Mu Ein Streifzug durch die Physik mit PAD - Mathematik

Mathematik 1 × anders
Band 2
Ein Streifzug durch die Physik
mit MuPAD
Alessandro Dell’Aere
Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen
Alessandro Dell´Aere
Ein Streifzug durch die Physik
mit MuPAD
Mathematik 1 x anders: Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen
SciFace Software
Alessandro Dell´Aere
Universität Paderborn
AutoMATH Institut
Warburger Straße 100
33095 Paderborn
[email protected]
Ein Streifzug durch die Physik mit MuPAD/ von Alessandro Dell´Aere. Mathematik 1 x anders: Materialien
und Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, Band 1. Paderborn: SciFace Software GmbH & Co. KG, 2001.
ISBN 3-933764-03-3.
ISBN 3-933764-03 -3 SciFace Software GmbH & Co. KG Paderborn
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Verwertung außerhalb der engen
Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung der Firma SciFace Software GmbH & Co. KG
unzulässig und strafbar.
© 2001 SciFace Software GmbH & Co. KG, Paderborn
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auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden
dürfen.
Printed in Germany
Druck und Binden: Druckerei Kleine, Paderborn
Einbandgestaltung: SciFace Software GmbH & Co. KG, Paderborn
Vorwort
Die Entwicklung von MuPAD begann 1990 an der Universität Paderborn
mit einem Forschungsprojekt zur Lösung spezieller Problemstellungen im
Bereich der Dynamischen Systeme. MuPAD wurde jedoch sehr bald zu
einem universellen Werkzeug zum symbolisch-algebraischen und exakten
sowie numerischen Rechnen ausgebaut. Darüber hinaus können mit
MuPAD zwei- und dreidimensionale mathematische Sachverhalte in hoher
Darstellungsqualität visualisiert und interaktiv manipuliert werden.
Die Entwicklung von MuPAD wurde bereits 1993 von der Forschungsgemeinschaft mit dem Deutsch-Österreichischen Hochschul-Software Preis
und 1994 mit dem European Academic Software Award honoriert.
Im Februar 1997 wurde als Teilausgliederung aus der Universität
Paderborn das Unternehmen SciFace Software GmbH & Co. KG gegründet,
um MuPAD in enger Kooperation mit der MuPAD-Forschungsgruppe
weiterzuentwickeln und den zunehmenden Anforderungen der Benutzer
u.a. hinsichtlich vielfältiger und mehrsprachiger Dokumentationen zum
System und modernen Benutzerschnittstellen gerecht zu werden.
Forschungsergebnisse aus der Universität werden von SciFace Software
aufgegriffen, zu marktreifen Entwicklungen ausgebaut und in das System
MuPAD
integriert.
Aufgrund
dieser
erfolgreichen
und
engen
Zusammenarbeit von SciFace Software mit der Universität Paderborn
wurde das Unternehmen 1998 mit dem Förderpreis des Technologie
Forum Paderborn e.V. für hervorragende Leistungen auf dem Gebiet der
Zusammenarbeit zwischen Wirtschaft und Wissenschaft ausgezeichnet.
MuPAD wird u.a. zur Forschung und Lehre an Universitäten eingesetzt
und findet verstärkt Einzug in den Mathematikunterricht der gymnasialen
Oberstufe. MuPAD trägt dabei ergänzend und unterstützend zur Lehre von
Mathematik bei.
Das starke Interesse und die vielfältigen Tätigkeiten von SciFace
Software in dem Bereich der Lehre von Mathematik zeigt sich auch an der
engen
Zusammenarbeit
mit
bedeutenden
deutschen
Verlagen
und
Herstellern von Unterrichtssoftware mit dem Ziel, über gemeinsame
Anstrengungen Lösungen zu schaffen, den Schülern und Studenten u.a.
einen
interaktiven,
explorativen
Zugang
zu
mathematischen
Sachverhalten und ein Web-unterstütztes Lernen zu ermöglichen.
Schreiben Sie uns, wenn Sie Fragen oder Anregungen zum Thema
„MuPAD in der Lehre“ haben. Nehmen Sie Teil an der Entwicklung einer
modernen Mathematiksoftware und senden Sie uns Ihre Vorschläge,
Kritiken und Fragen an [email protected].
Paderborn im Juni 2001
Dr. Andreas Sorgatz,
SciFace Software
Über dieses Buch
Dies ist der zweite Band aus einer Reihe, die Schüler, Lehrer und
andere Interessierte beim Einsatz des Computer-Algebra-Systems MuPAD
unterstützen soll. Während Band 1, „Eine praktische Einführung“ eine
allgemeine Anleitung zum Arbeiten mit MuPAD ist, demonstriert Band 2,
wie mit MuPAD konkrete Probleme aus einem der interessantesten
Anwendungsgebiete der Mathematik, der Physik, gelöst werden können.
Es bietet sich an, zunächst den ersten Band durchzuarbeiten, oder ihn
als Nachschlagewerk griffbereit zu halten. Ich habe den ersten Band als
Referenz hinzugezogen, so dass auch Neulinge mit Hilfe beider Bücher
einen problemlosen Einstieg in MuPAD finden. Für intensivere Studien
verweise ich auf Das MuPAD-Tutorium, Springer (ISBN 3-540-66145-X).
Alle Problemklassen, die ich in diesem Buch anspreche, sind als
Aufgaben formuliert, gefolgt von der dokumentierten Lösung. So ist es im
Unterricht möglich, eine Aufgabe erst auf herkömmliche Art zu lösen, um
anschließend den Umgang mit MuPAD anhand dieser Aufgabe zu üben,
ohne von mathematischen Verständnisfragen abgelenkt zu werden. Am
Ende
eines
jeden
Abschnitts
folgen
als
Anregung
weitere
Aufgabenstellungen (ohne Lösung).
Der
Schwierigkeitsgrad
vorausgesetzte
Verständnis
der
im
Aufgaben
Umgang
mit
und
damit
MuPAD
auch
steigt
in
das
der
Reihenfolge der Abschnitte. In den ersten Abschnitten benutzen wir die in
MuPAD eingebaute Mathematik, indem wir die diskutierten Probleme durch
Aufruf geeigneter MuPAD-Funktionen lösen. Im letzten Abschnitt, der sich
mit elektromagnetischen Schwingungen befasst, gehen wir einen Schritt
weiter. Dort nutzen wir die Möglichkeit, eigene Programme in MuPAD zu
erstellen. So hoffe ich, gewinnt der Leser das Interesse, noch tiefer in die
Trickkiste von MuPAD zu greifen.
Paderborn im Juni 2001
Alessandro Dell’Aere
Inhaltsverzeichnis
Vorwort .........................................................................................3
Über dieses Buch ............................................................................5
Inhaltsverzeichnis ...........................................................................7
1.
Mechanik ................................................................................9
1.1 Allgemeine Kinematik .............................................................9
1.2 Raumfahrt .......................................................................... 17
2.
Thermodynamik..................................................................... 22
2.1 Allgemeine kinetische Gastheorie ........................................... 22
2.2 Wärmekraftmaschinen.......................................................... 25
3.
Elektrizität ............................................................................ 27
3.1 Netzwerktheorie .................................................................. 27
3.2 Elektromagnetische Schwingungen......................................... 30
1 Mechanik
9
1. Mechanik
1.1 Allgemeine Kinematik
Aufgabe 1: Mit dem Fahrrad unterwegs
An der Straße von Aheim nach dem 18 km entfernten Ceheim liegt
3 km von Aheim entfernt Beheim. Ein Radfahrer (Bernd) startet in Beheim
und kommt nach 1,5 h in Ceheim an. Zur gleichen Zeit wie Bernd in
Beheim fährt ein anderer Radfahrer (Christian) in Ceheim los und erreicht
zur selben Ankunftszeit wie Bernd Aheim.
a.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Radfahrer.
b.
Zeichnen Sie das Zeit-Weg-Diagramm.
c.
Wann begegnen sich die Radfahrer?
Lösung:
Man benötigt lediglich das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen
Bewegung:
ch
s t = v ⋅ t.
Wir teilen MuPAD zunächst die Informationen mit,
die sich aus der Aufgabenstellung ergeben.
•
reset():
StreckeAB := 3:
StreckeChristian := 18:
StreckeBernd := StreckeChristian - StreckeAB:
Fahrzeit := 1.5:
Dabei haben wir zuerst den Befehl reset benutzt, um alle Variablen
zurückzusetzen. Das wollen wir künftig vor jeder neuen Aufgabe tun, um
falsche Ergebnisse aufgrund früherer Zuweisungen zu vermeiden. Nach
dem obigen Weg-Zeit-Gesetz ergeben sich für die Geschwindigkeiten der
beiden Radfahrer:
•
GeschwBernd := StreckeBernd/Fahrzeit;
GeschwChristian := StreckeChristian/Fahrzeit;
10.0
10
1.1 Allgemeine Kinematik
12.0
Um das gewünschte Diagramm zu zeichnen, definieren wir die Bewegungsgleichungen als MuPAD-Funktionen:
•
OrtBernd := t -> GeschwBernd*t + StreckeAB;
OrtChristian := t -> -GeschwChristian*t + StreckeChristian;
t → GeschwBernd ⋅ t + StreckeAB
t → −GeschwChristian ⋅ t + StreckeChristian
Wir zeichnen das Diagramm mit dem Befehl plotfunc2d, und zwar für
den Zeitraum t = 0 bis t = 1,5 h :
•
plotfunc2d(Title = “Weg-Zeit-Diagramm“, Labels = [“t“, “s“],
OrtBernd(t), OrtChristian(t), t = 0..Fahrzeit)
Weg-Zeit-Diagram
s
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5
0
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
t
Der Begegnungszeitpunkt ergibt sich durch Gleichsetzen der beiden
Funktionen und Auflösen nach t . Dieses Ergebnis setzen wir dann in eine
der Funktionen ein, um auch den Begegnungsort zu ermitteln:
•
Begegnungszeitpunkt:=solve(OrtBernd(t) = OrtChristian(t), t)


