Pseudoprimzahlen und Carmichaelzahlen

1
INHALTSVERZEICHNIS
Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen
Andreas Zeh-Marschke; Tauberring 16 b
D-76344 Eggenstein-Leopoldshafen
E-Mail: [email protected]
Version 1.20 / 10.01.2009 Dieser Artikel basiert auf dem Artikel von Pomerance, Selfridge und Wagsta [PSW] aus dem Jahr 1980. Zu dieser Zeit
waren die Leistungen der Computer noch deutlich niedriger als heute. Neuere
Erkenntnisse, die insbesondere bei Ribenboim [Rib] aufgeführt sind, wurden
aufgenommen. Es ist die Ausarbeitung eines Vortrages im Seminar über Computeralgebra und Kryptograe im Wintersemester 2008/09 an der FernUniversität in Hagen.
Inhaltsverzeichnis
1 Pseudoprimzahlen
2
2 Euler-Pseudoprimzahlen
3
3 Strenge Pseudoprimzahlen
4
4
5
spsp(a) ⊆ epsp(a) ⊆ psp(a)
5 Weitere Eigenschaften für Pseudoprimzahlen
8
6 Die Pseudoprimzahlen bis 25 · 109
9
7 Basen ungleich 2
11
8 Anzahl der Pseudoprimzahlen
11
9 Carmichael-Zahlen
12
10 Andere Pseudoprimzahlen
14
Literatur
14
A Anzahl von Pseudoprimzahlen in Schrittweite
108
15
B Strenge Pseudoprimzahlen zur Basis 2 kleiner als 2, 5 · 1010
15
C Carmichael-Zahlen kleiner als 2, 5 · 1010
16
Es seinen im folgenden stets, wenn nicht explizit etwas anders erwähnt, a, n ∈
N\{1}, also natürliche Zahlen, ohne die 1.
1
2
PSEUDOPRIMZAHLEN
1
Pseudoprimzahlen
Der erste Denition basiert auf der nachfolgenden Eigenschaft von Primzahlen,
die von Fermat1 aufgestellt wurde.
Satz 1 (Kleiner Satz von Fermat): Es seien p ∈ P und a ∈ N mit ggT (a, p) =
1, dann gilt
ap−1 ≡ 1 (mod p)
Aus der Umkehrung dieses Satzes ergeben sich Bedingungen, unter denen eine
Zahl n keine Primzahl ist, also zerlegbar ist.
Denition 2: Es sei 1 < a < n. Gilt an−1 6≡ 1 (mod n), dann ist n zerlegbar,
also keine Primzahl, und a heiÿt Zeuge
Zeuge der Zerlegbarkeit für n (Fermat
n−1
a
der Zerlegbarkeit
oder
Fermat-
witness to the compositeness
).
6≡ 1 (mod n) ⇒ n 6∈ P
Gilt an−1 ≡ 1 (mod n), dann heiÿt n wahrscheinlich prim zur Basis a
(probable prime to base a ). Die Menge all dieser wahrscheinlich primen Zahlen
zur Basis a wird mit prp(a) bezeichnet.
prp(a) = {n ∈ N | n wahrscheinlich prim zur Basis a}
Ist n ∈ prp(a) und nicht prim, so heiÿt n eine Pseudoprimzahl zur Basis a (pseudoprime to base a ) oder Fermat-Pseudoprimzahl oder PouletPseudoprimzahl 2 . a heiÿt auch Fermat-Lügner der Zerlegbarkeit (Fermat liar ) Die Menge aller Pseudoprimzahlen zur Basis a wird mit psp(a)
bezeichnet.
psp(a) = {n ∈ prp(a) | n 6∈ P}
Es gilt somit
prp(a) = P ∪ psp(a)
Die Anzahl der Pseudoprimzahlen zur Basis a kleiner oder gleich einer Grenze
x wird mit P πa (x) bezeichnet:
P πa (x) = |{n ∈ psp(a) | n ≤ x}|
Der Primzahltest, der diese Eigenschaft ausnutzt heiÿt Fermat-Test .
Bei der Wahl einer beliebigen Basis ist die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der
Fermat-Test ein falsches Ergebnis liefert höchstens 0, 50 (siehe [HU], p. 225).
Das Problem ist, dass es Zahlen gibt, die für jede zu n teilerfremde Basis den
Fermat-Test positiv beantwortet, d.h. das Ergebnis wahrscheinlich prim liefert.
1
Pierre de Fermat, französischer Mathematiker, 1601-1665.
Eine Kurzbiographie über P. de Fermat: Klaus Barner; Das Leben Fermats; in Mitteilungen
der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Heft 3 / 2001
2
Paul Poulet untersuchte in den 1920er und 1930er Jahre die Pseudoprimzahlen bis
108
(siehe Ribenboim [Rib], p. 91)
Paul Poulet, französischer Mathematiker, 188? - 19??, Einige Daten und Informationen über
ihn: http://serge.mehl.free.fr/chrono/poulet.html
2
3
EULER-PSEUDOPRIMZAHLEN
Denition 3: Eine zusammengesetzte Zahl n heiÿt Carmichael-Zahl , wenn
für alle a ∈ N mit ggT (a, n) = 1
an−1 ≡ 1 (mod n)
gilt
Beispiel 4: Im folgenden sei a = 2 gewählt.
