1 Elektrostatik

Physik BG12
Elektrostatik
1 Elektrostatik
Die Elektrostatik ist die Lehre von ruhenden elektrischen Ladungen.
1.1 Grundlagen und Wiederholung
Elektrizität ist eine Grunderscheinung der Natur. Sie tritt in den Blitzen eines
Gewitters eindruckvoll in Erscheinung. Im Alltag begegnet uns Elektrizität
zum einen im Haushaltsstromnetz, zum anderen z. B. wenn wir frisch gewaschenes, trockenes Haar mit einem Kunststoffkamm kämmen („die Haare
stehen uns zu Berge“). Elektrizität tritt auch manchmal unangenehm in
Erscheinung, wenn wir auf einem Teppichboden aus Kunststofffasern gehen.
Wir laden uns dabei (abhängig vom Material der Schuhsohlen) elektrostatisch auf, ohne dass wir dies zunächst bemerken. Fassen wir dann jedoch
einen Metallgegenstand, z. B. eine Türklinke, an, erhalten wir einen kleinen
Schlag. Beobachten Sie, was passiert, wenn Sie die Klinke statt mit der Hand
mit einem Schlüssel berühren. Wegen der Gefahr für elektrische Geräte (z.
B. PC’s) werden Teppichböden heute oftmal aus „antistatischem“ Material
hergestellt.
Streng genommen gehören die ersten beiden Beispiele (Blitze und Haushaltsstromnetz) nicht hierher, da sie Beispiele für fließende Ladungen (
Elektrodynamik) darstellen.
1.2 Eigenschaften der Ladung
Wir fassen das Grundlagenwissen über Elektrizität kurz zusammen:
•
Es gibt elektrische Ladungen in zwei Ausprägungen, die wir positive bzw.
negative Ladungen nennen.
•
Ladungen können beispielsweise durch Reibung „erzeugt“ werden, sie
entstehen dabei aber immer paarweise in gleichen Mengen.
•
Normalerweise sind Körper elektrisch neutral. Das kann bedeuten, daß sie
keine Ladung besitzen oder aber positive und negative Ladungen sich das
Gleichgewicht halten. Da alle Stoffe aus Atomen (bzw. Molekülen bei
chem. Verbindungen) besteht und diese negativ geladene Elektronen und
positiv geladene Kerne enthalten, ist letzteres der Fall.
•
Ladung kann von einem Körper auf einen anderen übergehen. Fließende
Ladungen bilden einen elektrischen Strom (Einheit Ampere, A).
•
Die Menge der Ladung wird in der Einheit Coulomb (Abkürzung C)
gemessen. Dabei gilt: 1 C = 1 As. Wenn also ein Strom der Stärke 1 A für
eine Sekunde fließt, ist durch einen gedachten Querschnitt im Leiter eine
Ladung von 1 C geflossen.
•
Geladene Körper üben Kräfte aufeinander aus. Gleichartig geladene Körper stoßen einander ab, ungleichartig geladene Körper ziehen einander
an.
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1.2.1 Ladungserhaltung
Elektrische Ladungen werden immer paarweise mit entgegengesetztem Vorzeichen erzeugt. Jeder Versuch, Ladungen nur eines Vorzeichens zu erzeugen, ist bisher fehlgeschlagen. Aufgrund dieser Erfahrungstatsache wurde
der Satz von der Ladungserhaltung aufgestellt:
Ladungen können weder neu erschaffen noch völlig vernichtet werden.
Ladungen können nur paarweise durch Trennen vorhandener Ladungen
hergestellt werden.
1.2.2 Die Elementarladung
Buch S. 275: In der Natur gibt es eine kleinste Ladung, nämlich die des
Protons (+) bzw. des Elektrons (-). Den Betrag dieser Ladung nennt man
daher Elementarladung e mit dem Wert
e=1,6022∗
∗10-19 C.
Alle anderen, in der Natur vorkommenden Ladungen lassen sich stets als
Vielfaches der Elementarladung darstellen, d. h. es lässt sich immer schreiben
Formel 1: Q = ±N∗ e
mit einer gewissen ganzen Zahl N, der Anzahl der Elementarladungen. Für
makroskopische Ladungen ist N allerdings so riesig groß, dass uns die
Ladung als eine kontinuierliche Menge vorkommt (wie Wasser, das ja auch
aus einzelnen Wassermolekülen besteht).
Hausaufgabe 1
a) Aus wievielen Elementarladungen besteht eine Ladung von 1 pC?
b) Warum erscheint uns die Ladung nicht „körnig“? Berechnen Sie dazu den
prozentualen Zuwachs, wenn man zu der Ladung von 1 pC eine Elementarladung hinzufügt!
Lösung: a)
b)
1.3 Das elektrische Feld
Versuch mit Holundermarkkügelchen
Dieser Versuch wirft die Frage auf:
Wie kann eine Kraftwirkung zustande kommen, ohne dass sich die Körper
berühren?
Mechanische Kräfte werden üblicherweise durch direkte Berührung übertragen (Stoß). Elektrische Kräfte, ebenso magnetische, wirken dagegen über
die Entfernung hinweg. Es lässt sich durch Versuche zeigen, dass auch die
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dazwischenliegende Luft keine Rolle für die Kraftübertragung spielt. Elektrische (und magnetische) Kräfte wirken gewissermaßen durch den leeren
Raum.
Wir hatten bereits in der Mechanik eine Kraft kennengelernt, die auch durch
den leeren Raum wirkt. Welche?
Es scheint, als ob der Raum in der Umgebung eines geladenen Körpers eine
Veränderung erfahren hätte. Für diese Veränderung des Raumes führte
Michael Faraday (1791 – 1867) den Begriff des Feldes ein. Wir stellen uns
dazu vor, daß der geladene Körper von einem elektrischen Feld umgeben
sei, das üblicherweise mit E bezeichnet wird. Kommt nun ein anderer Körper
in den Bereich des Feldes, so wirkt das Feld auf ihn und übt dabei eine Kraft
aus. (Wir nennen diesen anderen Körper häufig Probekörper, da er uns
dazu dient, die Wirkung des Feldes sichtbar zu machen.) Von daher spricht
man oft auch von einem Kraftfeld. (Bild im Buch S. 269) Im allgemeinen
Fall ist das Feld von Ort zu Ort verschieden, hinsichtlich Stärke und Richtung. Das Feld hängt also von den drei Raumkoordinaten x, y, z ab. Man
sagt dann auch, das E-Feld sei eine Funktion des Ortes und schreibt dafür
kurz E(x,y,z). Die elektrische Feldstärke ist (ebenso wie die Kraft) ein Vektor, da sie neben der Stärke (Betrag) auch eine Richtung hat.
Wir veranschaulichen uns das Feld durch Feldlinien. Sie geben uns an, welche Kraft auf einen Probekörper mit einer kleinen positiven Ladung ausgeübt
werden würde. Die Feldlinien werden so gezeichnet, daß ihre Richtung mit
der Kraftrichtung (am Ort des Probekörpers) zusammenfällt. Deswegen
beginnen elektrische Feldlinien auf einer positiven und enden auf einer negativen Ladung. Die Stärke der Kraft soll dabei näherungsweise durch die
Dichte der Feldlinien zum Ausdruck gebracht werden.
Die Abbildungen (Bild 14-16 im Buch S. 269) zeigen beispielhaft den Feldlinienverlauf für einige häufig vorkommende Körper. Ganz links sehen wir
den (idealisierten) Feldlinienverlauf zwischen zwei parallelen, entgegengesetzt gleich geladenen Platten. Diese Anordnung wird auch als Kondensator bezeichnet. Im Innenraum ist das Feld ganz gleichmäßig, sowohl hinsichtlich Stärke als auch Richtung. Insbesondere ist es nicht mehr von den
Ortskoordinaten abhängig, sondern hat einen festen Wert. Ein solches Feld
bezeichnet man als homogen.
Im rechten Teilbild ist das Feld einer einzelnen geladenen Kugel dargestellt.
Die Feldlinien verlaufen sternförmig von der Kugel weg, weshalb dieses Feld
auch als Radialfeld bezeichnet wird. Das Radialfeld ist insofern bemerkenswert, als dass sich der gleiche Feldverlauf (außerhalb der Kugel) ergeben
würde, wenn man sich die Ladung auf den Mittelpunkt der Kugel konzentriert
denkt. Eine solche (idealisierte) Punktladung hat den großen Vorteil, dass
sich ihr Feld und damit die Kraftwirkung auf einen Probekörper einfach
berechnen lässt (Coulomb-Gesetz, s. u.). (In der Mechanik nahmen wir mit
dem Massenpunkt bereits eine ähnliche Idealisierung vor.)
In der mittleren Abbildung sehen wir das Feld zweier, entgegengesetzt gleich
geladener Kugeln. Eine solche Anordnung bezeichnet man als Dipol. Hier ist
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das Feld nicht mehr gleichmäßig, sondern von Punkt zu Punkt verschieden
(inhomogen), nach Stärke und Richtung.
Man erhält das Dipolfeld, wenn man annimmt, dass jede Kugel ihr „eigenes“
Radialfeld ausbildet, so als ob die jeweils andere Kugel nicht vorhanden
wäre. Die Feldstärke des Dipolfeldes ergibt sich dann, indem man in jedem
Punkt die beiden Feldstärken der beiden Kugeln vektoriell addiert.
Folie Feldlinien zweier Kugeln
Zwei (oder mehr) elektrische Felder überlagern sich unabhängig voneinander. Die Gesamtfeldstärke in einem Punkt des Raumes erhält man durch
vektorielle Addition der einzelnen Felder.
