BMS – Aufnahmeprüfung Mathematik Teil 1 D

Bildungsdirektion des Kantons Zürich
Mittelschul- und Bildungsamt
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BMS – Aufnahmeprüfung
Jahr
2014
Serie
D
Basierend auf Lehrmittel (alt): Arithmetik und Algebra (Hohl)
Fach
Mathematik
Teil 1
Dauer
45 Minute n
Hilfsmittel
- Zeichenutensilien, kein Taschenrechner, keine Formelsammlung
Vorschriften
- Lösen Sie die Aufgabe im dafür vorgesehenen Feld.
- Der Lösungsvorgang muss vollständig ersichtlich sein.
- Ungültiges ist zu streichen.
- Bleistift ist nur für Zeichnungen zulässig.
- Unterstreichen Sie die Ergebnisse.
Bewertun g
- Dieser Prüfungsteil umfasst 9 Aufgaben mit insgesamt 18 Punkten.
- Die Bewertung ist bei jeder Aufgabe angegeben.
- Der Lösungsweg wird mitbewertet.
Name
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Vorname
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Prüfungsnummer
…………….………………………………………………………………………………...……………………
Teil 1
…………………
Punkte
Teil 2
…………………
Punkte
Summe ( Teil 1 und 2 )
…………………
Punkte
Ergebni s
( auf eine halbe Note gerundet )
Der Experte / die Expertin
.………………………………………………………………………………...……………………
Berufsmaturitätsschulen des Kantons Zürich
BMS – Aufnahmeprüfung 2014
Basierend auf Lehrmittel (alt): Arithmetik und Algebra (Hohl)
Math ematik
Serie
D
Teil 1
1. Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich:
(3x + 4)
2
! (3x ! 2)
Serie D , Teil 1
2
(2 Punkte)
Seite 1
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, Serie D , Teil 1
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2. Lösen Sie die Gleichung nach x auf:
5
1+ 2x
=
1 ! 2x
10x
Serie D , Teil 1
(2 Punkte)
Seite 2
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, Serie D , Teil 1
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3. Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
4
25
:(! ) +
8
15
Serie D , Teil 1
3
4
! 15
2
(2 Punkte)
Seite 3
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, Serie D , Teil 1
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4.
Der Winkel ! misst 130°.
DC ist parallel zu AB.
M ist das Zentrum des Halbkreises.
Berechnen Sie folgende Winkel:
! = "(BMC) und # = "(DCB).
(2 Punkte)
Serie D , Teil 1
Seite 4
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, Serie D , Teil 1
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5.
Die Figur ABCD ist ein Trapez. Die Verlängerung
der Seiten BC und AD schneiden sich im Punkt E.
Ferner gilt:
AB = 12 cm, BC = 5 cm, CD = 8 cm, DA = 3 cm.
Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks ABE.
(2 Punkte)
Serie D , Teil 1
Seite 5
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, Serie D , Teil 1
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6. Petra besass anfangs Woche, am Montag, eine bestimmte Summe Taschengeld.
Am Dienstag gab sie einen Viertel dieses Geldes aus. Am Mittwoch verdiente sie durch
Babysitten 45 Franken. Vom neuen Vermögensstand gab sie am Freitag die Hälfte für ein
T-Shirt aus. Am Ende der Woche hatte sie nun genau gleich viel Taschengeld, wie sie am
Montag besessen hatte.
Wie viele Franken hatte Petra am Montag besessen? Die Aufgabe ist mit einer Gleichung zu
lösen.
Serie D , Teil 1
(2 Punkte)
Seite 6
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, Serie D , Teil 1
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7. Vier Freunde, A, B, C und D, teilen eine Geldsumme von CHF 880.— unter sich wie folgt auf:
B erhält zwei Drittel des Wertes von A, C erhält halb so viel wie B, und D erhält so viel wie A und
B zusammen. Wie viele Franken erhält jede Person?
Die Aufgabe ist mit einer Gleichung zu lösen.
