2 Mengen, Abbildungen und Relationen

Vorlesung WS 08 – 09
Analysis 1
Dr. Siegfried Echterhoff
2 MENGEN, ABBILDUNGEN UND RELATIONEN
2 Mengen, Abbildungen und Relationen
Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 – 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl unterscheidbaren Objekten unserAnschauung
oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.
Bemerkung: Dieser Mengenbegriff ist tatsächlich problematisch und führt zu Widersprüchen! Für unsere Zwecke ist er aber ausreichend (Mehr dazu im 2. Semester in den
“Logischen Grundlagen”).
Bezeichnung 2.2 Seie M eine Menge. Dann
a) x ∈ M (bzw. x ∈
/ M) heißt x (nicht) Element von M.
b) M = {x, y, z, . . .} heißt: M ist die Menge mit den Elementen x, y, z.
c) M {x |x hat die Eigenschaft E } heißt: M ist die Menge aller Objekte x, die die
Eigenschaft E besitzen.
Beispiel: M = {n ∈ N |n ≥ 6 } = {6, 7, 8, 9, . . .}
d) Eine Menge M1 heißt Teilmenge der Menge M2 , (Bez. M1 ⊆ M2 oder M1 ⊂ M2 ),
falls für alle x ∈ M1 auch x ∈ M2 gilt.
Es gilt: M1 = M2 ⇔ M1 ⊆ M2 und M2 ⊆ M1 .
Wir Schreiben M1 * M2 , falls M1 nicht Teilmenge von M2 .
Definition 2.3 (VB) Seien M1 , M2 Mengen. Wir definieren
a) M1 ∪ M2 := {x |x ∈ M1 ∨ x ∈ M2 } heißt Vereinigung von M1 und M2 .
b) M1 ∩ M2 := {x |x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 } heißt Durchschnitt von M1 und M2 .
/ M2 } heißt das Komplement von M2 in M1 .
c) M1 \ M2 := {x |x ∈ M1 ∧ x ∈
Wenn M1 und M2 kein Element gemeinsam haben, besitzt M1 ∪ M2 kein Element. Das
führt zu
Definition 2.4 (Leere Menge, VB) Die leere Menge ∅ (oder auch {}) ist die Menge,
die kein Element enthält. Es gilt ∅ ⊆ M für jede Menge M! (Jedes Element von ∅ ist auch
Element von M, ist eine wahre Aussage!)
Satz 2.5 Für Mengen M1 , M2 , M3 gilt:
a) M1 ∪ (M2 ∪ M3 ) = (M1 ∪ M2 ) ∪ M3
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b) M1 ∩ (M2 ∩ M3 ) = (M1 ∩ M2 ) ∩ M3
c) M1 ∩ (M2 ∪ M3 ) = (M1 ∩ M2 ) ∪ (M1 ∩ M3 )
d) M1 ∪ (M2 ∩ M3 ) = (M1 ∪ M2 ) ∩ (M1 ∪ M3 )
Beweis: a) und b) folgen leicht aus den Definitionen. Wir zeigen nur c):
Es gilt:
x ∈ M1 ∩ (M2 ∪ M3 )
⇔
x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 ∪ M3
⇔
⇔
⇔
⇔
x ∈ M1 ∧ (x ∈ M2 ∨ x ∈ M3 )
(x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 ) ∨ (x ∈ M1 ∧ x ∈ M3 )
x ∈ (M1 ∩ M2 ) ∨ x ∈ (M1 ∩ M3 )
x ∈ (M1 ∩ M2 ) ∪ (M1 ∩ M3 )
Def.
Der Beweis von d) geht genau so!
Definition 2.6 Sei I eine beliebige (Index-)Menge und für jedes i ∈ I sei Mi eine Menge.
Wir setzen
a)
S
Mi = {x |∃x ∈ I mit x ∈ Mi }
T
Mi = {x |∀x ∈ I gilt x ∈ Mi }
i∈I
b)
i∈I
Satz 2.7 (Regel von de Morgan) Sei M0 eine Menge und seien Mi Mengen für alle
i ∈ I. Dann gelten
a) M0 \
a) M0 \
14
S
Mi
i∈I
T
i∈I
Mi
=
=
T
(M0 \ Mi )
S
(M0 \ Mi )
i∈I
i∈I
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Beweis: a) Der Beweis benutzt unsere Verneinungsregeln:
!
