Prof. Dr.-Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1

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Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1"
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1etv2-1
2
2.1
2.1.1
Grundbegriffe elektrischer Stromkreise
Mechanismus der elektrischen Strömung
Stromkreis
Der Lernende kann
den Begriff des elektrischen Stromkreises definieren
einfache Stromkreise aus idealen Grundschaltelementen der Elektrotechnik entwerfen
den Begriff elektrische Schaltung definieren
Wir wollen von bekannten Dingen ausgehen und ein einfaches Experiment an den
Anfang stellen. Ein Glühlampe (Verbraucher) ist über einen Schalter an eine Batterie
(Quelle) angeschlossen. Wir wissen, dass die Batterie einen Pluspol und einen
Minuspol besitzt. Mit der tieferen Bedeutung dieser Bezeichnungen wollen wir uns
später beschäftigen. Schließen wir den Schalter, beginnt der Glühlampe zu leuchten.
Als Ursache dieser Erscheinung führen wir eine elektrische Strömung ein. Diese
Strömung kann sich aber nur dann ausbilden, wenn vom Pluspol der Batterie über
Schalter und Glühlampe bis zum Minuspol der Batterie eine geschlossene leitende
Verbindung besteht. Einen solchen geschlossenen Kreis nennen wir einen
Stromkreis.
In Abschnitt 1.2 wurden ideale Grundschaltelemente der Elektrotechnik für Quellen,
Leitungen, Verbraucher und Speicher eingeführt. Um Stromkreise aufzubauen,
werden in der Praxis noch weitere Schaltelemente benötigt:
Schalter:
Messgeräte:
Sicherungen
Zu- und Abschalten von Anlagenteilen
Bestimmung der Zustandsgrößen
Schutzeinrichtungen, um die elektrische Anlagen und ihre
Benutzer vor Schäden zu bewahren
Zur übersichtlichen Darstellung der Geräte und deren Verbindungsleitungen werden
Schaltbilder verwendet. Neben den Symbolen der Grundschaltelemente werden
Symbole für Schalter, Messgeräte und Schutzeinrichtungen eingeführt.
In den Schaltbildern werden die Verbindungsleitungen zwischen den Symbolen der
Schaltelemente waagerecht und senkrecht dargestellt.
In Abb. 2.1.1 liegt ein Stromkreiskreis vor,
der von der Quelle über den
Innenwiderstand Ri Schalter S und
Außenwiderstand Ra führt. Ist der
Schalter S geschlossen, tritt eine durch
die Quelle hervorgerufene Strömung auf.
Mit idealer Quelle und Widerstand Ri
beschreiben wir eine reale Batterie,
der Widerstand Ra stellt einen
Verbraucher (Glühlampe) dar.
Ri
Quelle
Abb. 2.1.1.
S
Ra
Einfacher Stromkreis
(Grundstromkreis)
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2.1.2.
Wesen der elektrischen Strömung
Der Lernenden kann
mit Elektronen und Protonen und deren Ladung sowie Neutronen als wesentliche
Elementarteilchen den Atomaufbau nach dem Borschen Atommodell beschreiben
den Begriff und das Zustandekommen frei beweglicher Ladungsträger erklären
die Begriffe Elektronenströmung und Ionenströmung erklären
die positive elektrische Strömung und die Elektronenströmung anhand eines einfachen
Stromkreises mit Spannungsquelle und Verbraucher erklären
Weil wir die Wirkungen der elektrischen Strömung nur in geschlossenen
Stromkreisen beobachten, haben wir die Modellvorstellung, dass die elektrische
Strömung eine Bewegung von "Elektrizitätsteilchen" ist, die im Stromkreis bewegt
werden. Da im metallischen Leiter kein Materialtransport beobachtet werden kann,
nehmen wir an, dass sich nicht die Metallatome selbst, sondern nur Bausteine der
Atome bewegen. Welcher Art diese Teilchen sind, soll das folgende Experiment
ergeben:
Eine Styroporkugel (Probekörper PK)
hängt an einem Faden. Des Weiteren
brauchen wir einen Glasstab und einen
Bernstein- oder Hartgummistab.
In Abb. 2.1.4 ist die Geräteanordnung
schematisch dargestellt.
-
+
Probekörper
Glasstab
Bernsteinstab
Abb 2.1.4 Experiment zum Nachweis positiver
und negativer Ladungen
Wir führen nun folgende Experimente durch:
1. Der Glasstab wird mit einem Wolltuch gerieben und anschließend der PK
berührt. Ergebnis: Der PK wird abgestoßen.
