Zusammenfassung Physik der Materie I

Zusammenfassung Physik der Materie I
Sebastian Küfner
28. Januar 2008
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeingültige Beziehungen
2
2 Strahlungsgesetze
2.1 Kirchhoffsches Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . .
2.2 Weitere Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Betrachtung der Strahlung des schwarzen Körpers
2.3.1 Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Rayleight-Jeans-Gesetz . . . . . . . . . . .
2.3.3 Plancksches Strahlungsgesetz . . . . . . . .
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2
2
2
3
3
3
3
3 Wechselwirkungen zwischen Photonen und Elektronen
3.1 Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4 Elementare Quantenphysik
4.1 Eigenschaften des Phtons . . . . . . . . . . . . .
4.2 Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Wellenfunktion, Wellenpakete, Unschärferelation
4.4 Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
5
7
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5 Atome
5.1 Bohrsches Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Quantenmechanik des H-Atoms (Skizze) . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Schalenmodell, Periodensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung durch
Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Lebensdauer von Zuständen, natürliche Linienbreite . . . . . . .
5.6 Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
10
11
12
12
6 Einführung in die Quantenphysik
13
6.1 Eigenschaften stabiler Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.2 Kernmassen, Kernbausteine, Bindungsenergie . . . . . . . . . . . 14
6.3 Tröpfchenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
1
Allgemeingültige Beziehungen
q
E=
2
(mc2 ) + p2 c2
E = h̄ω
p = h̄k
2
Strahlungsgesetze
2.1
Kirchhoffsches Strahlungsgesetz
Für abgestrahlte und aufgenommene Strahlungsleistung eines Körpers gilt:
dWA
= Aν Sν dF dΩdν
dt
dWE
= Eν dF dΩdν
dt
wobei
Sν
dν
dΩ
dF
Spektrale Strahlungsdichte
betrachtetes Frequenzintervall
Raumwinkelelement
Flächenelement
Im thermodynamischen Gleichgewicht folgt mit
dWA
dWE
=
dt
dt
Das
Kirchhoffsche Strahlungsgesetz:
Sν (ν, T ) =
2.2
Eν
Aν
Weitere Gesetze
• Lambertsches Gesetz
dW
= EdF dΩ cos θ
dt
dW
W
= σT 4 mit σ = 5.66·10−8 2 4 , Folgt
• Stefan-Bolzmann-G.
dt
m K
aus Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes über gesamten Halbraum und ∀ν
• Wiensches Verschiebungsgesetz
λM ax T = 2.9 · 10−3 mK = const
2
2.3
2.3.1
Betrachtung der Strahlung des schwarzen Körpers
Vorüberlegungen
Es werden stehende Wellen best. Wellenlänge betrachtet. Stationäre EigenschwingungenModen des Hohlraums Für die spektrale Modendichte n (ν) dν (Anzahl der
Moden pro m3 im Frequenzintervall [ν, ν + dν] ) gilt:
n(ν)dν =
8πν 2
dν
c3
Def.: spektrale Energiedichte
ρ (ν, T ) dν = n (ν) Ēν (T ) dν
Wobei Ēν (T ) dν die mittlere Energie pro Eigenschwingung in [ν, ν + dν] ist.
2.3.2
Rayleight-Jeans-Gesetz
Setzt man die mittlere Energie des harmonischen Oszillators Ēν (T ) = kT folgt
das
Rayleight-Jeanssche Strahlungs-Gesetz
ρ (ν, T ) dν =
8πν 2
kT dν
c3
Problem: Ultraviolett-Katastrophe
2.3.3
Plancksches Strahlungsgesetz
Grundgedanke: Quantelung der Energie, Mindestenergie EM in = hν mit h =
6, 626 · 10−24 Js Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Eigenschwingung im therm.
