und Makrolinsen auf die Statistik kosmologischer Objekte

Der Einfluß einer Kombination von
Mikro- und Makrolinsen auf die Statistik kosmologischer Objekte
Diplomarbeit
vorgelegt von Matthias Bartelmann
an der
Ludwig-Maximilians-Universität
München
angefertigt am
Institut für Astrophysik
des Max-Planck-Instituts für Physik und Astrophysik, Garching
Betreuer:
Professor Jürgen Ehlers
München, im Mai 1990
Geheimnisvoll am lichten Tag
Läßt sich Natur des Schleiers nicht berauben;
Und was sie dir nicht offenbaren mag,
Das zwingst du ihr nicht ab mit Hebeln und mit Schrauben.
Goethe, Faust I
i
ii
...aber Kleinvieh macht auch Mist.
Volksmund
iii
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
1
Das kosmologische Modell
1.1 Homogene, isotrope Universen: Das Friedmann-Lemaı̂tre-Modell
1.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Einige wichtige Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . .
1.2 Der Ansatz von Dyer und Roeder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Die Dyer-Roeder-Differentialgleichung . . . . . . . . . .
1.2.3 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
3
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5
6
Grundlagen der Gravitationslinsentheorie
2.1 Linsengeometrie, die Linsengleichung . . . . . . . . .
2.1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Der Ablenkwinkel . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Die Linsengleichung, vektorielle Schreibweise
2.1.4 Skalare Schreibweise der Linsengleichung . .
2.2 Verstärkung, die Jacobimatrix . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Der Verstärkungsfaktor . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Eigenschaften der Jacobimatrix . . . . . . . .
2.3 Zwei allgemeine Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Radialsymmetrische Linsen, die isotherme Sphäre . . .
2.4.1 Radialsymmetrische Linsen . . . . . . . . . .
2.4.2 Die isotherme Sphäre . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Eine Skalierungseigenschaft . . . . . . . . . .
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3
Galaxien aus der Sicht des Beobachters
3.1 Die Leuchtkraftfunktion von Schechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsdispersion und Leuchtkraft . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Eine Relation zwischen Radius und Leuchtkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
Mikrolinsen
4.1 Das Feld zufällig verteilter Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Markovs Methode; Anwendung auf den vorliegenden Fall
4.1.3 Skalierung des Sternfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Sternfeld als Teil einer isothermen Sphäre . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Verstärkungswahrscheinlichkeit für helle Bilder . . . . . .
4.2.2 Weitere Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Ein konkretes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21
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24
Wirkungsquerschnitte
5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Wirkungsquerschnitte für klumpige isotherme Sphären
5.2.1 Bildeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Berechnung der Wirkungsquerschnitte . . . . .
5.2.3 Der Grenzfall glatter Galaxien . . . . . . . . .
5.2.4 Berücksichtigung des Bildabstands . . . . . .
5.2.5 Numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . .
5.2.6 Wirkungsquerschnitte für Einzelbilder . . . . .
5.3 Einfluß einer konstanten Flächenmassendichte . . . . .
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Globale Abbildungswahrscheinlichkeiten
6.1 Selbstkonsistente Wahrscheinlichkeiten . . . . . . .
6.2 Spezialisierung des allgemeinen Ergebnisses . . . . .
6.2.1 Wahrscheinlichkeit für doppelte Abbildung .
6.2.2 Wahrscheinlichkeiten für einfache Abbildung
6.3 Berücksichtigung konstanter Flächenmassendichten .
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Der Amplification Bias“
”
7.1 Quellenstatistik . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Quellenzahlen . . . . . . . . .
7.1.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
7.1.3 Eine Leuchtkraftfunktion . . . .
7.2 Anteil doppelt abgebildeter Quasare . .
7.3 Einige analytische Abschätzungen . . .
7.4 Interpretation . . . . . . . . . . . . . .
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Interpretation der Ergebnisse
8.1 Anteil doppelt abgebildeter Quasare . . . . . . . . . . .
8.1.1 Vorbemerkung, Wahl der Parameter . . . . . . .
8.1.2 Interpretation des Kurvenverlaufs . . . . . . . .
8.1.3 Veränderungen im mittleren Helligkeitsverhältnis
8.2 Auswirkungen einer konstanten Flächenmassendichte . .
8.3 Zusätzliche Forderungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Bedeutung der Helligkeit der Linse . . . . . . .
8.3.2 Berücksichtigung möglicher Überstrahlung . . .
8.4 Schlußbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Vier Nachträge
A.1 Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen nach Markovs Methode
A.1.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Scherung . . . . . . . . . .
A.2 Anmerkung zum Jaynesschen Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Bilder einer Quelle nahe einer Kaustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Zur Skalierungseigenschaft der Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . .
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B Diagramme
B.1 Anteil aufgelöster Quasarpaare an allen beobachteten Quasaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Anteil aufgelöster Quasarpaare mit Helligkeitsverhältnis zwischen q = 10 und q = 100 . . . . . . .
B.3 Steigerung des Anteils aufgelöster Quasarpaare durch zusätzliche
Flächenmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis63
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61
62
Einleitung
1
Einleitung
Die Idee, Licht könnte gravitativ von Massen abgelenkt werden, ist älter als die Allgemeine Relativitätstheorie. Licht,
als ein Strom von Teilchen aufgefaßt, wird auch nach der Newtonschen Gravitationstheorie abgelenkt1. In der Newtonschen Näherung ergibt die Allgemeine Relativitätstheorie ein Resultat für den Ablenkwinkel eines Lichtstrahls
im Schwerefeld eines Körpers, das um einen Faktor zwei von dem abweicht, das die Newtonsche Gravitationstheorie fordert. Die erste Beobachtung einer Lichtablenkung durch Eddington 1919 galt als ein kräftiger Hinweis auf die
Richtigkeit der Einsteinschen Theorie.
Ebenfalls bereits 1919 schlug O. Lodge vor, daß aufgrund der Lichtablenkung durch Gravitation Gebilde erzeugt
werden könnten, deren Effekt als die Wirkung von Sammellinsen zu interpretieren sei. 1924 nahm O. Chwolson das
vorweg, was heute als Einstein-Ring“ bezeichnet wird: Daß nämlich ein Stern, der vom Beobachter aus gesehen
”
direkt hinter einem anderen steht, durch dessen Gravitationswirkung ringförmig erscheint. Einstein selbst fand 1936,
daß ein solcher Ring viel zu klein sein würde, um beobachtbar zu sein.
Obwohl F. Zwicky schon 1937 zeigte, daß nicht Sterne, sondern Galaxien gut als Gravitationslinsen geeignet
wären, dauerte es bis 1979, bis der erste Gravitationslinsenkandidat durch Walsh, Carswell und Weymann gefunden
wurde. Dabei handelt es sich um ein enges Quasarpaar bei einer Rotverschiebung von 1.41, in dessen Vordergrund
sich eine Galaxie der Rotverschiebung 0.36 befindet. Seither wurden einige weitere solcher Mehrfachobjekte entdeckt, die relativ zweifelsfrei als Bilder einer Gravitationslinse gelten können. Das Überraschende an diesen Objekten ist, daß sich bereits vier unter ihnen befinden, bei denen der Helligkeitsunterschied zwischen den beiden hellsten
Bildern größer als zwei Größenklassen ist2 . Bei QSO 1120+019 beträgt er sogar ∆V = 4:6 Größenklassen, das entspricht einem Helligkeitsverhältnis von fast 70.
Warum ist der Anteil von Quasaren mit Bildern stark unterschiedlicher Helligkeit so groß? Die vorliegende Arbeit
geht der Frage nach, ob die Eigenschaft großer Linsen (z.B. Galaxien), aus einer Unzahl erheblich kleinerer Linsen
(z.B. Sternen) zusammengesetzt zu sein, dafür verantwortlich gemacht werden kann. Wir verfahren folgendermaßen:
Das erste Kapitel stellt den kosmologischen Rahmen der Gravitationslinsentheorie vor. Dabei kommt vor allem der Ansatz von Dyer und Roeder zur Sprache. Im zweiten Kapitel werden Grundlagen der Linsentheorie zusammengestellt, insoweit sie im folgenden gebraucht werden. Hier spielen radialsymmetrische Linsen, insbesondere
die isotherme Sphäre, eine besondere Rolle. Beobachtungsdaten, die von Interesse sind, werden im dritten Kapitel
knapp dargestellt. Das vierte Kapitel führt Mikrolinsen ein und behandelt die Eigenschaften des zufälligen Sternfeldes näher. Sie sind besonders im Hinblick auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung wichtig, die am Ende des vierten
Kapitels konstruiert wird, um die Auswirkungen von Mikrolinsen auf die Abbildungseigenschaften der isothermen
Sphäre zu untersuchen. Im fünften Kapitel führen wir den zentralen Begriff des Wirkungsquerschnitts ein und berechnen ihn unter Verwendung der Ergebnisse aus dem vorangegangenen Kapitel. Er wird in den Kapiteln 7 und 8
fortwährend verwendet, wo Abbildungswahrscheinlichkeiten und der Amplification Bias“ behandelt werden. Ka”
pitel 8 schließlich stellt die Ergebnisse zusammen. Diskutiert werden: Der Anteil solcher Quasare, deren Bilder vorgegebene Eigenschaften haben, an allen beobachteten Quasaren, der Anteil von Quasaren mit großem Helligkeitsverhältnis ihrer Bilder und einige weitere Bedingungen, die gestellt werden, um die Sichtbarkeit der abbildenden
Galaxien in Betracht zu ziehen. Schließlich zieht sich die Diskussion einer Skalierungseigenschaft durch die Arbeit,
die am Ende auf die Frage angewandt wird, welche Wirkung eine räumlich konstante Massenverteilung in der Umgebung der Linsen auf die Abbildung hat. Anhang A faßt einige Nebenrechnungen zusammen; zahlreiche Diagramme
finden sich in Anhang B.
Noch ein Wort zur Sprachregelung“: Wir sprechen von Mikrolinsen“, wenn solche Linsen gemeint sind, de”
”
ren typische Bildaufspaltung derer von Einzelsternen entspricht; sie ist von der Größenordnung 10,6 Bogensekunden. Dagegen sind Makrolinsen“ solche, die eine um einige Größenordnungen stärkere Bildaufspaltung erzeugen
”
können, wie das z.B. bei Galaxien der Fall ist.
1 Newton
2 Das
selbst erwähnte bereits diese Möglichkeit.
sind: QSO 0142-100, QSO 1120+019, QSO 1429-008 und QSO 2345+007.
Homogene, isotrope Universen
2
1 Das kosmologische Modell
1.1 Homogene, isotrope Universen: Das Friedmann-Lemaı̂tre-Modell
1.1.1 Grundlagen
Die statistische Gravitationslinsentheorie benötigt ein Modell der kosmischen Umgebung, in die der Beobachter, aber
auch Quellen und Linsen eingebettet sind. Deswegen wird in diesem Kapitel zunächst der kosmologische Rahmen
besprochen werden, soweit er für das folgende notwendig ist. Wo nicht anders angegeben, werden Geschwindigkeiten
in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit gemessen: c = 1.
Das kosmologische Standardmodell beruht auf zwei grundsätzlichen Annahmen: Der einen, daß die Verteilung
der Materie um unsere Position herum räumlich isotrop sei und der anderen, daß die Position der Erde im Universum
durch nichts ausgezeichnet sei; das ist das kopernikanische oder kosmologische Prinzip.
Die Hypothese der Isotropie scheint von vorneherein fragwürdig zu sein, denn offenbar gibt es Stellen am Himmel mit starken Zusammenballungen leuchtender Materie und andere, wo solche Lichtkonzentrationen fast völlig
fehlen. Dennoch scheint die Verteilung der Materie auf Skalen, die vergleichbar mit den Abmessungen eines Galaxienhaufens (' 10 Mpc) oder größer sind, keine Richtung zu bevorzugen. Hinzu kommt, daß die leuchtende Materie
im Universum nur einen kleinen Bruchteil der gesamten Materie darstellt, daß aber Aussagen über die Verteilung
dunkler Materie naturgemäß nur sehr schwer getroffen werden können. Möglicherweise glättet“ diese nichtleuch”
tende Substanz die beobachteten Anisotropien.
Das entscheidende Argument, an der Hypothese der Isotropie festzuhalten, ist aber die phantastische Richtungsunabhängigkeit der kosmischen Hintergrundstrahlung. Das Spektrum des Mikrowellenhintergrundes entspricht dem
eines schwarzen Körpers mit der Temperatur T = 2:7K. Auf der Suche nach Anisotropien dieser Strahlung vergleicht
man die Strahlungsströme, die von derselben Antenne von verschiedenen Stellen des Himmels empfangen werden.
Bei gegebenem Raumwinkel ist der empfangene Strahlungsstrom proportional zur Energiedichte der Strahlung, die
ihrerseits wieder proportional zur vierten Potenz der Schwarzkörpertemperatur ist. Daher kann man Anisotropien des
Strahlungsstroms in Form von Anisotropien einer Temperatur ausdrücken. In diesem Sinne werden Anisotropien als
relative Fluktuationen der Strahlungstemperatur angegeben. Der Wert von ∆T =T liegt nun laut [41] bei weniger als
4:5 10,5.
Akzeptiert man die Isotropie für den irdischen Beobachter, dann verlangt das kopernikanische Prinzip die Isotropie um jeden Punkt der Raumzeit, da ja die Position der Erde auch nicht durch besonders hohe Isotropie in ihrer
Umgebung ausgezeichnet sein darf. Jeder Raum, der isotrop um jeden Punkt ist, ist auch homogen [42, S.379]. Damit
sind die empirisch maximal vertretbaren Symmetrieforderungen festgelegt.
Die Materie im Weltall, allgemein als kosmisches Substrat“ bezeichnet, beschreibt man als ideale, also reibungs”
freie Flüssigkeit, die sich den Gesetzen der relativistischen Hydrodynamik entsprechend durch die Raumzeit bewegt.
Die Isotropieforderung, präzisiert in Gestalt von Forderungen nach Isotropie der Rotverschiebung, der Materiedichte und des Drucks, schränken die möglichen Bewegungen des Substrats allerdings stark ein: Sie schließen Scherung
und Rotation, nicht aber Expansion des kosmischen Substrats aus und legen fest, daß sich die Teilchen des Substrats
auf geodätischen Linien bewegen müssen. Aus der Rotationsfreiheit der Vierergeschwindigkeit mitschwimmender
Teilchen folgt darüber hinaus, daß es ein Potential gibt, dessen Gradient die Vierergeschwindigkeit ist. Dieses Potential hat die Eigenschaften einer Eigenzeit und wird deswegen als kosmische Zeit t bezeichnet. Sie definiert eine
Blätterung der Raumzeit in dreidimensionale Hyperflächen. Abbildungen zwischen zeitlich benachbarten Blättern
der Raumzeit sind konform; der Konformfaktor R(t ) hängt nur von der Zeit ab und beschreibt die kosmische Expansion.
Die Metrik wird durch folgenden Satz bestimmt:
Satz 1 Eine Raumzeit, die den Einsteinschen Feldgleichungen genügt und die ein Beobachterfeld enthält, für das
Rotverschiebung,
Massenverteilung und
Druckverteilung
isotrop sind, hat eine Metrik der Robertson-Walker-Form
2
ds
= dt
2
, R (t )dσ
2
2
= dt
2
, R (t )
2
dr2
2
2
+ r dΩ
1 , kr2
:
Homogene, isotrope Universen
3
Hierin ist dσ2 die Metrik einer dreidimensionalen Hyperfläche mit der radialen Koordinate r und dem Raumwinkel Ω.
k ist die konstante Gaußkrümmung der Hyperfläche; sie kann – bei geeigneter Skalierung von r bzw. R – die Werte 1
oder 0 annehmen. Die Skalenfunktion R(t ), oben als Konformfaktor eingeführt, genügt der Friedmann-Gleichung,
die sie und ihre Ableitung nach der Zeit mit der Energiedichte ρ des kosmischen Substrats und der kosmologischen
Konstante Λ verknüpft:
2
Ṙ
8πG
Λ
k
=
ρ+ , 2:
R
3
3 R
Die Expansion der Materie schließlich wird durch die Adiabatengleichung
d
d 3
3
(ρR ) + p (R ) = 0
dt
dt
beschrieben, worin p den Druck bedeutet. Die Adiabatengleichung entspricht dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik für ein abgeschlossenes System: Der erste Summand ist die zeitliche Änderung der inneren Energie, während
der zweite die Energie beschreibt, die für die zeitliche Änderung des Volumens erforderlich ist.
Eine Robertson-Walker-Metrik, die der Friedmann-Gleichung genügt, heißt Friedmann-Lemaı̂tre-Metrik. (Siehe
dazu: [42, 39])
1.1.2 Einige wichtige Zusammenhänge
Ein Friedmann-Lemaı̂tre-Modell, das eine wechselwirkungsfreie Mischung aus kalter Materie und heißer Strahlung
enthält, wird ebenso wie die kosmische Zeitskala eindeutig durch vier Parameter bestimmt, die bis auf den ersten
dimensionslos sind:
(i)
(ii)
Hubble-Konstante:
Dichte der kalten Materie:
H0 := RṘ0 ,
0
ρ ;
Ω := 8πG
3H2 0
(iii)
Dichte der heißen Strahlung:
ω :=
(iv)
kosmologische Konstante:
0
8πG
u ;
3H02 0
Λ
λ := 3H2 :
0
Die Begriffe kalt“ und heiß“ weisen in diesem Zusammenhang auf Teilchen hin, deren kinetische Energie klein
”
”
bzw. groß gegenüber ihrer Ruheenergie ist. Sie werden ausgedrückt durch p = 0 bzw. p = ρ=3. Der Index 0 kennzeichnet das Heute“ des Beobachters; u ist die Energiedichte der Strahlung [13].
”
Ein zur Zeit t < t0 emittiertes Lichtsignal erscheint dem Beobachter um den Betrag
z=
R0
,1
R(t )
rotverschoben.
Beschränkt man sich auf die Behandlung druckfreier Universen, also solcher, die durch kalte Materie dominiert
werden, und nimmt ferner Λ = 0 an, verschwinden wegen u = 3p = 0 die beiden Parameter ω und λ. Aus der Friedmann-Gleichung für den Zeitpunkt t0 wird dann
k = R20 H02 (Ω , 1):
k nimmt also die Werte +1 oder ,1 für Ω > 1 oder Ω < 1 an und verschwindet für Ω = 1. Für Ω > 1 spricht man
deswegen von einem geschlossenen, für Ω < 1 von einem offenen und für Ω = 1 von einem flachen Universum3.
Der Wert der Dichte, für den Ω = 1 wird, nämlich
ρc =
3H02
;
8πG
heißt kritische Dichte.
3 Das
ist die übliche Redeweise. Tatsächlich legt das Vorzeichen von Ω die Topologie noch nicht fest.
Der Ansatz von Dyer und Roeder
4
Die druckfreie Gleichung für die Massenerhaltung lautet
ρ = ρ0
R0
R
3
= ρ0 (1 + z)
3
;
(1)
p
während die Friedmann-Gleichung auf
Ṙ = R0 H0 1 + Ωz
zusammenschrumpft. Das radiale physikalische Wegelement dr prop, das einem Rotverschiebungsintervall dz bei einer Rotverschiebung von z entspricht, lautet
dr prop = dt =
dR
Ṙ
=
dz
p
:
H0 (1 + z)2 1 + Ωz
(2)
Diesem Wegelement entspricht das Element des affinen Parameters λ längs Lichtstrahlen
dλ =
R(t )
dr prop;
R0
(3)
weil die Bewegungsgleichung für die Koordinate t innerhalb der Robertson-Walker-Metrik fordert, daß dλ proportional zu R(t )dr prop sei; der Proportionalitätsfaktor wird geeignet gewählt. Im folgenden sind Entfernungsmaße und
ihre Zusammenhänge mit der Rotverschiebung besonders wichtig. Entfernungsskalen werden in der Kosmologie gewissermaßen entsprechend ihrem Verwendungszweck definiert, weil - anders als im flachen, statischen Raum - kein
eindeutiges, bevorzugtes Entfernungsmaß existiert. Für die Geometrie der Gravitationslinsen ist die Winkeldurchmesserdistanz4 D besonders vorteilhaft, deren Quadrat analog zu den euklidischen Verhältnissen als Quotient aus
der Fläche A des Objekts und dem Raumwinkel ω, unter dem es erscheint, definiert wird. Wenn r die radiale Koordinate der Quelle und te < t0 der Emissionszeitpunkt des beobachteten Lichtes sind, gilt
ω
4π
=
A
4π[R(te )r]2
Also ist die Winkeldurchmesserdistanz durch
r
D=
A
ω
=
=
A(1 + z)2
:
4π(R0 r)2
R0 r
1+z
gegeben. Wo nichts anderes angegeben wird, ist von nun an mit Distanz“ immer die Winkeldurchmesserdistanz
”
gemeint.
1.2 Der Ansatz von Dyer und Roeder
In einem Friedmann-Lemaı̂tre-Universum gibt es streng genommen keine Gravitationslinsen, da homogen verteilte
Materie keine Linsenwirkung haben kann. Insofern ist das eben skizzierte Modell ungeeignet für die Gravitationslinsentheorie. Dennoch stellt es einen vorteilhaften Hintergrund für die Linsentheorie dar, da keine geeigneten exakten
Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen für inhomogene Universen bekannt sind.
Das Schweizer-Käse-Modell“ 5 von Kantowski [23] zum Beispiel ist zwar eine Lösung der Einsteinschen Feld”
gleichungen, die Inhomogenitäten der Dichte berücksichtigt. Es erscheint aber aus mehreren Gründen als nicht geeignet für die Gravitationslinsentheorie:
1. Die Löcher im Käse“, die die Inhomogenitäten darstellen, sind sphärisch symmetrisch. Nicht-sphärische Gra”
vitationslinsenmodelle können also nicht behandelt werden.
2. Die Materie, die ein Loch vorher ausfüllte, wird sphärisch symmetrisch um dessen Mittelpunkt konzentriert, so
daß in dem Bereich zwischen den Rändern von Materiekonzentration und Loch unterdichte Materie vorliegt.
3. Die Wirkung der Inhomogenitäten beschränkt sich auf die Löcher. Lichtstrahlen, die nahe an einem Loch vorbeigehen, spüren nichts von dessen Anwesenheit.
Einen gewissermaßen näherungsweisen Ausweg aus dieser Situation bietet der Ansatz von Dyer und Roeder [10, 11].
4 Der
Begriff Winkeldurchmesserdistanz“ ist eine etwas unglückliche Übersetzung des englischen angular diameter distance“.
”
”
swiss-cheese model
5 engl.
Der Ansatz von Dyer und Roeder
5
1.2.1 Vorbemerkung
Man betrachte ein Lichtbündel, das sich durch eine beliebige Raumzeit bewegt. Wie verändert sich seine Querschnittsfläche A bzw. sein Durchmesser mitpfortschreitendem affinem Parameter λ?
µ
µ
Zweifache Differentiation von A nach dem affinen Parameter führt unter Berücksichtigung von dx
dλ = k auf
die Fokus- Gleichung“ 6, (siehe dazu auch [27, Kapitel 22]):
”
p
p
d2 A
1
1 µ 2 1
µ;ν
µ ν
= ,
k
k
,
(
k
)
+
R
k
k
A
µ;ν
µν
;µ
2
dλ
2
4
2
=:
p
p
,(jσj2 + 12 Rµνkµ kν)
A:
(4)
A ist ein Maß für den Durchmesser des Lichtbündels, d.h. diese Gleichung gibt an, wie sich dieser Maßstab längs
seiner Ausbreitung verändert. jσj heißt Scherung, der Term 12 Rµν kµ kν Ricci-Fokussierung. Letztere beschreibt die
Konvergenz des Lichtbündels durch Materie innerhalb des Bündels, während die Scherung die Deformation durch
äußere Materie darstellt.