2. Der Bernsteinstab wird mit einem Wolltuch gerieben und anschließend der PK
berührt. Ergebnis: Der PK wird abgestoßen
3. Glasstab und Bernsteinstab werden mit einem Wolltuch gerieben und in die in
Abb. 2.1.4 gezeigte Lage gebracht. Wird PK kurzzeitig mit dem Glasstab
berührt, erfolgt Abstoßung und Anziehung durch den Bernsteinstab. Berührt PK
den Bernsteinstab, erfolgt Abstoßung und Anziehung durch den Glasstab.
Der Vorgang wiederholt sich nun, der PK pendelt ständig mit Berührung
zwischen den beiden Stäben hin und her.
Das Experiment lässt sich durch die Annahme erklären, dass es zwei Arten von
"Elektrizitätsteilchen" gibt, die Kräfte aufeinander ausüben. Sie sind gekennzeichnet
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durch eine Eigenschaft, die wir als Ladung bezeichnen. Die beiden
unterschiedlichen Ladungen werden durch positives und negatives Voreichen
gekennzeichnet. Beim Reiben des Glasstabes mit dem Wolltuch wurde dieser positiv
geladen, das Reiben des Bernsteinstabes führte zu seiner negativen Ladung. Die
Festlegung der positiven und negativen Ladung erfolgte durch den deutscher
Physiker und Schriftsteller Lichtenberg (1744-1799) ohne Kenntnis der inneren
Zusammenhänge der Atome und ist bis heute beibehalten worden.
Berührt man mit den geladenen Stäben den PK, so nimmt dieser Ladungen auf, er
wird geladen. Geladene Körper üben Kräfte aufeinander aus. Ladungen gleichen
Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen ungleichen Vorzeichens ziehen sich an.
Werden positiv und negativ geladene Körper zusammengebracht verschwindet die
Kraftwirkung. Diesen Vorgang nennt man Ladungsausgleich, die Körper werden
dabei entladen.
Die elektrische Strömung wird durch mit Ladung versehene Masseteilchen getragen.
Nach dem Borschen Atommodell (Abb. 2.1.2)
bestehen Atome aus einem Kern und einer Hülle.
Der Kern wird aus positiv geladenen Protonen
und elektrisch neutralen Neutronen gebildet,
während auf verschiedenen Schalen der Hülle
negativ geladenen Elektronen kreisen.
Vollständige Atome weisen gleichviel Elektronen in
der Hülle wie Protonen im Kern auf, so dass sie
nach außen als elektrisch neutral auftreten.
Die Elementarteilchen des Atoms tragen mit
positivem (Protonen) und negativem Vorzeichen
(Elektronen) die Elementarladung e, als kleinste
nicht mehr teilbare Ladung. In Tabelle 2.11 sind
die Elementarteilchen mit Masse und Ladung
zusammengestellt.
Jede beliebige Ladung ist ein ganzzahliges
Vielfaches der Elementarladung
positiver Kern
Q = ±N ⋅ e
ELEKTRON
PROTON
NEUTRON
negative
Elektronenhülle
Abb. 2.1.2 Borsches Atommodell
(2.1.01)
QE = -e = - 1.6021892⋅10-19 As
0.9109⋅10-30 kg
mE =
QP = e = 1.6021892⋅10-19 As
1.66725⋅10-27 kg
mP =
QN =
0
mN =
1.6748⋅10-27 kg
Tab. 2.1.1 Zusammenstellung der Elementarteilchen
Die Schalen der Atomhülle können mit einer maximalen Zahl von Elektronen besetzt
sein. Das trifft aber nur für die Edelgase zu. Weicht die Zahl der Elektronen auf der
äußersten Schale von der maximal möglichen Besetzung ab, werden diese
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Elektronen Valenzelektronen genannt. Während die Elektronen voll besetzter innerer
Schalen fest in das Atom eingebunden sind, können die Valenzelektronen oder freien
Elektronen leicht vom Atom getrennt und auf andere übertragen werden oder frei
bestehen. Das elektrische Gleichgewicht innerhalb eines Atoms wird durch die
Entnahme eines oder mehrerer Elektronen gestört, so dass ein Atomrumpf als positiv
geladenes Ion entsteht. Diesen Vorgang nennt man Ionisation. Ein Atom, dem ein
oder mehrere Elektronen zugeführt werden, wird zu einem negativen Ion.
Die dem Atom entnommenen Elektronen sind frei bewegliche Ladungsträger und
ermöglichen die Stromleitungsvorgänge. Die Zahl der frei beweglichen
Ladungsträger pro Stoffvolumen ist das Kriterium, mit dem die Werkstoffe der
Elektrotechnik in Leiter, Halbleiter oder Nichtleiter (Isolatoren) unterschieden werden.