GG die Energie Eν = nhν besitzt, ist gegeben durch:
e
p(Eν ) = P
∞
−nhν
kT
e
−nhν
kT
n=0
Dabei gilt:
∞
X
p(Eν ) = 1 Für die mittlere Energie pro Eigenschwingung ergibt
n=0
sich
Ēν =
∞
X
nhν · p(Eν ) =
n=0
P
−nhν
hν n ne kT
P −nhν
kT
ne
Anwendung der Summenformel der geometrischen Reihe:
∞
X
e−nx =
n
3
1
1 − e−x
∞
X
∞
ne−nx = −
n
d X −nx
e−x
1
d
=
e
=−
dx n
dx 1 − e−x
(1 − e−x )2
liefert mit der Substitution
x=
hν
kT u
Ēν =
:
hν
e
hν
kT
−1
Damit ergibt sich die spektrale Energiedichte zum
Planckschen Strahlungsgesetz:
ρ (ν, T ) dν =
3
8πν 3 h
dν
· hν
c3
e kT − 1
Wechselwirkungen zwischen Photonen und Elektronen
3.1
Photoeffekt
Treffen Photonen auf eine Metalloberfläche, gilt die Bilanzgleichung:
eUmax = hν − φ
Um Elektron auszulösen, muss gelten hν ≥ φ wobei
hν
φ
eUmax
3.2
Energie des Photons
Austrittsarbeit
kin. Energie des Elektrons
Compton-Effekt
Bescheibung eines elastischen Stoßes zwischen Elektron und Photon (Stoßwinkel
θ).
• Energieerhaltung
• Impulserhaltung
hν0 = hνs + EKin
h̄~k0 = h̄~ks + p~e
mit
mit
1−
p~e = pm0~vv2
1−
Unter Verwendung des Cosinussatzes folgt
λs = λ0 + 2 ·
4
2
EKin = pm0 c v2 − m0 c2
h
θ
sin2
m0 c
2
c2
c2
4
Elementare Quantenphysik
4.1
Eigenschaften des Phtons
1. Energie
2. Impuls
E = h̄ω = hν
E
h̄ω
· c = 2 · c = h̄k
2
c
c
p = mc =
3. Ruhemasse
m0 = 0
:
E 2 = p2 c2 + m20 c4
E 2 − p2 c2 = (h̄ω)2 − (ch̄k)2 = h̄(ω 2 − (ck)2 ) = 0 = (m0 c2 )2
Da
ω = kc
⇒ m0 = 0
Zusammenfassung:
Welle
Wellenvektor ~k
Kreisfrequenz ω
Drehimpuls Jz = ± E
ω
4.2
Photon
Impuls p~ph
Energie Eph
Spin sz
Verknüpfung
p~ph = h̄~k
Eph h̄ω
sz = ±h̄
Materiewellen
Experimentelle Befunde, z.B. Beugung von Elektronen nur mit Wellenmodell erh
klärbar. Daher Ausweitung des Gültigkeitsbereiches von p~ = = h̄~k mit k =
λ
2π
und E = hν = h̄ω auf Teilchen.
λ
De Broglie-Wellenlänge für Materiewellen:
λB =
4.3
2πh̄
h
h
h
= =
=√
p
p
mv
2mEkin
Wellenfunktion, Wellenpakete, Unschärferelation
Beschreibung eines Teilchens der Masse m, Geschwindigkeit v, Richtung x. Dann
ist die Wellenfkt. der Materiewelle gegeben durch:
i
ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) = Ae h̄ (px−Et)
Die Phasengeschwindigkeit ergibt sich aus der Geschw. des Max. von ψ: Das
Max liegt bei kx − ωt = 0 ⇒ ψ(x) = A Damit folgt
d
(kx − ωt) = 0
dt
5
dx
ω
h̄k
= =
= vP hase
dt
k
2m
dvP hase
1
= 6= 0 ⇒ Teilchengeschwindigkeit ungleich Phasendω
k
p
h̄k
geschv. der Materiewelle. Teilchengeschwindigkeit: vT =
=
Damit
m
m
folgt
1
vP hase = vT
2
ω
dvP hase
Spezialfall EM-Welle: k =
⇒ vP hase = c ⇒
= 0 (keine
c
dω
Dispersion)
Dispersion:
klassische Teilchen zu Zeit t am Ort x lokalisierbar. Ebene Welle besitzt ortsunabhängige Amplitude, ist also über gesamten Raum ausgebreitet. Zur Lokalisierung der Materiewellen: Konstruktion von Wellenpaketen.
