Aufgaben der Klasse 5

Landesverband Mathematikwettbewerbe Nordrhein-Westfalen e. V.
4. Landeswettbewerb 1997/98 in Rheine
Aufgaben der Klasse 5
Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen, Nebenrechnungen und (bei Konstruktionsaufgaben) Hilfslinien
soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden.
Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage
aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als
bekannten Sachverhalt anzuführen.
1. Aufgabe:
Gegeben seien die Zahlenmengen M2 = { 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 } und M3 = {1, 3, 9, 27, 81}.
Da 52 = 32 + 16 + 4 und 23 = 16 + 4 + 2 + 1 gilt, sagen wir: Die Zahlen 52 und 23 lassen sich durch Addition
von Zahlen aus M2 darstellen.
Da 52 = 81 - 27 - 3 + 1 und 23 = 27 - 3 - 1 gilt, sagen wir: Die Zahlen 52 und 23 lassen sich durch Addition oder
Subtraktion von Zahlen aus M3 darstellen.
Wir fordern dabei für Addition und Subtraktion, daß jede Zahl aus M2 bzw. M3 höchstens einmal auftritt.
a)
Stelle die Zahl 100 durch Addition von Zahlen aus M2 dar und stelle sie durch Addition oder Subtraktion
von Zahlen aus M3 dar !
b) Weise nach: Jede Zahl von 1 bis 40 läßt sich durch Addition von Zahlen aus M2 darstellen. Für welche
weiteren Zahlen ist dies noch möglich ?
c)
Weise nach: Jede Zahl von 1 bis 40 läßt sich durch Addition oder Subtraktion von Zahlen aus M3 darstellen.
Für welche weiteren Zahlen ist dies noch möglich ?
2. Aufgabe:
Die folgenden Figuren bestehen aus je einem regelmäßigen Sechseck, in das gleichseitige Dreiecke
eingezeichnet sind:
Bild A: Seitenlänge 2
Bild B: Seitenlänge 3
Die kleinsten Dreiecke haben jeweils die Seitenlänge 1.
a)
Im Bild A kommen außer dem großen Sechseck noch sieben kleinere Sechsecke vor. Wie viele Sechsecke
dieser Größe sind in der Figur B enthalten ?
b) Wie viele Sechsecke mit einer kleineren Kantenlänge als 3 sind insgesamt im großen Sechseck enthalten ?
c)
Anstelle der Figur B betrachten wir jetzt ein entsprechendes Sechseck mit Kantenlänge 4. Wie viele
Sechsecke mit einer Kantenlänge kleiner als 4 sind insgesamt in diesem Sechseck enthalten?
d) Was ergibt sich, wenn wir ein Sechseck mit Kantenlänge 5 betrachten?
3. Aufgabe
Von einer dreistelligen Zahl ist bekannt, daß sie die folgenden 5 Bedingungen erfüllt:
(1) Der Nachfolger der Zahl ist durch 3 teilbar.
(2) Die Zahl hat beim Teilen durch 5 den Rest 3.
(3) Die Zahl hat beim Teilen durch 7 den Rest 3.
(4) Die Zahl ist kleiner als 401.
(5) Der Vorgänger der Zahl ist durch 8 teilbar.
Bestimme diese Zahl.