Die hohe Leitfähigkeit der Metalle beruht auf
der Elektronenleitung. Durch Zufuhr von
Wärme werden die Metallatome ionisiert. Es
bildet sich ein Raumgitter aus feststehenden
positiven Metallionen (Atomrümpfe) und frei
beweglichen Elektronen (Elektronengas).
Insgesamt ist das Metall elektrisch neutral. In
Abb. 2.1.3 ist das Raumgitter eines Metalls
und das Elektronengas schematisch
dargestellt.
In ionisierten Gasen und Elektrolyten
(elektrisch leitenden Flüssigkeiten) kommen
neben den positiv geladenen Ionen auch
negativ geladenen Ionen vor. Elektrolyte
werden durch den Ladungstransport
chemisch verändert, wir sprechen von
Ionenleitung.
frei bewegliche Elektronen (Elektronengas)
feststehende postive Atomrümpfe
Abb. 2.1.3.
Raumgitter eines Metalls mit
Elektronengas
Ideale Nichtleiter besitzen keine beweglichen Ladungsträger. Diese Stoffe können
jedoch elektrisch geladen werden, sie verfügen dann über ortsfeste elektrische
Ladungen, die felderzeugend wirken. In Leitern können elektrische Felder wegen des
Ladungsausgleichs nur unter ständiger Energiezufuhr aufrecht erhalten werden.
Elektronenströmung
Im Metall (metallische Leitung) bewegen sich die freien Elektronen im Gitter der
Atome ungeordnet (Wärmebewegung) ähnlich wie die Moleküle eines Gases oder
einer Flüssigkeit. Diese freien Elektronen werden deshalb auch Elektronengas oder
Elektronensee genannt.
Durch die Wirkung einer Quelle bewegen sich die freien Elektronen nun zusätzlich in
einer Richtung. Ursache dieser gerichteten Bewegung ist, dass die Quelle ein
elektrisches Feld aufbaut, unter dessen Wirkung die Elektronen eine Kraft erfahren.
Elektronenströmung tritt auch auf beim Durchgang einer Ladung durch das Vakuum
wie es in Elektronenröhren erfolgt.
In Halbleitern liegt eine wesentlich geringere Zahl freier Ladungsträger vor.
Halbleiter können durch spezielle Fertigung (Dotierung) zusätzliche Elektronen
freisetzen. Wir sprechen dann von n-Halbleitern, und es liegt Elektronenströmung
vor. Werden bei der Dotierung Elektronen anlagert, entsteht ein p-Halbleiter.
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Die elektrische Strömung wird in diesem Fall von positiven Elementarladungen
getragen. Wir sprechen von Löcherströmung.
Ionenströmung
Bei der Ioneneströmung werden die elektrische Ladungen nicht mit
Elementarteilchen sondern mit Atomen oder Molekülen befördert. Die stofflichen
Träger haben in der Hülle mehr Elektronen als positive Kernladungen (negative
Ionen) oder ein Elektronen weniger (positive Ionen). Ionenströmung liegt bei der
elektrolytische Leitung und bei Entladungserscheinungen in Gasen vor.
Als positive Richtung der elektrischen Strömung wurde die Bewegungsrichtung
ausgeschiedener Metalle (positive Ionen) in elektrolytischen Lösungen festgelegt. Im
Sinne der Polaritätsbezeichnung einer Quelle (Pluspol; Minuspol) ist diese Strömung
im äußeren Stromkreis die Bewegung positiver Ladungen. Das wird auch heute als
positive Strömungsrichtung verwendet, obwohl in Metallen die Strömung durch
Elektronen (negative Ladungen) getragen wird.
Die Strömungsbewegung wird als die Bewegungsrichtung positiver Ladungen
definiert.
G
vp
In Abb. 2.1.5 ist die Strömung positiver
Ladungen mit dem GeschwindigkeitsG
vektor der positiven Ladungsträger v p
und die Elektronenströmung mit der
Geschwindigkeit der negativen
G
Ladungsträger v n eingetragen.
+
Uq
-
G
vn
R
Abb. 2.1.5 Strömungsrichtung positiver und
negativer Ladungen im Stromkreis
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2.1.3
Leiter, Halbleiter, Nichtleiter
Der Lernende kann
die Dichte der frei beweglichen Ladungsträger in Stoffen definieren
mit der Ladungsträgerdichte die Stoffe hinsichtlich ihrer elektrischen Strömungseigenschaften
in Leiter, Halbleiter, Nichtleiter einteilen
die Begriffe injiziertes Vakuum und Plasma erklären
Leiter sind Stoffe, in denen ohne ein äußeres elektrisches Feld eine große Zahl
frei beweglicher Ladungsträger vorhanden ist.
