Graphen und Netze als Planungsmodelle - IMN/HTWK

1
Graphen und Netze
als Planungsmodelle
von:
Prof. Dr. rer. nat. habil.
Günter Nägler
2
Vorwort
Dieses Buch zielt auf die Verbreitung der Kenntnisse über graphische Modelle der Operation
Research, die bei Planungsaufgaben genutzt werden. Es geht einerseits um Planungsaufgaben, die in
der Nähe der klassischen Transportkostenoptimierung liegen und andererseits um das Gebiet
Netzplantechnik. Mathematisch gesehen stehen damit einerseits die Stromoptimierung auf Graphen –
Transportmodelle – und andererseits die Spannungsoptimierung auf Graphen – Netzplantechnik – im
Blickfeld. Für beide Aufgabenklassen gibt es sehr effiziente und leicht beherrschbare
Bearbeitungsalgorithmen.
Dem Autor geht es darum, Kenntnisse über von ihm bearbeitete Erweiterungen dieses als klassisch zu
bezeichnenden Instrumentariums zu verbreiten – Erweiterungen durch die Möglichkeit, Bogen zu
kopppeln, d.h. von ihren Strom- bzw. Spannungskomponenten die Einhaltung vorgegebener
Proportionen zu fordern. Diese Möglichkeit gibt dem Modellierer praktischer Aufgaben ein stark
erweitertes Instrument in die Hand, für das der Rechenvorteil und die Übersicht über den
Rechenverlauf von Optimierungen zwar sinkt, das aber gegenüber Verfahren, die sich auf Matrizen
stützen (lineare Optimierung) in der Regel vorteihaft bleibt. Im Kapitel 6, Optimierung des
Ressourceneinsatzes in Netzplänen, wird ein Modell betrachtet, das sogar Strom- und
Spannungsaufgaben durch Kopplung verbindet, d.h. vom Fluss durch den Bogen eines Netzes wird
gefordert, dass er zur Spannung in einem Bogen eines anderen Netzes eine vorgegebene Proportion
einhält. Mit diesem Modell wird eine lokale Optimierung klasischer Ressourceneinsatzaufgaben
aufgebaut, die zur heuristischen Bearbeitung dieser NP-hard-Probleme genutzt wird.
Obwohl die im Buch vorgelegten Problemlösungen relativ alt sind, sind sie nach Meinung des Autors
noch wenig bekannt, weshalb diese Publikation Abhilfe schaffen will.
Die folgenden Ausführungen decken sich teilweise stark mit Darlegungen des Autors in
[Nä/St]. Diese Übernahme dient dem geschlossenen Überblick über die gezeigten Methoden
und soll insbesondere die Leichtigkeit demonstrieren, mit der man mit ihnen auch komplexere
Aufgaben lösen kann.
Im Kapitel 1 wird das benutzte Instrumentarium der Graphentheorie zusammengestellt, wobei, im
Gegensatz zur üblichen Darstellung, konsequent der gerichtete Graph und die Basisdarstellung von
Strömen und Spannungen über Gerüste und Cogerüste in den Vordergrund gerückt werden. Ferner
wird mit Blick auf programmierbare Algorithmen, ein Modell der Bearbeitung im Computer durch
Vorgabe geeigneter Objektklassen vorgestellt, dass in den weiteren Kapiteln ausgebaut wird. Es sei an
dieser Stelle vermerkt, dass der Autor gleizeitig zwei Programmpakete (Transportprogramm und
Netzplanprogramm) offen legt, die dieses Softwareinstrumentarium ausbauen. Alle im folgenden Text
vorgestellten Algorithmen und einige weitere sind in einem dieser Programme im Java-Quellcode zu
finden. Das Programm „Transportprogramm“ wurde im Rahmen der Diplomarbeit [Sch], gestützt auf
Vorlagen aus der Lehre des Autors, erarbeitet.
Kapitel 2 beschäftigt sich mit gut bekannten einfachen Netzwerkalgorithmen zur Suche nach kürzesten
bzw. längsten Wegen und Minimalgerüsten.
Kapitel 3 ist der Minimalkosten-Stromoptimierung also der klassischen Transportkostenoptimierung
und der analogen Minimalkosten-Spannungsoptimierung gewidmet und wirft auch einen Blick auf so
genannte Tourenprobleme. Die Minimalkosten-Spannungsaufgabe wird genutzt, um die Aufgabe der
kostenminimalen Kürzung des kritischen Weges in klassischen Netzplänen zu bearbeiten (Aufgabe
von Kelley [1]).
Kapitel 4 beschäftigt sich mit der oben genannten Kopplung von Flüssen bei
Stromoptimierungsaufgaben. Sie wird über Anwendungsmodelle eingeführt und motiviert und im
Anschluss theoretisch und algorithmisch behandelt.
Kapitel 5 führt in die Netzplantechnik ein, wobei die klassischen Grundlagen nur knapp behandelt
werden, vielmehr ein allgemeineres Modell eingeführt wird, dass nach dem Wissen des Autors heute
nur noch wenig genutzt wird (Es wurde um 1965 in der DDR vom Autor und seinem Team
entwickelt.), obwohl es für praktische Aufgaben starke Modellierungsmöglichkeiten bietet. Dieses
Modell beruht mathematisch auf der Spannungsoptimierung mit Bogenkopplungen – analog zur
Stromaufgabe – und es mag durchaus sein, dass die geringe Verbreitung des Wissens über deren
Bearbeitung Ursache der geringen Verbreitung des leistungsstarken Modells ist. Der mathematische
3
Hintergrund des Modells, die Spannunggsaufgabe mit Bogenkopplung, wird im Kapitel als Analogon
zur Stromaufgabe behandelt und gelöst und zur Bearbeitung der Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
genutzt – eine Aufgabe, die einerseits als Verallgemeinerung der im Kapitel 3 behandelten Kürzung
des kritischen Weges im klassischen Netzplan anzusehen ist, andererseits die Basisrechnung für das
verallgemeinerte Netzplanmodell darstellt.
Kapitel 6 schließlich – als Höhepunkt – widmet sich Aufgaben der Ressourceneinsatzoptimierung in
dem genannten allgemeinen Netzplanmodell.
4
Inhaltsverzeichnis
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
Grundbegriffe der Graphentheorie
6
Definition des Graphen…………………………………………………………………….6
Die Datenstruktur Graph…………………………………………………………………...8
Weitere Grundbegriffe der Graphentheorie..……………………………………………..10
Erreichbarkeit, Zusammenhang, Kreisfreiheit……………………………………………19
2.
2.1
2.2
2.3
Einfache Netzaufgaben
25
Suche nach kürzesten Wegen………………………………………………….………… 25
Suche nach längsten Wegen………………………………………………………………31
Minimalgerüste……………………………………………………………………………35
3.
3.1
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
36
Einfache Transportkosten-Minimierung…………………………………………………. 36
Ergänzung der theoretischen Grundlagen………………………………………………... 40
Ströme und Spannungen…………………………………………………………………. 40
Lösbarkeit des Minimalkosten-Stromproblems………………………………………….. 42
Grundlagen des Lösungsalgorithmus für das Minimalkosten-Stromproblem…………… 43
Gleichgewichts-Algorithmus zur Lösung des Minimalkosten-Stromproblems………......46
Anwendungsbeispiel Tourenproblem…………………………………………………..... 55
3.2.6
Das Minimalkosten-Stromproblem mit einem freien Parameter………………….57
3.3
3.3.1
3.3.2
Das Minimalkosten-Spannungsproblem………………………………………………..... 64
Grundlagen………………………………………………………………………………..64
Gleichgewichts-Algorithmus zur Lösung des Problems der Kürzung des
kritischen Wegs…………………………………………………………………………...66
4.
4.1
4.2
Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
74
Motivierung und Aufgabenstellung……………………………………………………… 74
Theoretische Grundlagen für die Lösung des Minimalkosten-Stromproblems mit
Kopplungen………………………………………………………………………………. 79
4.3
Ein Lösungsalgorithmus für das Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen
(MKSK)…………………………………………………………………………………... 81
4.3.1 Algorithmus zur Bestimmung eines Gerüsts zur Startlösung x = 0 und des
zugehörigen Potentials…………………………………………………………………….81
4.3.2 Gleichgewicht für den Out-of-Kilter-Bogen……………………………………………... 83
4.3.3 Softwaretechnische Realisierung des Algorithmus………………………………………. 87
4.3.4 Beispiele für das Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen………………………. 88
4.3.4.1 Ein Zahlenbeispiel für die zeitabhängige Produktionsmengenplanungen……………….. 88
4.3.3.2 Das Knappsackproblem als Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen…………… 91
4.4
Das Mehrsorten-Stromproblem…………………………………………………………... 95
5
5.1
Netzplantechnik
98
Einfache Netzplanmodelle………………………………………………………………...98
5.2
Erweitertes Netzplanmodell……………………………………………………...101
5.2.1 Grundlagen……………………………………………………………………….101
5.2.2 Umsetzung des Netzplans in ein Modell des Minimalkosten-Potentialproblems...105
5.3
5.3.1
5.3.2
5.3.3
Ein Lösungsalgorithmus für das Netzplan-Minimalkosten-Potentialproblem (NMKP)....108
Basislösung……………………………………………………………………………….108
Ermittlung einer Startlösung……………………………………………………………...111
Die Prozedur „Gleichgewicht“…………………………………………………………....112
5
5.4
Projekt-Kosten in Abhängigkeit von der Projektdauer………………………………….117
6
6.1
6.1.1
6.1.2
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
125
Grundlagen……………………………………………….………………………………125
Verbrauchsressourcen………..…………………………………………………………...125
Erneuerbare Ressourcen………………………………………………………………….125
Kostenminimierung zeitabhängiger Ressourcenströme………………………………….128
Einführung………………………………………………………………………………..128
Kostenminimierung des Ressourceneinsatzes – ein heuristischer Lösungsalgorithmus…135
Rechentechnische Realisierung…………………………………………………………..141
Literatur ………………………………………………………………………………………….145
Sachwortverzeichnis………………………………………………………………………………146
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
6
1
Grundbegriffe der Graphentheorie
1.1
Definition des Graphen
Unsere Vorstellung von einem Graphen ist die eines gezeichneten Gebildes aus Knoten, die durch
Linien oder Pfeile verbunden sind.
A
B
B
B
A
D
D
C
C
Bild 1.1: Zwei isomorphe Graphen (Sie veranschaulichen dieselbe Struktur.)
Die Knoten modellieren Objekte der Realität, die Verbindungen zwischen den Knoten modellieren
strukturelle Beziehungen zwischen den Objekten.
Als Modell der Verbindung zwischen zwei Knoten Kn und Kn’ wählen wir das geordnete Knotenpaar
[Kn, Kn'].
Kn
Kn’
Bild 1.2: Ein Pfeil, genannt „Bogen“, veranschaulicht ein geordnetes Knotenpaar.
Betrachten wir eine Menge solcher Paare, so müssen diese unterscheidbar, also paarweise verschieden
sein. Bei Anwendungen von Graphen z.B. zur Modellierung von Straßennetzen ist es jedoch häufig
sinnvoll, mehrere gleiche, parallele Verbindungen zu betrachten. Das erreichen wir, wenn wir statt
einer Menge eine geordnete Menge / Tupel / Liste heranziehen.
Definition G = [K, B] heißt endlicher g e r i c h t e t e r G r a p h, wenn K eine endliche Liste
gleichartiger aber paarweise verschiedener Objekte – so genannter Knoten – ist und B eine Liste
geordneter Paare von Elementen aus K – so genannter Bogen.
K = [Kn1, Kn2, ... , Knn] heißt K n o t e n l i s t e des Graphen.
B = [Bg1, Bg2, ... , Bgm] heißt B o g e n l i s t e des Graphen
Ist Bg = [Kn, Kn'] ein Knotenpaar aus B, so nennen wir
• Kn den A n f a n g s k n o t e n des Bogens Bg (Kn = AKn(Bg)),
• Kn' den E n d k n o t e n des Bogens Bg (Kn' = EKn(Bg)),
• Kn, Kn' a d j a z e n t e ( verbundene ) K n o t e n,
• Bg E i n g a n g s b o g e n von Kn' und A u s g a n g s b o g e n von Kn und
• schließlich Bg i n z i d e n t sowohl mit Kn als auch mit Kn'.
m = |B| , n = |K|
Sind Bg, Bg‘ ∈ B zwei verschiedene Elemente der Bogenliste, aber es gilt, Bg = [Kn, Kn‘] und
Bg‘ = [Kn, Kn‘], so nennen wir Bg und Bg‘ zueinander parallele Bogen.
Ein Graph ohne parallele Bogen heißt schlicht.
