Zahlenfolgen (Einführung)

Zahlenfolgen (Einführung)
Definition:
Eine Funktion, deren Definitionsbereich eine Teilmenge der Menge der natürlichen
Zahlen (außer Null) ist, heißt Zahlenfolge. Der Wertebereich ist eine Teilmenge der
reellen Zahlen.
Die Funktionswerte heißen Glieder der Zahlenfolge.
an ist das Glied, das der natürlichen Zahl n zugeordnet ist.
n ist die Platznummer des Gliedes.
Die Folge mit dem n-ten Glied an wird mit (an) bezeichnet.
Beispiele:
a)
n
an
1
3
2
6
3
9
4
12
5
15
6
18
b)
(an) = 3; 6; 9; 12; 15; 18
Darstellungsformen für Zahlenfolgen
1.
2.
Explizite Bildungsvorschrift: z.B. an = n2 + 3
Rekursive Bildungsvorschrift: z.B. a1 = 2; an+1 = 2a1 - 1
(Ein Glied und die Formel zur Berechnung des Folgegliedes vorgeben)
Übung:
Gib die ersten vier Glieder der Zahlenfolge <an> = n2 - 3 an!
Ermittle eine rekursive Darstellung der Zahlenfolge <an> = n2 - 3!
Gib zu folgenden Zahlenfolgen eine explizite Bildungsvorschrift an!
a) 5; 9; 13; 17; 21; ...
b) 2; -4; 6; -8; 10; -12; ...
c) 5; 10; 17; 26; 37; ...
Monotonie und Beschränktheit von Zahlenfolgen
Definiere die Begriffe „endliche Zahlenfolge“, „unendliche Zahlenfolge“
„Monotonie“ und „Beschränktheit“ von Zahlenfolgen !
Erläutere diese Begriffe an Beispielen!
Arithmetische Zahlenfolgen
an = 3n - 1
<an> = 2; 5; 8; 11; ...
Die Differenz zwischen den Gliedern ist konstant.
a n +1 - a n = d = const.
Bildungsgesetz:
<a> = a1; a1 + d; a1 + 2d; ...
a n = a1 + (n − 1) ⋅ d
Übung:
Untersuche, ob es sich bei folgenden Zahlenfolgen um arithmetische Zahlenfolgen handelt!
an = 5n + 1
(ja)
bk = k2 - 2
(nein)
Übung:
Von einer arithmetischen Folge sind bekannt:
a)
a1 = 2
a2 = 6
b)
a1 = 4
d = -2
c)
a5 = 10
a8 = 20,5
d)
a4 = 5
a8 = 15
ges.: d
ges.:a3
ges.: d
ges.: d; a1; a30;
Lösung:d = 4
Lösung: a3 = 0
Lösung: d = 3,5
Lösung:
d=2,5; a1=-2,5; a30=70
Arithmetische Reihen
Etwa im Jahr 500 v.u.Z. Überlegte sich Zenon folgendes:
Achilles läuft mit einer Schildkröte im Stadion um die Wette. Die Schildkröte hat eine
Runde Vorsprung. Achilles läuft 12mal so schnell wie die Schildkröte.
Zenon schließt:
Achilles läuft
Die Schildkröte läuft
1 Runde
nicht eingeholt
1
Runde
12
1
Runde
12
1
Runde
12 2
1
Runde
12 2
1
Runde
12 3
nicht eingeholt
usw.
nicht eingeholt
Also holt Achilles die Schildkröte nie ein!!
Was ist falsch an Zenons Schluss?
Lösung:
Der Weg des Achilles: 1+
1
1
1
+ 2 + 3 + ...
12 12 12
stellt eine unendliche Reihe dar, deren obere Grenze
nach
12
ist. Achilles läuft aber weiter,
11
12
Runden hat er die Schildkröte eingeholt.
11
Partialsummenfolgen- Arithmetische Reihen
Gegeben ist die arithmetische Zahlenfolge <an> = 1; 3; 5; 7; 9.
Dann sind
s1 = 1
s2 = 4
s3 = 9
s4 = 16
s5 = 25
die Glieder der Partialsummenfolge <sn> der Zahlenfolge <an>.
allgemein:
Das n-te Glied der Partialsummenfolge <sn> der Zahlenfolge <an>ist ein Ausdruck der
Form
sn = ∑ a i = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n
n
i =1
Rekursive Bildungsvorschrift:
s1 = a 1
sn+1 = sn + a n+1
Summenformel für arithmetische Reihen
Episode:
Der Lehrer von Carl Friedrich Gauss (1777-1855) wollte die Schüler beschäftigen, um
seine Ruhe zu haben. Die Schüler sollten die Zahlen von 1 bis 1000 addieren.
Wie lange braucht ihr dazu?
Gauss war nach wenigen Minuten fertig. Wie ging er vor?
sn = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n
sn = a 1 + (a 1 + d ) + (a 1 + 2d ) + ... + a n
sn = a n + (a 1 − d ) + (a 1 − 2d ) + ... + a 1
2sn = (a 1 + a n ) + (a 1 + d + a 1 − d ) + ...
2sn = n ⋅ ( a 1 + a n )
sn =
n
(a 1 + a n )
2
Beispiele:
B1
B2
Gegeben
a6 = 20
a14 = 36
Gesucht
a1;
d;
a20;
s20
Lösung
10
2
48
580
a1 = 2
d = 0,2
an = 20
n;
sn ;
91
1001
Übung:
Von einer Zahlenfolge ist folgendes
bekannt:
a5 = 5
sn = 430
d=3
an = 50
Gesucht sind:
a1
n
explizite
Bildungsvorschrift
rekursive
Bildungsvorschrift
s100
Lösung:
-7
20
an = 3n - 10
a1 = -7; an+1 = an + 3
14150
Geometrische Zahlenfolgen
Tage
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Masse in mg
1000
905
819
741
671
607
549
497
450
407
369
334
302
273
247
224
absolute Abnahme in mg
95,0
86,0
77,8
70,4
63,7
57,7
52,2
47,2
42,7
38,7
35,0
31,7
28,7
26,0
23,5
21,3
Geometrische Folgen
Spontanzerfall von Jod 131
1000
M
a
s
s
e
900
800
700
i
n
M
i
l
l
i
g
r
a
m
m
600
500
400
300
200
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anzahl der Tage
11
12
13
14
15
16
Stoff Dieses Verhalten lässt sich durch geometrische Zahlenfolgen beschreiben.
Definition:
Eine Zahlenfolge heißt geometrische Folge, wenn gilt: an+1 = an · q. ( a 1 , q ≠ 0 )
Übung:
Überprüfe diese Beziehung am Beispiel des Spontanzerfalls von Jod 131! (Abbildung
oben)
Summenformel für geometrische Reihen
s n = a1 ⋅
q n −1
q −1
Übung:
Aufgabe
a
b
c
d
a1
320
3
20
8
q
0,4
(2)
1,2
3
n
12
5
(7)
(6)
an
(0,01342)
48
59,72
(1944)
sn
(533,324)
(93)
(258,32)
2912