Elektronenleiter sind Metalle und
Kohlenstoff. Abb. 2.1.6 zeigt das Modell eines
Elektronenleiters mit positiven ortsfesten
Atomrümpfen und frei beweglichen
Elektronen.
Die Menge der freien Ladungsträger pro
Volumeneinheit wird durch die
Ladungsträgerdichte angegeben
N
p = p Dichte der positiven Ladungsträger
V
Nn
n=
Dichte der negativen Ladungsträger
V
-
+
+
-
+
Elektron ortsfester Atomrumpf
-
-
+
Abb. 2.1.6
-
+
Elektronenleiter
Beispiel: Kupfer
nCu = 8.6⋅1022/cm3
Np Zahl der positiven Ladungsträger
Nn Zahl der negativen Ladungsträger
V Volumen
Ionenleiter sind Elektrolyte und ionisierte
Gase, es liegen positive und/oder negative
Ionen vor.
Abb. 2.1.7 zeigt das Modell eines
Ionenleiters mit positiven und negativen Ionen
()
neg.
-
pos. Ionen
+
-
+
+
Abb. 2.1.7
-
Ionenleiter
In Halbleiter liegt Elektronen- und Defektelektronenleitung (Löcherleitung) vor.
Defektelektronen (Löcher) sind von Elektronen nicht besetzte Plätze im Valenzband,
die somit als frei bewegliche positive Ladungsträger erscheinen.
Die Ladungsträgerdichte ist im Vergleich mit der der Metalle um viele
Zehnerpotenzen geringerer. Hinsichtlich der Ladungsträgerdichte werden Halbleiter
unterteilt in eigenleitende Halbleiter; n-Halbleiter und p-Halbleiter
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Bei eigenleitende Halbleitern wird die
Eigenleitdichte ni definiert.
Es gilt dabei:
ni = n = p
Abb. 2.1.8 zeigt das Modell eines
eigenleitenden Halbleiters mit einem
negativem Elektron und einem positiven
Defektelektron.
Für Silizium bei 300 K ist die
Eigenleitdichte: ni = 1.5 ⋅ 1010 cm−3
n-Halbleiter
Dotierung mit ortfesten Störstellen, die
Elektronen abgeben. Diese Störstellen
werden Donatoren (As bei Si) genannt.
Für n-Halbleiter gilt: n ni p
(
Elektron
-
+
+
Defektelektron
Abb. 2.1.8
-
eigenleitender Halbleiter
Donator
+
+
Elektron
-
)
n = 1012...1020 cm−3 für n-Si
Abb. 2.1.9 zeigt das Modell eines nHalbleiters mit positivem ortsfesten
Donator und einem Elektron
p-Halbleiter
Dotierung mit ortfeste Störstellen, die
Löcher abgeben. Diese Störstellen
werden Akzeptoren (B bei Si) genannt.
Für p-Halbleiter gilt: p ni n
(
Abb. 2.1.9
n-Halbleiter
Akzeptor
+
-
+
Defektelektron
-
)
p = 1012...1020 cm−3 bei p-Si
Abb. 2.1.10 zeigt das Modell eines pHalbleiters mit negativem ortsfesten
Akzeptor und einem Defektelektron
In Nichtleitern (Bernstein, Quarz, Glas,
Keramik, Isolierstoffe) ist die Zahl der frei
beweglichen Ladungsträger
vernachlässigbar.
Abb. 2.1.10
p-Halbleiter
-
+
Übersteigt die elektrische Feldstärke
zulässige Werte erfolgt Ionisierung und
ein Durchschlag mit der Ausbildung eines Abb. 2.1.11
Lichtbogens.
In Abb. 2.1.11 ist das Modell eines
Nichtleiters gezeigt.
Nichtleiter
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1etv2-1
Ein Ideales Vakuum ist ein idealer
Nichtleiter. Im Vakuum ist die
Ladungsbewegung unter Feldeinfluss
möglich, wenn Ladungsträger injiziert
werden. Die Injektion von Elektronen
kann durch einen glühenden Metalldraht
mittels Glühemission erfolgen.
Abb. 2.1.12 zeigt das Modell eines
Vakuums mit injizierten Elektronen
Plasma
Gase sind normalerweise Nichtleiter.
Durch starke Felder, hohe Temperatur
oder kosmische Strahlung ist allerdings
Ionisation möglich. Es entstehen positive
Ionen und Elektronen sowie in geringem
Umfang negative Ionen. Ein solches
ionisiertes Gas wird Plasma genannt.
Abb. 2.1.13 zeigt das Modell des
Plasmas.