0.6818181818
1 Mechanik
•
11
OrtBernd(op(Begegnungszeitpunkt))
9.818181818
Es bietet sich an, den Begegnungszeitpunkt in Minuten anzugeben:
•
Begegnungszeitpunkt := Begegnungszeitpunkt*60


40.90909091
Die beiden Radfahrer begegnen sich also nach 41 min , und zwar 9,8 km
von Aheim entfernt.
Aufgabe 2: Der schiefe Wurf
Entwickeln Sie die Gleichung für die Wurfweite beim Schiefen Wurf für
den Fall, dass nur der Wurfwinkel und die Anfangsgeschwindigkeit bekannt
sind. Betrachten Sie dabei zunächst die einzelnen Komponenten in
horizontaler
und
berücksichtigt.
Bei
vertikaler
welchem
Richtung.
Wurfwinkel
Die
Luftreibung
erzielt
man
die
sei
nicht
maximale
Wurfweite?
Man beachte, dass dieser Wurfwinkel von der Wurfgeschwindigkeit
unabhängig ist.
Lösung:
Hier hat man für die horizontale Komponente die Bewegungsgleichung
ch
s ct h = v
sx t = v x ⋅ t und für die vertikale Komponente die Bewegungsgleichung
y
x
m
g
⋅ t − ⋅ t 2 . Hierbei ist g die Erdbeschleunigung, also g = 9,81 2 .
2
s
Wir wollen wieder als erstes die MuPAD-Sitzung mit dem Befehl reset
in ihren Anfangszustand zurücksetzen, bevor wir die ersten Zuweisungen
vornehmen:
•
reset():
g := 9.81:
Die Anfangsgeschwindigkeiten für die einzelnen Komponenten ergeben
sich wie folgt:
12
•
1.1 Allgemeine Kinematik
vx := Anfangsgeschwindigkeit*cos(Wurfwinkel);
vy := Anfangsgeschwindigkeit*sin(Wurfwinkel)


cos Wurfwinkel ⋅ Anfangsgeschwindigkeit


sin Wurfwinkel ⋅ Anfangsgeschwindigkeit
Das Wurfziel ist erreicht, wenn die vertikale Komponente des Ortes sy = 0
wird. Damit können wir die Wurfzeit berechnen:
•
sy := 0:
Wurfzeit := solve(sy = vy*t - g/2*t^2, t);




0, 0.2038735984 ⋅ sin Wurfwinkel ⋅ Anfangsgeschwindigkeit
Da sy = 0 auch im Moment des Abwurfs, also zur Zeit t = 0 gilt, erhalten
wir zwei Lösungen. Wir benötigen hier aber nur die von Null verschiedene
Lösung. Auf diese greifen wir mit Hilfe des sog. Index-Operators [ ] zu:
•
Wurfzeit := Wurfzeit[2];