Serie D , Teil 1
Seite 7
(2 Punkte)
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, Serie D , Teil 1
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8.
Das abgebildete Rechteck ABCD ist in fünf Teilflächen unterteilt. Dabei sind die drei
Flächeninhalte A1, A2 und A3 gleich gross.
Vom kleinen Rechteck sind die Länge a und die Breite b gegeben:
a = 5 cm, b = 3 cm.
Berechnen Sie die Länge der Höhe h des rechtwinkligen Trapezes mit dem Flächeninhalt A3.
(2 Punkte)
Serie D , Teil 1
Seite 8
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, Serie D , Teil 1
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9. In einem Quadrat werden zwei gegenüberliegende Seiten um je 20.5 cm
in die gleiche
Richtung verlängert. Das andere Seitenpaar wird in gleicher Weise um je 2.5 cm verkürzt. So
entsteht ein Rechteck, dessen Umfang das Dreifache des Quadrat-Umfangs beträgt.
Berechnen Sie mit Hilfe einer Gleichung die Länge der ursprünglichen Quadratseite.
(2 Punkte)
Serie D , Teil 1
Seite 9
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, Serie D , Teil 1
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Zusatzblatt
Name :
Serie D , Teil 1
Nr.
………….………….………….………….
Seite 10
………….………….………….
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BMS – Aufnahmeprüfung 2014 , Serie D , Lösungen
Lösungen Serie D, Teil 1
1.
(3x + 4)2 – (3x – 2)2 = 9x2 + 24x + 16 – (9x2 – 12x + 4)
= 9x2 + 24x + 16 – 9x2 + 12x – 4 = 36x + 12 oder 12(3x + 1)
(1 P)
(1 P)
2.
1+ 2x5 =
1!2x
10x
| "10x # 10x + 25 = 1! 2x
(1 P)
(1 P)
! 12x = "24 ! x = "2
3.
4
25
:(! ) +
8
15
3
4
! 15
2
=
4"(!1)"15
25"8
+ ( 15
! 204 ):2 =
20
!3
10
+
11
40
=
!12+11
40
=
!1
40
(pro F. -1 P)
4.
! = 80°," = 130°
(pro Winkel 1 P)
5.
x cm
y cm
8 cm
3 cm
5 cm
12 cm
x : 8 = (x + 3) : 12 => x = 6 => Länge EA = 9 cm
y : 8 = (y + 5) : 12 => y = 10 => Länge EB = 15 cm
=> Umfang Dreieck ABE = 36 cm.
(1 P)
(1 P)
6.
x = Anzahl Franken anfangs Woche
( 3x4 + 45):2 = x
(1 P)
! + 45 = 2x ! 3x + 180 = 8x ! 5x = 180 ! x = 36
Antwort: Sie besass 36 Fr.
(1 P)
3x
4
Serie D , Lösungen
1
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BMS – Aufnahmeprüfung 2014 , Serie D , Lösungen
7.
A
x Fr.
B
2x/3 Fr.
C
x/3 Fr.
D
5x/3 Fr.
Gleichung: x + 2x/3 + x/3 + 5x/3 = 880
(1 P)
11x/3 = 880, x/3 = 80, x = 240.
Verteilung:
A
B
240 Fr.
160 Fr.
C
80 Fr.
D
400 Fr.
(1 P)
8.
a = 5 cm, b = 3 cm ! A1 = A2 = A3 = 15 cm2
! Höhe des Dreiecks mit Flächeninhalt A2 ist gleich 6 cm
! Rechteckbreite = 9 cm
! Im Trapez mit Flächeninhalt A3 gilt: h ! (3 + 9)/2 cm = 15 cm2
! h = 15 cm2 : 6 cm = 2.5 cm.
(0.5 P)
(0.5 P)
(1 P)
9.
x = Länge Quadratseite. Umfang Quadrat = 4x. Umfang Rechteck = 12x.
x + 20.5 cm + x + 20.5 cm + x – 2.5 cm + x – 2.5 cm = 12x
(1 P)
! 4x + 36 cm = 12x ! 8x = 36 cm ! x = 4.5 cm.