-
+
injizierte Elektronen
-
-
-
Abb. 2.1.12
injiziertes Vakuum
positive Ionen
+
+
-
+
-
Abb. 2.1.13
Elektronen
-
Plasma
2.1.4. Wirkungen der elektrischen Strömung
Der Lernende kann
die technisch wichtigen Wirkungen der elektrischen Strömung nennen
Zur Wahrnehmung der elektrischen Strömung hat der Mensch kein Sinnesorgan.
Die Ladungsträgerbewegung in einem Leiter lässt sich nur durch die Veränderungen
im oder in der Umgebung des Leiters wahrnehmen.
Technisch wichtige Wirkungen der elektrischen Strömung sind:
Magnetische Vorgänge, Magnetfeldwirbel
mit mechanischen Kraftwirkungen in der Umgebung des Leiters auf
bewegte Ladungen, ferromagnetische Stoffe und Magnete
Erzeugung von Wärme und Licht
Wärmewirkung in allen Leitern, Halbleitern und Isolierstoffen. Ursache sind
elementare Stoßprozesse bei der Ladungsbewegung
Chemische Wirkungen
Chemische Zersetzung der in elektrolytischen Lösungen enthaltenen
Moleküle
Physiologische Wirkungen im lebenden Organismus
Muskel- und Nervenreaktionen, chemische Zersetzung, Wärmewirkung, Tod
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1etv2-1
2.2
2.2.1
Elektrischer Strom
Elektrische Stromstärke
Der Lernende kann
die Begriffe Konvektionsströmung und Verschiebungsströmung erklären
die elektrische Stromstärke definieren
die elektrische Stromstärke bei Bewegung positiver Ladungsträger berechnen
den Zählpfeil der elektrischen Stromstärke anwenden
Die elektrische Strömung ist eine Ladungsbewegung. Da Ladungen immer an
Massen gebunden (Elektron, Ion) vollzieht sich mit der elektrischen Strömung auch
eine Massebewegung. Die durch Ladungsbewegung getragene elektrische Strömung
wird als Konvektionsströmung bezeichnet. Analoge Strömungsverhältnisse liegen
bei der Wasserströmung oder bei einem Fahrzeugstrom vor.
Die auf der Konvektionsströmung beruhenden Probleme werden in den Kapiteln 2
und 3 behandelt.
Neben der elektrischen Konvektionsströmung gibt es aber auch eine elektrische
Strömung ohne Massebewegung. Sie entsteht durch zeitliche Ladungsänderungen
bei Nichtleitern. Diese elektrische Strömung wird Verschiebungsströmung genannt.
Gemeinsames Kennzeichen beider Strömungen ist das Entstehen eines
Magnetfeldwirbels
In Abb. 2.2.1 sind zwei durch einen
isolierenden Luftraum getrennte
Metallplatten an eine technische
Stromquelle angeschlossen. Die Quelle
treibt eine konstante
Konvektionsströmung an. In den
Leitungen werden Ladungen bewegt. Als
Ergebnis der Ladungsbewegung entsteht
um die Leiter ein Magnetfeldwirbel.
An den Metallplatten endet die
Ladungsbewegung, auf den Platten ist
jedoch eine zeitliche Ladungsänderung
registrierbar, die in ihrer Größe der
Ladungsbewegung je Zeiteinheit in den
Drähten entspricht.
Im Feldraum zwischen den Platten
entsteht ein zeitlich veränderliches
elektrisches Feld, und als Ergebnis ist im
Feldraum quantitativ der gleiche
Magnetfeldwirbel nachweisbar.
Ik
Φ
Iq
Iv
Φ
Φ
Ik
Abb. 2.2.1
Konvektions- und
Verschiebungsstrom
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1etv2-1
Die elektrische Strömung wird durch die elektrische Stromstärke quantifiziert.
Definition der elektrischen Stromstärke:
Ladungsmenge ∆Q, die durch einen bestimmten Querschnitt A in einer
bestimmten Richtung in der Zeit ∆t bewegt wird.
I=
Definitionsgleichung:
∆Q
∆t
(2.2.01)
Maßeinheit [I] = A
Das Ampere ist über die Kraftwirkung elektrischer Ströme im Magnetfeld definiert:
1 A ist die Stromstärke eines konstanten elektrischen Stromes durch zwei
geradlinige. parallele, unendlich lange Leiter von vernachlässigbarem Querschnitt,
die den Abstand 1 m haben und zwischen denen im Vakuum die durch den Strom
hervorgerufene Kraft je 1 m Doppelleitung F = 0.2 ⋅ 10−6 N beträgt.