Hausaufgabe 2 (gesonderte Datei Feldlinienbilder_HA.doc)
Lesen Buch S. 269 „Grundlagen Felder“ inkl. „Influenz“!
Sie sehen in den Abbildungen das Feldlinienbild zweier geladener Kugeln.
Die linke (1) trägt jeweils eine Ladung von 10 C. Schätzen Sie die Ladung
der rechten Kugel (2) ab!
Lösung:
1.3.1 Definition der Feldstärke
Die elektrische Feldstärke E ist definiert als die Kraft, die auf eine (positive)
Ladungseinheit ausgeübt wird. Die Vorstellung dabei ist die, dass die eine
Ladung, sagen wir Q1, das Feld erzeugt (felderzeugende Ladung) und die
andere (Q2) dazu dient, dieses Feld auszumessen. Diese Ladung wird daher
auch als Probeladung oder Testladung bezeichnet.
Konvention:
•
Q bzw. Q1:
felderzeugende Ladung
•
QP bzw. Q2:
Probeladung
Da die elektrische Kraft immer von beiden Ladungen abhängt, ist die Kraft
selbst keine geeignete Größe, um das Feld der Ladung Q1 zu kennzeichnen.
Wir müssten dazu immer eine gleich große Probeladung benutzen, um vom
Einfluß der Probeladung unabhängig zu werden. Dies erreichen wir mathematisch, indem wir die Kraft durch die Probeladung teilen. So erhalten wir
eine von der jeweiligen Probeladung unabhängige Größe, die nur noch von
der felderzeugenden Ladung Q1 abhängt. Wir definieren daher als elektrische
Feldstärke E (Buch S. 271):
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Formel 2: E(x, y, z) = F(x, y, z) / QP am Ort x, y, z (QP = Probeladung)
Als Maßeinheit der Feldstärke ergibt sich aus der Definitionsgleichung N/C.
Somit ergibt sich die Kraft auf eine Ladung QP bei bekannter Feldstärke als
F(x, y, z) = E(x, y, z) ∗ QP
Die Kraft wirkt in Richtung der Tangente an die Feldlinie am Ort x, y, z.
Diese Formeln gelten noch allgemein für jedes elektrische Feld (jeweils am
Ort x, y, z).
Folie Feldlinie des Dipolfeldes
Beispiel: An einem bestimmten Punkt betrage die Feldstärke E = 8000 N/C.
Wir bringen eine Probeladung QP = 10 µC an diesen Punkt. Welche Kraft wird
auf die Ladung wirken?
Lösung: F = E ∗ QP = 8000 N/C ∗ 10 µC = 80 000 µN = 0,08 N, also eine
recht kleine Kraft. Welchem Gewicht entspricht sie? 8,15 g
Die elektrische Feldstärke E am Ort x, y, z ist definiert als der Quotient aus
der elektrischen Kraft F an diesem Ort auf eine Probeladung QP und der Probeladung:
E(x, y, z) = F(x, y, z) / QP (Maßeinheit: N/C)
Dadurch hängt die Feldstärke nur noch von der Ladung ab, die das Feld
erzeugt. Im Allgemeinen ist das elektrische Feld in jedem Punkt x, y, z des
Raumes nach Betrag und Richtung verschieden.
Eine allgemeingültige Formel lässt sich daher nicht angeben, es hängt von
der Form (bzw. Verteilung) der felderzeugenden Ladung ab. Wir können
daher nur zwei einfache Spezialfälle betrachten: das homogene Feld und das
Radialfeld.
Übungsaufgaben: Buch S. 270 A2 und A4.
Hausaufgabe 3
a)
Auf eine kugelförmige Probeladung mit der Ladung QP = 68 nC wirkt in
einem elektrischen Feld eine Kraft von 0,34 N. Welche Feldstärke
herrschte am Ort der Ladung?
b)
Wie groß müsste die Feldstärke sein, damit die gleiche Probeladung eine
Kraft entsprechend einem Gewicht von 12 g erfährt?
c)
Lesen Buch S. 270 „Xerographie“!
d)
Lesen Buch S. 271 „Grundlagen: Definition der elektr. Feldstärke“
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Lösung: a)
b)
d) auf die Einheit As kurz eingehen!
1.4 Das homogene Feld
(Buch S. 269): Als homogen bezeichnet man ein Feld, das in allen Punkten
des Raumes nach Stärke und Richtung gleich ist. Praktisch lassen sich
homogene Felder nur in kleinen, begrenzten Bereichen des Raumes herstellen. Ein Beispiel ist das Feld zwischen zwei entgegengesetzt geladenen Platten (s. Abb. weiter oben).
Die Feldstärke E ist dann eine konstante Zahl, z. B. 8000 N/C (daher können
die Argumente (x, y, z) jetzt entfallen). Bringen wir in dieses Feld eine
Ladung QP (z. B. 0,6 mC), so lässt sich leicht die Kraft auf diese Ladung
berechnen.
F = QP∗E = 0,6∗10-3 C ∗ 8∗103 N/C = 4,8 N
Die Kraft zeigt bei einem positiven Wert in Richtung der Feldlinien. Hätten
wir eine negative Ladung genommen, ergäbe sich auch ein negativer Wert
für die Kraft, was uns anzeigt, daß die Kraftrichtung entgegengesetzt der
Richtung der Feldlinien ist.
Ein Feld, dessen Stärke und Richtung in einem begrenzten Raumbereich
konstant ist, bezeichnet man als homogen. Seine Feldlinien verlaufen parallel in gleichen Abständen.
Übungsaufgabe (möglichst erst nach Bearbeitung der Hausaufgabe 3): Buch
S. 272 A2: E = F/Q .
a) E = 1∗10-4 N / 5∗10-9 C = 2∗104 N/C
b) E = 4∗104 N/C
Vergleich mit der Schwerkraft: Was entspricht der Probeladung bzw. der
Feldstärke?
Hausaufgabe 4
In ein homogenes Feld E = 20 000 N/C wird ein Probekörper der Masse
m = 15 g mit der Ladung QP = 3 µC gebracht. Welche (elektrische) Kraft
wirkt auf den Probekörper? Welche Beschleunigung erfährt der Probekörper? Wie weit bewegt sich der anfangs ruhende Probekörper dadurch binnen einer Zehntelsekunde? Wie groß ist die Kraft dort? (Von der Wirkung
der Erdanziehungskraft soll dabei abgesehen werden.)
Lösung: Fel =
a=
s(t) =
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Es bleibt noch zu klären, wie denn die elektrische Feldstärke mit der Ladung
auf den Platten, die das Feld erzeugen, zusammenhängt. Man wird intuitiv
erwarten, daß die Feldstärke proportional zu der Ladung auf den Platten ist.
Dies ist auch der Fall. Dabei spielt aber noch eine andere Größe eine Rolle,
nämlich die Fläche der Platten. Je kleiner die Fläche der Platten ist, desto
höher ist bei gleicher Ladung die Feldstärke. Eine kleinere Fläche bedeutet
nämlich, daß die Ladung konzentrierter auf den Platten sitzt. Letztlich ist es
also diese Ladungskonzentration, zu der die Feldstärke proportional ist. Sei
Q die felderzeugende Ladung auf einer der beiden Platten und A deren Fläche, so gibt der Quotient Q/A die Ladungskonzentration an (in C/m2). Diesen
Quotienten nennt man auch Flächenladungsdichte. Wir halten also fest:
E ∼ Q/A
Unter der Flächenladungsdichte versteht man die Ladung eines Körpers
geteilt durch seine Oberfläche (in C/m²). Die Stärke des von einem geladenen Körper erzeugten Feldes ist der Flächenladungsdichte proportional.
Um daraus eine Gleichung zu machen, brauchen wir noch einen Proportionalitätsfaktor. Als solcher tritt hier der Kehrwert der elektr. Feldkonstante ε0
auf. Ihr Zahlenwert ist 8,8542∗10-12 C2/(N m2). Als Ergebnis erhalten wir für
das homogene Feld zwischen zwei geladenen Platten (Buch S. 281):
Formel 3: E =
Q
ε0 A
Die Ladung Q sei die positive Ladung der einen Platte, die andere trägt dann
eine gleiche Ladung entgegengesetzten Vorzeichens.
Beispiel: Die Ladung einer Platte betrage 5 µC, die Platten sind kreisförmige
Scheiben mit R=0,1 m Radius, die Fläche A ist dann 0,0314 m2. Die Flächenladungsdichte beträgt Q/A = 0,159∗10-3 C/m2. Die Feldstärke ist dann
17,975∗106 N/C.
Hausaufgabe 5
a) Ein Kondensator bestehe aus zwei quadratischen Platten der Kantenlänge
a = 4 cm und Abstand d = 3 mm. Die Ladung auf einer der beiden Platten
sei Q = 32 nC. Welche Feldstärke entsteht im Raum zwischen den Platten?
b) Ein Kondensator bestehe aus zwei rechteckigen Platten mit den Abmessungen a = 6 cm und b = 8,5 cm. Eine in sein Feld gebrachte Probeladung QP = 2 nC erfährt eine Kraft F = 0,05758 N. Welche Ladung tragen
die Platten?
Lösung:
a)
A=
E = Einheitennachweis: = N/C
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b)
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A=
Q = Einheit: .
