11101 - Mathe-CD

Geometrie
de
Winkel und Dreiecke
ec
w
.m
at
h
Mit Index am Ende des Textes
d.
Teil 1
D
em
o-
Te
xt
fü
rw
w
Stand: 22. Februar 2012
Datei Nr. 11101
Friedrich Buckel
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Inhalt
Drehungen durch Winkel messen
3
de
1.
Zeichnen von Winkeln mit dem Geodreieck
5
7
d.
Kopiervorlagen mit Geodreieck
2.
11 – 13
ec
Kopiervorlagen mit vielen Winkeln
Winkel an Figuren
14
at
h
Winkel zwischen 2 Halbgeraden
Kopiervorlagen (Aufgabenblätter)
.m
Winkel zwischen zwei Geraden
w
Herleitung: Winkelsumme im Dreieck
16 - 25
25 – 28
Ergebnisblatt: Parallelogramme
33
Trapezkonstruktion
39
Systematisches Zeichnen von Dreiecken
40
Systematische Behandlung von vier Konstruktionstypen:
42
fü
rw
w
30
o-
Te
2 Winkel und die eingeschlossene Seite
D
em
14
Zusammenfassung über Winkel
xt
3.
14
42
3 Seiten und kein Winkel
45
2 Seiten und der eingeschlossene Winkel
47
2 Seiten und ein Gegenwinkel
49
Aufgabenblatt (7 Aufgaben)
Lösungen dazu
Index zum Nachschlagen
50
51 - 54
55
11101 Klasse 6
Winkel – Teil 1
3
1. Drehungen durch Winkel messen
de
Wenn man einen Punkt A um einen Punkt M drehen soll, dann kann man das mit
dem Zirkel darstellen. Die Zirkelspitze wird in M eingestochen und die Zirkelmine auf
A gesetzt. Dann dreht man und der Zirkel zeichnet dabei die Spur auf, die der Punkt
A (die Mine) bei der Drehung hinterlässt. Das Ergebnis ist bei einer Volldrehung ein
Kreis (eine Kreislinie). Dreht man weniger, dann nennt man es einen Kreisbogen.
ec
d.
Abbildung 1 zeigt eine Volldrehung
des Punktes A um den Punkt M.
Der kleine (blaue) Pfeil auf der
Kreislinie gibt die Drehrichtung an.
Die Mathematiker bezeichnen
die Drehrichtung gegen den
Uhrzeigersinn als positive Drehrichtung.
Und wenn nichts anderes angegeben ist,
drehen wir immer genau in dieser Richtung!
A
Abb. 1
.m
M ist der Mittelpunkt des Kreises,
die Strecke MA heißt der Radius r des Kreises.
at
h
M
g
fü
rw
w
w
Von M aus geht nach rechts durch A eine Halbgerade. Diese hat den Anfangspunkt
M und keinen Endpunkt. Oftmals denkt man sich bei einer Drehung nicht nur einen
Punkt sondern die ganze Halbgerade g gedreht. Dann drehen sich also alle Punkte
dieser Halbgeraden und beschreiben dabei einen Kreis, dessen Radius je nach Lage
des neuen Punktes anders ist.
xt
Die folgenden Abbildungen zeigen eine Vierteldrehung von g, eine Halbdrehung von
g und eine Dreivierteldrehung von g. Die Endlage der Drehung ist dann jeweils eine
neue Halbgerade, der ich den Namen h gebe.
Abb. 2 :
Abb. 4 :
Vierteldrehung
Dreivierteldrehung
Te
h
D
em
o-
A'
A
g
A
M
M
g
Abb. 3 :
Halbdrehung
A'
h
h
A
A'
Friedrich Buckel
g
M
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Winkel – Teil 1
4
Es gibt natürlich auch Zwischendrehungen wie diese beiden Abbildungen zeigen:
Abb. 5
Abb. 6
h
h
A'
A
de
A'
A
g
M
d.
M
g
at
h
ec
Jetzt wird es schwer zu beschreiben, wie groß die Drehung ausgefallen ist !
Daher haben die Menschen schon vor über 2000 Jahren begonnen, die Volldrehung
in 360 gleicher Teile einzuteilen. 1 Teil nennt man 1 Grad und schreibt dies 1O.
Zur Volldrehung gehört dann der Vollwinkel und seine Größe ist 360O. Zur
Halbdrehung gehört dann der halbe Vollwinkel, also 180O. Die Vierteldrehung gehört
zu einem Winkel von 90O und die Dreivierteldrehung zu 270O.
.m
Die folgende Abbildung zeigt vier Drehungen von A um 60O. B um 160O, C um 240O