Beschreibung eines lokalen Teilchens durch Wellenpaket bestehend aus kontinuierlich beitragenden harmonischen Wellen.
Z
ψ(x, t) = dkA(k)ei(kx−ωt)
k
Wobei A die Verteilungsfunktion der Wellenzahl
darstellt. Das Max. bewegt
dω
Mit
sich mit der Gruppengeschwindigkeit vg =
dk k0
E
p2
h̄k 2
dω
p
ω=
=
=
folgt vg =
= h̄km =
= vT
h̄
2h̄m
2m
dk
m
Definition:Wahrscheinlichkeit W (x, t)dx, dass sich Teilchen zur Zeit t im Ortsintervall [x, x + dx]] befindet, ist gegeben durch:
2
W (x, t)dx = |ψ(x, t)| dx
Z∞
2
|ψ(x, t)| dx = 1
unter der Normierungsbedingung
.
−∞
Wählt man für A(k) eine Gaussverteilung lässt sich aus der Standardabweichung
dieser ableiten, dass:
∆x = σx
∆p = σp
1
Mit σx · σp =
p = h̄k
2
Unschärferelation:
und
σk =
∆x · ∆p ≥
6
σp
h̄
1
h̄
2
folgt die Heisenbergsche
zeitliche Stabilität von Wellenpaketen, Auseinanderlaufen:
1
Die Unschärfe der Gruppengeschwindigkeit ist gegeben durch ∆vG = ∆pT =
m
1 h̄
, ∆x0 - ursprüngliche Breite des Wellenpaketes.
m 2∆x0
Damit ergibt sich die Unsicherheit der Ortsbestimmung zu
∆x(t) = ∆vG t =
h̄
t
m∆x0
Unbestimmtheitsrelation für Energie und Zeit:
∆x · ∆p ≥
E = hν =
1
h̄
2
hc
= pc
λ
∆p = ∆Ec−1
∆x∆Ec−1 ≥
1
h̄
2
⇒ ∆E∆t ≥
4.4
c=
∆x
∆t
1
h̄
2
Schrödingergleichung
Bewegungsgleichung für die Ausbreitung von Materiewellen
−h̄2
∂ψ(~r, t)
· ∆ψ(~r, t) + V (~r, t)ψ(~r, t) = ih̄
2m
∂t
Die Lsungen sind i.A. komplexe harmonische Wellenfunktionen:
~
ψ(~r, t) = ei(k~r−ωt) .
Ist die potentielle Energie V nicht explizit zeitabhängig, ergibt sich aus der
Separation ψ(~r, t) = φ(~r)eiωt .