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
7
Ein schlichter gerichteter Graph wird auch als Digraph bezeichnet (von dem englischen „directed
graph“). Er ist eine Veranschaulichung des wichtigen mathematischen Begriffs der Relation, genauer,
einer zweistelligen Relation B in der Menge K, B ⊆ K × K.
Parallele Bogen sind zu unterscheiden von Gegenbogen. Gilt Bg = [Kn, Kn'] und Bg' = [Kn', Kn], so
heißt Bg Gegenbogen von Bg' und natürlich auch Bg' Gegenbogen von Bg.
Ein Paar von Bogen, die zueinander Gegenbogen sind, wollen wir als Kante des Graphen bezeichnen,
durch (Kn, Kn') = (Kn', Kn) symbolisieren und durch eine ungerichtete Linienverbindung zwischen den
Knoten Kn und Kn' graphisch veranschaulichen.
Ist ein Graph vollständig symmetrisch, d.h. existiert zu jedem seiner Bogen auch der Gegenbogen, so
heißt er ungerichteter Graph.
Der ungerichtete Graph wird im Allgemeinen nur durch Kanten veranschaulicht. Er ist in der hier
vertretenen Auffassung ein Spezialfall des gerichteten Graphen. Ein ungerichteter Graph ist in gleicher
Weise Verallgemeinerung der symmetrischen Relation wie es der gerichtete hinsichtlich der
beliebigen Relation ist.
Beispiel Stellen wir uns einen Graphen als Straßennetz vor, so entspricht einem Knoten eine
Straßenkreuzung, einem Bogen eine Einbahnstraße mit einer Fahrspur, parallelen Bogen entsprechen
Einbahnstraßen mit mehreren Fahrspuren, Kanten entsprechen Straßen mit je einer Fahrspur in jeder
Fahrtrichtung, und parallelen Kanten entsprechen Straßen mit mehreren Fahrspuren (gleiche Anzahl)
in jeder Fahrtrichtung. Eine Straße mit zwei Fahrspuren in der einen Richtung und drei Fahrspuren in
der Gegenrichtung könnte durch zwei parallele Kanten und einen zusätzlichen Bogen in der
Gegenrichtung dargestellt werden.
Ein Bogen Bg mit AK(Bg) = EK(Bg) wird als Schlinge bezeichnet. Wir werden im Allgemeinen
schlingenfreie Graphen betrachten.
Die Menge der Eingangsbogen eines Knotens Kn wollen wir durch EBg(Kn) und die Menge der
Ausgangsbogen mit ABg(Kn) bezeichnen.
EBg(Kn) ∪ ABg(Kn) ist die Menge aller Bogen, die mit dem Knoten Kn inzident sind. Ihre Notation
wollen wir durch
InzBg(Kn) = (-EBg(Kn)) ∪ ABg(Kn)
festlegen. Dabei soll -EBg(Kn) bedeuten, dass alle Bogennummern dieser Menge mit dem
Minuszeichen versehen werden, wodurch die Eingangsbogen von den Ausgangsbogen unterschieden
werden können. Diese Festlegung wird noch sinnvoller, wenn wir die Abbildungen AK(Bg) und
EK(Bg) wie folgt erweitern:
Definition
AKn(-Bg) = EKn(Bg), EKn(-Bg) = AKn(Bg), Bg ∈ B.
Mit dieser Erweiterung führen wir negative Bogenbenennungen ein: Für Bg ∈ B bezeichnet -Bg
weiterhin den Bogen Bg, aber das Minuszeichen symbolisiert eine andere Durchlaufrichtung durch
den Bogen oder eine Orientierung in Bezug auf andere Bogen einer Bogenmenge.
• Die Anfangsknoten der Bogen aus EBg(Kn) wollen wir als linke Nachbarknoten des Knotens Kn
bezeichnen.
• Entsprechend sind die Endknoten der Bogen aus ABg(Kn) rechte Nachbarknoten des Knotens
Kn,
• und alle Knoten, die mit Bogen aus InzBg(Kn) inzident und verschieden von Kn sind, also alle
direkten Vorgänger und Nachfolger von Kn, mögen Nachbarknoten des Knotens Kn heißen.
Mit der getroffenen Vorzeichenfestlegung gilt:
Für Bg ∈ InzBg(Kn) ist EK(Bg) ein Nachbarknoten von Kn.
8
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
1.2
Die Datenstruktur Graph
Die Bearbeitung praktischer Aufgaben in einem Graphen führt sehr schnell in Größenordnungen, die
ohne Computer kaum zu bewältigen sind. Wir wollen folglich Algorithmen erarbeiten, die es dem
Computer ermöglichen, praktische Aufgaben, wie z.B. die Suche nach kürzesten Wegen, effizient zu
bearbeiten. Dabei wollen wir
• einen Knoten mit seiner Nummer/Index i in der Liste aller Knoten, der Knotenliste, ansprechen,
1 ≤ i ≤ n.
• einen Bogen mit ±k ansprechen, wobei k seine Nummer/Index in der Liste aller Bogen, der
Bogenliste, ist, 1 ≤ k ≤ m.
maxKnAnz und maxBgAnz mögen die vereinbarten Größen der Listen für Knoten bzw. Bogen
bezeichnen, also die maximal mögliche Knoten- bzw. Bogenanzahl angeben.
Den Ersatz der Knoten- bzw. Bogenbezeichnung durch den Index in der Knoten- bzw. Bogenliste
wollen wir im Folgenden allgemein vornehmen.
Grundvoraussetzung für eine effiziente Arbeit mit Graphen im Computer ist
1. für jeden Bogen ein schneller Zugriff auf die durch ihn verbundenen Knoten und
2. für jeden Knoten ein schneller Zugriff auf die mit ihm inzidenten Bogen bzw. auf seine Nachbarn.
Da wir erstens kein volles Listeninstrumentarium brauchen und zweitens mit vorzeichenbehafteten
Bogennummern arbeiten, werden wir die folgende Datenstruktur Graph (G)auf spezielle Arraylisten
abstützen.
Mit den oben eingeführten Mengen EBg(i) bzw. ABg(i) bzw. InzBg(i) wollen wie mit Listen arbeiten,
wozu die Methoden G.eEBg(i), G.nEBg(k); G.eABg(i), G.nABg(k); G.eInzBg(i), G.nInzBg(k) sowie
G.istBg(k) dienen. (e steht für erster …, n für nächster …)
Die Methoden G.eEBg(i), G.eABg(i) und G.eInzBg(i) liefern ein erstes Element k der jeweiligen
Bogenmenge, und G.nEBg(i, k), G.nABg(i, k) bzw. G.nInzBg(k) liefern ein von k verschiedenes
nächstes Element. Wurden alle Elemente der entsprechenden Menge aufgezählt, so mögen die
Nächstes-Element-Methoden einen Wert liefern, z.B. den Wert 0, der es der Methode G.istBg(k)
gestattet, auf false zu entscheiden.
G.istBg(i) ist also weniger als Methode zu verstehen, die entscheidet, ob eine Variable k vom IntegerTyp als Bogenbenennung gültig ist oder nicht, sondern ihre Aufgabe besteht vor allem darin, zu
entscheiden, ob ein Schleifendurchlauf durch eine Bogenmenge beendet ist oder nicht.
Vorerst geben wir der Datenstruktur Graph den folgenden Inhalt, den wir später weiter ergänzen
werden:
public class Graph {
int maxKnAnz;
int maxBgAnz;
Knoten[] Knotenliste;
Bogen[] Bogenliste;
public int n;
public int m;
public int WrzBg;
public Graph(int maxKnAnz, int maxBgAnz) {
this.maxKnAnz = maxKnAnz; this.maxBgAnz = maxBgAnz;
WrzBg=maxBgAnz+1;
Knotenliste = new Knoten[maxKnAnz];
Bogenliste = new Bogen[maxBgAnz];
// - erzeugt einen leeren Graphen
}
public void insertBg(String von, String nach){
// - fügt einen neuen Bogen in den Graphen ein, der vom
// Knoten von (äußere Bez.) zum Knoten
// nach (äußere Bez.) führt.
}
public boolean istKn(int i) { }
public boolean istBg(int k) { }
public
int AKn(int k) {}
// Testfunktion für eine Knotennummer
// Testfunktion für eine Bogennummer
// Anfangsknoten des Bogens k
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
public
public
public
public
public
public
public
public
public
public
int
int
int
int
int
int
int
void
int
void
public
int
public
void
public boolean
public
void
public void
public void
public int
public void
public int
public void
9
// Endknoten des Bogens k
// - ein erster Eingangsbogen des Knotens i
// - der nach k nächste Eingangsbogen des Knotens i
// - ein erster Eingangsbogen des Knotens i
// - der nach k nächste Ausgangsbogen des Knotens i
// - ein erster mit Knoten i inzidenter Bogen
// - der nach k nächste mit i inzidente Bogen
// - setzt Bogen k beim Knoten i als Stützbogen ein
// - gibt den Stützbogen des Knoten i an
// - initialisiert die Stützbogenangaben:
// m+1 beim Knoten start und
// 0 sonst
StzRchtg(int k) {}
// = -1, wenn getStzBg(EKn(k)) = -k
// = 1, wenn getStzBg(EKn(k)) = k
// = 0, sonst
setzWrz(int i) {}
// - versetzt die Wurzel des Gerüsts in den Knoten i
istWrz(int i) {}
// Testfunktion für die Wurzeleigenschaft eines Knotens
tauschStzBg(int kAlt, int kNeu) {}
// - tauscht einen Gerüstbogen kAlt gegen
// einen Bogen kNeu aus cz(kAlt)
initMarke(int Wert) {} // - initialisiert eine Knoten-Markierungsfunktion
setMarke(int i, int k) {} // - setzt k als Wert der Markierungsfunktion beim Knoten i
getMarke(int i) {}
// - gibt den Wert der Markierungsfunktion beim Knoten i
markCZ(int k) {}
// - setzt die Werte der Markierungsfunktion aller mit
// AKn(i) über das Gerüst zusammenhängenden Knoten auf
EKn(int k) {}
eEinBg(int i) {}
nEinBg(int i, int k) {}
eAusBg(int i) {}
nAusBg(int i, int k) {}
eInzBg(int i) {}
nInzBg(int i, int k) {}
setStzBg(int i, int k) {}
getStzBg(int i) {}
initStzBg(int start) {}
// 1, die Werte aller übrigen Knoten auf 2
czKoeff(int k) {}
// = -1, wenn -k ∈ des markierten Cozyklus ist
// = 1, wenn k ∈ des markierten Cozyklus ist
// = 0, sonst
setX(int k, double x) {} // - setzt x als Wert der Komponente des Vektors x des
// Bogens k
G.insertBg(von, nach) dient dazu, einen Bogen, der die Knoten mit den äußeren Bezeichnungen von
und nach verbindet, in den Graphen einzufügen.
Die Methode sucht die Knotennamen von und nach in der Knotenliste und fügt sie in diese ein, falls
sie noch nicht existieren. Mit den Nummern, die in der Knotenliste zu diesem Namen gehören, fügt
die Methode den Bogen dann so in die Bogenliste ein, dass alle weiteren Methoden funktionieren.
Beispiel Einen Durchlauf durch die Bogenmenge EBg(i), bei dem auf jeden Bogen k ∈ EBg(i) eine
Operation bearbeite(k) angewandt wird, müsste wie folgt implementiert werden:
k = G.eEBg; while (G.istBg(k)) { bearbeite(k); k = G.nEBg(i, k) }
Im angegeben Konstruktor des Graphen treten die Datentypen Knoten und Bogen als Elementtypen
der Knoten- bzw. der Bogenliste auf. Der Knoten-Typ ist ein Datensatztyp, der die äußere
Bezeichnung des Knotens enthält und dazu zwei Adressen, AusBg, EinBg, der Bogenliste, nämlich die
Nummern der ersten Bogen, deren Anfangs- bzw. Endknoten der betrachtete Knoten ist.
public class Knoten {
public String name=new String();
int EinBg=0, AusBg=0, StzBg=0, Marke=0;
double t=0, dt =0;
Knoten(String name) { this.name=name; }
}
Im Bogen-Typ-Datensatz werden dann umgekehrt Anfangs- und Endknoten des Bogens als Adressen
der Knotenliste (Typ int) genannt. Neben diesen Adressen enthält er Adressen, nEinBg, nAusBg, mit
10 Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
denen man den Zugriff auf die Eingangsbogen des Endknotens des betrachteten Bogens bzw. zu den
Ausgangsbogen seines Anfangsknotens fortsetzen kann. Der Anfang für die Aufzählung dieser
Mengen ist durch die Adressen AusBg bzw. EinBg gegeben, die im Knotensatz abgelegt sind.
public class Bogen {
int AKn = 0, EKn = 0, nEinBg = 0, nAusBg = 0;
double x=0; double dx = 0;
Bogen(int AKn, int EKn) { this.AKn = AKn; this.EKn = EKn; }
}
k1 = Knotenliste[i].EinBg
i
EinBg
k2 = Bogenliste[k1].nEinBg
k3 = Bogenliste[k2].nEinBg
Bild 1.3: Veranschaulichung der Technik des Zugriffs auf Bogen, die zum Knoten i
inzident sind,
1.3
Weitere Grundbegriffe der Graphentheorie
Definition Eine Folge paarweise verschiedener Bogenbenennungen [k1, k2, ..., kr] heißt K e t t e,
wenn für i = 1, 2, ..., r –1 AKn(ki+1) = EKn(ki) gilt.