Folgt AB_Elektrostatik1.doc
1.4.1 Arbeit im homogenen Feld
Buch S. 273: Wir stellen uns eine positive Probeladung QP in einem homogenen Feld der Stärke E vor. Auf die Ladung wirkt dann eine elektrische Kraft
Fel. = QP∗E. Die Probeladung befinde sich anfangs am Ort A und soll von dort
nach B verschoben werden. Dazu müssen wir eine gleich große Gegenkraft
Fmech. = -QP∗E aufbringen. Da eine Kraft in Richtung des Verschiebungsweges
wirkt, wird eine Arbeit von „uns“ geleistet. Nach der für konstante Kräfte
gültigen Formel W = F∗∆s (s. Mechanik) erhalten wir als Arbeit (im Buch
wird W auch mit ∆Emech bezeichnet):
Wmech A,B = -QP∗E∗∆s
Berücksichtigen wir -∆s = -(sB-sA) = sA-sB, so erhalten wir:
Formel 4: Wmech A,B = QP ∗ E ∗ (sA-sB)
Als Maßeinheit ergibt sich C∗N/C∗m = Nm
= J.
Das Ergebnis wird positiv ausfallen (d. h.
„wir“ leisten Arbeit), da sA>sB. Umgekehrt
leistet das Feld eine gleich große Arbeit bei
der Verschiebung in umgekehrter
Richtung:
E
+
+
+
+
+
+
+
+
Fmech.
0
B
+
A
-
Fel.
d
s-Achse
Formel 5: WFeld B,A = Wmech A,B = -WFeld A,B
Beispiel: Die Feldstärke in einem Kondensator (Plattenabstand 2 cm) sei
E=3000 N/C, die Probeladung sei 1 mC. Welche Arbeit müssen wir
leisten, wenn die Probeladung frei von der positiven zur negativen Platte
markieren
fliegt?
(wird
fortgesetzt)
Lösung: Es ist hier sA=0 cm, sB=2 cm = d, folglich sA-sB = -2cm.
Wmech A,B = 1∗10-3 C∗3000 N/C∗(-0,02 m) = -0,06 Nm = -0,06 J.
M. a. W. das Feld leistet eine Arbeit von +0,06 J.
Vergleichen mit dem Schwerefeld der Erde!
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Die Kraftwirkung eines elektrischen Feldes E auf eine Probeladung QP führt
dazu, dass das Feld eine Arbeit leistet. Die Probeladung „gewinnt“ dadurch
Energie. In dem homogenen Feld lassen sich Kraft und Arbeit gemäß
F = QP∗E
Wmech. A,B = QP ∗ E ∗ (sA-sB)
berechnen. Die Arbeit des Feldes ist das Negative davon. Das Vorzeichen der
Arbeit ist meist irrelevant.
Hausaufgabe 6
In dem Kondensator der Hausaufgabe 5 (Teil a) fliegt ein Elektron frei von
der negativen zur positiven Platte. Welche Energie nimmt es dabei auf?
Lösung: E = , QP= , d = ,
W=
1.4.2 Potenzielle Energie im elektrischen Feld
Die hineingesteckte Arbeit kann wieder freigesetzt werden indem wir die
Ladung der Wirkung der elektrischen Kraft überlassen. In der in einem
elektr. Feld befindlichen Probeladung steckt daher Energie (=Fähigkeit,
Arbeit zu leisten), die von der Lage im elektrischen Feld (d. h. im Fall des
homogenen Feldes von der s-Koordinate) abhängt. Wir definieren daher als
potenzielle Energie der Probeladung im homogenen elektrischen Feld
Formel 6: Wpot = -QP ∗ E ∗ s
Mit dieser Definition lässt sich die Arbeit dann wieder als Differenz der
potenziellen Energien schreiben:
WA,B = Wpot,B – Wpot,A = -QP ∗ E ∗ sB – (-QP ∗ E ∗ sA) = QP ∗ E ∗ (sA – sB)
Vergleichen mit dem Schwerefeld der Erde! (QP ist negativ für Anziehung)
Beispiel (Fortsetzung des vorigen Beispiels): Die pot. Energie am Ort A bzw.
B ist
Wpot,A = -QP ∗ E ∗ sA = -1∗10-3 C ∗ 3000 N/C ∗ 0,00 m = 0 J
Wpot,B = -QP ∗ E ∗ sB = -1∗10-3 C ∗ 3000 N/C ∗ 0,02 m = -0,06 J
Die Arbeit für die Verschiebung von A nach B ergibt sich dann aus
Wmech A,B = Wpot,B – Wpot,A = -0,06 J – (0 J) = -0,06 J = -WFeld A,B.
Es ergibt sich somit wieder der gleiche Wert. Bei einem negativen Wert
leistet das Feld die Arbeit für die Verschiebung von A (0 cm) nach B
(2 cm).
Eine Probeladung QP in einem homogenen elektrischen Feld E besitzt potenzielle Energie, die sich nach der Formel Wpot = -QP ∗ E ∗ s berechnen lässt.
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Hausaufgabe 7
Zwischen zwei geladenen Platten, die einen Abstand von 3 mm haben,
herrscht eine Feldstärke von 4000 N/C. Die linke Platte sei positiv
geladen.
a)
Skizzieren Sie die Situation (bei den folgenden Punkten zu ergänzen).
b)
Wie groß ist die potenzielle Energie einer Ladung von 8 mC in 1 mm
Abstand von der negativen Platte?
c)
Welche Kraft wirkt auf die Ladung? (Kraftvektor Skizze)
d)
Welche mechanische Arbeit ist jeweils zu leisten, um die Ladung aus
ihrer Position zu beiden Platten zu verschieben?
Lösung:
Übungsaufgabe 1: Ein radioaktives Präparat wird in ein homogenes Feld der
Stärke E = 1,6∗108 N/C so platziert, dass es sich 10 mm vor der positiven Platte befindet. Das Präparat sendet α-Teilchen mit der Energie
Wkin = 4∗10-13 J aus. (Ein α-Teilchen besteht aus 2 Protonen und 2
Neutronen.) Einige α-Teilchen fliegen geradewegs auf die positive Platte
zu. In welchem Abstand kommen sie zum Stillstand? Skizzieren Sie die
Situation! Demo Alphateilchen_im_hom_Feld.xls
Lösung: Wir lösen die Aufgabe mit Hilfe einer Energiebetrachtung. In
dem gesuchten Abstand sB muss die kinetische Energie des α-Teilchens
0 sein. Die anfängliche kinetische Energie am Ort sA=10 mm ist in der
Aufgabe bereits gegeben. Um die potenzielle Energie dort zu berechnen,
müssen wir zunächst die Probeladung berechnen:
QP = 2e = 3,2044∗10-19 C
Die potenzielle Energie am Ort sA = 10 mm ergibt sich damit zu
Wpot,A = -2e∗E∗sA = -3,2044∗10-19 C∗1,6∗108 N/C∗10∗10-3 m =
-5,127∗10-13 Nm
Somit ist die Gesamtenergie Wges=Wkin+Wpot:
Wges,A = 4∗10-13 J + (-5,127∗10-13 Nm) = -1,127∗10-13 J
Die potenzielle Energie am Ort sB ist noch unbekannt:
Wpot,B = -QP·E·sB = -3,2044∗10-19 C∗1,6·108 N/C·sB = -5,127∗10-11 N·sB
Zusammenstellung der Ergebnisse:
Wkin [J]
Wpot [J]
Wges [J]
A (10mm)
4∗10-13
-5,127∗10-13
-1,127∗10-13
B (gesucht)
0
-5,127∗10-11 N·sB
-5,127∗10-11 N·sB
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Nach dem Energieerhaltungssatz bleibt die Gesamtenergie unverändert.
Daraus ergibt sich die unbekannte Koordinate sB:
-1,127∗10-13 J
-1,127∗10
J = -5,127∗10
N·sB ⇒ sB =
= 2,198 mm
-5,127∗10-11 N
(EN.: J=Nm ⇒ J/N = Nm/N = m)
-13
-11
Skizze Wpot(s), Wkin(s), Wges(s) anfertigen lassen! Die Wpot(s) Kurve gibt
uns einen Hinweis darauf, wie sich das Alphateilchen im elektr. Feld
bewegt. Stellt man sich die Kurve als Querschnitt durch einen hölzernen
Abhang vor, so bewegt sich das Alphateilchen wie eine Eisenkugel mit
Anfangsgeschwindigkeit (entsprechend Wkin) auf diesem Abhang entlang
der s-Achse. D. h. das Alphateilchen vollführt die auf die s-Achse
projizierte Bewegung der Kugel.
Hausaufgabe 8
Bezogen auf die Übungsaufgabe 1 im Unterricht: Bei welcher kinetischen
Energie berührt das Alphateilchen die Platte gerade?
Lösung: Wkin = , v0 = .
Übungsaufgabe 2: Ein radioaktives Präparat wird in ein homogenes Feld der
Stärke E = 1,6∗108 N/C so platziert, dass es sich 15 mm vor der positiven Platte befindet. Das Präparat sendet β+-Teilchen mit der Energie
Wkin = 2,56∗10-13 J aus. (Ein β+-Teilchen ist nach heutiger Lesart ein
Antielektron.) Einige β+-Teilchen fliegen geradewegs auf die positive
Platte zu. In welchem Abstand kommen sie zum Stillstand?
Wpot,A = -QPEsA = -3,84528∗10-13 J
Wpot,B = -2,56352∗10-11 N·sB
Wkin [J]
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Wpot [J]
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Wges [J]
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A (15mm)
2,56∗10-13
-3,84528∗10-13
-1,28528∗10-13
B (gesucht)
0
-2,56352∗10-11 N·sB
-2,56352∗10-11 N·sB
Nach dem Energieerhaltungssatz dürfen wir Wges gleichsetzen:
-1,28528∗10-13 J = -2,56352∗10-11 N·sB ⇒
sB = 0,005014 m = 5,014 mm
1.4.3 Potenzial und Spannung
Das elektrische Feld trägt also eine Energie in sich. Die bisher definierten
Größen Arbeit und potenzielle Energie hängen aber auch noch von der Probeladung ab. Um davon unabhängig zu werden, definieren wir, ähnlich wie
bei der Definition der Feldstärke, eine neue Größe, das elektrische Potenzial V, indem wir die potenzielle Energie durch die Probeladung teilen. Das
Potenzial ist also allgemein definiert als:
Formel 7: V = Wpot / QP
Als Maßeinheit für V ergibt sich zunächst J/C, eine Einheit, die man als Volt
(V) bezeichnet (nach dem italienischen Naturforscher Alessandro Volta,
1745 – 1827).
