Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD
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Mathematische Anwendersysteme Einführung in MuPAD Tag 3 Mengen, Zahlen Ungleichungen 18.2.2004 Gerd Rapin [email protected] Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.1/41 Mengen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.2/41 Mengen Eine Menge ist eine beliebige Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen (nach Cantor). Die Objekte heißen Elemente der Menge. , so schreibt Ist ein Element der Menge man . ist in einer Menge auch gilt. Man sagt, eine Menge enthalten, wenn für alle Man schreibt . Gilt und , so sind die beiden Mengen gleich. Man schreibt . Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.3/41 Mengen in MuPAD Mengen in MuPAD haben den Typ DOM_SET. Es ist eine ungeordnete Menge von beliebigen Objekten. Mengen werden in geschweiften Klammern angegeben. Leere Mengen werden durch leere_menge:={} definiert. Einträge werden durch Kommata getrennt. Die interne Sortierung entspricht nicht unbedingt der Reihenfolge auf dem Bildschirm. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.4/41 Beispiele für Mengen >> M1:={x, 2,3,PI,sqrt(2)} 1/2 {x, PI, 2, 3, 2 } >> M2:={y,1,{1,y},2,x} {{y, 1}, x, y, 1, 2} >> op(M2) x, 2, {y, 1}, 1, y Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.5/41 Befehle für Mengen I Die Anzahl der Elemente in einer Menge >> nops(M1), nops(M2) 5, 5 Zugriff auf Elemente: >> op(M2,1), op(M2,1..4) x, x, 2, {y, 1}, 1 Ändern von Einträgen >> op(M2,3), subsop(M2,3=neu) {y, 1}, {x, y, neu, 1, 2} Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.6/41 Befehle für Mengen II Vereinigungen, Differenzen und Schnitte von Mengen >> L1:={1,2,3,a,b}: L2:={a,b,c,4,5}: >> L1 union L2, L1 minus L2, L1 intersect L2 {a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3}, {a, b} Prüfen, ob Elemente enthalten sind >> contains(L1,a), contains(L1,c) TRUE, FALSE >> contains(L1,{a}), contains(L1,{1,2}) FALSE, FALSE Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.7/41 Befehle für Mengen III Auswählen von Elementen mit best. Eigenschaften >> M:={{a,x,b},{a},{x,1}}: >> select(M,contains,x) {{x, 1}, {a, b, x}} Erzeugen der Potenzmenge >> combinat::powerset(L1) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.8/41 Zahlen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.9/41 natürliche Zahlen (nach Peano) 1. ist definiert durch Die Menge und folgt für alle gilt, so ist . mit 4. Ist das ist injektiv. 3. 2. Es gibt eine Nachfolgerabbildung Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.10/41 als Man stelle sich die Nachfolgefunktion vor. Bemerkungen Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen den natürlichen Zahlen und vollständiger Induktion. Man identifiziert die so erzeugte Folge von Zahlen als . Sie haben keinen eigenen Datentyp in MuPAD. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.11/41 Äquivalenzrelation Sei eine Menge. Eine Äquivalenzrelation auf ist eine Teilmenge von mit den folgenden Eigenschaften. Für schreibt man auch . und folgt aus . das , 3. Transitivität: für alle folgt . 2. Symmetrie: für alle . gilt 1. Reflexivität: für alle Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.12/41 eine Äquivalenzrelation auf einer Menge heißt Äquivalenzklasse, , Eine Teilmenge falls gilt: (a) , (b) (c) , , Sei . Äquivalenzklasse . Eine Äquivalenzrelation zerlegt eine Menge in disjunkte Äquivalenzklassen. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD Ein ist ein Repräsentant der Äquivalenzklasse . Man schreibt auch für . – p.13/41 ganze Zahlen Formale Einführung der ganzen Zahlen Äquivalenzrelation auf : genau dann, wenn gilt. Die Tupel der Form sind paarweise nicht äquivalent zueinander. Dies sind die nichtnegativen Zahlen. Die negativen Zahlen werden durch identifiziert. Die ganzen Zahlen sind gegeben durch die Menge der Äquivalenzklassen. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.14/41 Verknüpfungen Addition: Gerd Rapin ! Multiplikation: Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.15/41 ganze Zahlen in MuPAD Ganze Zahlen in MuPAD haben den Datentyp DOM_INT. Man kann sie addieren, subtrahieren und multipliziern. Das Ergebnis ist wieder vom Typ DOM_INT. Problem: Division. >> domtype(5), domtype(0),domtype(-5) DOM_INT, DOM_INT, DOM_INT >> domtype(5*4), domtype(5/4) DOM_INT, DOM_RAT Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.16/41 Division mit Rest ( '& " # " , und ) & %$ # " Seien , . Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen mit . (Beispiele: , so dass , ) >> k:= x mod a: >> l:= x div a: >> x:=45: a:=7: k,l 3, 6 >> x:=-34: a:=8: k,l 6, -5 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.17/41 rationale Zahlen in ist die gilt. * genau dann, wenn Die rationalen Zahlen sind gegeben durch die : folgende Äquivalenzrelation auf . Gerd Rapin - , -+ - $ + -+ - * , + ,. -* , * + . gehören auch alle Erweiterungen zu einer Ä.-klasse. Addition, Multiplikation: , , " " Mit Die Äquivalenzklasse + schreibt man Statt . Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.18/41 rationale Zahlen in MuPAD Rationale Zahlen in MuPAD haben den Datentyp DOM_RAT. Man kann sie in MuPAD beliebig addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Das Ergebnis ist wieder eine rationale Zahl. Die rationalen Zahlen bilden einen Körper. Problem: Grenzprozesse >> a/b+c/d=normal(a/b+c/d), a/b*c/d=normal(a/b*c/d) a c a d + b c a c a c - + - = ---------, --- = --b d b d b d b d Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.19/41 Gruppe / %$ / 01/ . 2 3 (neutrales Element) mit und zu jedem (inverses Element) mit / für alle $ / Gilt zusätzlich $ / $ 3 für alle $2 2 (G2) Es existiert ein für alle existiert ein . $ / %$ / $ (G1) $ $ $ $ Eine Gruppe ist ein Paar bestehend aus einer Menge und einer Verknüpfung auf , d.h. einer Abbildung mit folgenden Eigenschaften so heißt die Gruppe abelsch. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.20/41 2 für . 3 2 Es gibt genau ein neutrales Element Für ein neutrales Element gilt auch alle . %$ Eigenschaften einer Gruppe Gerd Rapin . 2 3 Es gilt auch %$ 4 5 Zu jedem ist das inverse Element eindeutig und wird durch bezeichnet. Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.21/41 Körper ist eine abelsche Gruppe. (Das neutrale Element heiße . Das inverse Element zu sei .) sei eine abelsche Gruppe. (Das neutrale Element dazu sei .) $ (K2) (K1) $ $ Ein Körper ist ein Tripel bestehend aus einer Menge und zwei Verknüpfungen und mit folgenden Eigenschaften: Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD / für alle $ / $ $ / $ Gerd Rapin $ / $ / (K3) Distributivgesetze – p.22/41 Beispiele , . $ Gruppen: Die rationalen Zahlen mit den Verknüpfungen $ und bilden einen Körper. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.23/41 Anordnung (analog 9 und Gerd Rapin . . 8 7 Man definiert: genau dann, wenn genau dann, wenn und folgt 6 Aus . $ Ihre Vereinigung ist , und Die Mengen , sind disjunkt. Sei ein Körper. Er heißt angeordnet, wenn es einen Positivbereich gibt mit . ) Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.24/41 Begriffe Sei ein angeordneter Körper. , wenn heißt obere Schranke von für alle die Relation gilt. Hat eine Teilmenge von eine obere Schranke, so heißt nach oben beschränkt. (analog untere Schranke) Eine obere Schranke einer Teilmenge von heißt Maximum von , wenn . (analog Minimum) Die kleinstmögliche obere Schranke einer Teilmenge von heißt Supremum. (analog Infimum) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.25/41 reelle Zahlen Sei die Menge aller Teilmengen von oberer Schranke. mit Zwei Elemente aus seien äquivalent, wenn sie dieselben Mengen von oberen Schranken haben. Auf diese Weise kann eine Äquivalenzrelation definiert werden. Die entstehenden Äquivalenzklassen nennt man reelle Zahlen und die Menge dieser Zahlen bezeichnet man mit . Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.26/41 Bemerkungen Es lassen sich die üblichen Verknüpfungen auf definieren. Die reellen Zahlen können auch als Vervollständigung von definiert werden oder durch den Dedekindschen Schnitt. Die rationalen Zahlen sind als Äquivalenzklassen der einelementigen Mengen , enthalten. Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD <;=: In MuPAD gibt es keinen eigenen Datentyp für oder reelle Zahlen. Beispiele wie werden als Ausdrücke (DOM_EXPR) gespeichert. – p.27/41 Gleitkommazahlen Beispiel: Problem: Die reellen Zahlen werden nicht exakt im Computer abgebildet. Es wird nur eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen betrachtet und die letzten Stellen gerundet. Computer arbeiten also in der Regel nur mit Approximationen an die gesuchte reelle Zahl. >> DIGITS:=100: >> float(sqrt(2)) 1.4142135623730950488016887242096980785 696718753769480731766797379907324784621 07038850387534327641573 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.28/41 5 Binärdarstellung). erzwingt Eindeutigkeit der Darstellung. @D / determiniert das Vorzeichen. 5 Es sei . ist die Anzahl der signifikanten Stellen. hat den Wert / C/ 4 F A E C/ 5 ?@ / / ist die Basis ( AB $ > $ Gleitkommazahlen F > 5 / BGF . / Man spricht auch von einer -adischen Darstellung (zur Basis ). Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.29/41 Gleitkommazahlen Warnung! Die Subtraktion zweier fast gleichgroßer Gleitkommazahlen ist zu vermeiden. L $ 5 $ ) L . Gerd Rapin ) $ Oktaldarstellung K $ $ ) 5 $ ( )? Binärdarstellung M $ $ $ $ ? K I $ $ ( H J Beispiele: . Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.30/41 Gerd Rapin N & Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD 5 L ) 4 ) $ 4 ) $ 4 $ N I K $ & ) 4? 4 ) $ ) $ '& J Binärdarstellung Oktaldarstellung 5 L 5 4 $ 4 $ 4 $ I K 4? $ 4 $ $ $ '& J Beispiele – p.31/41 MuPAD G.-zahlen werden zur Basis Gleitkommazahlen haben in MuPAD den Datentyp DOM_FLOAT. berechnet. K5 Die Anzahl der signifikanten Stellen kann man durch die globale Variable DIGITS steuern (Default: ). Möglich sind Werte zwischen und . Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.32/41 Rechnen mit Zahlen I Approximation durch float. Berechnen einer numerischen Näherung zu einem Ausdruck. >> DIGITS:=5: float(PI), float(exp(1)) 3.1416, 2.7183 MuPAD rechnet näherungsweise, sobald mind. eine Zahl in G.-darstellung gegeben ist >> (1.0+(5/2*3))/(1/7+7/9)ˆ2 10.02868609 >> (1+(5/2*3))/(1/7+7/9)ˆ2 67473/6728 Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.33/41 Rechnen mit Zahlen II Ausdrücke werden i.A. nicht automatisch umgewandelt >> 2/3*sin(2),0.666666666666666*sin(2) 2 sin(2) --------, 0.6666666667 sin(2) 3 >> float(2/3*sin(2)) 0.6061982846 Viele MuPAD Funktionen liefern numerische Werte beim Einsetzen von G.-zahlen >> sqrt(64.0), sin(3.14), sin(7/5) 8.0, 0.001592652917, sin(7/5) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.34/41 Wichtige Funktionen für Zahlen abs ceil floor frac trunc round sign sqrt Absolutbetrag Aufrunden Abrunden Abschneiden der Vorkommastellen Abschneiden der Nachkommastellen Runden Vorzeichen Wurzel Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.35/41 ? Komplexe Zahlen # " # " versehen mit der Addition Die Menge Gerd Rapin # " # " $ der komplexen Zahlen. hat die Eigenschaft O? O ist der Körper Das Element $ # " und der Multiplikation Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.36/41 Eigenschaften von Q U TSR ? ? 6 ? V V Betrag V V P ? zu Q Polarkoordinaten P Fundamentalsatz der Algebra (MuPAD: abs) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD O $ hat die Eigenschaft $ 6 Jedes ist nicht angeordnet! – p.37/41 in MuPAD I O Die imaginäre Einheit Datentyp in MuPAD: DOM_COMPLEX ist in MuPAD I. >> sqrt(-1), Iˆ2 I, -1 Rechnen mit komplexen Zahlen >> (1+2*I)*(4+I), (1/2+I)*(0.1+I/2) 2 + 9 I, - 0.45 + 0.35 I Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.38/41 in MuPAD II Ergebnisse werden nicht automatisch bzgl. Realteil und Imaginärteil getrennt; kann erzwungen werden durch rectform 1/(sqrt(2)+I),rectform(1/(sqrt(2)+I)) 1/2 1 2 --------, ---- + (-1/3) I 1/2 3 2 + I Mittels Re und Im erhält man Real- und Imaginärteil. >> Re(1/(sqrt(2)+I)),Im(1/(sqrt(2)+I)) Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.39/41 Ungleichungen Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.40/41 Ungleichungen MuPAD kann mittels des Befehls solve auch Ungleichungen lösen. >> solve(xˆ2<1,x) ]-1, 1[ >> domtype(%) Dom::Interval >> solve({exp(x)<=4, exp(x)>=1},x) [0, ln(4)] Gerd Rapin Mathematische Anwendersysteme: Einführung MuPAD – p.41/41