1.2.2 Die Dyer-Roeder-Differentialgleichung
Dyer und Roeder nehmen die Fokus-Gleichung (4) zum Ausgangspunkt folgender Überlegung:
Wegen der Eigenschaft des Lichts kµ kµ = 0 reduziert sich der Ricci-Term 12 Rµν kµ kν unter Verwendung der Feldgleichungen auf
4πGTµν kµ kν :
(5)
Gegeben sei nun ein Friedmann-Lemaı̂tre-Universum, in dem ein Bruchteil δ 2 [0; 1] der Materie in Klumpen“ kon”
zentriert wird. Setzt man dementsprechend für Tµν den druckfreien, isotropen Energie-Impuls-Tensor der homogen
verteilten Restmaterie ein und geht in ein mit dem kosmischen Substrat bewegtes Koordinatensystem über, bleibt
von (5) lediglich7
4πGρ(k0 )2 = 4πGρ(1 + z)2:
Mit
ρ = (1 , δ)ρ0(1 + z)3
folgt:
1
3
Rµν kµ kν = H02 Ω(1 , δ)(1 + z)5:
2
2
Wenn man nun annimmt, daß das betrachtete Lichtbündel weit entfernt von allen Materieklumpen verläuft, kann man
die Scherung in (4) gegenüber dem Ricci-Term vernachlässigen, solange δ nicht zu nahe bei eins liegt. Auf diese
Weise erhält man:
p
p
d2 A
3 2
5
= , H0 Ω(1 , δ)(1 + z)
A:
(6)
dλ2
2
Nun führt man statt des affinen Parameters λ die Rotverschiebung z als unabhängige Variable ein. Dieser Schritt
beruht auf der Annahme, daß für den Zusammenhang zwischen λ und z derjenige eingesetzt werden darf, den die
Friedmann-Lemaı̂tre- Kosmologie erfordert, nämlich Gleichung (3). Das Ergebnis ist dann die Dyer-Roeder-Differentialgleichung [11]:
p
p
p
7
Ω
d A
d2 A
(1 + z)(1 + Ωz) +
Ωz + + 3
dz2
2
2
dz
=
, 32 (1 , δ)Ω
p
A:
(7)
Der Ausdruck A ist gemäß p
der Definition der Winkeldurchmesserdistanz zu dieser proportional, d.h. man kann in
obiger Differentialgleichung A durch D ersetzen. Es ist allerdings sehr bequem, D mit Hilfe der Hubble-Länge H0,1
in ein dimensionsloses Entfernungsmaß ψ umzuwandeln:
ψ := H0 D:
6 engl.
focussing equation
die tatsächlich beobachtete Rotverschiebung. Das Dyer-Roeder-Modell nimmt an, sie sei gleich der mittleren kosmischen
Rotverschiebung.
7 z ist hier eigentlich
Der Ansatz von Dyer und Roeder
6
Faßt man (7) als Differentialgleichung für ψ auf, liefert sie mit den notwendigen Randbedingungen
1. ψ(z1 ; z2 ) = 0 für z1 = z2 ,
2.
dψ dz2 z1 =z2
=
p1 + Ωz
1
(1 + z1 )2
1
(lokales Hubble-Gesetz)
einen Zusammenhang zwischen (dimensionsloser) Winkeldurchmesserdistanz und Rotverschiebung. ψ wurde hier
als Funktion zweier Rotverschiebungen aufgefaßt, weil später auch Entfernungen zwischen Linsen und Quellen benötigt werden. Ihre Lösungen sind im allgemeinen hypergeometrische Funktionen. Sie gehen für δ = 0 in die Entfernungen über, die sich aus der Friedmann-Lemaı̂tre-Metrik ergeben
1.2.3 Folgerungen
Die Dyer-Roeder-Differentialgleichung liefert also ein durch die Rotverschiebung parametrisiertes Entfernungsmaß
aufgrund der näherungsweisen Annahmen, daß
(i) das beobachtete Lichtbündel weit entfernt von allen Inhomogenitäten verläuft und
(ii) die Friedmann-Lemaı̂tre-Metrik auf großen Skalen weiterhin gilt.
Punkt (ii) versteckt sich hinter der Annahme über den Zusammenhang zwischen dem affinen Parameter und der Rotverschiebung, der beim Übergang von (6) nach (7) angewandt wurde, siehe oben.
Da die fokussierende Materie im Lichtbündel gegenüber dem reinen Friedmann-Lemaı̂tre-Modell um den Faktor
1 , δ verringert wird, konvergiert es schwächer. Die Dyer-Roeder-Distanz wird also umso größer, je mehr Materie
geklumpt auftritt.
Definiert man analog zu den Verhältnissen im euklidischen Raum eine Leuchtkraftdistanz DL , deren Quadrat das
Verhältnis aus Leuchtkraft zum Strahlungsstrom am Ort des Beobachters ist, ergibt sich
DL = (1 + z)2D;
vergleiche [42, S.418ff]. Bei gegebener Rotverschiebung sind also Leuchtkraft- und Winkeldurchmesserdistanz zueinander proportional.
Das hat zur Folge, daß eine Quelle bei fester Rotverschiebung und mit gegebener Leuchtkraft in einem teilweise geklumpten Universum schwächer erscheint als in einem, dessen Materie homogen verteilt ist, wenn die Sichtlinie hinreichend weit von allen Klumpen entfernt verläuft. In der Nähe von Materieklumpen jedoch erfährt das
Lichtbündel eine Verstärkung (siehe [31]). Beide Effekte kompensieren sich gerade so, daß der mittlere Strahlungsfluß erhalten bleibt (vgl. [43]). Das bedeutet, daß durch eine Kugelschale konstanter Rotverschiebung um die Quelle
pro Zeit- und Flächeneinheit im Mittel über alle Punkte der Schale dieselbe Energie wie im Friedmann-Lemaı̂treFall fließt, was wegen der Erhaltung der Photonenzahl erforderlich ist.
Im folgenden sollen alle Distanzen, die innerhalb eines Friedmann-Lemaı̂tre-Modells gelten, mit dem Index ‘0’
gekennzeichnet werden, während Dyer-Roeder-Distanzen ohne Index bleiben. Ein Lichtbündel, das sich weit entfernt von allen Materieklumpen durch ein Dyer-Roeder-Universum ausgebreitet hat, wird um
D20
D2
abgeschwächt. Infolge der Flußerhaltung muß aber dann der mittlere Verstärkungsfaktor hµDR i für Lichtbündel, die
durch Gravitationslinsen beeinflußt werden, gleich dem Kehrwert davon sein:
2
hµDR i = DD2
:
(8)
0
Auf diese Gleichung wird später noch Bezug zu nehmen sein.
Der Ansatz von Dyer und Roeder ist insofern unbefriedigend, als ein klumpiges Universum natürlich nirgendwo
streng der Friedmann-Lemaı̂tre-Metrik genügt, trotzdem aber weiterhin von der globalen Gültigkeit dieser Metrik
Linsengeometrie und -gleichung
7
ausgegangen wird. Dennoch wird er in der statistischen Gravitationslinsentheorie allgemein angewandt, weil er einfach zu handhaben ist und kein befriedigenderer Ersatz existiert.
Die Arbeiten von Futamase [17] und [18] legen außerdem nahe, daß die Beschreibung von Dyer und Roeder
durchaus akzeptabel ist.
2 Grundlagen der Gravitationslinsentheorie
2.1 Linsengeometrie, die Linsengleichung
2.1.1 Begriffe
Eine Gravitationslinse ist eine Massenverteilung, etwa eine Galaxie, die sich zwischen einer Quelle und einem Beobachter befindet. Da die Dimensionen typischer Galaxien (einige 10 kpc) sehr viel kleiner sind als die charakteristischen Abstände zwischen den beteiligten Objekten (einige 10 Mpc für Galaxien innerhalb eines Haufens), findet
die tatsächliche Ablenkung des Lichstrahls nur auf einem sehr kleinen Stück seiner Gesamtlänge statt. Typische Ablenkwinkel liegen außerdem im Bereich von Bogensekunden, sind also sehr klein. Aus beiden Gründen kann der
Lichtstrahl durch zwei Geraden angenähert werden, die miteinander das Komplement des Ablenkwinkels einschließen. Die jeweilige Linse wird in dieser Näherung auf eine Ebene, genannt Linsenebene, projiziert, die orthogonal zur
Blickrichtung vom Beobachter zum Schwerpunkt der Linse gedacht wird. Diese Blickrichtung, festgelegt durch konstante Winkelkoordinaten in der Friedmann-Lemaı̂tre-Metrik, heißt auch optische Achse. Analog zur Linsenebene
konstruiert man die Quellenebene, die ebenfalls orthogonal zur optischen Achse ist und die Quelle enthält.
Bei den genannten Ebenen handelt es sich um Tangentialebenen an Blätter der Friedmann-Lemaı̂tre-Raumzeit,
die diese Blätter in ihren Schnittpunkten mit der optischen Achse berühren. Da die kosmische Zeit t die Blätter der
Raumzeit eindeutig anordnet, kann sie im Prinzip dazu verwendet werden, die Positionen der beiden Ebenen entlang
der optischen Achse anzugeben. Statt der kosmischen Zeit verwendet man aber die Rotverschiebung, die in eindeutigem Zusammenhang mit der kosmischen Zeit steht und aus den Spektren von Quelle und Linse bestimmt werden
kann. Verkürzt spricht man daher etwa von Quellen bei z = 2“.
”
Durch die Ablenkung des Lichts der Quelle in der Linsenebene entsteht für den Beobachter der Eindruck, die
Quelle stünde in einem Winkelabstand von der Linse, der der Richtung des Lichtstrahls von der Linsenebene zum
Beobachter entspricht. Man nennt deswegen die Linsen- auch Bildebene; siehe dazu auch Abbildung 1. Den Abstand
desjenigen Punktes der Linsenebene von der optischen Achse, an dem der Lichtstrahl abgelenkt wird, nennen wir im
folgenden Stoßparameter.
Schließlich geht man in der Gravitationslinsentheorie davon aus, daß die Näherung geometrischer Optik anwendbar ist, d.h. daß die Welleneigenschaften des Lichtes keine Rolle spielen. Das ist dann der Fall, wenn die auftretenden
Wellenlängen klein gegenüber dem Krümmungsradius des Raumes sind. Das ist in allen typischen Situationen ausgezeichnet erfüllt.
2.1.2 Der Ablenkwinkel
Der Winkel, um den ein Lichtstrahl beim Passieren einer Masse abgelenkt wird, ist definiert als der Winkel zwischen
den Tangentenvektoren an die ein- bzw. auslaufende Nullgeodätische in großer Entfernung von der Masse M. Aus
der Schwarzschildmetrik erhält man in genügender Näherung“ ([15]) für den Betrag des Ablenkwinkels
”
4GM
α̃ =
;
r0
wenn r0 der geringste Abstand zwischen dem Lichtstrahl und dem Massenzentrum ist. Er ist unabhängig von der Frequenz des Lichtes; Gravitationslinsen sind daher achromatisch. Genauer gesagt gilt diese Gleichung in erster Ordnung von 4GM
r0 , innerhalb derer r0 auch durch den Stoßparameter b ersetzt werden kann. Solange also b groß gegenüber dem Schwarzschildradius der ablenkenden Masse ist, kann α̃ auf obige Weise ausgedrückt werden. In dieser (linearen) Näherung können auch die durch mehrere Massen hervorgerufenen Ablenkwinkel linear superponiert
werden.
Dazu ist es jedoch notwendig, den Ablenkwinkel als vektorielle Größe zu betrachten:
α̃ =
~
4GM
j~ηl ,~ηmj2 (~ηl ,~ηm);
(9)
Linsengeometrie und -gleichung
8
wobei ~ηm und ~ηl die Orte der ablenkenden Masse und des Abknickpunktes des Lichtstrahls bezeichnen. Kontinuierliche Masseverteilungen, charakterisiert durch eine Flächenmassendichte Σ(~η), denkt man sich also in einzelne
Massenelemente Σ(~η)d 2 η zerlegt, deren Ablenkwinkel gemäß (9) aufintegriert werden:
Z
Σ(~η)(~ηl ,~η)
~
α̃ = 4G
d 2η
j~ηl ,~ηj2 :
Linse
2.1.3 Die Linsengleichung, vektorielle Schreibweise
Zur Ableitung der Linsengleichung führt man sowohl in der Quellen- als auch in der Linsenebene Koordinaten~ζ;~η
ein, deren Ursprung der Schnittpunkt der jeweiligen Ebene mit der optischen Achse sei. Weiterhin werden die (Winkeldurchmesser-) Distanzen zwischen Beobachter und Quelle, Beobachter und Linse sowie Linse und Quelle mit Dq ; Dl
bzw. Dlq abgekürzt. Aus Abbildung 1 liest man mit Hilfe des Strahlensatzes ab:
6
D(z)
opt. Achse
Dq
E
ζ E
E EE
Eα
EE E
*
η -
Quellenebene
~
~
Dl
0
~
Linsenebene
Beobachterebene
Abbildung 1: Zur Herleitung der Linsengleichung: Beobachter, Linsen- und Quellenebene
~
1 ~ ~
η
(ζ + α̃Dlq ) =
;
Dq
Dl
also
ζ=
~
Dq
~
η , Dlq~α̃:
Dl
Das ist bereits die Linsengleichung, die den Bildpunkt ~η mit dem Punkt~ζ in der Quellenebene verknüpft. Sie definiert
also eine Abbildung von der Linsen- in die Quellenebene.
Bequem ist der Übergang zu dimensionslosen Größen. Legt man eine (zunächst willkürliche, später geeignet zu
D
wählende) Längenskala η0 in der Linsenebene fest, entsprechend die Längenskala Dq η0 =: ζ0 in der Quellenebene,
l
Verstärkung, Jacobimatrix
9
und führt dann die Koordinaten
η
;
η0
~
x :=
~
ζ
ζ0
~
y :=
~
ein, wird die Linsengleichung zu
y = ~x ,
~
Dl Dlq ~
α̃(η0~x):
Dq
Mit der Definition einer dimensionslosen Flächenmassendichte,
4πGDl Dlq
Σ(η0~x)
Dq
κ(~x) :=
und
α x :=
~ (~ )
1
π
Z
d 2 x0 κ(~x0 )
x , ~x0
~
jx , x0j2
~
Linse
~
(10)
(11)
folgt daraus schließlich die einfachstmögliche Schreibweise der Linsengleichung:
y = ~x , ~α(~x):
~
2.1.4 Skalare Schreibweise der Linsengleichung
Wegen der Identität
∇ ln j~xj =
~
x
j~xj2
~
läßt sich der Ablenkwinkel ~α als Gradient eines Potentials ψ darstellen:
α
~
=
:=
∇ψ(~x)
Z
1~
∇
d 2 x0 κ(~x0 ) ln j~x , ~x0 j:
π
~
Linse
Ergänzt man ψ(~x) zu einem weiteren, durch ~y parametrisierten Potential φ(~x;~y) in der Art
φ(~x;~y) :=
1
(~
x ,~y)2 , ψ(~x);
2
(12)
kann die Linsengleichung in der Form
∇~x φ(~x;~y) = 0
~
geschrieben werden; siehe dazu [44] und [32].
Diese Gleichung ist der Ausdruck des Fermatschen Prinzips in der Gravitationslinsentheorie, da die Laufzeit eines virtuellen Lichtstrahls, der den Beobachter sowie die Punkte ~x und ~y miteinander verbindet, eine lineare Funktion
von φ(~x;~y) ist. Die Gleichung ~∇φ(~x;~y) = 0 drückt also aus, daß die Laufzeit tatsächlich verwirklichter Lichtstrahlen
stationär ist (siehe dazu [32] und [4]).
2.2 Verstärkung, die Jacobimatrix
2.2.1 Der Verstärkungsfaktor
Die Abbildung durch eine Gravitationslinse verändert im allgemeinen den Raumwinkel ω, unter dem der Beobachter
die Quelle sieht. Sie hat aber auf die Intensität der Strahlung I keinen Einfluß, weil sie Photonen weder vernichtet
noch erzeugt. Insgesamt ändert sich damit in der Regel der von der Quelle bzw. von einem ihrer Bilder beobachtete Strahlungsstrom Φ = Iω. Man betrachte eine infinitesimale Quelle, die den Raumwinkel dω ausfüllt. Wenn die
Verstärkung, Jacobimatrix
10
Gravitationslinse ein Bild8 erzeugt, das unter dem Raumwinkel dω0 erscheint, wird die Quelle um den frequenzunabhängigen Faktor
Φ0
dω0
µ=
=
Φ
dω
verstärkt. dω aber ist proportional zu d 2 y, während dω0 mit demselben Proportionalitätsfaktor proportional zu d 2 x
ist. Man kann also symbolisch schreiben:
d 2~y
µ,1 = 2 :
d ~x
Mit der Jacobimatrix der Linsengleichung,
,
A = Ai j :=
erhält man:
∂yi
∂x j
µ = (det A),1 :
Das Vorzeichen der Jacobideterminante gibt die Parität des entsprechenden Bildes an. Sie ist positiv, wenn die Abbildung den Umlaufsinn der Quelle erhält und negativ, wenn sie ihn umkehrt.
Die Menge aller Punkte, auf denen die Jacobideterminante verschwindet, heißt kritische Menge; ist sie einfach
zusammenhängend, heißt sie kritische Linie. Das Bild einer kritischen Linie unter der Linsengleichung in die Quellenebene wird Kaustik genannt. Eine Punktquelle, die genau auf einer Kaustik steht, wird um einen formal unendlichen
Faktor verstärkt. Dennoch bleiben tatsächlich auftretende Verstärkungsfaktoren endlich, weil sie sich entweder aus
der Mittelung über endlich ausgedehnte Quellen ergeben oder weil für ideal punktförmige Quellen die Näherung
geometrischer Optik zusammenbricht. Es müssen dann Welleneigenschaften des Lichts berücksichtigt werden, weil
das Licht der Quellen fast völlig kohärent beim Beobachter ankommt.
2.2.2 Eigenschaften der Jacobimatrix
Wegen der Äquivalenz der Linsengleichung mit ~∇φ = 0 kann die Jacobimatrix A auch in der Form
A = (Ai j ) =
∂2 φ
∂xi ∂x j
geschrieben werden. Das heißt aber, daß A symmetrisch und damit diagonalisierbar ist. Denkt man sich also das
Koordinatensystem in der Linsenebene so gewählt, daß die Jacobimatrix diagonal ist, dann nimmt sie die Form
A=
λ1
0
0
λ2
an, wobei die beiden Eigenwerte λ1;2 durch
λ1;2 =
q
o
1n 2
∇ φ (∇2 φ)2 , 4(φ;11 φ;22 , φ2;12 )
2
gegeben sind. A läßt sich also aufspalten wie folgt
A=
1
2
∇2 φ
0
0
∇2 φ
+
,γ
0
0
γ
;
wenn mit γ die Hälfte der Wurzel bezeichnet wird, die in λ auftaucht. Wendet man den Operator ∇2 auf (12) an, erhält
man wegen
∇2 ln j~x , ~x0 j = 2πδ(~x , ~x0 )
den Ausdruck
∇2 φ = 2 , 2κ(~x)
8 Bild“ ist hier nicht im üblichen, optischen Sinn gemeint, denn die Bilder einer Gravitationslinse bilden nicht die Konvergenzpunkte der
”
Lichtstrahlen.
Zwei allgemeine Sätze
11
mit κ aus (10). Damit lautet die Jacobimatrix dann
A=
1,κ
0
0
1,κ
+
,γ
0
0
γ
:
Der erste Summand bildet die Basis des Koordinatensystems in der Linsenebene auf eine um den Faktor 1 , κ zentrisch gestreckte Basis in der Quellenebene ab. Deswegen wird κ auch als Konvergenz bezeichnet. Der spurfreie
zweite Summand verkürzt die eine Koordinatenrichtung und verlängert die andere um denselben Betrag. Er stellt
also die Verzerrung des Bildes dar. γ wird daher als Scherung bezeichnet.
Abschließend seien noch zwei Sätze erwähnt, die von großer Bedeutung in der Gravitationslinsentheorie sind:
2.3 Zwei allgemeine Sätze
Die direkte Invertierung der Linsengleichung ist in der Regel nicht analytisch möglich. Deswegen sind allgemeingültige Aussagen über die von Gravitationslinsen erzeugten Bilder sehr wichtig. Die beiden bisher bewiesenen Sätze werden hier ohne Beweis erwähnt.
Satz 2 (Burke) Eine transparente Massenverteilung erzeugt immer eine ungerade Anzahl (2n + 1) von Bildern, von
denen n + 1 von positiver und n von negativer Parität sind. (Siehe Burke 1981, zum Beweis vgl. [4].)
Satz 3 (Schneider) Eine transparente, geometrisch dünne Linse erzeugt mindestens ein verstärktes Bild. ([31],[4])
2.4 Radialsymmetrische Linsen, die isotherme Sphäre
2.4.1 Radialsymmetrische Linsen
Ablenkwinkel und Linsengleichung Von besonderem Interesse sind für uns radialsymmetrische Linsen, also solche, die durch eine Flächenmassendichte der Form
κ(~x) = κ(j~xj)
beschrieben werden können. Diese Schreibweise ist möglich, weil als Ursprung des Koordinatensystems in der Linsenebene das Zentrum der Linse gewählt wurde. Führt man entsprechend der vorgegebenen Symmetrie Polarkoordinaten (x; ϕ) in der Linsenebene ein und dreht, was wegen der Symmetrie ohne Einschränkung der Allgemeinheit
geschehen kann, das Koordinatensystem so, daß ~x = (x; 0) geschrieben werden kann, bekommt man durch Einsetzen
in Gleichung (11) folgenden Ausdruck für den Ablenkwinkel:
αx
~ (~ )
=
1
π
Z
0
2π Z ∞
0
x0 dx0 dϕ0 κ(x0 )
1
x2 + x02 , 2xx0 cos ϕ0
x , x0 cos ϕ0
,x0 sin ϕ0
:
Die zweite Komponente von ~α verschwindet dann, und für die erste erhält man:
Z
2 x 0 0
α1 (x) =
x dx κ(x0 ) =: α(x):
x 0
In den Ablenkwinkel zum Stoßparameter x geht also nur die dimensionslose Masse ein, die sich innerhalb eines Kreises mit Radius x um das Zentrum der Linse befindet. Demgemäß schreibt man abkürzend:
2
α(x) = m(x):
x
Weil ~α parallel zu ~x ist, ist auch ~y parallel oder antiparallel zu ~x. Die Linsengleichung läßt sich deswegen als Betragsgleichung in der eindimensionalen Form
y = 1 ,
2m(x) x
x2 (13)
Radialsymmetrische Linsen
12
schreiben. Diese Schreibweise ist so gewählt, daß die Bedeutung von x und y als Vektorbeträge erhalten bleibt. Deswegen geht die Information über die Lage der Bilder relativ zur Linsenposition zunächst verloren. Offenbar liegt aber
ein Bild relativ zum Zentrum der Linse der Quelle gegenüber, wenn die Relation
2m(x)
x2
1
>
erfüllt ist.
Die Jacobimatrix Allgemein nimmt die Matrix (d~y=d~x) eine besonders einfache Form an, wenn die Vektoren ~y
und ~x kollinear sind. Wenn man – was aufgrund der Symmetrie allgemein möglich ist – die Koordinatenachse x2 = 0
parallel zu ~x wählt, läßt sich aus
~
x
~
y = y(x1 ; x2 )
x
sofort ableiten:
dy
y dy
0
dx
;
A=
det A = 0 yx
x dx
Im vorliegenden Fall gewinnt man daher aus (13):
1 + mx(2x) , m x(x)
0
!
0
A=
0
1 , mx(2x)
;
(14)
wobei der Strich Ableitung nach x bedeutet. Die Abspaltung eines spurfreien Anteils von A führt dann in eindeutiger
Weise auf:
!
!