1 V = 1 J / 1 C = 1 J / 1 As
Das Potenzial drückt also die Fähigkeit des elektr. Feldes, Arbeit zu leisten,
aus, ohne dabei auf eine Probeladung Bezug zu nehmen. Es hängt somit nur
vom Feld (bzw. der felderzeugenden Ladung) ab.
Speziell für das homogene Feld erhalten wir für das Potenzial:
Formel 8: V = -E ∗ s
Vergleichen mit dem Schwerefeld der Erde! (g∗h)
Den Nullpunkt für s können wir beispielsweise auf die Oberfläche der positiven felderzeugenden Ladung legen. Die Wahl ist letztlich willkürlich, da nur
die Arbeit eine messbare Größe von physikalischer Bedeutung ist.
Potenzialverlauf zwischen den Platten skizzieren lassen!
Beispiel (Fortsetzung des vorigen Beispiels): Für die pot. Energie am Ort A
bzw. B ergaben sich die Werte Wpot,A = 0 J bzw. Wpot,B = -0,06 J. Die
Probeladung QP war 1 mC, so dass sich nach der allgemeinen Formel
V = Wpot / QP ergibt:
VA = 0 J / 1∗10-3 C = 0 V
VB = -0,06 J / 1∗10-3 C = -60 V.
Wenden wir die Formel für das homogene Feld V = -E ∗ s an, so ergibt
sich (E = 3000 N/C, sA=0 m, sB=0,02 m, s. S. 8):
VA = -3000 N/C ∗ 0 m = 0 V,
VB = 3000 N/C ∗ 0,02 m = -60 V.
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12
Physik BG12
Elektrostatik
Die durch die Probeladung QP dividierte potenzielle Energie bezeichnet man
als das elektrische Potenzial V: V = Wpot / QP
Es kennzeichnet die Fähigkeit des elektrischen Feldes, Arbeit zu leisten. Das
Potenzial hängt i. A. von dem Punkt im Raum ab, an dem es berechnet werden soll. Speziell im homogenen Feld lässt es sich durch V = -E∗s
berechnen. Seine Maßeinheit ist das Volt (V), wobei gilt: 1 V = 1 J / 1 C.
Anmerkung zur Maßeinheit:
Aus der Mechanik wissen wir, dass 1 J = 1 Nm ist. Also folgt:
1 V = 1 Nm / 1 C
Daraus erhalten wir durch Umstellen (Division durch 1 m):
1 V/m = 1 N/C
Somit kann die Feldstärke E auch in V/m angegeben werden, was üblicherweise auch getan wird. Für die Berechnung von Kräften ist jedoch die Einheit
N/C praktischer.
Mit der neuen Größe Potenzial lässt sich die Arbeit einfach berechnen:
WA,B = -QP∗E∗sB – (-QP∗E∗sA) = QP∗(-E∗sB – (-E∗sA)) =QP∗(VB – VA)
Die an der Probeladung verrichte Arbeit ergibt sich also aus
Probeladung ∗ Potenzialdifferenz. Die Potenzialdifferenz nennt man
elektrische Spannung U (auch in Volt).
Formel 9: UA,B = VB – VA
Damit ergibt sich für die Arbeit (gilt allgemein, nicht nur im homogenen
Feld):
Formel 10: WA,B = QP ∗ UA,B
Arbeit = Probeladung ∗ Spannung
Beispiel (Fortsetzung des vorigen Beispiels): Die Spannung zwischen den
Punkten A und B beträgt
UA,B = VB – VA = -60 V – 0 V = -60 V
Damit ergibt sich die Verschiebearbeit der Probeladung QP = 1 mC von
A nach B zu
WA,B = QP ∗ UA,B = 1∗10-3 C ∗ -60 V = -0,06 J
Lösen wir Formel 10 nach U auf, so erhalten wir U=W/QP. Somit können wir
die Spannung als die Arbeit verstehen, die pro Probeladung aufgebracht
wurde. Betrachten wir z. B. eine Batterie. In ihr wird durch eine chemische
Reaktion Arbeit zum Trennen von Ladungen aufgebracht. Die Spannung der
Batterie gibt dann die Trennarbeit pro Ladungseinheit, also pro Coulomb, an.
(Als Probeladung wäre hier also die getrennte Ladung anzusetzen.) Diese
Arbeit steht dann als elektrische Energie zur Verfügung und kann in einem
äußeren Stromkreis wieder freigesetzt werden. Die „erzeugte“ Ladung fließt
vom Pluspol der Batterie über einen Verbraucher, z. B. eine Glühbirne, zum
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Physik BG12
Elektrostatik
Minuspol (sog. technische Stromrichtung) und liefert uns einen Strom.
Genauer gesagt ist der Strom definiert durch
Formel 11: I = Q/t
Er wird in Ampere (A) gemessen, wobei 1 A = 1 C/s ist. Da die Trennarbeit
einer Batterie begrenzt ist, ist auch die „erzeugte“ Ladungsmenge begrenzt.
Daher fließt der Strom I nur für eine begrenzte Zeit, dann ist die Batterie
erschöpft.
Speziell in einem homogenen Feld ist die Spannung einfach durch
UA,B = VB – VA = -E∗sB – (-E∗sA) = E ∗ (sA – sB)
gegeben.
Formel 12: UA,B = E ∗ (sA – sB)
im homogenen Feld
Insbesondere ergibt sich die Spannung zwischen den Platten eines Plattenkondensators, indem man für ∆s den Plattenabstand d einsetzt (s. Buch S.
273). Aus Formel 12 ersehen wir, dass mit einem elektr. Feld immer eine
Spannung einhergeht. Dies gilt auch für inhomogene Felder. Es gilt auch
umgekehrt, dass, wenn eine Spannung gemessen wird, ein elektr. Feld
vorliegen muss. Messtechnisch lassen sich Spannungen einfacher nachweisen (mit einem Voltmeter).
Ein elektr. Feld geht immer mit einer Spannung einher und umgekehrt.
Beispiel (Fortsetzung des vorigen Beispiels): Mit E = 3000 N/C, sA=0 m,
sB=0,02 m ergibt sich nach dieser Formel
UA,B = 3000 V/m ∗ (0 m – 0,02 m) = 3000 ∗ -0,02 m = -60 V
Zusammenfassung des Beispiels: E=3000 N/C, d=2 cm, QP=1 mC.
A (0 m)
potenzielle Energie
Wpot = -QP·E·s
AB
B (0,02 m)
Arbeit
0J
-0,06 J
WA,B=QP·E·(sA-sB)
-0,06 J
WA,B=Wpot,B-Wpot,A
-0,06 J
WA,B=QP·UA,B
-0,06 J
Division durch QP ergibt daraus:
Potenzial
V = -E·s
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Spannung
0V
-60 V
UA,B=VB-VA
-60 V
UA,B=E·(sA-sB)
-60 V
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Physik BG12
Elektrostatik
Die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten A und B im Raum wird als
Spannung U bezeichnet. Sie gibt die durch die Probeladung geteilte Arbeit
an, die aufgewandt werden muss, um die Probeladung von A nach B zu verschieben.
UA,B = WA,B / QP = VB – VA
Die Spannung wird ebenfalls in Volt angegeben. Speziell im homogenen Feld
ist die Spannung durch UA,B = E ∗ (sA –sB) gegeben.
Hausaufgabe 9
a)
Welche Spannung herrscht zwischen den Platten des Kondensators
der Hausaufgabe 7?
b)
Wie groß ist das Potenzial in 1, 2, 3 mm Abstand von der positiven
Platte?
c)
Welche Arbeit ist erforderlich, um die Ladung von der einen zur
anderen Platte zu verschieben?
Lösung:
Musteraufgabe Buch S. 273 in Stillarbeit durcharbeiten, Fehler finden!
1.4.4 Beschleunigte Elektronen
Auf eine Probeladung in einem elektr. Feld wirkt eine Kraft, die die Probeladung beschleunigt (von der Schwerkraft und Luftreibung sei hier abgesehen,
wir betrachten nur den Effekt der elektr. Kraft). Die Probeladung erhöht
dadurch ihre kinetische Energie Ekin = 1/2 m v². Wegen der Energieerhaltung
muss dies betragsmäßig mit der elektr. Feldenergie nach Formel 10 übereinstimmen: Wel. = QP∗U. Von besonderer praktischer Bedeutung ist der Fall,
dass die Probeladung ein Elektron ist (QP = e, genauer hätten wir –e nehmen müssen, aber wir werden gleich sehen, dass es auf das Ladungsvorzeichen nicht ankommt). Dieser Fall liegt in der althergebrachten Kathodenstrahlröhre1 (engl.: cathode ray tube = CRT) vor. Sie kommt in Computermonitoren, Fernsehbildschirmen und (als Braunsche Röhre) in Oszilloskopen
vor. (Heute werden Monitore und Fernsehbildschirme zunehmend durch TFTFlachbildschirme ersetzt, die nach einem anderen Prinzip arbeiten.) In der
Elementarteilchenforschung werden Elektronen (wie auch Protonen) in
grossen Linear- und Ringbeschleunigern auf hohe Geschwindigkeiten (nahe
der Lichtgeschwindigkeit) gebracht.
