Einige Grundbegriffe der Quantentheorie

Einige Grundbegriffe der Quantentheorie
Quantencomputing und Quanteninformation
–SS 2012–
Quantencomputing und Quanteninformation –SSEinige
2012–Grundbegriffe
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der Quantentheorie
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1
Zur Historie
2
Wellenfunktionen und Schrödinger-Gleichung
3
Ortsraum und Impulsraum
4
Schrödinger-Gleichung und Hamilton-Operator
5
Observable und Unschärferelation
6
Postulate der Quantentheorie
7
Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Ein ganz wichtiges Integral
Fouriertransformation
Unschärfeprinzip
8
Ergänzung 2: Wellen und Wellenpakete
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Zur Historie
. Max Planck (1858–1947, Nobelpreis 1918)
Hypothetische Erklärung des (klassisch nicht erklärbaren)
Strahlungsverhaltens “schwarzer Körper”:
eletromagnetische Strahlung wird nur in diskreten Portionen
(“Quanten”) emittiert und absorbiert.
Strahlungsformel von Max Planck (1900)
E =h·ν =~·ω
E = Energie
ν = Frequenz
ω = 2πν
h = “Wirkungsquantum” ≈ 6.62608 · 10−34 Js
~ = h/2π
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Zur Historie
. Albert Einstein
Erklärt 1905 auf der Basis der Quantenhypothese den
photoelektrischen Effekt. Lichtquanten haben mechanische
Eigenschaften:
Licht der Frequenz ν “besteht aus” Quanten mit Impuls p, wobei
Impuls der Lichtquanten
p=
E
ν
h
=h· = =~·k
c
c
λ
λ = Wellenlänge
k = 2π
λ = Wellenzahl
c = Lichtgeschwindigkeit
Konsequenz: → Welle-Teilchen-Dualismus für em. Strahlung
NB: 3-dimensional sind Impuls und Wellenzahl Vektoren: ~p = ~ · ~k
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Zur Historie
. Niels Bohr (1885–1962, Nobelpreis 1922)
Modell zur Erklärung des Energiespektrums von Wasserstoffatomen
(1912):
Hinweis, dass Elektronen Wellencharakter haben
. Experimente von Otto Stern und Walter Gerlach zur
Spin-Messung an Silberatomen (1921) und Wasserstoffatomen (1927)
(u.v.a.m)
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Zur Historie
. Luis de Broglie (1892–1987, Nobelpreis 1929)
“Materieteilchen haben Welleneigenschaften” (1923)
Impuls und Energie sind mit Wellenzahl und Frequenz verbunden
durch die
de Broglie Beziehungen
~p = ~ · ~k,
E =~·ω =h·ν
Ein Teilchen mit Impuls p hat also eine Wellenlänge λ = h/p.
. Experimentelle Bestätigung durch
Davisson und Germer (Elektronenbeugung an Kristallen, 1927),
Thomson (Elektronenbeugung an Metallfolien, 1927),
Stern (Beugung von Atomen und Molekülen, 1929)
u.v.a.m.
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Zur Historie
. Formulierung der “Quantenmechanik” auf der Basis einer
“Matrizenmechanik”≈ 1926 durch
Max Born (1882–1970, Nobelpreis 1954)
Pascual Jordan (1902–1980, kein Nobelpreis)
Werner Heisenberg (1901–1976, Nobelpreis 1932)
. Formulierung der “Quantenmechanik” auf der Basis einer
“Wellenmechanik”≈ 1926 durch
Erwin Schrödinger (1887–1961, Nobelpreis 1933)
beweist auch die Äquivalenz von Matrizen- und Wellenmechanik
. ≈ 1927: “Kopenhagener Deutung” der Quantenmechanik
i.w. durch Niels Bohr und Werner Heisenberg
. 1928 Formulierung des Unschärfeprinzips durch Heisenberg
. Vereinigung von Quantentheorie und Relativitätstheorie durch Paul
Dirac (1902–1984, Nobelpreis 1933)
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Zur Historie
. 1935 EPR: Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen
publizieren den kontrovers diskutierten Artikel
Can quantum-mechanical description of physical reality be considered
complete?, Physical Review 47.
“verborgene Variable”, “spooky actions at a distance”
. Die “orthodoxe” Kopenhagener Schule lehnt EPR ab:
N. Bohr, Can quantum-mechanical description of physical reality be
considered complete?, Physical Review 48.
. E. Schrödinger unterstützt EPR:
Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik,
Naturwissenschaften 23.
Formuliert Phänomen der Verschränkung (entanglement),
Illustration: “Schrödinger’s Katze”.