0
m(x)
m0 (x)
,
0
1 , m2x(x)
0
2
2x
x
A=
+
:
0
0
1 , m2x(x)
0
, mx(2x) + m2x0 (x)
Daraus liest man für Konvergenz und Scherung die Ausdrücke
κ=
m0
;
2x
γ=
m
x2
0
, m2x
(15)
ab.
2.4.2 Die isotherme Sphäre
Das Modell Ein besonders einfaches Galaxienmodell beruht auf folgenden beiden Annahmen:
1. Die Massenverteilung ist sphärisch symmetrisch und
2. sie befindet sich im hydrostatischen Gleichgewicht.
Die zweite Annahme findet Ausdruck in den beiden Gleichungen:
1 0
P = g;
ρ
1 2 0
(r g) = ,4πGρ;
r2
wobei P; ρ und g Druck, Dichte und Schwerebeschleunigung in Abhängigkeit vom Radius r angeben und der Strich
Ableitung nach r bezeichnet. Die erste dieser Gleichungen sagt aus, daß der Druckgradient überall der Schwerebeschleunigung die Waage halten muß, während die zweite die kugelsymmetrische Poissongleichung des Gravitationsfeldes ist.
Entsprechend einem idealen Gas räumlich konstanter Temperatur setzt man nun den Druck proportional zur Dichte an,
P = ρv2 ;
wobei die Proportionalitätskonstante das Quadrat der eindimensionalen Geschwindigkeitsdispersion der Sterne der
Galaxie ist. Das Modell entspricht insgesamt einer Polytrope mit unendlichem Index.
Radialsymmetrische Linsen
13
Setzt man diese Vorgabe für den Druck zusammen mit der Gleichung für dessen Gradienten in die Poissongleichung ein, erhält man eine Differentialgleichung für die Dichte, deren physikalisch sinnvolle Lösung das radiale
Dichteprofil
v2
ρ=
2πGr2
ist. Es ergibt sich also eine im Zentrum singuläre Massenverteilung. Integration über eine Sichtlinie, die im Abstand
η vom Zentrum der Galaxie verläuft, ergibt die projizierte, zweidimensionale Flächenmassendichte
Σ(η) =
v2
:
2Gη
Setzt man einen maximalen (dreidimensionalen) Radius als Radius der Galaxie RG fest, erhält man als Gesamtmasse
mG =
πv2
RG :
G
Obwohl diese Massenverteilung, die wegen des Ansatzes für den Druck und der Annahmen über die Symmetrie isotherme Sphäre“ genannt wird, singulär ist, scheint der radiale Dichteverlauf proportional zu r,2 doch ein
”
brauchbares Modell für elliptische Galaxien zu sein. (Näheres dazu im nächsten Kapitel)
Die Linsengleichung Der Übergang zu dimensionslosen Größen erfolgt wie unter 2.1.3 beschrieben. Die Flächenmassendichte wird nach Gleichung (10) zu
κ(x) =
2πDl Dlq v2
:
Dq xη0
Legt man die Längenskala η0 auf
η0 = 4π
Dl Dlq 2
v
Dq
(16)
1
2x
(17)
fest, ergibt sich unmittelbar
κ(x) =
und damit aus Gleichung (11) der Ablenkwinkel
αx
~ (~ )
=
x
;
x
~
α(x) = 1:
Die Linsengleichung wird zu
y = ~x ,
~
oder, in eindimensionaler Schreibweise
y = 1
x
j~xj
~
(18)
, 1x x:
(19)
Lage der Bilder, Verstärkung Aus Gleichung (19) folgt zunächst (vgl. Abb. 2), daß für y < 1 die beiden Bildpositionen
x1;2 = 1 y
auftreten, von denen für y > 1 nur das äußere Bild x1 = 1 + y übrigbleibt. Das dem Zentrum der Linse näher stehende
Bild x2 liegt relativ zu diesem der Quelle gegenüber. Der Bildabstand ist konstant gleich 2.
Das Ergebnis scheint dem Satz von Burke zu widersprechen, der ja aussagt, daß eine ungerade Anzahl von Bildern auftreten muß. Die gerade Anzahl von Bildern im Fall der isothermen Sphäre kommt von deren singulärer Massenverteilung. Sie bewirkt, daß das dritte Bild, das im Zentrum der Linse auftauchen sollte, um einen Faktor Null
verstärkt“ wird, weil es infolge der Singularität extrem divergiert.
”
Radialsymmetrische Linsen
6y
1
14
y = j1 , 1x jx
,,
,,
,,
,
@
@
@@
@@,,
x
-
1
Abbildung 2: Lösungen der Linsengleichung für die isotherme Sphäre; Abszisse: Bildposition x, Ordinate: Quellenposition y
Die Scherung ergibt sich aus Gleichung (15), ebenso wie die Konvergenz, zu
γ=
1
;
2x
(20)
wobei x wie üblich der Stoßparameter ist. Aus der Jacobimatrix, die entsprechend Gleichung (14) für ~x = (x; 0)
A=
1
0
0
1 , 1x
lautet, folgt für den Betrag des Verstärkungsfaktors in Abhängigkeit vom Stoßparameter
µ=
x
jx , 1 j
(21)
:
Die kritische Linie, bestimmt durch die Gleichung detA = 0, ist ein Kreis mit Radius 1 um das Zentrum der Galaxie.
Die Kaustik, also das Bild der kritischen Linie in der Quellenebene, ist der Punkt y = 0. Darin zeigt sich der durch die
hohe Symmetrie erzeugte nicht-generische Charakter des Problems. Jede marginale Störung der Symmetrie weitet
den Punkt zu einer diamantförmigen Kaustik mit vier Kuspen auf; vgl. dazu [9]. Die Parität eines Bildes ist dann
negativ, wenn es innerhalb der kritischen Linie liegt.
Für die beiden Bilder einer Quelle am Ort y < 1 gilt
µ1;2 =
1
1;
y
(22)
das heißt, die Gesamtverstärkung der Bilder beträgt
µ = µ1 + µ2 =
2
:
y
(23)
Für das Verhältnis der beiden Verstärkungsfaktoren und damit der Bildhelligkeiten gilt schließlich:
r :=
µ1
µ2
=
1+y
:
1,y
Der Verstärkungsfaktor des für y > 1 verbleibenden Bildes ist maximal gleich 2.
(24)
Leuchtkraftfunktion
15
2.4.3 Eine Skalierungseigenschaft
Interessant ist die Frage, wie sich die Bildeigenschaften der isothermen Sphäre ändern, wenn sie in einen Hintergrund
eingebettet wird, der durch eine konstante Flächenmassendichte beschrieben wird. Der Gedanke dabei ist, daß Galaxien in aller Regel von Gas bzw. Staub umgeben sind, die etwa einen Galaxienhaufen lokal gleichmäßig anfüllen.
Die konstante zusätzliche Flächenmassendichte bewirkt eine zusätzliche Konvergenz κ0 , die eine Änderung der
Längenskala der isothermen Sphäre erwarten läßt. Die Linsengleichung kann in der Form
y=
~
1 , κ0
0
0
1 , κ0
x,
x
~
jxj
~
~
geschrieben werden. Daran sieht man, daß sie in die ursprüngliche Form (18) zurückkehrt, wenn man die Koordinaten
x0 := (1 , κ0)~x; ~y0 := ~y
~
einführt. Physikalische Längen werden durch diese Skalierung natürlich nicht verändert, deswegen bedeutet dies eine
Vergrößerung der Längenskala η0 in der Linsenebene auf
η00 = (1 , κ0),1 η0
6
(κ0 = 1);
während die Skala in der Quellenebene erhalten bleibt. Der Bildabstand in den gestrichenen Koordinaten ist zwei, in
den ungestrichenen Koordinaten erhöht er sich also auf
∆x =
2
1 , κ0
:
Die stärkere Konvergenz bewirkt also zunächst eine Aufweitung der Bildgeometrie. Ferner erhält man
0
y dy0 ,1
x0 dx0 = (1
, κ 0 )2 µ
;
das heißt, der Verstärkungsfaktor vergrößert sich auf
µ=
1
(1 , κ0 )2
0
jx0 x, 1j
:
Damit lauten also die Verstärkungsfaktoren der beiden Bilder einer isothermen Sphäre
µ1
=
µ2
=
(1
, κ 0 )2 (1
, κ 0 )2 1
1
1+y
y
1,y
:
y
Das Helligkeitsverhältnis der Bilder dagegen bleibt erhalten.
Eine zusätzliche Flächenmassendichte läßt sich also einfach durch eine Änderung der Längenskala in der Linsenebene, also durch eine Umskalierung der Koordinaten, berücksichtigen. Darauf kommen wir in 5.3 und 6.3 noch
zurück.
3 Galaxien aus der Sicht des Beobachters
In diesem Kapitel sollen einige Beobachtungsergebnisse zusammengetragen werden, die eine wichtige Grundlage für
die Annahmen bilden, die in unser Galaxienmodell eingehen. Wir beschränken uns auf die unmittelbar notwendigen
Daten, die in der Regel aus Beobachtungen elliptischer Galaxien gewonnen wurden. Wir werden in den folgenden
Kapiteln unser Galaxienmodell diesen Ergebnissen weitgehend anpassen, wobei aber klar ist, daß es nach wie vor der
Vielfalt von Galaxientypen nicht Rechnung trägt. Das liegt vor allem daran, daß wir Galaxien im wesentlichen nur
durch einen Parameter, nämlich die Geschwindigkeitsdispersion, beschreiben. Damit entfällt die Möglichkeit, beispielsweise Elliptizität oder endliche Kernradien darzustellen. Dieses Kapitel hat daher nur den Zweck, realistische
Abschätzungen für bestimmte Parameter und statistische Eigenschaften der Galaxien anzugeben. Geschwindigkeiten
werden ausnahmsweise in der Einheit km/s angegeben.
Faber-Jackson-Relation
16
3.1 Die Leuchtkraftfunktion von Schechter
Die Leuchtkraftfunktion astrophysikalischer Objekte gibt an, wie viele solcher Objekte es pro Volumeneinheit in
einem infinitesimalen Leuchtkraftintervall [L; L + dL] gibt. Sie zu bestimmen, erfordert Quellenzählungen ebenso
wie Messungen der absoluten Helligkeit. Dazu benötigt man Methoden, extragalaktische Entfernungen zu messen.
Allen diesen Methoden liegt die Verwendung geeichter Indikatoren zugrunde. Für vergleichsweise nahe Galaxien
(Entfernung einige Mpc) können pulsationsveränderliche Sterne wie etwa Cepheiden oder RR Lyrae-Sterne verwendet werden, deren absolute Helligkeit in bekanntem Zusammenhang mit ihrer Pulsationsperiode steht. Für größere
Entfernungen (bis einige 10 Mpc) beobachtet man Objekte wie hellste B-Sterne, Kugelhaufen, HII-Regionen oder
Novae, von deren absoluten Helligkeiten angenommen wird, daß sie typisch für die jeweiligen Objekte seien und
daß ihre Schwankungsbreite hinreichend klein ist. Aus der Differenz von scheinbarer und absoluter Helligkeit folgt
dann sofort die Entfernung. Bei noch weiter entfernten Galaxien müssen dann Eigenschaften der Galaxien selbst
herangezogen werden, weil keine einzelnen Entfernungsindikatoren mehr aufgelöst werden können.
Wir nehmen im folgenden für die Hubblekonstante den Wert
H0 = 50kms,1 Mpc,1
an.
Es zeigt sich, daß die Leuchtkraftfunktion für elliptische Galaxien einen deutlichen Knick bei einer Leuchtkraft
aufweist, die allgemein mit L bezeichnet wird. Im B-Bereich des Johnsonschen Farbsystems, also bei einer Wellenlänge von 440 nm, beträgt die zugehörige absolute Magnitude
MB = ,21:00 0:11
(siehe [24]). Mit der absoluten B-Helligkeit der Sonne von B = 5:4 folgt:
LB ' 4 1010L :
Schechter [30] nähert die beobachtete Leuchtkraftfunktion für Feld- und Haufengalaxien durch folgenden analytischen Ausdruck an:
ν
L
L
Φ(L)dL = Φ
exp ,
dL:
(25)
L
L
Der Exponent ν wird von ihm mit ,1:25 angegeben; Kirshner et al. finden ν = ,1:10 0:15. Hier und im folgenden
nehmen wir ν = ,1:25 an. Ebenfalls Kirshner et al. geben für die mittlere Leuchtkraftdichte der Galaxien den Wert
L ' 108 L Mpc,3
an, der von ihnen selbst als sehr unsicher bezeichnet wird. Integration der Leuchtkraftfunktion über alle Leuchtkräfte
ergibt andererseits:
Z
L = Φ
∞
0
LΦ(L)dL = Φ L2 Γ(ν + 2):
Darin ist Γ die gewöhnliche Gammafunktion. Insgesamt erhält man
1
Φ ' 7 10,14Mpc,3 L,
:
Damit ist die Leuchtkraftfunktion normiert. Definiert man eine Anzahl N so, als wäre die Leuchtkraft aller Galaxien
gleich L , nämlich
3
c
N :=
Φ L ;
H0
kommt man mit den genannten Zahlen auf
N = 5 108:
Das gibt eine Abschätzung der Gesamtzahl der Galaxien in einem Würfel mit der Kantenlänge des Hubble-Radius
c=H0 .
Radius-Leuchtkraft-Relation
17
3.2 Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsdispersion und Leuchtkraft
Geschwindigkeitsdispersionen sind prinzipiell aus der Dopplerverbreiterung galaktischer Spektrallinien bestimmbar.
Faber und Jackson [16] führen solche Messungen an 25 elliptischen Galaxien im Spektralbereich von 470 bis 600
nm durch, der zahlreiche kräftige Absorptionslinien enthält, zum Beispiel Hβ, Natrium D, das Magnesium b-Triplett
und ein starkes MgH-Band. Sie können auf diese Weise Geschwindigkeitsdispersionen größer als 100 150kms,1
messen, wobei sie eine geschätzte Genauigkeit von 10 15% erreichen. Sie erhalten einen Zusammenhang zwischen
der B-Leuchtkraft und der Geschwindigkeitsdispersion der Form
LB ∝ v4 :
Für Galaxien der Leuchtkraft LB geben Binney und Tremaine [2, S.22]
v = 220kms,1
an. Damit erhält man die sogenannte Faber-Jackson-Relation:
LB
LB
=
v
v
4
:
(26)
3.3 Eine Relation zwischen Radius und Leuchtkraft
Die Radien von Galaxien sind schwer anzugeben, weil die galaktische Helligkeitsverteilung keinen scharfen Rand
besitzt. Man benützt daher z.B. den sogenannten Holmberg-Radius, das ist der Radius der Isophote zur Flächenhelligkeit 26:5mag(arcsec),2 . Etwa so groß ist die geringste verläßlich meßbare Flächenhelligkeit. Ein anderes Maß
ist der effektive Radius, das ist der Radius der Isophote zur Hälfte der maximalen Flächenhelligkeit. (Im Gegensatz
zum effektiven Radius erfordert der Holmberg-Radius eigentlich eine Korrektur hinsichtlich der Rotverschiebung,
was ihn weniger geeignet erscheinen läßt.)
Wir werden später einen Zusammenhang der Form
R = R
L
L
γ
(27)
zwischen Radien und Leuchtkräften annehmen. Grossman und Narayan [20] nehmen γ = 1=2 an. R dient später als
freier Parameter.
4 Mikrolinsen
Die unter 2.4.2 abgeleiteten Eigenschaften der Bilder, die von isothermen Sphären erzeugt werden, treten nur dann
auf, wenn die Massenverteilung der Linse als glatt angenommen wird. Das ist eine Idealisierung, die außer acht läßt,
daß die Sterne innerhalb realer Galaxien selbst als Linsen wirken. Man spricht von ihnen als von Mikrolinsen, die
in die galaktische Makrolinse eingebettet sind. Diese Bezeichnung leitet sich daraus ab, daß der Einsteinradius der
Einzelsterne von der Größenordnung 10,6 Bogensekunden ist und damit um sechs Zehnerpotenzen unter demjenigen
der gesamten Galaxie liegt.
Es handelt sich also um ein typisches Zweiskalen-Problem: Man betrachte einen Ausschnitt der Galaxie, in dem
sich die mittlere Materiedichte, die durch das Dichteprofil der Galaxie vorgegeben ist, nur unwesentlich ändert. Dann
befindet sich darin bereits eine sehr große Zahl von Mikrolinsen. Der Radius dieses Sternfeldes ist andererseits immer
noch sehr klein gegenüber der Skala, auf der sich die Dichte der Galaxie wesentlich ändert, wenn man eine geeignete
Zahl und Anzahldichte der Mikrolinsen vorgibt. Das bedeutet, daß im Bereich des Sternfeldes die Eigenschaften der
Galaxie auch dann als konstant angenommen werden können, wenn sein Radius groß gegenüber dem Einsteinradius
einer typischen Mikrolinse ist.
Ein Lichtstrahl, der die Galaxie bei einem Stoßparameter x passiert, wird nicht mehr wie bei der glatten isothermen Sphäre um einen eindeutig von x abhängenden Faktor µ(x) verstärkt. Vielmehr hängt seine Verstärkung empfindlich davon ab, wie stark er von den Mikrolinsen beeinflußt wird, deren räumliche Verteilung als zufällig angenommen
wird.
Das Feld zufällig verteilter Sterne
18
Es gibt dann einen weiten Bereich möglicher Verstärkungsfaktoren, die mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten
eintreten. Um also die Auswirkung von Mikrolinsen auf die Eigenschaften der Bilder zu ermitteln, benötigt man eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung für Verstärkungsfaktoren. Sie soll in mehreren Schritten in diesem Kapitel entwickelt
werden. Mit µ ist hier ausnahmsweise nicht der Betrag des Verstärkungsfaktors gemeint, sondern das Produkt aus
ihm und der Parität.
4.1 Das Feld zufällig verteilter Sterne
4.1.1 Das Modell
Der Prototyp eines aus Mikrolinsen zusammengesetzten Teils einer Makrolinse ist das Feld zufällig verteilterp
Sterne.
Seien also N Sterne gegeben, deren Anzahldichte n sei. Das entspricht einem Radius des Sternfeldes von R = N=nπ
. Führt man entsprechend der Vorgehensweise unter 2.1.3 dimensionslose Grösen ein, kann der Ausdruck nπ völlig
analog zu (10) als κ geschrieben werden. Für den dimensionslosen Radius des Sternfeldes behalten wir die Bezeichnung R bei, weil der dimensionsbehaftete Radius im folgenden nicht mehr auftritt.
Geht man nun zunächst davon aus, daß alle diese N Sterne gleiche Masse M haben, lautet die Linsengleichung
ζ=
~
N ~
Dq
η ,~ηi
~
η , Dlq 4GM ∑
;
~
~ i 2
Dl
i=1 jη , η j
wenn i die Nummer jedes Sterns ist. Führt man als Längenskala η0 den Ausdruck
s
η0 =
ein, wird diese Gleichung zu:
Dlq Dl
Dq
(28)
x ,~xi
:
x ,~xi j2
i=1 j~
(29)
4GM
N
y = ~x , ∑
~
~
Im Zentrum des Sternfeldes, also bei ~x = 0, erhält man als Jacobimatrix
A=
d~y
d~x
= I+
S1
S2
S2
,S1
;
wobei nach der Einführung von Polarkoordinaten (xi ; ϕi ) die Matrixelemente S j lauten:
N
cos 2ϕi
;
i 2
i=1 (x )
S1 = ∑
N
sin 2ϕi
:
i 2
i=1 (x )
S2 = ∑
(30)
Der von der Einheitsmatrix abweichende Summand von A ist spurfrei und symmetrisch, entspricht also einer
Scherung. Er beschreibt die Verzerrung, die ein Lichtstrahl durch das Sternfeld erfährt. Ein Konvergenzterm taucht
in A deswegen nicht auf, weil sämtliche Sterne des Sternfeldes eine Menge vom Maß Null überdecken und deswegen
praktisch kein Lichtstrahl direkt auf Materie trifft.9
Aus der Jacobimatrix erhält man den Verstärkungsfaktor
µ = (det A),1 =
1
;
1 , S2
wenn S2 := S21 + S22 definiert wird.
Die Frage ist nun, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, daß ein Lichtstrahl, der das Sternfeld passiert, eine
Verstärkung aus dem Intervall [µ; µ + dµ] erfährt. Zur Ableitung der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung eignet sich Markovs Methode der charakteristischen Funktion.
9 Der
Lichtstrahl sieht“ die Materie nicht, und wenn er sie sähe, sähen wir ihn nicht mehr, weil er extrem divergierte.
”
Das Feld zufällig verteilter Sterne
19
4.1.2 Markovs Methode; Anwendung auf den vorliegenden Fall
Markovs Methode beruht auf der Einführung der charakteristischen Funktion, aus der die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung durch Fourierinversion folgt. Das entscheidende ist, daß die charakteristische Funktion auf einem
unabhängigen Weg bestimmt werden kann. (Vergleiche zum folgenden die Arbeit [35] und den Anhang zu [37].)
Sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine skalare oder vektorielle, allgemein n-dimensionale Größe g gesucht, die sich linear aus den Beiträgen der einzelnen Sterne zusammensetzt:
N
g = ∑ gi :
i=1
Ferner seien alle gi gleiche Funktionen der Koordinaten ~xi des i, ten Sterns. Dann führt man die charakteristische
Funktion
Z
C(h) := d n g p(g)eigh
ein, deren Argument h 2 IRn sei. Wegen der statistischen Unabhängigkeit der Sternpositionen untereinander und der
linearen Superposition der Einzelbeiträge gi zu g kann man die charakteristische Funktion auch mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Sternkoordinaten p(~xi ) berechnen:
Z
C(h) =
d 2 xi p(~xi ) exp(igi (~xi ) h)
N
:
Da es sich um ein Feld zufällig verteilter Sterne handeln soll, sind die Positionen ~xi gleichverteilt. Also ist
p(~xi ) =
1
:
πR2
Die charakteristische Funktion lautet dann
C(h) =
1
πR2
Z
d 2 xi exp(igi (~xi ) h)
N
;
und man erhält die Wahrscheinlichkeitsverteilung p(g) gemäß
Z
1
p(g) =
d n h C(h)e,igh :
(2π)n
Der erste Schritt bei der Anwendung dieser Methode auf unser Problem ist die Feststellung, daß die Verstärkung eine
Funktion der Scherung ~S ist. Kennte man die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Komponenten der Scherung, ließe
sich aus ihr die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Verstärkung berechnen, denn:
Sei ν 2 IR und
Z Z
heiνµi = C1 := dS1dS2 p(S1; S2 ) exp(iνµ(S1 ; S2 ))
(31)
Dann gilt auch, weil es sich um denselben Mittelwert handelt,
Z
heiνµ i = dµ p(µ)eiνµ:
Fourierinversion dieser Gleichung und Einsetzen der rechten Seite von (31) anstelle von hexp(iνµ)i führt mit Hilfe
der Identität
Z
1
dν exp[iν(µ , µ(S1 ; S2 ))] = δ(µ , µ(S1; S2 ))
2π
direkt auf
Z
Z
p(µ) = dS1 dS2 p(S1 ; S2 )δ(µ , µ(S1; S2 ))
(32)
Es muß also p(S1 ; S2 ) bestimmt werden. Für ~S gilt aber das Superpositionsprinzip
N
S = ∑ ~Si ;
~
i=1
Das Feld zufällig verteilter Sterne
20
wobei die ~Si Funktionen der Sternkoordinaten ~xi sind. Wir führen also mit der Hilfsvariablen ~T eine weitere charakteristische Funktion C2 ein:
Z Z
~~
dS1 dS2 p(S1 ; S2 )eiT S :
C2 (~T ) =
Sie kann geschrieben werden als:
C2 (~T ) =
1
πR2
Z Z
N
xi dϕi dxi exp(i~T ~S(~xi ))
;
und man gewinnt daraus die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Scherung
Z Z
1
~~
dT1 dT2 C2 (~T )e,iT S :
p(S1 ; S2 ) =
(2π)2
Diese Rechnungen werden im Anhang A ausgeführt. Sie ergeben zunächst
p(S1 ; S2 ) =
1
κ
:
2
2π [(κ ) + S2]3=2
(33)
Damit und mit den Gleichungen (31) und (32) folgt endlich
p(µ) =
8
<
:
κ
h
2µ2 (κ )2 +1, µ1
i3=2
0
für µ 2 IRn[0; 1)
µ 2 [0; 1)
für
Verstärkungsfaktoren zwischen 0 und 1 können also nicht auftreten. Das Ergebnis ist unabhängig von der Masse der
Sterne.10
Erweiterung der Ergebnisse Das eben betrachtete Sternfeld existiert nicht isoliert, sondern ist Teil eines größeren
Systems, im Allgemeinen einer Galaxie. Diese erzeugt am Ort des Sternfeldes eine äußere Scherung und unterlegt
ihm eine zusätzliche Konvergenz. Beide sollen jetzt verallgemeinernd berücksichtigt werden.
