Struktur der Materie I Prof. Ronning 2012 - 2013 Molvolumen (22,414 dm3 ): Volumen von 1 mol = 6,022 136 7 · 1023 Teilchen eines Gases bei Normalbedingungen (p = 1013 hPa, T = 0 ◦C). Seine Masse ist dann (in Gramm) gleich dem Molekulargewicht der Gasmoleküle. Atomdurchmesser ≈ 1 Å = 10−10 m (Ångström), e = 1,6 · 10−19 A s, Zeitskala: 10−15 s = 1 Femtosekunde. m0 = 9,1 · 10−31 kg = ˆ 511 keV/c2 . (E = m0 c2 ) A - abstrahlende Fläche T - Temperatur 2π 5 k4 σ = 15h3 cB2 = 5,67 · 10−8 m2WK4 ε - Emissivität Strahlung schwarzer Körper (Stefan-Boltzmann-Gesetz): P = σAT 4 (·ε) (Für diese schwarzen Strahler ergibt sich die Wellenlänge der Maximalen Emission über das ) λmax = Wien’sche Verschiebungsgesetz: b T mit b = 2,9 · 10−3 m K. Rayleigh-Jeans-Strahlungsgesetz (EM-Wellen mit Annahme mittlere Energie pro Eigenschwingung wν (T ) = kB T ): kB - Boltzmann-Konstante 8πν 2 c - Lichtgeschwindigkeit dν wν (ν) dν = kB T . c |{z} c3 ν = - Frequenz {z } wν | λ n(ν) (Infrarot recht gut, UV-Katastrophe) Max Planck: h = 6,626 069 57 · 10−34 J s = 4,135 667 516 · 10−15 eV s ∆E = h ν, w(ν) dν = Planck’sches Strahlungsgesetz: hν 8πν 2 dν 3 ehν/kB T − 1 | c {z } {z } | n(ν) wν Photoelektrischer Effekt: max Ekin,e − (⇒ Photonen - Mindestenergiequanten) = hν − Φ, Φ - Austrittsarbeit Compton-Effekt: Elastischer Stoß von Röntgenstrahlung (E = h ν) und Elektronen → Streuung mit Energieverlusten. h Compton-Streuformel: λ − λ0 = (1 − cos(ϕ)) m0 c de Broglie - Wellenlänge: λ= √ h . 2mEkin relativistische Energie eines Teilchens: E 2 = p2 c2 + (m0 c2 )2 E h Impuls eines Photons: p = cγ = hν ~ = 2π c = ~k Eγ hν Masse eines Photons: mγ = c2 = c2 Z k0 +∆k/2 X Beschreibung der Materie durch überlagerte Wellen: Ψ(x, t) = lim Cj ei(ωj t−kj x) = C(k)ei(ωt−kx) dk. j→∞ k0 −∆k/2 j i(ω0 t−k0 x) sin ∆k (( dω dk )k0 t − x) 2 In erster Näherung für kleines Frequenzintervall (⇒ Materie): Ψ(x, t) = 2 C(k0 ) e . ( dω dk )k0 t − x Dabei gilt: vGruppe = vTeilchen = dω dkR k0 ; und die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte für das Teilchen ergibt sich zu: ∞ 2 w(x, t) dx = |Ψ(x, t)| dx; wobei −∞ w(x, t) dx ≡ 1 für alle t. Heisenberg’sche Unschärferelation: ∆x ∆p ≥ ~ und ∆t ∆E ≥ ~ ! Rydberg-Ritz-Formel zur Beschreibung der Spektrallinien des Wasserstoffatoms: ν = c RH 1 1 − 2 2 n1 n2 n2 > n1 und RH = 109 678 cm−1 = Bohr’sche Postulate: 1. Es sind nur diskrete Bahnradien mit entsprechenden Energien erlaubt. 2 r = nZ a0 mit a0 = h2 ε0 πme e2 , mit m e e4 . 8 ε20 h3 c ≈ 0,53 Å Bohrscher Radius. 2. Die Bewegung auf diesen gequantelten Bahnen erfolgt strahlenlos. 3. Das Elektron kann von einer zur anderen Bahn unter Emission oder Absorption von Energie (Licht) übergehen. En − En0 = hν 1 Struktur der Materie I Prof. Ronning 2012 - 2013 Z - Kernladungszahl 2 2 2 2 2 2 me e Z 1 me e Z 1 1 me e Z 1 − =− , n - Hauptquantenzahl. 2 4 ε0 2 h2 n2 4 ε0 2 h2 n2 8 ε0 2 h2 n2 m e e2 Z 2 Somit ergibt sich für Energiedifferenzen: ∆E = hν = Ry n1i 2 − n1k 2 , mit Ry = ≈ 13,6 eV · Z 2 . 8 ε0 2 h2 RyZ=1 entspricht genau der Ionisierungsenergie des Wasserstoffs. Damit ergibt sich: Eges = Ekin + Epot = Auch der Drehimpuls ist gequantelt: m v r = n ~ = l ; mit der Nebenquantenzahl l. Bohr’sches Korrespondenzprinzip: Im Grenzfall n → ∞ müssen die Aussagen der Quantentheorie mit denen der klassischen übereinstimmen. Schrödinger-Gleichung (1D, zeitabhängig): − ∂ Ψ(x, t) ~2 ∂ 2 Ψ(x, t) + Epot (x, t) Ψ(x, t) = i~ . 