Einführung und Grundlagen

Kapitel 1
Einführung und Grundlagen
Generelle Notation:
( Ω , A , P ) sei ein W-Raum im Hintergrund (nie weiter spezifiziert).
Die betrachteten Zufallsvariablen seien auf Ω definiert, z.B. X : (Ω, A) −→ (M, A) , wobei (M, A)
ein Messraum ist.
Bisweilen ist es bequem, eine “störende” P-Nullmenge aus Ω zu entfernen, oder anders gesagt: Wenn
e ∈ A mit P(Ω)
e = 1 , dann macht es keinen wesentlichen Unterschied, statt ( Ω , A , P ) den reduzierten
Ω
¯
e , A e , P¯ ) zu nehmen (und alle Zufallsvariablen auf Ω
e zu restringieren). Wir schreiben
W-Raum ( Ω
Ω
A
e
Ω
dann aber wiederum ( Ω , A , P ) für den reduzierten W-Raum.
Definition 1.1 (Stochastischer Prozess)
Eine Familie von Zufallsvariablen (Xt )t∈T auf Ω mit Werten in einer Menge M , d.h.
Xt : (Ω, A) −→ (M, A)
für alle t ∈ T ,
wobei T irgendeine Indexmenge ist, heißt ein stochastischer Prozess mit Indexmenge T und Zustandsraum M . Für jedes ω ∈ Ω heißt die Funktion t −→ Xt (ω) (eine Funktion auf T mit Werten in M ) ein
Pfad oder eine Trajektorie des stochastischen Prozesses.
Die interessanten Eigenschaften (spezieller) stochastischer Prozesse betreffen:
(a) Die endlich-dimensionalen Randverteilungen
P(Xt1 ,...,Xtn ) ,
für n ∈ N und paarweise verschiedene t1 , . . . , tn ∈ T .
(b) Die Pfade t −→ Xt (ω) für ω ∈ Ω.
Z.B., im Fall M = R : Prozess mit stetigen Pfaden oder Prozess mit isotonen Pfaden.
Bemerkung: Verteilung eines stochastischen Prozesses
Die Verteilung des stochastischen Prozesses (Xt )t∈T mit Zustandsraum M ist die Verteilung der Zufallsvariablen
¡
¢
X : Ω −→ M T , X(ω) = Xt (ω) t∈T ,
wobei M T die Menge aller Funktionen von T in M bezeichnet. Diese Sichtweise führt allerdings zu neuen Maßund w-theoretischen Problemen, die wir nicht verfolgen wollen. Z.B. ist hier ein erstes maßtheoretisches Problem
die Festlegung einer geeigneten Sigma-Algebra AT im Funktionenraum M T , so dass X : (Ω, A) −→ (M T , AT ).
Als für uns wichtiges Resultat ergibt sich dabei:
Die Verteilung PX des stochastischen Prozesses ist eindeutig bestimmt durch das System aller endlich-dimensionalen
Randverteilungen in Punkt (a) oben.
1
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Kapitel 1: Einführung und Grundlagen
1.1
2
Bedingte Verteilungen von Zufallsvariablen
Definition 1.2 (Bedingte Verteilung von X unter Y )
Seien X : (Ω, A) −→ (M, A) und Y : (Ω, A) −→ (N, B) zwei Zufallsvariablen auf Ω, wobei
(M, A) und
¡ (N, B)¢ zwei Messräume sind. Eine bedingte Verteilung von X unter Y ist eine Familie
PX|Y = PX | Y =y y∈N von W-Verteilungen auf A mit den folgenden Eigenschaften:
(i) Für jedes A ∈ A ist die Funktion y 7−→ PX | Y =y (A) messbar (bezgl. der Sigma-Algebra B in N
und der Borel’schen Sigma-Algebra B1 in R).
Z
¡
¢
(ii)
PX | Y =y (A) dPY (y) = P X −1 (A) ∩ Y −1 (B)
∀ A ∈ A , ∀ B ∈ B.
