2.9. Optische Übergangsraten

2.9. Optische Übergangsraten
Wir betrachten optische Übergänge zwischen einem Energieniveaus E2 im Leitungsband (E2>EC)
und einem Energieniveau E1 im Valenzband (E1<EV). Die Wahrscheinlichkeiten für die
Besetzung der Niveaus mit Elektronen sind durch die (Quasi-) Fermiverteilungen gegeben:
f2 =
1
⎛ E − E F ,C
1 + exp⎜⎜ 2
kT
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
und
f1 =
1
⎛ E − E F ,V
1 + exp⎜⎜ 1
⎝ kT
⎞
⎟⎟
⎠
(2.9.1)
EF,C bzw. EF,V sind die Quasi-Ferminergien des Leitungs- und Valenzbandes.
Zwischen den beiden Niveaus sind die in der foldenen Abbildung dargestellten optischen
Übergänge möglich:
Absorption: R12
Stimulierte Emission: R21
Spontane Emission: Rsp
Abbildung 2.9.1: Optische Übergänge zwischen zwei Energieniveaus im Valenz- und
Leitungsband
Die Übergangsraten sind durch folgende Ausdrücke gegeben:
R12 = Rr f1 (1 − f 2 )
(2.9.2a)
Stimulierte Emission: R21 = Rr f 2 (1 − f1 )
(2.9.2b)
Absorption:
Spontane Emission:
Rsp = Rr , sp f 2 (1 − f1 )
(2.9.2c)
Rr bezeichnet dabei die strahlende (radiative) Übergangsrate für stimulierte Emission bzw.
Absorption. Sie ist für beide Prozesse gleich, da die stimulierte Emission der Umkehrprozess zur
Absorption ist. Bei Absorption muss das Niveau im Valenzband mit einem Elektron besetzt sein
(Wahrscheinlichkeit f1), das Niveau im Leitungsband muss frei sein (Wahrscheinlichkeit 1-f2).
Bei stimulierter Emission gilt das Gegenteil. Die Übergangsrate für spontane Emission ist Rr,sp.
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Die Nettorate der stimulierten Emission Rst erhält man als Differenz von (2.9.2b) und (2.9.2a):
Rst = R21 − R12 = Rr ( f 2 − f1 )
(2.9.3)
Für das Verhältniss von stimulierter Emission und Absorption ergibt sich:
R21 f 2 (1 − f1 )
⎛ ∆E − ∆E ⎞
=
= exp⎜ F
⎟ (2.9.4)
R12
f1 (1 − f 2 )
kT
⎠
⎝
Im Laserbetrieb ist R21>R12 , der Abstand der Quasi-Fermienergien ∆EF = EF,C - EF,V muss also
größer als der Energieabstand der beiden Niveaus ∆E=E2-E1 und damit auch größer als die
Bandlücke EG sein (siehe Abb. 2.9.2):
∆E F > ∆E > E G
(2.9.5)
Unterhalb (oberhalb) der Fermienergie ist mehr als die Hälfte der Zustände mit Elektronen
(Löchern) besetzt, zwischen den Zuständen 2 und 1 herrscht also Inversion.
Abbildung 2.9.2: Energieniveaus eines Halbleiters mit Inversion zwischen den Energieniveaus
E2 und E1. Die Darstellung ist nicht maßstabsgetreu, der Abstand der Fermienergie zu den
Bandkanten beträgt normalerweise einige 10 meV und ist damit viel kleiner als die Bandlücke.
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2.10. Besetzungsinversionsfaktor, Spontane Übergangsrate
Der Grad der Inversion zwischen den beiden Niveaus wird durch den sogenannten
Besetzungsinversionsfaktor nsp beschrieben:
nsp =
f 2 (1 − f1 )
=
( f 2 − f1 )
1
⎛ ∆E − ∆E F ⎞
1 − exp⎜
⎟
kT
⎝
⎠
(2.10.1)
Das Subskript ‚sp’ stammt aus der Zeit, als dieser Faktor noch ‚spontaner Emissionsfaktor’
genannt wurde. Es hat sich aus unerfindlichen Gründen erhalten. Abb. 2.10.1 zeigt den
Besetzungsinversionsfaktor eines GaAs bzw. InP Quantenfilms als Funktion der
Materialverstärkung.