(1 P)
Serie D , Lösungen
2
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Mittelschul- und Bildungsamt
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BMS – Aufnahmeprüfung
Jahr
2014
Basierend auf Lehrmittel (alt): Arithmetik und Algebra (Hohl)
Fach
Mathematik
Teil 2
Dauer
45 Minuten
Hilfsmittel
- Zeichenutensilien, Taschenrechner ohne Grafikfunktionen,
keine Formelsammlung
Vorschriften
- Lösen Sie die Aufgabe im dafür vorgesehenen Feld.
- Der Lösungsweg muss vollständig ersichtlich sein.
- Ungültiges ist zu streichen.
- Bleistift ist nur für Zeichnungen zulässig.
- Unterstreichen Sie die Ergebnisse.
Bewertun g
- Dieser Prüfungsteil umfasst 6 Aufgaben mit insgesamt 18 Punkten.
- Die Bewertung ist bei jeder Aufgabe angegeben.
- Der Lösungsweg wird mitbewertet.
Serie
E
Name
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Vorname
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Prüfungsnummer
…………….………………………………………………………………………………...……………………
Teil 2
Der Experte / die Expertin
…………………
Punkte
.………………………………………………………………………………...……………………
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BMS – Aufnahmeprüfung 2014
Basierend auf Lehrmittel (alt): Arithmetik und Algebra (Hohl)
Math ematik
Serie
E
Teil 2
1. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem:
1
2
x ! 31 y = 1
3(x ! 4) ! y = 3
Serie E , Teil 2
(3 Punkte)
Seite 1
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BMS – Aufnahmeprüfung 2014
, Serie E , Teil 2
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2.
Die schraffierte Figur besteht aus einem
rechtwinkligen Trapez und einem Halbkreis.
!
Man kennt folgende Längen:
____
____
a = AB = 30.0 cm, c = CD = 22.0 cm,
! = 60°.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Figur.
Genauigkeit: 1 Dezimale. Verwenden Sie für π die Taste des Taschenrechners.
(3 Punkte)
Serie E , Teil 2
Seite 2
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, Serie E , Teil 2
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3.
a) Tragen Sie ins Koordinatensystem unten die Graphen folgender Funktionen ein:
f: y = ! 21 x + 3
g: y = x ! 2
h: y = 1
(1.5 Punkte)
b) Bestimmen Sie rechnerisch den Schnittpunkt S(xS / yS) der Graphen der Funktionen f und g
von Teilaufgabe a). Lassen Sie auftretende Brüche stehen.
Serie E , Teil 2
Seite 3
(1.5 Punkte)
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BMS – Aufnahmeprüfung 2014
, Serie E , Teil 2
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4. Ein grosses, zylinderförmiges Regenfass, das oben offen ist, hat einen Durchmesser von
80 cm. Füllt man es randvoll, fasst es 800 Liter Flüssigkeit (1 Liter = 1 dm3).
a) Berechnen Sie die Höhe des Gefässes. Geben Sie das Resultat in Metern an.
Genauigkeit: 1 Dezimale. Verwenden Sie für π die Taste des Taschenrechners.
(1 Punkt)
b) Ein zweites, ebenfalls oben offenes, zylinderförmiges Regenfass mit Durchmesser 80 cm
und Höhe 140 cm soll nur innen neu gestrichen werden. Pro m2 Fläche braucht man 0.1 kg
Farbe. Wie viel Farbe benötigt man für den Anstrich?
Geben Sie das Resultat in kg an. Genauigkeit: 3 Dezimalen.
Verwenden Sie für π die Taste des Taschenrechners.
Serie E , Teil 2
Seite 4
(2 Punkte)
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BMS – Aufnahmeprüfung 2014
, Serie E , Teil 2
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5. Max und Lara fahren einander aus 32 km Entfernung mit dem Fahrrad entgegen. Max startet
Punkt 10.00 Uhr, Lara um 10.30 Uhr.