0.2038735984 ⋅ sin Wurfwinkel ⋅ Anfangsgeschwindigkeit
Einsetzen in das Weg-Zeit-Gesetz für die horizontale Komponente liefert
das gesuchte Gesetz für die Wurfweite:
•
Wurfweite := solve(sx = vx*Wurfzeit, sx)

•



2
0.2038735984 ⋅ cos Wurfwinkel ⋅ sin Wurfwinkel ⋅ Anfangsgeschwindigkeit


Wurfweite := op(Wurfweite);




0.2038735984 ⋅ cos Wurfwinkel ⋅ sin Wurfwinkel ⋅ Anfangsgeschwindigkeit2
Wie aus der Analysis bekannt, ist für ein Maximum das Verschwinden
der Ableitung ein notwendiges Kriterium. Wir müssen also die Wurfweite
mit dem Befehl diff
nach dem Wurfwinkel differenzieren und das
Ergebnis davon gleich Null setzen, bevor wir mit dem Befehl solve nach
der gesuchten Größe auflösen.
1 Mechanik
13
Dabei würde MuPAD uns eine mathematisch vollständige Lösung
liefern, die aufgrund der Periodizität der Winkelfunktionen aus der
Vereinigung mehrerer Mengen besteht und deshalb sehr länglich und auf
den ersten Blick vielleicht auch ein bisschen verwirrend ist. Wir können
eine angenehmere Ausgabe erhalten, wenn wir MuPAD zunächst mit dem
Befehl assume mitteilen, welcher Winkelbereich für den Wurfwinkel in
unserem Fall in Frage kommen. Wir erhalten so für den optimalen
Wurfwinkel folgendes Ergebnis:
•
assume(0 < Wurfwinkel < PI/2):
OptimalerWurfwinkel := solve(diff(Wurfweite, Wurfwinkel) =
0,
Wurfwinkel)




π
 0, 
if Anfangsgeschwindigkeit = 0
2




0.7853981634 if Anfangsgeschwindigkeit ≠ 0
Wie wir sehen, erhalten wir ein Ergebnis in Form einer Fallunterscheidung.
Natürlich wollen wir den Fall mit verschwindender Anfangsgeschwindigkeit
ausschließen. Deshalb wenden wir den Befehl assume noch einmal auf die
Anfangsgeschwindigkeit an und lassen die Lösung ein zweites Mal
berechnen:
•
assume(Anfangsgeschwindigkeit > 0):
OptimalerWurfwinkel := solve(diff(Wurfweite, Wurfwinkel) =
0,
Wurfwinkel)


0.7853981634
Dieses ist der Wurfwinkel in Bogenmaß. Wir rechnen ihn noch um in Grad:
•
float(op(OptimalerWurfwinkel)*180/PI)
45.0
Wir erhalten also bei einem Wurfwinkel von 45° die größte Wurfweite.
14
1.1 Allgemeine Kinematik
Aufgabe 3: Im Flugzug um die Welt
Ein Flugzeug fliegt mit der Eigengeschwindigkeit
v = 180
km
h
in
Richtung N 30° O. Der Wind weht aus SW mit einer Geschwindigkeit
w = 60
km
.
h
Wie groß ist die Geschwindigkeit v0 des Flugzeugs von der
a.
Erdoberfläche aus betrachtet?
b.
Wie groß ist der Geschwindigkeitsgewinn, wenn das Flugzeug
seine
Eigengeschwindigkeit auf v = 250
km
erhöht und die
h
Windgeschwindigkeit um die Hälfte nachlässt?
Lösung:
Hier sollten wir zuerst eine kleine Zeichnung anfertigen:
1 Mechanik
Dann
sehen
wir
nämlich,
c
dass
v02 = v 2 + w2 − 2 ⋅ v ⋅ w ⋅ cos ∠(v , w)
uns
15
der
Cosinus-Satz
weiterhilft:
h
Wir übergeben die Informationen, die wir aus Aufgabenstellung und
Zeichnung gewinnen:
•
reset():
v := 180:
w:= 60:
alpha := (90 + 30 + 45)*PI/180:
// Eigengeschwindigkeit
// Windgeschwindigkeit
// Winkel zwischen v und w
Hiermit können wir sofort den Cosinussatz anwenden und erhalten nach
Auflösen nach der resultierenden Geschwindigkeit
•
v0 :
Geschw := solve(v0^2 = v^2 + w^2 - 2*v*w*cos(alpha), v0)

 





5400 ⋅ 2 + 5400 ⋅ 6 + 36000, − 5400 ⋅ 2 + 5400 ⋅ 6 + 36000
Wir extrahieren die physikalisch relevante Lösung mit dem Indexoperator
[].
•
Geschw := Geschw[1]




5400 ⋅ 2 + 5400 ⋅ 6 + 36000
Dieses Ergebnis ist mathematisch korrekt. MuPAD lässt die Wurzeln
stehen, um ein exaktes Ergebnis zu garantieren. Wir können uns aber hier
mit einer Näherung zufrieden stellen. Deshalb benutzen wir den Befehl
float und erhalten das Ergebnis in Dezimalschreibweise:
•
Resultierende1 := float(Geschw)
238.4617325
Auf die Erdoberfläche bezogen hat das Flugzeug also eine Geschwindigkeit
von
v0 = 238,5
km
.
h
Für den zweiten Aufgabenteil führen wir die gleichen Schritte noch mal
mit den geänderten Werten für Eigengeschwindigkeit und Windgeschwin-
16
1.1 Allgemeine Kinematik
digkeit durch und bilden anschließend die Differenz aus den Ergebnissen
der beiden Teilaufgaben:
•
v := 250:
w := 30:
Geschw := solve(v0^2 = v^2 + w^2 - 2*v*w*cos(alpha), v0)
 