. Andere “unorthodoxe” Interpretationen der Quantenmechanik:
David Bohm (1952), Hugh Everett (1957) u.a.
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Zur Historie
John Bell (1928-1990, Physiker am CERN)
. Setzt sich intensiv mit der EPR-Problematik von Verschränkung.
quantenmechanischen Messungen und “verborgenen Variablen” auseinander.
. Zeigt 1964, dass in jeder “klassischen” physikalischen Theorie, die zugleich
realistisch und lokal ist, die Mittelwerte der Messergebnisse gewisser
Experimente einer Relation (Bellsche Ungleichung) genügen müssen.
. 1969 zeigen Clauser et. al.: Überprüfung ihrer Version der B.U.
(CHSH-Ungleichung) ist experimentell machbar (erste Erfolge 1972).
. Verletzung der B.U. in der Quantenmechanik wird 1982 experimentell durch
A. Aspect et al. nachgewiesen.
. Seither viele weitere Kriterien und Experimente – mit dem Fazit:
Quantenmechanik ist mit den Kriterien der Realität und Lokalität nicht
vereinbar.
. Siehe: J.S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanicsm
Cambridge UP, 2010. (Einleitung von A. Aspect).
A. Whitaker, The New Quantum Age, Oxford UP, 2012.
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Wellenfunktionen und Schrödinger-Gleichung
. Teilchen sind “Wellenpakete”, d.h. Überlagerungen von ebenen
Wellen:
Z
d 3~k
~
ψ(~x , t) = φ(~k) e i(k·~x −ωt)
(2π)3
φ(~k) ist die Amplitude der Welle mit Wellenzahl ~k und Kreisfrequenz
ω im Wellenpaket.
Beachte: ω hängt von ~k ab – siehe unten!
. Wenn das Teilchen den Impuls ~p = m · ~v hat, sich also der
Schwerpunkt mit Geschwindigkeit ~v bewegt, sollte im Wellenpaket
φ(~k) um den Wert
~k0 = m · ~v
~
konzentriert sein und das Integral sollte im L2 -Sinne existieren und
endlich sein.
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Wellenfunktionen und Schrödinger-Gleichung
. Nach de Broglie hat ein Teilchen mit Masse m, Impuls ~p = m~v und
Energie E = 12 m~v 2 eine Wellenlänge und eine Frequenz gemäß
~p = ~ ~k
und E = ~ ω
und somit ist
~p 2
~2~k 2
1
=
~ ω = E = m ~v 2 =
2
2m
2m
. d.h. es gilt die Dispersionsbeziehung
ω=
~ k~0
~ ~2
k und ~vgr = ∇~k ω ~k=~k =
0
2m
m
d.h. die sog. “Gruppengeschwindigkeit” ~vgr ist die “wahre”
Geschwindigkeit des Teilchens, falls die “Impulsverteilung” φ(~k) um
~k = k~0 konzentriert ist
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Wellenfunktionen und Schrödinger-Gleichung
~
~
~2
. Eine ebene Welle f (~x , t) = e i(k·~x − 2m k t) genügt offensichtlich der
linearen partiellen Differentialgleichung
i~
mit ∆~x = ∇~x · ∇~x =
~2
∂
f (~x , t) = −
∆~ f (~x , t)
∂t
2m x
∂2
∂x 2
+
∂2
∂y 2
+
∂2
∂z 2
(Laplace-Operator)
. Mittels linearer Überlagerung erhält man für Wellenpakete generell
Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen
i~
∂
~2
ψ(~x , t) = −
∆~ ψ(~x , t)
∂t
2m x
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Wellenfunktionen und Schrödinger-Gleichung
. Für die Teilchen-Dichtefunktion
ρ(~x , t) = ψ ∗ (~x , t) · ψ(~x , t) = |ψ(~x , t)|2
erhält man mit ~j(~x , t) =
~
m
=(ψ ∗ ∇~x ψ) (“Teilchenstrom”)
Kontinuitätsgleichung
∂
ρ(~x , t) = ∇~x · ~j(~x , t)
∂t
. Integriert man über den ganzen Raum, so erhält man (unter
vernünftigen Randbedingungen) den
Erhaltungssatz
kψ(~x , t)k2 =
Z
R3
|ψ(~x , t)|2 d 3 x =
Z
ρ(~x , t) d 3 x = const.
R3
. Man kann ohne Einschränkung kψ(~x , t)k = 1 annehmen.