B
Bemerkungen
1. Massenpunkte der Verteilung von Y
¡
¢
Wenn PX|Y = PX | Y =y y∈N eine bedingte Verteilung von X unter Y ist, dann gilt für jeden Punkt
y0 ∈ N mit {y0 } ∈ B und P(Y = y0 ) > 0 :
PX | Y =y0 = PX | {Y =y0 } ,
wobei PX | {Y =y0 } die elementare bedingte Verteilung von X unter dem Ereignis {Y = y0 } ist, definiert
durch
¡
¢
PX | {Y =y0 } (A) = P X −1 (A) | {Y = y0 } ∀ A ∈ A .
2. Verallgemeinerte Fubini-Formel
¡
¢
Wenn PX|Y = PX | Y =y y∈N eine bedingte Verteilung von X unter Y ist, dann gilt für eine Funktion
g : (M × N, A ⊗ B) −→ (R, B1 ) mit g ◦ (X, Y ) ≥ 0 oder g ◦ (X, Y ) P-integrierbar:
Z Z
¡
¢
E g ◦ (X, Y ) =
g(x, y) dPX | Y =y (x) dPY (y) .
N
M
Theorem 1.3 (Eindeutigkeit und Existenz der bedingten Verteilung)
Seien X : (Ω, A) −→ (M, A) und Y : (Ω, A) −→ (N, B) .
(a) Die Sigma-Algebra A in M sei abzählbar erzeugt, d.h. es existiert ein abzählbares Teilsystem
E ⊆ A mit σ(E) = A. Dann ist die bedingte Verteilung von X unter Y PY -f.s. eindeutig
e y )y∈N zwei bedingte Verteilungen von X unter Y sind,
bestimmt, d.h.: Wenn (Qy )y∈N and (Q
dann gilt
³©
ª´
ey
PY
y ∈ N : Qy = Q
= 1.
d , dann existiert
(b) Wenn M eine offene oder eine abgeschlossene Teilmenge von Rd ist und A = BM
eine bedingte Verteilung von X unter Y und ist PY -f.s. eindeutig bestimmt.
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Theorem 1.4 (Bedingte Verteilung mit Hilfe von Dichten)
Seien X : (Ω, A) −→ (M, A) und Y : (Ω, A) −→ (N, B) , und die gemeinsame Verteilung P(X,Y )
besitze die µ ⊗ ν-Dichte f , wobei µ ein sigma-endliches Maß auf A und ν ein sigma-endliches Maß auf
B sind. Sei noch fY eine ν-Dichte von PY . Dann gilt:
Z
n
o
e) = 1 ,
e := y ∈ N : 0 < fY (y) =
Für N
f (x, y) dµ(x) < ∞
ist PY (N
M
und eine bedingte Verteilung von X unter Y ist gegeben durch
PX | Y =y :=
f (· , y)
e , und PX | Y =y := PX , falls y ∈ N \ N
e.
· µ , falls y ∈ N
fY (y)
Dabei steht f (· , y) für die Funktion M 3 x 7−→ f (x, t) .
Beispiel: X und Y gemeinsam normalverteilt
Seien X : (Ω, A) −→ (Rn1 , Bn1 ) und Y : (Ω, A) −→ (Rn2 , Bn2 ) , und X, Y seien gemeinsam
normalverteilt:
µ
¶
X
∼ N(β, V ) mit β ∈ Rn1 +n2 und V ∈ PD(n1 + n2 ) .
Y
Wir partitionieren β und V entsprechend der Teil-Dimensionen n1 und n2 :
µ
¶
·
¸
β1
V 1 V 12
β =
und V =
.
β2
V t12 V 2
Mit Hilfe von Theorem 1.4 erhält man die bedingte Verteilung PX | Y :
³
´
−1 t
PX | Y =y = N β 1 + V 12 V −1
(y
−
β
)
,
V
−
V
V
V
,
1
12
2
12
2
2
1.2
y ∈ Rn2 .
Singuläre Normalverteilungen
n-dimensionale Normalverteilungen wurden durch Lebesgue-Dichten definiert, was positiv definite Kovarianzmatrizen erforderte. Bisweilen jedoch, z.B. für allgemeine Gauß-Prozesse (s. Abschnitt 1.3), ist
es nützlich, die Definition von Normalverteilungen etwas zu erweitern auf positiv semi-definite Kovarianzmatrizen (die also auch singulär sein können). W-Verteilungen auf Bn mit singulärer Kovarianzmatrix
können keine Lebesgue-Dichte besitzen.