Sind alle ki einer Kette positiv, so wird sie als W e g bezeichnet.
Ist jeder Knoten einer Kette mit höchstens zwei ihrer Bogen inzident, so heißt die Kette elementar.
Gilt für eine Kette AKn(k1) = EKn(kr), so heißt sie g e s c h l o s s e n oder Z y k l u s.
Ein geschlossener Weg wird K r e i s genannt.
Die Notation einer Kette beschreibt einen Durchlauf durch die zugehörige Bogenfolge: Beginnend
beim Knoten AKn(k1) läuft man zum Knoten EKn(k1), der identisch mit AKn(k2) ist. Von AKn(k2) läuft
man zum Knoten EKn(k2) usw. Man durchläuft also die angesprochenen Bogen in ihrer Pfeilrichtung
oder gegen diese, je nachdem ob die Bogennummer positiv oder negativ genannt ist.
4
Kn2
Kn5
1
10
7
Kn1
9
8
Kn7
2
11
3
12
Kn4
5
Kn3
Bild 1.4: Ketten, Wege, Kreise
6
Kn6
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie 11
Beispiel Wir betrachten den im Bild 1.4 gezeigten Graphen: Die Bogenfolgen Kt1 = [1, -7, -12, 11],
Kt2 = [3, 5, 8, 9, 11] und Kt3 = [5, 7, 4, -8, -12, 11] bezeichnen Ketten. Kt1 und Kt2 sind elementar; Kt3
ist nicht elementar; Kt2 ist ein Weg. Die Folgen Kt4 = [1, -7, -5, -3], Kt5 = [8, 9, 12], Kt6 = [10, -11, -9]
und Kt7 = [8, 10, -11, 12] sind Zyklen; Kt5 ist ein Kreis.
Im symmetrischen also ungerichteten Graphen ersetzt man häufig die Bogen einer Kette durch die
zugeordneten Kanten und spricht nur von Wegen, d.h., man ersetzt eigentlich alle negativen Bogen
einer Kette durch den zugehörigen Gegenbogen. Entsprechend spricht man nicht von Zyklen, sondern
nur von Kreisen, und betrachtet den trivialen Kreis [Bogen, Gegenbogen] nicht als solchen.
Ein gerichteter Graph heißt z u s a m m e n h ä n g e n d, wenn für jedes Paar i, j seiner
Knoten eine Kette Kt = [k1, k2, ..., kr] derart existiert, dass AKn(k1) = i und EKn(kr) = j gilt.
Kt heißt i und j verbindende Kette.
Ein nicht zusammenhängender Graph besteht aus zusammenhängenden K o m p o n e n t e n.
Ein Knoten j heißt von einem Knoten i aus e r r e i c h b a r, wenn von i nach j ein
verbindender Weg existiert.
Ein gerichteter Graph heißt s t a r k z u s a m m e n h ä n g e n d, wenn jeder seiner
Knoten von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist.
Statt zusammenhängend wird manchmal auch der Begriff schwach zusammenhängend benutzt;
dann ersetzt zusammenhängend den Begriff stark zusammenhängend.
Jeder zusammenhängende ungerichtete Graph ist stark zusammenhängend. Im ungerichteten Graphen
ist also die Unterscheidung zwischen schwachem und starkem Zusammenhang nicht notwendig.
Wir geben im Folgenden Algorithmen an, die einen Graphen auf die Eigenschaften Erreichbarkeit und
Zusammenhang testen. Wir benötigen dazu den Begriff des Stützgerüstes:
Satz Ein B a u m ist ein zyklenfreier, zusammenhängender, endlicher Graph.
Im ungerichteten Fall beziehen wir das Attribut zyklenfrei auf Kantenzyklen, sehen also davon ab,
dass nach unserer Definition des ungerichteten Graphen streng genommen jede Kante ein Zyklus ist.
Falls nichts anderes gesagt wird, meinen wir im Folgenden mit Baum ohne Attribut den gerichteten
Baum.
Satz Ein Baum mit n Knoten besitzt genau m = n - 1 Bogen.
Beweis: Wir konstruieren den Baum neu, indem wir mit einem beliebigen seiner Knoten beginnen und
an den aktuellen Baum mittels eines noch nicht hinzugefügten Bogens, der mit einem schon
angeschlossenen Knoten inzident ist, einen neuen Knoten anhängen. Jeder hinzugefügte Bogen hängt
einen neuen Knoten an, denn sonst schlösse sich ein Zyklus. Andererseits wird jeder Knoten
angeschlossen, da der Graph zusammenhängend ist. Folglich ist der Graph durch genau m = n - 1
Bogenaufnahmen komplett.
Unter den gerichteten Bäumen haben die Wurzelbäume besondere Bedeutung.
12 Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
Definition Ein W u r z e l b a u m ist ein gerichteter Baum, bei dem jeder Knoten höchstens einen
Eingangsbogen besitzt. (|EBg(i)| ≤ 1 ∀ i ∈ K)
Ein Knoten, der keinen Eingangsbogen hat, wird W u r z e l des Baums genannt.
Satz Ist G = [K, B] ein Wurzelbaum, so gelten folgende Aussagen:
a) G besitzt genau eine Wurzel.
b) Von der Wurzel aus ist jeder Knoten auf genau einem Weg erreichbar.
Zum Beweis des Satzes: Wir betrachten zunächst einen beliebigen Knoten. Besitzt dieser nicht die
Wurzeleigenschaft, so gehen wir zurück zum Anfangsknoten seines Eingangsbogens. Da es keinen
Zyklus gibt und der Graph endlich ist, kann dieses Zurückgehen nicht beliebig oft wiederholt werden,
sondern muss in einem Knoten mit Wurzeleigenschaft enden. Nun nehmen wir an, der Graph G
besitze mindestens zwei Knoten mit der Wurzeleigenschaft. Zwischen je zwei dieser Knoten existiert
eine verbindende Kette, da G zusammenhängend ist. Wir betrachten einen Fall, bei dem diese Kette
keine dritte Wurzel enthält. Die Kette kann kein Weg sein, da an ihrem Anfang und an ihrem Ende
eine Wurzel ist, also müsste sie einen Knoten enthalten, der zwei Eingangsbogen besitzt, im
Widerspruch zur Wurzelbaumeigenschaft.
Da ein Baum zusammenhängend ist, muss zwischen der Wurzel und jedem anderen Knoten eine
verbindende Kette existieren. Diese muss ein Weg sein, da sie sonst einen Knoten mit zwei
Eingangsbogen besäße. Wegen der Zyklenfreiheit kann es zu zwei Knoten keine zwei verschiedenen
Verbindungsketten geben.
Man bezeichnet im Wurzelbaum die Anzahl der Bogen des eindeutigen Weges von der Wurzel zu
einem Knoten als Höhe des Knotens.
Der Wurzel wird die Höhe 0 zugeordnet.
Alle Knoten gleicher Höhe h bilden eine h-te Etage des Wurzelbaums.
Die Anzahl der Etagen eines Baumes heißt Höhe H des Baums.
Der leere Baum hat die Höhe 0. Der Baum, der nur aus einer Wurzel besteht, hat die Höhe 1.
Die Anzahl der nach außen inzidenten Bogen eines Knotens eines Wurzelbaums wird als Ordnung
des Knotens bezeichnet.
Knoten mit der Ordnung 0 heißen Blätter des Baums.
Alle Knoten, die weder Wurzel noch Blätter sind, heißen innere Knoten.
Das Maximum aller Knotenordnungen heißt Ordnung des Wurzelbaums.
Das folgende Bild zeigt einen Wurzelbaum der Ordnung 5 (Die Wurzel hat fünf nach außen inzidente
Bogen, deren Endknoten als Söhne der Wurzel bezeichnet werden.), der die Höhe 5 hat (die Etagen 0
bis 4).
Definition Ein Wurzelbaum der Ordnung 2 heißt B i n ä r b a u m.
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie 13
Wurzel
0-te Etage
Blatt
1. Etage
Blatt
Blatt
Blatt
Blatt
Blatt
Blatt
2. Etage
3. Etage
4. Etage
Bild 1.5: Ein Baum der Höhe 5
Wurzelbäume werden schon seit sehr langer Zeit zur Darstellung von Abstammungsbeziehungen
benutzt (Stammbäume). Von der Nutzung in patriarchalischen Zeiten kommen die üblichen
Bezeichnungen: Ein Knoten wird Vater rechten Nachbarknoten genannt, und umgekehrt nennt man
die rechten Nachbarknoten Söhne des Knotens.
Hierarchischen Ordnungen wie der Abstammung begegnen wir an vielen Stellen unseres Lebens. Dies
ist ein Grund, weshalb man recht häufig auf Wurzelbäume stößt. Ein anderer Grund besteht darin, dass
sich Wurzelbäume sehr einfach beschreiben bzw. speichern lassen: Es genügt, zu jedem Knoten den
eindeutigen Vorgängerknoten (Vater) zu nennen. Damit können sie vorteilhaft als Notation für
Gerüste dienen, die ihrerseits, wie wir bald sehen werden, als Basis für die Beschreibung der Zyklenund Cozyklenstruktur eines Graphen geeignet sind.
Wurzelbäume haben die Eigenschaft, dass die Anzahl der Knoten einer Etage sehr schnell, nämlich
exponentiell mit der Etagenhöhe, wachsen kann: Beispielsweise kann ein Binärbaum in seiner h-ten
Etage bis zu 2h Knoten besitzen, also schon 1024 für h = 10.
Der niedrigste Binärbaum mit n Knoten ist der vollständige Binärbaum mit n Knoten, bei dem jede
Etage maximal gefüllt ist.
Besitzt ein vollständiger Binärbaum H Etagen, so enthalten die vollen Etagen mit den Nummern 0 bis
0
1
H-2
H-2 zusammen 2 + 2 + ... + 2
= 2H-1-1 Knoten, und die (H-1)-te Etage enthält
H-1
H-1
1 ≤ n - 2 +1 ≤ 2 Knoten. Daraus folgt, log2(n+1) ≤ H ≤ log2(n) +1, oder
Satz Ein Binärbaum mit n Knoten hat mindestens die Höhe H = Aufrundung(log2(n +1)).
Mindesten der vollständige Binärbaum realisiert diese Höhe.
Im Binärbaum mit n Knoten kann man folglich jede dort gespeicherte Information in maximal
H = Aufrundung(log2(n+1)) Schritten wieder finden. Dies ist ein weiterer Grund für die Bedeutung von
Bäumen in der Informatik.
Da im niedrigstem Binärbaum mit n Knoten, dem vollständigen Binärbaum, alle von der Wurzel
ausgehenden Wege die Länge H-1 oder H-2 haben, ist für ihn auch die mittlere Weglänge mit
H = O(log2(n)) sicher minimal, so dass für einen beliebigen Binärbaum mittlereWeglänge ≥ log2(n) gilt.
14 Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
Sind im vollständigen Binärbaum der Höhe H von den 2H-2 Knoten der (H-2)-ten Etage b Knoten
Blätter und hat der Baum insgesamt B Blätter, so gilt, B = 2 (2H-2 –b)+b [-1], und der Baum hat
H-1
H-2
n = 2 -1 +2 (2 –b) [-1] Knoten. Daraus ergibt sich,
Satz Ein Binärbaum mit B Blättern hat mindestens n = 2B – 1 Knoten.
Hat man die Anwendung von Bäumen für Suchprozesse im Blick, so ist die oben genannte
speichergünstige Darstellung, die zu jedem Knoten nur seinen Vater nennt, sehr ungünstig bezüglich
der Rechenzeit, denn die Suchprozesse müssen von der Wurzel des Baumes zu den Blättern laufen und
brauchen folglich zu jedem Knoten seine Söhne.
Damit ergibt sich folgendes Bild für die Darstellung bzw. Speicherung von Bäumen:
• Bäume treten in vielen Fällen
• entweder direkt als Wurzelbäume auf
• oder es sind Gerüste (siehe unten) bzw. zusammenhängende Gerüstkomponenten eines
gegebenen Graphen, die als Wurzelbäume beschrieben werden.
• Bei einem Wurzelbaum kann jedem Knoten, außer der Wurzel, ein Bogen als dessen
Eingangsbogen zugeordnet werden, so dass eine explizit anzugebende Bogenliste entfallen kann.