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Wellenfunktionen und Schrödinger-Gleichung
Max Borns Interpretation der Wellenfunktion ψ(~x , t)
ρ(~x , t) = |ψ(~x , t)|2
ist die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, bei Ortsmessung
das Teilchen zum Zeitpunkt t im Punkt ~x ∈ R3 zu finden
. Entsprechend ist
Z
3
Z
ρ(~x , t) d x =
G
|ψ(~x , t)|2 d 3 x
G
die Wahrscheinlichkeit dafür, bei Ortsmessung das Teilchen zum
Zeitpunkt t im Gebiet G ⊆ R3 zu finden.
. Erwartungswert der Ortsmessung “im Zustand ψ” zum Zeitpunkt t:
Ortsmessung im Ortsraum
Z
~x · |ψ(~x , t)|2 d 3 x
h~x i = hψ | ~x · ψi =
R3
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Wellenfunktionen und Schrödinger-Gleichung
. Die Schrödinger-Gleichung gibt eine deterministische Beschreibung
des zeitlichen Verhaltens von ψ(~x , t)
. Wellenfunktionen lassen sich überlagern (Linearität der SG!) – aber
die Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichten sind nichtlinear:
ψ = ψ1 + ψ2 ⇒ |ψ|2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 + ψ1 ψ2∗ + ψ1∗ ψ2
. Der “Interferenzterm” ψ1 ψ2∗ + ψ1∗ ψ2 ist reell, kann aber positiv oder
negativ sein, was zu Beugungs- und Interferenzerscheinungen führt.
. Die Wellenfunktion ψ eines Teilchens (oder irgendeines
quantenmechanischen Systems) ist experimentell nicht direkt
zugänglich (messbar), nur die Dichtefunktion ρ = |ψ|2 ist es.
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Ortsraum und Impulsraum
. Bezüglich des Ausdrucks für ein freies Wellenpaket
Z
d 3k
~
ψ(~x , t) = φ(~k) e i(k·~x −ωt)
(2π)3
kann man
|φ(~k)|2
(2π)3
als Wahrscheinlichkeitsdichte für den Impuls ~p = ~~k auffassen.
. Das kann man mittels Fouriertransformation beschreiben:
Fouriertransformation für Wellenfunktionen
Z
~
e
~
ψ(k, t) =
ψ(~x , t) e −i k·~x d 3 x
R3
Z
3
e ~k, t) e i ~k·~x d k
ψ(~x , t) =
ψ(
(2π)3
R3
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Ortsraum und Impulsraum
e ~k, t) der Wellenfunktion ψ(~x , t) im
. Die Fouriertransformierte ψ(
Ortsraum ist die Wellenfunktion im Impulsraum.
. Für das Wellenpaket eines freien Teilchens gilt
e ~k, t) = φ(~k) e −iω(~k)t
ψ(
. Die Wellenfunktion ψe im Impulsraum genügt der Differentialgleichung
Wellengleichung im Impulsraum
i~
∂ e~
e ~k, t)
ψ(k, t) = ~ ω(~k) · ψ(
∂t
. Mittels Fouriertransformation erkennt man die Äquivalenz zur
Schrödinger-Gleichung im Ortsraum.
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Ortsraum und Impulsraum
. Erwartungswert der Impulsmessung
Impulsmessung im Impulsraum
Z
3
e
~
e
e ~k, t)|2 d k
h~p i = hψ | ~ k · ψi =
~ ~k · |ψ(
(2π)3
R3
. Per Fouriertransformation (Parseval-Plancherel!) erhält man
Impulsmessung im Ortsraum
Z
~
~
h~p i = hψ | ∇~x ψi =
ψ ∗ (~x , t) ∇~x ψ(~x , t) d 3 x
i
i
R3
. Analog ist
Ortsmessung im Impulsraum
Z
3
~
~
∗
e
e
e ~k, t) d k
h~x i = hψ | − ∇~k ψi = −
ψe∗ (~k, t) ∇~k ψ(
i
i
(2π)3
R3
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Ortsraum und Impulsraum
Fazit:
. Ortsmessung und Impulsmessung werden durch lineare Operatoren
auf Wellenfunktionen beschrieben — je nach Betrachtungsweise
. als (i.w.) Multiplikationen mit ~x bzw. ~p
. als (i.w.) Gradienten ∇~k bzw. ∇~x
Orts- und Impulsoperator im Ortsraum und im Impulsraum
Ortsraum
~
Impulsoperator P
~
Ortsoperator Q
~ ψ(~x , t) =
P
~
i
Impulsraum
~ ψ(
e ~k, t) = ~ ~k ψ(
e ~k, t)
P
∇~x ψ(~x , t)
~ ψ(~x , t) = ~x ψ(~x , t)
Q
~ ψ(
e ~k, t) = − ~ ∇~ ψ(
e ~k, t)
Q
k
i
. “Ort” und “Impuls” von physikalischen Objekten sind komplementäre
Größen – ein anderes Beispiel: “Energie” und “Zeit”.
