Schatten des Punktes K auf der Strecke BG liegt. Der Lichtstrahl durch K liege auf der Gerade g mit: 4,5 15 4 : ∙ Die Bedingung 19 12 , ∈ 8 0 führt auf . 0,5 und damit auf K‘(14/9/0). Wie viel Prozent der neu gedeckten Dachfläche liegen dann im Schatten? Für den Anteil A2 der im Schatten liegt gilt: ∙ ′ ∙ ∙5∙5 12,5. Der Anteil der im Schatten liegenden Dachfläche ist , , 0,079 also etwa 8%. c) Im Dachraum soll ein zylinderförmiger Wassertank installiert werden, dessen Grundkreis mit Radius 1,00m in der x1x2-Ebene liegt und die Kante AB berührt. Wie hoch kann der Zylinder höchstens werden, wenn er von der Dachfläche mindestens 1,30m Abstand haben soll? 2011-10-21 Das Dreieck ABE ist gleichschenklig. Damit besitzt der Mittelpunkt M der Grundfläche des Zylinders die Koordinaten M(23/4,5/0). Der Punkt R(23/5,5/h) der Deckfläche des Zylinders liegt der Dachfläche, die in E1 liegt, am nächsten. Für den Mindestabstand a des Punktes R von E1 gilt: | ∙ , √ | 1,30. Hieraus ergibt sich Der Punkt für 2,50m hoch werden. oder 2,5. liegt nicht im Dachraum, also darf der Wassertank maximal