einsetzen in obige Gleichung reduziert diese mit
Schrödingergleichung:
E = h̄ω
auf die zeitfreie
−h̄2
· ∆φ(~r) + V (~r)φ(~r) = Eφ(~r)
2m
zeitunabhängige Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdiche:
7
2
|φ(~r)|
Normierung:
R∞
2
d3 r |φ(~r)| = 1
−∞
5
Atome
5.1
Bohrsches Atommodell
Bohrsche Postulate:
1. Elektronen bewegen sich auf diskreten Bahnen mit Energie En ; stationäre
Bahnen d.h. stabile Bahnen
2. Bewegung der Elektronen Strahlungsfrei, charaktteristische Frequenzen
En2 − En1
beim Bahnwechsel: ν =
h
3. Bahndrehimpuls eines Elektrons in einem stationären Zustand nimmt diskrete Werte an: mvr = nh̄
Folgerungen:
Gleichsetzung von Zentrifugal-und Radialkraft liefert für die Energie eines Elektrons auf einer best. Bahn:
1 1 Ze2
1
mv 2 =
2
2 4π0 r
und damit
E=−
⇒
T =
1
|V |
2
1 1 Ze2
2 4π0 r
Für die Frequenz der emittierten Stahlung beim Bahnwechsel folgt:
1 1 Ze2 1
1
ν=
−
2 4π0 h
r1
r2
Der Radius der Kreisbahn ergibt sich aus dem dritten Postulat:
Bahngeschw. des Elektrons:
Einsetzen in
T =
1
|V |
2
v=
nh̄
mr
(V-Coulomb-Potential) liefert
r = n2 4π0
h̄
mze2
Damit folgt für die Frequenz
ν = Z2
me4
(4πh̄)3 20
Umfang der Bohrschen Bahn:
8
1
1
−
n1
n2
• Bewegtes Elektron als Materiewelle betrachten
• Stabile Bahn: Ausbildung einer stehenden Welle
Damit ergibt sich:
mvr = nh̄
3.BohrschesP ostulat
h
h
⇒
r = nh̄
λ
λ
⇒ nλ = 2πr
p = mvh̄k =
5.2
Quantenmechanik des H-Atoms (Skizze)
Annahmen
• Proton im Kern in Ruhe
• Elektron bewegt sich mit
T =
p2
2m
• Potentielle Energie des Elektrons:
um Kern
V (r) =
1 e2
4π0 r
Das Verhalten wird beschrieben durch die zeitfreie Schrödingergleichung:
−h̄2
· ∆φ(~r) + V (~r)φ(~r) = Eφ(~r)
2m
Separationsansatz in Kugelkoordinaten liefert eine Beschreibung über diskrete
Zustände in Form von Quantenzahlen:
• Hauptquantenzahl r: n = 1, 2, 3, ...
• Bahndrehimpulsquantenzahl θ: l = 0, 1, ..., n − 1
• magnetische Quantenzahl ϕ: ml = −l, −l + 1, ..., l
Bahndrehimpuls des Elektrons
p
~ L = l(l + 1)h̄
~ Bei einem B-Feld in z-Richtung ergibt
ml bestimmt die Komponenten von L
sich
l
=
m
h̄
,
speziell
für
das
H-Atom
mit l = 2 ⇒ ml = −2...2 ⇒
l
√z
~
l = 6h̄ Energieniveus der Elektronen
Z 2 E0
mit E0 = 13.6eV
n2
Magnetische Momente, Elektronenspin
En = −
9
Einführung einer weiteren Quantenzahl ms ∈ 21 , − 12
aufgrund experimenteller Befunde (Stern-Gerlach-Versuch). Feinstrukturaufspaltung von Atomen in
äusseren Magnetfeldern
p
Für ein Elektron mit Eigendrehimpuls (Spin ~s) gilt |~s| = s(s + 1)h̄
Die z-Komponente des Spins ist: sz = ms h̄ Damit existieren 2 Einstellmöglichkeiten des Elektronenpins bzgl. eines äußeren B-Feldes (daher Feinstrukturaufspaltung.)
Bahndrehimpuls und Spin mit magnetischen Momenten verknüpft. Das magn.