Materialverstärkung (cm-1)
Abbildung 2.10.1: Besetzungsinversionsfaktor eines GaAs bzw. InP Quantenfilms als Funktion
der Materialverstärkung. Die für die Berechnung verwendete Übergangsenergie ∆E ist 11 meV
größer als die Bandlücke des jeweiligen Halbleiters .
Für einen ungepumpten Halbleiter (g << 0) im thermodynamischen Gleichgewicht ist ∆EF=0, ∆E
ist wesentlich größer als kT und nsp nimmt einen sehr kleinen (negativen) Wert an. Für ∆EF=∆E
ist g=0 (Transparenz) und der Ausdruck für nsp divergent. Für ∆EF>>∆E nähert er sich eins an.
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Komplette Inversion wird durch nsp=1 beschrieben, in diesem Fall ist der oberste Zustand
komplett besetzt (f2=1) und der untere Zustand völlig leer (f1=0).
Neben der Quantifizierung des Inversion stellt der Besetzungsinversionsfaktor einen
Zusammenhang zwischen der stimulierten (Rst) und der spontanen Emission (R’sp=βRsp) in die
Lasermode dar. Spontane Emission wird in der Quantenelektrodynamik (QED) als stimulierte
Emission beschrieben, die durch ein virtuelles Photon ausgelöst wird (siehe Abb. 2.10.2).
Abbildung 2.10.2: Quantenelektrodynamische Beschreibung von spontaner Emission: Ein
virtuelle Photon löst einen stimulierten Emissionprozess aus.
Die Herleitung dieses Zusammenhangs ist relativ kompliziert und nicht Teil dieser Vorlesung.
Der wesentliche Gedankengang soll aber kurz skizziert werden:
In der QED werden die elektrischen und magnetischen Felder analog zum harmonischen
Oszillator in der Quantenmechanik beschrieben. In Anlehnung an die Auf- und Absteigeoperatoren des harmonischen Oszillators definiert man sich Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die die Anzahl der Photonen in einer optischen Mode um eins erhöhen bzw.
erniedrigen. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem optischen Übergang die Anzahl der Photonen um
eins zu erhöhen, ist proportional zu n+1 (n-Anzahl der Photonen in der Mode). Die Rechnung mit
klassischen Feldern liefert eine Proportionalität zu n. Für Prozesse mit großen Photonenzahlen,
z.B. Absorption (von vielen Photonen wird eins absorbiert) oder stimulierte Emission (eines von
vielen Photonen löst einen Emissionprozess aus) ist der Unterschied nicht von Belang. Anders
bei der spontanen Emission, hier ist n=0. Ohne Quantisierung der Felder gibt es daher keine
spontane Emission!
Die Rate der stimulierten Emission ist proportional zur Anzahl der Photonen (ob n oder n+1
spielt hier keine Rolle) und damit proportional zum Quadrat der Feldstärke im Resonator; die
Rate der spontanen Emission ist proportional zum Quadrat der Feldstärke eines virtuellen
Photons.
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Für das Verhältniss der Übergangsraten können wir daher unter Verwendung von (2.9.2)
ansetzen:
r 2
r 2
Evirt . f (1 − f ) Evirt .
1
= r2 2
= r 2 nsp
( f 2 − f1 )
Rst
E
E
Rsp'
(2.10.2)
r
r
E ist dabei die Feldstärke des realen Photonenfelds, Evirt . die Feldstärke des virtuellen Photons.
r
Bezeichnet man mit E1 die Feldstärke eines Photons im Resonator, so ist:
r 2
r 2
Evirt . = E1 und
r2
r 2
E = VP N P E1
(2.10.3)
Unter Verwendung von Rst = v g gN P erhält man aus (2.10.2) folgenden Ausdruck für die
spontane Emissionsrate in die Lasermode:
r 2
E
nsp Rst v g gnsp Γv g gnsp
1
Rsp' = r 2 nsp Rst =
=
=
VP N P
VP
V
E
(2.10.4)
Aufgrund dieses Zusammenhangs hatte nsp früher den Namen ‚spontaner Emissionsfaktor’.
Die Formel gilt auch für g<0, in diesem Fall ist nsp<0 (siehe Abb. 2.10.1) und R’sp bleibt positiv.
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