und D um 315O. Weitere Winkeleinteilungen sind dargestellt.
fü
rw
135O
45O
30O
A'
xt
160O
60O
w
120O
150O
80O
w
90O
10O
Te
B'
180O
D A
D
em
o-
190O
0O 360O
B C
D'
340O
210O
330O
C'
225O
315O
300O
240O
260O 270O
Man erkennt auch, dass eine Drehung um 0O (die ja eigentlich gar nichts verändert),
zum selben Endergebnis führt wie eine Drehung um 360O.
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Winkel – Teil 1
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Zeichnen von Winkeln mit dem Geodreieck
at
h
ec
d.
de
Ein Geodreieck enthält zwei Skalen von Gradeinteilungen.
w
.m
6
0
fü
rw
w
Die für uns wichtige Einteilung läuft gegen den Uhrzeigersinn (gelb unterlegt), die
zweite Skala läuft entgegengesetzt dazu, wir brauchen sie weniger oft !
O
180
O
0
O
180
O
xt
im Uhrzeigersinn
Te
Gegen den
Uhrzeigersinn
o-
90O
D
em
Oder in anderer Lage:
90O
Gegen den
Uhrzeigersinn
im Uhrzeigersinn
180
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O
0
O
180
O
0
O
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Winkel – Teil 1
6
Mit dem Geodreieck zeichnen wir zuerst einen so genannten spitzen Winkel.
Deren Größe liegt zwischen 0O und 90O.
90
100
h
90
80
80
100
150
150
30
30
160
20
20
170 10
170 10
0
1
1
g
ec
6
d.
160
de
Dieser Winkel hat
die Größe 30O.
h
Dies ist ein 30O Winkel ohne das Geodreieck.
g
w
w
Nun so genannte stumpfe Winkel.
Ihre Größe liegt zwischen 90O und 180O.
.m
at
h
Übrigens ist es egal, welchen Radius
der Kreisbogen erhält, weil man ja
jeden Punkt der Halbgeraden um
O
30 gedreht hat !
fü
rw
Die untere Abbildung zeigt, wie man einen 150O-Winkel zeichnet.
Te
xt
Manche Schüler erkennen hier nicht, dass es 150O und nicht 30O sind , denn für uns
gilt die äußere Skala.
o-
90
100
D
em
h
Friedrich Buckel
90
80
80
100
Dieser Winkel hat
die Größe 150O.
150
150
30
160
20
170 10
170 10
6
30
160
20
1
0
1
g
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Winkel – Teil 1
7
w
.m
at
h
ec
d.
de
Welcher Winkel wurde hier
gezeichnet ?
(a)
D
em
o-
Te
xt
fü
rw
w
(b)
Friedrich Buckel
(c)
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Winkel – Teil 1
8
Die Lösung:
(a) zeigt einen Winkel mit 110O , denn die dicke Linie an der Kante des Dreiecks
liegt bei 0O . Nun zählt man entlang der gelben Skala bis 110O.
(b) zeigt einen 45O – Winkel.
d.
de
(c) birgt eine Falle. Hier ist der Winkel mit einem blauen Kreisbogen markiert.
Wie man sieht, muss man daher ausnahmsweise die Skala verwenden, die nicht gelb
unterlegt ist, also im Uhrzeigersinn zählt. Und daher kommt man zu 102O !
ec
Mit dem Geodreieck zeichnen wir nun überstumpfe Winkel.
Ihre Größe liegt über 180O und unter 360O.

at
h
Hier drei Beispiele für überstumpfe Winkel:

w
w
.m


fü
rw
Hier habe ich den Winkeln zum ersten Mal Namen gegeben. Man verwendet aus
Tradition kleine griechische Buchstaben:

bedeutet Alpha,
bedeutet Beta

bedeutet Gamma.
xt
Nun eine kleine Aufgabe:
Te
Miss mit Hilfe Deines Geodreiecks die Größen dieser drei Winkel.
Schreibe das Ergebnis so auf:
 = 120O (der Wert stimmt nicht ! ) usw.
D
em
o-
Jetzt eine Übersichtstabelle über die Namen der Winkel:
Friedrich Buckel
Name
Winkelgröße
Spitzer Winkel
zwischen 0O und 90O
Rechter Winkel
90O
Stumpfer Winkel
zwischen 90O und 180O
Gestreckter Winkel
180O
Überstumpfer Winkel
Zwischen 180O und 360O
Vollwinkel
360O
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