Aufgabenblatt 7

Spieltheorie
7-1
Wintersemester 2009/10
Aufgabenblatt 7
Inhalt: Kapitel 6, Statische Spiele mit unvollständiger Information
Aufgabe 7.1
Betrachten Sie eine Erstpreisauktion ohne Reservationspreis mit zwei risikoneutralen Bietern. Die Zahlungsbereitschaften der Bieter v1 , v2 sind unabhängig und auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilt. Jeder Bieter kennt vor Beginn
der Auktion seine Zahlungsbereitschaft, weiß über die Zahlungsbereitschaft
des anderen Bieters lediglich, dass sie wie oben angegeben verteilt ist. Eine
Strategie für Bieter i ist eine Funktion bi (vi ), also das Gebot, das Bieter i
macht, wenn er eine Zahlungsbereitschaft von vi besitzt.
(a) Bieter 1 verwende eine lineare Strategie, d.h.
b1 (v1 ) = α1 v1
mit α1 ∈ [0, 1]
Berechnen Sie (gegeben den Parameter α1 ) die Wahrscheinlichkeit, dass
Bieter 2 mit einem Gebot von b2 die Auktion gewinnt. Beachten Sie dabei,
dass diese Wahrscheinlichkeit nicht größer als 1 werden kann. Berechnen
Sie dann den erwarteten Gewinn von Bieter 2, G(b2 , v2 , α1 ).
(b) Verwenden Sie nun die Gewinnfunktion, um eine beste Antwort von Bieter 2 auf die gegebene Strategie von Bieter 1 zu bestimmen. Zeigen Sie
insbesondere: Falls α1 ≥ 12 gilt, ist die beste Antwort von Bieter 2 linear
und hängt nicht von dem Parameter ab.
(c) Zeigen Sie, dass es genau ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht für diese
Auktion gibt, in dem beide Bieter lineare Strategien verwenden. Wie
lauten diese Gleichgewichtsstrategien?
(d) Wie hoch ist der erwartete Erlös des Verkäufers, falls beide Bieter diese Gleichgewichtsstrategie verwenden? Vergleichen Sie diesen mit dem
Erlös, den der Verkäufer in einer Zweitpreisauktion erzielt, in der beide
Bieter ihre Zahlungsbereitschaft bieten (Vergleiche Aufgabe 1.4). Zeigen
Sie, dass der erwartete Erlös in beiden Auktionen gleich ist (“Revenue
Equivalence Theorem”). Tipp: Arbeiten Sie bitte zunächst die Zusatznotizen zu “Ordnungsstatistiken” durch.
Spieltheorie
7-2
Wintersemester 2009/10
Aufgabe 7.2
Betrachten Sie die folgende strategische Situation. Zwei verfeindete Armeen
sind bereit eine Insel anzugreifen. Der jeweilige General von jeder Armee hat
die Wahl zwischen “angreifen”oder “nicht angreifen”. Zusätzlich ist jede Armee entweder “stark”oder “wankelmütig”mit gleicher Wahrscheinlichkeit (die
Ziehungen für beide Armeen sind unabhängig), und jeder General kennt nur
den Typ seiner eigenen Armee. Die Auszahlungen ergeben sich folgendermaßen: Die Insel hat einen Wert von M = 10 für denjenigen, der sie einnimmt.
Eine Armee kann die Insel einnehmen, wenn entweder der Gegner nicht angreift, oder wenn die eigene Armee stark ist und der Gegner wankelmütig.
Falls zwei Armeen gleicher Stärke die Insel angreifen, kann keiner die Insel
einnehmen. Eine Armee hat “Kosten”, wenn es zum Kampf kommt, die s = 6
für eine starke Armee betragen und w = 8 für eine wankelmütige. Falls der
Gegner nicht angreift, entstehen keine Kosten.
Modellieren Sie diese Situation als ein Bayesianische Spiel und identifizieren
Sie alle Bayesianischen Nash Gleichgewichte in reinen Strategien.
Aufgabe 7.3
Betrachten Sie die folgende Handelsbeziehung zwischen einem Verkäufer und
einem potentiellen Käufer. Der Verkäufer besitzt eine Einheit eines unteilbaren Gutes. Die Wertschätzungen der beiden Akteure bzgl. des Gutes (vv , vk )
(der Index v steht für “Verkäufer”, Index k für “Käufer”) sind unabhängig
und auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilt. Die beiden Personen haben sich
darauf geeinigt, eine zweiseitige Auktion als Allokationsmechanismus zu benutzen. Dabei geben beide Teilnehmer simultan ein Gebot bi ≥ 0 ab. Falls
bv > bk behält der Verkäufer das Gut und keine Geldzahlungen erfolgen. Gilt
hingegen bk ≥ bv , so bekommt der Käufer den Gegenstand und zahlt einen
Preis in Höhe von 21 (bv + bk ). Der Nutzen der Teilnehmer ergibt sich wie folgt
uv =
uk =

0
 1 (bv
2

0
vk
−
+ bk ) − vv
1
(b
2 v
falls bk < bv
falls bk ≥ bv
falls bk < bv
+ bk ) falls bk ≥ bv
(a) Bestimmen Sie das Bayesianische Nash-Gleichgewicht unter der Annahme, dass die beiden Teilnehmer Strategien der Form bi (vi ) = αi + βi vi
benutzen. Wie hoch sind die αi , βi , und welche Zahlung wird im Gleichgewicht erfolgen?
Spieltheorie
7-3
Wintersemester 2009/10
(b) Führt der obige Allokationsmechanismus zu effizienten Allokationen?
Tipp: Wenn Sie unerfahren im Rechnen mit bedingten Erwartungswerten
sind, arbeiten Sie bitte zunächst die Zusatznotizen “Rechnen mit bedingten Erwartungswerten” durch!