1. n = 7: 26 = 64 ≡ 1 (mod 7).
2. n = 15: 214 ≡ 4 (mod 15). 2 ist Zeuge der Zerlegbarkeit von 15.
3. n = 341 = 11 · 31: 2340 ≡ 1 (mod 341). 341 ist die kleinste Pseudoprimzahl zur Basis 2. (Es ist 3340 ≡ 56 (mod 341), also ist 341 keine
Pseudoprimzahl zur Basis 3, 3 ist Zeuge der Zerlegbarkeit.
4. n = 561 = 3 · 11 · 17 ist die kleinste Carmichael-Zahl.
2
Euler-Pseudoprimzahlen
Auf Basis eines Satz von Euler3
Satz 5: Es sei a ∈ Z und p ∈ P, ungerade, dann gilt
p−1
a 2
!
≡
a
p
(mod p).
ergibt sich ein weiteres Kriterium für den Nachweis der Zerlegbarkeit einer
Zahl.
Denition 6: Es sei 1 < a < n. Gilt a
n−1
2
(mod n), dann ist n zerlegbar,
also keine Primzahl, und a heiÿt Euler-Zeuge der Zerlegbarkeit für n (Euler
witness to the compositeness ).
n−1
a 2
n−1
6≡
a
n
6≡
a
n
!
(mod n) ⇒ n 6∈ P
Gilt a 2 ≡ na (mod n), dann heiÿt n wahrscheinlich Euler-prim zur
Basis a (probable Euler prime to base a ). Die Menge all dieser wahrscheinlich
Euler-primen Zahlen zur Basis a wird mit eprp(a) bezeichnet.
eprp(a) = {n ∈ N | n wahrscheinlich Euler-prim zur Basis a}
Ist n ∈ eprp(a) und nicht prim, so heiÿt n eine Euler-Pseudoprimzahl zur
Basis a (Euler pseudoprime to base a ). a heiÿt auch Euler-Lügner der Zerlegbarkeit (Euler liar ). Die Menge alle dieser Euler-Pseudoprimzahlen zur
Basis a wird mit epsp(a) bezeichnet.
epsp(a) = {n ∈ eprp(a) | n 6∈ P}
3
Leonhard Euler,schweizer Mathematiker, 1707-1783
3
4
STRENGE PSEUDOPRIMZAHLEN
Es gilt somit
eprp(a) = P ∪ epsp(a)
Die Anzahl der Euler-Pseudoprimzahlen zur Basis a kleiner oder gleich einer
Grenze x wird mit Eπa (x) bezeichnet:
Eπa (x) = |{n ∈ epsp(a) | n ≤ x}|
Der Primzahltest, der diese Eigenschaft ausnutzt wird
Test 456 genannt.
Solovay-Strassen-
Bei der Wahl einer beliebigen Basis ist die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der
Solovay-Strassen-Test ein falsches Ergebnis liefert höchstens 0, 50 (siehe [HU],
p. 236). Es gibt jedoch kein Analogon zu den Carmichael-Zahlen.
Beispiel 7: Im folgenden sei a = 2 gewählt.
1. n = 7: 23 = 8 ≡ 1 = ( 72 ) (mod 7).
2
) (mod 15). 2 ist Euler-Zeuge der Zerlegbar2. n = 15: 27 = 128 ≡ 2 6= ( 15
keit von 15.
5612 −1
2
) = (−1) 8 (mod 561). 561 ist die
3. n = 561 = 3·11·17: 2280 ≡ 1 = ( 561
kleinste Euler-Pseudoprimzahl zur Basis 2. (Es ist 3280 ≡ 441 (mod 561),
alo ist 561 keine Euler-Pseuodprimzahl zur Basis 3).
3
Strenge Pseudoprimzahlen
Satz 8: Es sei a ∈ Z und p ∈ P, ungerade. Es sei p − 1 = 2r · d mit ungeradem
d, dann gilt
ad ≡ 1 (mod p) oder ∃i : 0 ≤ i < r : a2 d ≡ −1 (mod p).
i
Aus der Umkehrung dieses Satzes ergibt sich wieder ein Kriterium für die
Zerlegbarkeit:
Denition 9: Es sei 1 < a < n. Gilt ad 6≡ 1 (mod n) und ∀i : 0 ≤ i < ra2i d 6≡
−1 (mod p), dann ist n zerlegbar, also keine Primzahl, und a heiÿt strenger
Zeuge der Zerlegbarkeit für n (strong witness to the compositeness ).