Definition 1.5 (Singuläre Normalverteilung)
Seien β ∈ Rn and V eine positiv semi-definite n × n Matrix, die singulär sei.
Die Normalverteilung N(β, V ) ist wie folgt definiert.
Wähle eine Zerlegung V = U U t , mit einer (reellen) n × n Matrix U ; dann:
N(β, V ) :=
¡
N(0, I n )
¢LU ,β
,
wobei LU ,β : Rn −→ Rn ,
LU ,β (x) = U x + β .
Bemerkung: Wohldefiniertheit
Im Allgemeinen gibt es viele n × n Matrizen U mit U U t = V (für eine gegebene positiv semi-definite
n × n Matrix V ). Daher muss nachgewiesen werden, dass N(β, V ) aus Definition 1.5 nicht von der
speziellen Wahl von U abhängt. Das lässt sich zeigen mit Hilfe eines kleinen Matrizen-Resultats:
e zwei n × n Matrizen mit U U t = U
eU
e t , dann existiert eine orthogonale n × n Matrix
Wenn U and U
e = UQ .
Q , so dass U
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Die lineare Transformationseigenschaft von Normalverteilungen setzt sich auf die so erweiterte Klasse
der Normalverteilungen fort:
Theorem 1.6 (Lineare Transformationseigenschaft von Normalverteilungen)
Seien β ∈ Rn , V eine positiv semi-definite n × n Matrix, A eine m × n Matrix and c ∈ Rm .
Bezeichne:
LA,c : Rn −→ Rm ,
¡
1.3
LA,c (x) = Ax + c .
N(β, V )
¢LA,c
Dann gilt:
= N(Aβ + c , AV At ) .
Einige Klassen stochastischer Prozesse
Definition 1.7 (1-dim. Wiener Prozess ohne Drift)
Wir betrachten einen stochastischen Prozess mit Indexmenge T = [ 0 , ∞ ) und Zustandsraum
M = R, also
Xt : (Ω, A) −→ (R, B1 ) für alle t ∈ [ 0 , ∞).
Der Prozess (Xt )t∈[0,∞) heißt ein Wiener Prozess oder eine Brown’sche Bewegung, wenn gilt:
(o) X0 ≡ 0 ;
(i) der Prozess hat stochastisch unabhängige Zuwächse:
Für alle n ∈ N and alle 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn sind die Zufallsvariablen (Zuwächse)
Xti − Xti−1 (i = 1, . . . , n) stochastisch unabhängig.
¡
¢
(ii) Für alle s, t ≥ 0, s < t gilt: Xt − Xs ∼ N 0 , σ 2 · (t − s) ;
dabei ist σ > 0 eine gegebene Konstante;
(iii) die Pfade t −→ Xt (ω), t ∈ [ 0 , ∞) , sind stetig.
Definition 1.8 (1-dim. Gauß-Prozess)
Die Indexmenge T sei beliebig, und der Zustandsraum sei M = R, also
Xt : (Ω, A) −→ (R, B 1 ) für alle t ∈ T .
Der Prozess (Xt )t∈T heißt ein Gauß-Prozess, wenn für alle n ∈ N and alle paarweise verschiedenen t1 , . . . , tn ∈ T die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen Xt1 , . . . , Xtn eine n-dimensionale
Normalverteilung ist (die auch singulär sein mag). Wir bezeichnen dann:
m(t)
=
E(Xt ) ,
t∈T,
K(s, t)
=
Cov(Xs , Xt ),
(Mittelwert-Funktion);
s, t ∈ T ,
(Kovarianz-Funktion).
Bemerkungen
1. Die Verteilung eines Gauß-Prozesses ist vollständig durch seine Mittelwert-Funktion und seine
Kovarianz-Funktion bestimmt. Denn für jedes n ∈ N and alle paarweise verschiedenen t1 , . . . , tn ∈ T
gilt:
³¡
´
¢t ¡
¢
(Xt1 , . . . , Xtn )t ∼ N m(t1 ), . . . , m(tn ) , K(ti , tj ) i,j=1,...,n .
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2. Ein Wiener-Prozess ist ein Gauß-Prozess mit Mittelwert-Funktion m ≡ 0 und Kovarianz-Funktion
K(s, t) = σ 2 · min{s, t} ,
s, t ∈ [ 0 , ∞).