Anwendungsbeispiel: die Braunsche Röhre, s. Extrablatt Braunsche_Röhre.doc. Demo mit Oszilloskop.
1
Kathodenstrahlen nannte man zunächst die von der Kathode einer Röhre ausgehende
Strahlung. Wir wissen heute, dass es Elektronenstrahlen sind.
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15
Physik BG12
Elektrostatik
Beispiel: Kraft auf ein Elektron im elektrischen Feld zweier Kondensatoren:
Ein Elektron befindet sich im Feld zweier gekreuzter Kondensatoren, s. Zeichnung. Die horizontale
Feldstärke sei E1 = 1,8 N/C, die vertikale E2 =
3 N/C. Welche Kraft erfährt das Elektron und in
welche Richtung wirkt sie (als Winkel gegen die
Horizontale)?
Lösung: Nach dem Prinzip der unabhängigen
Überlagerung dürfen die beiden Kräfte F1 = -e·E1
und F2 = -e·E2 vektoriell zu einer Gesamtkraft
Fges = F1 + F2 zusammengefaßt werden. Wegen
Fges = F1 + F2 = -e·E1 + (-e·E2) = -e·(E1 + E2)
lassen sich auch beide Feldstärken zu einer Gesamtfeldstärke Eges =
E1 + E2 zusammenfassen. Mit der Gesamtfeldstärke wird dann die Kraft
wie üblich berechnet:
Fges = -e·Eges
Der Vektor der Gesamtfeldstärke wird also ganz analog zu Vektor der
Gesamtkraft als Diagonale im Feldstärkenparallelogramm gefunden, das
hier ein Rechteck ist. Für den Betrag der Gesamtfeldstärke erhält man
Eges =
E1² + E2² =
(1,8 N/C)² + (3 N/C)² = 3,499 N/C
Somit erhalten wir für den Betrag der Kraft:
Fges = e·Eges = 1,6022∗10-19 C·3,499 N/C = 5,605∗10-19 N
Die Richtung gegen die Horizontale ergibt sich aus der Beziehung
tan(α) = -E2/E1 = -3/1,8 = -12/3 ⇒ α = -59,04°
Die Gesamtkraft scheint vernachlässigbar klein zu sein. Wir vergleichen
sie mit der Gewichtskraft des Elektrons:
m = 5,4858*10-4 ∗ 1,66054*10-27 kg = 9,1094∗10-31 kg
FG = m·g = 9,1094∗10-31 kg·9,81 m/s² = 8,936∗10-30 N
Das Verhältnis der beiden Kräfte gibt uns die Beschleunigung des Elektrons in ‚g’ an:
Fges / FG = 5,605∗10-19 N/8,936∗10-30 N = 6,273∗1010 g!!!
Kein Mensch würde diese Beschleunigung aushalten!
Die zugeführte Energie (geleistete Arbeit) Wel. = e U wird (bei Versuchen mit
Elektronen) meist nicht in Joule, sondern in Elektronvolt angegeben. Es ist
dies die Energie, die ein Elektron (Proton? Neutron?) beim Durchlaufen einer
Spannung von 1 V aufnimmt. Wir erhalten als Wert:
Wel. = e∗1 V = 1,6022*10-19 C∗1 V = 1,6022*10-19 J
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| da CV=J
16
Physik BG12
Elektrostatik
Die Energie, die ein Elektron bei Durchlaufen einer Spannung von 1 V aufnimmt, ist definiert als 1 Elektronvolt (1 eV). Es gilt: 1 eV=1,6022*10-19 J.
Beispiel: Die aus der Kathode eines Fernsehgeräts (alter Bauart) emittierten
Elektronen werden durch eine Beschleunigungsspannung von UB =
120 V beschleunigt. Mit welcher Geschwindigkeit (in m/s und in Prozent
der Lichtgeschwindigkeit) prallen sie auf den Bildschirm? Wie sähe die
Rechnung mit Protonen aus? Die Anfangsgeschwindigkeit der Elektronen
[Protonen] kann näherungsweise zu Null angenommen werden.
Lösung: Mit einer Beschleunigungsspannung von UB = 120 V erhalten die
Elektronen eine (kinetische) Energie von Ekin = 120 eV. Die Geschwindigkeit ergibt sich dann aus der Formel Ekin = 1/2 m v². Dazu muss jedoch Ekin
in Joule vorliegen. Wir rechnen um:
Ekin = 120∗1,6022*10-19 J = 1,923∗10-17 J
alternativ: WA,B =
QP ∗ UA,B mit QP=e
Die Elektronenmasse in Kilogramm ist nach der Formelsammlung:
me = 5,4858*10-4 ∗ 1,66054*10-27 kg = 9,109∗10-31 kg
Auflösen der Ekin Formel nach v ergibt:
2 Ekin
v=
me
Einsetzen der Werte ergibt:
2 1,923∗10-17 J
= 6,497∗106 m/s = 2,167% von c (=0,02167c)
v=
9,109∗10-31 kg
Rechnung für Protonen:
mp = 1,007277 ∗ 1,66054*10-27 kg = 1,673∗10-27 kg
Die aufgenommene Energie der Protonen ist die gleiche wie für Elektronen!
2 1,923∗10-17 J
v=
= 1,516∗105 m/s = 0,0506% von c
1,673∗10-27 kg
EN.:
J
=
kg
kg m²/s²
=
kg
m²
= m/s.
s²
Übungsaufgabe: S. 273 A9:
Lösung (Teil b) ohne e:
Obwohl das Feld nicht genau homogen ist, verwenden wir hier der
Einfachheit halber die Näherung eines homogenen Feldes.
Energieerhaltung: |Wel.| = Ekin ⇒ e U = 1/2 m v² (Anfangsenergie vernachlässigt!) ⇒ v² = 2 (e/m) U.
e/m ist gegeben (=1,759∗1011 C/kg) ⇒ v = 18,76∗106 m/s =
67,5∗106 km/h.
Lösung mit e:
Wel. = 1000 eV = 1 keV. Umrechnung in J (s. Formelsammlung unter
„Umrechnungen“): 1000 eV = 1000×1,6022∗10-19 CV = 1,6022∗10-16 J
⇒ v² = 2 e U / m = 2 Wel./m, Masse aus Formelsammlung:
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Elektrostatik
me = 5,4858*10-4 u, Umrechnen in kg: 1 u = 1,66054*10-27 kg ⇒
me = 9,109∗10-31 kg,
v² = 2×1,6022∗10-16 J / 9,109∗10-31 kg = 3,518∗1014 m²/s²,
v = 18,76∗106 m/s
Hausaufgabe 10
a)
Berechnen Sie die Energie (in J und eV) sowie die nötige Beschleunigungsspannung, um Elektronen bzw. Protonen auf die 3fache Schallgeschwindigkeit zu beschleunigen.
b)
Lesen S. 276-278 oben „Grundlagen: Das elektr. Feld zwischen Erdoberfläche und Ionosphäre“!
Lösung: a) Elektronen: E = .
Protonen: .
1.4.5 Die Kapazität eines Kondensators
Buch S. 281: Um einen Kondensator mit der Ladungsmenge Q aufzuladen,
legt man eine Spannung U an ihn an. Man wird erwarten dürfen, dass die
aufgenommene Ladungsmenge Q proportional zur angelegten Spannung U
ist:
Q~U
Um daraus eine Gleichung zu gewinnen, wird ein Proportionalitätsfaktor
benötigt. Er wird allgemein mit C bezeichnet und Kapazität genannt:
Formel 13: Q = C∗U
Die Kapazität ist charakteristisch für den jeweiligen Kondensator und hängt
von seinen Abmessungen ab. Sie gibt die pro Volt (angelegte Spannung)
speicherbare Ladung an: C = Q/U. Folglich wird sie in der Einheit C/V angegeben. Diese Einheit wird zu Ehren von Michael Faraday auch Farad (F)
genannt. Ebenso wie das Coulomb ist auch das Farad eine sehr große Einheit. Die meisten technischen Kondensatoren haben Kapazitäten in der
Größenordnung von µF bis pF.
Die Kapazität C eines Kondensators ist das Verhältnis der gespeicherten
Ladung Q zu der angelegten Spannung U. Als Formel:
C = Q/U
Die Kapazität wird in Farad (F) angegeben, wobei gilt: 1 F = 1 C/V.
Um zu sehen, wie die Kapazität von den Kondensatorabmessungen abhängt,
gehen wir von einem Plattenkondensator mit Fläche A und Abstand d aus.
Wenn eine Spannung U angelegt wird, gelangt eine Ladung auf die Platten
und zwischen den Platten bildet sich ein homogenes elektr. Feld E = U/d
aus. Wir wissen bereits, dass das Feld dann die Stärke
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Physik BG12
E=
Elektrostatik
Q
ε0 A
hat: Durch Gleichsetzen erhalten wir:
U/d =
Q
ε0 A
U∗ε0 A/d = Q
| ∗ ε0 A
| :U
Formel 14: Q/U = C = ε0 A/d
C2 m2
C2
C2
C2
C
Prüfung der Maßeinheit:
∗
=
=
=
=
=F
Nm2 m
Nm
J
CV
V
Beispiel (im Anschluß an Hausaufgabe 5, s. Seite 7)
In a) bestand der Kondensator aus 2 quadr. Platten mit a=4 cm und
d=3 mm. Folglich ist A = (4∗10-2 m)² = 1,6∗10-3 m². Die Kapazität ist dann
C = ε0 A/d = 8,8542∗10-12 C2/(N m2)∗1,6∗10-3 m² / 3∗10-3 m =
4,722∗10-12 F = 4,722 pF
In b) waren die Platten rechteckig mit a = 6 cm und b = 8,5 cm. Die Ladung
auf den Platten hatten wir ausgerechnet zu Q = 1,3 µC. Nehmen wir ferner
an, dass eine Spannung U = 650 V herrschte, so hatte der Kondensator eine
Kapazität von
C = Q/U = 1,3 µC / 650 V = 2∗10-9 C/V = 2 nF.