. Für die experimentelle Bestimmung komplementären Größen gilt das
Unschärfeprinzip (der Fouriertransformation)
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Ortsraum und Impulsraum
. Schreibt man (im Ortsraum)
~ = (Px , Py , Pz ) = ~ ( ∂ , ∂ , ∂ ) = ~ ∇~x
P
i ∂x ∂y ∂z
i
~ = (Qx , Qy , Qz ) wobei Qa = Multiplikation mit a
Q
. so gelten die
Born-Jordansche Vertauschungsrelationen (1925)
[Pa , Qb ] = Pa Qb − Qb Pa =
~
δa,b 1
i
(a, b ∈ {x, y , z})
. Nicht-kommutierende Operatoren, wie z.B. Px und Qx entsprechen
Messungen, die nicht simultan mit beliebiger Genauigkeit ausgeführt
werden können (→ Unschärferelation, Ergänzung 1)
~ 2 = P 2 + P 2 + P 2 = −~2 ( ∂ 22 + ∂ 22 + ∂ 22 ) = −~2 ∆~x
. NB: P
x
y
z
∂x
∂y
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∂z
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Schrödinger-Gleichung und Hamilton-Operator
. Die (zeitabhängige) Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen in einem
Potentialfeld V ist
!
~2
P
~2
∂
~
∆~ + V (~x ) ψ(~x , t) =
+ V (Q)
i~ ψ(~x , t) = −
ψ(~x , t)
∂t
2m x
2m
|
{z
}
Hamilton-Operator H
. Wie im Fall des freien Teilchens gilt für ρ(~x , t) = |ψ(~x , t)|2 die
Kontinuitätsgleichung
∂
ρ + ∇ · ~j = 0
∂t
mit ~j =
~
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
2mi
. und somit (unabhängig von t !)
Z
2
kψ(~x , t)k = |ψ(~x , t)|2 d~x = const.
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Schrödinger-Gleichung und Hamilton-Operator
. Falls H nicht von der Zeit t abhängt, kann man die
Schrödinger-Gleichung mittels Separation der Variablen lösen.
Man macht den Ansatz
ψ(~x , t) = f (t) · ψ(~x )
. und erhält
∂f
· ψ(~x ) = f (t) · Hψ(~x )
∂t
. und sieht, dass die beiden Seiten von
i~
1
i~ ∂f
=
· Hψ(~x )
f (t) ∂t
ψ(~x )
gleich einer Konstanten E sein müssen.
. Man erhält
(∗) i ~
∂f
= E f (t)
∂t
und
(∗∗) Hψ(~x ) = E ψ(~x )
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Schrödinger-Gleichung und Hamilton-Operator
Folgerungen:
. E ist ein Eigenwert des Hamilton-Operators H und ψ(~x ) ist ein
Eigenvektor von H, ein sog. stationärer Zustand
R
. E ist immer reell (folgt aus der Konstanz von |ψ(~x , t)|2 d~x )
. H ist selbstadjungiert
. Die Lösung von (∗) ist
f (t) = e−i
Et
~
. Das zeitliche Verhalten von ψ(~x , t) ist durch
ψ(~x , t) = e−i
Et
~
ψ(~x )
gegeben, d.h., die Transformation
Ut : ψ(~x , 0) 7→ ψ(~x , t) = e−i
ist unitär: e−i
Et
~
Et
~
ψ(~x , 0)
ist Eigenwert vom Absolutbetrag 1
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Observable und Unschärferelation
Observable sind physikalische Grössen, die gemessen werden können:
Ort, Impuls, Energie, Drehimpuls, . . .
Die mathematische Formalismus besagt (knapp zusammengefasst)
Observable im Formalismus der Quantenmechanik
. Observable sind selbstadjungierte lineare Operatoren auf
einem (Zustands-)Raum von Wellenfunktionen ψ
. Mögliche Messwerte einer Observablen A sind ihre
(reellen!) Eigenwerte
. Bei einer Messung der Observablen A geht die
Wellenfunktion ψ in einen Eigenvektor φa zum
gemessenen Eigenwert a über — und zwar zufällig
P mit
einer Wahrscheinlichkeit pa = |αa |2 , falls ψ = a αa φa
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Observable und Unschärferelation
Observable im Formalismus der Quantenmechanik (Folgerungen)
. Messung einer Observablen A im Zustand ψ liefert den
Erwartungswert
R
P
hAi := ψ ∗ · Aψ = a pa a
mit der Varianz
(∆A)2 = h(A − hAi)2 i = hA2 i − hAi2
. Eine Observable A kann im Zustand ψ genau dann scharf
gemessen werden (d.h. ∆A = 0), wenn ψ Eigenvektor von A ist.
