Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zu:
„Primzahlkriterien und Pseudo-Primzahlen“
Sowohl aus innermathematischen Gründen wie auch aufgrund der Bedürfnisse der modernen Kryptographie ist es von großem Interesse entscheiden zu können, ob eine gegebene natürliche Zahl eine Primzahl ist oder nicht. Wir stellen dazu einige Kriterien
vor.
fII.g Primzahlkriterien
und Pseudoprimzahlen
daß eine natürliche Zahl n eine Primzahl ist, kann man zeigen,
Um zu zeigen,,
daß sie durch keine Primzatrl S ,/n teilbar ist. Dies ist ein sehr mühsames
Verfatrren und für sehr große Zahlen n auch mit einer Großrechenanlagekaum
durchführbar.
169
l l l . 9 P r i m z a h l k r i t e rui ennd P s e u d o p r i m z a h l e n
In I.3 haben wir gesehen,daß eine ungerade Zahl 2k + 1 genau dann eine
Primzahl ist, wenn sie außer der Darstellung (k + t)'?- fr2keine weitere Darstellung als Differenz zweier Quadrate besitzt. In II.3 (Satz 7) haben wir festgestellt,
daß eine Zahl der Restklasse1 mod 4 genau dann eine Primzahl ist, wenn sie
genau eine Darstellung o'+b2 mit a > b > 1 und ggT(o,ä) : t besitzt. Für
sehr große Zahlen sind dies natürlich auch keine praktikablen Kriterien.
Wir wollen uns jetzt mit weiteren Primzahlkriterien beschäftigen,wobei aber
die praktische Durchführung eines Primzahltests zunächst keine Rolle spielt.
- -l mod p'
Satz 16: Genau dann ist p eine Primzahl, wenn (p - t)!
B e w e i s :E s s e i p l ( p - 1 ) ! + 1 . I s t 1 ( d < p u n d d l p , d a n n f o l g t d l ( p - 1 ) ! u n d
damit auch dl1, also d: 1. Daher ist p eine Primzahl. Ist nun p eine Primzahl
) 2, so existiert eine primitive Restklasse[a] moduio p. Dann gilt
( p - 1 ) ! : ( 1 , ' a 2' . . - ' a P - t= ( a e ) *
: o*
mod p'
ist 12 : I mod p, also pl(x - 1)(r + 1). Da [a] primitiv ist, gilt
Für r : o*
- -f mod p gelten. D
r * l mod p, es muß also r
- -l mod p gilt,
Die Aussage,daß für eine Primzahl p die Kongruenz (p- t)!
heißt Satz aon WrlsoN. (EnwlnD WARING (1734-7798) erwähnte diesen Satz
erstmals, schrieb ihn aber dem Jurist Stn JoHN Wtlsot*l (I74I-I793) zu. Ein
erster Beweis stammt von L.IGRANGE.)Den Satz von Wtt,soN kann man auch
folgendermaSeneinsehen:Aufgrund des Satzesvon FtrRMAT hat das Polynom
[ z ] r - t [ t ] i n Ä ] d i e N u l l s t e l l e n[ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , . . . , [ p - 1 ] , e s i s t a l s o
[' ] o - '- [ 1 ]: ( [ , ]- [ r ] ) ( [ , ]- t 2l ) . ( [ '-] t 3 l) . . . . ' ( [ "] t p - 1 l) .
Für [r] : [0] folgt wegen [-l]p-r - [1]
- [1 ]: t 1 l . t 2l. [ 3]' . . . . [ p- 1 ] .
Satz 16 ist als Primzahlkriterium nur für nicht allzu große Zahlen nützlich,
für sehr große Zahlen ist er weniger geeignet'
Auf GorrFRrED Wrlnnlu LnteNtz (1646-17i6) geht folgendeFormulierung
von satz 16 zurück: Genau dann ist p eine Primzahl, wenn (p - z)l: 1 mod p.
- -l mod p erkennt man sofort die Aquivalenz zur Aussage in
Wegen p - 7
Satz 16.