3750 ⋅ 2 + 3750 ⋅ 6 + 63400, − 3750 ⋅ 2 + 3750 ⋅ 6 + 63400
•
Resultierende2 := float(Geschw[1])
279.0858065
•
Geschwindigkeitsgewinn := Resultierende2 - Resultierende1
40.62407405
Das Flugzeug fliegt in diesem Fall also um
40,6
km
schneller.
h
Weitere Aufgaben:
Ein Körper bewegt sich mit konstanter Beschleunigung a0 = −3,6 m s2 .
Zu Beginn der Bewegung hat er die Lage
s0 = 24 m und die
Geschwindigkeit v0 = 6,5 m s .
a. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf.
b. Zu welcher Zeit und an welcher Stelle kehrt der Körper seine
Bewegungsrichtung um?
c. Nach welcher Zeit erreicht er wieder seine Ausgangslage?
d. Zeichnen Sie Diagramme für Ort und Geschwindigkeit, jeweils
in Abhängigkeit von der Zeit.
Sie lassen von Ihrem Balkon einen Teller hinunterfallen. Nach 5 sek .
sehen sie, wie dieser auf dem Boden aufkommt und zerplatzt.
a. Wie hoch ist Ihr Balkon?
b. Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Teller auf dem Boden
auf?
1 Mechanik
17
c. Nach welcher Zeit hat der Teller 40 %
seines Fallweges
zurückgelegt?
d. Wie lange braucht der Teller zum Durchfallen der letzten
20 m ?
1.2 Raumfahrt
Aufgabe 1: Auf zum Mars
Eine Rakete fliegt geradlinig mit konstanter Beschleunigung so, dass
ihre Bewohner das gleiche Gewicht wie auf der Erde spüren. In welcher
Zeit erreichen sie den Mars ( 150 Mio km ), und welche Endgeschwindigkeit
wird dabei erreicht?
Lösung:
Wir haben es hier mit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung
zu
tun.
Wir
benötigen
das
entsprechende
Weg-Zeit-Gesetz
und
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz, also
a
s t = ⋅t2
2
ch
und
ch
v t = a ⋅t .
Die Beschleunigung a ist hier gleich der Erdbeschleunigung g = 9,81
m
.
s2
Die Entfernung Erde–Mars geben wir in m ein, um Konsistenz zu den
Einheiten der anderen Größen zu gewährleisten :
•
reset():
Beschleunigung := 9.81:
Entfernung := 150*10^9
Als erstes berechnen wir die Endgeschwindigkeit der Rakete:
•
Flugzeit := solve(Entfernung =
1/2*Beschleunigung*Flugzeit^2, Flugzeit)

−174874.3542, 174874.3542

Dies ist die Flugzeit in Sekunden. Hier interessiert uns nur die positive
Lösung:
18
•
1.2 Raumfahrt
Flugzeit:=Flugzeit[2]
174874.3542
Die Endgeschwindigkeit erhalten wir nun aus dem Geschwindigkeit-ZeitGesetz:
•
Endgeschwindigkeit := Beschleunigung*Flugzeit
1715517.415
Dies ist die Endgeschwindigkeit in m/s. Wir wollen nun noch die Flugzeit in
Tage und die Endgeschwindigkeit in km/s umrechnen:
•
Flugzeit := Flugzeit/60/60/24;
Endgeschwindigkeit := Endgeschwindigkeit/1000
2.024008729
1715.517415
Die Rakete kommt nach gut 2 Tagen am Mars an und erreicht dabei eine
Endgeschwindigkeit von 1715,5
km
.
s
Aufgabe 2: Satelliten auf ihrer Umlaufbahn
Ein Satellit der Masse m = 800 kg umkreist die Erde auf einer erdnahen
Kreisbahn (Erdradius R = 6300 km ).
a.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Satelliten, wenn er ohne
Antrieb stets auf der Kreisbahn verbleibt?
c.
Wie verhält sich die Lösung, falls die Masse des Satelliten
verdoppelt wird?
Lösung:
Wir haben die Zentrifugalkraft mit der Gravitationskraft gleichzusetzen.
Die Zentrifugalkraft beträgt F =
G = m ⋅ g.
m⋅v2
und die Gravitationskraft beträgt
R
1 Mechanik
19
•
reset():
Masse := 800:
Erdbeschleunigung := 9.81:
Erdradius := 6.3*10^6:
•
Geschwindigkeit := solve(Masse*Geschwindigkeit^2/Erdradius =
Masse*Erdbeschleunigung,Geschwindigkeit)
{-7861.488409, 7861.488409}
Wir wählen wieder die positive Lösung aus und rechnen gleichzeitig von
m/s um in km/s:
•
Geschwindigkeit[2]/1000
7.861488409
Nun verdoppeln wir die Masse des Satelliten und lösen die Aufgabe ein
zweites mal. Dabei zeigt sich, dass das Ergebnis von der Masse des
Satelliten unabhängig ist:
•
Masse := 2*Masse:
delete(Geschwindigkeit):
•
Geschwindigkeit := solve(Masse*Geschwindigkeit^2/Erdradius =
Masse*Erdbeschleunigung, Geschwindigkeit);
{-7861.488409, 7861.488409}
•
Geschwindigkeit[2]/1000
7.861488409
Aufgabe 3: Absturz
Ein
kugelförmiger
Satellit
(Durchmesser
d = 3,5 m ) der Masse
m = 1100 kg wird nicht mehr gebraucht. Man bringt ihn dazu, auf die Erde
hinabzustürzen. Wie groß ist die Fallgeschwindigkeit, wenn man aufgrund
der Newtonschen Reibung in der Atmosphäre einen stationären Zustand
annimmt?
20
1.2 Raumfahrt
Lösung:
Wir setzen die Gravitationskraft G = m ⋅ g gleich mit der Newtonschen
Reibungskraft F = cw ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 2 . Hierbei ist m die Masse des Satelliten, g
die Erdbeschleunigung, cw der Widerstandsbeiwert,
ρ die Dichte der
Atmosphäre, A die Fläche, auf die die Reibung wirkt (Wirkfläche) und v
die Fallgeschwindigkeit.
Wir benötigen noch den Wert für die Dichte in der Atmosphäre. Sie
beträgt
ρ = 1,3
kg
. Der Widerstandsbeiwert für einen kugelförmigen Körper
m3
kann mit cw ≈ 1 angenommen werden:
•
reset():
Erdbeschleunigung := 9.81:
Widerstandsbeiwert := 1:
Satellitendurchmesser := 3.5:
Masse := 1100:
Dichte := 1.3:
Die Wirkfläche A berechnet sich mit der üblichen Formel A = π r 2 für eine
Kreisfläche:
•
Wirkflaeche := 3.14*(Satellitendurchmesser/2)^2:
Nun berechnen wir mit Hilfe des Befehls solve die Fallgeschwindigkeit:
•
Fallgeschwindigkeit := solve(Masse*Erdbeschleunigung =
Widerstandsbeiwert*Dichte*Wirkflaeche*Fallgeschwindigkeit^2,
Fallgeschwindigkeit)
{-29.38030483, 29.38030483}
Wir wählen den positiven Wert, da wir uns nur für den Betrag
interessieren, denn die Flugrichtung ist ja klar.
•
Fallgeschwindigkeit := Fallgeschwindigkeit[2]
29.38030483
Der Satellit trifft mit einer Geschwindigkeit von 29,4
m
auf die Erde auf.
s
1 Mechanik
21
Anmerkungen:
In diesen Aufgaben sind die Geschwindigkeiten stets wesentlich kleiner
als
die
Lichtgeschwindigkeit.
Deshalb
können
relativistische
Effekte
vernachlässigt werden. Die in Aufgabe 2 berechnete Geschwindigkeit von
7,861
m
bezeichnet man als die erste kosmische Geschwindigkeit.
s
Weitere Aufgaben:
Berechnen Sie die Mindestgeschwindigkeit, die ein Raumgleiter haben
muss, wenn er von der Erde aus ins Weltall katapultiert wird und das
Gravitationsfeld
der
Erde
verlassen
soll
(zweite
kosmische
Geschwindigkeit).
Auf einem Raumschiff soll die Schwerkraft der Erde simuliert werden,
damit die Bewohner Tischtennis spielen können. Also bringt der
Captain das Raumschiff auf eine Kreisbahn mit einem Radius von
25 km . Mit welcher Geschwindigkeit muss er dann fliegen?
22
2.1 Allgemeine kinetische Gastheorie
2. Thermodynamik
2.1 Allgemeine kinetische Gastheorie
Aufgabe 1: Die Gasflasche
In einer Gasflasche befindet sich Kohlendioxid mit einem Druck
p1 = 45 bar und einer Temperatur ϑ 1 = 20 ° C . Während die halbe Masse
des Gases abgelassen wird, sinkt die Temperatur auf
ϑ 2 = 14 ° C . Wie groß
ist der Druck p2 des noch in der Flasche verbliebenen Gases?
Lösung:
Es
ist
vor
dem
Ausströmvorgang
p1 ⋅V = ν 1 ⋅ R ⋅ T1
und
nachher
p2 ⋅V = ν 2 ⋅ R ⋅ T2 , wobei R die Gaskonstante und V das Volumen der
Gasflasche ist. T1 , T2 bezeichnen die Temperaturen in K und
ν 1 , ν 2 die
Gasmengen in mol . Da die Hälfte des Sauerstoffs aus der Flasche
entlassen wird, gilt außerdem
•
ν2 =
ν1
2
.
reset():
DruckVorher := 45:
TemperaturVorher := 273 + 20:
TemperaturNachher := 273 + 14:
`ν2` := `ν1`/2:
Hier haben wir den Eindruck, dass uns noch einige der Größen V , R,ν 1 und
ν 2 fehlen. Es könnte aber sein, dass diese sich während der Rechnung
herauskürzen. Deshalb wollen wir zunächst soweit wie möglich symbolisch
rechnen.
Allerdings
wissen
wir
aufgrund
der
zugrundeliegenden
physikalischen Zusammenhänge, dass unsere fehlenden Größen alle
positiv sein müssen. Diese Informationen können wir MuPAD mit dem
Befehl
assume
übergeben,
um
schon
unrelevanten Lösungen auszuschließen:
im
Voraus
einige
für
uns
2 Thermodynamik
•
23
assume(V > 0):
assume(`ν1` > 0):
assume(`ν2` > 0):
assume(R > 0):
Wie wir gleich sehen werden, haben wir die Möglichkeit genutzt, die
Ausgabe von Variablen als griechische Buchstaben darzustellen. Die
zugehörige
Eingabesyntax
`ν`,
welche
wir
hier
noch
mit
den
notwendigen Indizes erweitert haben, bekommen wir, indem wir auf die
entsprechenden Zeichen in der MuPAD-Symbolleiste klicken. Wir lösen nun
die zweite Gleichung nach dem gesuchten Druck p2 auf:
•
DruckNachher := solve(DruckNachher*V =
`ν2`*R*TemperaturNachher, DruckNachher)