q ~
Moment einer rotierenden Ladung ergibt sich zu: µ
~=
l
2mq
q ~
l
Speziell für ein Elektron: q = −e mq = m ⇒ µ
~=
2mq
e ~
e p
l(l + 1)h̄
Für das H-Atom: |~
µ| =
|l| =
2m
2m
Spin-Bahn-Kopplung, Feinstrukturaufspaltung
Koordinatenursprung in Elektron legen. Damit bewegt sich der Kern und Erzeugt B-Feld. Ein Elektron mit den Quantenzahlen n und l kann nun je nach
Einstellung des Spins 2 verschiedene Energien besitzen. (Feinstrukturaufspaltung):
2
~ l = En − µ0 Ze ~s · ~l
En,l,s = En − µ~s B
8πm2 r3 |{z}
SBK
Einführung eines Gesamtdrehimpulses:
~j = ~l + ~s
mit |~j| =
p
j(j + 1)h̄
~l · ~s = 1 h̄ [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]
2
Damit:
En,l,s = En +
a
[j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]
2
µ0 Ze2 h̄2
Spin-Bahn-Kopplungskonstante
8πm2 r3
Die Energiewerte En,l spalten sich je nach Spineinstellug auf in Komponenten
j = l ± 12
Wobei
5.3
a=
Schalenmodell, Periodensystem
Zustand eines Elektrons gekennzeichnet durch die Quantenzahlen:
• n = 1, 2, 3, ...
• l
0≤l ≤n−1
• ml
− l, ..., l
• ms
ms = ± 12
n Werte
(2l + 1) Werte
2 Werte
10
n−1
X
(2l + 1) = n2
Anzahl der zu n gehörenden Zustände:
Unter Hinzunahme
l=0
des Spins wird dies zu 2n2 .
Pauli-Prinzip:
• Durch n, l, ml , ms beschriebener Zustand kann höchstens von einem Elktron besetzt werden.
• Zustand n, l, ml kann höchstens von 2 Elektronen besetzt werden, die sich
dann in ms unterscheiden müssen.
5.4
Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung durch Atome
Beim Übergang von Elektronen von einem Zustand auf den nächst höheren gilt:
hν = En2 − En1
Spektroskopische Befunde:
• nicht jede mögliche Frequenz als Spektrallinie vorhanden
• unterschiedliche Intensitäten der Spektrallinien ⇒ unterschiedliche Übergangswahrscheinlichkeiten
• keine streng monochromatische Strahlung sondern Verteilung um Mittelfrequenz
Mögliche Übergänge zwischen 2 Energieniveaus En2 ≥ En1 (N bezeichnet die
Anzahl an Elektronen im jeweiligen Zustand) :
1. spontane Emission:
dN2
dt
p = −A21 N2
s
A21 Rate der spontanen Emission, Einstein-A-Koeffizient
2. induzierte Emission:
dN2
dt
t = −B21 N2
s
B21 abhängig von Intensität der einfalleneden Welle abhängig:
B21 = σ21 F
Wobei F - Photonenfluss der Welle, Zahl der Photonen pro Zeit und Fläche
und σ21 - Querschnitt für induzierte Emission
11
3. induzierte Absorption:
dN1
= −B12 N2
dt A
5.5
B12 = σ21 F
Lebensdauer von Zuständen, natürliche Linienbreite
Betrachtung des Überganges Ei → Ej
Zahl der nach Ej in dt Übergehenden Zustände:
dNi = −Aij Ni dt
Für mehrere j:
dNi = −Ai Ni dt
wobei
Ai =
P
j
Aij
Integration liefert die zeitabhängige Besetzungsdichte:
Ni (t) = Ni (0)e−Ai t
mittlere Lebensdauer des Zustandes Ei :
τi =
1
Ai
Nach t = τi ist die Besetzung des i-ten Zustandes auf
abgesunken.