Konvergenz κ und Scherung γ erweitern die Jacobimatrix des Sternfeldes zu
A=
1,κ+γ
0
0
1,κ,γ
S1
S2
+
S2
,S1
:
Sie ergibt einen Verstärkungsfaktor von
µ = (detA),1 =
h
(1
, κ)2 , γ2 , S2 , 2γS1
i,1
:
Führt man die Hilfskoordinaten x := S1 + γ; y := S2 ein und nennt x2 + y2 =: r2 bzw. arctan (y=x) =: ϕ, dann vereinfacht sich die obige Gleichung zu
µ=
h
(1
, κ)2 , r2
i,1
:
Drückt man in der Wahrscheinlichkeitsverteilung (33) auch S2 durch r und ϕ aus und integriert analog zu (32), aber
nicht über S1 ; S2 , sondern über r und ϕ, erhält man sehr rasch das Ergebnis
p(µ) =
Dabei wurden die Abkürzungen
10 Das
8
< κ
:
πµ2 (u
1p
,v)
q
E
u+v
0
2v
u+v
für µ 2 IRn[0; (1 , κ),2)
für
µ 2 [0; (1 , κ),2)
1
u := (1 , κ)2 + κ2 + γ2 , ;
µ
Ergebnis gilt auch dann, wenn man ein Massenspektrum der Sterne zuläßt.
(34)
Sternfeld innerhalb isothermer Sphäre
21
s
v := 2γ
(1
, κ)2 , µ1
benutzt. E ist das vollständige elliptische Integral zweiter Gattung.
Insgesamt wurde also in 4.1.2 die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür berechnet, daß ein Lichtstrahl, besser gesagt ein infinitesimal dünnes Lichtbündel, um einen Faktor aus dem Intervall [µ; µ + dµ] verstärkt wird, wenn es ein
Feld zufällig verteilter Sterne passiert, das äußerer Scherung und zusätzlicher Konvergenz unterliegt.
Die Situation ist grundlegend, denn sie beruht auf der Vorstellung, daß ein Lichtstrahl eine Galaxie durchquert.
Die Umgebung seines Durchstoßpunktes“ kann als zufälliges Sternfeld konstanter Dichte angesehen werden, wo”
gegen die gesamte Galaxie Scherung und Konvergenz erzeugt. Während der Herleitung von p(µ) wurde zwar an
einer Stelle der Grenzwert für unendlichen Radius gebildet; vgl. Anhang A.1. Also ist das erhaltene Ergebnis nur für
große Radien des Sternfeldes gültig. Nach den einleitenden Bemerkungen über die zwei Skalen, die in diesem Zusammenhang eine Rolle spielen, nämlich den Einsteinradius einer typischen Mikrolinse und den Radius der Galaxie,
bedeutet das aber keine Einschränkung.
4.1.3 Skalierung des Sternfeldes
Ähnlich wie die Linsengleichung der isothermen Sphäre erlaubt auch diejenige des Feldes zufällig verteilter Sterne,
eine zusätzliche, konstante Flächenmassendichte κ0 durch eine Umskalierung der Koordinaten zu berücksichtigen.
In Anwesenheit von κ0 , einer Konvergenz κ und einer Scherung γ wird aus Gleichung (29):
1 , κ0 , κ + γ
0
0
1 , κ0 , κ , γ
y=
~
x ,~xi
:
x ,~xi j2
i=1 j~
N
x, ∑
~
~
Sie geht in die Form (29) zurück, wenn man die neuen Koordinaten
x0 :=
~
p
1 , κ0~x ; ~y0 :=
p1 1, κ
y
~
0
6
(κ0 = 1)
einführt. Damit verändert sich die Längenskala in der Linsenebene zu
η00 =
p1 1, κ
η0 ;
0
während der Verstärkungsfaktor auf das (1 , κ0 ),2 -fache anwächst. Konvergenz und Scherung werden umskaliert
zu
κ
γ
κ̃ =
; γ̃ =
:
(35)
1 , κ0
1 , κ0
Mit der genannten Skalierung der Koordinaten wird die Linsengleichung der isothermen Sphäre (19) zu
p1 , κ x0
0
0
y = 1 ,
:
x0 1 , κ0
Der Bildabstand wird daher zu
∆x0 =
p1 2, κ
;
0
in ungestrichenen Koordinaten also zu
∆x =
2
1 , κ0
:
4.2 Sternfeld als Teil einer isothermen Sphäre
Wir legen jetzt das im folgenden verwendete Galaxienmodell endgültig fest. Das Dichteprofil entspreche dem einer isothermen Sphäre. Weiterhin soll ein Bruchteil ε 2 [0; 1] der galaktischen Masse in Sternen konzentriert sein,
während der Rest aus glatter, kontinuierlich verteilter Materie wie z.B. Gas oder Staub bestehe. Der Parameter ε ist
also ein Maß für die Klumpigkeit“ der Materie innerhalb der Galaxie.
”
Sternfeld innerhalb isothermer Sphäre
22
Die Konvergenz geht nach (20) aus 2.4.2 auf den Wert
1,ε
2x
κk =
zurück, wobei der Index ‘k’ für ‘kontinuierlich’ steht. Die Scherung, ebenfalls in 2.4.2 durch (20) gegeben, bleibt
von der Aufteilung der Materie unbeeinflußt, weil zu ihr die gesamte Masse beiträgt.
Die dimensionslose Massendichte eines Sternfeldes innerhalb der Galaxie beträgt
κ =
ε
;
2x
weil der nicht kontinuierlich verteilte Anteil von κ = 1=2x in Sternen konzentriert sein muß.
4.2.1 Verstärkungswahrscheinlichkeit für helle Bilder
Das Ergebnis (34) aus 4.1.2 gilt für infinitesimal dünne Lichtbündel, nicht aber für die Makrobilder einer Quelle,
weil solche wegen möglicher Mehrfachabbildung auf unkontrollierbare Art aus Lichtstrahlen zusammengesetzt sind.
Aber man kann dann folgende Abschätzung durchführen:
Zunächst muß wegen der Flußerhaltung der mittlere Verstärkungsfaktor eines Makrobildes, das in einem Abstand
x vom Zentrum der Galaxie entsteht, gleich
hµi = jx ,x 1j
sein, vgl. (21) aus 2.4.2. Die Mittelbildung ist hier so zu verstehen: Man schickt ein Ensemble von Lichtbündeln
durch die Galaxie, die alle in derselben Entfernung vom Galaxienzentrum verlaufen, und mittelt die einzelnen Verstärkungsfaktoren über das Ensemble.
Hohe Verstärkungsfaktoren treten dann auf, wenn die Quelle sehr dicht bei einer Mikrokaustik des Sternfeldes
steht. Es entstehen dann zwei Bilder beiderseits der zugehörigen kritischen Linie, die etwa um den gleichen Faktor
verstärkt sind11. Die Gesamtverstärkung aller Mikrobilder wird dann von der Verstärkung dieser beiden dominiert.
Also kann in diesem Zusammenhang der Gesamtfluß des hier betrachteten Makrobildes der Quelle näherungsweise
durch den der beiden stark verstärkten Mikrobilder ersetzt werden.
Wenn man nun einen im Vergleich zur gesamten Linse kleinen Ausschnitt der dimensionslosen Fläche Ax in der
Linsenebene betrachtet, dann wird ein Lichtstrahl um einen Faktor aus [µ; µ + dµ] verstärkt, wenn er ein Flächenelement
dax = Ax p(µ)dµ
aus Ax durchläuft. Die Fläche Ax wird gemäß der Definition der Verstärkungsfaktoren auf die Fläche
Ay =
1
hµi Ax
in der Quellenebene abgebildet, während dax auf die Fläche
day =
1
dax
µ
abgebildet wird. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Mikrobild einer Quelle um [µ; µ + dµ] verstärkt wird, ist also
day
Ay
=
hµi dax = hµi p(µ)dµ
µ Ax
µ
:
Da aber eine stark verstärkte Quelle zwei dominierende Mikrobilder hat, ist ihre Gesamtverstärkung µg
Wahrscheinlichkeit für eine Gesamtverstärkung aus [µg ; µg + dµg] ist also
pg (µg )dµg =
11 Siehe
dazu Anhang A.3.
2hµi µg µg p
d
:
µg
2
2
=
2µ. Die
Sternfeld innerhalb isothermer Sphäre
23
Von der Quelle wurde angenommen, daß sie sich nahe einer Mikrokaustik befinde. Auf der Mikrokaustik selbst wird
µ unendlich. Nähert man dementsprechend p(µ) aus (34) in 4.1.2, gilt bis zur führenden Ordnung in 1=µ:
p(µ) =
mit der Konstanten K
K=
K
;
µ2
r
κ
1
p
E
π (u0 , v0 ) u0 + v0
2v0
u0 + v0
1
µ =0
die Striche an u und v geben an, daß in den vorigen Definitionen
!
;
gesetzt wird. Demnach:
u0 = (1 , κk )2 + κ2 + γ2 ;
v0 = 2γj1 , κk j:
Für pg ergibt sich damit:
pg (µg )dµg =
4hµiK
dµg :
µ3g
Das Ergebnis ist also, daß sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Verstärkungsfaktoren heller Bilder der Quelle dem Ausdruck
C
;
µ3g
C := 4hµiK, für große µg asymptotisch annähern muß.
Dieses Ergebnis kann auch auf allgemeinere Weise abgeleitet werden. Sei eine kritische Linie parametrisiert
durch ~x(λ). Eine Quelle, die nahe an der zugehörigen Kaustik steht, hat zwei Bilder im Abstand dx beiderseits der
kritischen Linie. Auf dieser selbst verschwindet die Determinante der Jacobimatrix, d.h. der Betrag des Verstärkungsfaktors der Bilder ist
1
µ=
j∇ det Ajdx :
Innerhalb eines Streifens der Breite dx beiderseits der kritischen Linie ist der Verstärkungsfaktor größer als µ. Er hat
die Fläche
I
1
K0
ax (µ) = dλ
=:
j∇ det A(~x(λ))jµ µ :
Ein Gesamtverstärkungsfaktor zwischen µg und µg + dµg tritt also innerhalb der Fläche
0
dax (µ) dµ = 2K dµg
dµ µ2
g
auf. Sie wird auf
day (µ) =
2 2K0
C
dµg =: 3
2
µg µg
µg
in der Quellenebene abgebildet. Normiert man day , entspricht es der Wahrscheinlichkeit, daß ein Makrobild einer
Quelle um einen Faktor aus [µg ; µg + dµg ] verstärkt wird, d.h. die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist proportional zu
3
µ,
g für große µg .
Im folgenden wird nur noch von Gesamtverstärkungen die Rede sein, weswegen der Index ‘g’ wieder wegfallen
kann.
Sternfeld innerhalb isothermer Sphäre
24
4.2.2 Weitere Eigenschaften
Das obige Resultat, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Verstärkungsfaktoren der Bilder einer Punktquelle für ε 6= 0 asymptotisch wie µ,3 abfallen muß, ist unabhängig von der Aufteilung der galaktischen Materie in
Sterne und Gas. Da aber eine Galaxie, die nur aus glatt verteilter Materie besteht, eindeutig vom Ort x abhängende
Verstärkungsfaktoren liefert, muß die Wahrscheinlichkeitsverteilung für ε ! 0 gegen eine δ, Distribution konvergieren, deren Singularität bei
hµi = jx ,x 1j
liegt. Weiterhin muß die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert sein und den von der Flußerhaltung geforderten
Mittelwert hµi korrekt liefern. Wenn µ gegen das Minimum seines Definitionsbereiches geht, erwartet man, daß p(µ)
verschwindet. Das ergibt sich aus numerischen Rechnungen; siehe die Arbeit von Schneider und Weiß [38]. Der
untere Rand des Definitionsbereiches selbst ist keineswegs von vorneherein klar. So verlangt der Satz von Schneider
nur, daß eines der Mikrobilder positiver Parität einen Verstärkungsfaktor größer oder gleich eins haben muß. Das gilt
dann natürlich auch für das Makrobild, von dem das Mikrobild ein Teil ist. Über den Verstärkungsfaktor des anderen
Makrobildes, das für y < 1 auftritt, ist damit aber noch nichts gesagt. Wir nehmen deshalb als kleinstmöglichen Wert
von µ an:
min(µ) =: µ ;
dieser Parameter wird später genauer festgelegt.
Insgesamt muß die Wahrscheinlichkeitsverteilung also folgende Eigenschaften erfüllen:
R∞
p(µ)dµ = 1;
(i)
Normierung:
Rµ∞
(ii)
Flußerhaltung:
µp
(µ)dµ = hµi;
µ
(iii)
Asymptote:
p(µ) ! µC3 (µ ! ∞);
(iv)
Verhalten für kleine µ:
p(µ) ! 0 (µ ! µ );
(v)
Konvergenz:
p(µ) ! δ(µ ,hµi) (ε ! 0).
4.2.3 Ein konkretes Modell
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die diesen Bedingungen genügt, soll nun konstruiert werden. Der Forderung
nach dem asymptotischem Verhalten (iii) trägt man am besten dadurch Rechnung, daß man zu einem Term, der in
seinem Verhalten durch einen zu µ,3 proportionalen Abfall bestimmt ist, einen schneller abfallenden Term addiert.
Schneller als jede Potenz fällt aber die Exponentialfunktion ab, weshalb wir uns für diese entscheiden. Prinzipiell
käme natürlich auch jede höhere als die dritte Potenz von µ in Frage; die abfallende Exponentialfunktion erscheint
aber demgegenüber als die am wenigsten willkürliche Wahl. Der Forderung (iv) tragen wir dadurch Rechnung, daß
jeder der beiden Summanden mit einer noch zu bestimmenden Potenz von (µ , µ ) multipliziert wird. Bedingungen
(i) und (ii) verlangen, daß die zu wählende Funktion zwei freie Parameter enthält, die aus (i) und (ii) zu bestimmen
sind.
Nach alldem erscheint folgende Wahl zweckmäßig:
p(µ)dµ =
4Khµi(µ , µ )α
µα+3
+ A(µ
, µ )
β
exp(,Bµ) dµ H(µ , µ );
(36)
wobei H für die Heavisidefunktion steht. Sie erfüllt die bisher besprochenen Voraussetzungen; die Konvergenz gegen
eine δ, Distribution für ε ! 0 wird noch zu prüfen sein. Aus (i) und (ii) erhält man folgende Ausdrücke für A und
B:
B
=
β+1
f 2 hµi(1 + α)(2 + α) , 4K
;
f hµi(α + 1) f (1 , f )hµi(2 + α) , 4K
A
=
K ist bereits bekannt; f ist der Quotient
1,
4K
2
f hµi(1 + α)(2 + α)
µ
hµi :
Bβ+1 Bµ
e :
Γ(β + 1)
Sternfeld innerhalb isothermer Sphäre
25
A; B und C hängen noch vom Ort x innerhalb der Galaxie ab; diese Abhängigkeit wurde in den vorstehenden Gleichungen unterdrückt, muß aber später wieder berücksichtigt werden.
Allerdings ist noch zu prüfen, ob B, in dessen Nenner eine Summe steht, im gesamten Definitionsbereich von x
und auch für alle α und β wohldefiniert bleibt. Es stellt sich in der Tat heraus, daß der Nenner des zweiten Faktors in B
für manche Werte von ε und α Nullstellen hat. Wir vermeiden sie durch geeignete Wahl von α, wie, wird weiter unten
beschrieben. Auch A enthält eine Summe, die nicht negativ werden darf. Wenn jedoch B wohldefiniert ist, bleibt auch
A positiv.12
Natürlich haftet dieser Wahl eine gewisse Willkür an, obwohl die Bedingungen (i) bis (v) die Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung bereits sehr weitgehend festlegen. Es zeigt sich aber, daß die Wirkungsquerschnitte, zu deren Berechnung p(µ) dient, bemerkenswert unempfindlich gegen Veränderungen an der Wahrscheinlichkeitsverteilung sind. Ein Beispiel dafür wird in 5.2.5 gezeigt werden.
Wahl der Parameter für y < 1
Wir nehmen
Zunächst muß der untere Rand des Definitionsbereiches von µ festgelegt werden.
2,ε
hµi
2
an, da für ε ! 0 wegen der Forderung (v) aus 4.2.2 µ gegen hµi gehen muß. Damit ist
ε
f = 1, :
2
Um die Nullstellen im Nenner von B aufzuheben, legen wir α so fest, daß für alle x die Bedingung
µ =
hµi f (1 , f )(2 + α) , 4K
>
0
erfüllt ist. Numerisch stellt sich heraus, daß die Funktion
4K
hµi
Maxima hat, deren größtes für ε ! 0 im Bereich x 2 [0; 2] auf etwa 1:5 anwächst. Als sichere Bedingung wählen wir
daher in diesem Intervall:
f (1 , f )(2 + α) = 2;
also mit f
=1
,ε
=
2:
, 2 > 1:
2ε , ε2
A und B sind gegen Veränderungen von β völlig unempfindlich. Wir setzen deswegen β = 1 fest.
α=
8
Wahl der Parameter für y > 1 Der äußere Bereich der Galaxie erzeugt nur das Bild an der Position x = 1 + y. Dessen Verstärkungswahrscheinlichkeit wird ebenso durch eine Verteilungsfunktion der genannten Form beschrieben,
jedoch gelten für die Parameter α; β und µ andere Bedingungen.
Zunächst ist die Forderung, daß der Parameter B im gesamten Definitionsbereich von x wohldefiniert sein muß,
für x > 2 bereits mit α = 1 erfüllt. Es genügt also, α = 1 = β zu setzen. Ferner muß die minimale Verstärkung des
verbliebenen Bildes nach dem Satz von Schneider größer oder gleich eins sein. Wegen hµi 2 [1; 2] für x 2 [2; ∞)wird
diese Bedingung zusammen mit der Forderung µ ! hµi (ε ! 0) durch die Wahl
µ = 1 , ε 1 ,
1
hµi
hµi
erfüllt.
Damit ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für Verstärkungsfaktoren vollständig festgelegt. Zur Verdeutlichung
ihrer Eigenschaften dient die Abbildung 3: Sie zeigt p(µ) für x = 1:5 und ε 2 f0:2; 0:4; 0:6; 0:8; 1:0g und veranschaulicht die Konvergenz gegen eine δ, Distribution mit der Singularität an der Stelle hµ(x = 1:5)i = 3 . Die unterschiedlichen Parameter für y < 1 und y > 1 bewirken eine Unstetigkeit in der Wahrscheinlichkeitsverteilung in dem Sinne,
daß sich verschiedene Funktionen ergeben, wenn sich x entweder von rechts oder von links der Stelle x = 2 nähert.
Da die Wirkungsquerschnitte aber, wie erwähnt, nur schwach auf Veränderungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung
reagieren, ist diese Unstetigkeit nicht von Bedeutung.
12 Vgl.
auch Anhang A.2.
Sternfeld innerhalb isothermer Sphäre
26
Abbildung 3: Wahrscheinlichkeitsverteilung für x = 1:5 und ε 2 f0:2; 0:4; 0:6; 0:8; 1:0g
Konvergenz gegen eine δ, Distribution Zu untersuchen bleibt die Frage, ob p(µ) gegen δ(µ ,hµi) konvergiert,
wenn ε verschwindet. Für kleine ε ist K proportional zu ε. Linearisiert man auch B und A in ε, kann man mit Konstanten K1 ; K2 2 IR+ schreiben:
K
K
A = 21 ; B = 2 :
ε
ε
Ferner kann µ , µ zerlegt werden in µ , hµi + εz =: ∆ + εz, worin z eine positive Größe ist. Der rein gebrochen
rationale Anteil von p(µ) wird gegenüber dem exponentiell abfallenden vernachlässigbar. Damit gewinnt die Wahrscheinlichkeitsverteilung die Form:
p(µ) ! lim
ε!0
, Kε2 (∆ + εz)
K1
(∆ + εz) exp
ε2
H(µ , µ):
Der Grenzwert der Exponentialfunktion kann in der Form
lim lim 1 ,
ε!0 n!∞
K2
(∆ + εz)
εn
n
geschrieben werden. Wir wählen nun ε so, daß n = 1=ε wird. Dann wird der obige Grenzwert zu
lim [1 , K2(∆ + εz)]1=ε ;
ε!0
die Wahrscheinlichkeitsverteilung also zu
lim
ε!0
K1
1=ε
(∆ + εz)[1 , K2 (∆ + εz)]
H(∆ + εz):
ε2
Definition
27
Für ∆ 6= 0 verschwindet dieser Grenzwert, weil der Ausdruck in eckigen Klammern stets kleiner als 1 bleibt. Für
∆ = 0 dagegen gilt:
lim [1 , K2(∆ + εz)]1=ε = exp(,K2 z) > 0;
ε!0
also divergiert die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Grenzwert ε ! 0. Zusammengefaßt gilt also
lim p(µ) =
ε!0
0 µ 6= hµi
∞ µ = hµi:
Zusammen mit der Normierung von p(µ) folgt daraus, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Grenzfall glatter
Galaxien gegen die δ, Distribution
δ(µ ,hµi)
konvergiert.
5 Wirkungsquerschnitte
5.1 Definition
Ziel der Aufgabenstellung ist es, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der weit entfernte Punktquellen doppelt
abgebildet werden, wobei die beiden Bilder bestimmte Eigenschaften zeigen sollen. Zur Beantwortung dieser Frage
ist das Konzept der Wirkungsquerschnitte äußerst nützlich. Wir beginnen mit einer Definition.
Unter dem Wirkungsquerschnitt einer Linse für eine bestimmte Bildeigenschaft versteht man den Inhalt derjenigen Fläche in der Quellenebene, innerhalb derer eine Quelle in der gewünschten Weise abgebildet wird. Wir werden
in der Regel dimensionslose Wirkungsquerschnitte betrachten.
Zunächst ein Beispiel dazu. Betrachtet man isotherme Sphären als Linsen, dann ist die Bedingung dafür, daß eine
Quelle doppelt abgebildet wird: Ihr Abstand von der optischen Achse darf nicht größer als eins werden; y 1. Die
zugehörige Fläche und damit der Wikungsquerschnitt der Galaxie für doppelte Abbildung ist also gleich π.
5.2 Wirkungsquerschnitte für klumpige isotherme Sphären
5.2.1 Bildeigenschaften
Die Bedingungen, die wir an die Abbildung stellen, sind von der Beobachtung abhängig. Einerseits sollen die Objekte doppelt abgebildet werden, damit die Linsenwirkung zumindest prinzipiell erkennbar ist. Wegen des endlichen
Auflösungsvermögens des Teleskops dürfen die Bilder nicht enger als ein bestimmter Winkel ϑ beieinander stehen.