Aus dem Satz von Fenuar ergibt sich ein notwendiges Kriterium für die
Primzahleigenschaft: Ist p eine Primzahl, dann ist ap-| : 1 mod p für jede
ganze Zahl a mit p /o. Insbesondere gilt pl2n-r - 1 für jede ungerade Primzahl
pbzw. pl2, - 2 für jede Primzahl p. ChinesischeGelehrte vermuteten vor etwa
2500 Jahren, daß auch die Umkehrung gilt, daß nämlich aus nlz - 2 folgt,
lll Restklassen
770
daß n eine Primzahiist. DieseVermutungist falsch.Das kleinsteGegenbeispiel
i s t n : 3 4 1: 1 1. 3 1 : A u s
2ro: 1 mod 11 und
2ro-- 1 mod 31
( b ea c h te2 7 o: 1 0 2 4 :3 . 1 1 . 3 1 + t ) f" ,t g t
23 4 -r 2 . 2 3 4 0: 2 m o d 1 1 u n d 2 3 4 -1 2 ' 2 zt o : 2 m o d 3 1 ,
unterhalb von 2000sind
also 23al : 2 mod 341. Die weiterenGegenbeispiele
561 :
1387 :
3 . 1 1. 1 7 ,
1 9' 7 3 ,
645 :
1729 :
3'5'43,
7 ' 1 3' 1 9 ,
1105 :
1905 :
5' 13' 17'
3'5'127.
Bine zusammengesetztenatürliche Zahl n mit nlz - 2 nennt man eine Pseud,oprimzahloder auch eine chinesischePrimzahl.
Satz 17: Ist n eine ungerade Pseudoprimzahl, dann ist auch 2" - I eine ungerade Pseudoprimzahl.
Beweis:EsseineineungeradePseudoprimzah1,aIso2"_1-1
& g IN. Dann ist 22"-2 - 22knund somit 22"-2 - 1 - (2)'o - 1. Daraus folgt
2 " - I l 2 z ^ - z - 1 , a l s oa u c h 2 " - I l 2 z ^ - t - 2 . I s t n u n d l n m i t 1 < d < n , d a n n
und I < 2d- 1 < 2 - I. Also ist auch 2' - 1 eine
ist auch 2d - Il2 -l
Pseudoprimzahl. o
Da die Pseudoprimzahl 341 ungerade ist, folgt aus Satz L7 die Existenz von
unendlich vielen ungeraden Pseudoprimzahlen.Die kleinste bisher bekannte gerade Pseudoprimzahlist 161038: 2.73.1103.Es ist bewiesenworden, daß auch
unendlich viele gerade Pseudoprimzahlen existieren. (Vgl. hierzu z.B. [Sierpinski 1988].) Alle Fnnuar-Zahlen und alle MpRspNNn-Zahlen (vgl. III.10)
sind Primzahlen oder Pseudoprimzahlen (Aufgabe 55).
li
Eine zusammengesetzteZahl n, für welchenla" - a fijr alle a mit ggT(c, n) :
oder CaRMICHAEL-Zahl(nach Rosnnr
1 gilt, heißt absolutePseudoprimzah,l
D. CenuICHAEL, der im Jahr 1909eine Arbeit über dieseZahlen schrieb).Die
k l e i n s t es o l c h eZ a h l i s t 5 6 1 : 3 . 1 1 . 1 7 .
Satz 18: Genau dann ist n eine CanMIcH,q,EL-Zahl,wenn n : grqz. . . q; mit
ungeradePrimzahlen mit q;-lln- 1 (i :
k ) 3, wobei Qrtezt.. . tgr,verschiedene
I,2,. .. , k) sind.
Beweis: 1) Bs sei n von der angegebenenForm und a zu n teilerfremd. Aus
I
I
aq.'r-1modg;
folgt dann an-r :1 mod Q; (i : I,2,,. .. , k) und damit an-r : 1 mod n.
2) Es sei c'-1 : 1 mod n für jedes zu n teilerfremde c. Wir zeigen, daß dann
gelten muß:
77r
l l l . 9 P r i mza h l k ri t er iuennd P se u d o p r im z a h le n
a)
b)
c)
d)
n ist ungeradel
n ist quadratfrei;
n besitzt mindestens drei Primfaktoren;
für jeden Primfaktor p von n gilt p - Il" - 7.