ad 6≡ 1 (mod n) und ∀i : 0 ≤ i < d : a2 d 6≡ −1 (mod n) ⇒ n 6∈ P
i
Gilt ad ≡ 1 (mod n) oder ∃i : 0 ≤ i < r : a2 d ≡ −1 (mod p), dann heiÿt n
wahrscheinlich streng prim zur Basis a (probable strong prime to base a ). a
i
4
5
6
Robert Solovay,amerikanischer Mathematiker,*1938
Volker Strassen, deutscher Mathematiker, *1936
Robert M. Solovay, Volker Strassen; A fast Monto-Carlo test for primality; SIAM Journal
on Computing 6(1) (1977): 84-85
5
SP SP (A) ⊆ EP SP (A) ⊆ P SP (A)
4
heiÿt strenger Lügner der Zerlegbarkeit (strong liar ). Die Menge all dieser
wahrscheinlich streng primen Zahlen zur Basis a wird mit sprp(a) bezeichnet.
sprp(a) = {n ∈ N | n wahrscheinlich streng prim zur Basis a}
Ist n ∈ sprp(a) und nicht prim, so heiÿt n eine strenge Pseudoprimzahl
zur Basis a (stronge pseudoprime to base a ). Die Menge aller strengen Pseudoprimzahlen zur Basis a wird mit spsp(a) bezeichnet.
spsp(a) = {n ∈ sprp(a) | n 6∈ P}
Es gilt somit
sprp(a) = P ∪ spsp(a)
Die Anzahl der strengen Pseudoprimzahlen zur Basis a kleiner oder gleich einer
Grenze x wird mit Sπa (x) bezeichnet:
Sπa (x) = |{n ∈ spsp(a) | n ≤ x}|
Der Primzahltest, der diese Eigenschaft ausnutzt heiÿt Miller-Rabin-Test
7
8 9
Bei der Wahl einer beliebigen Basis ist die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass der
Miller-Rabin-Test ein falsches Ergebnis liefert höchstens 0, 25 (siehe [HU], p.
229). Es gibt jedoch auch hier kein Analogon zu den Carmichael-Zahlen.
Beispiel 10: Im folgenden sei a = 2 gewählt.
1. n = 7: 26 = 64 ≡ 1 (mod 7).
2. n = 15: n − 1 = 14 = 2 · 7, 27 = 64 ≡ 8 (mod 15), 214 ≡ 4 (mod 15). 2
ist strenger Zeuge der Zerlegbarkeit von 15.
3. n = 2047 = 23 · 89: n − 1 = 2 · 1023, 21023 ≡ 1 (mod 2047). 2047 ist die
kleinste strenge Pseudoprimzahl zur Basis 2.
spsp(a) ⊆ epsp(a) ⊆ psp(a)
4
Welche Beziehungen bestehen zwischen den verschiedenen Pseudoprimzahlen.
Sofort klar ist die einfache Eigenschaft
Bemerkung 11: epsp(a) ⊆ psp(a)
Beweis: Aus
an−1
7
8
9
n ∈ epsp(a) folgt a
≡ 1 (mod n), also n ∈ psp(a).
n−1
2
≡
a
n
(mod n) und somit natürlich
Gary L. Miller, amerikanischer Mathematiker und Informatiker, *19??
Michael O. Rabin, israelischer Mathematiker und Informatiker, *1931
Gary L. Miller; Riemann's Hypothesis ans Tests for Primality; Journal of Computer and
System Sciences 13 (1976), no. 3, pp. 300-317 und Michael O. Rabin; Probabilistic algorithm
for testung primality; J.Number Theory 12 (1980), no. 1, pp. 128-138
4
6
SP SP (A) ⊆ EP SP (A) ⊆ P SP (A)
Das ist der erste Teil der Teilmengenbeziehung. weiterhin gilt:
Bemerkung 12: spsp(a) ⊆ psp(a)
Beweis: Aus
n ∈ psp(a).
n ∈ spsp(a) ergibt sich klar, dass an−1 ≡ 1 (mod n) ist, also
Nicht ganz so einfach ist die Beziehung zwischen spsp(a) und epsp(a) zu klären.
Es gilt
Satz 13: spsp(a) ⊆ epsp(a)
Beweis: Es sei n − 1 = d · 2s , mit d ungerade und s ≥ 1. Da n ∈ spsp(a) ist
ergeben sich 3 verschiedene Fälle:
1. ad ≡ 1 (mod n)
2. ∃r ∈ N0 : 0 ≤ r < s − 1 : ad·2 ≡ −1 (mod n)
r
3. ad·2
s−1
≡ −1 (mod n)
Es ist zu zeigen, dass a(n−1)/2 ≡
a
n
gilt.
Fall 1: Aus ad ≡ 1 (mod n) folgt:
a
n−1
2
s−1
s−1
= ad·2
= (ad )2
≡ 1 (mod n)
Daher ergibt sich mit Hilfe der Regeln für das Jacobi-Symbol
1
n
1=
!
Da d ungerade ist, muss
ad
n
≡
a
n
!
a
n
=
!d
= (±1)d (mod n)
= 1 gelten, also gilt a(n−1)/2 ≡
a
n
(mod n).