287 ⋅ R ⋅ ν1

2⋅V
Nun können wir die erste Gleichung nach V
umstellen. Das Resultat
setzen wir dann oben in die Gleichung für p2 ein:
•
Volumen := solve(DruckVorher*V =
`ν1`*R*TemperaturVorher,V)


293 ⋅ R ⋅ ν1

45
•
DruckNachher := op(DruckNachher):
Volumen := op(Volumen):
Ergebnis := subs(DruckNachher, V = Volumen)
12915

586
•
float(Ergebnis)
22.03924915
Der Druck in der Flasche ist also auf p2 = 22,04 bar gesunken.
24
2.1 Allgemeine kinetische Gastheorie
Aufgabe 2: Kompression
Wie viel Energie muss man aufbringen, um 60 m3 Luft mit einem
Druck
1 bar
von
bei
gleichbleibender
Temperatur
auf
13 bar zu
verdichten?
Lösung:
Es sei das Volumen vor der Verdichtung mit V1 und das Volumen nach der
Verdichtung mit V2 bezeichnet. Entsprechend seien p1 und p2 der Druck
vor bzw. nach der Verdichtung. Die Volumenarbeit W beträgt hier
W = p1 ⋅V1 ⋅
z
V2
V1
dV
.
V
V2 lässt sich dabei durch die Beziehung p1 ⋅V1 = p2 ⋅V2 ausdrücken:
•
•
reset():
V1 := 60:
p2 := 13:
solve(p1*V1 = p2*V2, V2)

•
p1 := 1:
60

13

V2 := op(%)
60

13
Nun haben wir alle Größen, um das Integral auszurechnen:
•
-p1*V1*int(1/V,V=V2..V1)



60
−60 ⋅ ln 60 + 60 ⋅ ln 
13

Diesen Ausdruck können wir nun noch vereinfachen. Wir benutzen dazu
den Befehl expand:
•
expand(%)
 