Zu a): Aus (-1)"-1 : 1 mod n folgt nl2, falls n gerade ist.
Zu b): Es sei p ein Primteiler von n und poln. Dann ist a"-1 : 1 mod po und
damit, da mod p' primitive Restklassenexistiercn,g(p')ln - l.Aus pln und
p"-t(p- 1)1"- 1 folgt a : 1.
-l
und q-Ilt-1,
Z t t c ) : I s t n - p q m i t P r i m z a h l e np , e , s o g i l t p - 1 l t
weil modulo p und modulo g primitive Restklassen existieren. Wegen n - 1 :
p q - I : p ( q - 1 ) + p - l f o l g t p - 1 l q - 1 u n d q - I l p - 7 , a l s op : q . N a c h b )
mußaber pf qsein.
n r i m z a h l e n e t , e z , . . . , Q k ,d a n n g i l t
Z u d ) : I s t n : % Q 2 . . . 9 1m i t v e r s c h i e d e n eP
g;
primitive
1, weil modulo
Restklassenexistieren (f : 1, 2,. . . , k). D
e; lln
Vermutlich gibt es unendlich viele C.q,nMtcueEl-Zahlen, dies konnte aber
bis heute noch nicht bewiesen werden. Unterhalb von 10ro hat man 1547
gefunden. Vermutlich gibt es sogar unendlich viele
CnnutcneEt-Zahlen
genau drei Primfaktoren. Beispiele hierfür sind
l'nr,-Zahlen
mit
Cenutctt
3. 11.17
7. 13'19
5. 13. 17
5 . 1 7. 2 9
5 . 2 9. 7 3
7. 13.31
7 . 1 9 .6 7
7.23.41
7.3r.73
7.73.703
Man kann sogar vermuten, daß frir
CnRuIcuaEt-Zahle n ge2g mit
13.37.61
1 3. 3 7 . 9 7
1 3. 3 7. 2 4 7
1 3. 6 1. 3 9 7
13-97-42r
jede Primzahl
p unendlich
viele
h=Qz=gs=1modp-I
existieren. Fü-r p : 11 findet man (mit einem elektronischen Rechner) sehr
schnell die folgenden Beispiele:
31. 61 . 211
41 . 61. 101
6 1 . 1 8 1. 1 3 8 1
4 1 ' 1 0 1' 4 6 1 6 r . 2 4 r . 4 2 7
3 1. 6 1 . 2 7 1
47.24r.521 6r.277.571
3 1. 6 1 . 6 3 1
3 1 . 1 5 1. 1 1 7 1 4 7 ' 2 4 r . 7 6 1 6 1 . 6 6 1. 2 5 2 r
31.181.331
3 1 . 2 7 1. 6 0 1
77'27r.521
7r.421.49r
7 1 . 6 3 1. 7 0 1
Die UmkehrungdesSatzesvon FnRulr gilt alsonicht, man kann auso'-1 :
1 mod n für alle a mit ggT(a,,n) : 1 nicht schließen,daß n eine Primzahl ist.
772
lll Restklassen
Gilt aber außerdem
ok #Imodn
für alle,t mit 1 < ,t 1 n -2
für alle zu n Leilerfremden a, dann ist n eine Primzahl. Es gilt dann nämlich
ord"[a] : TL- 1, die Zahlen ara2,a3,...rdn-t sind also paarweiseinkongruent
mod n und teilerfremd ^1 n; daher ist g(n) : n - 1, so daß jede der Zah\en
Lr2r. . . ,,n - | zu n teilerfremd sein muß, n also eine Primzatrl ist. Im Jahr
1891 wies Luces darauf hin, daß man dabei die Bedingung ok #I modn nur
für frln - 1 fordern muß. Eine weitere Abschwächung der Bedingungen geht
auf DBnnIcK HENRv LEHMER(1927) zurück (vgl. [Brillhart/Lehmer/Selfridge
1e751):
Satz 19: Es sei n ) 1. Wenn für jeden Primteiler p von n - I eire ganze Zahl
a : a(p) existiert mit
an-r:1
mod n
und
"+
* l mod n,
dann ist n eine Primzahl.
