Klausurähnliche Aufgaben

Wintersemester 2007/08
Zählen und Zahlbereiche
Klausurähnliche Aufgaben
Aufgabe 1a
Die Addition und Multiplikation in N unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(M2) Für alle m, n ∈ N gilt mn = nm.
(D) Für alle ℓ, m, n ∈ N ist ℓ(m + n) = ℓm + ℓn.
Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass
(a + (b + c))(p + q) = (ap + (bp + cp)) + ((aq + bq) + cq)
für alle a, b, c, p, q ∈ N.
Aufgabe 1b
Die Addition in N unterliegt unter anderem den folgenden Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass
(a + b) + (c + d) = (d + b) + (c + a)
für alle a, b, c, d ∈ N.
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Aufgabe 1c
Die Addition in N unterliegt unter anderem der folgenden Regel:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
Man zeige nur unter Verwendung von (A1), dass:
(1) Für alle p, q, r, s ∈ N gilt
((p + q) + r) + s = p + (q + (r + s)) .
(2) Für alle p, q, r, s, t ∈ N gilt
(((p + q) + r) + s) + t = p + (q + (r + (s + t))) .
Hinweis zu (2): Man wende (1) auf die Zahlen p + q, r, s, t an.
Aufgabe 1d
Die Addition in N unterliegt unter anderem den folgenden Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
(K) Für alle m, n, p ∈ N mit p + m = p + n ist m = n.
Seien a, b, c, d, p, q ∈ N mit
(p + a) + (b + q) = (q + p) + (d + c) .
Man zeige nur unter Verwendung von (A1), (A2) und (K), dass
a+b=c+d.
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Aufgabe 1e
Die Addition in N unterliegt unter anderem den folgenden Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
Seien m, n ∈ N; wir schreiben m < n, wenn es ein ℓ ∈ N gibt, so dass n = m + ℓ.
Seien a, b, c, d ∈ N. Man zeige nur unter Verwendung von (A1) und
(A2), dass
a + b < (b + c) + (d + a) .
Aufgabe 1f
Die Addition in N unterliegt unter anderem den folgenden Regeln:
(A1) Für alle ℓ, m, n ∈ N gilt (ℓ + m) + n = ℓ + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
(K) Für alle m, n, p ∈ N mit p + m = p + n ist m = n.
Seien m, n ∈ N; wir schreiben m < n, wenn es ein ℓ ∈ N gibt, so dass n = m + ℓ.
Seien m, n, p ∈ N mit m + p < n + p. Man zeige nur unter Verwendung
von (A1), (A2) und (K), dass m < n.
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Aufgabe 2a
Die Addition und die Differenz in Z unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle p, q, r ∈ Z ist (p + q) + r = p + (q + r).
(d1) Für alle p, q ∈ Z gilt p = q + (p − q).
(d2) Sind p, q, r ∈ Z mit p = q + r, so ist r = p − q.
(x0) Für alle p ∈ Z ist p + 0 = p.
Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass
(ℓ − m) + ((n − ℓ) + (m − n)) = 0
für alle ℓ, m, n ∈ Z.
Hinweis: Man zeige zunächst, dass (ℓ − m) + ((n − ℓ) + (m − n)) = m − m und
dann, dass m − m = 0.
Aufgabe 2b
Die Addition und die Differenz in Z unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle p, q, r ∈ Z ist (p + q) + r = p + (q + r).
(d1) Für alle p, q ∈ Z gilt p = q + (p − q).
(d2) Sind p, q, r ∈ Z mit p = q + r, so ist r = p − q.
Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass
(ℓ − a) + ((m − ℓ) + (b − m)) = (n − a) + (b − n)
für alle a, b, ℓ, m, n ∈ Z.
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Aufgabe 2c
Die Addition und die Differenz in Z unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle p, q, r ∈ Z ist (p + q) + r = p + (q + r).
(d3) Für alle p, q ∈ Z gilt p = (p − q) + q.
(d4) Sind p, q, r ∈ Z mit p = r + q, so ist r = p − q.
Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass
(a − b) + ((b − c) + (c − d)) = a − d
für alle a, b, c, d ∈ Z.
Hinweis: Man zeige zunächst, dass (p − q) + (q − r) = p − q für alle p, q, r ∈ Z.
Aufgabe 2d
Die Addition und die Differenz in Z unterliegen unter anderem den folgenden
Regeln:
(A1) Für alle p, q, r ∈ Z ist (p + q) + r = p + (q + r).