Fall 2: Es sei nun ad·2 ≡ −1 (mod n) für ein r < s − 1. Damit gilt als erstes
r
s−1
a(n−1)/2 = ad·2
r
s−1−r
= (ad·2 )2
s−1−r
≡ (−1)2
≡ 1 (mod n)
Die letzte Äquivalenz gilt, da s − 1 − r > 0 gilt. Andererseits gilt ad·2 ≡
r+1
−1 (mod n) und somit ad·2
≡ 1 (mod n). Daraus ergibt sich
r
1=
1
n
r+1
!
≡
ad·2
n
!
=
Da d ungerade ist, ergibt sich
ad a2
n
a
n
r+1
!
a
n
=
!d
a
n
!2r+1
a
n
≡
= 1, also gilt a(n−1)/2 ≡
a
n
!d
= (±1)d
(mod n).
Fall 3: Es sei nun ad·2 ≡ −1 (mod n), d.h es gilt an−1 ≡ −1 (mod n). Daher
ist zu zeigen, dass na ≡ −1 (mod n) gilt.
s−1
Es sei
n=
t
Y
i=1
pi
4
7
SP SP (A) ⊆ EP SP (A) ⊆ P SP (A)
wobei die pi (i = 1, . . . , t) Primzahlen sind, die nicht notwendigerweise verschieden sind. Weiter seinen für i = 1, . . . , t
pi − 1 = 2si di
mit di ungerade.
Behauptung a: für i = 1, . . . , t gilt si ≥ s.
Es gilt
(adi 2
s−1
)d = (ads
s−1
)di ≡ (−1)di = −1 (mod n)
Da pi |n ist, gilt somit auch
s−1
(adi 2
)d ≡ −1 (mod pi )
Da pi eine Primzahl ist, gilt somit sogar
s−1
adi 2
≡ −1 (mod pi )
Falls nun si < s gelten würde, also si + α = s − 1, dann wäre
s−1
si 2α
−1 ≡ adi 2
= adi 2
s
α
α
α
= (adi 2 i )2 = (api )2 ≡ 12 = 1 (mod pi )
was für (ungerade) Primzahlen nicht zutreen kann, also ist si ≥ s.
Behauptung b: ist si = s, dann gilt ( pai ) = −1.
a
pi
!
=
a
pi
!d
≡ (a
pi −1
2 )d
si −1
= (adi 2
)d = (ad2
s−1
)di
≡ (−1)di = −1 (mod pi )
Behauptung c: ist si > s, dann gilt ( pai ) = 1.
Es sei si = s + α, mit α > 0, dann gilt:
a
pi
!
=
a
pi
!d
≡ (a
pi −1
2 )d
si −1
= (adi 2
)d = (adi 2
s−1 2α
s−1
)d = (ad2
)di 2
α
α
≡ (−1)di 2 = 1 (mod pi )
Es sei k die Anzahl der pi (i = 1, . . . , t), so dass si = s gilt
k = |{pi | si = s, i = 1, . . . , t}|
Damit gilt
a
n
!
=
t
Y
i=1
a
pi
!
= (−1)k
Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass k ungerade ist. Wegen pi − 1 = di 2si gilt
5
WEITERE EIGENSCHAFTEN FÜR PSEUDOPRIMZAHLEN
(
1
1 + 2s
pi ≡
8
si > s
(mod 2s+1 )
si = s
Wegen n = 1 + d2s ≡ 1 + 2s (mod 2s+1 ) ergibt sich
1 + 2s ≡ n =
t
Y
pi ≡ (1 + 2s )k ≡ 1 + k · 2s (mod 2s+1 )
i=1
woraus sofort
gefolgert werden kann, dass k ungerade ist. Damit gilt also im
3. Fall na = −1 und somit insgesamt
n−1
a 2
≡
a
n
!
(mod n)
Zusammenfassend gilt somit
Satz 14: spsp(a) ⊆ epsp(a) ⊆ psp(a)
Aus dem diesem Satz ergibt sich als Konsequenz für die Primzahltests, dass
der Miller-Rabin-Test bessere Ergebnisse zum Erkennen von Primzahlen liefert
als der Fermat-Test oder der Solovay-Strassen-Test. Zum einen ist die Erkennungsrate höher und zum anderen ist die Irrtumswahrscheinlichkeit geringer.
5
Weitere Eigenschaften für Pseudoprimzahlen
Anbei einige weitere interessante Eigenschaften für Pseudoprimzahlen.
Für die Beziehungen zwischen spsp(a) und epsp(a) gilt
Bemerkung 15: Ist n ≡ 3 (mod 4), dann gilt n ∈ spsp(a) ⇔ n ∈ epsp(a).
Beweis: Zu zeigen ist nur noch, dass aus n ∈ epsp(a) auch n ∈ spsp(a) folgt.
Ist n ≡ 3 (mod 4), dann ist n − 1 = d · 21 , mit ungeradem d. Da n ∈ epsp(a)
n−1
ist, gilt a 2 = ad ≡ ( na ) (mod n). Der letzte Ausdruck ist je nach Wert des
Jacobi-Symbols +1 oder −1. auf jeden Fall sind somit die Bedingungen für
n ∈ spsp(a) erfüllt.