[
[
⇔ x ∈ M0 ∧ x ∈
Mi
/ Mi
x ∈ M0 \
i∈I
i∈I
⇔
⇔
⇔
⇔
x ∈ M0 ∧ ¬ (∃i ∈ I mit x ∈ Mi )
x ∈ M0 ∧ (∀i ∈ I gilt x ∈ Mi )
∀i ∈ I gilt: x ∈ M0 ∧ x ∈
/ Mi
∀i ∈ I gilt: x ∈ M0 \ Mi
\
⇔ x∈
(M0 \ Mi )
i∈I
Der Beweis von b) geht ähnlich (Übungsaufgabe).
Wir wollen nun Abbildungen zwischen Mengen betrachten:
Definition 2.8 (VB) Seien X, Y Menge. Eine Abbildung (oder Funktion) f : X → Y
ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ X genau ein Element f (x) ∈ Y zuordnet. X heißt dann
Urbildraum (oder Definitionsbereich) von f . Die Menge Y heißt Bildraum von f .
Beispiele:
a) f : N → N; f (n) = n + 1
b) f : R → R; f (x) = x2
c) f : R → [0, ∞) ; f (x) = x2
Beachte: Die Abbildungen in b) und c) sind verschieden, da sie unterschiedliche Bildräume
haben!
d) f : R \ {0} → R; f (x) =
Beachte: f : R → R; f (x) =
1
x
1
x
macht keinen Sinn! (durch 0 teilen ist streng verboten!)


 1 , falls x 6= 0
aber: f : R → R; f (x) = x


0, falls x = 0
e) Ist ∅ 6= X eine Menge, so heißt idX : X → X; idX (x) = x die Identität auf X
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Wir benutzen auch oft die Schreibweisen
f : X → Y ; x 7→ f (x), bzw. X → Y ; x 7→ f (x)
also z.B. R → R; x 7→ x3 für Abbildungen.
Beachte: Ist X = ∅, so kann es keine Abbildung f : X → Y geben!
Definition 2.9 (Komposition, VB) Seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen.
Dann ist die Komposition (Hintereinanderausführung)
g◦f :X →Z
definiert durch (g ◦ f )(x) = g(f (x)) ∀x ∈ X
Definition 2.10 (VB) Sei f : X → Y eine Abbildung. Wir definieren
a) Ist A ⊆ X, so heißt f (A) := {y ∈ Y |∃x ∈ A mit y = f (x) } (= {f (x) |x ∈ A}) ⊆ Y
das Bild von A unter f .
b) Ist B ⊆ Y , so heißt f −1 (B) := {x ∈ X |f (x) ∈ B } ⊆ X das Urbild von B unter f .
Beispiele:
f : R → R; f (x) = x2 , Dann: f (R) = [0, ∞)
f ([0, 1]) = [0, 1], f −1 ([−1, 1]) = f −1 ([0, 1]) = [−1, 1]
f −1 ((−∞, 0]) = {0}, f −1 ([0, ∞)) = R etc . . .
Sehr wichtig sind auch die folgenden Begriffe:
Definition 2.11 (VB) Sei f : X → Y eine Abbildung. Wir definieren
a) f heißt surjektiv, falls f (X) = Y (⇔ ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : f (x) = y).
b) f heißt injektiv, falls ∀x1 , x2 ∈ X : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )(⇔: ∀x1 , x2 ∈ X :
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 )
c) f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist (⇔ ∀y ∈ Y ∃!x ∈ X : f (x) = y)
Bijektive Abbildungen sind genau die Abbildungen, die eine Umkehrabbildung besitzen.