Stattdessen notiert man zu jedem Knoten eines Wurzelbaums den Vater (= AKn(Eingangsbogen)).
Allerdings ist diese Notation schlecht geeignet, wenn man auf dem Baum von der Wurzel
ausgehende Suchprozesse betreiben will. In diesen Fällen notiert man besser zu jedem Knoten
seine Söhne (= EKn(Ausgangsbogen)).
•
In manchen Fällen sind beide Notationen zweckmäßig.
Beschreibt der Wurzelbaum ein Gerüst in einem Graphen mit parallelen Bogen, so ist mit der
Angabe des Vaters kein eindeutiger Bezug auf die Bogen des Ausgangsgraphen möglich, so dass
in diesem Fall der Eingangsbogen (durch seine vorzeichenbehaftete Nummer in der Bogenliste
des Ausgangsgraphen) statt des Vaterknotens genannt wird.
Definition Gegeben sei ein Graph G = [K, B]. Gilt für einen Graphen G' = [K', B'] sowohl K' ⊆ K
als auch B' ⊆ B (d.h. B' ist Teil der Bogenliste B ), so heißt G' T e i l g r a p h von G.
Ein Teilgraph G' = [K, B'] von G heißt s p a n n e n d e r T e i l g r a p h oder G e r ü s t in G,
wenn B' eine maximale, zyklenfreie Teilmenge von B ist, wenn er also ein maximaler Baum innerhalb
G ist.
Ist G' = [K, B'] Gerüst von G, so heißt G" = [K, B\B'] C o g e r ü s t von G.
Enthält die Bogenmenge B' eines Teilgraphen genau die Bogen aus B, die zwei Knoten aus K'
verbinden, so heißt G' der von K' erzeugte U n t e r g r a p h von G und wird durch Ug(K')
symbolisiert.
Beispiel
Bild 1.6 zeigt ein Gerüst im gegebenen Graphen mit der Bogen-Teilmenge
B' = {1, 2, 3, 8, 11, 12}. [K, {4, 5, 6, 7, 9, 10}] ist das zugehörige Cogerüst. Beide Graphen sind auch
Teilgraphen von G.
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie 15
4
Kn2
Kn5
1
8
7
Kn1
10
9
Kn7
2
11
12
Kn4
3
Kn6
6
5
Kn3
Bild 1.6: Ein Gerüst des Graphen (fett)
K' = {Kn2, Kn4, Kn5, Kn6} und B' = [4, 7, 8, 9, 12] bilden einen Teilgraphen G' = [K', B'] des
Graphen im Bild 1.7. Dieser ist Untergraph Ug(K’).
4
Kn5
Kn2
10
1
8
7
Kn1
9
Kn7
2
11
12
3
Kn4
5
Kn6
6
Kn3
Bild 1.7: Ein Untergraph des Graphen
Zum besseren Verständnis der Zusammenhänge führen wir zu einer Menge B* von Bogenbennungen
einen Bogenvektor v(B*) = (v1, v2, ..., vm) so ein, dass
vk =
 ±1 gilt, wenn ±k ∈ B* ist

 0 andernfalls
gilt.
Da ein Gerüst G‘ = [K, B‘] aus einer maximalen, zyklenfreien Teilmenge der Bogen besteht, schließt
jeder Cogerüstbogen k ∈ B\B‘ einen Zyklus.
Definition Man bezeichnet die durch Cogerüstbogen erzeugten Zyklen als Basiszyklen z(k) von G
zum Cogerüstbogen k.
Diese (m-n+ko) Basiszyklen (ko = Anzahl der zusammenhängenden Komponenten) sind unabhängig,
weil jeder einen, nämlich den ihn erzeugenden, Bogen enthält, der in keinen anderem Basiszyklus
enthalten ist.
Die Zyklenvektoren zv(k) zu den Basiszyklen z(k) sind linear unabhängig. Sie spannen den Raum der
Ströme oder Zirkulationen des Graphen auf, zu dem alle Zyklen gehören.
16 Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
Beispiel für die Feststellung, dass der Vektor zu jeden beliebigen Zyklus aus den Basisvektoren durch
Linearkombination mit den Faktoren ±1 erzeugt werden kann: Im Graphen des Bildes 1.6 gilt:
z(4) = [4, -8, -2, 1],
z(10) = [10, -11, 12, 8],
z(9) = [9, 12, 8],
zv(4) = (1, -1, 0, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0),
zv(10) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, -1, 1),
zv(12) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1),
Z = [k1, k2, ..., kr] sei ein Zyklus – beschrieben durch die Benennungen ki seiner Bogen: Es gilt:
Zv = Σ {z(k) | für die k aus Z, die Cogerüstbogen sind}.
Beispiel zv(4) + zv(10) = (1, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, -1. 1) = Zv zu Z =[4, 10, -11, 12, -2, 1].
Definition Gegeben seien ein Graph G = [K, B] und eine Knotenmenge K' ⊆ K.
Ein Bogen, dessen Anfangsknoten nicht in K' liegt, während der Endknoten zu K' gehört, heißt
E i n g a n g s b o g e n von K'.
Ein Bogen, dessen Anfangsknoten in K' liegt, während der Endknoten nicht zu K' gehört, heißt
A u s g a n g s b o g e n von K'.
EBg(K') und ABg(K') bezeichnen die Menge der Eingangs- bzw. Ausgangsbogen von K'.
CZ(K') = (-EBg(K')) U ABg(K') bezeichnet die Menge aller Eingangs- und Ausgangsbogen von K'
und wird C o z y k l u s oder S c h n i t t zur Knotenmenge K' genannt.
Ein Cozyklus heißt e l e m e n t a r, wenn sowohl K' als auch K\ K' zusammenhängende
Untergraphen erzeugen.
4
Kn2
Kn5
1
10
8
7
Kn1
9
2
11
12
Kn4
3
5
Kn7
Kn6
6
Kn3
Bild 1.8: Ein Cozyklus des Graphen (fett)
ABg({i}) = ABg(i), EBg({i}) = EBg(i), CZ({i}) = InzBg(i).
Beispiel - Bild 1.8: Für K' = {Kn2, Kn4, Kn5, Kn6} ist CZ(K') = {-1, -2, -5, -6, 10, 11}.
Wenn man jede zusammenhängende Komponente des von K' erzeugten Untergraphen Ug(K’) mit
einem geschlossenen Linienzug umrahmt, so gehören genau die Bogen von B, die von dieser
Rahmenlinie einmal geschnitten werden zum Cozyklus CZ(K') - das begründet die synonyme
Bezeichnung „Schnitt“ für Cozyklus.
Beispiel – Bild 1.9: CZ({Kn1}) = {1, 2, 3} und CZ({Kn7}) = {-10, -11} sind elementare Cozyklen.
Der Cozyklus CZ({Kn1, Kn7}) ist nicht elementar, weil Ug({Kn1, Kn7}) nicht zusammenhängend ist. Es
gilt CZ({Kn1, Kn7}) =CZ({Kn1} U (CZ({Kn7})).
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie 17
4
Kn2
Kn5
1
10
Kn1
9
8
7
Kn7
2
11
12
Kn4
3
Kn6
6
5
Kn3
Bild 1.9: Ein nicht elementarer Cozyklus des Graphen
Wir betrachten ein Gerüstes G‘ = [K, B‘]: Entfernt man einen Bogen k aus dem Gerüst, so verliert die
Komponente (ein Baum) des Gerüstes, die ihn enthielt, ihren Zusammenhang, da es auf Grund der
Zyklenfreiheit keine zweite Verbindung zwischen dem Anfangs- und dem Endknoten von k im Gerüst
gibt. Der Gerüstbogen k definiert somit eindeutig zwei Knotenmengen, nämlich einmal die Menge K’
aller Knoten, die mit EKn(k) auf dem Rest des Gerüstes zusammenhängen und zum anderen K\K’
(AKn(k) ∈ K\K’). Damit definiert k auch eindeutig einen Cozyklus in G, nämlich den von dieser
Knotenmenge erzeugten Cozyklus CZ(K').
Definition Der von einem Gerüstbogen erzeugte Cozyklus heißt Basiscozyklus cz(k) in G zum
Gerüstbogen k. Es gilt CZ(K\K') = -CZ(K'), wenn die cz(k) = CZ(K'), also K' die cz(k) erzeugende
Knotenmenge ist.
Die (n-ko) Basiscozyklen - ko = Anzahl zusammenhängender Komponenten von G - sind unabhängig,
weil jeder einen, nämlich den ihn erzeugenden Bogen enthält, der in keinem anderen der
Basiscozyklus enthalten ist.
Die linear unabhängigen Vektoren zu den Basiscozyklen erzeugen den linearen Vektorraum der
Spannungen des Graphen: Ist CZ = {k1, k2, ..., kr} – ein Cozyklus, so gilt:
CZ = Σ {cz(k) | für die k ∈ CZ, die GerüstBogen sind}.
Beispiel – Bild 1.10: Für den Gerüstbogen 4 gilt cz(4) = CZ({Kn1, Kn2, Kn3, Kn4}) = {4, 6, 8, -12}.
Für den Gerüstbogen 10 gilt cz(10) = CZ({Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Kn5}) = {6, 9, 10, -12}.
CZ({Kn5}) = {-4, -8, 9, 10} = cz(-4) + cz(10) = {-4, -6, -8, 12} + {6, 9, 10, -12}.
4
Kn2
Kn5
10
1
Kn1
9
8
7
2
11
12
Kn4
3
5
6
Kn3
Bild 1.10: Basiscozyklen, definiert durch ein Gerüst (fett)
Kn6
Kn7
18 Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
Im zusammenhängenden Graphen ist ein Gerüst ein Baum. Dieser Baum wird gern als Wurzelbaum
notiert: Da in einem Baum jedem seiner Knoten bis auf einen genau ein Bogen zugeordnet werden
kann, machen wir den beliebig wählbaren Ausnahmeknoten zur Wurzel des Gerüstes, und nennen den
Gerüstbogen, den wir jedem anderen Knoten i zuordnen, Stützbogen des Knotens. Dazu richten wir
eine Funktion StzBg(i) über der Knotenmenge so ein, dass sie die Benennung des Stützbogens in
folgender Weise liefert:
• StzBg(Wurzel) = WrzBg
• EKn(StzBg(i)) = i .
WrzBg ist ein fiktiver Bogen (sehr große Nummer). Für die Testfunktion istBg(i) soll
istBg(WrzBg) = false gelten.
Vorteilhaft ist dazu eine über der Bogenmenge erklärte Funktion Stützrichtung, StzRchtg(int k):
 1, wenn StzBg(EKn(k)) = k
StzRchtg(k) =  -1, wenn StzBg(EKn(k)) = -k
 0, wenn k kein Stützbogen ist.
Die Wurzel eines Stützgerüstes definiert nur seine Notation. Sie kann (mit Hilfe einer einfachen
Funktion setzWrz(i)) in einen beliebigen Knoten i gesetzt werden. Dazu müssen in der Notation des
Gerüstes nur die Vorzeichen der Stützbogen entlang des Weges von der alten Wurzel zum Knoten i
vertauscht werden – siehe Bild 1.11.
Wurzel
i
i =Wurzel
Bild 1.11: Veranschaulichung der Verlegung der Wurzel eines Gerüstes in einen vorgegebenen
Knoten
Man ändert ein Gerüst, indem man einen Cogerüstebogen k durch einen Gerüstbogen seines
Basiscozyklus cz(k) ersetzt (vgl. Bild 1.12):
public void tauschStzBg(int kAlt, int kNeu) {
if (istBg(kNeu)) { setzWrz(EKn(kNeu)); setStzBg(EKn(kNeu), kNeu);
int i = EKn(kAlt*StzRchtg(kAlt)); if (kAlt != 0) setStzBg(EKn(kAlt*StzRchtg(kAlt)),WrzBg);
}
}
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie 19
4
kAlt
Kn2
1
Kn5
10
7
Kn1
9
8
2
-11
12
kNeu
Kn4
3
Kn7
Kn6
5
6
Kn3
4
Kn2
Kn5
10
1
7
Kn1
9
8
-2
-11
12
Kn4
3
Kn7
Kn6
5
6
Kn3
Bild 1.12: Veranschaulichung der Änderung eines Gerüstes durch Bogentausch
Es sei k ein Cogerüstbogen. Wir wollen seinen Basiszyklus durchlaufen:
setzWrz(EKn(k)); k = StzBg(AKn(k)); while (istBg(k)) { ... k = StzBg(AKn(k)); }
Beispiel – Bild 1.12, z(4) = [4, 1, -2, 12, -11, 10]: StzBg(Kn2) = 1, StzBg(Kn1) = -2, StzBg(Kn4) = 12,
StzBg(Kn6) = -11, StzBg(Kn7) = 10, StzBg(Kn5) = WrzBg, istBg(WrzBg) = false.