Hausaufgabe 11
a)
Der Kondensator aus Hausaufgabe 5 bestand aus 2 rechteckigen
Platten mit den Maßen a = 6 cm und b = 8,5 cm. Die Kapazität sei
2 nF. Welchen Abstand hatten dann die Platten?
b)
Lesen S. 281 „Grundlagen Kapazität“!
Lösung: Aus Hausaufgabe 5 wissen wir bereits: A = 5,1∗10-3 m².
Versuch: Kondensator im Gleich- und Wechselstromkreis.
1.5 Das Radialfeld
Der zweite wichtige Spezialfall eines Feldes ist das Radialfeld (Buch S. 285).
Es entsteht, wenn eine Kugel aufgeladen wird. Es wurde bereits erwähnt,
dass sich im Außenraum der Kugel das gleiche Feld ergibt, wenn man sich
die Ladung auf einen Punkt im Mittelpunkt der Kugel konzentriert denkt. Der
Verlauf der Feldlinien wurde bereits auf S. 3 dargestellt. Das Feld ist jetzt
nicht mehr homogen, sondern es hängt vom Abstand r von der Punktladung
ab. Es ist aber noch radialsymmetrisch, d. h. nicht von der Richtung
abhängig (solch ein Feld nennt man isotrop).
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Physik BG12
Elektrostatik
Das elektr. Feld einer geladenen Kugel gleicht dem Feld eines Ladungspunktes mit gleicher Ladung im Zentrum der Kugel. Dies gilt jedoch nur für
den Außenraum der Kugel.
Die Feldstärke E ist demnach nicht mehr konstant, sondern vom Abstand r
abhängig. Um diese Abhängigkeit von r herauszufinden, stellen wir folgende
Überlegung an:
1. Wir betrachten eine Kugel mit Radius R und Ladung Q. Beim homogenen
Feld fanden wir heraus, dass die Feldstärke von der Flächenladungsdichte
Q/A abhängt. Das dortige Ergebnis ist auch auf eine geladene Kugel übertragbar (den Beweis dafür müssen wir hier schuldig bleiben):
E=
Q
ε0 A
Im Gegensatz zum homogenen Feld bezieht sich hier die Feldstärke jedoch nur auf die unmittelbare Kugeloberfläche.
2. Nach einem weiteren, bereits erwähnten Satz (der hier ebenfalls unbewiesen bleiben muss) ist der Feldverlauf im Aussenraum der Kugel der
gleiche wie von einem im Mittelpunkt der Kugel gelegenen Punkt gleicher
Ladung.
3. Dieser Ladungspunkt könnte aber ebensogut von einer gedachten, größeren Kugel gleicher Ladung mit einem (gedachten) Radius r stammen. Wir
setzen hier lediglich r > R voraus. In Gedanken können wir also den
Ladungspunkt auf diese größere Kugel „aufblasen“. Die oben angegebene
Formel für die Feldstärke auf der Kugeloberfläche wird sich dann ebensogut auf diese größere, gedachte Kugel übertragen lassen. Da die Oberfläche dieser Kugel durch A = 4 π r2 gegeben ist, erhalten wir als Ergebnis:
Formel 15: E(r) =
1 Q
4πε0 r2
Funktion skizzieren lassen!
Bei positiver Ladung erhalten wir ein positives Ergebnis für die Feldstärke,
die Feldlinien zeigen dann von der Kugel weg. Ein negativer Wert zeigt uns
dagegen an, dass die Feldlinien zur Kugel hin zeigen. Als Feldstärke ist dann
der Absolutbetrag zu nehmen.
Der Abstand r ist immer vom Mittelpunkt der Kugel aus zu messen, also
dort, wo die gedachte Punktladung sitzt. Es sei hier noch einmal erwähnt,
dass die Punktladung natürlich nur eine gedankliche Idealisierung darstellt.
Beispiel: Eine Kugel trage eine Ladung von 10 µC. Welche Feldstärke ergibt
sich in 10 cm Abstand vom Kugelmittelpunkt?
Lösung: E = 10∗10-6 C / (4∗π∗8,8542∗10-12 C2/(N m2)∗0,12 m2) =
8,988∗106 N/C (wird auf S. 22 fortgesetzt)
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Physik BG12
Elektrostatik
Frage: Welche Feldstärke ergibt sich in 30 cm Abstand?
Beispiel (in kartesischen Koordinaten): Eine Kugel mit Ladung 0,3 µC sitzt im
Ursprung des Koordinatensystems. Wie groß ist die Feldstärke am Ort
x = 0,32 m, y = 0,24 m, z = 0,3 m?
Lösung: r² = x² + y² + z² = 0,25 m²
⇒ r = 0,5 m
E(0,5m) = 0,3∗10-6 C/(4∗π∗8,8542∗10-12 C2/(N m2)∗0,25 m2) =
10785 N/C
Das elektrische Feld einer mit der Ladung Q geladenen Kugel (bzw. Punktladung) verläuft strahlenförmig von der Kugel weg (positive Ladung) bzw. zu
ihr hin (negative Ladung). Die Feldstärke im Abstand r vom Kugelmittelpunkt ist gegeben durch
E=
1 Q
4πε0 r2
Hausaufgabe 12
a) Eine Kugel mit 2 cm Radius sei mit einer Ladung von 5 nC geladen.
Berechnen Sie die Feldstärken in 0 cm, 2 cm, 6 cm und 10 cm Abstand
von der Kugeloberfläche! Tragen Sie die Werte in ein E-r-Diagramm ein
(E-Achse: 1∗105 N/C =
ˆ 10 cm, die umgerechneten Werte werden
tabellarisch notiert; r-Achse: 1:1)!
b) In welchem Abstand erzeugt eine mit 5 mC geladene Kugel eine Feldstärke von 19,972∗106 N/C?
c) Lesen im Buch S. 285 „Grundlagen“!
Lösung: a)
b)
1.5.1 Das Coulomb’sche Gesetz
Bringen wir in dieses Feld im Abstand r eine Probeladung Qp, so wirkt auf die
Probeladung eine Kraft F, die sich gemäß der allgemeinen Beziehung
F = QP∗E
ergibt zu
Formel 16: F =
1 Q QP
4πε0 r2
Diese Gesetzmäßigkeit, die der französische Physiker Charles Augustin de
Coulomb (1736 – 1806) bereits 1785 fand, nennt man zu seinen Ehren das
Coulomb’sche Gesetz. Es hat eine auffällige Ähnlichkeit mit dem allgemeinen
Gravitationsgesetz von Newton, die de Coulomb zur Auffindung des Gesetzes
auch ausnutzte.
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21
Physik BG12
Elektrostatik
Beispiel: In das Feld des vorvorigen Beispiels von S. 20 (es war Q=10 µC)
bringt man in 10 cm Abstand eine weitere geladene Kugel mit der Ladung
0,3 µC. Die auf sie wirkende Kraft ist dann
10∗10-6 C∗0,3∗10-6 C
1
F=
= 2,7 N
4π∗8,8542∗10-12 C2/(N m2)
(0,1 m)2
Alternativ kann man mit der Formel F = QP∗E auch die Kraft berechnen, da
wir die Feldstärke im vorvorigen Beispiel schon zu E = 8,988∗106 N/C
berechnet hatten. Das ergibt:
F = 0,3∗10-6 C∗8,988∗106 N/C = 2,7 N
Ein positives Ergebnis zeigt an, dass eine Abstoßung vorliegt, anderenfalls
wäre die Kraft anziehend. Für die Stärke der Kraft ist allein der Absolutbetrag massgebend.
Die auf eine Probeladung QP wirkende Kraft im Abstand r einer mit der
Ladung Q geladenen Kugel lässt sich nach dem Coulomb’schen Gesetz
F=
1 Q QP
4πε0 r2
berechnen.
Hausaufgabe 13
In das elektrische Feld einer geladenen Kugel bringt man als Probeladung
eine zweite Kugel mit einer bekannten Ladung von 2 µC. Im Abstand von
12 cm (Mittelpunkt zu Mittelpunkt) wirkt auf die Probeladung eine Kraft
von 18,724 N. Welche Ladung trägt die andere Kugel?
Lösung:
Einheitennachweis: =C
1.5.2 Arbeit im Radialfeld
Die Arbeit ist allgemein definiert als das Wegintegral der Kraft:
B
Formel 17: WA,B = ⌠
⌡F(s) ds
A
Für den Fall der Coulomb-Kraft erhalten wir daraus:
B
WA,B,Feld
B
B
Q QP ⌠ 1
⌠ 1 Q QP
Q QP
Q QP  1 1 
=
dr =
1/r] = 
2
2 dr = [
 - 
4πε
r
4πε
r
0
0
⌡
4πε
A
4πε0 rB rA
⌡
0
A
A
Da „wir“ eine entgegengesetzt gerichtete Kraft aufbringen müssen (also -FC),
ist die von „uns“ zu verrichtende Arbeit das Negative davon:
Formel 18: WA,B =
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Q QP  1
1
 – 
4πε0 rB rA
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22
Physik BG12
Elektrostatik
Beispiel: In das Feld einer geladenen Kugel mit Q=0,1 mC wird in 10 cm
Abstand eine Probeladung mit QP=1 µC gebracht. Welche Arbeit ist aufzubringen, um die Probeladung der Kugel um 1 cm zu nähern?