Satz 2.12 (VB) Sei f : X → Y eine Abbildung. Dann sind äquivalent
a) f ist bijektiv
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b) Es exisitiert eine Abbildung g : Y → X mit g(f (x)) = x ∀x ∈ X und f (g(y)) = y
∀y ∈ Y (in kurz: g ◦ f = idx und f ◦ g = idy )
Die Abbildung g in b) ist dann eindeutig bestimmt und heißt die Umkehrabbildung
(oder inverse Abbildung) von f. Bezeichnung: g =: f −1
Beweis: a) ⇒ b): Es gilt f ist bijektiv gdw zu jedem y ∈ Y exisitert genau ein xy ∈ X mit
f (xy ) = y. Setze g(y) = xy . Dann folgt f (g(y)) = f (xy ) = y und für x ∈ X gilt: x = xf (x)
und daher g(f (x)) = xf (x) = x.
b) ⇒ a): Sei g : Y → X mit g ◦ f = idx und f ◦ g = idy . Dannn ist f injektiv, dann sind
x1 , x2 mit f (x1 ) = f (x2 ), so folgt x1 = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = x2 . f ist auch surjektiv,
dann ist y ∈ Y , so gilt y = f (g(y)) mit g(y) ∈ Y . Also ist f bijektiv.
Eindeutigkeit von g: Ist g̃ : Y → X weitere Funktion mit g̃ ◦ f = g ◦ f = idx , so folgt
g̃(f (x)) = g(f (x))∀x ∈ X, und da f injektiv, folgt hieraus g̃(y) = g(y)∀y ∈ Y
Achtung! Der Begriff f −1 : Y → X für die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung
f : X → Y führt oft zu Missverständnissen in Bezug auf das Urbild f −1 (B) einer Teilmenge B ⊆ Y .
Beachte: f −1 (B) für B ⊆ Y ist für jede Abbildung f : X → Y definiert, aber f −1 (y) für
y ∈ Y exisitert nur wen f bijektiv ist!
und
Wir unterscheiden auch immer strang zwischen f −1 (y) ∈ X
|
{z
}
existiert, falls f bijektiv
und ist Element von X
f −1 ({y}) = {x ∈ X |f (x) = y } ⊆ X
|
{z
}
Urbild der Menge {y}⊆Y in X. Existiert
immer und ist eine Teilmenge von X
2.13 fehlt im Manusskript
Mit Hilfe bijektiver Abbildungen können wir die “Mächtigkeit” (bzw. “Größenanordnung”) von zwei Mengen vergleichen:
Definition 2.14 (VB) Zwei Mengen M1 , M2 heißen gleichmächtig, falls M1 = ∅ = M2
oder es existiert eine bijektive Abbildung f : M1 → M2 . Eine Menge M heißt endlich, falls
M = ∅ oder falls M gleichmächtig zu {1, 2, . . . , n} für n ∈ N. Wir setzen dann |M| = n
(|M| heißt die Anzahl der Elemente von M). Ferner setzten wir |∅| = 0 und |M| = ∞,
falls M nicht endlich (wir sagen dann M ist unendlich).
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Achtung: Bis jetzt ist nicht klar, ob die Zahl |M| wohdefiniert ist. Es könnte ja sein,
dass es n, m ∈ N mit n 6= m gibt, so dass bijektive Abbildung f : {1, . . . , n} → M und
g : {1, . . . , m} → M existieren. Dann wäre n = |M| = m, was nicht geht!
Wir verzichten darauf zu zeigen, dass dies nicht möglich ist!
Aber es gibt auch unterschiedliche “Größen” von unendlichen Mengen. Ein wichtiger
Begriff ist der folgende:
Definition 2.15 (VB) Eine Menge M heißt abzählbar, falls M = ∅ oder falls eine
surjektive Abbildung Y : N → M existiert. M heißt abzählbar unendlich, falls M abzählbar
und nicht endlich ist. Ist Y : N → M eine surjektive Abbildung heißt Y (1), Y (2), Y (3), . . .
eine Abzählung von M (Achtung: Im Allgemeinen wird hierbei ein Element m ∈ M mehrfach “abgezählt”). M heißt überabzählbar, falls M nicht abzählbar ist.
