σ-Algebra

σ-Algebra
Satz
Es sei I eine beliebige, nicht-leere Indexmenge und Ai für jedes
i ∈ I eine σ-Algebra.
Dann ist auch
A :=
\
Ai
i∈I
eine σ-Algebra.
Matthias Löwe
Stochastik
σ-Algebra
Definition
Die Borel–Algebra B ist die kleinste σ–Algebra auf [0, 1], die alle
Intervalle (a, b) mit 0 ≤ a < b ≤ 1 enthält. Allgemeiner ist in einem
topologischen Raum (Ω, T ) die Borel–Algebra B ist die kleinste
σ–Algebra, die alle offenen Mengen T ∈ T enthält.
Konvention Auf Ω = [0, 1] wählen wir B als σ–Algebra.
Matthias Löwe
Stochastik
σ-Algebra
Die beiden wichtigsten Eigenschaften der Borel–Algebra können wir
hier nicht beweisen:
Es ist B 6= P([0, 1]), d.h. es gibt Teilmengen von [0, 1], die
nicht in B liegen.
Jede offene Teilmenge, jede abgeschlossene Teilmenge und
jedes Teilintervall (z.B. auch halboffene) von [0, 1] liegt in B.
Matthias Löwe
Stochastik
σ-Algebra/Sprachgebrauch
Sprache der Ereignisse
Mengenschreib- bzw. Sprechweise
A, B, C sind Ereignisse
A und B
A oder B
nicht A
A und B sind unvereinbar
A impliziert B
A, B, C ∈ A
A∩B
A∪B
Ac = Ω \ A
A∩B =∅
A⊂B
Matthias Löwe
Stochastik
Wahrscheinlichkeit
In Anlehnung an relative Häufigkeiten definiert man:
Definition
Es sei Ω eine Menge, Ω 6= ∅, und A eine σ-Algebra über Ω. Eine
Wahrscheinlichkeit P ist eine Funktion
P : A → [0, 1]
mit
P(Ω) = 1
Sind A1 , A2 , . . . paarweise disjunkt, d.h. Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j,
so gilt:
P
∞
[
i=1
∞
X
Ai =
P(Ai ) (σ-Additivität)
i=1
Matthias Löwe
Stochastik
Wahrscheinlichkeit
Satz
Sei Ω abzählbar, also entweder endlich oder abzählbar unendlich,
und P(Ω) dieP
σ–Algebra. Jede Folge nicht negativer reeller Zahlen
(pω )ω∈Ω mit ω∈Ω pω = 1 definiert eindeutig eine
Wahrscheinlichkeit P durch
X
P(A) =
pω
für alle A ∈ P(Ω).
(1)
ω∈A
Matthias Löwe
Stochastik
Wahrscheinlichkeit
Natürlich ist es kein Zufall, dass dieser Prozess des
„Zusammenbauens“ eines Wahrscheinlichkeitsmaßes doch sehr stark
an die Art und Weise erinnert, wie wir σ–Algebren „gebaut“ haben:
Die Definition dieser beiden mathematischen Objekte ist
aufeinander abgestimmt. Die Mengen in einer σ–Algebra heißen
gerade deswegen messbar, weil sie mit einem W–Maß gemessen
werden können. Man sollte die Grundmenge Ω, die σ–Algebra A
und das W–Maß P als zusammengehörig betrachten.
Definition
Ist Ω 6= ∅ eine Menge, A eine σ-Algebra über Ω und P ein
Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω, so heißt das Tripel (Ω, A, P)
Wahrscheinlichkeitsraum oder kurz W–Raum.
Matthias Löwe
Stochastik
Wahrscheinlichkeit
Satz
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
1
Für jedes Ereignis A gilt 0 ≤ P(A) ≤ 1 und P(Ω) = 1.
2
Es gilt P(∅) = 0.
3
Sind die endlich vielen Ereignisse A1 , A2 , . . . , AN , N ∈ N, paarweise
disjunkt, so gilt
N
N
[
X
P
Ai =
P(Ai ).
i=1
i=1
4
Für zwei Ereignisse A, B gilt P(B) = P(A ∩ B) + P(B \ A);
insbesondere gilt also P(A) ≤ P(B), falls A ⊆ B.
5
Für jedes Ereignis A gilt P(Ω \ A) = 1 − P(A).
6
Für zwei Ereignisse A, B gilt P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
7
FürSeine FolgeP
von Ereignissen A1 , A2 , . . . gilt
∞
∞
P( i=1 Ai ) ≤ i=1 P(Ai ); diese Ungleichung gilt auch für endlich
SN
PN
viele Ereignisse, also P( i=1 Ai ) ≤ i=1 P(Ai ).
Matthias Löwe
Stochastik