Lösung: Es ist rA=0,1 m und rB=0,09 m. Die Arbeit erhalten wir gemäß
der Formel:
10-4C∗10-6C  1
1 
-1
WA,B=

 = 0,8988 Jm∗(1,111m ) =
4πε0
0,09m 0,1m
0,998615 J ≈ 1 J
EN:
C²
 1 - 1  = C² Nm² 1 = Nm² = Nm = J


C²/(Nm²) m m
C²
m
m
Beispiel 2: In das Feld einer geladenen Kugel mit Ladung Q=0,1 mC wird in
10 cm Abstand eine Probeladung mit QP=-1 µC gebracht. Welche Arbeit
ist aufzubringen, wenn Kugel 2 von Kugel 1 entfernt wird, d. h. in einem
unendlich weitem Abstand?
In diesem Beispiel kann rB nicht angegeben werden, vielmehr kann es
über alle Grenzen wachsen. Wir müssen also WA,B für den Grenzfall
rB ∞ bestimmen. Es ist
lim WA,B = lim Q QP∗ 1 – 1  = Q QP ∗ lim  1 – 1  = Q QP ∗– 1 
rA
4πε0 rB∞rB rA
4πε0  rA
rB∞
rB∞ 4πε0 rB
WA,∞ = -
Q QP
4πε0rA
Wir setzen ein: WA,∞ = -
0,1∗10-3 C (-1∗10-6 C)
= 8,9875 J
4π 8,8542∗10-12 C²/(Nm²) 0,1 m
Man nennt dies die Bindungsenergie der beiden Kugeln. Umgekehrt wird
sie frei, wenn Kugel 1 sich aus großer Entfernung die zweite Kugel einfängt (bis auf den Abstand von 0,1 m). Ein System aus zwei entgegengesetzt geladenen Kugeln enthält also Energie (im Rahmen der Atomphysik wäre Kugel 1 der positive Atomkern und Kugel 2 ein Elektron,
das um den Kern kreist).
Hausaufgabe 14
Eine Kugel K1 trägt die Ladung Q1 = 45 µC und hat den Radius R1 =
1,5 cm. Eine zweite Kugel K2 trägt die Ladung Q2 = -6 µC und hat den
Radius R2 = 7 mm. Der Abstand der beiden Kugeln beträgt zu Anfang
8 cm. Die Kugel 2 nähert sich nun der anderen Kugel bis zur gegenseitigen Berührung. Welche Arbeit ist dazu zu leisten? Wer leistet sie?
Lösung: rA = 8∗10-2 m, rB =
WA,B = ∗
J, d. h..
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BG12_2014_Elektro.doc
23
Physik BG12
Elektrostatik
1.5.3 Potenzielle Energie im Radialfeld
Da die Arbeit immer die Differenz der potenziellen Energie sein soll, setzen
wir an:
WA,B = Wpot,B - Wpot,A
so dass sich die potenzielle Energie ergibt zu
Formel 19: Wpot =
Q QP
4 π ε0 r
Mathematisch ist die potenzielle Energie eine Stammfunktion der Kraft,
hier also von -FC. Die willkürliche Lage des Nullniveaus bedeutet mathematisch, dass die Integrationskonstante willkürlich gewählt werden kann.
Beispiel (Daten des vorvorigen Beispiels): An der Stelle A (rA = 0,1 m) ergibt
sich
Wpot,A =
10-4C∗10-6C
1
1
= 0,8988 Jm∗10
=
-12
2
2 ∗
4π∗8,8542∗10
C /(N m ) 0,1 m
m
8,988 J
An der Stelle B (rB = 0,09 m) ergibt sich:
Wpot,B = 0,8988 Jm∗
1
1
= 0,8988 Jm∗11 1/9
= 9,986 J
0,09 m
m
WA,B = Wpot,B - Wpot,A = 9,986 J - 8,988 J = 0,998615 J, also wieder das
gleiche Ergebnis (wie zu erwarten war).
Hausaufgabe 15
Im Nullpunkt des Koordinatensystems befindet sich die felderzeugende
Ladung Q = 75 µC. An der Position A(3|0) (Maße in cm) in der xy-Ebene
befindet sich die Probeladung QP = 12 µC zu Anfang. Sie wird nun zu der
Position B(8|15) verschoben. Berechnen Sie an beiden Positionen die pot.
Energie sowie daraus die Verschiebearbeit.
Lösung: rA = 3 cm = 3∗10-2 m; rB =;
;
Wpot,A J;
Wpot,B J;
Arbeit.
1.5.4 Potenzial und Spannung im Radialfeld
Potenzial und Spannung ergeben sich wie im homogenen Feld durch Division
durch QP:
V = Wpot/QP, also
Formel 20: V =
1 Q
4πε0 r
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24
Physik BG12
Elektrostatik
Es nimmt also auch mit zunehmendem Abstand von der Kugeloberfläche ab,
allerdings nur mit 1/r. Durch Vergleich mit Formel 15 sehen wir, dass im
radialen Feld E = V/r gilt.
Die Flächen gleichen Potenzials (Äquipotenzialflächen) sind hier durch die
Bedingung r=const. gegeben, also konzentrische Kugelschalen um die geladene Kugel.
Beispiel: (Daten des vorigen Beispiels): An der Stelle A (rA = 0,1 m) ergibt
sich:
VA = 0,1∗10-3 C/(4·π·8,8542∗10-12 C2/(N m2)·0,1 m) = 8,988 MV
Alternativ: VA = Wpot,A/QP = 8,988 J/(1∗10-6 C) = 8,988∗106 V =
8,988 MV
Beide Wege führen also zum gleichen Ergebnis.
Die Spannung zwischen zwei Punkten A und B ist dann durch
Formel 21: UA,B = WA,B/QP = VB – VA =
Q
4πε0
1 – 1


rB rA
gegeben. Liegen beide Punkte auf einer Äquipotenzialfläche, so herrscht
keine Spannung.
Frage: Welche Arbeit wird beim Verschieben einer Probeladung auf einer
Äquipotenzialfläche geleistet?
Beispiel (Fortsetzung des vorigen Beispiels): Welche Spannung herrscht
zwischen 2 Punkten mit rA = 0,1 m und rB = 0,09 m?
Mit Q=0,1 mC ergibt sich die Spannung zu
10-4C  1
1 
5
-1
UA,B =

 = 8,9875∗10 Vm(1,111m ) =
4πε0 0,09m 0,1m
9,98615∗105 V
Probe: UA,B = WA,B/QP = 0,998615 J / 10-6 C = 9,98615∗105 V
AB_Elektrostatik5.doc, A8
Hausaufgabe 16
a) Eine geladene Kugel erzeugt im Abstand rA = 10 cm ein Potenzial VA =
6,7407 MV. Welche Kraft wirkt auf eine Probeladung von QP = 2 µC in
diesem Abstand? Welche Arbeit ist nötig, um sie auf einen Abstand von
rB = 15 cm zu bringen (wer leistet sie)?
b) Auf eine feststehende Kugel K2 mit Ladung Q2 = 40 µC fliegt eine
kleine Kugel K1 mit Ladung Q1 = 2 µC zu. Die kleine Kugel K1 hat eine
Masse m1 = 30 g. Im Abstand rA = 22 m hat sie eine Geschwindigkeit
v1A = 7,857 m/s. Durch die gegenseitige Abstoßung wird sie beim Anflug auf K2 immer langsamer und kommt dann irgendwann zum Stehen, um danach wieder zurückzufliegen. Wie groß ist der kleinste Abstand rB der beiden Kugeln (Mittelpunkte)? Tipp: Energieerhaltung!
Berechnen und speichern Sie zunächst den Term Q1∗Q2/(4πε0).
12.03.15, 23:19
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Physik BG12
Elektrostatik
Lösung:
a)
b)
Wkin,A = J;
Wpot,A = J;
Wkin,B = .
Wkin
Wpot
Wges
zu Beginn
am Ende
1.5.5 Übungsaufgaben
1.5.5.1
Arbeit bei der Verschiebung einer Kugel im Raum
Im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt eine Kugel 1 mit der Ladung
Q1 = 55 µC. Eine zweite Kugel befindet sich an der Position A(0|17|0) mit
der Ladung Q2 = 32 µC. Sie soll an die Position B(0|-12|5) verschoben
werden. Alle Längenangaben sind in Zentimeter.
a)
Berechnen Sie Feldstärke E und Kraft F an den beiden Positionen.
Geben Sie auch jeweils die äquivalente Masse an.
b)
Berechnen Sie das Potential V an den beiden Positionen und die
Spannung UAB zwischen A und B.
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Physik BG12
c)
Elektrostatik
Berechnen Sie die Arbeit WAB zum Verschieben der Kugel 2 von A nach
B.
Lösung:
a)
Wir berechnen zuerst den Ausdruck
QF
, der in den Formeln immer
4πε0
wieder auftaucht (QF = Q1).
55∗10-6 C
QF
=
= 4,943∗105 Vm STO C (z. B.)