(d1) Für alle p, q ∈ Z gilt p = q + (p − q).
(d2) Sind p, q, r ∈ Z mit p = q + r, so ist r = p − q.
(d3) Für alle p, q ∈ Z gilt p = (p − q) + q.
(d4) Sind p, q, r ∈ Z mit p = r + q, so ist r = p − q.
Man zeige nur unter Verwendung von diesen Regeln, dass
((c − d) + (a − b)) + (b − c) = a − d .
für alle a, b, c, d ∈ Z.
Hinweis: Man zeige zunächst, dass (p − q) + (q − r) = p − q für alle p, q, r ∈ Z.
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Vorspann zu den Aufgaben 3a, 3b und 3c
Ein Bruch ist ein Ausdruck der Form m/n mit m, n ∈ Z und n 6= 0. Brüche m/n
und p/q heißen äquivalent, und wir schreiben dann m/n ≈ p/q, wenn mq = pn.
Die folgenden Aussagen fassen die Beziehung zwischen Brüchen und rationalen
Zahlen zusammen:
(Q1) Jedem Bruch m/n wird eine rationale Zahl zugeordnet, die mit [m/n] bezeichnet wird.
(Q2) Für Brüche m/n und p/q gilt [m/n] = [p/q] genau dann, wenn m/n ≈ p/q.
(Q3) Zu jeder rationalen Zahl r gibt es einen Bruch m/n mit r = [m/n].
(Q4) Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
(Q5) Für jedes n ∈ Z ist n = [n/1].
Seien m/n und p/q Brüche; die Summe (m/n) + (p/q) von m/n und p/q wird
definiert durch
(m/n) + (p/q) = (mq + pn)/(nq) .
Lemma 1 Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q.
Dann gilt (a/b) + (c/d) ≈ (m/n) + (p/q).
Seien r und s rationale Zahlen; nach (Q3) gibt es dann Brüche m/n und p/q mit
r = [m/n] und s = [p/q]. Die Summe r + s von r und s wird definiert durch:
r + s = [(m/n) + (p/q)] .
Nach Lemma 1 macht dies einen Sinn: Sind a/b und c/d weitere Brüche mit
r = [a/b] und s = [c/d], so gilt nach (Q2), dass a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q, damit
ist nach Lemma 1 (a/b) + (c/d) ≈ (m/n) + (p/q) und daraus ergibt sich nach
(Q2), dass [(a/b) + (c/d)] = [(m/n) + (p/q)]. Die Definition von r + s hängt also
nicht davon ab, welche Brüche man wählt, um r und s darzustellen.
Seien m/n und p/q Brüche; das Produkt (m/n)(p/q) von m/n und p/q wird
definiert durch
(m/n)(p/q) = (mp)/(nq) .
Lemma 2 Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q.
Dann gilt (a/b)(c/d) ≈ (m/n)(p/q).
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Seien r und s rationale Zahlen; nach (Q3) gibt es dann Brüche m/n und p/q mit
r = [m/n] und s = [p/q]. Das Produkt rs von r und s wird definiert durch:
rs = [(m/n)(p/q)] .
Nach Lemma 2 macht dies einen Sinn: Sind a/b und c/d weitere Brüche mit
r = [a/b] und s = [c/d], so gilt nach (Q2), dass a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q, damit
ist nach Lemma 2 (a/b)(c/d) ≈ (m/n)(p/q) und daraus ergibt sich nach (Q2),
dass [(a/b)(c/d)] = [(m/n)(p/q)]. Die Definition von rs hängt also nicht davon
ab, welche Brüche man wählt, um r und s darzustellen.
Aufgabe 3a
Beim Lösen dieser Aufgabe darf man lediglich die Regeln
(M1) Für alle ℓ, m, n ∈ Z gilt (ℓm)n = ℓ(mn).
(M2) Für alle m, n ∈ Z gilt mn = nm.
(D) Für alle ℓ, m, n ∈ Z ist ℓ(m + n) = ℓm + ℓn.
für die Addition und Multiplikation in Z zusammen mit der Information aus dem
Vorspann benutzen.
Seien ℓ, m, n ∈ Z mit n 6= 0 und setze r = [ℓ/n] und s = [m/n]. Man
zeige, dass r + s = [(ℓ + m)/n].
