Serie 14 - D-MATH

D-MATH
Prof. Richard Pink
Algebra I
HS 2012
Serie 14
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
1. (a) Zeige cos 72◦ =
√
5−1
.
4
(b) Bestimme die Seitenlänge des regulären Fünfecks mit Umkreisradius 1.
(c) Zeige, dass diese Länge mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
(d) Gib eine Konstruktion dieser Länge an.
2. Entscheide, ob sich der Winkel arccos(11/16) mit Zirkel und Lineal dritteln lässt.
3. Sei n > 1. Zeige, dass die n-Teilung des allgemeinen Winkels mit Zirkel und Lineal
genau dann möglich ist, wenn n eine Zweierpotenz ist.
4. Sei ζ := e2πi/p für eine ungerade Primzahl p. Zeige:
(a) [Q(ζ)/Q] = p − 1. (Hinweis: Eisenstein-Kriterium.)
(b) Ist das regelmässige p-Eck konstruierbar, so ist p eine Fermat-Primzahl, das
k
heisst, p = 22 + 1 für ein k > 0.
5. Für einen Unterkörper K ⊂ C sei
K := {z ∈ C | ∃f ∈ K[X] r {0} : f (z) = 0}.
(a) Zeige, dass jeder endlich erzeugte Unterkörper K ⊂ C abzählbar ist.
(b) Zeige: Ist ein Unterkörper K ⊂ C abzählbar, so ist auch K abzählbar.
(c) Zeige, dass es überabzählbar viele transzendente reelle Zahlen gibt.
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