6. Bewegung geladener Teilchen in homogenen Feldern + U -

6. Bewegung geladener Teilchen in homogenen Feldern
6.1 Bewegung eines Elektrons im homogenen Längsfeld
+
d
v
F
-
v
E
+U-
Ein freies
v Elektron befindet sich an der negativen Platte eines Kondensators. Durch die Feldkraft F erfährt das Elektron wegen seiner negativen Ladung eine Beschleunigung parallel zu
einer Feldlinie in Richtung zur positiven Platte.
F = Q·E
a=
Q⋅E
Q U
= ·
m
m d
F = m·a
Beschleunigung eines Elektrons im elektrischen Längsfeld
a=
e U
·
m d
(
e
e
bezeichnet man als spezifische Ladung des Elektrons
= 1,7588 ·1011 Ckg -1)
m
m
Kinetische Energie eines ursprünglich ruhenden Elektrons nach Durchlaufen der Spannung U
W=Q·E·d
mit E =
U
d
1
mv² = Q · U
2
W = E kin. =
1
mv²
2
m
v² = eU
2
( gebräuchliche Einheit für eU : 1 eV (Elektronenvolt) = 1,6 · 10 -19 J )
Für das Elektron:
Geschwindigkeit eines ursprünglich ruhenden Elektrons nach Durchlaufen der Spannung U
v=
2Q ⋅ U
m
2eU
m
bzw. beim Elektron: v =
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1. Gegeben:
m= me = 9,11 · 10 31 kg
Q = 1,60 · 10 19 C
E= Ekin = 16,7 · 10 19 J
Gesucht:
U, v?
Ekin = Q · U
Ekin =
1 2
mv
2
U=
E 16,7 ⋅ 10 − 31
=
= 10,4 V
Q 1,60 ⋅ 10 − 19
v2 =
2E
m
2. a) Begründung von v =
2
v0 + 2
1
1
mv0 2 + eU = mv 2
2
2
Begründung von v =
v=
e
U
m
2E
=
m
(Beschleunigung)
2
v = v0 + 2
2
v0 − 2
1
1
mv0 2 − eU = mv 2
2
2
2 ⋅ 16,7 ⋅ 10 − 19
= 1,9·106 ms-1
9,11 ⋅ 10 − 31
e
U
m
e
U
m
(Abbremsung)
2
v = v0 − 2
e
U
m
b) Die Formel v =
Die Formel v =
2
e
U entspricht dem Fall nach unten.
m
e
− 2 U entspricht dem Wurf nach oben.
m
v0 + 2
v0
2
6.2 Bewegung eines Elektrons im homogenen Querfeld
Historische Anmerkung:
Zur Entwicklung der Elektronenstrahlröhre / Braun’schen Röhre:
Karl Ferdinand Braun, ein deutscher Physiker, geboren 1850 in Fulda und gestorben
1918, durch die Folgen eines Unfalls in New York. Er entwickelte 1897 die
Elektronenstrahlröhre / Braun’sche Röhre, die von großer Bedeutung für die
Entwicklung der Messtechnik (Oszilloskop), des Rundfunks und des Fernsehens war.
Weitere Entdeckungen Karl Ferdinand Brauns waren der Gleichrichtereffekt bei
Halbleitern und der gekoppelte Sender in der drahtlosen Telegrafie, für den er 1909
gemeinsam mit dem italienischen Ingenieur Marconi den Nobelpreis erhielt.
Versuch:
Elektronenstrahlröhre
Ablenkungskondensatorspannungsquelle
Beschleunigungskondensatorspannungsquelle
Auf diesem Bild kann man die Ablenkung der Elektronen erkennen.
Die Bahn ist nach oben hin abgelenkt.
Man kann daraus schließen, dass oben der Pluspol und
unten der Minuspol sein muss.
Genauere Betrachtung des Versuchs:
Von der Glühkathode werden Elektronen emittiert (ausgesandt), die durch
die Spannung zwischen Kathode K
und Anode A auf die Geschwindigkeit
v 0 beschleunigt werden.
Nachdem sie die durchbohrte Anode
durchquert haben, gelangen die Elektronen zunächst in einen feldfreien
Raum, dann treten sie mit der Geschwindigkeit v0 in das Feld des Ablenkkondensators ein.
Durch das elektrische Feld im Ablenkkondensator werden die Elektronen in
eine bestimmte Richtung, nach unten
oder nach oben, beschleunigt. Die Richtung der Ablenkung hängt von der angegebenen Polung ab. In dem oberen Bild werden die Elektronen nach unten beschleunigt, zur Seite des Pluspols hin, da Elektronen von dem
Pluspol angezogen werden.
Die Ablenkung der Elektronen lässt sich auf einem Leuchtschirm sichtbar machen.
Berechnungen:
Im Ablenkkondensator:
Fy = Q · E = Q ·
Fy
U'
d'
(hier: Q =
e)
Q U'
⋅
m m d'
Bewegungsgleichungen im Ablenkkondensator:
ay =
=
(Bewegungsgleichungen sind Gleichungen, die den Ort und die Geschwindigkeit eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t angegeben.)
in x-Richtung: x = v0 · t
1
in y-Richtung: y = a y t 2
2
vx = v0
vy = a y · t
Die Gleichung der Elektronenbahn ergibt sich, wenn man y in Abhängigkeit von x darstellt.
1
Aus den Gleichungen x = v0 · t und y = a y t 2 muss also die Zeit eliminiert werden: x = v0 ·
2
t
x
t=
v0
1
Einsetzen in y(x): y(x) = ⋅ a y
2

