Allgemeine Mechanik Serie 3.

Allgemeine Mechanik
Serie 3.
HS 2014
Prof. Thomas Gehrmann
Ausgabe: 6. Oktober 2014
http://www.physik.uzh.ch/~dkara/Mechanik/
Übung 1.
Umlaufbahnen für Zweikörperprobleme
Die Bewegungsgleichung von zwei Körpern in einem zentralwirkendem Kraftfeld, U (r) = −α/r,
lautet wie folgt:
Z
dr
q
,
(1)
t=
L2
2
E
−
U
(r)
−
2
2
µ
µ r
wobei µ die reduzierte Masse, U (r) das zentrale Kraftpotential, r der absolute Abstand zwischen
den Körpern und L das Drehimpuls der beiden Körper ist. Führe für die beiden Fälle
(a) E = 0
(b) E > 0
die Integration ohne Einfürung der Winkelvariablen φ mit Hilfe geeigneter Variablensubstitutionen r = r(η) durch, um zunächst t(η) zu erhalten. Bestimme mit Hilfe der allgemeinen
Lösungsform der Umlaufbahnen x(η) und y(η).
Übung 2.
Reise zum Mars
Die Sonde “Mariner4” sollte in einer elliptischen Umlaufbahn, mit Perihel auf der Erde (E)
und Aphel auf dem Mars (M), von der Erde zum Mars fliegen (siehe Graphik). Nehme an, dass
sowohl die Erde als auch der Mars in einer kreisförmigen Umlaufbahn gegen den Uhrzeigersinn
um die Sonne (S) kreisen. Die entsprechende Radii für die Umlaufbahnen der Erde und des
Mars betragen dabei jeweils RE = 150 · 106 km und RM = 230 · 106 km. Gravitative Effekte der
Planeten auf die Sonde sind vernachlässigbar.
Mariner4
M
θ
r
RE
E
S
RM
(a) Bestimme Mariner4’s potentielle und kinetische Energie im Gravitationsfeld der Sonne,
wobei m die Masse der Sonde und M = 2 · 1030 kg die Masse der Sonne ist.
1
(b) h = r2 θ̇ ist eine Konstante, wobei r der Radius und θ der polare Winkel der Sonde in ihrer
Sonnenumlaufbahn sind (siehe Graphik). Bestimme die Energie der Sonde in Abhängigkeit
von h am Perihel (r minimal) und am Aphel (r maximal). Benutze das Prinzip der Energieerhaltung um h zu bestimmen.
(c) Bestimme die absolute Geschwindigkeit, v, der Sonde am Perihel.
(d) Angenommen die Sonde wird tangential und augenblicklich zur Sonnenumlaufbahn der
Erde von der Erde abgeschossen. Bestimme die absolute Anfangsgeschwindigkeit der Sonde
relativ zur Erdoberfläche, um die beschriebene Umlaufbahn zu erreichen?
(e) Mit welcher absoluten Geschwindigkeit relativ zur Oberfläche des Mars wird die Sonde ihr
Ziel erreichen?
(f) Was ist die Periode von Mariner4’s Umlaufbahn?
(g) Wie lange dauert die Reise der Sonde?
Übung 3.
Supernova in einem Zweisternsystem
Zwei Sterne mit jeweiliger Masse M und m, separiert durch eine Distanz d, rotieren in kreisförmigen
Umlaufbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt (MS), wobei beide Sterne als punktförmige
Objekte angenommen werden können. In einer Supernovaexplosion verliert der Stern der Masse
M eine Masse ∆M . Die Explosion geschieht plötzlich, ist sphärisch-symmetrisch und übt dabei weder Reaktionskräfte auf das Überbleibsel der Supernova noch auf den anderen Stern aus.
Zeige, dass das Stern-Supernovaüberbleibsel-System im Falle von,
∆M <
M +m
,
2
(2)
nach der Explosion gebunden ist. Die untere Graphik zeigt das System unmittelbar nach der
Explosion, wobei sich nun der MS mit einer Geschwindigkeit v fortbewegt.
r1 ω
M − ∆M
r1
ω
r2
m
MS
v
r2 ω
Hinweis: Ermittel die potentielle und kinetische Energie der zwei Körper in dem Masseschwerpunktssystem nach der Explosion, benutzte T +V < 0 als Bedingung für ein gebundenes System.
2