Beweis: Wir zeigen, daß p(n) : n - 1 ist. Wegen p(") S n - I genügt dazu
der Nachweis, daß n - Llg@). Wti,re dies falsch, dann gäbe es eine Primzahl p
und ein r € IN mit p"ln - L und p" lV@). Mit o : a(p) und e : ord,[a] gilt
folgt dann p'lv@), es ergibt sich
1) und Ä+,, alsop"le. Aus
"l(""
"
l
p
(
"
)
ü
also ein Widerspruih.
rl i l .
ll
i
.i
,i .'
i:ri
t:
!
I
Der Primzahltest in Satz 19 ist nicht allzu effektiv, weil man die Primfaktorzerlegung der u.U. sehr großen Zahl n - 1 kennen muß. Wir werden aber
sehen, daß er in gewissen sehr interessanten Spezialfällen schon recht hilfreich
sein kann.
Beispiel: Wir wollen zeigen, daß die Zahl n : )16 * 1 : 65537 eine Primzahl
ist. Dazu genügt es, ein o mit
o"u = L mod (216+ 1)
und
o"u * l mod (z16+ t)
zu finden. Die folgende Tabelle zeigt, daß man a : 3 wählen kann. Gleichzeitig
zeigt sich, daß die Restklasse[3] mod 216+ 1 primitiv ist.
0r
mod (2
+1)
3981
2
6 56 1 - 1 1 0 8 8 - 3 6 6 8 19 1 3 9 1 5 0 2 8
13
L4
15
16
8
9
10 1112
282 13e87 8224 -8 64 40e6 -256 -1(!) 1(!)
Bemerkung: Primzahltests sind oft von stochastischerNatur, d.h. sie belegen
nur mit einer gewissen (sehr kleinen) Fehlerwahrscheinlichkeit, daß eine vorgelegte Zahl eine Primzahl ist. Eines dieser Verfahren ist der RnelN-?est [Rabin
(1)
e rimzahlen
f l l . 1 0 M e r s e n n e s c huen d F e r m a t s c h P
I73
1980]: Ist p eine (ungerade) Primzatrl und g(p) - p - I : 2tu (z ungerade),
darrn gilt zunächst op-l : 1 mod p für jedes a € {2,3,,..,p - 1}. Es folgt
('+)'=lmodP'
also
o*
:1modp
od.er o*
: -1 modp.
oder a+
- -1 modp.
Ist t > 1, so folgt im ersten Fall
o*
:1modp
So fortfahrend findet man, daß
au : Imod p
oder
a2"u= L mod P
für ein s mit 0 ( s < I gilt. Nun nennt man eine Zahl n eine starlce Pseudoprimzahl zur Basis a, wenn mit n :2tu (u ungerade)
au : L mod n
oder
a2"u: -1 mod n
füreins mit 0 ( s < t gilt. Wählt marrnun kZahIen daus {2,3,'..,t -1}
beliebig aus und erweist sich dabei n stets als starke Pseudoprimzahl zur Basis o,
dann ist n ,,sehr wahrscheinlich" eine Primzatrl; die Wahrscheinlichkeit, daß p
(ä)^. RastN hat dieses Verfahren
lceine Primzahl ist, ist nämlich kleiner
"tr
laoo 593 angewendet und gefunden, daß n mit eiuer
mit k : 100 auf n
< 10-60 eine Primzahl ist. Es konnte mit
Fehlerwahrscheinlichkeit < (i)t*
,,exakten" Tests gezeigt werdäri, daß dies tatsächlich eine Primzahl ist.
Primzahltests werden ausführlich in [Kranakis 1986], [Ribenboim 1988], [Riesel 1987], [Wolfart 1981] diskutiert. Eine Übersicht über Primzahltests und
Pseudoprimzahlen gibt [Guthmann 1986].