2m ∂x2 ∂t ~2 d2 ϕ(x) + Epot (x) ϕ(x) = Eges ϕ(x) zeitunabhängige Schrödingergleichung: − 2m dx2 Z ∞ Mit der Normierungsbedingung |ϕ(x)|2 dx = 1 ist |ϕ(x)|2 die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. −∞ Tunneleffekt: Transmissionsvermögen durch ein Rechteckpotential √ der Länge a und Höhe E0 für ein Teilchen der 1− EE 2m(E0 −E) 0 Energie E < E0 : T = . , mit α = E0 E 2 ~ (1− E )+ 4π sinh (α a) 0 Unendlich hoher Potentialtopf der Länge a: es ergibt sich über die zeitunabhängige Schrödingergleichung: ~2 π 2 2 En = 2m , wobei n ∈ Z+ \{0} → Nullpunktenergie 6= 0. a2 n Harmonischer Oszillator in Parabelpotential: Ep = 12 Dx2 , über Schrödingergleichung: E = (n + 12 )~ω, n ∈ Z+ . Schrödinger in mehr als 1 Dimension: − ~2 ∆Ψ + EP ψ = E Ψ 2m 2 2 2 n2y nx π 2D in unendlichem Kastenpotential mit Seitenlängen a,b - 2 Quantenzahlen: E(nx , ny ) = ~2m + 2 2 a b ⇒ verschiedene Kombinationen können zum gleichen Energiewert führen (Entartung!). 3D - Wasserstoffatom: 1r -Potential, reduzierte Masse µ → Ψ(r, θ, ϕ) = R(r) Ylm (θ, ϕ) ; mit den Quantenzaheln Radialteil: Polarwinkelanteil: Azimutteil: n = 1, 2, 3, ... l = 0, 1, ..., n − 1 ml = −l, −l + 1, ..., l − 1, l (Historische) Benennung des Bahndrehimpulses l: Energie: En = 0 s 1 p 2 d −Z 2 E0 , n = 1, 2, 3, .... n2 3 f 4 g Ylm - Kugelfunktionen Hauptquantenzahl . Bahndrehimpuls magnetische Quantenzahl (scharf, prinzipal, diffus, fundamental, . alphabetisch weiter) ~ B||z-Richtung: lz = ml ~ . relativistische Korrektur: Erel = Enr − ∆E 1 e2 1 Enr Z 2 α2 3 − , mit α = ≈ („Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante“), ∆Er = n 4n l + 12 4πε0 ~c 137 Enr = ⇒ Bei genauem Hinsehen doch nicht entartet! 2 p2 2m0 + EP . Struktur der Materie I Prof. Ronning 2012 - 2013 normaler Zeeman-Effekt - Verhalten von in Atomen gebundenen Elektronen in äußerem Magnetfeld: p Halbklassisches Modell: gequantelter Drehimpuls |~l| = l(l + 1)~ , klassische Bahnradien. e ~ µB magnetisches Bahnmoment: µ ~l = − l = − ~l , 2me ~ potentielle Energie in äußerem Magnetfeld: Epot = Für Wasserstoff ⇒ En l m = ECoulomb (n, l) + µB m B. Dann spalten die Energien in 2l + 1 äquidistante Zustände auf: ∆E = µB B. Emission / Absorption: Photon trägt immer Drehimpuls ±~. ~e m B (m - magn. Quantenzahl). 2 me ~e µB = - Bohrsches Magneton 2 me ⇒ ∆|~l| = ±~ ⇔ Auswahlregel: ∆l = ±1. In Richtung des angelegten Magnetfeldes: ∆m = ±1 , normal dazu: ∆m = 0, ±1. Spin des Elektrons: p 1 Der Spin ~s mit |~s| = s(s + 1)~ und s = ± einer weiteren Quantenzahl ist entweder parallel oder antiparallel zum 2 µB ~s mit dem Landé-Faktor gs (≈ 2 für Elektron). angelegten Magnetfeld; magnetisches Spinmoment: µ ~ s = −gs ~ Spin-Bahn-Kopplung des Elektrons: Die Bahnbewegung des Elektrons erzeugt ein Magnetfeld (← Strom), in dem sich das magnetische Moment des Spins des Elektrons befindet, Gesamtdrehimpuls ~ = ~l + ~s ⇒ weitere Aufspaltung der Energien: a µ0 Z e2 ~2 ~ = En + [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] Enls = En − µ ~s B , mit a = . 2 8π me 2 r3 1 Z 2 α2 3 − Insgesamt liefert die Berücksichtigung der Feinstruktur: Enlm = Enr 1 − . n 4n j + 12 ⇒ anomaler Zeeman-Effekt (z.B. bei Natrium). , n = 4, 1 = 2, j = 25 . Nomenklatur: 4D 52 Lamb-Verschiebung: Durch Emission und Reabsorption „virtueller Photonen“ führt das Elektron ein Zitterbewegung auf seiner Ellipsenbahn aus → Verschiebung der Energien. (→ QED) Hyperfeinstruktur: Räumliche Ausdehnung des Kerns p µK ~ ~ = I(I + 1) ~ und magnetisches Kernmoment µ → Kernspin I~ mit |I| ~ I = gI I ~ e µB mit µK = ~≈ Kernmagneton, gI Kern-Landé-Faktor. 