Es sei k ein Gerüstbogen. Wir wollen die Bogen seines Basiscozyklus aufzählen. Eine Prozedur cz(k)
macht folgendes:
Sie setzt beim EKn(k) bei allen von ihm aus über StützBogen erreichbaren Knoten eine Hilfsgröße
Marke(i)=2; bei allen übrigen Knoten Marke(i)=1;
czKoeff(l) = Marke[EKn(l)] - Marke[EKn(l)]; liefert dann für alle Bogen des Cozyklus ±1 und für die
Bogen, die nicht zum Cozyklus gehören, den Wert Null.
Beispiel – Bild 1.13, cz(4) = {4, 6, 8, -12} = CZ({Kn1, Kn2, Kn3, Kn4}): Von Kn1 aus werden die über
die Gerüstbogen 10 und 11 erreichbaren Knoten grau (Marke(i)=1) gefärbt, zum Cozyklus gehören alle
Bogen, die einen weißen mit einem grauen Knoten verbinden.
4
Kn2
Kn5
10
1
Kn1
9
8
7
2
11
12
Kn4
3
5
6
Kn3
Bild 1.13: Basiscozyklen, definiert durch ein Gerüst (fett)
Kn6
Kn7
20 Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
1.4
Erreichbarkeit, Zusammenhang, Kreisfreiheit
Eine häufig anstehende Frage ist die Frage, ob ein Knoten j von einem Knoten i aus erreichbar ist,
womit bekanntlich gemeint ist, ob es von i aus einen Weg zum Knoten j gibt.
Zur Lösung dieser Frage stehen zwei wichtige Basisalgorithmen zur Verfügung
• die so genannte Tiefensuche – englisch depth first search, Abkürzung DFS
• die so genannte Breitensuche – englisch breadth first search, Abkürzung BFS
Begriffe, die auch für analoge Suchprozesse benutzt werden, bei denen man die Beziehung zu
Graphen nicht sofort erkennt.
Die Algorithmen lösen die Aufgabe, bestimme für einen Start-Knoten die Menge aller von ihm aus
erreichbaren Knoten des Graphen.
Zur Unterscheidung zwischen erreichbaren und nicht erreichbaren Knoten braucht man eine
Knotenmarkierung. Da meistens nicht nur interessant ist, ob, sondern auch wie ein spezieller Knoten
erreicht wird, erzeugt man einen Baum – Erreichbarkeitsbaum – bestehend aus Wegen vom Knoten
Start zu allen erreichbaren Knoten. Ein Baum genügt, man muss nicht notwendig alle möglichen
Wege anzeigen. Der Baum ist ein Wurzelbaum – Start ist seine Wurzel – und er wird durch die oben
eingeführte Bogenfunktion StzBg(i) beschrieben. Damit haben wir gleichzeitig eine sinnvolle
Knotenmarkierung: Für Knoten, die von Start aus nicht erreicht werden können, gilt StzBg(i) = 0,
während für die übrigen Knoten StzBg(i) den Erreichbarkeitsbaum beschreibt.
Tiefensuche
• Man markiere den Startknoten und mache ihn zum aktuellen Knoten i.
• Man suche vom aktuellen Knoten i aus einen rechten Nachbar j = EKn(k), k ∈ ABg(i), der noch
nicht als erreicht markiert ist. Existiert einer, wird er markiert (StzBg(j):=k).
• Hat der aktuelle Knoten i keinen Ausgangsbogen mehr, dessen Endknoten noch ohne Markierung
ist, so gehe man zu dem Knoten zurück, von dem aus i markiert wurde (i = AKn(StzBg(i))).
Die Umsetzung des Algorithmus in eine Prozedur lautet wie folgt:
public void DFS(int Start) {
int i, j, k; initStzBg(Start); i = Start; k = eAusBg(i);
do { while (istBg(k)) {
j = EKn(k);
if (getStzBg(j) == 0) { setStzBg(j, k); i =j; k = eAusBg(i); }
else k = nAusBg(i, k);
}
if (i != Start) { k =getStzBg(i); i = AKn(k); k = nAusBg(i, k); }
} while ((i != Start) || istBg(k))
}
Breitensuche
• Man gebe den Startknoten in eine Hilfsliste vom Typ Schlange.
• solange die Schlange nicht leer ist entnehme man ihr einen Knoten als Standort.
• Man untersuche vom Standort aus alle rechten Nachbarn: Diejenigen, die erstmals erreicht
werden, werden markiert (StzBg setzen) und in die Schlange aufgenommen.
Auch für diesen Algorithmus die Umsetzung in eine Prozedur:
public void BFS(int Start) {
int i, j, k;
IntSchlange S = new IntSchlange(maxKnAnz);
S.push(Start);
initStzBg(Start);
while (!S.istLeer()) {
i = S.exTop(); k = eAusBg(i);
while (istBg(k)) {
j = EKn(k);
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie 21
if (getStzBg(j) == 0) { setStzBg(j, k); S.push(j); }
k = nAusBg(i, k);
}
}
}
Beide Prozeduren besitzen die Zeitkomplexität O(m), weil bei DFS auf jedem Bogen höchstens einmal
im Vorwärtslauf und einmal beim Rückwärtsschritt zugegriffen wird, während bei BFS auf jedem
Bogen höchstens einmal zugegriffen wird.
4
Kn2
Kn5
10
1
7
Kn1
9
8
2
11
Kn7
12
Kn4
3
Kn6
5
6
Kn3
4
Kn5
Kn2
10
1
7
Kn1
8
9
Kn7
-2
11
12
Kn4
3
Kn6
5
Kn3
6
Bild 1.14: Veranschaulichung der Tiefensuche und der Breitensuche mit Start = Kn4
Beispiel – Bild 1.14: Tiefensuche: Von Kn4 aus über 7 nach Kn2, weiter über 4 nach Kn5, weiter über
9 nach Kn6, weiter über 11 nach Kn2. Da von Kn7 aus kein Weiter, zurück nach Kn6; da kein Weiter,
zurück nach Kn5; da kein Weiter, zurück nach Kn4; da kein Weiter, Ende.
Breitensuche: Von Kn4 aus Markierung der Knoten Kn2 über 7 und Kn5 über 8; von Kn2 aus keine
neue Markierung; von Kn5 aus über 9 Markierung Kn6, über 10 Markierung Kn7; von Kn6 und Kn7
aus keine neue Markierung; Ende.
Beide Prozeduren besitzen die Zeitkomplexität O(m), weil bei DFS auf jedem Bogen höchstens einmal
im Vorwärtslauf und einmal beim Rückwärtsschritt zugegriffen wird, während bei BFS auf jedem
Bogen höchstens einmal zugegriffen wird.
Ersetzt man in einem der Erreichbarkeitsalgorithmen DFS oder BFS die ABg-Funktion durch die
InzBg-Funktion, so heißt das, man sucht nach Knoten, die vom Start aus über Ketten statt über Wege
„erreicht“ werden können. Folglich markiert man
(mit StzBg(i) ≠ 0) alle Knoten, die mit Start
zusammenhängen - public void Zusammenhang(int Start).
Daraus ist leicht eine public int Graph.AnzZshgKomp() zu entwickeln, die die Anzahl der
zusammenhängenden Komponenten eines Graphen ermittelt und allen Knoten, die zur z-ten
Komponente gehören Marke(i)=z; zuordnet.
Ersetzt man in einem der Erreichbarkeitsalgorithmen public void DFS(int Start) oder BFS die ABgFunktion durch EBg-Funktion, so heißt das, man sucht nach Knoten, die vom Start aus über Wege, die
gegen die Bogenrichtung durchlaufen werden, „erreicht“ werden können. Folglich markiert man (mit
22 Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
StzBg(i) ≠ 0) alle Knoten, von denen aus Start erreicht werden kann. Nennen wir eine Prozedur, die
das leistet public void DFSrueck(int Start) – DFS(int Start) mit Rückwärtsorientierung – so kann man
etwa mit DFS(Start) alle von Start aus erreichbaren Knoten und mit DFSrueck(Start) alle Knoten, von
denen aus Start erreicht wird, markieren. Die Knoten, die in beiden Fällen markiert wurden, bilden
eine den Knoten Start enthaltende stark zusammenhängende Komponente des Graphen.
Definition Einen stark zusammenhängenden Untergraphen nennt man stark zusammenhängende
Komponente des Graphen.
Daraus ist leicht eine public int Graph.AnzStarkZshgKomp() zu entwickeln, die die Anzahl der stark
zusammenhängenden Komponenten eines Graphen ermittelt und allen Knoten, die zur z-ten
Komponente gehören Marke(i)=z zuordnet.
Beispiel Der Graph, der z.B. im Bild 1.14 gezeigt wird besitzt 3 stark zusammenhängende
Komponenten: Den Untergraphen zu der Knotenmenge {Kn2, Kn4, Kn5, Kn6} und die Untergraphen
zu den beiden Knotenmengen {Kn1} und {Kn7}, die beide leere Bogenmengen haben.
Besitzt der Graph keine stark zusammenhängende Komponente, so ist er kreisfrei.
Besitzt der Graph genau eine stark zusammenhängende Komponente, so ist er stark
zusammenhängend.
Die Prozedur Graph.AnzStarkZshgKomp() kann also sowohl zum Test auf Kreisfreiheit als auch
zum Test auf starken Zusammenhang genutzt werden.
Die Zeitkomplexität beider Prozeduren kann mit O(AnzKomp·m) angegeben werden, wobei AnzKomp
die Anzahl der zusammenhängenden bzw. stark zusammenhängenden Komponenten angibt.
Eine andere Anwendung der Erreichbarkeitsalgorithmen ist die Bestimmung einer Maximummenge
unabhängiger Kanten oder auch Maximumpaarung in einem ungerichteten Graphen:
Wir bezeichnen eine Teilmenge M ⊆ B der Kantenmenge eines ungerichteten Graphen G = [K, B] als
Menge unabhängiger Kanten oder auch Paarung falls ihre Elemente paarweise verschieden sind.
Wir können eine solche Menge einfach so konstruieren, dass wir, beginnend mit M = Ø, sukzessive
Kanten zu M hinzufügen, solange die neue Kante mit keiner der schon dazugehörigen Kanten inzident
ist.
Einen Knoten des Graphen, der mit keiner Kante von M inzident ist, bezeichnen wir als exponiert
bezüglich M und einen Weg, der abwechselnd eine Kante aus M und eine aus (B – M) enthält, als
alternierende Kette bezüglich M. Eine bezüglich M alternierende Kette heißt M-vergrößerbar, wenn
ihre beiden Endpunkte exponiert sind.
Offensichtlich ist eine Paarung nicht optimal, wenn es eine M-vergrößerbare Kette Kt gibt, denn, wenn
wir alle Kanten aus Kt, die zu M gehören aus M entfernen und dafür die Kanten aus Kt, nicht zu M
gehören zu M hinzunehmen, so ist M wieder Paarung und hat offensichtlich eine Kante mehr als
vorher.
Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie 23
X5
X4
X8
X1
X2
X3
X7
X6
X5
X4
X8
X1
X2
X3
X7
X6
Bild 1.15: Konstruktion einer Maximumpaarung
Bild 1.15 zeigt ein Beispiel: M = {(X1, X2), (X3, X7), (X4, X5)} sei die betrachtete Paarung (ihre Elemente
sind fett gezeichnet). Kt = [(X1, X8), (X1, X2), (X2, X4), (X4, X5), (X5, X7), (X3, X7), (X3, X6)] ist eine
M-vergrößerbare Kette, die die exponierten Knoten X8 und X6 verbindet. Mit ihr kann man M auf
M = {(X1, X8), (X2, X4), (X5, X7), (X3, X6)} erweitern.
Auf den Beweis der Notwendigkeit der Existenz einer M–vergrößerbaren Kette für eine Erweiterung
einer Paarung wollen wir verzichten. Am Beispiel Bild 1.15 ist offensichtlich, dass die im unteren Bild
angegebene Paarung {(X1, X8), (X2, X4), (X5, X7), (X3, X6)} eine Maximumpaarung darstellt.
Algorithmus zum Auffinden einer Maximumpaarung im ungerichteten Graphen G = [K, B]:
•
•
Suche eine beliebige Paarung M.
Gibt es einen bezüglich M exponierten Knoten Xstart sowie eine von Xstart ausgehende
vergrößerbare Kette?
o Nein: M ist eine Maxiumpaarung.
o Ja: Modifizierte Tiefensuche, ausgehen von Xstart, nach einen von Xstart verschiedenen
exponierten Knoten:
• Man markiere den Startknoten und mache ihn zum aktuellen Knoten X.