Weiterhin gilt
Bemerkung 16: Ist n ∈ epsp(a) und ( na ) = −1, dann gilt n ∈ spsp(a).
Beweis: Mit n − 1 = d · 2s gilt ad·2s−1 = a
n−1
2
≡ ( na ) = −1 (mod n). Somit ist
die Bedingung für eine strenge Pseudoprimzahl gegeben.
6
DIE PSEUDOPRIMZAHLEN BIS
9
25 · 109
Die nachfolgende Bemerkung ermöglicht die Konstruktion unendlich vieler
Pseudoprimzahlen und strenger Pseudoprimzahlen. (siehe [Rib], p. 92)
Bemerkung 17: Ist n eine Pseudoprimzahl zur Basis 2, dann ist n0 = 2n − 1
eine strenge Pseudoprimzahl zur Basis 2.
n ∈ psp(2) ⇒ n0 = 2n − 1 ∈ spsp(2)
Beweis: Zuerst ist klar dass wenn n = ab eine zusammengesetzte Zahl ist, mit
1 < a, b < n, dass dann 2a −1 ein Teiler von 2n −1 ist, so dass dann auch 2n −1
zusammengesetzt ist. Da n eine Pseudoprimzahl ist, ist n zusammengesetzt und
somit ist auch n0 zusammengesetzt, also keine Primzahl.
n = ab, 1 < a, b < n ⇒ (2a − 1)|(2n − 1) = (2a − 1) ·
b−1
X
2ai
i=0
Ist n ∈ psp(2), dann gilt auf Grund der Denition der Pseudoprimzahl, dass
2n−1 ≡ 1 (mod n) gilt und somit n|2n−1 − 1
n ∈ psp(2) ⇒ 2n−1 ≡ 1 (mod n) ⇒ 2n−1 − 1 ≡ 0 (mod n) ⇒ n|2n−1 − 1
Weiterhin ist n0 − 1 = 2n − 2 = 2 · (2n−1 − 1) = 2d. Wegen n|2n−1 − 1 = d
folgt n0 = 2n − 1|2d − 1, also 2d − 1 ≡ 0 (mod n), also 2d ≡ 1 (mod n0 ), also
ist n0 ∈ spsp(2).
n0 − 1 = 2n − 2 = 2 · (2n−1 − 1) = 2 · d
n ∈ psp(2) ⇒ 2n−1 ≡ 1 (mod n) ⇒ n|2n−1 − 1 = d
n|d ⇒ n0 = 2n − 1|2d − 1 ⇒ 2d ≡ 1 (mod n0 ) ⇒ n0 ∈ spsp(2)
Die kleinste Pseudoprimzahl ist 341. Damit ist 2341 − 1 eine strenge Pseudoprimzahl, der Startpunkt einer unendlichen Serie von Pseudoprimzahlen und
sogar strengen Pseudoprimzahlen.
2341 − 1 =
447
94894 84355 60842 11148 84561 13688 85562 43290 99446 92990
69799 97820 19275 83742 36032 18907 61754 98654 32142 31551
Die nächste (dritte) Zahl in dieser Folge hat dann etwa 1034 Stellen, also schon
ziemlich groÿ!
6
Die Pseudoprimzahlen bis
25 · 109
Die Berechnung der Pseudoprimzahlen bis 25 · 109 hat nach Auskunft von Pomerance, Selfridge und Wagsta [PSW, p. 1006] mehrere Monate benötigt. Das
6
DIE PSEUDOPRIMZAHLEN BIS
10
25 · 109
war vor etwa 30 Jahren. Der Fortschritt der Technik ist deutlich spürbar. Auf
einem Notebook mit keinen Spitzenleistung benötigte die selbe Rechnung nur
etwa 100 Stunden, ohne dass besondere Optimierungen vorgenommen wurden.
In der letzten Spalte sind die Anzahl der Carmichael-Zahlen notiert, die später
noch betrachtet werden. Es ergaben sich folgende Ergebnisse:
x
108
109
2 · 109
3 · 109
4 · 109
5 · 109
10 · 109
15 · 109
20 · 109
25 · 109
π(x)
5.761.455
50.847.534
98.222.287
144.449.537
189.961.812
234.954.223
455.052.511
670.180.516
882.206.716
1.091.987.405
P π2 (x)
2.057
5.597
7.536
8.924
10.103
11.108
14.884
17.658
19.865
21.853
Eπ2 (x)
1.071
2.939
3.925
4.627
5.218
5.734
7.706
9.147
10.307
11.347
Sπ2 (x)
488
1.282
1.681
1.988
2.247
2.471
3.291
3.921
4.412
4.842
C(x)
255
646
843
983
1.092
1.184
1.547
1.782
1.983
2.163
Hierbei ist π(x) die Funktion bezüglich der Anzahl der Primzahlen kleiner oder
gleich einer Grenze x.