Schließlich darf der Helligkeitsunterschied der Bilder nicht zu groß sein, weil anderenfalls das schwächere Bild unter
die Grenze der dynamischen Auflösung des Teleskops fiele und damit der Beobachtung entzogen wäre. Zum vierten
soll auch die Gesamtverstärkung beider Bilder nicht unter einen bestimmten Wert sinken, damit einerseits genügend
schwache Quellen, die ohne Linsen unbeobachtet blieben, in den Empfindlichkeitsbereich des Teleskops gehoben
werden und andererseits der Einfluß der Linsen auf die Quellenstatistik genügend deutlich wird (vgl. Kapitel 7). Die
Bildeigenschaften, die wir fordern, sind damit klar:
(i) Gesamtverstärkung größer als µt ;
(ii) Helligkeitsverhältnis der Bilder kleiner als q;
(iii) Winkelabstand der Bilder größer als ϑ.
Der zugehörige Wirkungsquerschnitt soll nun berechnet werden.
5.2.2 Berechnung der Wirkungsquerschnitte
Sei y 1, so daß Doppelbilder entstehen. Die beiden Bilder werden numeriert, wobei der Index ‘1’ das äußere Bild
kennzeichne. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Bild i um einen Faktor aus dem Intervall [µi ; µi + dµi] verstärkt wird,
ist
p(µi )dµi :
Klumpige isotherme Sphären
28
Demnach ist wegen der Unabhängigkeit der Verstärkungsfaktoren voneinander
p(µ1 ) p(µ2 )dµ1 dµ2
die Wahrscheinlichkeit, Bild 1 mit einer Verstärkung aus [µ1 ; µ1 + dµ1 ] und zugleich Bild 2 um einen Faktor aus
[µ2 ; µ2 + dµ2 ] verstärkt zu finden.
Sei zunächst jedes beliebige Helligkeitsverhältnis erlaubt. Dann sind µ1 und µ2 nur durch
µ1 + µ2 µt
eingeschränkt. Definiert man r := µ1 =µ2 , bedeutet die Einschränkung des Helligkeitsverhältnisses
1
q
rq
:
Betrachtet man die µ1 ; µ2 , Ebene, dann schränken die beiden Bedingungen den Definitionsbereich von ~µ := (µ1 ; µ2 )
auf einen halbunendlichen, trapezförmigen Ausschnitt aus dem ersten Quadranten dieser Ebene ein. Er ist in Abbildung 4 als Fläche A dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Quelle am Ort y < 1 in der gewünschten Weise
6µ
2
µ2 = µ1 q
A
µ
@@ @
@@ µ µ µ
@
2 = µ1 =q
=
-µ
1+ 2
1
Abbildung 4: Integrationsgebiet in der µ1 , µ2, Ebene
abgebildet wird, ist also
P(µt ; q; y) =
Z Z
dµ1 dµ2 p(µ1 ; 1 + y) p(µ2; 1 , y):
(37)
A
Daraus erhält man den differentiellen Wirkungsquerschnitt
dσ(µt ; q; y) = 2πydy P(µt ; q; y)
(38)
und den gesamten, integrierten Wirkungsquerschnitt
σ(µt ; q) = 2π
Z
0
1
ydy P(µt ; q; y);
wobei sich die Integration in der Quellenebene auf den Bereich von y beschränkt, innerhalb dessen Doppelbilder
entstehen. Dabei handelt es sich um einen dimensionslosen Wirkungsquerschnitt, weil in den skalierten Koordinaten
gerechnet wurde. Entsprechend lautet der dimensionierte Wirkungsquerschnitt in der Quellenebene:
σ̂(µt ; q) = σ(µt ; q)ζ20 :
Klumpige isotherme Sphären
29
5.2.3 Der Grenzfall glatter Galaxien
Im Falle ε = 0, also bei einer Galaxie ohne alle punktweise konzentrierte Materie, läßt sich σ(µt ; q) analytisch berechnen. Es ist dann
x
p(µ) = δ(µ ,hµi) = δ µ ,
jx , 1 j :
Mit x1 = 1 + y; x2 = 1 , y folgt:
P(µt ; q; y) =
Z Z
1+y
1,y
dµ1 dµ2 δ µ1 ,
δ µ2 ,
y
y
A
:
Die Variablentransformation
µ := µ1 + µ2
µ1
µ2
r :=
ergibt dann:
Z Z
dµ1 dµ2 !
A
Damit lautet die Wahrscheinlichkeit
Z∞
Z
P(µt ; q; y) =
µdµ
µt
Z
∞
µt
µdµ
Z
q
dr
2
1=q (1 + r)
:
dr
rµ
1+y
µ
1,y
δ
,
δ
,
2
1+r
y
1+r
y
1=q (1 + r)
q
:
Das führt nach kurzer Rechnung auf:
(
h
P(µt ; q; y) =
i
h
1
y 2 0; qq,
\ 0; µ2t
+1
sonst.
1
0
i
Der Wirkungsquerschnitt ergibt sich daraus dann zu
σ(µt ; q)
Z
=
2π
0
=
1
ydy P(µt ; q; y)
8 2
< π q,1
q+1
:
4π
µt2
für µt
2 qq,11
für µt
>
+
1
2 qq+
,1
(39)
Für festes q ist der Wirkungsquerschnitt also über einen gewissen Bereich von µt konstant und fällt dann wie µt,2
ab. Das läßt sich folgendermaßen verstehen: Zwischen y und r besteht der Zusammenhang
y=
r,1
;
r+1
r=
1+y
;
1,y
d.h. mit zunehmendem y wird r größer. Legt man also ein maximales r = q fest, darf y nicht über (q , 1)=(q + 1)
wachsen. Die Gesamtverstärkung nimmt entsprechend µt = 2=y mit abnehmendem y zu. Für maximales y = (q ,
1)=(q + 1) ist also das minimale µt = 2(q + 1)=(q , 1). Für kleinere µt ist also die Bedingung µ1 + µ2 µt immer
erfüllt, weshalb σ bis µt = 2(q , 1)=(q + 1) konstant bleibt. Das Verhalten für größere µt ist die Konsequenz davon,
daß y proportional zu µt,1 und damit das Integral über ydy proportional zu µt,2 ist.
Klumpige isotherme Sphären
30
5.2.4 Berücksichtigung des Bildabstands
Bisher wurde der Winkelabstand der beiden Bilder noch nicht berücksichtigt. Das war möglich, weil in skalierten Koordinaten der Bildabstand bei ∆x = const. = 2 liegt. Um den Winkelabstand der Bilder tatsächlich in die Berechnung
einzuführen, muß dieser Wert erst umgerechnet werden. Offenbar ist (wegen der Definition der Entfernung)
ϑ=
η0 ∆x
Dl
= 4π
Dlq 2
v ∆x:
Dq
Nennt man 4πv2 =: θ , erhält man zusammen mit der Faber-Jackson-Beziehung aus Kapitel 3:
ϑ=
p
Dlq
∆xθ l ;
Dq
worin l := L=L sei. Schreibt man nun für den Wirkungsquerschnitt für eine Gesamtverstärkung größer als µt , ein
Helligkeitsverhältnis kleiner als q und einen Bildabstand größer als ∆x
σ(µt ; q)H(2 , ∆x)
(40)
mit der Heaviside-Funktion H, erhält man:
Dq
ϑ
p
σ̃(µt ; q; ϑ) = σ(µt ; q)H 2 ,
Dlq θ l
:
(41)
Damit sind alle gewünschten Bildeigenschaften im Wirkungsquerschnitt ausgedrückt.
5.2.5 Numerische Ergebnisse
Die Berechnung der Wirkungsquerschnitte für ε 6= 0 erfolgt gemäß den Gleichungen (37) und (38). Allerdings ist eine
analytische Behandlung des auftretenden Dreifachintegrals nur ansatzweise möglich, weshalb numerisch integriert
wird. Der entscheidende Unterschied zu dem Fall ε = 0 ist, daß die strenge Korrelation zwischen Verstärkungsfaktoren und Bildorten aufgehoben wird, da an jedem Ort x prinzipiell jeder Verstärkungsfaktor aus [µ ; ∞) eintreten kann.
Dementsprechend erwartet man, daß der scharfe Knick, der für ε = 0 im Wirkungsquerschnitt auftritt, mit zunehmender Klumpigkeit aufgeweicht wird. Trotzdem bleibt aber der untere Rand µ von Null verschieden, so daß keine
beliebig kleinen Gesamtverstärkungen auftreten können. Auch für ε 6= 0 sollte daher der Wirkungsquerschnitt einen
Sättigungswert erreichen, wenn die Gesamtverstärkung gegen ihren - nach dem Satz von Schneider - kleinstmöglichen Wert 1 geht. Für q ! ∞ und µt ! 1 muß σ = π werden, weil die Gesamtverstärkung immer über eins liegen und
das Helligkeitsverhältnis natürlich irgendeinen Wert zwischen 1 und ∞ annehmen muß. Der Wirkungsquerschnitt ist
dann die gesamte Fläche, innerhalb derer überhaupt doppelte Abbildung stattfindet.
Unklar ist das Verhalten für große µt . Es stellt sich heraus, daß hier die Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu verschiedenen Orten eine entscheidende Rolle spielt. p(µ) fällt für große µ wie µ,3 ab, also fällt
das Integral über das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die µ1 ; µ2 , Ebene wie µ,4 ab. Die
Integration über y führt dann dazu, daß sich die logarithmische Steigung des Wirkungsquerschnittes asymptotisch
dem Wert ,2 annähert.
Zur Verdeutlichung dessen wurde in Abbildung 5 eine Schar von Funktionen
yP(µt ; q; y)
für q = 100 und y 2 f0:1; 0:2; : : : ; 0:9g gezeichnet. Man erkennt, wie die Überlagerung steiler Einzelkurven zu einer
flacheren Gesamtkurve führt.
In Abbildung 6 sind für q = 10 die Wirkungsquerschnitte σ(µt ; q) für ε = 0 und ε = 1 dargestellt. Man sieht,
daß für kleine µt (etwa µt 5) der Wirkungsquerschnitt für ε = 1 kleiner als der für ε = 0 ist, während sich die
Verhältnisse für größere Gesamtverstärkung umkehren. Doppelbilder mit hoher Gesamtverstärkung werden also bei
Anwesenheit von Mikrolinsen wahrscheinlicher, obwohl dieser Effekt klein ist. Wie besprochen, weicht der Knick
in der Kurve bei 2(q + 1)=(q , 1) auf. Beide Querschnitte erreichen einen Sättigungswert, der jedoch für ε = 1 unter dem für ε = 0 liegt. Das kommt daher, daß die Anwesenheit von Mikrolinsen die Entstehung von Bildern mit
Klumpige isotherme Sphären
31
Abbildung 5: Funktionenschar yP(µt ; q; y) für y 2 f0:1; 0:2; : : : ; 0:9g und q = 100
großen Helligkeitsunterschieden gegenüber der glatten Makrolinse begünstigt, so daß die Begrenzung auf q = 10
einen größeren Anteil der Fälle ausschließt.
In Abbildung 7 sind Wirkungsquerschnitte für ε = 1 und q 2 f10; 20; 50; 100g dargestellt. Auch im Bereich hoher Gesamtverstärkung nehmen diese mit q noch zu, im Gegensatz zu den Wirkungsquerschnitten für ε = 0, deren
Amplitude für µt 2(q + 1)=(q , 1) nicht mehr von q abhängt. Das bedeutet, daß auch Doppelbilder mit großem
Helligkeitsverhältnis durch Mikrolinsen wahrscheinlicher werden.
Abschließend sei noch gezeigt, wie der Wirkungsquerschnitt σ(µt ; q) auf eine Veränderung der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung reagiert. Wir wählen
p(µ) =
4Khµi
+ A exp(B(µ , µ ))
µ3
H(µ , µ)
mit µ = hµi=3. Abbildung 8 zeigt diese Funktion für x = 1:5 und ε = 1. Daraus wurde in der gewohnten Weise der
Wirkungsquerschnitt σ(µt ; q) für q = 10 berechnet. Das Ergebnis zeigt Abbildung 9. Ein Vergleich mit der entsprechenden Kurve aus 7 zeigt, daß sich trotz der drastischen Veränderung in p(µ) der Wirkungsquerschnitt nur schwach
verändert.
5.2.6 Wirkungsquerschnitte für Einzelbilder
Wir werden später auch den Wirkungsquerschnitt dafür benötigen, daß von einem Objekt nur ein Bild mit einem
bestimmten Verstärkungsfaktor entsteht. Solche Ereignisse können nur dann auftreten, wenn die Quelle bei y > 1
sitzt, wenn also das Bild bei x > 2 entsteht. Außerhalb der Galaxie darf es aber nicht liegen, d.h. die Bildposition
muß sich innerhalb eines Kreisringes mit den Radien 2 und ρ um das Zentrum der Galaxie befinden. Wir werden
daher zunächst den Radius ρ der Galaxie als weiteren Parameter einführen.
Klumpige isotherme Sphären
32
Abbildung 6: Wirkungsquerschnitte für vollkommen glatte und vollständig klumpige Galaxien als Funktion der minimalen Gesamtverstärkung; die Darstellung ist doppelt-logarithmisch.
Wie unter 3.3 angekündigt, nehmen wir als Zusammenhang zwischen Radius und Leuchtkraft
R
R
=l
γ
an. R wird mit η0 nach (16) aus 2.4.2 in einen dimensionslosen Radius umgewandelt:
ρ=
Also folgt:
ρ=
R
:
η0
R Dq ,2 γ
v l :
4π Dl Dlq
Die Faber-Jackson-Relation macht daraus:
ρ=
R Dq ,2 γ,1=2
v l
:
4π Dl Dlq (42)
Für γ = 1=2 entfällt also die Abhängigkeit des dimensionslosen Radius’ von der Leuchtkraft, was sich später als sehr
bequem erweisen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, ein Bild mit einer Verstärkung größer als µt zu erzeugen, ist
Z∞
p(µ)dµ;
µt
wenn für p(µ) die Wahrscheinlichkeitsverteilung für x > 2 (vgl. die Beschreibung unter 4.2.3) eingesetzt wird. Der
zugehörige Wirkungsquerschnitt ist dann
Z ρ,1
Z∞
τ(µt ; ρ) = 2π
ydy
p(µ; 1 + y)dµ:
(43)
1
µt
Konstante Flächenmassendichte
33
Abbildung 7: Wirkungsquerschnitte für vollständig klumpige Galaxien und q 2 f10; 20; 50; 100g als Funktion der
minimalen Gesamtverstärkung; auch diese Abbildung ist doppelt logarithmisch
Die obere Grenze der y, Integration ergibt sich daraus, daß Quellen bei y = ρ , 1 bereits auf den Rand der Galaxie
abgebildet werden.
5.3 Einfluß einer konstanten Flächenmassendichte
Wie ändern sich die hier eingeführten Wirkungsquerschnitte, wenn zu der isothermen Sphäre eine konstante Flächenmassendichte addiert wird? Das entspricht einer Berücksichtigung intergalaktischen Gases oder Staubs. Wie unter
2.4.3 und 4.1.3 besprochen, bedeutet die Einführung einer zusätzlichen Konvergenz eine Umskalierung der Koordinaten in der Linsenebene, die eine Änderung des Bildabstands und der Verstärkung, nicht aber des Helligkeitsverhältnisses zur Folge hat. Der Skalierungsfaktor hängt davon ab, ob die Galaxie glatt oder klumpig ist. Für glatte
Galaxien muß die Skalierung aus 2.4.3, für klumpige die aus 4.1.3 verwendet werden. In beiden Fällen skaliert aber
der Verstärkungsfaktor in derselben Weise. Es bleibt aber hier zu zeigen, daß der gemäß Gleichung (37) berechnete
Wirkungsquerschnitt für klumpige Galaxien gerade die Eigenschaften hat, die er nach 4.1.3 haben muß. Das ist nicht
selbstverständlich, da die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung ohne Rücksicht auf ihre Skalierungseigenschaften konstruiert wurde.
Betrachten wir also die Wahrscheinlichkeitsverteilung (36). Führt man eine zusätzliche Konvergenz κ0 ein, läßt
sich unter Verwendung der Skalierungseigenschaften der Koordinaten und des Verstärkungsfaktors (siehe 4.1.3) leicht
zeigen, daß gilt:
K
=
B
=
A
=
, κ0),2 K̃
2
(1 , κ0 ) B̃
2β 2
(1 , κ 0 )
Ã
(1
;
;
+
;
Konstante Flächenmassendichte
34
Abbildung 8: Probeweise angenommene Wahrscheinlichkeitsverteilung; x = 1:5; ε = 1
wobei die mit einer Tilde versehenen Größen diejenigen sein sollen, die für κ0 = 0 gelten. Die Rechnungen sind in
Anhang A.4 ausgeführt. Damit folgt dann bereits:
p(µ)dµ = p̃(µ̃)d µ̃ :
Also erhält man zusammen mit der Skalierungseigenschaft für die Quellenkoordinaten ~y:
σ(µt ; q) = (1 , κ0)σ̃((1 , κ0)2 µt ; q):
Dasselbe gilt für den Wirkungsquerschnitt τ.
Die Heaviside-Funktion in (40) verändert sich außerdem zu
H
2
1 , κ0
, ∆x
=H
, Dq ϑp
1 , κ0 Dlq θ l
2
!
;
weil der Abstand der beiden Bilder sowohl für glatte als auch für klumpige Galaxien auf 2=(1 , κ0) vergrößert wird.
Für die dimensionierten, auf die Quellenebene projizierten Wirkungsquerschnitte gilt also zusammenfassend:
σ̂(µt ; q; ϑ)
=
τ̂(µt ; ρ)
=
, κ0)2 σ̃ˆ ((1 , κ0)2 µt q (1 , κ0)ϑ)
p
2ˆ
2
(1 , κ0 ) τ̃
((1 , κ0 ) µt
1 , κ0 ρ)
(1
;
;
;
;
:
Das bedeutet insgesamt folgendes: Die Wirkungsquerschnitte werden bei den um den Faktor (1 , κ0 )2 verkleinerten Argumenten betrachtet. Da sie monoton in µt fallen, zieht das eine Erhöhung von σ und τ über einen weiten
Bereich von Verstärkungsfaktoren nach sich. Für kleine µt aber verläuft σ nahezu konstant, d.h. dort hat die zusätzliche Flächenmasse praktisch keinen Einfluß. Der Übergang zum dimensionierten Wirkungsquerschnitt bringt eine
Selbstkonsistenz
35
Abbildung 9: Wirkungsquerschnitt aus der Testverteilung“; ε = 1; q = 10
”
Verringerung um den Faktor (1 , κ0)2 mit sich. Da σ asymptotisch wie µt,2 abfällt, bleibt für große µt eine Vergrößerung des Wirkungsquerschnitts um (1 , κ0 )2 übrig. Im Bereich kleiner µt allerdings wird σ dadurch verkleinert. Die
Einführung einer konstanten Flächenmasse bewirkt also letztlich, daß hohe Verstärkungsfaktoren bei Quasarpaaren
nicht nur häufiger auftreten, sondern auch gegenüber niedrigen begünstigt sind. Der Wirkungsquerschnitt für Einzelbilder τ fällt in seinem gesamten Definitionsbereich ebenfalls etwa wie µt,2 ab. Auch er wird also in seiner dimensionsbehafteten Form um den Faktor (1 , κ0),2 vergrößert.
6 Globale Abbildungswahrscheinlichkeiten
6.1 Selbstkonsistente Wahrscheinlichkeiten
Die Berechnung der Wirkungsquerschnitte bildete den ersten Schritt auf dem Weg zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, mit der eine Quelle bei vorgegebener Rotverschiebung auf vorgegebene Weise durch Gravitationslinsen abgebildet wird. Der Grundgedanke für den nächsten Schritt ist der folgende: Die Wirkungsquerschnitte aller Galaxien,
die sich zwischen dem Beobachter und der Sphäre befinden, deren Radius durch die Rotverschiebung der Quelle parametrisiert wird, werden an diese Sphäre projiziert. Der solcherart überdeckte Bruchteil der Gesamtfläche der Sphäre
gibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter den Voraussetzungen, daß die projizierten Wirkungsquerschnitte nicht
oder nur in vernachlässigbarem Maß überlappen und daß die Positionen der Quellen unabhängig von den Positionen
der Linsen sind. Dieser Gedanke soll nun zunächst ausgeführt werden.
Auch die Entfernungen der Linsen-Galaxien werden durch ihre Rotverschiebung parametrisiert. Eine Schicht der
Dicke dz bei einer Rotverschiebung von z hat das Volumen
dV = 4πD20 (z)
dr prop
dz;
dz
(44)
worin dr prop das radiale, physikalische Wegelement ist. Die Fläche der Sphäre ist wie im euklidischen Raum durch
Spezialisierung
36
4πD20 gegeben, weil die Winkeldurchmesserdistanz entsprechend definiert wurde. Da es sich hier um eine globale
Eigenschaft der Linsen- oder der Quellensphäre handelt, muß die im Friedmann-Lemaı̂tre-Modell gerechnete Distanz
verwendet werden; daher der Index ‘0’ an D.
Wenn sich die mitbewegte Anzahldichte der Galaxien nicht mehr entwickelt, wenn also die Galaxien erhalten
bleiben, gilt für ihre Anzahldichte:
n(z) = n0 (1 + z)3;
worin n0 ihre mitbewegte heutige“ Anzahldichte ist.
”
Seien die Galaxien nun durch eine Menge von Parametern χ klassifiziert. Der Wirkungsquerschnitt jeder Galaxie
für eine bestimmte Bildeigenschaft E kann auch von χ abhängen; dann z.B., wenn der Radius der Galaxie in ihn
eingeht. Darüber hinaus enthält auch die Längenskala ζ0 in der Quellenebene Angaben über die Galaxie. Demnach
überdecken die Wirkungsquerschnitte der Galaxien zwischen z und z + dz eine Fläche von
Z
dA = (1 + z)3 dV dχ n0 (χ)ζ20 (χ)σ(E ; χ)
in der Quellenebene. Integriert man nun dA über alle Rotverschiebungen zwischen Beobachter und Quelle und dividiert das Ergebnis durch die Gesamtfläche der Quellensphäre, erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit als:
P(E ; zq ) =
1
H0 D20 (zq )
2
Z
zq
0
1+z
6
dz 4D20 (z) p
1 + Ωz
Z
3
7
dχ n0 (χ)ζ20 (χ)σ(E ; χ)5 :
(45)
D(χ)
Dabei wurde für dV der Wert aus (44) eingetragen; ferner ging (2) aus 1.1.2 ein. D(χ) sei der Definitionsbereich von
χ.
6.2 Spezialisierung des allgemeinen Ergebnisses
Die Längenskala der Quellenebene für isotherme Sphären ist nach (16) aus 2.4.2:
ζ0 =
Dq
η0 = 4πDlq v2 :
Dl
Die Geschwindigkeitsdispersion ist vorerst der einzige Parameter der isothermen Sphäre. Er hängt über die FaberJackson-Relation mit der Leuchtkraft zusammen:
p
v2 = v2 l :
Den Wert 4πv2 hatten wir bereits unter 5.2.4 mit θ abgekürzt. Damit folgt:
p
ζ0 = Dlq θ l ;
womit ζ0 durch die Leuchtkraft parametrisiert ist.
Die Frage ist nun, innerhalb welchen kosmologischen Modells die Entfernung Dlq zwischen Linsen- und Quellenebene berechnet werden soll. Offenbar liegt unserer Beschreibung die Vorstellung zugrunde, daß sich ein Lichtbündel
weit entfernt von allen Materieklumpen im Kosmos ausbreitet, dann auf eine Gravitationslinse trifft, dort entsprechend verändert wird, um sich anschließend wieder durch homogene Materie fortzupflanzen. Das ist der Rahmen
des Dyer-Roeder-Modells. Wir müssen also für globale Eigenschaften der auftretenden Sphären die Friedmann-Lemaı̂tre-Entfernungen verwenden, für die mit den Gravitationslinsen verknüpften Distanzen aber Dyer-Roeder-Entfernungen.
Ohne auf die Plausibilität dieser Unterscheidung zweier Entfernungsskalen einzugehen ist klar, daß eine selbstkonsistente Beschreibung globaler Abbildungswahrscheinlichkeiten innerhalb des Dyer-Roeder-Modells diese Unterscheidung notwendig macht. Siehe dazu die Arbeit von Ehlers und Schneider [14].