Um 10.30 Uhr hat Max bereits 7.5 km zurückgelegt.
a) Um welche Uhrzeit treffen sie sich, wenn Lara mit durchschnittlich 20 km/h fährt?
(2 Punkte)
b) Wie viele Kilometer ist Max bis zum Treffen gefahren?
Serie E , Teil 2
Seite 5
(1 Punkt)
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BMS – Aufnahmeprüfung 2014
, Serie E , Teil 2
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6. Konstruieren Sie ein spitzwinkliges Dreieck ABC aus
b = 11.0 cm, ha = 9.8 cm,
!
= 72°.
Es wird ein Konstruktionsbericht verlangt.
Serie E , Teil 2
(3 Punkte)
Seite 6
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BMS – Aufnahmeprüfung 2014
, Serie E , Teil 2
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Zusatzblatt
Name :
Nr.
………….………….………….………….
Zusatz-Diagramm zu Nr. 3a:
Serie E , Teil 2
Seite 7
………….………….………….
Berufsmaturitätsschulen des Kantons Zürich
BMS – Aufnahmeprüfung 2014 , Serie E , Lösungen
Lösungen Serie E, Teil 2
1.
1
2
x ! 31 y = 1
3(x ! 4) ! y = 3
!
"
3x ! 2y = 6
3x ! y = 15
(1 P)
" 3x + 2y = "6
#y=9
3x " y = 15
(1 P)
! x = 8; L = {(8 | 9)}
(1 P)
2.
ATrapez = 26 cm ! 8 !√3 cm ! 360.2665 cm2
(1 P)
AHalbkreis = ½ (4 !√3)2 !π cm2 = 24π cm2 !
75.3982 cm2
(1 P)
Atotal ! 435.7 cm2 .
(1 P)
( total 3 P)
3a)
(je 0.5 P  total 1.5 P)
3b)
-½ x + 3 = x – 2 ! -x + 6 = 2x – 4 ! 3x = 10 ! x = 10/3
y = 10/3 – 6/3 = 4/3
S(10/3 / 4/3)
Serie E , Lösungen
3
(1.5 P)
Berufsmaturitätsschulen des Kantons Zürich
BMS – Aufnahmeprüfung 2014 , Serie E , Lösungen
4a)
(0.4 m)2 !π !h = 0.8 m3 ! h = 0.8 / (0.16π) m ! 1.6 m
(1 P)
4b)
r = 0.4 m, h = 1.4 m
Grundfläche G = 0.42π m2
Mantelfläche M = 0.8π !1.4 m2
(0.5 P)
(0.5 P)
Zu bemalende Fläche: G + M ! 4.02 m2.
(0.5 P)
Benötigte Farbe: 4.02 !0.1 kg ! 0.402 kg Farbe.
(0.5 P)
5a)
Geschwindigkeit von Max: 15 km/h.
x = Anzahl Stunden bis Treffen ab Start von Max (ab 10.00 Uhr).
(0.5 P)
15x + 20(x – ½) = 32
! 35x – 10 = 32 ! 35x = 42 ! x = 6/5 .
(0.5 P)
(0.5 P)
6/5 h = 1 h 12 min ! Sie treffen sich um 11.12 Uhr.
(0.5 P)
5b)
15 km/h ! 6/5 h = 18 km. Max fuhr 18 km.
(1 P)
6. Konstruktionsbericht
1. Seite b ( A, C)
2. Thaleskreis über b, ha abtragen  Ha
3. C mit Ha verbinden  Gerade, welche die Seite a enthält
4. Auf dieser Geraden irgendwo ! abtragen; parallel verschieben, bis Schenkel
durch A läuft  B
Variante:
1. Höhenstreifen ha
2. A wählen, b abtragen  C
3. Auf der Höhenstreifengeraden, welche die Seite a enthält,
parallel verschieben, bis Schenkel durch A läuft  B
! abtragen;
(Konstruktion 2 P, Bericht 1 P
 total 3 P)
Serie E , Lösungen
4