Mit der Definitionsgleichung der Stromstärke in der angegebenen Form kann man
aber nur die mittlere Stromstärke im endlichen Zeitintervall ∆t bestimmen. Um die
Stromstärke zu einem bestimmten Zeitpunkt zu ermitteln, muss das Zeitintervall ∆t
sehr klein gewählt werden. Selbstverständlich wird damit die Ladungsmenge ∆Q
auch immer kleiner. Handelt es sich um eine zeitlich konstante Strömung, bleibt der
Quotient ∆Q / ∆t und damit die Stromstärke von der Intervallverkleinerung unberührt.
Theoretisch kann ∆t = 0 werden. Da dann auch ∆Q = 0 , ist der Quotient 0/0 nicht
mehr bestimmbar. Um das Problem zu beschreiben, führt die Mathematik hier neue
Größen ein, die als differenzielle Größen bezeichnet werden. Der Übergang von den
Differenzengrößen ∆Q = Q ( t 2 ) − Q ( t1 ) und ∆t = t 2 − t1 zu den differenziellen Größen
wird mathematisch als Grenzwertbildung (Limes) bezeichnet.
∆Q dQ
=
∆t →0 ∆t
dt
lim
(2.2.02)
∆Q
dQ
.
für ∆t gegen Null ist
dt
∆t
Praktisch bedeutet es, das wir mit dem Differenzialquotienten dQ / dt umgehen
können wie mit dem Differenzenquotienten ∆Q / ∆t , nur dass es sich am die Größen
einer sehr kleinen Zeitdifferenz handelt. Wir haben damit die Möglichkeit, die
elektrische Stromstärke für einen Zeitpunkt zu definieren und damit auch zeitlich
veränderliche Ströme zu beschreiben.
Die Beziehung lautet verbal: Der Grenzwert von
i=
dQ
dt
(2.2.03)
Wir wollen in der weiteren Behandlung des Stoffes mit diesen differenziellen Größen
arbeiten, wobei wir die Betrachtung auf eine differenzielle Länge ds, ein
differenzielles Volumen dV anwenden wollen. Mit der differenziellen Länge ds
können wir die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt bestimmen: v = ds / dt . Das
differenzielle Volumen lässt sich aus einer Fläche A und der Höhe ds berechnen
zu dV = A ⋅ ds .
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1etv2-1
Im Folgenden wollen wir die Stromstärke berechnen. Wir betrachten dazu Abb. 2.2.3,
wobei zunächst nur Strömung positiver Ladungsträger betrachtet wird.
Auf Grund der Ladungsträgergeschwindigkeit vp wird in der Zeit dt die Wegstrecke
dsp zurückgelegt. Die beiden Bilder in Abb. 2.2.3. zeigen die Strömung zu den Zeiten
t und t + dt . Während der Zeit dt hat sich die Ladungsträgermenge dQp, die sich in
dem farbig angelegten Volumen dV befindet, durch die Querschnittsfläche A bewegt.
Mit der Berechnung von dQp kann die Stromstärke bestimmt werden.
dQp
i=
dt
ds
dQp = e ⋅ p ⋅ dV
dV = A ⋅ dsp
vp = p
dt
dQp = e ⋅ p ⋅ A ⋅ dsp
i = e⋅p ⋅ A ⋅
I
vp
dsp
dt
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
dsp
vp = dsp/dt
I
vp
(2.2.04)
= e ⋅ p ⋅ A ⋅ vp
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
vn
-
dsn
A
dsp
+
t
vp
-
t+dt
t+dt
Abb. 2.2.3
vp
vn
t
A
dQp
+
Berechnung der Stromstärke
Abb. 2.2.4
Berechnung der Stromstärke bei
Strömung positiver und negativer Ladungen
Es sollen jetzt positive und negativer Ladungsträger vorhanden sein, die in dt durch
den Querschnitt A bewegt Gwerden.G Die Geschwindigkeitsvektoren der positiven und
negativen Ladungsträger v p und v n sind entgegengerichtet, da beide
Ladungsträgerarten von der gleichen Feldkraft bewegt werden. Die Verhältnisse sind
in Abb. 2.2.4 dargestellt. Die Geschwindigkeitsbeträge sind unterschiedlich, so dass
in der gleichen Zeit dt unterschiedliche Wegstrecken dsp und dsn zurückgelegt
werden.
dQ = dQp − dQn
vp =
dQ = e ⋅ p ⋅ A ⋅ dsp − ( −e ⋅ n ⋅ A ⋅ dsn )
dsp
dt
vn =
dsn
dt
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dQp = e ⋅ p ⋅ A ⋅ dsp + e ⋅ n ⋅ A ⋅ dsn = e ⋅ A ⋅ ( p ⋅ dsp + n ⋅ dsn )
i=
 ds
dQ
ds 
= e ⋅ A ⋅ p ⋅ p + n ⋅ n 
dt
dt
dt 

i = e ⋅ A ⋅ (p ⋅ v p + n ⋅ vn )
(2.2.05)
Die elektrische Stromstärke ist eine skalare Größe, sie hat nur Betrag und ein
Vorzeichen. Ein positiver Strom gibt eine Strömung in Bewegungsrichtung der
positiven Ladungsträger an.