Inzwischen sind die Berechnung weit über diese Grenzen geführt worden. (siehe
[Rib], p. 226)
x
1011
1012
1013
P π2 (x)
Eπ2 (x)
38.975 20.417
101.629 53.332
264.239 124.882
Sπ2 (x)
C(x)
8.607 3.605
22.407 8.241
58.892 19.279
Im Anhang A sind die Daten bis 25 · 109 in Schritten von 108 aufgeführt.
In der Zeit als der Artikel von Pomerance, Selfridge und Wagsta [PSW] geschrieben wurden, war die Rechnerleistung noch gering. Mit der steigenden
Leistung der Rechner ist auch die der Bedarf an groÿen Primzahlen gestiegen,
Primzahlen mit 500 bis 1000 Bits, mit 150 bis 300 Stellen.
Anbei eine Primzahl mit etwa 1.000 Bit (301 Stellen), mittels Java erstellt. In
Java ist der Miller-Rabin-Test im Standard-Sprachumfang implementiert, da
die Bestimmung von groÿen Primzahlen sehr wichtig ist.
36235
52295
17680
02881
63724
05610
20035
17263
16301
43659
26575
82193
12376
94233
74980
97470
21790
76471
20157
68304
88278
10871
76544
20814
42571
46289
10107
51083
86800
65032
93913
43779
59781
80381
26717
17573
01981
76129
94314
88050
07555
94693
01900
32723
68786
36802
70395
54230
08163
54368
00254
89425
72424
71769
6
95926
58096
07166
32328
25333
04293
7
7
11
BASEN UNGLEICH 2
Basen ungleich 2
Die bisherigen Untersuchungen sind willkürlich zur Basis 2 durchgeführt worden. Wie sehen die Ergebnisse für andere Basen aus? Ich habe zum einem die
strengen Pseudoprimzahlen bis 108 für verschiedene Basen berechnet. Zum anderen habe ich die strengen Pseudoprimzahlen bis 25 · 109 bezüglich anderer
Basen untersucht.
In der nachstehenden Tabelle sind die Anzahl der strengen Pseudoprimzahlen
bis x = 108 für verschiedenen Basen aufgeführt.
p
2
3
5
7 11 13 17 19
488 582 475 446 430 472 481 498
Sπp (x)
Die Anzahlen stimmen grob gesprochen etwa überein, keine Basis ist in irgend
einer Weise ausgezeichnet.
In einer anderen Untersuchung habe ich die strengen Pseudoprimzahlen zur
Basis 2 bis 25 · 109 untersucht, für welche anderen Basen diese Zahlen auch
strenge Pseudoprimzahlen sind. Im Anhang B sind die Daten hinterlegt. Es
gibt keine Zahl, die für alle Basen eine strenge Pseudoprimzahl ist. Im Bereich
bis 108 sind nur 13 Zahlen strenge Pseudoprimzahlen zu den Basen 2, 3 und 5.
Nur eine Zahl (3.215.031.751) ist sogar noch strenge Pseudoprimzahl zur Basis
7. Diese Zahl (eine Carmichael-Zahl) ist jedoch keine strenge Pseudoprimzahl
zu 11, 13, 17, jedoch wieder eine Pseudoprimzahl zu 19.
Diese Tatsache macht den Miller-Rabin-Test so interessant. Wenn eine Zahl den
Miller-Rabin-Test für die Basen 2,3,5,7,11,13,17 und 19 besteht, dann ist die
Wahrscheinlichkeit, dass es eine Primzahl ist, hoch. Die heutige Rechnerleistung ermöglich es, den Test schnell auszuführen. Es gibt jedoch keine absolute
Sicherheit für die Eigenschaft Primzahl. Im Gegensatz dazu, wenn die Zerlegbarkeit festgestellt wird, dann ist die Zahl sicher zusammen gesetzt, auch wenn
man dann noch nicht die Primfaktoren kennt.
8
Anzahl der Pseudoprimzahlen
Für die Anzahl der Pseudoprimzahlen P π2 (n) gibt es Abschätzungen, grobe
Abschätzungen. Nach Pommerance [Pom] (siehe Riesel [Rie], p. 101) gilt
n5/14 < P π2 (n) < n · exp −
ln(n) ln(ln(ln(n)))
ln(ln(n))
wobei die Abschätzung (für kleine Zahlen wie etwa 2, 5 · 1010 ) sehr grob ist.
n
2, 5 · 1010
1011
1012
1013
n5/14
5.171
8.483
19.307
43.940
ln(ln(ln(n)))
n · exp − ln(n)ln(ln(n))
4, 116 · 106
1, 017 · 107
4, 598 · 107
2, 092 · 108
9
CARMICHAEL-ZAHLEN
9
12
Carmichael-Zahlen
Betrachten wir nochmals genauer die Carmichael-Zahlen (siehe [HU], p. 226f).
Zuerst nochmals die Denition
Denition 18: Eine zusammengesetzte Zahl n ∈ N heiÿt Carmichael-Zahl ,
falls an−1 ≡ 1 (mod n) für alle a ∈ (Z/nZ)× gilt.