• Man suche vom aktuellen Knoten X aus einen Nachbar Y, der noch nicht als
erreicht markiert ist.
Ist X exponierter Knoten, so ist eine vergrößerbare Kette gefunden. Tausche längs
der Kette die Zugehörigkeit ihrer Kanten bezüglich der Paarung und wiederhole
den Algorithmus.
Andernfalls wird der bezüglich der Paarung gegebener Partner Y* von Y markiert;
X := Y*; Wiederholung dieses Schrittes.
• Hat der aktuelle Knoten X keine inzidente Kante mehr, deren Endknoten noch
ohne Markierung ist, so Abbruch, falls X = Xstart;
andernfalls gehe man zu dem Knoten zurück, von dem aus X markiert wurde
(X = AKn(StzBg(X))) und wiederhole den vorhergehenden Schritt.
24 Kapitel 1: Grundbegriffe der Graphentheorie
Bemerkung: Es ist wichtig, dass beim Vorwärtsgehen nicht der Nachbar Y, sondern dessen Partner Y*
bezüglich M markiert wird, denn Y ist nicht eigentlich erreicht, sondern nur Durchgangsstation beim
Vorwärtsgehen.
Am Beispiel Bild 1.14 oberes Teilbild:
X := Xstart := X8; StzBg(X8) := WrzBg;
Y := X1; Y* := X2; StzBg(X2) := (X1, X8); X := X2;
Y := X3; Y* := X7; StzBg(X7) := (X2, X3); X := X7;
Y := X5; Y* := X4; StzBg(X4) := (X5, X7); X := X4;
Y := X2; X2 wurde schon erreicht, also rückwärts: StzBg(X4) := (X5, X7); X := X7;
X7 hat keinen weiteren Nachbar, also weiter rückwärts: StzBg(X7) := (X2, X3); X := X2;
Y := X4; Y* := X5; StzBg(X5) := (X2, X4); X := X5;
Y := X7; Y* := X3; StzBg(X3) := (X5, X7); X := X3;
Y := X6; X6 ist exponiert, also erfolgreiches Ende der Suche und Erweiterung der Paarung:
Alter Partner X3 von ist X7; X := X3; StzBg(X3) = (X5, X7);
X3 wird Partner von X6; X6 wird Partner von X3; X := X5; StzBg(X5) = (X2, X4);
X7 wird Partner von X5; X5 wird Partner von X7; X := X2; StzBg(X2) = (X1, X6);
X2 wird Partner von X4; X4 wird Partner von X2; X := X8; StzBg(X8) = WrzBg, also Ende
des
Algorithmus.
Da es keinen exponierten Knoten mehr gibt, endet das Verfahren, die gegebene Paarung (Bild 1.14
unteres Teilbild) ist eine Maximumpaarung.
Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben 25
2.
Einfache Netzaufgaben
2.1
Suche nach kürzesten Wegen
Wir haben im vorigen Kapitel das Erreichbarkeitsproblem behandelt: Die Prozeduren DFS und BFS
erzeugen jeweils einen Wurzelbaum innerhalb eines Graphen G = [K, B], der zu jedem Knoten i, der
von einem Knoten Start aus in G erreichbar ist, einen Weg enthält, auf dem man i erreichen kann.
Im Allgemeinen ist ein Knoten i von einem Knoten Start aus auf mehreren Wegen erreichbar, in
manchen Graphen sogar auf sehr vielen. Dieser Tatsache entspricht auch, dass die beiden Algorithmen
im Allgemeinen verschiedene Wurzelbäume liefern und dass jeder der Algorithmen für die gleiche
mathematische Struktur G verschiedene Ergebnisse liefern kann, wenn man G in verschiedener
Weise notiert – z. B. in verschiedenen Bogennummerierungen. In praktischen Fällen – stellen
wir uns z.B. den Graphen als Straßennetz vor (lauter Einbahnstraßen!) – wird man häufig
nicht nach irgendeinem Weg von Start nach i fragen, sondern nach einem kürzesten. Dies setzt
natürlich voraus, dass wir die Länge eines Weges messen können, und dazu benötigen wir eine
Bogenlänge/-bewertung:
Aufgabe Bestimmung der kürzesten Wege:
Gegeben sind
• eine Datenstruktur vom Typ eNetz - in Form eines gerichteten Graphen G = [K, B] mit einer über
B erklärten reellwertigen Funktion c(k) - sowie
• ein Knoten Start ∈ K.
Gesucht sind für jeden Knoten, der von Start aus erreichbar ist, ein kürzester elementarer Weg und
seine Länge.
Die Länge L(W) eines Weges W ist natürlich die Summe der Längen c(k) seiner Bogen.
Die Aufgabenstellung verlangt von uns eine Wegangabe. Das werden wir wieder mit StzBg(i)
bewerkstelligen, wobei die Funktion gleichzeitig der Markierung dient: Der Knoten i ist genau dann
erreichbar, wenn StzBg(i) ≠ 0. Den Anwender werden natürlich auch die Weglängen interessieren,
auch wenn in der Problemstellung davon nicht explizit gesprochen wird. Dazu ordnen wir jedem
Knoten i ∈ K eine reelle Zahl t(i) zu. Eine über der Knotenmenge eines gerichteten Graphen erklärte
Funktion t(i) wird auch als Potential bezeichnet.
Da bei vielen Aufgaben in Netzen ein solches Potential benötigt wird, wollen wir unterstellen, dass
eine Datenstruktur public class eNetz extends Graph („einfaches“ Netz) mit folgende Methoden zur
Verfügung steht:
• public double getT(int i) { /** Liefert den Potentialwert des Knotens i. */ …}
public void
setT(int i, double t) {/** Setzt den Potentialwert des Knotens i auf den Wert t. */ …}
• public double c(int k) {/** Liefert für den Bogen k einen Wert, genannt „Bogenlänge“. */ … }
c(-k) = -c(k).
Für das Problem der kürzesten Wege soll gemäß Aufgabenstellung gelten:
 0, für i = Start
t(i) =  ∞, wenn i von Start aus nicht erreichbar ist
 Länge eines kürzesten Weges von Start nach i, sonst
26 Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben
Algorithmus von Dijkstra zur Bestimmung der kürzesten Wege
Voraussetzung: c(k) ≥ 0 für alle k ∈ B.
Beginnend mit setT(Start, 0); initStzBg(Start); und K’:= {Start};
wiederhole folgenden Prozess bis K’ = K gilt:
• Bilde ABg(K’).
• Berechne für k ∈ ABg(K'), i = AKn(k), j = EKn(k), die Werte τ(j) = t(i) + c(k).
• Bestimme den kleinsten Wert τ(j) sowie die zugehörigen Größen k und j.
• Erweitere K’ um den Knoten j: K’:= K’ ∪ { j }; t(j):=τ(j).
• Nimm den Bogen k, der das Minimum bestimmte, in das Stützgerüst auf.
Kn2
3
c=5
Kn5
7
c=3
c=3
c=5
Kn1
0
c=2
c=5
Kn7
10
c=6
Kn4
5
c=4
c=3
Kn6
12
c=3
c=1
Kn3
4
c = 10
Bild 2.1: Kürzeste Wege nach Dijkstra
Beispiel – Bild 2.1: Start = Kn1. Die fett gezeichneten Elemente bilden den Erreichbarkeitsbaum aus
kürzesten Wegen. Wir skizzieren den Ablauf des Algorithmus:
1) K’ = {Kn1 }: τ(Kn2) = 3, τ (Kn3) = 4, τ(Kn4) = 6; Min = 3, kMin = [Kn1, Kn2], t(Kn2) = 3
2) K’ = {Kn1, Kn2}: τ(Kn3) = 4, τ(Kn4) = 6, τ(Kn5) = 8; Min = 4, kMin = [Kn1, Kn3], t(Kn3) = 4
3) K’ = {Kn1, Kn2, Kn3}: τ (Kn4) = 6, τ(Kn4) = 5, τ(Kn5) = 8; Min = 5, kMin = [Kn3, Kn4], t(Kn4) = 5
4) K’ = {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4}: τ(Kn5) = 8, τ(Kn5) = 7, τ(Kn6) = 14; Min = 7, kMin = [Kn4, Kn5],
t(Kn5) = 7
5) K’ = {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Kn5}: τ(Kn6) =12, τ(Kn6) = 14, τ(Kn7) = 10; Min = 10, kMin = [Kn5, Kn7],
t(Kn7) = 10
6) K’ = {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Kn5, Kn7}: τ(Kn6) =12, τ(Kn6) = 14; Min = 12, kMin = [Kn5, Kn6],
t(Kn6) = 12
7) K’ = {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Kn5, Kn6, Kn7} = K, das Verfahren endet.
Beweis der Effektivität des Dijkstra-Algorithmus: Wir betrachten die Aufnahme des Knotens j in die
Menge K’. Angenommen es gäbe einen kürzeren Weg von Start nach j als den deklarierten, der über
i ∈ K' führt. Dieser müsste über einen Knoten j* ∉ K', j* = EK(k) für ein k ∈ ABg(K’) führen. Da aber
für alle j* ∉ K' t(j*) ≥ t(j) gilt, denn t(j) ist das Minimum aller τ(j*) für j* = EK(k), k ∈ ABg(K’), so ist das
unmöglich, wenn alle Bogenlängen größer/gleich Null sind.
Die Zeitkomplexität des Dijkstra-Algorithmus können wir mit O(n2) abschätzen, denn das Verfahren
führt für jeden Knoten eine Minimumbildung über eine durch O(n) abschätzbare Knotenanzahl durch.
Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben 27
Kn1
0
c=2
c=3
Kn3
2
c = -2
Kn2
3
Bild 2.2: Versagen des Dijkstra-Algorithmus bei c(k)
Beispiel Das einfache im Bild 2.2 gezeigte Netz demonstriert, dass der Algorithmus bei negativen
Bogenlängen versagen kann. Er würde die im Bild angegebene Lösung erzeugen, weil unterstellt wird,
dass bei der Bestimmung von t(Kn3) kein Weg berücksichtigen werden muss, der eine größere Länge
als τ(Kn3) = 2 besitzt.
Wir geben den Algorithmus als Java-Prozedur an:
public boolean kuerzesteWege(int Start)
int j, k; PriorHeap Kandidaten; ElementtypIR ID;
initT(Infinit); initStzBg(Start); setT(Start, 0.0);
Kandidaten = new PriorHeap(m+1);
Kandidaten.pushOpt(new ElementtypIR(WrzBg, 0.0));
while (!Kandidaten.istLeer()) {
ID = (ElementtypIR) Kandidaten.exOpt(); k = ID.getInt();
if (k == WrzBg) j = Start; else j = EKn(k);
if (getStzBg(j) == 0) { setStzBg(j, k); setT(j, ID.getInhalt()); k = eAusBg(j); }
while (istBg(k)) {
if (getStzBg(EKn(k)) == 0)
Kandidaten.pushOpt(new ElementtypIR(k, getT(j) + c(k)));
k = nAusBg(j, k);
}
}
boolean negKreis = false; double dY, minY; int i, k1, kS, kMin;
for (k=1; k<=m; k++) {
dY = getY(k)-c(k);
if (StzRchtg(k) == 0 && dY > eps) {
setzWrz(AKn(k));
j = EKn(k); kS = getStzBg(j);
negKreis = StzRchtg(kS) == -1;
if (!negKreis)
do {
kMin = k; minY = getY(k) - c(k); markCZ(kS);
for (k1 = 1; k1 <= m; k1++)
if (czKoeff(k1) == -1 && c(k1) - getY(k1) < minY) {
minY = c(k1) - getY(k1); kMin = k1;
}
for (I = 1; I <= n; i++) if (getMarke(i) == 2) setT(i, getT(i) - minY);
setStzBg(EKn(kMin), kMin);
} while (kMin != k);
setzWrz(Start);
}
}
return negKreis;
}
Die Prozedur stützt sich auf einen Prioritätsheap, in dem als Elemente Paare (k, τ(EKn(k)))
gespeichert werden - als ElementtypIR. Ein solcher Speicher sichert, dass bei Entnahme eines
28 Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben
gespeicherten Elementes immer dasjenige geliefert wird, das den kleinsten Wert, hier von τ(EKn(k)),
besitzt.
Wird die Menge K‘ um ein j (=EKn(k)) erweitert, so werden für alle k ∈ ABg(j) die Paare
(k, τ (EKn(k))) in den Heap gespeichert. Das sind n-mal höchstens O(n) Werte. Der Heap kann O(m)
Paare
enthalten,
aber
da
Einspeichern
und
Entnahme
nur
die
Komplexität
O(log(Anzahl der im Heap befindliche Elemente)) besitzt, ergibt sich eine Worst-Case-Komplexität
von O(n2).