+
G
vp
A
i1
G
vn
−
i2
Abb. 2.2.5 Definition des Zählpfeils
Ist die Bewegungsrichtung bekannt, lässt sich die positive Stromstärke durch einen
Richtungspfeil darstellen. Ist die Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger
nicht bekannt, weil der Strom erst berechnet werden soll, wird ein Zählpfeil
für die Stromrichtung eingeführt. Ein Zählpfeil ist die Festlegung der positiv zu
zählenden Richtung unabhängig von der tatsächlichen positiven Stromrichtung.
In Abb. 2.2.5 sind mit den Zählpfeilen i1 und i2 die beiden möglichen Fälle
eingezeichnet. Da im Bild die Geschwindigkeitsrichtungen der positiven
Ladungsträger eingetragen ist, muss die Rechnung ergeben:
i1 > 0; Die Zählpfeilrichtung stimmt mit der tatsächlichen Richtung überein.
i2 < 0; Der Strom fließt tatsächlich in die entgegengesetzte Richtung.
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2.2.2.
Elektrische Stromdichte
Der Lernende kann
die Stromdichte definieren
den Zusammenhang zwischen Stromdichte und Geschwindigkeit der Ladungsträger begründen
die Richtung des Stromdichtevektors angeben
zulässige Stromdichtewerte für frei in Luft verlegte Kupferleitungen angeben
In 2.2.1. haben wir die elektrische Stromstärke nach (2.2.05) berechnet.
i = e ⋅ A ⋅ (p ⋅ v p + n ⋅ vn )
Im Folgenden sollen nur positive Ladungsträger betrachtet werden.
i = e ⋅ A ⋅ p ⋅ vp
(2.2.06)
Stellt man (2.2.06) nach der Geschwindigkeit um, hat man ein Maß für die
Stoßprozesse bei der Ladungsträgerbewegung und damit für die Erwärmung des
Leiters und dessen thermischer Belastung.
vp =
i
i
=K⋅
e ⋅p ⋅ A
A
Wir sehen, dass für die thermische Belastung eines Leiters die auf den Querschnitt A
bezogene Stromstärke entscheidend ist. Dieser Quotient wird als Stromdichte
eingeführt:
i
J = = e ⋅ p ⋅ vp
(2.2.07)
A
In Tabelle 2.2.1 sind die zulässigen Strombelastungen und Stromdichten einadriger
frei in Luft verlegter Leitungen zusammengestellt.
A in mm
2
0.5
1
2.5
10
50
Imax,Cu in A
12
20
36
86
240
Imax,Al in A
-
-
27
67
187
Jmax,Cu/(A/mm2)
24
20
14.4
8.6
4.8
Jmax,Al/(A/mm2)
-
-
10.8
6.7
3.74
Tab. 2.2.1 Zulässige Strombelastung
einandriger Leitungen frei in
Luft verlegt:
Werden auch negative Ladungsträger berücksichtigt, berechnet sich die Stromdichte
nach (2.2.08)
J = e ⋅ p ⋅ vp + e ⋅ n ⋅ vn
(2.2.08)
Da die Geschwindigkeit ein Vektor ist, wird auch die Stromdichte ein Vektor sein
G
G
G
J = e ⋅ p ⋅ vp − e ⋅ n ⋅ vn
(2.2.09)
Die positive Richtung des Stromdichtevektors stimmt mit dem Geschwindigkeitsvektor der positiven Ladungsträger überein.
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2.2.3
Stromarten, zeitliche Stromverläufe
Der Lernende kann
die Stromarten Gleichstrom, Wechselstrom, Mischstrom, Impulsstrom definieren
den zeitlichen Verlauf der Stromarten skizzieren
den wichtigsten Wechselstrom angeben und skizzieren
Gleichstrom ist ein Strom mit stets
gleicher Richtung und konstanter
Stromstärke.
12
i in A
10
8
In Abb. 2.2.6 ist der Gleichstrom
I = 10A im Zeitbereich 0 ≤ t ≤ 30ms
dargestellt
6
4
2
t in ms
0
0
5
Abb. 2.2.6
Ein Wechselstrom ist eine
periodische Zeitfunktion mit der
Periodendauer T oder der Frequenz
f = 1/T
(2.2.10)
mit dem arithmetischem Mittelwert
über eine Periode
t +T
1
(2.2.11)
i = ⋅ ∫ i(t) ⋅ dt = 0
T t
Die in den Abbildungen 2.2.7 und
2.2.8 dargestellten Wechselströme
haben die Periodendauer T = 20ms
und damit die Frequenz f = 50Hz
15
10
15
20
25
30
50
60
Gleichstrom
i in A
10
5
0
-5 0
10
20
30
t in40ms
-10
-15
-20
Abb. 2.2.7
Wechselstrom
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1"
28
1etv2-1
Der wichtigste Wechselstrom ist der
mit zeitlich sinusförmigem Verlauf.