Definition 1.9 (Homogener Poisson-Prozess)
Sei (Nt )t∈[0,∞) ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum M = N0 (und Indexmenge T = [ 0 , ∞)),
¡
¢
Nt : (Ω, A) −→ N0 , P(N0 )
für alle t ∈ [ 0 , ∞) .
Der Prozess (Nt )t∈[0,∞) heißt ein homogener Poisson-Zählprozess, wenn gilt:
(o) N0 ≡ 0 ;
(i) der Prozess hat stochastisch unabhängige Zuwächse:
Für jedes n ∈ N and alle 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn sind die Zufallsvariablen (Zuwächse)
Nti − Nti−1 (i = 1, . . . , n) stochastisch unabhängig;
¡
¢
(ii) für alle s, t ≥ 0, s < t, gilt Nt − Ns ∼ Poi λ · (t − s) ;
dabei ist λ > 0 eine gegebene Konstante;
(iii) die Pfade t −→ Nt (ω), t ∈ [ 0 , ∞), sind isoton, rechtsseitig stetig, mit Sprungweiten 1 an den
Unstetigkeitsstellen (d.h. Nt (ω) − lims→t,s<t Ns (ω) ∈ {0, 1} ∀ t > 0), sowie
lim Nt (ω) = ∞
t→∞
(∀ ω ∈ Ω).
Definition 1.10 (Markov-Kette)
Die Indexmenge sei T = N0 , und der Zustandsraum M sei abzählbar (endlich oder abzählbar-unendlich).
Ein stochastischer Prozess (Xn )n∈N0 , wobei also
¡
¢
Xn : (Ω, A) −→ M, P(M )
für alle n ∈ N0 ,
(M abzählbar)
heißt eine Markov-Kette, wenn gilt:
Für jedes n ≥ 2, and alle x0 , x1 , . . . , xn ∈ M mit P(X0 = x0 , X1 = x1 , . . . , Xn−1 = xn−1 ) > 0 :
¯
¯
¡
¢
¡
¢
P Xn = xn ¯ X0 = x0 , X1 = x1 , . . . , Xn−1 = xn−1 = P Xn = xn ¯ Xn−1 = xn−1 .
Die Markov-Kette heißt homogen, wenn für alle m, n ∈ N and alle x, y ∈ M mit P(Xm−1 = x) > 0
und P(Xn−1 = x) > 0 :
¯
¯
¡
¢
¡
¢
P Xm = y ¯ Xm−1 = x = P Xn = y ¯ Xn−1 = x .
Beispiel: Ehrenfest’sches Diffusionsmodell
Eine homogene Markov-Kette (Xn )n∈N0 mit Zustandsraum M = {1, . . . , k} , (k ∈ N gegeben),
und Übergangswahrscheinlichkeiten

2x(k − x)/k 2 , falls y = x



¯
¡
¢
x2 /k 2
, falls y = x − 1
,
P Xn = y ¯ Xn−1 = x =
2
2
(k − x) /k
, falls y = x + 1



0
, sonst
(für alle x, y ∈ {1, . . . , k} und n ∈ N mit P(Xn−1 = x) > 0).
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Definition 1.11 (Stationärer Prozess)
Die Indexmenge T sei eine der Mengen R, [ 0 , ∞), Z oder N0 , der Zustandsraum (M, A) sei beliebig.
Ein stochastischer Prozess (Xt )t∈T heißt stationär, wenn für alle n ∈ N, alle t1 < t2 < . . . < tn in T
und alle h ∈ T die gemeinsame Verteilung von Xt1 , . . . , Xtn gleich der gemeinsamen Verteilung von
Xt1 +h , . . . , Xtn +h ist:
P(Xt1 ,...,Xtn ) = P(Xt1 +h ,...,Xtn +h )
∀ n , ∀ t1 < . . . < tn , ∀ h.