Um die Abhängigkeit von Dlq von z und zq zu verdeutlichen, schreiben wir im folgenden stattdessen D(z; zq ).
Die mitbewegte Anzahldichte wird durch die Leuchtkraftfunktion gegeben, wenn sie durch die Leuchtkraft parametrisiert wird. Dann ist
n0 (χ)dχ = Φ(l )dl ;
Spezialisierung
37
wobei wir für Φ die Schechter-Funktion annehmen. Da auch der Radius durch die Leuchtkraft parametrisiert werden
kann, ist die Beschreibung der Galaxien durch l vollständig möglich. Man erhält also schließlich mit χ = l ; D(χ) =
[0; ∞) aus (45)
P(E ; zq )
=
=
1
H0 D20 (zq )
Nθ2
ψ20 (zq )
Z
Z
dz
0
D20 (z)D2 (z; zq )
zq
dz
0
zq
ψ20 (z)ψ2 (z; zq )
p1 + z
1 + Ωz
p1 + z
1 + Ωz
Z
Z
∞
0
∞
0
h
dl θ lσ(E; l )L Φ l e,l
h
ν
2
dl σ(E; l )l
ν+1
e,l
i
i
;
(46)
dabei haben wir im letzten Schritt D durch die dimensionslose Größe ψ = H0 D ersetzt, die in 1.2.2 eingeführt wurde.
N wurde unter 3.1 definiert. Den z, abhängigen Ausdruck kürzen wir künftig ab:
1+z
ψ20 (z)ψ2 (z; zq ) p
1 + Ωz
=: h(z; zq ):
Wir gehen nun auf zwei verschiedenen Wegen weiter, indem wir für den Wirkungsquerschnitt einmal den für doppelte, einmal den für einfache Abbildung einsetzen.
6.2.1 Wahrscheinlichkeit für doppelte Abbildung
Nach (41) aus 5.2.4 ist der Wirkungsquerschnitt für doppelte Abbildung, Gesamtverstärkung größer als µt , Helligkeitsverhältnis kleiner als q und Winkelabstand größer als ϑ:
Dq ϑ
p
σ̃(µt ; q; ϑ) = σ(µt ; q)H 2 ,
Dlq θ l
!
:
Die Heaviside-Funktion kann umskaliert werden in:
H(l , lmin ) mit lmin :=
Dq ϑ
2Dlq θ
2
(47)
:
Auch hier sind für die Entfernungen Dq und Dlq Dyer-Roeder-Distanzen zu verwenden. Aus (46) wird dann
P(µt ; q; ϑ)
=
=
Nθ2
σ(µt ; q)
ψ20 (zq )
Z
zq
0
dz h(z; zq )
Z
∞
0
h
dl H(l , lmin )l
Nθ2 f (δ; Ω; ϑ; zq )σ(µt ; q):
ν+1
e,l
i
(48)
Dabei haben wir die Funktion
f (δ; Ω; ϑ; zq ) :=
1
2
ψ0 (zq )
Z
0
zq
dz [h(z; zq )Γ(ν + 2; lmin )]
eingeführt. Bei festen kosmologischen Parametern ist sie eine Funktion des Winkelanstands ϑ der Bilder und der
Quellrotverschiebung zq . Γ(a; b) ist die unvollständige Gammafunktion, die sich bei der Integration über l in (48)
ergibt; siehe [1, Kap. 6.5]. Abbildung 10 zeigt f (δ; Ω; ϑ; zq ) für δ = 0:5; Ω = 1:0 und zq 2 f0:5; 1:0; 1:5; 2:0g als
Funktion von ϑ=θ . Für θ = 4πv2 erhält man mit dem Wert v = 220kms,1
θ = 1:400 :
Damit beträgt das Produkt Nθ etwa
Nθ2 = 0:02:
Dieser Wert erbt natürlich die beträchtliche Unsicherheit, mit der auch N behaftet war.
Konstante Flächenmassendichte
38
Abbildung 10: Die Funktion f für vier verschiedene Quellenrotverschiebungen (zq 2 f0:5; 1; 1:5; 2g) in Abhängigkeit
vom Bildabstand; Abszisse: ϑ=θ ; kosmologische Parameter: δ = 0:5; Ω = 1
6.2.2 Wahrscheinlichkeiten für einfache Abbildung
Der Wirkungsquerschnitt dafür, daß eine Galaxie ein einzelnes Bild einer Quelle mit einer Verstärkung von mehr als
µt erzeugt, ist nach (43) aus 5.2.6:
τ(µt ; ρ) = 2π
Z ρ,1
Z
ydy
1
∞
µt
dµ p(µ; 1 + y):
Der Parameter ρ enthält die Rotverschiebungen von Linse und Quelle. Durch Einsetzen in (46) erhält man:
P(µt ; zq ) = Nθ2 g(δ; Ω; µt ; zq ; ρ);
wenn man die Funktion g definiert als
g(δ; Ω; µt ; zq ; ρ) :=
2πΓ(ν + 2)
ψ20 (zq )
Z
0
zq
dz [h(z; zq )τ(µt ; ρ)] :
(49)
Die vollständige Gammafunktion ergibt sich durch Integration über die Leuchtkraft, weil τ wegen der Wahl γ = 1=2
in (42) aus 5.2.6 nicht mehr von l abhängt.
6.3 Berücksichtigung konstanter Flächenmassendichten
Mit Hilfe der Skalierungseigenschaften, die unter 2.4.3 beschrieben und unter 5.3 auf die benötigten Wirkungsquerschnitte angewandt wurden, lassen sich die Ergebnisse (48) und (49) leicht auf den Fall verallgemeinern, in dem die
Linsengalaxien in eine konstante Flächenmassendichte eingebettet sind. Dabei muß allerdings berücksichtigt werden, daß eine bestimmte vorgegebene Flächenmassendichte Σ0 wegen der Skalierung (10) auf eine Konvergenz κ0
Quellenstatistik
39
führt, die von der Rotverschiebung z abhängt:
κ0 =
4πGDl Dlq
Σ0 :
Dq
Der wesentliche Effekt davon ist, daß die Wahrscheinlichkeit (48) nicht mehr in zwei Faktoren zerfällt, von denen
der eine nur den Winkelabstand der Bilder, der andere die Gesamtverstärkung und das Helligkeitsverhältnis enthält.
Außerdem wird auch der Parameter lmin , eingeführt in (47), verändert zu
0 = (1 , κ )2 l :
lmin
0 min
Damit wird aus (48):
P(µt ; q; ϑ) =
Nθ2
ψ20 (zq )
Z
zq
0
n
o
0 )
dz h(z; zq )(1 , κ0)2 σ((1 , κ0)2 µt ; q)Γ(ν + 2; lmin
Die Gleichung (49) verändert sich entsprechend zu:
Z
i
2πΓ(ν + 2) zq h
g(δ; Ω; µt ; zq ; ρ) :=
dz h(z; zq )(1 , κ0)2 τ((1 , κ0)2 µt ; ρ) :
2
ψ0 (zq )
0
7 Der Amplification Bias“
”
Der Umstand, daß Gravitationslinsen immer mindestens ein Bild erzeugen, das heller als die ungelinste“ Quelle ist,
”
hat zur Folge, daß eine Population von Linsen im Universum die beobachteten Helligkeiten von Quellen statistisch
verfälscht. Betrachtet man weit entfernte Quellen im Universum, also solche, die mit beträchtlicher Wahrscheinlichkeit durch Gravitationslinsen abgebildet werden, dann werden mehr Quellen heller als eine bestimmte Grenze
erscheinen, als man ohne Gravitationslinsen erwarten sollte. Dieser Effekt heißt amplification bias“. Er soll nun
”
behandelt werden.
7.1 Quellenstatistik
Unsere Behandlung von Wirkungsquerschnitten setzt punktförmige Quellen voraus. Von derart kompakten, zudem
weit entfernten und leuchtkräftigen Quellen werden wir im folgenden als von Quasaren“ sprechen, ohne näher dar”
auf einzugehen, daß es eine Vielzahl von Arten heller extragalaktischer Quellen gibt wie etwa Seyfert-Galaxien oder
BL-Lacertae-Objekte. Wir werden auch nicht auf die Schwierigkeiten eingehen, die mit verläßlichen Quellenzählungen verbunden sind, sondern davon ausgehen, daß eine intrinsische Leuchtkraftfunktion dieser Quellen existiert, die
beobachtbar wäre, wenn es die Linsen nicht gäbe. Sie wird durch Gravitationslinsen verfälscht; wie und in welchem
Ausmaß, ist vorerst unbekannt. Um eine gewisse Freiheit bei der Wahl dieser Funktion zu behalten, werden wir mindestens einen weiteren Parameter einzuführen haben.
7.1.1 Quellenzahlen
Zur Unterscheidung von der Leuchtkraftfunktion Φ der Linsen-Galaxien werden wir die Leuchtkraftfunktion der
Quellen mit Ψ bezeichnen. Sei also
H03 Ψ(zq ; L=L0 )
die mitbewegte Anzahl von Quasaren pro Volumeneinheit mit einer Leuchtkraft größer als L, wobei L0 eine geeignete Referenzleuchtkraft sei. Diese Dichte entwickelt sich kosmologisch; deswegen taucht die Rotverschiebung als
Argument von Ψ auf. Wir werden sie allerdings im folgenden wieder unterdrücken, weil wir uns auf Quellen einer
Rotverschiebung beschränken. In einer Schicht der Dicke dzq bei einer Rotverschiebung von zq befinden sich dann,
wenn man (44), (2) und die Adiabatengleichung (1) aus 1.1.2 zusammenträgt
1 + zq
dn(zq ; L) = 4πψ20 (zq ) p
Ψ(L=L0 )dzq
1 + Ωzq
Quellenstatistik
40
Quellen. Ohne Verstärkung würde man von einer solchen Quelle eine Energieflußdichte von größer als
S0 =
L
4πD2L (zq )
beobachten, worin DL die Leuchtkraftdistanz ist. Sie hängt mit der Winkeldurchmesserdistanz gemäß
DL = (1 + z)2 D
zusammen; siehe 1.2.3. Wird die Quelle um einen Faktor µ verstärkt, beobachtet man demgemäß eine Flußdichte
von mehr als
Lµ
Lµ
S=
=:
:
4π(1 + zq)4 D2 (zq )
ζ(zq )
In einem sogennanten flux-limited sample“, d.h. in einer Menge von Quellen, von denen eine Mindestflußdichte
”
von S beobachtet wurde, befinden sich also pro Raumwinkel
1 + zq
ζ(zq )S
dn(zq ; S) = ψ20 (zq ) p
Ψ
dzq dµ
µ
1 + Ωzq
Quellen mit einer Rotverschiebung aus dem Intervall [zq ; zq + dzq ], die um einen Faktor aus [µ; µ + dµ] verstärkt
wurden. Sei p(µ)dµ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein solcher Verstärkungsfaktor eintritt. Dann ist die Gesamtzahl
von Quellen pro Raumwinkel bei einer Rotverschiebung zq in dem durch S begrenzten sample gleich
Z∞
dn(zq ; S)
ζ(zq )S
= k(zq )
dµ p(µ)Ψ
;
(50)
dzq
µ
1
wobei die Abkürzung
1 + zq
k(zq ) := ψ20 (zq ) p
:
1 + Ωzq
eingeführt wurde. Diese Gleichung bildet die intrinsische Leuchtkraftfunktion Ψ auf die beobachtbare kumulative
Quellenh”aufigkeit ab.
7.1.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Was ist nun p(µ) ? Wir hatten in Kapitel 6 Wahrscheinlichkeiten dafür ausgerechnet, daß eine Quelle bei der Rotverschiebung zq um mehr als µt verstärkt wird, wobei die Bilder der Quelle zusätzliche Eigenschaften E erfüllen
sollten. Der Index ‘t’ am Verstärkungsfaktor kann wegfallen, weil µ in keiner anderen Bedeutung als der einer Gesamtverstärkung mehr auftreten wird. Aus den Wahrscheinlichkeiten erhält man die in (50) erforderlichen Wahrscheinlichkeitsdichten nach
∂
p(µ) = , P(µ; : : : ; zq ):
∂µ
Die drei Punkte kennzeichnen die Parameter, die die Eigenschaft E festlegen. Zum Beispiel ist die Anzahl der Quellen
- bei einer Rotverschiebung von zq ,
- die doppelt abgebildet werden,
- für die das Helligkeitsverhältnis der Bilder kleiner als q,
- der Bildabstand größer als ϑ und
- der Gesamtfluß größer als S ist,
gleich
dn(q; ϑ; S; zq )
dzq
Z
=
=
Siehe dazu (48) aus 6.2.1.
∞
q; ϑ; zq )
ζ(zq )S
,k(zq ) dµ ∂P(µ;∂µ
Ψ
µ
1
Z∞
,k(zq )Nθ2 f (δ; Ω; ϑ; zq ) 1 dµ ∂σ(∂µµ; q) Ψ ζ(zµq )S :
Doppelt abgebildete Quasare
41
7.1.3 Eine Leuchtkraftfunktion
Die Leuchtkraftfunktion wurde bisher nicht festgelegt. Beobachtungen zeigen, daß sie flach für kleine, steil für große
Leuchtkräfte ist, wobei die Trennung zwischen klein“ und groß“ bei etwa der 19.8ten scheinbaren Größenklasse
”
”
im Johnson-B-Bereich liegt; siehe dazu [21]. Wir nennen die zugehörige Leuchtkraft L0 und skalieren ` := L=L0 .
Dann ist bei fester Quellenrotverschiebung die Form eines Potenzgesetzes
Ψ(`) :=
1
λ
ν
` +`
(51)
mit λ < ν eine Wahl, die die Beobachtungen gut beschreibt.13 Die Parameter λ und ν nennen wir im folgenden
Leuchtkraftindices“, um sie bequem ansprechen zu können. Für kleine ` wird Ψ also durch `,λ , für große ` durch `,ν
”
bestimmt. Beobachtungen, die ohne Berücksichtigung von Linseneffekten interpretiert werden, zeigen etwa ν ' 2:6.
7.2 Anteil doppelt abgebildeter Quasare
Unser Ziel ist, den Anteil von Quasaren mit den Bildeigenschaften E an der Gesamtzahl beobachteter Quasare zu
berechnen. Dazu nehmen wir an, daß es außer den Linsen-Galaxien nur glatt verteilte Materie im Universum gibt,
die also nicht als Linse wirken kann. Das bedeutet, daß ein beliebiger Quasar entweder durch eine Galaxie abgebildet
oder überhaupt nicht durch Linsen beeinflußt wird. Wenn er aber abgebildet wird, dann kann das entweder doppelt
oder einfach sein, je nachdem, ob der innere Bereich der Galaxie abbildet oder der äußere Ring. Und schließlich
werden möglicherweise nicht alle Doppelbilder als solche erkannt, weil sie unterhalb der Auflösungsgrenzen des
verwendeten Teleskops liegen.
Entsprechend dieser Aufteilung haben wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten für vier Fälle zu berechnen:
1. dafür, daß der Quasar doppelt abgebildet wird, wobei das Doppelbild die Eigenschaften E erfüllen soll, die
vom Auflösungsvermögen des Teleskops bestimmt sind;
2. dafür, daß der Quasar doppelt abgebildet wird ohne Rücksicht auf die Bildeigenschaften;
3. dafür, daß der Quasar einfach abgebildet wird und schließlich
4. dafür, daß der Quasar nicht gelinst“ wird.
”
Die ersten drei Wahrscheinlichkeiten wurden bereits in 6.2.1 und 6.2.2 bestimmt. Sie lauten:
P1 (µ; q; ϑ; zq )
=
Nθ2 f (δ; Ω; ϑ; zq )σ(µ; q)
P2 (µ; zq )
=
Nθ2 f (δ; Ω; 0; zq )σ(µ; ∞)
P3 (µ; zq )
=
Nθ2 g(δ; Ω; µ; zq ):
P2 ergibt sich, wenn man bedenkt, daß für alle Doppelbilder der Winkelabstand größer als 0 und das Helligkeitsverhältnis kleiner als ∞ ist.
Es bleibt die Wahrscheinlichkeit für den vierten Fall zu bestimmen. Ein Lichtstrahl, der weit entfernt von allen
Galaxien verläuft, wird im Dyer-Roeder-Universum relativ zum Friedmann-Lemaı̂tre-Universum um
1
hµDR i
=
D20
D2
(siehe (8) in 1.2.3) abgeschwächt. Verläuft er nahe bei den Materieklumpen“, wird er im Mittel entsprechend verstärkt.
”
Die mittlere Gesamtverstärkung im Universum relativ zum Friedmann-Lemaı̂tre-Fall muß wegen der Flußerhaltung
gleich eins sein.
Auf der anderen Seite haben wir aber alle bisherigen Verstärkungsfaktoren bezüglich des Dyer-Roeder-Universums berechnet, weil die Wirkung des Mediums zwischen der Quelle und der Linse bzw. zwischen der Linse und
dem Beobachter nicht in Betracht gezogen wurde. Wir normieren deswegen die Verstärkungsfaktoren so, daß ein
13 Es
ist hier nicht nötig, Ψ zu normieren, weil im folgenden nur relative, keine absoluten Zahlen betrachtet werden.
Doppelt abgebildete Quasare
42
Lichtbündel, das sich durch klumpenfreien Raum ausbreitet, die Verstärkung eins erfährt. Das hat zur Folge, daß die
mittlere Gesamtverstärkung gleich hµDR i wird.
Da wir über diese Aussage hinaus nur wissen, daß die Gesamtwahrscheinlichkeit auf eins normiert sein muß,
nehmen wir zur Beschreibung des vierten Falles die singuläre Wahrscheinlichkeitsverteilung
p4 (µ) = p0 δ(µ , µ0)
an. Die darin eingeführten Konstanten p0 und µ0 werden dann durch die Bedingungen
R
(i) 1∞ dµ ∑4j=2 p j (µ) = 1
R
(ii) 1∞ µdµ ∑4j=2 p j (µ) = hµDR i
bestimmt. Dabei ist
p j (µ) = ,
∂Pj (µ)
∂µ
für j 2 f2; 3g. Die anderen Argumente von Pj sind hier nicht von Bedeutung und werden weggelassen.
Wegen
Z∞
∂Pj
dµ ,
= P j (1 )
∂µ
1
erhält man für den Koeffizienten der δ, Distribution14:
3
p0 = 1 , ∑ Pj (1):
j =2
Nun ist aber der Wirkungsquerschnitt σ(µ = 1; q = ∞) = π; demnach wird
P2 (1) = πNθ2 f (δ; Ω; 0; zq );
außerdem ist
P3 (1) = Nθ2 g(δ; Ω; 1; zq ):
Damit folgt:
p0 = 1 , Nθ2[π f (δ; Ω; 0; zq ) + g(δ; Ω; 1; zq )]:
Für den Ort der Singularität erhält man mit
Z
∞
1
j
, ∂P
∂µ
µdµ
Z
= P j (1 ) +
1
∞
dµ Pj (µ)
den Ausdruck
p0 µ0
=
hµDR i, Nθ2 f (δ; Ω; 0; zq ) π +
Z
1
∞
dµ σ(µ; ∞)
+ g(δ; Ω; 1; zq ) +
Z
1
∞
dµ g(δ; Ω; µ; zq )
;
(52)
der durch numerische Integration ausgewertet werden muß. Mit den Wahrscheinlichkeiten Pj läßt sich der jeweilige
Anteil an Quellen mit gegebener Rotverschiebung zq nach (50) berechnen.
Die Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeiten P2 und P3 durch die Funktionen f ; g und σ ausdrücken zu können,
fällt weg, wenn zusätzlich eine konstante Flächenmassendichte angenommen wird (vgl. dazu 6.3). Die beiden Gleichungen (i) und (ii) bleiben aber natürlich auch dann gültig und damit das Prinzip der eben ausgeführten Rechnung.
14 Dieser Koeffizient zeigt an, wie verläßlich die Annahme war, daß die Wirkungsquerschnitte sich nicht überlappen: Er liegt für alle verwendeten Galaxienradien R zwischen 0.5 und 1.
Abschätzungen
43
Der Anteil an doppelt abgebildeten Quasaren mit den gewünschten Bildeigenschaften E an allen beobachteten
Quasaren mit einer Rotverschiebung von zq ist schliesslich
F (s; E ; zq )
dn1 (s;zq )
dzq
dn j (s;zq )
4
∑ j=2 dzq
=
R∞
dµ p1 (µ)Ψ µs
:
R∞
∑4j=2 1 dµ p j (µ)Ψ µs
1
=
(53)
Der Einfachheit halber haben wir hier den Fluß S durch die dimensionslose Größe
s :=
ζS
L0
ersetzt.
7.3 Einige analytische Abschätzungen
Einige analytische Abschätzungen können nun durchgeführt werden. Wir nehmen, um die Rechnungen zu vereinfachen, eine Leuchtkraftfunktion der Form
(
,λ für
,ν für
`
`
Ψ(`) =
`
1
`>
(54)
1
an, die qualitativ dieselben Eigenschaften wie die oben gegebene hat, und betrachten zunächst den Einfluß glatter
Galaxien auf die Zählungen der mit den Eigenschaften E abgebildeten Quasare. Das Integral
Z∞
s
dµ p(µ)Ψ
=: I
µ
1
kann leicht berechnet werden, wenn man für p(µ) den Ausdruck
p(µ)
=
=
,Nθ2 f (δ Ω; ϑ zq ) ∂σ(∂µµ q)
;
C
(
;
;
1
für
µ 2 qq+
,1
sonst.
0
1
µ3
=: a
;
(55)
wobei C abkürzend für 8πNθ2 f (δ; Ω; ϑ; zq ) geschrieben wurde. Das Integral I wird dann zu
Z
∞
I=
a
Ist s < a, folgt
I< =
während sich für s > a ergibt:
I> =
C
s2
C
s
dµ 3 Ψ
µ
µ
:
Caλ,2 1
;
λ , 2 sλ
ν,2
, 1 , sCν νa , 2
ν,2 λ,2
1
:
Bei der Auswertung des Integrals mußte λ < 2 und ν 6= 2 vorausgesetzt werden. Für die hier durchgeführte Abschätzung bedeutet dies aber keine nennenswerte Einschränkung.
1
Das Ergebnis sagt aus, daß für hinreichend kleine s, genauer für s < a = 2 qq+
,1 , die Steigung der Leuchtkraftfunktion unverändert bleibt. Für ν < 2 geht die beobachtete Leuchtkraftfunktion im Grenzfall s ! ∞ asymptotisch
Abschätzungen
44
gegen s,ν , während sie für ν > 2 asymptotisch unabhängig von ν wird und den Leuchtkraftindex ,2 annimmt. Das
bedeutet, daß der amplification bias“ von umso größerer Bedeutung wird, je steiler das steile Ende der intrinsischen
”
Leuchtkraftfunktion ist.
Auch im Anschluß an (53) lassen sich einige analytische Abschätzungen durchführen.
zu `,1 ist, ist F konstant in s, weil dann sowohl Zähler als auch
Zunächst gilt offenbar: Wenn Ψ(`) proportional
R
Nenner von F lediglich Integrale der Form µdµ p(µ) darstellen:
F (s; E ; zq ) =
Z
wobei der Zähler Z durch
∞
Z :=
1
Z
hµDR i
µdµ p1 (µ) = 4πNθ2 f (δ; Ω; ϑ; zq )
q,1
:
q+1
gegeben ist.
Um den Verlauf von F mit s abschätzen zu können, wählen wir wieder die einfache Leuchtkraftfunktion (54) und
nehmen ε = 0 an. Für den Zähler von F hatten wir bereits einen Ausdruck der Form
(
A1
sλ
A2
A3
+
sν
s2
für
sa
sonst.
erhalten, wobei die Ai , ebenso wie die noch einzuführenden Bi ; Ci ; Di , Konstanten in s sind. Nun zum Nenner. Der
erste Summand (j=2) gibt (wegen q = ∞ ist a = 2) einen Verlauf der Form
(
B1
sλ
B3
B2
sν + s2
für
s2
sonst.