Wk
W1
W2
Bild 2.3: Ein nicht elementarer Weg W = W1 + Wk + W2
Für den Fall, dass auch negative c(k)-Werte zugelassen sind, betrachten wir einen nicht-elementaren
Weg W - siehe Bild 2.3 - bestehend aus einem elementaren Teilweg W1, einem Kreis Wk und einem
elementaren Teilweg W2.
Den elementaren Weg W1 + W2 wollen wir als elementare Reduktion des nicht-elementaren Weges
W = W1 + Wk + W2 bezeichnen. W kann nur dann kürzer sein als seine elementare Reduktion, wenn
der Kreis Wk eine negative Länge besitzt.
Satz Ein kürzester elementarer Weg von einem Knoten i zu einem Knoten j, der über den Knoten
i* führt, besteht genau dann in jedem Fall aus einem kürzesten Weg vom Knoten i zum Knoten i*
und einem kürzesten Weg vom Knoten i* zum Knoten j, wenn das Netz keinen Kreis negativer
Länge enthält.
Es folgt: Ist das Netz kreisfrei, so ergibt in jedem Fall die Addition kürzester Wege einen kürzesten
Weg. Umgekehrt, enthält das Netz Kreise negativer Länge, so muss damit gerechnet werden, dass die
Addition zweier kürzester Wege einen nicht-elementaren Weg liefert, also nicht den gesuchten
elementaren kürzesten Weg.
c = -3
c=1
Kn2
4
c=4
c = -3
Kn3
1
c=1
Kn2
3
Kn3
2
c=4
c=2
Kn1
0
c=2
Kn1
0
Bild 2.4: Kürzeste Wege und Kreise negativer Länge
Beispiel Zur Demonstration betrachten wir das Bild 2.4: Das Netz enthält den Kreis
[[Kn2, Kn3], [Kn3, Kn2]] mit der Länge -2. Wir suchen die kürzesten Wege vom Knoten Kn1: Im
linken Bild wird gezeigt, dass zum Knoten Kn3 ein Weg der Länge t(Kn3) = 1 führt. Der darf aber
Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben 29
nicht durch den kürzesten Weg von Kn3 nach Kn2 fortgesetzt werden zu einem kürzesten Weg nach
Kn2, sondern der kürzeste, elementare Weg vom Knoten Kn1 zum Kn2 ist im rechten Bild aufgezeigt.
Er hat die Länge t(Kn2) = 3.
Der Leser möge einwenden, dass er ohnehin c(k) ≥ 0 für k ≥ 0 unterstellt habe - womit negative Wegbzw. Kreislängen unmöglich sind – und, dass negative Bogenlängen schwer vorstellbar sind. Aber wir
haben schon gesehen, dass auch praktische Aufgaben schnell zu abstrakteren Formulierungen führen,
und im betrachteten Fall könnten die Bogen-“Längen“ auch Kosten darstellen, und negative Kosten
sind als Gewinne sehr real zu interpretieren.
Wir werden im weiteren davon ausgehen, dass negative Bogenlängen zugelassen sind aber Kreise
negativer Länge auf einen Datenfehler hindeuten, d.h. wir suchen Algorithmen, die Kreise negativer
Länge erkennen, verlangen aber nicht, dass sie in diesem Fall das Problem lösen, denn es ist bekannt,
dass Algorithmen für den allgemeinen Fall exponentielle Zeitkomplexität haben.
Auf der Suche nach einem allgemeingültigeren Algorithmus für das Problem, der die oben genannten
Wünsche erfüllt, können wir zunächst feststellen, dass der Dijkstra-Algorithmus in jedem Fall mit
höchstens O(n2) Operationen zu Ende kommt, allerdings bei Existenz negativer c(k) eventuell eine
falsche Lösung liefert. Die Überprüfung der Lösung auf Gültigkeit erfordert O(m) Testoperationen:
Es muss für alle k ∈ 1..m y(k) = t(EKn(k)) – t(AKn(k)) ≤ c(k) gelten.
k*
k*
Bild 2.5: - zum Versagen des Dijkstra-Algorithmus
Finden wir einen Bogen k* mit y(k*) > c(k*), so sind zwei Fälle denkbar – vgl. Bild 2.5:
a) Es gibt von Start aus zum EKn(k*) einen Weg, der parallel zum gefundenen Weg aus Stz-Bogen
über den Nicht-Stz-Bogen k*, verläuft und mit t(AKn(k*))+c(k*) kürzer ist als t(EKn(k*)):
t(AKn(k*))+c(k*) < t(EKn(k*) bedeutet, c(k*) < y(k*).
b) Der Bogen k* schließt den StzBg-Weg von AKn(k*) nach EKn(k*) – Länge gleich
t(AKn(k*)) - t(EKn(k*)) = -y(k*) – zu einem Kreis der Länge -y(k*) + c(k*) < 0.
Um die beiden Fälle zu trennen, setzen wir die Wurzel des StzBg-Baumes in den AKn(k*):
• Im Fall a) hat das keine Auswirkung auf den Parallelweg aus Stz-Bogen; folglich können wir
durch einfachen Ersatz des bisherigen Stz-Bogens des Knotens EKn(k*) durch den Bogen k* die
Lösung in Richtung auf das Optimum (y(k) ≤ c(k)) verbessern. Zu beachten ist, dass die t-Werte
aller Knoten, die zur erzeugenden Knotenmenge von cz(-k*) (- nach Aufnahme von k* in die
StzBg-Menge) geändert werden müssen, und bei diesen Änderungen darf kein Bogen, der „im
Gleichgewicht ist“, diesen Zustand verlassen. Die algorithmisch einfachste Lösung besteht in der
Wiederholung der Bogenüberprüfung bis entweder alle Bogen im Gleichgewicht sind oder ein
Kreis negativer Länge aufgedeckt wird.
• Im Fall b) wird der StzBg(EKn(k*)) negativ (StzRchtg(StzBg(EKn(k*))) = -1). Folglich registrieren
wir nur die Tatsache, dass ein Kreis negativer Länge existiert, führen aber den Gültigkeitstest
weiter, so dass am Ende nur noch für Bogen, die Kreise negativer Länge schließen, die Testgröße
c(k) - y(k) = Kreislänge < 0 gilt.
Beispiel 1 In dem Netz des vorhergehenden Beispiels – Bild 2.4 – gibt der Algorithmus die Lösung
rechts im Bild. Der Test zeigt, dass y([Kn2, Kn3]) = -1 > c([Kn2, Kn3]) = -3 gilt. Die Verlagerung der
Wurzel in den Knoten Kn2 würde -[Kn3, Kn2] zum StzBg(Kn3) machen. Folglich schließt der Bogen
k* = [Kn2, Kn3] den durch StzBg(Kn3) gegebenen Weg vom Knoten Kn3 zum Knoten Kn2, nämlich
den Bogen [Kn3, Kn2], zu einen Kreis der Länge -3 - (-1) = -2.
30 Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben
Beispiel 2 – vgl. Bild 2.6: Nach dem Dijkstra-Algorithmus gilt für den Bogen k* = [2, 3]
y(k*) - c(k*) = 2 > 0. Man muss ihn folglich in das Gerüst der kürzesten Wege aufnehmen - für den
Bogen k = [1, 3] – vgl. Bild 2.6.2.
2
4.0
4
5.0
c=1
c=4
1
0.0
c = -3
c=3
c=3
3
3.0-dt
c=3
5
6.0-dt
Bild 2.6.1: Beispiel 2 für den allgemeinen Kürzeste-Wege-Algorithmus
In dem Zustand den Bild 2.6.2 zeigt, ergibt die Wiederholung der Überprüfung dass [3, 4] nicht im
Gleichgewicht ist, woraus die dt-Änderung von -1 am Knoten 4 nötig wird, mit Aufnahme
k* = [3, 4]
in das Gerüst – siehe Bild 2.6.3.
2
4.0
4
5.0
c=1
c=4
1
0.0
c = -3
c = -3
c=3
3
1.0
c=3
5
5.0-dt
Bild 2.6.2: Beispiel 2 für den allgemeinen Kürzeste-Wege-Algorithmus
2
4
c=1
4.0
4.0
c=4
c = -3
1
0.0
c=3
c=3
3
1.0
c=3
5
4.0
Bild 2.6.3: Beispiel 2 für den allgemeinen Kürzeste-Wege-Algorithmus - Lösung
Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben 31
2.2
Suche nach längsten Wegen
Aufgabe Bestimmung der längsten Wege:
Gegeben sind
• eine Datenstruktur vom Typ eNetz in Form eines gerichteten Graphen G = [K, B] und einer über
B erklärten reellwertigen Funktion c(k) sowie
• ein Knoten Start ∈ K.
Gesucht sind zu jedem Knoten, der von Start aus erreichbar ist, ein längster elementarer Weg und
seine Länge.
Bei dieser vollständig analog zum Problem der kürzesten Wege gestellten Aufgabe sieht man sehr
leicht, dass Schwierigkeiten entstehen, wenn es im Netz Kreise positiver Länge gibt. Bei c(k) > 0 für
alle Bogen k stört jeder Kreis, obwohl die Aufgabe unter der Einschränkung, die Wege müssen
elementar sein, lösbar bleibt. Aber man ahnt, dass das Problem sehr aufwendig wird (exponentiell).
In der Tat steht die Aufgabe in den praktischen Anwendungen für kreisfreie Netze oder für Netze, die
höchsten Kreise enthalten, deren Länge nicht positiv ist. Wir wollen uns auf Aufgaben beschränken, in
denen zwar Kreise positiver Länge enthalten sein können, die aber als Fehler gelten.
Folglich können wir analog zum Problem der kürzesten Wege verfahren:
• Bilde die toplogische Ordnung unter Nichtbeachtung von Bogen mit c(k) ≤ 0.
• Ist diese Ordnung nicht herstellbar, so liegen Kreise positiver Länge vor.
Andernfalls wenden wir den folgenden laengsteWege-Algorithmus an.
• Anschließend testen wir analog zum Algorithmus für kürzeste Wege k ∈ 1..m
auf
y(k) = t(EKn(k)) – t(AKn(k)) ≥ c(k). Ist das der Fall, so ist die optimale Lösung gefunden.
Ist dagegen k* ein Bogen, für den y(k*) < c(k*) gilt, so testen auf Schließung eines Kreises positiver
Länge und, wenn das nicht der Fall ist, korrigieren wir t(EKn(k*)) und wiederholen den Test.
Die wichtigste Anwendung ist die Prozessablaufplanung mittels so genannter Netzplantechnik:
In dieser Anwendung stellen die Bogen eines gerichteten Graphen - genannt Netzplan - Teilprozesse –
genannt Aktivitäten oder Vorgänge – eines Gesamtprozesses dar. Die Knoten repräsentieren als
Ereignisse bezeichnete Zeitpunkte im Ablauf, insbesondere Beginnzeitpunkte und Endzeitpunkte von
Aktivitäten; Abhängigkeiten der Art (einfachster Fall), Aktivität j kann erst beginnen, wenn Aktivität i
beendet ist. (Beispiel: Die Dachkonstruktion kann erst begonnen werden, wenn ihre Stützkonstruktion
fertig ist.)
Jeder Aktivität hat eine Dauer d(i). Gesucht sind die Anfangs- und Endtermine at(i) bzw. et(i) aller
Aktivitäten. Unterstellen wir et(i) = at(i) + d(i), so ist für jeden Knoten at(i), die wesentliche gesuchte
Größe und offensichtlich gilt, at(j) ≥ max{et(i) | für alle i = AK(k) mit k ∈ EBg(j)}.
Das bedeutet, der früheste mögliche Anfangstermin des Vorgangs j ist gleich der Länge eines längsten
Weges vom Startereignis des Gesamtprojektes zum Vorgang j.
In einem solchen Netzplan würde ein Kreis mit den Aktivitäten i1 → i2 → ... → ie → i1 bedeuten,
dass Aktivität i1 vor i2, i3, ..., ie fertig sein müsste und ie vor i1 – also ein offensichtlicher logischer
Widerspruch.
Zur Lösung unseres Problems der längsten Wege gibt es einen nach Dantzig benannten Algorithmus,
der Kreisfreiheit voraussetzt.
Im kreisfreien Graphen kann eine topologischen Ordnung der Knoten hergestellt werden, d.h., eine
derartige Knotennummerierung, tOrd(i), dass für jeden Bogen k gilt, tOrd(AK(k)) < tOrd(EK(k)).
tOrd(i) = 1 kann nur für eine Quelle i des Graphen gelten, d.h., für einen Knoten i, der keine
Eingangsbogen besitzt, für den also |EBg(i)| = 0 gilt.
Algorithmus:
a) Man nummeriere zunächst die Quellen des Graphen in beliebiger Reihenfolge.
32 Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben
b) Man entferne die nummerierten Knoten sowie ihre Ausgangsbogen. Ist der Restgraph nicht leer,
so wiederhole man Punkt a) unter Fortsetzung der Nummerierung.