2mProton 1836 Mit dem Gesamtdrehimpuls F~ = ~ + I~ ergibt sich: A gI µK Bint (j) EHyperfein = Enls + [F (F +1)−j(j+1)−I(I+1)] , mit der Hyperfeinkonstante A = p . 2 j(j + 1) Die analytische Berechnung von Atomen mit mehr Protonen und Elektronen ist dann zu kompliziert, da die Schrödingergleichung aufgrund der nicht mehr vorhandenen Kugelsymmetrie nicht entsprechend separiert werden kann. Aber: Näherung mit Abschirmungswerten pro Elektron in Abhängigkeit von dessen Bahnradius möglich. Die Gesamtwellenfunktion eines Systems mit mehreren Elektronen ist immer antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung zweier Elektronen. ΨGesamt = ΨAtom (~r1 , ~r2 ) χSpin (s, ms ) mit ΨAtom = Ψ1 (~r1 ) Ψ2 (~r2 ) + Ψ1 (~r2 ) Ψ2 (~r1 ) symmetrisch, ΨGesamt antisymmetrisch, χSpin antisymmetrisch. 3 Struktur der Materie I Prof. Ronning 2012 - 2013 Pauli-Prinzip: Ein durch die Quantenzahlen n, l, ml , ms charakterisierter Zustand kann höchstens von einem Elektron besetzt sein. Schalenmodell: Die Verteilung der Elektronen eines Atoms auf die verschiedenen Energiezustände (n, l, ml , ms ) geschieht so, dass: 1. Das Pauli-Prinzip erfüllt ist. 2. Die Gesamtenergie aller Elektronen für den Zustand jedes Atoms minimal wird. Pro Hauptquantenzahl n gibt es bis zu 2n2 Elektronen. Bezeichung für Schalen bezüglich n: 1 K 2 L 3 M 4 N 5 . O Hund’sche Regel: Im Grundzustand eines Atoms hat der Gesamtspin den größtmöglichen mit dem Pauliprinzip vereinbaren Wert. Emission und Absorption von Licht - Einsteinkoeffizienten Bik , Bki , Aik : Atom im Zustand k befindet sich im Strahlungsfeld mit Energiedichte Photonen im Frequenzintervall ∆ν: w(ν) = n(ν) h ν mit n(ν) der Zahl der a) Wahrscheinlichkeit für Absorption von Photonen: Wk→i = Bki w(ν) b) Wahrscheinlichkeit für induzierte Emission: Wi→k = Bik wν (ν) spontan c) Wahrscheinlichkeite für spontane Emission: Wik = Aik Ni gi − Eki −ET k B = (gi , gk sind die „statise Nk gk tischen Gewichte eines Zustands“ oder auch „der Grad der Entartung“) und mit dem Planck’schen Strahlungsgesetz: Bik gk Aik 8π h ν 3 = , = . Bki gi Bik c3 Im thermischen Gleichgewicht ergibt sich über die Boltzmann-Verteilung hν Die Wahrscheinlichkeit für die induzierte Emission hängt über die mittlere Besetzungszahl e kB T −1 einer Mode des Strahlungsfeldes mit der der spontanen zusammen: 1 Wik ind = Wik spontan hν . kB T e −1 Der Erwartungswert einer physikalischen Messgröße eines ist der Mittelwert dieser Größe gebildet mit der WellenZ Teilchens ∞ ∗ funktion des Teilchens: hxi = ψ (x) x ψ(x) dx . −∞ Auswahlregeln: 1. ∆l = ±1 2. ∆s = 0 3. ∆m = 0, ±1 Bei spontaner Emission ergibt sich der Zeitverlauf der Anzahl von Elektronen im Zustand i: Ni (t) = Ni (0) e−Ai t P mit Ai = j Aij . Die mittlere Lebensdauer ist dann τi = A1i und aufgrund der Zeit-Energie-Unschärfe ergibt i sich eine Linienbreite der ausgesandten Strahlung von: ∆ν = A 2π . Röntgen-Strahlung („X-Rays“) betsteht aus 2 Charakteristiken: 1. „Bremsstrahlung“ (im Coulombfeld der Atome) und 2. „charakteristischer Röntgenstrahlung“ (durch Anheben und anschließendem Rückbesetzen von Elektronen in niedrigen Schalen (K- oder L-)). Laser: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation . 4