1
e
des Anfangswertes
natürliche Linienbreite:
∆E∆t ≈ h̄ ∆t = τi
∆E = h̄∆ω
1
τi
Verbreiterung der Spektrallinien: Doppler-Verbreiterung in Folge thermischer Schwingungen der Atome:
r
ωik 1
∆ω0 =
(8kB T ln 2)
c
m
⇒ ∆ω =
5.6
Röntgenstrahlung
Ww energiereicher Elektronen mit Hüllenenektronen, dadurch stimulierte Emission (Bremsstrahlung) im Bereich λ = (0.01...1)nm
Absorption beim Durchgang durch Materie (Dicke d)
Intensität der transmittierten Strahlung:
I = I0 e−αd
α = nσa
- Absorptionskoeffizient
n - Teilchenanzahldichte der Absorberatome, nσa Absorptionsquerschnitt, experimenteller Befund: σa = cZ 4 λ3
12
Absorptionsmechanismen: Photoeffekt, Compton-Effekt, Paarbildung
Energiewerte der Absorptionskanten Transmissionsspektrums ergibt sich nach
dem Gesetz von Mosley:
2
νk = ckn (Z − 1)
Damit ist die Frequenz eines Röntgenquants beim Übergang zwischen den Zuständen
i und k
1
1
−
νik = Ry (Z − σ)2
n2k
n2i
Beugung von Röntgenstahlung
Bei Reflektion von Röntgenstrahlung an Kristallebenen mit Netzebenenabstand
d gilt für die Maxima der Intensität (elastische Streuung):
2d sin θ = mλ
6
Einführung in die Quantenphysik
6.1
Eigenschaften stabiler Kerne
Streuexperimente
1. Rutherford (elastische Streuung der Elektronen in reinem Coulombfeld);
Rutherfordscher Wirkungsquerschnitt:
!
dσ
Z1 Z2 e2
1
=
dΩ R
16π0 E
sin θ2
2. Elektronenstreuung an Kernen (Mottscher Wirkungsquerschnitt), Berücksichtigung des Spins von Elektro un Kern
dσ
dσ
θ
=
cos2
dΩ M
dΩ R
2
3. wegen räumlicher Ausdehnung der Kerne (keine Pkt-Ladg.) Modifikation
dσ
dσ
2
=
· |F (q)|
dΩ exp
dΩ M
mit F (q) als Formfaktor
q = 2mv sin
F (θ) = Z
θ
2
13
−1
Z
d3 rρp (r) exp(i
~q~r
)
h̄
und
6.2
Kernmassen, Kernbausteine, Bindungsenergie
Bausteine
1. Massenzahl A = Z + N
2. Z Anzahl Protonen
3. N Anzahl Neutronen
Die Kernmasse ist kleiner als die Summe der Einzelmassen N und Z. Massendefekt, es gilt EB = ∆mc2 = ZmH + N mH − ZmP − N mN )c2 mit EB
Bindungsenergie und mH Masse des Wasserstoffatoms
6.3
Tröpfchenmodell
Annahmen:
• Konstante Ladungsdichte im Kerninneren
• Kernkräfte abgesättigt, kurzreichweitig
• Kern - inkompressible Flüssigkeit
Bindungsenergie setzt sich aus 5 Bestandteilen zusammen:
Summand
Kondensationsenergie
Oberflächenenergie
Coulomb Energie
Asymmetrieenergie
Wert
(1)
EB = aV · A
−2
(2)
EB = aS · A 3
−1
(3)
EB = aS · Z 2 A 3
2
−aA (Z− A
(4)
2 )
EB =
A
Die letzte Komponente, die Paarungsenergie, ist gegeben durch:

 +δ gg
(5)
0 ug und gu
EB =

−δ uu
mit
δ ≈ aP A
−1
2
E s folgt
EB =
5
X
i=1
Zerfall istabiler Kerne
zerfallsarten
• Emission von α Teilchen 42 α
14
(i)
EB
• β Umwandlungen
±1 β
• Kernspaltung
• Emission EM-Strahlung
Ziel: niedrigst möglichen Energiezustand erreichen
Zerfallsgesetze
Anzahl der Zerfälle pro Sekunde - Aktivität:
A=−
Damit
A(t) = λN0 e−λt
• Halbwertszeit t 21 =
dN
= λN
dt
Weiterhin
ln
2λ
• mittlere Lebensdauer
N (τ ) =
N0
1
⇒τ =
e
λ
• Unschärferelation ∆E∆ ≈ h̄ Damit ergibt sich für die Zerfallsbreite Γ
eines instabilen Zustandes
Γ = ∆E =
15
h̄
= h̄λ
τ