. Zwei Observable A und B auf dem gleichen Raum von
Wellenfunktionen sind genau dann gleichzeitig scharf messbar,
wenn sie das gleiche System von Eigenvektoren haben.
Das ist gleichwertig zu
[A, B] = A · B − B · A = 0, d.h. A und B kommutieren
. Sind A, B zwei Observable, so gilt die Unschärferelation
∆A · ∆B ≥ 12 |h [A, B] i|
Insbesondere: ∆Pa · ∆Qa ≥ ~2
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Postulate der Quantentheorie
Zustandsraum
Der Zustandsraum eines geschlossenen quantenmechanischen Systems
ist ein (endlich- oder unendlich-dimensionaler) komplexer Hilbertraum.
Zustände sind normierte Vektoren (“Wellenfunktionen”) in diesem
Raum.
. Im Quantencomputing sind diese Räume in aller Regel
endlich-dimensionale Räume CN mit N = 2n
. Vektoren werden mit |φi, |ψi, . . . notiert,
hφ|ψi bezeichnet
das (komplexe) Skalarprodukt,
p
kφk = |hφ|φi| die Länge von |φi
. Ein 1-qubit-Raum ist ein zweidimensionaler
komplexer
Vektorraum C2
1
0
mit Basis {|0i, |1i}, wobei |0i ≡
, |1i ≡
0
1
n
. Ein n-qubit-Raum ist ein 2n -dimensionaler komplexer Vektorraum C2
mit Basis {|bi; b ∈ Bn }
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Postulate der Quantentheorie
Zustandsänderung (Evolution)
Das zeitliche Verhalten eines quantenmechanischen Systems lässt sich
mittels unitärer Transformationen beschreiben.
. Unitäre Transformationen ändern die Längen von Vektoren nicht,
bilden also normierte Vektoren in normierte Vektoren ab.
. Unitäre Transformationen werden durch unitäre Matrizen U
dargestellt, d.h. U −1 = U † , wobei U † die zu U adjungierte
(transponierte und komplex-konjugierte) Matrix ist.
. Insbesondere: Zustandstransformationen sind reversibel!
. Unitäre Transformationen sind diagonalisierbar.
Ihre Eigenwerte liegen auf dem komplexen Einheitskreis
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Postulate der Quantentheorie
Zusammengesetze Systeme
Aus zwei Systemen mit Zustandsräumen HA und HB kann man ein zusammengesetztes System konstruieren, das als Zustandsraum das Tensorprodukt HA ⊗ HB hat.
. Ist u1 , · · · , ua Basis von HA und v1 , · · · , vb Basis von HB , so ist
k
u ⊗ v` ; 1 ≤ k ≤ a, 1 ≤ ` ≤ b
eine Basis von HA ⊗ HB . Insbesondere ist
dim HA ⊗ HB = dim HA · dim HB
. Es gilt allgemein Ca ⊗ Cb ∼
= Ca·b , also insbesondere
n
2
· · ⊗ C}2
C2 ∼
=C
| ⊗ ·{z
n Faktoren
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Postulate der Quantentheorie
. Verschränkte Zustände (Notation wie vorher)
P
. Jeder Vektor x ∈ HA hat eine eindeutige Darstellung x = Pk αk uk
. Jeder Vektor y ∈ HB hat eine eindeutige Darstellung y = ` β` v`
. JederPVektor z ∈ HA ⊗ HB hat eine eindeutige Darstellung
z = k,` γk,` uk ⊗ v`
. Jedes Paar
P (x, y) ∈ HA × HB definiert das Element
x ⊗ y = k,` αk β` uk ⊗ v` ∈ HA ⊗ HB
. z ∈ HA ⊗ HB heisst separabel, wenn es in der Form z = x ⊗ y mit
x ∈ HA und y ∈ HB geschrieben werden kann. Also

  
..
..
.

  . 

 = αk  . . . β` . . .
γk,`

  
..
..
.
.
. Nicht-separable Vektoren (Zustände) heissen verschränkt.
. Beispiel: |0i ⊗ |0i + |1i ⊗ |1i ∈ C2 ⊗ C2 ist verschränkt.
. Beispiel: |0i ⊗ |1i + |1i ⊗ |1i ∈ C2 ⊗ C2 ist separabel, denn
|0i ⊗ |1i + |1i ⊗ |1i = (|0i + |1i) ⊗ |1i.