Beispiel 2.16
a) Jede endliche Menge M ist abzählbar, dann ist f : {1, . . . , n} → M
bijektiv, so definiert Y : N → M durch
Y (k) =
(
)
f (k),k ≤ n
f (n),k ≥ n
Y ist dann surjektiv
b) N ist abzählbar, da idN : N → N surjektiv
c) Z ist abzählbar: Definition Y : N → Z durch Y (1) = 0, Y (2k) = k, Y (2k + 1) =
−k ∀k ∈ N.
d) Sei N × N = {(n, m) |n, m ∈ N } (geordnete Paare). Dann ist N × N abzählbar. Idee:
ordne N × N wie folgt an und zähle “diagonal”:
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Formal: Definiere Y : N → N × N rekursiv durch Y (1) = (1, 1), und ist Y (n) = (k, 1)
schon definiert, sei
(
)
(k − 1, l + 1), falls k > 1
Y (n + 1) :)
(l + 1, 1), falls k = 1
Man rechnet dann nach, dass Y surjektiv (sogar bijektiv) ist.
Lemma 2.17 Sei ∅ =
6 M abzählbar. Dann gelten
a) Ist f : M → A surjektiv, so ist auch A abzählbar
b) Ist f : A → M injektiv, so ist auch A abzählbar, insbesondere sind Teilmegen
abzählbar.
Beweis:
a) Ist f : M → A surjektiv und Y : N → M surjektiv, so auch f ◦ Y : N → A.
b) Ist ∅ =
6 A ⊆ M, so definierte eine surjektive Abbildung g : M → A durch
(
)
m, falls m ∈ A
g(m) =
mit a0 ∈ A fest.
a0 , sonst
Nach a) folgt, dass A abzählbar.
Sei nun f : A → M injektiv. Dann ist f˜ : A ⇒ f (A) ⊆ M, f˜(a) = f (a) ∀a ∈ A
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bijektiv. Sei g : M → f (A) ⊆ M surjektive Abbildung wie oben. Dann ist die
Komposition
g
f −1
f˜ ◦ g : M −→ f (A) −→ A
surjektiv, und die Behauptung folgt aus a).
Folgerung 2.18 (VB) Sei Q =
Dann ist Q abzählbar.
Beweis: Definition:
m
n
|m ∈ Z, n ∈ N
die Menge aller rationalen Zahlen.

0,m = 1





k
,m
=
2k
Y : N × N → Q; Y (m, n) =
n






k


 − ,m = 2k + 1
n






Dann ist Y surjektiv. Da N × N abzählbar nach 2.16 folgt die Behauptung mit 2.17 a).
Es gibt auch Mengen, die nicht abzählbar sind. Dazu benötigen wir zunächst den Begriff
der Potenzmenge einer Menger M.
Definition 2.19 (Potenzmenge, VB) Sei M eine Menge. Dann heißt P(M) = {A |A ⊆ M }
(also die Menge, deren Elemente die Teilmenge von M sind) die Potenzmenge von M.
Beispiel 2.20 P(N) ist nicht abzählbar!
Beweis: Annahme ∃ surjektive Abbildung Y : N → P(N). Sei M = {n ∈ N |n ∈
/ Y (n) }.
Sei m ∈ N mit Y (m) = M. Dann gilt m ∈ M oder m ∈
/ M.
/ Y (m) = M WIDERSPRUCH!
Falls m ∈ M gilt m ∈
/ M gilt m ∈ Y (m) = M WIDERSPRUCH!
Falls m ∈
Wir erhalten in jedem Fall einen Widerspruch!
Zum Abschluss möchte ich, ohne Beweis, die folgenden Tatsachen zur Abzählbarkeit
ergänzen. Den Beweis der dritten Aussage finden Sie auf der Analysis I- Seite 3 .
2.21 (Ergänzungen) Es gelten die folgenden Aussagen:
(1) Sind M1 , M2 abzählbar, so auch M1 × M2 (Übung)
3
http://wwwmath.uni-muenster.de/u/echters/Analysis/
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(2) Abzählbare Vereinigungen abzählbarer MengenSsind abzählbar (d.h. ist I 6= \ abzählbar und ist Mi abzählbar ∀i ∈ I, so ist auch Mi abzählbar!) (Übungsaufgabe)
i∈I
(3) Jede abzählbar unendliche Menge M ist gleichmäßig zu N, d.h es existiert eine bijektive Abbildung Y : N → M.
Zum Schluss dieses Abschnitts wollem wir noch den Begriff Relation einführen.