Der dritte Summand verschiebt die Leuchtkraftfunktion lediglich zu höheren Leuchtkräften hin; er verhält sich also
wie
(
C1
für
s µ0
sλ
C2
sonst,
sν
wobei µ0 von der Größenordnung 1 ist.
Beim zweiten Summanden schließlich muß man bedenken, daß Verstärkungsfaktoren größer als 2 vom äußeren Ring einer glatten Galaxie nicht hervorgerufen werden können. p3 (µ) verschwindet also nur im Intervall [1; 2]
nicht. Innerhalb dieses Intervalls ist numerischen Ergebnissen zufolge p3 (µ) annähernd proportional zu µ,1 . Die
Abhängigkeit des dritten Summanden von s kann demnach in der Form
8
>
<
>
:
D1
sλ
D
D2
+ sν3 + D4
λ
s
D5
sν
für
s1
für s 2 [1; 2]
sonst
dargestellt werden. Insgesamt ergibt sich dann für F:
F (s; zq ) '
8
const.
>
>
>
>
>
>
sν,λ
>
>
>
< b sν,λ + c sν + d
1
1
1
sν,λ
>
>
>
>
b2 sν,2 + c2
>
>
>
>
sν,2 + b3
>
:
c3 sν,2 + d3
für
s<1
für
s 2 [1; 2)
für
s 2 [2; a)
für s 2 [a; ∞)
Dabei sind auch die bi ; ci und di Konstanten in s. Abbildung 11 stellt diesen abgeschätzten Verlauf für ν = 3; λ = 1
dar.
Interpretation
45
Es lassen sich auch Zahlenwerte angeben. Wählt man q = 10, also a =
die Leuchtkraftindices λ = 1 und ν = 4, erhält man:
Z
hµDR i '
A3 '
B3 '
22
9 , ferner zq = 2; δ = 0:5 und Ω = 1 sowie
0:0008
0:0039
0:0169
(56)
Damit ist sowohl der konstante Wert bekannt, den F für kleine s annimmt, nämlich etwa 0.0008, als auch der Wert,
gegen den F für große s gehen wird. Für große s dominieren nämlich die proportional zu s,2 abfallenden Terme im
Zähler und im Nenner von F, so daß F dann den Wert A3 =B3 ' 0:23 annimmt. Zahlenwerte für den Verlauf von F
zwischen sehr kleinen und sehr großen Mindestflüssen sind nicht mehr auf der Basis dieser einfachen Rechnungen
angebbar.
Abbildung 11: abgeschätzter schematischer Verlauf des Anteils doppelt abgebildeter und aufgelöster Quasare an allen
beobachteten Quasaren als Funktion des Mindestflusses s; die Abszisse ist in relativen Größenklassen skaliert
7.4 Interpretation
Für kleine Flüsse ist F konstant. Das liegt daran, daß die Wirkung der Linsen nur darin besteht, solche Quellen über
die untere Grenze des Flusses zu heben, die sonst zu schwach wären, um beobachtet zu werden. Im Bereich kleiner
Flüsse stammen alle diese Quellen vom flachen Ende der intrinsischen Leuchtkraftfunktion, so daß der Funktionsverlauf dadurch nicht geändert wird. Die Abhängigkeit der Anzahl der doppelt abgebildeten Quellen vom Fluß ist
also dieselbe wie für nicht abgebildete Quellen.
Die Situation ändert sich, wenn die Flußgrenze auf über eins erhöht wird. Dann transportieren die Linsen schwache Quellen vom flachen Ende der Leuchtkraftfunktion über den Knick der Funktion in den Bereich der steil abnehmenden intrinsischen Quellenzahlen hinein. Die Anzahl der nicht abgebildeten Quellen fällt also rascher ab als
Anteil doppelt abgebildeter Quasare
46
die der abgebildeten, weshalb die durch Linsen beeinflußten Quasare zunehmend dominieren. Auch für noch größere Flüsse bleiben die abgebildeten Quellen dominant, weil für ν > 2 die Anzahl der doppelt abgebildeten Quasare
weniger stark abfällt als die für nicht oder einfach abgebildete. Für besonders hohe Flüsse dominiert schließlich die
Anzahl der doppelt abgebildeten Quellen völlig, weil die Zahl der nicht oder einfach abgebildeten Quellen ihr gegenüber vernachlässigbar klein wird. F strebt dann einem Sättigungswert zu, der nur noch bestimmt ist durch das
Verhältnis der Anzahl der Doppelbilder mit der Eigenschaft E relativ zu derjenigen aller Doppelbilder.
8 Interpretation der Ergebnisse
8.1 Anteil doppelt abgebildeter Quasare
8.1.1 Vorbemerkung, Wahl der Parameter
Die am Ende des vorigen Kapitels durchgeführten analytischen Abschätzungen geben einen ersten Eindruck von
dem qualitativen Verlauf des Anteils geeignet abgebildeter Quasare an allen beobachteten Quasaren in Abhängigkeit
vom empfangenen Mindestfluß. Hier soll nun untersucht werden, wie die durch Gleichung (53) bestimmte Größe
F (s; E ; zq ) von den gewünschten Bildeigenschaften E, von den Eigenschaften der abbildenden Galaxien und von der
intrinsischen Leuchtkraftfunktion der Quellen abhängt.
Das kosmologische Modell wird mit den Parametern δ = 0:5; Ω = 1:0 fixiert; für die Hubblekonstante nehmen
wir, wie bisher immer, H0 = 50kms,1 Mpc,1 an.
Die Rotverschiebung der Quellen wurde auf zq = 2 festgelegt. Zur Beschreibung der Quellenzählungen wählen
wir die abgerundete Leuchtkraftfunktion (51) mit dem Leuchtkraftindex λ = 1 und variierendem ν 2 f2; 3; 4g um
darzustellen, welche Bedeutung die Steilheit der intrinsischen Leuchtkraftfunktion auf das Beobachtungsergebnis
hat.
Als Parameter für die abbildenden Galaxien bleiben Radius und Klumpigkeit. Wir stellen hier die Ergebnisse für
die Radien R 2 f20; 30; 40gkpc sowie für die Klumpigkeitsparameter ε 2 f0; 0:5; 1g dar.
Der Mindestwinkelabstand wurde auf ϑ = θ ' 1:400 festgesetzt. Verändert man ihn, tritt keine qualitative Änderung der Ergebnisse auf, weil sich dadurch nur der in (48) eingeführte Vorfaktor f (δ; Ω; ϑ; zq ) ändert. Wir haben ϑ
daher nicht variiert. Das maximale Helligkeitsverhältnis der Bilder erhält den Wert 10, entsprechend einer Helligkeitsdifferenz von 2.5 Größenklassen.
Es ergeben sich also neun Diagramme, wenn man die drei Kurven für die verschiedenen Leuchtkraftindices ν in
je einem Diagramm zusammenfaßt und von Diagramm zu Diagramm einen der Parameter ε und R verändert. Die
je drei Diagramme für konstantes ε, aber variierendes R sind auf je einer Seite zusammengestellt.
Die Achsenskalen der Diagramme sind einfach-logarithmisch in folgendem Sinn: Die Ordinate ist linear, die Abszisse stellt den Mindestfluß logarithmisch dar. Das entspricht einer Skalierung in Größenklassen. Nachdem wir den
Fluß so skaliert hatten, daß von einer nicht durch Gravitationslinsen beeinflußten Quelle der Leuchtkraft L0 gerade
der Fluß 1 beobachtet wird, geben wir relative Größenklassen an, deren Nullpunkt der Leuchtkraft L0 und damit der
scheinbaren B-Helligkeit +19:8 entspricht. Da die Größenklassen mit zunehmender Helligkeit abnehmen, nimmt in
den Diagrammen der Mindestfluß von rechts nach links zu. Die Diagramme wurden in den Anhang B aufgenommen.
8.1.2 Interpretation des Kurvenverlaufs
Für vollkommen glatte Galaxien nehmen die Kurven eine Form an, die qualitativ dem abgeschätzten Verlauf in Abbildung 11 nahekommt. Der entscheidende Unterschied, daß nämlich die Knicke aus Abbildung 11 geglättet werden,
rührt daher, daß die kantige“ Leuchtkraftfunktion (54) durch die abgerundete“ (51) ersetzt wurde. Darüber hinaus
”
”
zeigen sich dieselben Merkmale wie die, die unter 7.4 diskutiert wurden: konstanter Verlauf für kleine, rascher Anstieg auf einen Sättigungswert für große Mindestflüsse. Jetzt zeigt sich deutlich der Einfluß der Steilheit der intrinsischen Leuchtkraftfunktion: Je steiler die Leuchtkraftfunktion ist, desto schneller wird der Sättigungswert erreicht.
Das liegt daran, daß bei zunehmendem Leuchtkraftindex ν > 2 und steigendem Mindestfluß die nicht doppelt abgebildeten Quasare zunehmend schnell von den doppelt abgebildeten dominiert werden, die ja aufgrund ihrer größeren
Verstärkung vom flachen Ende der Leuchtkraftfunktion weiter über den Steilabfall“ hinaus transportiert werden.
”
Offenbar ist im Fall ε = 0 das Ergebnis völlig unempfindlich gegen Veränderungen des Galaxienradius’ R . Der
Grund dafür ist, daß die äußeren Bereiche einer vollständig glatten Galaxie maximal um den Faktor 2 verstärken
können. Wenn die Galaxie einen Mindestradius überschritten hat, der dem skalierten Radius r = 2 entspricht, trägt
Anteil doppelt abgebildeter Quasare
47
jede weitere Vergrößerung des Radius’ nur Verstärkungsfaktoren von der Größenordnung eins bei, die keinen Einfluß
mehr auf das Beobachtungsergebnis haben.
Was geschieht nun, wenn die Galaxien klumpiger“ werden? Zunächst fällt auf, daß F bei festem q und festem
”
ε 6= 0 mit wachsendem Galaxienradius abnimmt. Das hat folgenden Grund: Während der äußere Ring glatter Galaxien wie bereits erwähnt nur unwesentlich verstärken kann, ist es bei Anwesenheit von Mikrolinsen möglich, auch ein
stark verstärktes Einzelbild zu erzeugen. Damit wächst mit dem Galaxienradius die Anzahl überhaupt beobachteter
Quasare erheblich, während die Zahl aufgelöster Quasarpaare unbeeinflußt bleibt. Völlig analog läßt sich verstehen,
daß auch bei festem q und R mit zunehmender Klumpigkeit der Anteil aufgelöster Quasarpaare kleiner wird. Die
Wahrscheinlichkeitsverteilung für Verstärkungsfaktoren wird mit steigendem ε breiter; damit nimmt die Wahrscheinlichkeit zu, daß die äußeren Bereiche der Galaxie ein stark verstärktes Bild erzeugen.
Folgender Effekt sei noch erwähnt: Im Falle ε = 0 gehört zu jedem Gesamtverstärkungsfaktor ein exakt definiertes Helligkeitsverhältnis der Bilder. Insbesondere treten hohe Verstärkungen nur auf, wenn die Quelle dicht am
Kaustikpunkt steht. Dann entstehen aber zwei Bilder mit sehr geringem Helligkeitsverhältnis nahe der kritischen Linie. Wird ε größer, verbreitern sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Verstärkungsfaktoren und flachen
ab. Nach wie vor treten große mittlere Gesamtverstärkungen nur für Quellen nahe ~y = 0 auf; die möglichen Helligkeitsverhältnisse werden aber über ein Intervall verteilt, dessen Breite mit der Klumpigkeit wächst. Das bedeutet,
daß Doppelbilder mit großem Helligkeitsverhältnissen relativ zu solchen mit kleinen Helligkeitsverhältnissen wahrscheinlicher werden, wenn die Klumpigkeit der Galaxien wächst.
Quellen, die etwas weiter vom Kaustikpunkt entfernt stehen, erzeugen Doppelbilder mit geringerer mittlerer Gesamtverstärkung. Hohe Gesamtverstärkungen treten dann bevorzugt bei Doppelbildern mit großem Helligkeitsverhältnis auf. Beschränkt man also das Helligkeitsverhältnis nach oben, wie es der endlichen dynamischen Auflösung eines Teleskops entspricht, und verlangt eine bestimmte minimale Gesamtverstärkung, wird der Anteil entsprechend
abgebildeter Quasare mit wachsender Klumpigkeit abnehmen, auch wenn die Galaxien zu klein sind, um eine nennenswerte Anzahl heller Einzelbilder zu erzeugen. Unsere Kurven deuten diesen Effekt an, da auch für den kleinsten
Galaxienradius R = 20kpc der Anteil F für große Mindestflüsse s mit der Klumpigkeit ε abnimmt.
8.1.3 Veränderungen im mittleren Helligkeitsverhältnis
Um die Frage zu untersuchen, welchen Einfluß die Anwesenheit von Mikrolinsen auf das mittlere beobachtete Helligkeitsverhältnis der Bilder hat, berechnen wir den Anteil solcher Quasare an allen beobachteten Quasaren, deren
Bilder ein Helligkeitsverhältnis zwischen q = 10 und q = 100 haben. Wie verändert sich dieser Anteil, abgekürzt
∆F, mit der Klumpigkeit ε ?
Aufschluß geben die Bilder in Anhang B.2, bei denen in je einem Diagramm die drei Kurven für zunehmend steile Leuchtkraftfunktionen, aber konstantes ε zusammengefaßt wurden. Für den Radius R wurde 30 kpc gewählt. In
allen drei Bildern verlaufen die Kurven im Bereich kleiner Mindestflüsse auf demselben konstanten Wert. Das wird
unmittelbar aus dem oben diskutierten Verlauf des Anteils F klar. Während jedoch die Kurven für ν 6= 2 und ε = 0
im Bereich hoher Mindestflüsse auf Null absinken, bleiben sie für ε 6= 0 bei endlichen Werten, die wesentlich höher
liegen als die Maxima der Kurven für ε = 0. Das läßt bereits den Schluß zu, daß Mikrolinsen die Häufigkeit von
Quasarbildern mit großem Helligkeitsverhältnis deutlich erhöhen, daß also das mittlere Helligkeitsverhältnis heller
Quasarbilder in Anwesenheit von Mikrolinsen zunimmt. Qualitativ läßt sich dieser Effekt so verstehen: Glatte Galaxien können nur von solchen Quellen Bilder stark unterschiedlicher Helligkeit erzeugen, die sehr dicht an der Linie
y = 1 stehen. Der Wirkungsquerschnitt dafür ist also sehr klein. Zudem ist die Gesamtverstärkung solcher Bilder nur
unwesentlich größer als zwei. Da die meisten hellen Quasare aber wegen des steilen Abfalls der Leuchtkraftfunktion
auch stark verstärkt sein müssen, können glatte Galaxien keine Bilder mit großer Gesamt- und stark verschiedener
Helligkeit erzeugen. Außerdem ist auch die Anzahl von unterschiedlich hellen, um etwa einen Faktor zwei verstärkten Bildern sehr klein.
Klumpige Galaxien dagegen können – wegen der endlichen Breite der Verteilungsfunktion für Verstärkungsfaktoren – prinzipiell von allen Quellen mit y < 1 helle Doppelbilder mit großem Helligkeitsverhältnis erzeugen. Deswegen ist deren Anzahl für ε 6= 0 ungleich Null. Auch, daß ihr Anteil für steile Leuchtkraftfunktionen ein Maximum
ausbildet, läßt sich verstehen: Bereits unter 8.1.2 wurde besprochen, daß sehr stark verstärkte Quasarbilder im Mittel
auch ein hohes Helligkeitsverhältnis haben müssen, wenn ε 6= 0 ist. Das heißt, daß mit zunehmendem Mindestfluß der
Quasare, also mit zunehmender Gesamtverstärkung, der Anteil der Quasarbilder mit q 2 [10; 100] wieder abnehmen
muß, weil eine wachsende Zahl von Bildern wegen zu großen Helligkeitsverhältnisses aus dem Beobachtungsbereich
fällt.
Konstante Flächenmassendichte
48
Mit wachsender Klumpigkeit der Galaxien wird der Anteil stark verstärkter Einzelbilder größer. Der Anteil von
Doppelbildern mit q 2 [10; 100] nimmt dann ab, wodurch verständlich wird, warum die Kurven für ε = 0:5 höher als
die für ε = 1 liegen.
8.2 Auswirkungen einer konstanten Flächenmassendichte
Werden die Linsen in eine konstante Flächenmassendichte eingebettet, wie sie der Anwesenheit von intergalaktischer
Materie entspricht, ändert sich der Anteil aufgelöster Quasarpaare. Wie unter 2.4.3 erläutert, vergrößert sich dadurch
der maximale Bildabstand ebenso wie die Gesamtverstärkung. In 5.3 war ergänzt worden, daß der zugehörige Wirkungsquerschnitt entsprechend wächst. Es ist also zu erwarten, daß eine konstante Flächenmassendichte den Anteil
beobachteter Quasarpaare anhebt. In welchem Ausmaß das geschieht, wird im folgenden untersucht.
Wir legen dazu den Galaxienradius R auf 40 kpc fest, variieren die Klumpigkeit zwischen 0,0.5 und 1, setzen
als maximales Helligkeitsverhältnis q = 10 ein und beschränken den Bildabstand auf Werte ϑ größer als θ . Für den
Leuchtkraftindex ν wählen wir 4, für λ = 1, um die maximale Auswirkung zu demonstrieren.
Die Konvergenz κ0 , die zu der zusätzlichen Flächenmassendichte Σ0 gehört, wird folgendermaßen bestimmt: Wie
erwähnt (siehe 6.3), hängt κ0 von der Rotverschiebung in der Weise
κ0 =
ab. Wir schreiben das um in
κ0 =
4πGDl Dlq
Σ0
Dq
4πG H0 Dl Dlq
Σ0
H0
Dq
=: κ
0 H0 Dl Dlq :
Dq
Diese Schreibweise hat den Vorteil, daß der entfernungsabhängige Faktor ebenso wie die Flächenmassendichte dimensionslos werden. Wir wählen κ0 2 f0:0; 0:1; ; 0:5g, was mit H0 = 50kms,1 Mpc,1 Flächenmassendichten von
Σ0 2 f0:0; 2:8; ; 13:8g 107M kpc,2 bedeutet. Wir berechnen dann für jeden Wert von ε die fünf Quotienten aus
den Anteilen aufgelöster Quasarpaare mit und ohne Flächenmassendichte, fassen die sich ergebenden fünf Kurven
in je einem Diagramm zusammen und stellen die drei Diagramme auf einer Seite in Anhang B zusammen.
Die Abszisse ist der Mindestfluß in der gewohnten Skalierung in Größenklassen; die Ordinate ist linear und gibt
an, um wieviel Prozent der beobachtete Anteil von Quasarpaaren mit höher als derjenige ohne Flächenmassendichte
ist.
Unabhängig von ε liegt das Niveau der Kurven umso höher, je größer die Flächenmassendichte ist. Das entspricht
den Erwartungen, denn umso mehr Quasare werden wegen des zunehmenden Wirkungsquerschnitts doppelt abgebildet. Für kleine Flüsse ist der Einfluß konstant und von der Klumpigkeit der Galaxien unabhängig. Die Maxima
in den Kurven zeigen an, daß der Anstieg im Anteil aufgelöster Quasarpaare mit steigender Flächenmassendichte
steiler wird, was der Diskussion aus 5.3 zufolge zu erwarten war. Der anschließende Anstieg der Kurven für zunehmende Mindestflüsse der Quasare deutet zudem darauf hin, daß der Einfluß der zusätzlichen Flächenmassendichte
umso größer wird, je stärker die betrachteten Quasare verstärkt sein müssen. Auch das entspricht den Erwartungen
aus 5.3, denn dort war erläutert worden, daß hohe Verstärkungsfaktoren gegenüber geringen wahrscheinlicher werden.
Die Ergebnisse zeigen, daß der Anteil geeignet abgebildeter Quasare durch eine zusätzliche Flächenmassendichte
innerhalb sehr weiter Grenzen beeinflußt werden kann. Mit den gewählten Werten für κ0 bleiben wir aber im linearen
Bereich, in dem die betrachteten Quotienten annähernd proportional zu κ0 sind – erkennbar an dem parallelen Verlauf
der Kurven. Nichtlineare Effekte, wie sie bei höheren Flächenmassendichten zu erwarten sind, berücksichtigen wir
hier also nicht. Die Existenz der luminous arcs“ (vgl. [26]) deutet aber darauf hin, daß Nichtlinearität in manchen
”
Situationen durchaus wichtig werden kann.
8.3 Zusätzliche Forderungen
Bei der Beantwortung der Frage, ob es sich bei einem beobachteten Quasarpaar tatsächlich um ein Objekt handelt, das
durch Gravitationslinsen abgebildet wurde, dient als wichtiges Argument, ob man die Linse sehen kann oder nicht.
Wir gehen deswegen hier der Frage nach, unter welchen Bedingungen die Vordergrundgalaxie beobachtet werden
kann.
Zusätzliche Forderungen
49
8.3.1 Bedeutung der Helligkeit der Linse
Läßt man zunächst außer acht, daß die Linse u.U. von den abgebildeten Quasaren überstrahlt und deswegen der Beobachtung entzogen wird, bleibt als einzige Beschränkung, daß sie hell genug sein muß, um die untere Empfindlichkeitsschwelle des Teleskops zu übersteigen. Es gibt eine scheinbare Grenzgröße m0 , die der Beobachtung gerade
noch zugänglich ist. Ist DL die Leuchtkraftdistanz zur Linse, ∆ die Einheitsentfernung 10 pc und M die absolute
Helligkeit der Sonne, erhält man als minimale Leuchtkraft
L0 =
DL
∆
2
100 4 M
:
(
,m0 ) L :
Es ist also
L0
(1 + z)4 D2 (z)L
=
100:4(M,m0 ) :
L
∆2 L
Diesen Wert muß die skalierte Leuchtkraft der Galaxien übersteigen, wenn sie beobachtet werden sollen. Das bedeutet lediglich eine Änderung der Funktion f , die in (48) eingeführt wurde. Sie geht über in
Z zq
H02
dz [h(z; zq )Γ(ν + 2; l )] ;
f 0 (δ; Ω; ϑ; zq ) =
D20 (zq ) 0
l0 =
l
:= max(lmin ; l0 ):
Darin ist ausgedrückt, daß die Leuchtkraft der Linsen groß genug sein muß, um sowohl die gewünschte Bildaufspal-
Abbildung 12: die Funktion f 0 für zq
Grenzgrößen
=
2; δ = 0:5; Ω = 1 in Abhängigkeit von ϑ=θ für 6 verschiedene scheinbare
tung als auch die nötige scheinbare Helligkeit zu erreichen. In Abbildung (12) ist f 0 für zq = 2; δ = 0:5 und Ω = 1
als Funktion von ϑ=θ dargestellt. Die sechs Kurven sind für die scheinbaren Grenzgrößen m0 2 f20; 21; :::; 25g gerechnet. Ihre Form läßt sich so verstehen: Ist ϑ klein, reicht bereits eine kleine Leuchtkraft der Linsen aus, um eine
Zusätzliche Forderungen
50
derartige Bildaufspaltung zu erreichen. Die dann entscheidende, von ϑ unabhängige Bedingung ist, daß die Galaxie
hell genug sein soll, um gesehen zu werden. Deshalb geht f 0 für kleine ϑ gegen einen konstanten Wert, der umso kleiner ist, je kleiner die Grenzgröße ist. Für große ϑ spielt die Sichtbarkeitsbedingung keine Rolle mehr, weil Galaxien,
die entsprechend stark aufspalten, in jedem Fall beobachtet werden können. f 0 nähert sich dann asymptotisch an f
aus Abbildung (10) an. Der Anteil aufgelöster Quasare F verringert sich, wenn im Vordergrund die verantwortliche
Linse zu sehen sein soll, um den Faktor f 0 = f . In Abbildung (13) wurde dieser Faktor für die sechs oben erwähnten
Grenzgrößenklassen dargestellt. Man sieht daran besonders deutlich, daß für große Mindestabstände der Bilder die
zusätzliche Forderung an die Leuchtkraft bedeutungslos ist. Für geringe Bildaufspaltung hingegen wird der Anteil
der beobachteten Quasarpaare deutlich verringert.