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Postulate der Quantentheorie
Messung (“von Neumann-Messung”)
Ist HA ein Zustandsraum mit Orthonormalbasis {|φk }k∈K ,
sowie |ψi ∈ HA ein Zustand mit Darstellung
P
P
|ψi = k αk |φk i, wobei k |αk |2 = 1,
so kann man eine “Messung” durchführen, die als Resultat liefert:
mit Wahrscheinlichkeit pk = |αk |2 :
Ausgabe: k, neuer Zustand: |φk i ∈ HA .
(k ∈ K )
. Man betrachtet oft allgemeinere Messtypen (projektive Messung,
POVM).
. Bezeichnet Pk die Projektion von HA auf den von |φk i erzeugten
Unterraum, so ist Pk |ψi = αk |φk i und pk = |αk |2 = hψ|Pk |ψi, also
|ψi 7−→ |φk i = P√k |ψi
pk
P
Beachte: k Pk = 1.
mit Wkeit pk = hψ|Pk |ψi (1 ≤ k ≤ n)
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Postulate der Quantentheorie
Erweiterte Fassung:
Messung (“von Neumann-Messung”)
Ist HA ein Zustandsraum mit Orthonormalbasis {|φk i}k∈K und
HB ein Zustandsraum mit normierten Vektoren {|γk i}k∈K ,
sowie ein Zustand |ψi ∈ HA ⊗ HB mit der Darstellung
P
|ψi = k αk |φk i ⊗ |γk i,
so kann man eine “Messung” durchführen, die als Resultat liefert:
mit Wahrscheinlichkeit pk = |αk |2 :
Ausgabe: k, neuer Zustand: |φk i ⊗ |γk i ∈ HA .
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(k ∈ K )
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Theorem
Z ∞
Ein ganz wichtiges Integral
2
e −x dx =
√
π
−∞
Beweis:
Z
∞
e
−x 2
2
dx
Z
∞
e
=
−∞
Z
−x 2
−∞
∞ Z ∞
=
−∞ −∞
Z ∞ Z 2π
Z
∞
e
dx
−y 2
dy
−∞
e −(x
2 +y 2 )
dx dy
2
e −r · r dr dφ
0
0
1 −r 2 r =∞
=π
= 2π · − e
2
r =0
=
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Ein ganz wichtiges Integral
Mittels partieller Integration erhält man
Folgerung
√
Z ∞
π
2
−x 2
x · e dx =
2
−∞
Für α > 0 ergibt sich mit Variablentransformation
Folgerung
Z ∞
√
π
α
−∞
√
Z ∞
π
2 2
x 2 · e −α x dx =
3
2α
−∞
e
−α2 x 2
dx =
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Ein ganz wichtiges Integral
Mittels quadratischer Ergänzung im Exponenten findet man für reelles ω
Folgerung
√
Z ∞
π − ω22
−α2 x 2 −iωx
e 4α
e
e
dx =
α
−∞
und das liefert die Fouriertransformierte der Dichte einer Normalverteilung
mit Mittelwert 0 und Varianz σ 2 :
Folgerung
Z ∞
x2
ω2 σ2
1
1
1
√
√
e − 2σ2 e −iωx dx = √ e − 2
2π −∞ 2πσ
2π
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Ein ganz wichtiges Integral
Wird die genannte Dichte mit
g (σ, x) = √
x2
1
e − 2σ2
2πσ
bezeichnet, so gilt natürlich
Folgerung
Z ∞
g (σ, x) dx = 1,
−∞
Z
∞
x 2 · g (σ, x) dx = σ 2
−∞
und die Aussage über die Fouriertransformierte kann man so schreiben
Folgerung
Fg (σ, x) = g (1, σ · ω)
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Ein ganz wichtiges Integral
Eine ganz ähnliche Beziehung erhält man für die Fouriertransformierte der
Quadratwurzel aus g (σ, x):
sr
s
2
p
2
2σ − ω1 2
2 2
F g (σ, x) =
σ · e −σ ω = √ e 2( 2σ )
π
2π
und das schreibt sich elegant so
Folgerung
r
p
F g (σ, x) =
g(
1
, ω)
2σ
p
2
d.h. F g (σ, x) ist die Dichte einer Normalverteilung mit Mittelwert 0
und Varianz 1/(2σ)2 .