⋅ 

x
v0




2
Gleichung der Elektronenbahn im Ablenkkondensator (Bahngleichung):

⋅ 

1
y(x) = ⋅ a y
2
Daraus folgt:
x

v0 
2
Es ist eine Parabelbahn.
1 Q U' x 2
y= ⋅ ⋅ ⋅ 2
2 m d ' v0
Herleitung von v 0 :
1 1 U'
y = ⋅ ⋅ ⋅ x2
4 d' U
1
mv0 2 = Q ⋅ U
2
v0 = 2 ⋅
Q ⋅U
m
(x entspricht hier der Länge l)
Gleichung beim Verlassen des Ablenkkondensators:
y ( x ) = y (l )
Die Ablenkung hängt ab von:
Hängt nicht ab von:
- dem Verhältnis der Spannungen U’ und U
- den geometrischen Abmessungen des Ablenkkondensators
- Elektronenladung
- Elektronenmasse
Ablenkung y2 auf dem Leuchtschirm:
mit vx = v0
y2 ' L
=
vy
vx
y 2 = y1 + y 2 '
y2 '=
L ⋅ vy
vx
y 2 = y1 + L ⋅
1 U' l2
= y1 = ⋅
⋅
4 U d'
vy
vx
mit y1 =
e
1 U' l2
eU ' l
⋅
⋅
und vy = ay · t = −
⋅
und vx = v0 = 2 ⋅ U
m
4 U d'
md ' v 0
2
y2 = −
= −
1 U' l
⋅
⋅
+ L⋅
4 U d'
−
e ⋅U ' l
⋅
m ⋅ d ' v0
2⋅ e⋅U
m
−
= −
e ⋅U '
⋅
m⋅ d'
l
2⋅ e ⋅U
m
=
2⋅ e ⋅U
m
1 U' l2
⋅
⋅
+ L⋅
4 U d'
1 U' l2
− e ⋅ U '⋅l ⋅ m
1 U' l2
− U '⋅ l
1 U' l  1

⋅
⋅
+ L⋅
= − ⋅
⋅
+ L⋅
= − ⋅
⋅
⋅  ⋅ l + L
4 U d'
2 ⋅ m ⋅ d '⋅e ⋅ U
4 U d'
2 ⋅ d '⋅U
2 U d'  2

y2 = −
1 U' l  l

⋅
⋅
⋅  + L
2 U d'  2

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1.
Gegeben :
y1 =
2.
U =
U’ =
d’ =
l =
180 V
220 V
50 mm
65 mm
Gesucht: y1
1 U' l2
⋅
⋅
≈ 25,8mm = 26 mm
4 U d'
Gegeben :
d’ = 5,0 cm
l = 7,5 cm
U = 230 V
Gesucht :
1 U' l2
4 ⋅ U ⋅ d '⋅ y1
y1 = ⋅ ⋅ → U ' =
4 U d'
l2
mit
U’ bei der Elektronen den
Ablenkkondensator nicht mehr verlassen
können
y1 =
d'
2
4 ⋅ U ⋅ d '⋅
U '=
3.
l2
v
d'
2 ≈ 204,4V = 0,20kV
vy vx = v0
v = vx 2 + v y 2
v y muss noch bekannt sein.
vy = a y · t
ay =
Fy
m
=
Q U'
⋅
m d'
vy bekommt man, durch die Beschleunigung mal die Zeit.
Um die Beschleunigung ausrechnen zu können braucht man die Zeit t (z.B. aus der zurückgelegten Strecke in x-Richtung und der Geschwindigkeit v 0 ), die Ladung Q, die Masse m, die
Spannung am Ablenkkondensator U’ und den Abstand der beiden Platten am Ablenkkondensator d’.