Definition 1.12 (Prozess mit stationären Zuwächsen)
Die Indexmenge T sei eine der Mengen R, [ 0 , ∞), Z oder N0 , der Zustandsraum M sei eine Bod . Ein stochastischer Prorel’sche Teilmenge von Rd mit der Borel’schen Spur-Sigma-Algebra A = BM
zess (Xt )t∈T heißt ein Prozess mit stationären Zuwächsen, wenn für alle n ∈ N, alle t0 < t1 < . . . < tn
in T und alle h ∈ T die gemeinsame Verteilung von Xti − Xti−1 (i = 1, . . . , n) gleich der gemeinsamen
Verteilung von Xti +h − Xti−1 +h (i = 1, . . . , n) ist:
¢
¡
¡
¢
Xt1 +h −Xt0 +h ,...,Xtn +h −Xtn−1 +h
Xt1 −Xt0 ,...,Xtn −Xtn−1
∀ n , ∀ t1 < . . . < tn , ∀ h.
P
= P
Definition 1.13 (Prozess mit unabhängigen Zuwächsen)
Die Indexmenge T sei entweder [ 0 , ∞) oder N0 , der Zustandsraum M sei eine Borel’sche Teilmenge
d . Ein stochastischer Prozess (X )
von Rd mit der Borel’schen Spur-Sigma-Algebra A = BM
t t∈T heißt
ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, wenn für alle n ∈ N und alle t0 < t1 < . . . < tn in T die
Zufallsvariablen
X0 , Xt1 − Xt0 , Xt2 − Xt1 , . . . , Xtn − Xtn−1
stochastisch unabhängig sind.
Anmerkung: Im Fall X0 ≡ const kann die (konstante) Zufallsvariable X0 aus obiger Bedingung entfernt
werden.
Bemerkung:
Wenn (Xt )t∈T ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist, dann ist die Bedingung stationärer
Zuwächse äquivalent mit:
PXt −Xs = PXt+h −Xs+h
für alle s, t ∈ T , s < t, und alle h ∈ T .
Wiener-Prozesse und homogene Poisson-Zählprozesse sind also Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen.
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Definition 1.14 (Markov Prozess)
Die Indexmenge T sei eine Teilmenge von R, der Zustandsraum (M, A) sei beliebig. Ein stochastischer
Prozess (Xt )t∈T heißt ein Markov-Prozess, wenn gilt:
Zu jedem Paar s, t ∈ T mit s < t existiert eine bedingte Verteilung von Xt unter Xs ,
¡
¢
PXt |Xs = PXt |Xs =x x∈M ,
mit der Eigenschaft, dass für alle n ∈ N und alle s1 < . . . < sn < s in T die Familie
¡ X |X =x ¢
P t s
eine bedingte Verteilung von Xt unter (Xs1 , . . . , Xsn , Xs ) ist;
(x1 ,...,xn ,x)∈M n+1
kurz (aber lax) formuliert:
¯
P
Xt ¯ Xs1 =x1 , ... , Xsn =xn , Xs =x
= PXt | Xs =x
∀ s1 < . . . < sn < s < t in T , ∀ x1 , . . . , xn , x ∈ M , ∀ n ∈ N .
Die Verteilungen
PXt | Xs =x
für s, t ∈ T , s < t, und x ∈ M
heißen dann Übergangsverteilungen des Markov-Prozesses (Xt )t∈T .
Bemerkung: Markov-Prozess mit diskretem Zustandsraum
Wenn M abzählbar ist (und A = P(M )), dann lässt sich ein Markov-Prozess (Xt )t∈T elementarer
charakterisieren durch die folgende Bedingung:
Für
¡ alle n ∈ N, alle s1 < . . . < sn <
¢ s < t in T , and alle x1 , . . . , xn , x, y ∈ M mit
P Xs1 = x1 , . . . , Xsn = xn , Xs = x > 0 gilt
¯
¯
¡
¢
¡
¢
P Xt = y ¯ Xs = x1 , . . . , Xsn = xn , Xs = x = P Xt = y ¯ Xs = x .
1
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten
¯
¡
¢
Ts,t (x, y) = P Xt = y ¯ Xs = x ,
für s, t ∈ T , s < t, und x, y ∈ M mit P(Xs = x) > 0,
heißen dann Übergangswahrscheinlichkeiten des Markov-Prozesses (Xt )t∈T .