Definition 2.22 (Relation, VB) Sei ∅ =
6 X eine Menge. Eine Relation R auf X ist
eine Teilmenge R ⊆ X × X = {(x, y) |x, y ∈ X } (geordnete Paare). Wir sagen auch
x steht in Relation zu y (bzw. xRy, falls (x, y) ∈ R.
Eine Relation R ⊆ X × X heißt
a) reflexiv, falls (x, x) ∈ R ∀x ∈ X
b) symmetrisch, falls (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
c) transitiv, falls (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
d) antisymmetrisch, falls (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y
e) total, falls für alle x, y ∈ X gilt: (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R.
Eine Relation R heißt Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist
(häufige Bezeichnungen: x ∼ y, x ≡ y, etc für (x, y) ∈ R).
Eine Relation R heißt (Halb-)Ordnung, falls R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch
(häufige Bezeichnungen: x ≤ y, x ≺ y, etc).
Eine Relation R heißt totale Ordnung, falls R totale Halbordnung.
Beispiele:
a) X ∈ Z, (x, y) ∈ R ⇔ x = y ist Äquivalenzrelation (x, y) ∈ R ⇔ x ≤ y ist totale
Ordnung.
b) M 6= ∅, X = P(M) Potenzmenge, (A, B) ∈ R ⇔ A ⊆ B ist Halbordnung.
Beachte: Ist “≤” totale Ordnung auf X, so wird eine neue Relation “<” wir folgt erklärt:
x < y :⇔ x ≤ y und x 6= y
Eine so entstandene Relation nennt mann strikt totale Ordnung auf X.
Beispiel: “<” auf Z (also: n < m ⇔ ∃k ∈ N mit m = n + k).
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2.23 Ist R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation und ist x ∈ X, so heißt
[x] := {y ∈ X |(x, y) ∈ R} ⊆ X die Äquivalenzklasse von X. Für je zwei Elemente x, y ∈
X gilt genau eine der folgenden Alternativen:
[x] = [z] oder [x] ∩ [z] = ∅
Beweis: Es genügt zu zeigen: Ist [x] ∩ [z] 6= ∅, so folgt [x] = [z]. Sei also y ∈ [x] ∩ [z].
Dann folgt (x, y), (z, y) ∈ R also auch (y, z) ∈ R (Symmetrie) und dann (x, z) ∈ R
(Transitivität). Dann folgt für jedes u ∈ [z] : (z, u) ∈ R, und dann auch (x, u) ∈ R
(Transitivität). Damit folgt [z] ⊆ [x]. Analog sieht man [x] ⊆ [z]. Es folgt [x] = [z].
Definition 2.24 (Quotientenraum, VB) Sei ∅ 6= X und sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Dann heißt
X \ R := {[x] |x ∈ X } ⊆ P(x)
der Quotientenraum von X bezüglich R.
Beachte: Wir haben X =
◦
S
[x], d.h. X ist die diskrete Vereinigung der Äquivalenz-
[x]∈X\R
klassen bezüglich R (disjunkt, da [x] ∩ [y] = ∅, falls [x] 6= [y]
Beispiel 2.25 Sei X = Z × N. Wir definieren eine Realation “∼” auf X durch
(n, m) ∼ (n0 , m0 ) ⇔ nm0 = n0 m
(also R = {((n, m), (n0 , m0 )) |n, m0 = n0 , m} ⊆ X × X)
Behauptung: ∼ ist eine Äquivalenzrelation. Symmetrie ist klar und Reflexivität auch. Sei
also nun (n, m), (n0 , m0 ), (n00 , m00 ) ∈ Z × N mit (n, m) ∼ (n0 , m0 ), (n0 , m0 ) ∼ (n00 , m00 ). Dann
gilt: nm0 = n0 m und n0 m00 = n00 m0 . Es folgt nm0 · n0 m00 = n00 m0 · n0 m ⇒ nm00 (n0 m0 ) =
n00 m(m0 n0 ) und nach der Kürzungsregel für die Multiplikation in Z folgt nm00 = n00 m, also
(n, m) ∼ (n00 , m00 )
Wir setzen nun Q =
Z×N
∼
und schreiben
n
:= [(n, m)]
m
Man rechnet dann nach, dass durch
n
k
nl + km n k
nk
+ =
,
· =
m
l
ml
m l
ml
eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf Q definiert wird.
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