4πε0
4π·8,8542∗10-12 C2/(N m2)
EN:
C
C·Nm²
Nm²
Jm
=
=
= Vm
2 =
2
C /(N m )
C
C
C
2
| Nm=J und CV=J
Position A:
rA = 17∗10-2 m = 0,17 m
4,943∗105 Vm
QF
EA =
=
= 17,10∗106 V/m = 17,10 MV/m STO A
4 π ε 0 r2
(0,17m)2
FA = EA∗Q2 = 17,10∗106 V/m∗32∗10-6 C = 547,34 N
EN: V/m = N/C; N/C∗C = N
Äquivalente Masse: m = FA/g = 55,79 kg
Position B:
An der Position B ist
rB² = (-0,12m)² + (0,05m)² = 0,0169 m²
4,943∗105 Vm
EB =
= 29,25 MV/m STO B
0,0169m2
FB = EB∗Q2 = 935,98 N, entsprechend 95,41 kg
b)
Position A:
4,943∗105 Vm
QF
VA =
=
= 2,908∗106 V = 2,908 MV
4 π ε 0 rA
0,17m
oder
VA = EA·rA = 17,10∗106 V/m∗0,17 m = 2,908∗106 V STO A
Position B:
rB = √(0,0169 m²) = 0,13 m
4,943∗105 Vm
= 3,802 MV STO B
VB =
0,13m
UAB =
QF  1
1
1 
 1
–
 –  = 4,943∗105 Vm
 = 894,7 kV
4πε0 rB rA
0,13 m 0,17 m
oder
UAB = VB-VA = 3,802∗106 V - 2,908∗106 V = 894,7 kV
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Physik BG12
c)
Elektrostatik
Berechnung der Arbeit:
WA,B = Q2∗UA,B = 32∗10-6 C∗894,7∗103 V = 28,63 J | CV = J
oder
Q1 Q2  1
1
1 
 1
–
=
 –  = 4,943∗105 Vm∗32∗10-6 C∗
WA,B =
4πε0 rB rA
0,13 m 0,17 m
28,63 J.
Man hätte die Arbeit auch so berechnen können, dass die Ladung von A zum
Punkt C(0|13|0) verschoben wird und dann auf einem Kreisbogen von C
nach B. Für die erste Strecke von A nach C ist Arbeit zu verrichten wie eben
berechnet, für die zweite Strecke von C nach B jedoch nicht. Denn auf einem
Kreisbogen bleibt r konstant, also auch das Potential V, so dass UCB = 0 ist.
Der Kreisbogen ist der Schnitt durch eine sog. Äquipotentialfläche und eine
Verschiebung auf einer Äquipotentialfläche kostet generell keine Arbeit.
Zusatzfrage: Wie sieht eine Äquipotentialfläche für ein homogenes Feld aus?
1.5.5.2
Feldstärke zweier geladener Kugeln
Zwei Kugeln K1 und K2 befinden sich auf der
z-Achse bei z=-1 m (K1) bzw. z=1 m (K2).
Sie tragen beide die Ladung 1 C. Wie groß ist
die Gesamtfeldstärke Eges im Punkt
P(0|0,6|0,4) (zeichnerische Lösung)?
Lösung:
Berechnung von E1:
Es ist r1² = 0,6² m² + 1,4² m² = 2,32 m².
E1 = 1 C/(4πε0∗2,32 m²) = 3,874∗109 N/C.
Berechnung von E2:
r2² = 0,6² m² + 0,6² m² = 0,72 m².
E2 = 1 C/(4πε0∗0,72 m²) = 1,248∗1010 N/C.
Zeichnung:
geometrische Größen: 1 m 5 cm, d. h. in Papierkoordinaten: K1(0|-5),
K2(0|5), P(3|2), jeweils in Zentimeter.
Feldstärken: 2∗109 N/C 1 cm. Somit: E1 3,874∗109 / 2∗109 =
1,937 cm ≈ 1,9 cm. Ebenso: E2 6,2 cm. Gesamtfeldstärke: berechneter
Wert Eges = 1,162∗1010 N/C 5,8 cm im Winkel -27° zur y-Achse.
Hausaufgabe 17
Zwei Kugeln K1 und K2 befinden sich auf der z-Achse bei z=-1 m (K1) bzw.
z=1 m (K2). Sie tragen die Ladung Q1=1 C und Q2=2 C. Wie groß ist die
Gesamtfeldstärke Eges im Punkt P(0|0,5|-0,2) (zeichnerische Lösung)?
Lösung:
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28
Physik BG12
1.5.5.3
Elektrostatik
Feldfreier Punkt
Übungsaufgabe (ähnlich Buch S. 286 A3b): Bei zwei gleichartig geladenen
Kugeln gibt es auf der Verbindungslinie zwischen ihnen einen Punkt, in dem
sich die Feldstärke beider Kugeln gerade aufhebt. Sind z. B. beide Kugeln
gleich stark geladen, kann man (wegen der Symmetrie des Problems) vermuten, das dieser Punkt genau in der Mitte zwischen den beiden Kugeln
liegt. Wo liegt dieser Punkt, wenn die eine Kugel (sagen wir Kugel 1) die
vierfache Ladung der anderen trägt? Beide Kugeln sollen symmetrisch zum
Ursprung entlang der x-Achse liegen, sagen wir Kugel 1 bei x=-a und
Kugel 2 bei x=+a.
Lösung: Entlang der Verbindungslinie haben die Feldstärken entgegengesetzte Richtung. Bedingung: die Beträge der Feldstärken müssen gleich groß
sein, damit (auf eine gedachte Probeladung an diesem Ort) ein Kräftegleichgewicht entsteht.
|E1| = |E2|
Nach der Formel für die Feldstärke einer Kugel (dabei bedenkend, dass die
Vorzeichen der Ladungen ja gleich sind) ergibt sich:
1 Q2
1 Q1
=
4πε0 r12 4πε0 r22
Problem: Der gesuchte Punkt liege bei x=xP, das noch unbekannt ist. Die
Abstände r1 bzw. r2, die in der Formel für die Feldstärke vorkommen, werden
aber vom Kugelmittelpunkt aus gemessen, nicht vom Nullpunkt der x-Achse.
Sie müssen daher erst auf die x-Achse bezogen werden. Es ist also
r1=a+xP
und r2=a-xP
Das muss in der Formel für die Feldstärke berücksichtigt werden. Daraus
folgt:
1
Q1
1
Q2
2 =
4πε0 (a+xP)
4πε0 (a-xP)2
| ∗ 4πε0
Q1
Q2
=
(a+xP)2
(a-xP)2
Nun ist zu berücksichtigen, dass Kugel 1 die vierfache Ladung trägt:
Q1 = 4 Q2
4Q2
Q2
2 =
(a+xP)
(a-xP)2
| : Q2
1
4
2 =
(a+xP)
(a-xP)2
| ∗ (a+xP)²∗(a-xP)²
4(a-xP)² = (a+xP)²
| Wurzel ziehen
2(a-xP) = ±(a+xP)
Wir müssen nun 2 Fälle unterscheiden:
1. Fall: Plus-Zeichen, dann lautet die Gleichung:
12.03.15, 23:19
BG12_2014_Elektro.doc
29
Physik BG12
2(a-xP) = (a+xP)
| +2xP - a
a = 3xP
| :3
Elektrostatik
xP1 = 1/3a
2. Fall: Minus-Zeichen, dann lautet die Gleichung:
2(a-xP) = -(a+xP) = -a -xP
| +2xP + a
3a = xP
xP2 = 3a
Die zweite Lösung scheidet aus, da sie keinen Punkt zwischen den beiden
Ladungen beschreibt.
Die Lösung lautet also xP = 1/3a. Es ist dann
r1 = a + 1/3a = 4/3a
und r2 = a - 1/3a = 2/3a
Somit ist r1 = 2r2. Dadurch wird die Feldstärke von Kugel 1 4mal kleiner
ausfallen als die von Kugel 2. Das wird durch ihre 4fache Ladung gerade
ausgeglichen, so dass sich genau die gleiche Feldstärke ergibt. Da beide
Feldstärken entgegengesetzt gerichtet sind, heben sie sich auf (Kräftegleichgewicht).
Zahlenbeispiel: Es sei a=0,3 m und Q2=1 µC. Dann ist xP = 0,1 m. Die
Abstände von den Kugeln sind dann r1 = 0,4 m bzw. r2 = 0,2 m. Die
Feldstärken ergeben sich zu
1
4·1 µC
1
1 µC
5
E1=
= 2,247∗105 N/C
2 = 2,247∗10 N/C, E2=
4πε0 (0,4 m)
4πε0 (0,2 m)2
Zusatzfrage: welchen physikalischen Fall beschreibt die zweite Lösung?
Auch hier haben die Feldstärken den gleichen Betrag, aber im Gegensatz zur
ersten Lösung die gleiche Richtung, so dass sie sich addieren. Auch dieser
Punkt ist von K1 doppelt so weit entfernt wie von K2.
Hausaufgabe 18
Wo liegt der feldfreie Punkt, wenn Kugel 2 (Abstand a) die 16fache Ladung
von Kugel 1 trägt? Zahlenbeispiel mit a=30 cm.
Lösung:
12.03.15, 23:19
BG12_2014_Elektro.doc
30
Physik BG12
Elektrostatik
Inhaltsverzeichnis
1
Elektrostatik .................................................................................. 1
1.1
Grundlagen und Wiederholung ................................................... 1
1.2
Eigenschaften der Ladung .......................................................... 1
1.2.1
Ladungserhaltung ............................................................... 2
1.2.2
Die Elementarladung ........................................................... 2
1.3
Das elektrische Feld .................................................................. 2
1.3.1
1.4
Definition der Feldstärke ...................................................... 4
Das homogene Feld .................................................................. 6
1.4.1
Arbeit im homogenen Feld.................................................... 8
1.4.2
Potenzielle Energie im elektrischen Feld ................................. 9
1.4.3
Potenzial und Spannung......................................................12
1.4.4
Beschleunigte Elektronen ....................................................15
1.4.5
Die Kapazität eines Kondensators.........................................18
1.5
Das Radialfeld .........................................................................19
1.5.1
Das Coulomb’sche Gesetz ...................................................21
1.5.2
Arbeit im Radialfeld ............................................................22
1.5.3
Potenzielle Energie im Radialfeld ..........................................24
1.5.4
Potenzial und Spannung im Radialfeld...................................24
1.5.5
Übungsaufgaben ................................................................26
12.03.15, 23:19
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