−60 ⋅ ln 13
2 Thermodynamik
Wie
gewohnt
wandeln
wir
dieses
25
Ergebnis
mit
in
float
Dezimalschreibweise um:
•
float(%)
−153.8969614
Es muss also eine Energie von W = 153,9 J aufgebracht werden.
Weitere Aufgaben:
Bei einem Autoreifen mit dem Volumen V1 = 29,5 dm3 beträgt die
Temperatur
ϑ 1 = 20°C . Für den Luftdruck misst man p1 = 2,6 bar . Bei
Erwärmung auf
ϑ 2 = 50°C dehnt sich der Reifen soweit aus, dass das
Volumen auf V2 = 30,2 dm3 ansteigt. Wie hoch ist dann der Druck p2 ?
Bei Normalbedingungen ( 1013 mbar , 0° C ) hat 1 mol Sauerstoffgas
das Volumen V = 22,4 l . Welche Wärmeenergie muss man zuführen,
damit die Temperatur bei konstantem Druck um ∆T = 50 K steigt?
2.2 Wärmekraftmaschinen
Aufgabe 1: Die Wärmepumpe
Welche
mechanische
Leistung
ist
erforderlich,
wenn
eine
Wärmepumpe zwischen der Temperatur des Kühlwassers von 20°C und
der Temperatur des Heizwassers von 90°C arbeitet und eine Heizleistung
von 2200 kW abgibt?
Lösung:
Für die Leistungszahl
ε der Wärmepumpe gilt: ε =
PHeizung
T1
.
=
Pmech
T1 − T2
Dabei ist Pmech die mechanische Leistung, PHeizung die Heizleistung, T1 die
Temperatur des Heizwassers in
K
und
T2
die
Temperatur des
26
2.2 Wärmekraftmaschinen
K . Diese Gleichung stellen wir nach
Kühlwassers
in
Pmech = PHeizung
T1 − T2
.
T1
Pmech
um:
Wir geben nun die bekannten Größen und die obige Gleichung in
MuPAD ein:
•
reset():
PHeizung := 2200:
t1 := 90:
t2 := 20:
T0 := -273.15:
Pmech := PHeizung*(T1 – T2)/T1
2200 ⋅ T1 − 2200 ⋅ T2

T1
Den absoluten Nullpunkt T0 benötigen wir, um die Temperaturen mit Hilfe
der folgenden Funktion in Kelvin umzurechnen:
•
T := t -> t – T0
t → t − T0
Wir können die gesuchte Größe nun wie folgt berechnen:
•
subs(Pmech, T1 = T(t1), T2 = T(t2))
424.0671898
Es ist also eine mechanische Leistung von 424 kW erforderlich.
Weitere Aufgaben:
Bei
einem
Dieselmotor
wird
angesaugte
Luft
( 50°C, 1 bar )
adiabatisch, d.h. ohne Austausch von Wärme mit der Umgebung
komprimiert. Das Verdichtungsverhältnis ist 14:1 . Wie groß sind
Endtemperatur und Enddruck?
Ein Schiffsmotor verbraucht stündlich 38 kg Treibstoff bei einem
Heizwert von 48 ⋅103 kJ / kg . Die Leistung des Motors liegt bei 360 kW .
Wie groß ist der Wirkungsgrad?
3 Elektrizität
27
3. Elektrizität
3.1 Netzwerktheorie
Aufgabe 1: Widerstandsnetzwerk
Bestimmen
Sie
den
Gesamtwiderstand
Widerstandnetzwerkes.
Betrachten
R0 = R1 = R2 =... = R5 =: R ,
wobei
Sie
Sie
die
Rg
auch
Symmetrie
des
den
des
folgenden
Spezialfall
Problems
berücksichtigen.
Lösung:
Im allgemeinen Fall lesen wir aus dem Netzwerk mittels Kirchhoffs
Knoten- und Maschenregel (siehe z.B.: Gerthsen Physik Kap. 6.3) jeweils
drei Gleichungen für beliebigen aber festen Gesamtstrom I G ab und
geben sie in MuPAD ein:
•
reset():
Gleichungen := {I1*R1 - I3*R3 – I4*R4 = 0,
I0*R0 – I3*R3 – I5*R5 = 0,
28
3.1 Netzwerktheorie
I0*R0 –
I2 = I1
I3 = I4
I0 + I2
I1*R1 – I2*R2 = 0,
+ I4,
+ I5,
+ I5 = IG}:
Nun können wir die Teilströme mit dem Befehl solve berechnen:
•
Stroeme := solve(Gleichungen, {I0, I1, I2, I3, I4, I5}):
{[I0 = (R1 R2 R3 IG + R1 R2 R5 IG + R1 R3 R4 IG
+ R1 R3 R5 IG + R2 R3 R4 IG + R1 R4 R5 IG
+ R2 R3 R5 IG + R2 R4 R5 IG) /...
.
.
.
I5 = (R0 R1 R2 IG + R0 R1 R4 IG + R0 R2 R3 IG
+ R0 R2 R4 IG)/...]}
MuPAD hat uns hier als Ausgabe eine Menge geliefert, welche eine Liste
von Gleichungen enthält. Um diese Liste aus der Menge zu extrahieren,
können wir den Befehl op benutzen:
•
Stroeme := op(Stroeme)
[I0 = (R1 R2 R3 IG + R1 R2 R5 IG + R1 R3 R4 IG
+ R1 R3 R5 IG + R2 R3 R4 IG + R1 R4 R5 IG
+ R2 R3 R5 IG + R2 R4 R5 IG) /...
.
.
.
I5 = (R0 R1 R2 IG + R0 R1 R4 IG + R0 R2 R3 IG
+ R0 R2 R4 IG)/...]
Hierbei konnten wir das zweite Argument im Befehl op weglassen, da die
Menge ohnehin nur aus einem einzigen Element bestand. Wir können nun
den
Befehl
entsprechende
assign
anwenden,
Zuweisungen
zu
um
den
machen.
Gleichungen
Dabei
wird
der
jeweils
Liste
der
3 Elektrizität
29
linksstehenden Variablen einer Gleichung – in unserem Fall sind das I 0 bis
I5 - der zugehörige rechtsstehende Ausdruck zugewiesen. Tun wir das, so
kennen wir insbesondere den Strom I 0 und damit aber auch die gesuchte
Gesamtspannung U G = I 0 R0 . Die Division durch den Gesamtstrom I G
liefert
•
dann das Ergebnis RG =
U G I 0 R0
=
:
IG
IG
assign(Stroeme): RG := I0*R0/IG