Eine Charakterisierung von Carmichael-Zahlen wurde von Korselt10 im Jahre
1899 beschrieben, jedoch erst Carmichael11 konnte 1912 die erste CarmichaelZahl angeben, die seither seinen Namen tragen (siehe [Rib], p. 101). Die Charakterisierung von Korselt lautet (siehe [HU], p. 226)
Satz 19: (Korselt 1899) Sei n ∈ N eine ungerade, zusammengesetzte Zahl.
1. Wenn n durch p2 teilbar ist, wobei p eine Primzahl ist, dann ist n keine
Carmichael-Zahl.
2. Sei n nicht durch eine Quadratzahl teilbar. Genau dann ist n eine CarmichaelZahl, wenn p − 1|n − 1 für jede Primzahl p gilt, die n teilt.
Eine Carmichael-Zahl ist qudratfrei und muss das Produkt von mindestens 3
Primfaktoren sein (siehe [HU], p. 227):
Bemerkung 20: Eine Carmichael-Zahl ist Produkt von mindestens drei ver-
schiedenen Primzahlen.
Beispiel 21: Die Zahl 561 = 3 · 11 · 17 ist die kleinste Carmichael-Zahl.
Carmichael-Zahlen können konstruiert werden. J. Chernick12 hat 1939 ein
einfaches System zur Konstruktion von Carmichael-Zahlen gefunden. (siehe
[Rib],p. 103)
Bemerkung 22: Eine Zahl
M3 (m) = (6m + 1) · (12m + 1) · (18m + 1)
ist für m ≥ 1 eine Carmichael-Zahl, wenn alle drei Faktoren (6m+1), (12m+1)
und (18m + 1) Primzahlen sind.
Dies ist äquivalent zur Aussage:
10
11
12
Alwin Korselt, deutscher Mathematiker, 1984-1947
Robert Daniel Carmichael, amerikanischer Mathematiker, 1879-1967
keine persönlichen Daten gefunden
9
13
CARMICHAEL-ZAHLEN
Bemerkung 23: Es sei
p > 3 eine Primzahl. Sind auch 2p − 1 und 3p − 2
Primzahlen, dann ist n = p · (2p − 1) · (3p − 2) eine Carmichael-Zahl.
Beweis: Es gilt
n − 1 = p · (2p − 1) · (3p − 2) − 1 = 6p3 − 7p2 + 2p − 1 = (p − 1) · (6p2 − p + 1)
Somit gilt auf jeden Fall (p − 1)|(n − 1). Da p eine ungerade Primzahl ist, gilt
6p2 − p + 1 ≡ 0 (mod 2), ist also gerade, so dass auch (2p − 2)|(n − 1) gilt.
Da p > 3 ist, gilt p ≡ 1 (mod 6) oder p ≡ 5 (mod 6). Wenn p ≡ 5 (mod 6)
gilt, dann ist 2p − 1 ≡ 3 (mod 6), also keine Primzahl. Für p ≡ 1 (mod 6) gilt
2p − 1 ≡ 1 (mod 6) und 3p − 2 ≡ 1 (mod 6), also kein Widerspruch dazu, dass
2p − 1 und 3p − 2 Primzahlen sein sollen. (D.h. p ist von der Form 6m + 1
für m ≥ 1.) Wegen p ≡ 1 (mod 6) gilt auch p ≡ 1 (mod 3) und somit gilt
(6p2 − p + 1) ≡ 0 (mod 3). Damit gilt auch (3p − 3)|(n − 1), also ist n eine
Carmichael-Zahl.
Die ersten Carmichael-Zahlen dieser Konstruktion sind in der nachfolgenden
Tabelle aufgeführt.
m
M3 (m)
1
1.729
5 172.081
6 294.409
6m + 1
7
31
37
12m + 1
13
61
73
18m + 1
19
91
109
Damit lassen sich Carmichael-Zahlen mit 3 Primfaktoren konstruieren. Für
k Primfaktoren gibt es ebenfalls eine Konstruktionsvorschrift (siehe [Rib], p.
103)
Bemerkung 24: Für k ≥ 4 und m ≥ 1 sei
Mk (m) = (6m + 1) · (12m + 1) ·
k−2
Y
(9 · 2i m + 1)
i=1
Sind alle k Faktoren von Mk (m) Primfaktoren und gilt zudem 2k−4 |m gilt,
dann ist Mk (m) eine Carmichael-Zahl.
Die ersten beiden Carmichael-Zahlen dieser Konstruktion sind in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt.
m
M4 (m)
1
63.973
45 192.739.365.541
6m + 1
7
271
12m + 1
13
541
18m + 1
19
811
36m + 1
37
1621
Es ist unbekannt, ob es für jedes k ≥ 3 unendlich viele Carmichael-Zahlen
gibt (siehe [Rib], p. 102). Es konnte jedoch bewiesen werden ([AGP]), dass es
unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt.
Für die obere und untere Grenze der Anzahl C(x) der Carmichael-Zahlen unterhalb oder gleich x gilt.