15
i in A
10
5
0
0
-5
10
20
30
t in40ms
50
60
-10
-15
Abb. 2.2.8
Unter Mischstrom versteht man
einen Strom, der aus der Summe
von einem Gleich und einem
Wechselstrom gebildet wird.
sinusförmiger Wechselstrom
12 i in A
10
8
6
4
2
0
0
10
20
Abb. 2.2.9
Ein Impulsstrom entsteht aus einer
periodischen Folge von Impulsen
spezieller Form. In Abb. 2.2.10 ist
eine Folge von Rechteckimpulsen mit
einer Periodendauer von 10ms
dargestellt.
12
30
40
t in 50
ms
Mischstrom
i in A
10
8
6
4
2
0
0
10
Abb. 2.2.10
20
Impulsstrom
30
t in ms 40
60
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1"
29
1etv2-1
2.2.4
Messung der Stromstärke
Der Lernende kann
die Maßeinheit Ampere definieren
analog anzeigende Messwerke zur Strommessung benennen
Wirkprinzip digital anzeigende Messinstrumente zur Strommessung erläutern
Messinstrumente zur Strommessung in den Stromkreis einfügen
Die Maßeinheit einer physikalische Größe ist nur brauchbar, wenn man die Größe
auch in ihr messen kann, d.h. zählen, wie viele Einheiten in der Größe enthalten sind.
Die Maßeinheit der elektrischen Stromstärke ist das Ampere. Ein Strom von 1A , der
in zwei parallelen, geradlinigen, unendlich langen, in 1 m Abstand befindlichen
Leitern von vernachlässigbarem kreisrunden Querschnitt fließt übt zwischen ihnen im
Vakuum die Kraft 0.2 ⋅ 106 N je Meter Länge aus.
Für Spezialzwecke wird dieses Prinzip für die Strommessung verwendet, die
geradlinigen Leiter werden dabei zu Spulen gewickelt.
.
Das Strommessgerät wird grundsätzlich vom zu
messenden Strom durchflossen. Es wird in den
Stromkreis zwischen Quelle und Verbraucher
geschaltet (Abb. 2.2.11)
Im allgemeinen nutzt man für die Messung die
Kraftwirkung aus, die stromdurchflossene Leiter in
einem Magnetfeld erfahren
A
Ri
Ra
Abb. 2.2.11
Einfügung eines
Strommessers in den Stromkreis
Beim Drehspulmesswerk befindet sich eine mit dem
Zeiger verbundene, drehbar gelagerte Spule Sp im Feld
B eines Dauermagneten. Das Drehspulmesswerk nutzt
die Kraft, die ein stromdurchflossener Leiter im
Magnetfeld erfährt. Das Drehmoment der Drehspule
wirkt gegen eine Feder, so dass sich ein dem Strom I
proportionaler Zeigerausschlag ergibt.
Die Prinzipskizze des Drehspulmesswerkes ist in Abb.
2.2.12 dargestellt.
Abb. 2.2.12
M
M
B
K
N
Sp
Drehspulmesswerk
Dreheiseninstrumente arbeiten nach dem Prinzip der
im Magnetfeld auf Eisenwerkstoffe ausgeübten Kraft. In
eine vom zu messenden Strom I durchflossene
Zylinderspule Z (Abb. 2.2.13) wird ein beweglicher
Weicheisenkörper D eine abstoßende Kraft gegenüber
einem festen Weicheisenkörper F erfahren und wird
gegen eine Federkraft einen dem Quadrat des
Messstromes proportionalen Zeigerausschlag bewirken.
S
d
I
D
Z
F
Abb. 2.2.13
Dreheisenmesswerk
Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1"
30
1etv2-1
Digitale Instrumente werten die beim Stromfluss
durch einen Widerstand entstehende Spannung
digital aus und bringen Maßzahl und Maßeinheit der
gemessenen Spannung zur Anzeige.
I
R
U = I⋅R
I
Abb. 2.2.14 zeigt das Prinzipschaltbild eines
digitalen Strommessers für die Messung von
Gleichströmen.
Decoder
AD-Wandler
Abb. 2.2.14
Prinzipschaltbild
eines digitalen Instrumentes
.