Aufgabe 3b
Beim Lösen dieser Aufgabe darf man lediglich die Regeln
(M1) Für alle ℓ, m, n ∈ Z gilt (ℓm)n = ℓ(mn).
(M2) Für alle m, n ∈ Z gilt mn = nm.
(M3) Für alle m ∈ Z ist 1 · m = m.
(NZ) Für m, n ∈ Z gilt mn 6= 0 genau dann, wenn m 6= 0 und n 6= 0.
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für die Multiplikation in Z zusammen mit der Information aus dem Vorspann
benutzen.
Seien r, s ∈ Q mit rs = 1. Nach (Q3) gibt es dann m, n ∈ Z mit n 6= 0,
so dass r = [m/n]. Man zeige, dass m 6= 0 und s = [n/m].
Hinweis: Nach (Q3) gibt es p, q ∈ Z mit q 6= 0, so dass s = [p/q]. Man zeige
zunächst, dass nq = mp.
Aufgabe 3c
Beim Lösen dieser Aufgabe darf man lediglich die Aussage
(a1) Für alle Brüche k/ℓ, m/n, p/q gilt
(k/ℓ + m/n) + p/q = k/ℓ + (m/n + p/q)
über die Addition von Brüchen zusammen mit der Information aus dem Vorspann
benutzen.
Man zeige: Für alle r, s, t ∈ Q gilt
(r + s) + t = r + (s + t) .
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Vorspann zu den Aufgaben 4a, 4b, 4c, 4d, 4e, 4f und 4g
In diesen Aufgaben darf man lediglich Folgendes über die natürlichen Zahlen
verwenden:
(P0) Die Menge N der natürlichen Zahlen enthält die Zahl 1 und zu jedem
n ∈ N gibt es einen Nachfolger s(n).
(P1) Für alle n ∈ N ist 1 6= s(n). (Die Eins ist kein Nachfolger.)
(P2) Für alle m, n ∈ N mit m 6= n ist s(m) 6= s(n). (Verschiedene Zahlen haben
verschiedene Nachfolger.)
(P3) Es gilt das Prinzip der vollständigen Induktion:
Für jedes n ∈ N sei P(n) eine Aussage. Nehme an:
(⋄) Es gilt P(1).
(⋆) Ist n ein Element von N, für das P(n) gilt, so gilt auch P(s(n)).
Dann gilt P(n) für jedes n ∈ N.
Natürliche Zahlen kann man addieren; die Summe von m und n wird mit m + n
bezeichnet. Die Addition unterliegt den folgenden Regeln:
(a0) Für alle m ∈ N gilt m + 1 = s(m).
(a1) Für alle m, n ∈ N gilt m + s(n) = s(m + n).
Natürliche Zahlen kann man auch multiplizieren; das Produkt von m und n wird
mit m · n bezeichnet. Die Multiplikation unterliegt den folgenden Regeln:
(m0) Für alle m ∈ N gilt m · 1 = m.
(m1) Für alle m, n ∈ N gilt m · s(n) = m · n + m.
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Aufgabe 4a
Eine Zahl m ∈ N heißt Vorgänger von n ∈ N, wenn s(m) = n.
Man zeige:
(1) Die Zahl 1 hat keinen Vorgänger.
(2) Jede Zahl n ∈ N mit n 6= 1 hat genau einen Vorgänger.
Aufgabe 4b
Man zeige:
(1) Für jedes n ∈ N ist n 6= s(n).
(2) Für jedes n ∈ N ist n 6= s(s(n)).
Aufgabe 4c
Man zeige: Es gilt (1 + 1) + n = 1 + (1 + n) für alle n ∈ N.
Hinweis: Man zeige zunächst, dass
(1 + 1) + s(n) = s((1 + 1) + n) und 1 + (1 + s(n)) = s(1 + (1 + n))
für alle n ∈ N.
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Aufgabe 4d
Man zeige: Für alle m, n ∈ N ist n 6= m + n.
Hinweis: Man betrachte für jedes n ∈ N die Aussage P(n): Es gilt n 6= m + n für
alle m ∈ N.
Aufgabe 4e
Man zeige: Für alle n ∈ N gilt 1 + n = s(n).
Aufgabe 4f
In dieser Aufgabe darf man zusätzlich Folgendes verwenden:
(a2) Für alle m, n ∈ N gilt n + (1 + m) = (n + 1) + m.
Man zeige: Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
Aufgabe 4g
Man zeige: Für alle n ∈ N gilt n = 1 · n.