10
14
ANDERE PSEUDOPRIMZAHLEN
Bemerkung 25: Ist C(n) die Anzahl der Carmichael-Zahlen kleiner oder gleich
n, dann gilt
n
2/7
ln(n) ln(ln(ln(n)))
< C(n) < n · exp −
ln(ln(n))
Grobe Abschätzungen mit dieser Formel können in der nachstehenden Tabelle
entnommen werden.
n
2, 5 · 1010
1011
1012
1013
n2/7
935
1.389
2.682
5.179
ln(ln(ln(n)))
n · exp − ln(n)ln(ln(n))
4, 116 · 106
1, 017 · 107
4, 598 · 107
2, 092 · 108
Im Anhang C sind die Carmichael-Zahlen kleiner als 2, 5 · 1010 aufgeführt,
inklusive der Primzerlegung.
10
Andere Pseudoprimzahlen
Oben wurden Pseudoprimzahlen, Euler-Pseudoprimzahlen und strenge Pseudoprimzahlen untersucht. Es gibt noch weitere Arten von Pseudoprimzahlen (siehe z.B. [Rib]). Jedesmal, wenn es eine Eigenschaft für Primzahlen
gibt, kann daraus eine Überprüfung durchgeführt werden. Aus der Beziehung
p ∈ P ⇒ A(p) folgt die Umkehrung nicht A(n) ⇒ n ∈
/ P. Wenn n zusammengesetzt ist und A(n) gilt, dann hat man eine Pseudoprimzahl mit der Eigenschaft
A(n). Dabei ergeben sich folgende Fragen:
1. Wie zuverlässig erkennt die Eigenschaft zusammengesetzte Zahlen.
2. Ist das Verfahren eektiv umsetzbar?
Literatur
[AGP] W. R. Alford, A. Granville, C. Pomerance; There are Innitely Many
Carmichael Numbers; Ann.Math 139 (1994), 702-722
[BS] Eric Bach, Jerey Shallit; Algorithmic Number Theory, Volume 1 Ecient
Algorithms; The MIT Press; Cambridge; 1996
[GG] Joachim von zur Gathen, Jürgen Gerhard; Modern Computer Algebra;
Cambridge University Press; Cambridge; 2nd Edition 2003
[HU] Silke Hartlieb, Luise Unger; Mathematische Grundlagen der Kryptographie; Skript zum Kurs 01321 an der Fernuniversität in Hagen; 2008
[Pom] Carl Pomerance; On the Distribution of Pseudoprimes; Math.Comp. 37
(1981) 587-593
B
STRENGE PSEUDOPRIMZAHLEN ZUR BASIS 2 KLEINER ALS
2, 5·1010 15
[PSW] Carl Pomerance, J.L. Selfridge and Samuel S. Wagsta, Jr.; The Pseudoprimes to 25 · 109 ; Mathematics of Computation, Volume 35, Number 151,
July 1980, Pages 1003 - 1026.
[Rib] Paulo Ribenboim; Die Welt der Primzahlen; Springer; Berlin; 2006
[Rie] Hans Riesel; Prime Numbers and Computer Methods for Factorization;
Birkhäuser; Boston; 1985
[Wol-C] WolframMathWorls;
http://mathworld.wolfram.com/CarmichaelNumber.html; [Letzter Zugri: 18.11.2008]
[Wol-P] WolframMathWorls;
http://mathworld.wolfram.com/Pseudoprime.html; [Letzter Zugri: 15.11.2008]
A
Anzahl von Pseudoprimzahlen in Schrittweite
108
Die Berechnung der Pseudoprimzahlen bis 2, 5·1010 wurde in Schritten von 108
durchgeführt. Daher wurden 250 Berechnungen durchgeführt. Die Ergebnisse
der Berechnungen sind in der Datei Anhang A zusammengefasst.
B
Strenge Pseudoprimzahlen zur Basis 2 kleiner als
2, 5 · 1010
Im Anhang B sind alle strengen Pseudoprimzahlen zur Basis 2 kleiner als
2, 5 · 1010 aufgeführt. Bei allen 4.842 Zahlen ist auÿerdem vermerkt, für welche
Basen 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19 die Zahlen ebenfalls strenge Pseudoprimzahlen
sind.
In der nachfolgenden Tabelle sind diejenigen strengen Pseudoprimzahlen bis
2, 5 · 1010 aufgeführt, die sowohl für 2, 3 und 5 strenge Pseudoprimzahlen sind.
Nr
256
600
1259
1354
2045
2175
2638
2804
3856
3986
4253
4396
4545
n
25.326.001
161.304.001
960.946.321
1.157.839.381
3.215.031.751
3.697.278.427
5.764.643.587
6.770.862.367
14.386.156.093
15.579.919.981
18.459.366.157
19.887.974.881
21.276.028.621
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
7
11
13
17
19
11
7
13
11
13
17
17
19
C
C
CARMICHAEL-ZAHLEN KLEINER ALS
2, 5 · 1010
Carmichael-Zahlen kleiner als
16
2, 5 · 1010
Im Anhang C sind alle Carmichael-Zahlen kleiner als 2, 5 · 1010 aufgeführt,
sowie deren Zerlegung in Primfaktoren.