Abbildung 13: der Quotient f 0 = f für dieselben Parameter wie im vorigen Bild
8.3.2 Berücksichtigung möglicher Überstrahlung
Nun soll zusätzlich in Betracht gezogen werden, daß eine Vordergrundgalaxie auch dann nicht mehr beobachtet werden kann, wenn sie zwar hell genug ist, aber von dem abgebildeten Quasar überstrahlt wird. Dann werden die Linsen
überall dort nicht erkannt, wo die Gesamthelligkeit der Quasarbilder um mehr als einen Faktor ρ größer ist als die
der Linse. Wird der Quasar um einen Faktor µ verstärkt und sind µSQ und S die Energieflußdichten von Quasar und
Galaxie, muß die Bedingung
ρ
SQ S =: SQ;max
µ
erfüllt sein. Eine Galaxie mit der Rotverschiebung z liefert die Flußdichte S, wenn ihre skalierte Leuchtkraft
l=
L
L
=
ζ(z)S
L
beträgt.
Wir betrachten nun zunächst die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Quasar mit der Rotverschiebung zq von einer
Galaxie, von der der Fluß S beobachtet wird und die bei einer Rotverschiebung von z steht, mit bestimmten Eigenschaften E doppelt abgebildet und insbesondere um einen Faktor µ verstärkt wird.
Zusätzliche Forderungen
51
Zunächst ist die Fläche in der Quellenebene, die von Linsen mit einer Rotverschiebung zwischen z und z + dz
sowie einer Leuchtkraft zwischen l und l + dl so überdeckt wird, daß innerhalb ihrer eine Quelle um einen Faktor
aus [µ; µ + dµ] verstärkt wird, gleich
=
dA
4πψ20 (z) dz
p
H03 (1 + z)2 1 + Ωz
(1 + z)
3
Φ(l )H(l , l ) dl
dµ
,ζ20 ∂σ
∂µ
:
In der ersten Zeile steht das Volumen einer Kugelschale bei der Rotverschiebung z mit der Dicke dz, in der zweiten steht die durch die Leuchtkraft parametrisierte Anzahl der Galaxien und in der dritten Zeile schließlich steht der
dimensionierte Wirkungsquerschnitt. Die Heaviside-Funktion in der zweiten Zeile gibt an, daß nur ausreichend helle Galaxien berücksichtigt werden. Mit bereits eingeführten Abkürzungen erhält man, wenn man durch 4πD20(zq )
dividiert, die Wahrscheinlichkeit
θ2 h(z; zq )
∂σ
p dzdldµ = , 3 2
lΦ(l )H(l , l )
dzdldµ
∂µ
H0 ψ0 (zq )
Die Anzahl der Quasare mit der Rotverschiebung zq und einer skalierten Leuchtkraft größer als `=µ, deren Flußdichte
den Wert SQ;max nicht übersteigt, ist
δn = k(zq ) Ψ
`
µ
,Ψ
ζ(zq )ρS
L0 µ
;
sie verschwindet, wenn die Differenz auf der rechten Seite negativ wird. Integriert man nun das Produkt pδn über
µ; l und z, erhält man die Anzahl von Quasarpaaren mit den festgelegten Eigenschaften, die zudem die Vordergrundgalaxie nicht überstrahlen. Ersetzt man in δn den Fluß S durch die skalierte
Leuchtkraft l und schreibt anstelle der
RRR
Quasarleuchtkraft ` die dimensionslose Größe s, bekommt man für
dµdldz ( pδn):
dn0
dzq
:=
dn(E ; s; zq )
dzq
θ2
+k(zq )
H03 ψ20 (zq )
Z
1
∞
∂σ(E ; µ)
dµ
∂µ
Z
zq
0
Z
dz h(z; zq )
∞
l
L ρζ(zq )l
dl Φ(l )dlΨ
L0 µζ(z)
:
Der erste Summand ist das bisherige Resultat (51). Der zweite ist negativ, weil ∂σ=∂µ negativ ist. Er verringert also
das ursprüngliche Ergebnis. In Abbildung (14) zeigen wir den zweiten Summanden in Abhängigkeit von ϑ=θ für ein
maximales Helligkeitsverhältnis der Quasarbilder von 10, eine Quellenrotverschiebung von zwei, und die Leuchtkraftindices λ = 1 und ν = 4. Der Faktor ρ wurde ebenfalls auf 10 festgelegt. Das bedeutet, daß die Vordergrundgalaxien um nicht mehr als 2.5 Größenklassen schwächer als die Gesamthelligkeit der Quasarbilder sein dürfen. Für
die Grenzgrößenklasse der Galaxien wurden die sechs Werte m0 2 f20; 21; ; 25g eingesetzt; daher auch die sechs
Kurven im Diagramm.
Die Kurven zeigen genau dasselbe Verhalten wie die aus Abbildung (12). Die Interpretation ist völlig analog,
weil die Abhängigkeit vom Mindestfluß der Quasare noch nicht mit einbezogen wurde. Auf sie allein wirkt die hier
zusätzlich eingeführte Bedingung, daß die Linsen nicht überstrahlt werden sollen.
Um den Einfluß dieser Forderung zu verdeutlichen, berechnen wir die Größe
1+
dn0
dn
als Funktion des Mindestflusses s für drei verschiedene Werte von ϑ (ϑ=θ 2 f0:5; 1; 1:5g). Leuchtkraftindices und
Quellenrotverschiebung bleiben ebenso dieselben wie ρ und q; für m0 nehmen wir nur den Wert m0 = 25 an. Die drei
Kurven für die verschiedenen Mindestwinkelabstände wurden in ein Diagramm (Abbildung (15)) gezeichnet.
Schlußbemerkungen
52
Abbildung 14: Korrektur des Anteil aufgelöster Quasarpaare zur Berücksichtigung möglicher Überstrahlung; Abszisse: ϑ=θ
Es zeigt sich, daß für kleine Mindestflüsse der betrachtete Quotient gegen eins geht. Die Beschränkung auf solche Quasare, deren Bilder die abbildende Galaxie nicht überstrahlen, bedeutet dann keine merkliche Verringerung
der beobachteten Paare. Mit zunehmendem s fällt der Quotient steil auf Null ab. Dieser Abfall geschieht bei umso
kleineren Mindestflüssen, je größer der minimale Bildabstand wird.
Je größer der Mindestfluß der Quasare wird, umso größer muß auch der Fluß werden, der von den Galaxien beobachtet wird, weil sie sonst überstrahlt würden. Die Linsen müssen deswegen entweder besonders leuchtkräftig
sein oder in geringer Entfernung stehen; beides schränkt ihre Anzahl drastisch ein; das erklärt den steilen Abfall der
Kurven. Ferner sollen sie leuchtkräftig genug sein, um eine bestimmte minimale Bildaufspaltung zu erzeugen. Das
bedeutet, daß mit zunehmender Bildaufspaltung der Mindestfluß der Quasare größer werden muß, damit die ohnehin
schon hellen Galaxien überstrahlt werden. Deshalb setzt der Abfall dann erst bei größeren Mindestflüssen ein.
8.4 Schlußbemerkungen
Was hat sich nun ergeben? Mikrolinsen haben einen Einfluß auf die Quasarstatistik, und zwar in zweierlei Weise:
Erstens gewinnt der Radius der Linsen an Bedeutung, zweitens nimmt das mittlere Helligkeitsverhältnis der beobachteten Quasarbilder zu.
Je größer die Radien der Linsen-Galaxien werden, desto kleiner wird der Anteil aufgelöster Quasarpaare an allen
beobachteten Quasaren, weil umso mehr helle Einzelbilder entstehen. Ohne die Anwesenheit von Mikrolinsen dagegen sind die Quasarzählungen völlig unempfindlich gegen Änderungen des Linsenradius. Da man aber die Größe15
typischer Galaxien nur sehr unvollkommen kennt und schon gar keinen Einfluß auf sie nehmen kann, lassen sich
aus diesem Ergebnis kaum Vorhersagen über die Quasarstatistik ableiten. Vielmehr wäre es prinzipiell möglich, aus
15 Größe“ ist hier ein Begriff, der sowohl den Radius der Galaxien meint, bis zu dem sie als isotherme Sphäre behandelt werden können, als
”
auch denjenigen, bis zu dem Mikrolinsen auftreten können.
Schlußbemerkungen
53
Abbildung 15: Korrekturfaktor zur Berücksichtigung der Überstrahlung als Funktion des Mindestflusses s
Quasarzählungen dann Rückschlüsse auf die Radien beteiligter Linsen-Galaxien zu ziehen, wenn man sich über den
Anteil von Mikrolinsen an Galaxien anderweitig Anhaltspunkte verschafft hätte.
Solche Anhaltspunkte würden aus dem zweiten Ergebnis folgen, da eine verhältnismäßig große Häufigkeit von
Quasarbildern mit großen Helligkeitsunterschieden nicht das Werk glatter Galaxien sein kann. Mikrolinsen müssen
dann eine Rolle spielen, wenn insbesondere in einem sample heller Quasare eine signifikante Anzahl solcher Doppelbilder gefunden würde. Leider existieren bislang keine in irgendeinem Sinn vollständigen Quasarsamples; große
Anstrengungen werden jedoch unternommen, solche zu gewinnen. Dennoch scheint die Tatsache, daß unter den elf
bislang akzeptierten, durch Gravitationslinsen erzeugten Mehrfachquasaren sich drei befinden, bei denen das Helligkeitsverhältnis der Bilder größer als etwa zehn ist, bereits deutlich darauf hinzuweisen, daß Mikrolinsen in Betracht
gezogen werden müssen. Darüber hinaus wurde klar, daß nicht reine Ansammlungen von Mikrolinsen am effektivsten für die Entstehung deutlich verschieden heller Mehrfachbilder sind, sondern Kombinationen von Mikrolinsen
und glatt“ verteilter Materie wie etwa Gas oder Staub. Gerade diese Situation, die tatsächlich in Galaxien vorliegt,
”
ist also besonders gut geeignet, große Helligkeitsunterschiede in Mehrfachquasaren zu erzeugen.
Unglücklicherweise wissen wir wenig bis nichts über die typische Dichte des intergalaktischen Gases, das sich
in Galaxienhaufen befindet und in das die Linsen-Galaxien eingebettet sind. Wie gezeigt, beeinflußt aber eine solche
zusätzliche Materieverteilung die beobachteten Quasarzählungen erheblich. Auch hier gilt wieder, daß dieser Mangel
an Kenntnis keine Schlüsse auf die Quasarstatistik erlaubt, sondern eher die Quasarstatistik Rückschlüsse auf die
Materiedichte in Galaxienhaufen, falls alle anderen unbekannten Größen bekannt wären. Damit verbunden wären
auch Hinweise auf die Dichte dunkler Materie möglich. In der Arbeit von Turner, Ostriker und Gott [40] nehmen die
Autoren eine Flächenmassendichte von κ0 = 4:3 an; dieser Wert entspricht 1:2 109 Sonnenmassen pro kpc2 . Es ist die
maximal mögliche Flächenmassendichte, die gewährleistet, daß überall zwischen den Quellen und dem Beobachter
κ0 unter dem kritischen Wert eins bleibt. Es scheint, als hätte dieses Argument die Wahl der Dichte stärker beeinflußt
als tatsächlich bekannte Daten.
Schließlich wird klar, wie groß der Einfluß der Leuchtkraftindices auf die Quasarzählungen ist – dieser ist allerdings unabhängig davon, ob Mikrolinsen von Bedeutung sind oder nicht. Die Kurven, die den Anteil aufgelöster Qua-
Markovs Methode
54
sarpaare an allen beobachteten Quasaren in Abhängigkeit von deren Mindestfluß zeigen, deuten an, daß ihr Anstieg
mit zunehmendem Mindestfluß umso steiler ist, je steiler die Leuchtkraftfunktion der Quasare für große Leuchtkräfte
abfällt. Auch hier gäben also möglichst vollständige Quasarzählungen zumindest im Prinzip ein Mittel an die Hand,
den größeren Leuchtkraftindex einzugrenzen. Nachdem der kleinere Index durch Gravitationslinsen nicht verändert
wird, kann er direkt aus Quellenzählungen bestimmt werden.
Abschließend sei darauf hingewiesen, daß dieser Arbeit zwei wesentliche Einschränkungen zugrunde liegen:
Einerseits werden Quellen als punktförmig angenommen, andererseits sind Linsen sphärisch symmetrisch und ihre radiale Dichteverteilung ist singulär. Ginge man von nicht-singulären Linsen aus, würde die Anzahl der Bilder
ungerade. Ein Teil der Bilder wäre dann nicht mehr auflösbar, weil sie zu dicht beieinander stünden. Eine Störung
der sphärischen Symmetrie würde außerdem die Struktur der Kaustiken der Linse verkomplizieren. Zöge man ausgedehnte Quellen in Betracht, würden die betrachteten Effekte durch Mittelung über deren Fläche kleiner werden.
Dennoch scheint unser Modell nahe genug an der Wirklichkeit zu sein, um zumindest prinzipielle Aussagen über
die Bedeutung von Mikrolinsen zu erlauben. Entscheidend dafür ist nicht das spezielle, hier sehr einfach gewählte
Modell, sondern letztendlich die endliche Breite der Wahrscheinlichkeitsverteilung für Verstärkungsfaktoren mit den
geschilderten Konsequenzen.
A Vier Nachträge
A.1 Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen nach Markovs Methode
A.1.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Scherung
Zunächst muß die charakteristische Funktion C2 berechnet werden:
(~
C2 T ) =
Führt man Polarkoordinaten ein,
N
Z Z
1
πR2
i i
i
~ ~ (~ i ))
dϕ x dx exp(iT S x
(57)
:
T := T (cos β; sin β)t ;
~
erhält man für den Ausdruck in eckigen Klammern:
] =
Z RZ
2π
[
0
0
1
T
dϕrdr 2 exp i 2 (cos 2ϕ cos β + sin2ϕ sin β)
πR
r
:
Die Winkelintegration kann geschrieben werden als:
Z
0
Z
2π
=
dϕ cos
0
2π
T
dϕ exp i 2 cos(2ϕ , β)
r
iT
cos(2ϕ , β)
r2
Z
2π
+i
dϕ sin
0
iT
cos(2ϕ , β)
r2
:
Nach den Gleichungen 3.715.13 und 3.715.18 aus [19] verschwindet der zweite Summand, und für den ersten ergibt
sich
T
2πJ0 2 ;
r
worin J0 die Besselfunktion 0. Ordnung ist. Es bleibt das Integral
Z
0
R
2
rdr 2 J0
R
T
r2
auszuführen. Mit der Substitution Tr,2 =: z bringt man es auf die Form
Z∞
Z∞
1
dz
z0
dz 2 [J0 (z) , 1] + z0
;
2
z
z0
z0 z
Zum Jaynesschen Prinzip
55
wenn z0 := TR,2 gesetzt wird. Der zweite Summand ist konstant gleich 1, während der erste nach Gleichung 11.4.18
aus [1] in erster Ordnung von z0 gleich ,z0 ist. Damit erhält man schließlich aus (57) im Grenzübergang R ! ∞, also
z0 ! 0:
T N
TN
i~T~S
he i = 1 , R2 = exp , R2 :
Wegen R2 = N=κ folgt:
heiT S i = exp(,Tκ )
~~
:
Dementsprechend gewinnt man durch Fourierinversion von C2 :
p(S1 ; S2 ) =
Schreibt man auch ~S in Polarkoordinaten,
1
(2π)2
Z
Z
∞
2π
dβTdT
0
e,Tκ e,iT S :
~~
(58)
0
S := S(cosϑ; sin ϑ)t ;
~
wird das Winkelintegral in (58) zu
Z
2π
0
dβ exp[,iTS(cosϑ cos β + sinϑ sin β)]
analog zu oben. Nun bleibt noch
1
2π
Z
0
∞
=
2πJ0 (TS);
dT Te,Tκ J0 (T S)
auszurechnen. Es ist darstellbar als
1 d
, 2π
d (κ )
Z
0
∞
i
1 d h 2
2 ,1=2
dT e,Tκ J0 (TS) = ,
(κ + S )
;
2π d (κ )
vgl. Gleichung 6.611.1 in [19]. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Komponenten der Scherung ist damit bestimmt:
1
κ
p(S1 ; S2 ) =
:
(59)
2π (κ2 + S2 )3=2
A.2 Anmerkung zum Jaynesschen Prinzip
In 4.2.3 wurden die Parameter α und β in die Wahrscheinlichkeitsverteilung eingeführt, die zunächst noch unbekannt
sind. Eine überzeugende Möglichkeit, sie zu wählen, wäre die folgende: Ein Maß für den Informationsgehalt einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung ist das Shannonsche Funktional
Z
S ∝ , p ln p:
Wählt man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung so, daß sie unter gegebenen Bedingungen dieses Funktional minimiert, enthält sie die geringstmögliche über diese Bedingungen hinausgehende Information, also gewissermaßen
das geringstmögliche Vorurteil (siehe dazu die Arbeit von Jaynes [22]). Unglücklicherweise steigt das Shannonsche Funktional für die Wahrscheinlichkeitsverteilung (36) streng monoton in α und β an, so daß daraus keine Informationen über die günstigste Wahl dieser Parameter gewonnen werden kann. Es zeigt sich aber, daß die unter
Kapitel 5 berechneten Wirkungsquerschnitte, zu deren Bestimmung die Wahrscheinlichkeitsverteilung ausschließlich dient, äußerst unempfindlich gegen Veränderungen derselben sind, solange sie die Eigenschaft haben, für große
Verstärkungsfaktoren µ wie µ,3 abzufallen.
Skalierung
56
A.3 Bilder einer Quelle nahe einer Kaustik
Sei ~x0 ein Punkt auf einer kritischen Linie und ~y0 sein Bild in der Quellenebene. Für ~x0 gilt also (det A)(~x0 ) = 0 und
y liegt auf einer Kaustik. Das Koordinatensystem sei so gewählt, daß A in ~x0 diagonal ist und dort die Form
~0
A=
a 0
0 b
mit b = 0 annimmt. In der Umgebung von ~x0 kann A dann geschrieben werden als
A=
a0 + ∇a d~x
0
0
∇b d~x
wobei ∇b senkrecht auf der kritischen Linie steht. Ein Punkt mit den Koordinaten ~x0 + d~x wird dann auf die Position
y + d~y abgebildet, wobei
d~y = A(~x0 + d~x) d~x
~0
ist. Eine Quelle am Ort ~y0 + (0; dy)t wird also abgebildet auf
x
~0
+
0; s
dy
b;2
!t
;
d.h. auf zwei Punkte beiderseits der und im gleichen Abstand zur kritischen Linie. (b;2 steht für ∂b=∂x2.) Die Verstärkungsfaktoren der beiden Bilder sind
p
µ1;2 = (a0 b;2 dy),1 ;
sie sind also gleich hell und von unterschiedlicher Parität.
A.4 Zur Skalierungseigenschaft der Wahrscheinlichkeitsverteilung
In 4.2.1 wurde K definiert als
K=
r
κ
1
p
E
π (u0 , v0) u0 + v0
2v0
u0 + v0
!
:
Unter Berücksichtigung von κ0 lauten u0 und v0 :
u0
=
v0
=
, κ0)2 ũ0
2 0
(1 , κ0 ) ṽ
(1
;
:
Hier wie im Hauptteil steht die Tilde für solche Größen, bei denen κ0 bereits durch die Skalierung berücksichtigt
wurde. Setzt man nun u0 , v0 und κ0 in K ein , erhält man:
K=
1
(1
, κ0)2 K̃
:
Die Konstanten A und B waren bestimmt worden zu
B
=
β+1
f 2 hµi(1 + α)(2 + α) , 4K
;
f hµi(α + 1) f (1 , f )hµi(2 + α) , 4K
A
=
1,
4K
2
f hµi(1 + α)(2 + α)
Bβ+1 Bµ
e :
Γ(β + 1)
Geht man hierin davon aus, daß der Faktor f nicht skaliert und setzt die Skalierung für hµi und K ein, folgt unmittelbar:
B
=
A
=
, κ0)2 B̃
2β 2
(1 , κ0)
Ã
(1
;
+
:
Skalierung
57
Für den inneren Bereich der Galaxie hatten wir f = 1 , ε=2 gewählt. Er skaliert in der Tat nicht, weil ε von κ0 unabhängig ist. Im äußeren Bereich dagegen hatten wir f = (1 , ε(1 , 1=hµi) gesetzt, um den Satz von Schneider zu
erfüllen. Diese Definition wird dann unabhängig von der Skalierung, wenn man sie abwandelt in
f
=
1,ε
Damit skaliert dann in jedem Fall µ ebenso wie hµi.
B Diagramme
(1
, κ0)2 hµi
:
Anteil aufgelöster Quasarpaare
B.1
Anteil aufgelöster Quasarpaare an allen beobachteten Quasaren
F als Funktion von s;
ε = 0; q = 10; R =
20kpc
F als Funktion von s;
ε = 0; q = 10; R =
30kpc
F als Funktion von s;
ε = 0; q = 10; R =
40kpc
58
Anteil aufgelöster Quasarpaare
F als Funktion von s;
ε = 0:5; q = 10; R =
20kpc
F als Funktion von s;
ε = 0:5; q = 10; R =
30kpc
F als Funktion von s;
ε = 0:5; q = 10; R =
40kpc
59
Anteil aufgelöster Quasarpaare
F als Funktion von s;
ε = 1; q = 10; R =
20kpc
F als Funktion von s;
ε = 1; q = 10; R =
30kpc
F als Funktion von s;
ε = 1; q = 10; R =
40kpc
60
Großes Helligkeitsverhältnis
B.2
61
Anteil aufgelöster Quasarpaare mit Helligkeitsverhältnis zwischen q = 10 und q = 100
∆F als Funktion von s;
ε = 0; R = 30kpc
∆F als Funktion von s;
ε = 0:5; R = 30kpc
∆F als Funktion von s;
ε = 1; R = 30kpc
Konstante Flächenmassendichte
B.3
Steigerung des Anteils aufgelöster Quasarpaare durch zusätzliche
Flächenmasse
prozentuale Erhöhung
von F durch κ0 als Fkt.
von s; ε = 0
prozentuale Erhöhung
von F durch κ0 als Fkt.
von s; ε = 0:5
prozentuale Erhöhung
von F durch κ0 als Fkt.
von s; ε = 1
62
Literaturverzeichnis
63
Literatur
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[44] Young, P. 1981, Astrophys. Journal 244, 756
64
Dank
65
Danken möchte ich Herrn Professor Ehlers, der die Betreuung dieser Arbeit übernommen hat.
Herr Dr. Peter Schneider hatte die Idee zu dieser Arbeit. Er stand meinen Fragen immer zur Verfügung und half
mir, wo immer ich Hilfe brauchte. Sein geduldiges Erklären lichtete den Urwald meiner oft falschen und wirren Vorstellungen. Sein Beistand beschränkte sich nicht auf das Fachliche; stellvertretend für manches andere seien die aufmunternden Getränke erwähnt.
Helmut Erdl, Michael Freyberg und Paul Haines sorgten für ein sehr angenehmes Klima in unserem Arbeitszimmer. Auch die Diskussionen mit ihnen waren mir eine große Unterstützung.
Schließlich war das Max-Planck-Institut ein sehr angenehmer Ort dank der Hilfsbereitschaft und Freundlichkeit
seiner Mitarbeiter.
Herr S. Cray darf nicht unerwähnt bleiben: Seine Erfindung beschleunigte viele meiner Rechnungen.