R0⋅
−R2⋅R3⋅R4+R1⋅R4⋅R5+R1⋅R2⋅R3⋅IG+R1⋅R2⋅R5⋅IG+R1⋅R3⋅R5⋅IG+R2⋅R3⋅R5⋅IG



IG⋅ R0⋅R1⋅R2+R0⋅R2⋅R3+R0⋅R1⋅R5+R1⋅R2⋅R3+R0⋅R3⋅R5+R1⋅R2⋅R5+R1⋅R3⋅R5+R2⋅R3⋅R5
Für den Spezialfall Ri ≡ R ersetzen wir alle Widerstände in RG mit Hilfe
des Befehls subs durch R . Dann wird RG zu:
•
subs(RG, R0 = R, R1 = R, R2 = R, R3 = R, R4 = R, R5 = R)
R
2
Dieses Ergebnis war auch zu erwarten, denn im Falle Ri ≡ R muss R4 aus
Symmetriegründen stromlos sein. Man kann ihn weglassen und erhält die
folgende Parallelschaltung mit Gesamtwiderstand RG =
R
:
2
Weitere Aufgaben:
Gegeben seien beliebig viele Widerstände
R1 = 2,7 kΩ . Wie viele
dieser
an
Widerstände
muss
man
parallel
einen
Widerstand
R2 = 3,3 kΩ schalten, um einen Gesamtwiderstand RG = 150 Ω
erhalten?
zu
30
3.2 Elektromagnetische Schwingungen
Zeigen Sie, dass die Gesamtkapazität einer Reihenschaltung von
unendlich vielen Kondensatoren Null wird.
Hinweis: Benutzen Sie dazu den Befehl limit (siehe auch Gehrs/Postel:
Eine kleine Einführung oder Oevel, Postel, Rüscher, Wehmeier: Das
MuPAD Tutorium).
3.2 Elektromagnetische Schwingungen
Wir wollen jetzt MuPAD zur Lösung der gedämpften harmonischen
Schwingung einsetzen und betrachten dazu folgenden Modellschaltkreis:
Dabei sind C = 40µF
die Kapazität des Kondensators,
L = 630 H die
Induktivität der Spule und R = 200 Ω der ohmsche Widerstand. U (t )
bezeichnet die am Kondensator zur Zeit
t anliegende
Spannung und I (t )
den zur Zeit t fließenden Strom. Wir wollen annehmen, dass zur Zeit t = 0
gerade kein Strom fließt und am Kondensator eine Spannung von
U (0) = 50V anliegt .
Da die Summe der Spannungen in einem Serienschaltkreis Null
die folgende Differenzialgleichung:
ergeben muss, erhalten wir mit I = Q
+ R ⋅ Q +
L⋅Q
wobei
die
Q
= 0,
C
Anfangsbedingungen
I (0) = 0 A
und
U (0) = 50V
Q(0) = C ⋅U (0) = 40µF ⋅ 50V = 2 ⋅10−3 As zu berücksichtigen sind.
bzw.
3 Elektrizität
31
Dieses Anfangswertproblem soll nun auf zwei verschiedene Arten
gelöst werden. Als erstes benutzen wir dazu die von MuPAD zur Verfügung
gestellte Möglichkeit, gewöhnliche Differenzialgleichungen mit dem Befehl
ode zu definieren und sie dann mittels solve zu lösen. Dabei erhalten wir
eine exakte Lösung. Anschließend wollen wir eine kleine MuPAD-Prozedur
erstellen,
welche
die
Differenzialgleichung
auf
numerischem
Wege
näherungsweise löst.
Wir teilen MuPAD zunächst neben den obigen Werten für Induktivität
L , Kapazität C und Widerstand R auch die Anfangsbedingungen
I (0) = 0 A , U (0) = 50V und Q(0) = 2 ⋅10−3 As mit:
•
reset():
R := 200:
C := 40*10^(-6):
L := 630:
u[0] := 50:
q[0] := C*u[0]:
i[0] := 0
Wir definieren nun wie folgt mit dem Befehl ode die Differenzialgleichung:
•
AWP := ode({L*Q''(t) + R*Q'(t) + Q(t)/C = 0,
Q(0) = q[0], Q'(0)=0}, Q(t)):
Dabei werden die Differenzialgleichung und die Anfangsbedingungen als
Gleichungssystem
eingegeben,
wozu
man
sich
der
geschweiften
Klammern {} bedient. Als letztes Argument gibt man noch an, welches
die gesuchte Funktion ist, in unserem Fall Q(t ) . Nun können wir die
Lösung mit Hilfe des Befehls solve berechnen lassen:
•
Loesung := solve(AWP)

  
  
10⋅t
10⋅t

 −
 −
10⋅t⋅
1574
10⋅t⋅ 1574
63
63


⋅ cos 
⋅ sin 
e
1574 ⋅ e
63
63





+
787000
500





Wir können nun mit dieser exakten Lösung eine MuPAD-Funktion
definieren:
32
•
3.2 Elektromagnetische Schwingungen
Loesung := op(Loesung):
H := x -> subs(Loesung, t = x)


x → subs Loesung, t = x
Diese können wir nun für verschiedene Zeiten t auswerten:
•
H(0); H(5)
  0
  0 
cos
0
⋅
e
sin
0 ⋅ e ⋅ 1574
 + 
500
787000