Wenn außerdem T = N0 , dann ist die obige Markov-Eigenschaft äquivalent mit der in Definition 1.10
formulierten Bedingung:
Für jedes n ∈ N, n ≥ 2, and alle x0 , x1 , . . . , xn ∈ M mit P(X0 = x0 , X1 = x1 , . . . , Xn−1 = xn−1 ) > 0
gilt
¯
¯
¡
¢
¡
¢
P Xn = xn ¯ X0 = x0 , X1 = x1 , . . . , Xn−1 = xn−1 = P Xn = xn ¯ Xn−1 = xn−1 .
Wir sehen: Ein Markov-Prozess mit abzählbarem Zustandsraum und Indexmenge N0 ist dasselbe wie
eine Markov-Kette gemäß Definition 1.10.
Theorem 1.15 (Unabhängige Zuwächse =⇒ Markov)
Die Indexmenge T sei entweder [0 , ∞) oder N0 , und der Zustandsraum M sei eine Borel’sche Teilmenge
d .
von Rd mit der Sigma-Algebra A = BM
Wenn (Xt )t∈T ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen ist, dann ist (Xt )t∈T ein Markov-Prozess mit
Übergangsverteilungen
PXt | Xs =x = PXt −Xs +x
für alle s, t ∈ T , s < t, und alle x ∈ M .
Anmerkung: Streng genommen ist nur für PXs -fast alle x ∈ M die Verteilung von Xt −Xs +x eine W-Verteilung
d
auf BM
. Für die übrigen x ∈ M (die eine PXs -Nullmenge bilden), definiere man z.B. PXt | Xs =x = PXt−s .
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Theorem 1.16 (Chapman-Kolmogorov-Gleichung für Markov-Prozesse)
Sei (Xt )t∈T , wobei T ⊆ R, ein Markov-Prozess mit Zustandsraum (M, A), und die Sigma-Algebra A
sei abzählbar erzeugt.
Für je drei Punkte s < t < u in T gilt:
Z
Xu | Xs =x
P
(A) =
PXu | Xt =y (A) dPXt | Xs =x (y)
∀A∈A,
für PXs -fast alle x ∈ M .
M
Bemerkungen
1. Diskreter Zustandsraum
Wenn M abzählbar (und A = P(M )), dann lässt sich die Chapman-Kolmogorov-Gleichung für einen
Markov-Prozess elementarer mit den Übergangswahrscheinlichkeiten formulieren:
X
Ts,u (x, z) =
Ts,t (x, y) · Tt,u (y, z) ∀ x, z ∈ M mit P(Xs = x) > 0 ,
y∈M
wobei s < t < u in T . (Streng genommen erfolgt die Summation nur über die y ∈ M mit P(Xt = y) > 0).
2. Übergangsverteilungen mit Lebesgue-Dichten
d . Sei (X )
Der Zustandsraum M sei eine Borel’sche Teilmenge von Rd und A = BM
t t∈T ein MarkovProzess, dessen Übergangverteilungen Lebesgue-Dichten besitzen:
PXt | Xs =x = fs,t (x, · ) · λλd |A
∀ s < t in T , ∀ x ∈ M .
Dann schreibt sich die Chapman-Kolmogorov-Gleichung als:
Z
fs,u (x, z) =
fs,t (x, y) ft,u (y, z) d λλd (y) für PXs -fast alle x ∈ M und λλd -fast alle z ∈ M .
M
wobei s < t < u in T .
Definition 1.17 (Homogener Markov-Prozess)
Die Indexmenge T sei eine der Mengen R, [ 0 , ∞), Z oder N0 ; der Zustandsraum (M, A) sei beliebig.
Ein Markov-Prozess (Xt )t∈T heißt homogen, wenn sich die Übergangsverteilungen in Definition 1.14
so wählen lassen, dass gilt:
PXt | Xs =x = PXt+h | Xs+h =x
∀ s < t in T , ∀ h ∈ T , ∀ x ∈ M.
Korollar 1.18
Die Indexmenge T sei entweder [ 0 , ∞) or N0 ; der Zustandsraum M sei eine Borel’sche Teilmenge
d ).
von Rd (und A = BM
Wenn (Xt )t∈ ein Prozess mit stationären und unabhängigen Zuwächsen ist, dann ist (Xt )t∈T ein
homogener Markov-Prozess mit Übergangsverteilungen
PXt | Xs =x = PXt−s −X0 +x ,
(s < t, x ∈ M ).