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Fouriertransformation
Für integrierbare Funktionen f : R → C wird deren Fouriertransformierte
Ff : R → C definiert durch
Definition
1
(Ff )(ω) = √
2π
Z
∞
f (x) · e −i·ω·x dx
−∞
Analog definiert man die konjugierte Transformation
Definition
1
(F ∗ f )(ω) = √
2π
Z
∞
f (x) · e i·ω·x dx
−∞
Offensichtlich ist (Ff )∗ = F ∗ f ∗
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Fouriertransformation
Lemma
Für integrierbare Funktionen f , g : R → C gilt
Z ∞
Z ∞
(Ff )(s) · g (s) ds =
f (s) · (Fg )(s) ds
−∞
−∞
Ist f stetig und integrierbar und ist auch Ff integrierbar, so gilt
Umkehrformel
Z ∞
1
f (x) = √
(Ff )(ω) · e i·ω·x dω = (F ∗ (Ff ))(x)
2π −∞
d.h. F und F ∗ sind invers zueinander: F −1 = F ∗
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Fouriertransformation
Für integrierbare Funktionen f , g : R → C ist die Faltung f ∗ g : R → C
definiert durch
Definition
1
(f ∗ g )(x) = √
2π
Z
∞
f (x − y ) · g (y )dy
−∞
Eine ganz wichtige Eigenschaft der Fouriertransformation
Faltungstheorem
F(f ∗ g ) = (Ff ) · (Fg )
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Fouriertransformation
Bezüglich der Ableitung von Funktionen gilt
Ableitungsformel
Dω (Ff ) = −i · (F [Ix f ])
F [Dx f ] = i · Iω Ff
wobei Ix = Multiplikation mit x, Dx = Ableitung nach x
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Fouriertransformation
Definition
L1 (R, C) := Menge der integrierbaren Funktionen f : R → C
L2 (R, C) := Menge der quadrat-integrierbaren Funktionen
Auf L2 (R, C) definiert man ein “Skalarprodukt” und eine “Norm”
Definition
Z
∞
f ∗ (x) · g (x) dx
Z ∞
Z
2
∗
kf k2 := hf , f i =
f (x) · f (x) dx =
hf , g i =
−∞
−∞
∞
|f (x)|2 dx
−∞
NB: L2 (R, C) (modulo Nullfunktionen) ist ein separabler Hilbertraum
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Fouriertransformation
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
|hf , g i|2 ≤ kf k22 · kg k22
Parseval-Plancherel-Identität
Für f , g ∈ L1 (R, C) ∩ L2 (R, C) gilt
hFf , Fg i = hf , g i und insbesondere kFf k2 = kf k2
Beweis:
Z
hFf , Fg i =
∗
(Ff ) · (Fg ) =
Z
∗ ∗
Z
(F f ) · (Fg ) =
∗ ∗
F(F f ) · g =
Z
f∗·g
D.h.: die Fouriertransformation ist ein unitärer Operator auf dem Raum
L1 (R, C) ∩ L2 (R, C)
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Unschärfeprinzip
Ist f (x) eine “genügend gutartige” Funktion (alle beteiligten Integrale
existieren und haben einen endlichen Wert), so gilt (partielle Integration!)
Z ∞
Z ∞
d
2
x |f (x)| dx = 2RehIx f , Dx f i = −
|f (x)|2 dx = −kf k22
dx
∞
−∞
Für normierte Funktionen, d.h. kf k2 = 1 gilt also
|RehIx f , Dx f i| =
1
2
Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ergibt sich
kIx f k2 kDx f k2 ≥ |hIx f , Dx f i| ≥ |RehIx f , Dx f i| =
1
2
und das bedeutet schliesslich
kIx f k2 kIω Ff k2 ≥
1
2
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Unschärfeprinzip
Damit ist gezeigt
Unschärferelation der Fouriertransformation
Z ∞
Z ∞
1
2
2
x · |f (x)| dx ·
ω 2 · |(Ff )(ω)|2 dω ≥
4
−∞
−∞
für “geeignete” normierte Funktionen f ∈ L2 (R, C)
(für die z.B. auch f 0 ∈ L2 (R, C) gilt).
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Unschärfeprinzip
Interpretation: für f ∈ L2 (R, C) mit kf k22 =
R∞
2
−∞ |f (x)| dx
= 1 kann man
ρf : x 7→ |f (x)|2 = f (x)∗ · f (x)
als Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Pf auf R auffassen.