  
50
 −
50⋅ 1574
63

e
⋅ cos
⋅ sin 
1574 ⋅ e
63
 + 

787000
500
50
−
63

50⋅ 1574


63

Mit float erhalten wir folgende Zahlenwerte:
•
float(H(0)); float(H(5))
0.002
0.0009037157758
Der erste dieser beiden Werte war zu erwarten, denn er entspricht genau
der oben bereits berechneten Anfangsladung Q(0) = 2 ⋅10−3 As .
Wir
wollen
uns
nun
mit
der
numerischen
Lösung
der
Differenzialgleichung beschäftigen. Dazu teilen wir den Lösungszeitraum
ein in viele, genügend kleine Abschnitte der Länge ∆t und schreiben
tn+1 = tn + ∆t .
Ein
Lösungsschritt
besteht
nun
darin,
aus
der
Kondensatorladung Qn und dem Strom I n zu einem gegebenen Zeitpunkt
tn die entsprechenden Größen Qn+1 und I n+1 für den nächsten Zeitpunkt
tn +1 zu berechnen. Seien also Qn und I n gegeben.
Wir können nun I n+1 schreiben in der Form I n+1 = I n + ∆I n , wobei ∆I n
der in der Zeit ∆t erfolgte Stromzuwachs ist. Wir konstruieren für ∆I n wie
folgt
eine
c
Näherung:
h
Aus
+ R ⋅ Q +
L⋅Q
Q
=0
C
und
I = Q
folgt
Q / C + R⋅ I
∆I
I = −
. Setzen wir nun näherungsweise I =
, so erhalten
L
∆t
3 Elektrizität
wir ∆I = −
c Q / C h + R ⋅ I ⋅ ∆t .
L
33
Für die Ladung können wir Qn+1 = Qn + ∆Qn
schreiben, wobei wir auch hier für den Zuwachs ∆Q eine geeignete
Darstellung
finden
geschrieben
werden
∆Qn = I n+1 ⋅ ∆t
müssen.
kann,
Da
I = Q
bieten
sich
näherungsweise
hierfür
zwei
als
I=
∆Q
∆t
Möglichkeiten:
und ∆Qn = I n ⋅ ∆t . Wir entscheiden uns für die erste Form,
da sie uns das numerisch stabilere Verfahren liefern wird, worauf wir hier
aber nicht weiter eingehen wollen.
Wir fassen noch einmal zusammen, was pro Lösungsschritt berechnet
werden muss:
1.) ∆I = −
c Q / C h + R ⋅ I ⋅ ∆t
L
2.) I n+1 = I n + ∆I n
3.) ∆Qn = I n +1 ⋅ ∆t
4.) Qn+1 = Qn + ∆Qn
In unserer MuPAD-Prozedur wird das folgendermaßen aussehen:
for n from 0 to Schrittzahl do
di[n]
:= -((q[n]/C) + (R*i[n]))/L*dT:
i[n+1] := i[n] + di[n]:
dq[n]
:= i[n+1]*dT:
q[n+1] := q[n] + dq[n]:
end_for:
Dabei haben wir schon eine for-Schleife eingebaut, welche dafür sorgen
soll, dass dieser aus vier Zuweisungen bestehende Lösungsschritt für die
ersten
Schrittzahl
Zeitintervalle
durchgeführt
wird.
Dabei
ist
Schrittzahl eine Variable, die genauso wie die Schrittweite dT vom
Benutzer frei wählbar sein soll.
Der besseren Übersichtlichkeit wegen wollen wir das Ergebnis gleich in
Form von zwei Grafiken auf dem Bildschirm ausgeben lassen. Und zwar
einmal, um die Phasenverschiebung zwischen Ladung und Strom zu
sehen, und einmal, um die Näherungslösung mit der exakten Lösung zu
34
3.2 Elektromagnetische Schwingungen
vergleichen. Um die Grafiken zu zeichnen, wird der Befehl plot aus der
plot–library benutzt. Außerdem nutzen wir die Möglichkeit, mehrere
grafische Objekte mit Group zusammenzufassen, so dass diese in einem
gemeinsamen Bild ausgegeben werden. Wir geben nun die vollständige
Prozedur ein:
•
Schwingkreis := proc(dT, Schrittzahl)
local R, C, L, u, q, i, n, di, dq;
begin
R := 200: C := 40*10^(-6): L := 630:
u[0] := 50: q[0] := C*u[0]: i[0] := 0:
for n from
di[n] :=
i[n+1] :=
dq[n] :=
q[n+1] :=
end_for:
0 to Schrittzahl do
-((q[n]/C) + (R*i[n]))/L*dT:
i[n] + di[n]:
i[n+1]*dT:
q[n] + dq[n]:
plot(plot::Group(plot::Point(n*dT, i[n], Color = RGB::Blue)
$ n = 0..Schrittzahl,
plot::Point(n*dT, q[n], Color = RGB::Red)
$ n = 0..Schrittzahl),
Title = ”Näherung,
Blau: Strom
Rot:Ladung” ):
plot(plot::Group(plot::Point(n*dT, q[n], Color = RGB::Red)
$ n = 0..Schrittzahl,
plot::Function2d(H(x), x = 0..dT*Schrittzahl,
Color = RGB::Blue)),
Title = ”Exakte Lösung: Blau
Näherung: Rot” ):
end_proc:
Hier sind die Variablen mit Hilfe des Befehls local als lokale Variablen
deklariert worden. Dies wäre eigentlich nicht notwendig, da wir die
Prozedur hier nur für sich betrachten. Doch es gehört zu einem guten
Programmierstil, mit einer künftigen Einbindung der Prozedur in ein
umfangreicheres Programm zu rechnen. Für diesen Fall haben wir durch
die Deklaration als lokale Variablen die Probleme ausgeschlossen, die
aufgrund globaler Variablen mit gleichem Namen auftreten würden .
Wir schauen
uns nun das Ergebnis für die Schrittweite ∆t = 0,1 s an
und zwar für die ersten 2 Sekunden. Das macht 20 Schritte:
3 Elektrizität
•
35
Schwingkreis(0.1, 20)
Näherung,
Blau: Strom Rot: Ladung
y
0.01
0.005
0
0
0.5
1
1.5
2
x
-0.005
-0.01
Exakte Lösung: Blau
Näherung: Rot
y 0.002
0.001
0
0
0.5
1
1.5
2
x
-0.001
Wir können jetzt nach belieben die Werte für Schrittweite und Schrittzahl
verändern und uns die entsprechenden Grafiken anschauen.
Weitere Aufgaben:
Ergänzen sie die obige Prozedur für den Fall einer erzwungenen
Schwingung.
Die
Frequenz
und
Spannung
der
anregenden
Schwingung soll dabei vom Benutzer frei gewählt werden können.
Berechnen sie näherungsweise den zeitlichen Verlauf der Stromstärke
beim Laden eines Kondensators.
Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis
1. Creutzig; Gerhard; Oevel; Wehmeier: Das MuPAD Tutorium,
Springer, 2002
2. Gehrs; Postel: MuPAD - Eine praktische Einführung, 2001
3. Vogel: Gerthsen Physik, Springer, 1999
4. Göbel: Wissensspeicher Physik, Cornelsen, 1996
5. Grehn: Metzler Physik, Schroedel, 1992
6. Kuhn: Physik, Westermann, 1998
7. Höfling: Physik, Dümmler, 1990
Mathematik 1 × anders
Band 2
MuPAD ist ein Computeralgebra-System, mit dem Problemstellungen
der Mathematik sowie der Natur- und Ingenieurwissenschaften behandelt
werden können. Es ist ein wertvolles Hilfsmittel für Schüler und Studenten,
Lehrer und Wissenschaftler.
Diese Aufgabensammlung zur Mechanik, Thermodynamik und Elektrizität
bietet eine gute Möglichkeit, mit Hilfe von MuPAD eine Brücke zwischen den
Fächern Mathematik und Physik einerseits, und dem Schulunterricht und
studien- bzw. berufsorientierten Arbeitsmethoden andererseits, zu schlagen.
Dank MuPAD können neben klassischen Unterrichtsinhalten auch Themen
behandelt werden, die nicht in jedem Schulbuch zu finden sind. Hier ist
beispielsweise die Raumfahrt oder der Schwingkreis und hierbei das
numerische Lösen von Differentialgleichungen zu nennen. Fast spielerisch
lassen sich die Aufgaben am Computer bearbeiten. Dabei ermöglicht es
MuPAD sich auf Modellbildung und Lösungsstrategien zu konzentrieren.
ISBN 3-933764-03-3
http://www.sciface.com
[email protected]
SciFace Software • Paderborn
Sci Face