Die Varianz dieser Verteilung ist natürlich
Z ∞
var(Pf ) =
x 2 · |f (x)|2 dx
−∞
Wegen Parseval-Plancherel ist kFf k = kf k = 1, d.h. auch
ρF f : ω 7→ |(Ff )(ω)|2 = (Ff )(ω)∗ · (Ff )(ω)
ist die Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Qf auf R. Diese hat die
Varianz
Z ∞
var(Qf ) =
ω 2 · |(Ff )(ω)|2 dω
−∞
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Ergänzung 1: Fouriertransformation und Unschärferelation
Unschärfeprinzip
Varianz-Unschärfe für Wahrscheinlichkeitsverteilungen
1
4
Dabei wird der Fall der Gleichheit für Normalverteilungen erreicht:
var (Pf ) · var (Qf ) ≥
Pf = N (0, σ 2 ) ⇒ Qf = N (0, 1/(2σ 2 ))
und somit
var (Pf ) · var (Qf ) = σ 2 ·
1
1
=
2
(2σ)
4
(und das charakterisiert sogar die Normalverteilungen!)
Beachte: Fourier-transformiert wird nicht die Dichte ρf der Verteilung, sondern f ,
also im Fall der Normalverteilung die Quadratwurzel aus der Dichte!
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Ergänzung 2: Wellen und Wellenpakete
. Welle (statisch) mit Wellenzahl k = 2π/λ
ψk (x) = eikx
. Interferenz
ψk (x + ε) + ψk (x − ε) = eikx · 2 cos(kε)
= ψk (x) · 2< ψk (ε)
. Welle (zeitabhängig) mit Wellenzahl k, Kreisfrequenz ω = 2πν
ψk,ω (x, t) = ei(kx−ωt)
Ausbreitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit)
vph =
ω
= λν
k
. NB: im allg. ist die Phasengeschwindigkeit frequenzabhängig
(→ Dispersion); wichtige Ausnahme: Lichtausbreitung im Vakuum
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Ergänzung 2: Wellen und Wellenpakete
. Überlagerung von Wellen verschiedener Wellenlänge und Frequenz:
ψk−ε,ω−δ (x, t) + ψk+ε,ω+δ (x, t) = ei(kx−ωt) · 2 cos(εx − δt)
= ψk,ω (x, t) · 2< ψε,δ (x, t)
Wellen mit Phasengeschwindigkeiten
1
vph
=
ω+δ
ω−δ
2
und vph
=
k −ε
k +ε
überlagern sich zu einem Produkt einer Welle mit
Phasengeschwindigkeit
vph =
1 + v2
vph
ω
ph
≈
k
2
und einer Welle mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit
(Gruppengeschwindigkeit)
vgr =
ε
∆ω
=
δ
∆ε
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Ergänzung 2: Wellen und Wellenpakete
. Wellenpakete sind Überlagerungen
Z
Z
ψ(x, t) = a(k) ψk,ω (x, t) dk = a(k) ei(kx−ωt) dk
. Im allgemeinen hängt dabei ω von k ab
. Falls a(k) um einen Wert k = k0 konzentriert ist und man
dω · (k − k0 ) + · · ·
ω(k) = ω(k0 ) +
dk k=k0
approximieren kann, erhält man mit ω0 = ω(k0 ) und vgr =
dω dk k=k0
ψ(x, t) = ei(k0 vgr −ω0 )t · ψ(x − vgr t, 0)
d.h., das Wellenpaket bewegt sich (bis auf den Phasenfaktor)
“formstabil” mit der Gruppengeschwindigkeit vgr = dω
dk
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Ergänzung 2: Wellen und Wellenpakete
. Analoge Überlegungen funktionieren im dreidimensionalen Raum
. Orte werden mit Vektoren ~x = (x, y , z) angegeben
. Die Wellenzahl k wird durch den Wellenvektor ~k = (kx , ky , kz ) ersetzt;
es gilt |~k| = 2π
λ .
. Eine “ebene Welle” ist gegeben durch
~
ψ~k,ω (~x , t) = ek·~x −ωt
Die “Wellenfronten” ~k · ~x − ωt = const. sind Ebenen senkrecht zum
Wellenvektor ~k.
. Ein Wellenpaket ist gegeben durch
Z
~
ψ(~x , t) = a(~k) e i(k·~x −ωt) d ~k
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Ergänzung 2: Wellen und Wellenpakete
. Ist a(~k) um ~k = k~0 konzentriert und kann man approximieren
ω(~k) = ω(k~0 ) + ∇~ ω ~ ~ · (~k − k~0 ) + · · ·
k
k=k0
so gilt mit ~vgr = ∇~k ω ~k=k~
0
~
ψ(~x , t) = ei(k0~vgr −ω0 )t · ψ(~x − ~vgr t, 0)
d.h., das Wellenpaket bewegt sich (bis auf den Phasenfaktor)
“formstabil” mit der Gruppengeschwindigkeit ~vgr
. Das ist nur eine Approximation: real “zerfliesst” das Wellenpaket mit
der Zeit.
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