Die folgende Methode zur Realisierung dieses Algorithmus operiert mit einem Hilfsarray AnzEinBg,
das anfangs die Anzahl der Eingangsbogen jedes Knotens enthält:
Die Knoten mit AnzEinBg[i] == 0 werden in die resultierende Ordnungsliste aufgenommen.
Nun wird die Ordnungsliste sukzessive durchlaufen, und bei jedem Endknoten eines Ausgangsbogens
k aus einem ihrer Knoten wird AnzEinBg[Ekn(k)] um 1 reduziert. Wird dabei AnzEinBg[i] == 0 erzielt,
so wird der Knoten i an die Ordnungsliste angehängt.
public int[] tOrd() {
int i, j, k, s, sA, sE, z; boolean Abbr;
int[] result = new int[n+1];
int[] AnzEinBg = new int[n+1];
initT(Infinit);
z = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) {
AnzEinBg[i] = 0;
k = eEinBg(i); while (istBg(k)) {AnzEinBg[i]++; k = nEinBg(i, k); setT(I,0);}
if (AnzEinBg[i] == 0) {z++; result[z] = i;}
}
sA = 1; sE = z; Abbr = (z==0);
while (!Abbr) {
Abbr = true;
for (s = sA; s <= sE; s++) {i = result[s];
k = eAusBg(i);
while (istBg(k)) {j = EKn(k); AnzEinBg[j]--;
if (AnzEinBg[j] == 0) { z++; result[z] = j; Abbr = false; }
k = nAusBg(i, k);
}
}
if (!Abbr) {sA = sE+1; sE = z; }
}
result[0] = z;
return result;
}
Mit einer topologischen Ordnung im kreisfreien Graphen ist die Berechnung der längsten Wege dann
sehr einfach:
Man durchläuft die Knoten i in der topologischen Ordnung und gibt jedem das Maximum der Werte
getT(AKn(k)) + c(k) für k ∈ EBg(i) als Potential (Weglänge) t(i).
Die mögliche Existenz von Kreisen und speziell solchen positiver Länge verkompliziert das
Verfahren:
In diesem Fall wird nur den Knoten, die mit einer Quelle des Gesamtnetzes zusammenhängen und
keinem Kreis angehören, eine Ordnungsnummer erteilt. Damit die Längste-Wege-Rechnung nur auf
dem zugehörigen Untergraphen ausgeführt wird, wird in der Prozedur tOrd bei der Aufnahme eines
Knoten in die Ordnungsliste ein vorher für alle Knoten auf Infinit gesetzter t-Wert auf 0 korrigiert.
Ferner ist zu beachten, dass zwecks Kreisausschluss in tOrd nur Bogen mit c(k) ≥ 0 berücksichtigt
werden, was dazu führen kann, dass sie beim regulären Verfahren nicht richtig berücksichtigt werden.
Aus diesem Grund enthält die nachfolgende Prozedur laengsteWege() nach dem eigentlichen
Algorithmus einen Test jedes Bogens k auf c(k) < t(k) vorgenommen. Wird ein solcher Bogen
gefunden, so wird – analog zur Berechnung kürzester Wege – zunächst getestet, ob der Bogen einen
Kreis positiver Länge schließt, und bei Verneinung eine Korrektur der t-Werte vorgenommen.
Anschließend wird dieser Test vollständig wiederholt.
Wir demonstrieren die Algorithmen am Beispiel im Bild 2.7: Die Knoten sind bereits in der
topologischen Ordnung nummeriert, die das Netz zulässt, wenn der Bogen [Kn3, Kn2] ignoriert wird.
Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben 33
c = -3
Kn3
10
c=4
c = 10
c = -3
Kn2
2
c=4
Kn3
10
Kn2
7
c = 10
c=2
Kn1
0
c=2
Kn1
0
Bild 2.7: Längste Wege und Kreise positiver Länge
Nun werden den Knoten sukzessive die Werte t(Kn1) = 0; t(Kn2) = 2;
t(Kn3) = max{t(Kn1)+10, t(Kn2)+4} = 10 zugewiesen – siehe linkes Teilbild.
Die anschließende Durchmusterung der Bogen zeigt, y([Kn3, Kn2]) = -8 < c([Kn3, Kn2]) = -3.
Es folgt, t(Kn2) = t(Kn3) – 3 = 7 – siehe rechtes Teilbild.
Die wiederholte Durchmusterung der Bogen zeigt, y([Kn2, Kn3]) = 3 < c([Kn2, Kn3]) = 4, aber der
Kreistest (setzWrz(Kn2) impliziert StzBg((Kn3) < 0) zeigt, dass der Bogen einen Kreis der Länge 1
schließt. Die Prozedure endet also mit den Informationen des rechten Teilbilds und der Aussage, dass
ein Kreis positiver Länge vorliegt.
public boolean laengsteWege() {
double T,dY; int i,k,kS; boolean posKreis=false, bogenfund=false; int[] tOrd=tOrd(); initT(-Infinit);
int N=tOrd[0]; posKreis=N<n();
if (N>0) { i=tOrd[1]; setStzBg(i,WrzBg); setT(i,0);
for (int z=2; z<=N; z++) { i=tOrd[z]; setStzBg(i,WrzBg); k=eEinBg(i);
while (istBg(k)) { T=getT(AKn(k))+c(k);
if (T>getT(i) || (T==getT(i) && getStzBg(i)==WrzBg)) { setT(i,T); setStzBg(i,k); }
k=nEinBg(i,k);
}
}
do { k=1; bogenfund=false;
while ((k<=m()) && !bogenfund) { dY=c(k)-getY(k);
bogenfund=(getT(AKn(k))>-Infinit) && (getT(EKn(k))>-Infinit) && dY>eps;
if (bogenfund) { setzWrz(AKn(k)); kS=getStzBg(EKn(k)); posKreis=kS<0;
if (!posKreis) { if (kS==WrzBg) { initMarke(1); setMarke(EKn(k),2); } else markCZ(kS);
for (i=1; i<=n(); i++) if (getMarke(i)==2) setT(i,getT(i)+dY);
setStzBg(EKn(kS),k);
}
}
else k++;
};
} while ( !posKreis && (k<=m()) );
setzWrz(tOrd[1]);
}
return posKreis;
}
34 Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben
Eine sehr schöne Anwendung des Längste-Wege-Problems, außerhalb der Netzplantechnik, ist für das
Knappsackproblem bekannt:
Knappsackproblem Minimiere die Zielfunktion c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn unten folgenden
Bedingungen:
•
•
xj ∈ {0, 1} für j = 1, 2, ..., n
g1 x1 + g2 x2 + ... + gn xn ≤ G.
Die bekannteste Anwendungssituation dieser Aufgabe ist folgende:
Gegeben sind n Gegenstände mit ihren Gewichten gi und ihren Werten cj, j = 1, 2, …, n. Unter
ihnen soll eine derartige Auswahl getroffen werden – xj ∈ {0, 1} – dass die Summe der
Gewichte eine vorgegeben Schranke G – das Gewicht eines gefüllten Ruck- bzw. Knappsacks
– nicht übersteigt und der Gesamtwert der Auswahl maximal ist.
Unter der kaum einschränkenden Voraussetzung, dass alle gj ganzzahlige Werte besitzen, bilden wir
folgendes Modell:
Wir bilden die Aufgabe auf einen Graphen ab – vgl. Bild 2.7. Dieser besitzt
• Knoten ij – zunächst für i = j = 0, sodann gehen von jedem Knoten ij höchstens zwei Bogen aus:
• Der Bogen [ij, i(j + 1)] mit der Länge c = 0, der für xj = 0 steht und der Bogen [ij, (i + gj)(j + 1)] mit
der Länge c = cj, der für xj = 1 steht.
Knoten ij mit i > G, entfallen, denn i ist das Gewicht einer möglichen Rucksackfüllung.
Wir fügen einen Abschlussknoten mit der Bezeichnung E hinzu und verbinden alle Knoten in mit
diesem Knoten.
00
01
g 11
02
g 12
g1+g21
0n
g 1n
g1+g2n
E
Bild 2.8: Der Graph zum Knappsackproblem
Der längste Weg vom Knoten 00 zum Knoten E in diesem kreisfreien Graphen beschreibt dann
die wertvollste Rucksackpackung. Seine Länge ist gleich dem Wert der Packung. Führt dieser längste
Weg über den Knoten gn nach E, so hat die wertvollste Rucksackpackung das Gewicht g, und sie
besteht aus den Gegenständen j für die die Bogen [ij, (i + gj)(j+ 1)] im Weg enthalten sind.
Zur Lösung der Aufgabe empfiehlt sich folgender Algorithmus:
In einem Array Packung[i] aus (G + 1) Zahlenpaaren (X, C) speichert man die Knoten ij des Graphen,
die zu einem fixierten Gegenstandsindex j gehören, mit Informationen über den längsten Weg vom
Knoten 00 zu diesem Knoten:
Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben 35
•
•
eine natürliche Zahl X, deren Dualdarstellung den Weg beschreibt (Stelle j besetzt bedeutet
Gegenstand j einpacken.) und
eine reelle Zahl C, die die Länge Weges, also den Wert der beschriebenen Packung angibt.
Anfänglich initialisiert man das Array mit Paaren (0.0, -1) und Packung[0] := (0.0, 0).
Für j = 1, 2, …, n sucht man
für i = i max, imax-1, …, 0, mit imax der maximale Index im Array Packung[i], die besetzten Stellen
Packung[i] = (X, C) mit X ≠ -1:
Für ineu := i + gj ; prüft man
• ist ineu ≤ G? – andernfalls weiter mit i := i – 1;
• ist C + cj > Cneu? für (Xneu, Cneu ) = Packung[ineu]
- in diesem Fall: Xneu := X + 2j-1; Cneu := C + cj ;
(Der maximale Index im Array Packung[i] hat die Werte i max = 0, g1, g1 + g2, …, G.)
Ist die Doppelschleifen (j = 1, 2, …, n und für jedes j i = i max, imax-1, …, 0) abgearbeitet, so ist noch im
Array Packung[i] das Maximum der C-Werte zu bestimmen.
Beispiel
j
1
2
3
4
cj
13
10
8
6
gi
9
7
5
4
Maximales Gesamtgewicht der gesuchten Packung G = 16:
5
5
4
6
2
2
Die nachfolgende Tabelle gibt in ihren Spalten die Endzustände von Packung[i] nach jeder j-Schleife
an; sie zeigt also im Prinzip den Graphen des Modells (Abb. 2.7) für das Zahlenbeispiel.
Über die reellen Zahlenwerte (C-Werte) der letzten Spalte muss maximiert werden. Es ergibt sich
1
2
3
maxGewinn = 24, erreicht für die Packung 14 = 0 + 2 + 2 + 2 + 0 +0, also für die Gegenstände 2,
3 und 4, die ein Gewicht von 16 hat.
Die Tabelle ist zur Lösung aller Aufgaben mit der Vorgabe G ≤ 16 geeignet; also z.B. für G = 9: ergibt
sich ein maxGewinn = 14, erreicht für die Packung 12 = 0 + 0 + 22 + 23 + 0 +0, also für die
Gegenstände 3 und 4, die ein Gewicht von 9 (= 5 + 4) besitzt, während die beste Packung mit dem
Gesamtgewicht 10 nur einen maxGewinn = 13 erreicht – für die Gegenständen 4, 5 und 6.
cj
gj
i/j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
(0, 0)
13
9
1
(0, 0)
10
7
2
(0, 0)
8
5
3
(0, 0)
6
4
4
(0, 0)
5
4
5
(0, 0)
2
2
6
(0, 0)
( 2, 32)
(13, 1)
( 8, 4)
( 6, 8)
( 8, 4)
( 6,16)
( 8, 4)
(10, 2)
(10, 2)
(10, 2)
(13, 1)
(13, 1)
(14,12)
(10, 2)
(11,24)
(13,20)
(21, 5)
(16,10)
(18, 6)
(19, 9)
(21, 5)
(23, 3)
(24,14)
(18, 6)
(23, 3)
(16, 8)
(18, 6)
(19, 9)
(21, 5)
(21,26)
(24,14)
( 6, 16)
( 8, 4)
( 8, 48)
(10, 2)
(11,24)
(14,12)
(13,56)
(16, 8)
(18, 6)
(19, 9)
(21, 5)
(21,16)
(24,14)
36 Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben
2.3
Minimalgerüste
Aufgabe In einem eNetz ist unter allen Gerüsten des Graphen dasjenige gesucht, für das die Summe
seiner Bogenlängen minimal ist.
Das Minimalgerüstproblem ist sehr breit untersucht worden, so dass eine Vielzahl von Algorithmen
vorliegt. Viele sind so genannte Greedy-Algorithmen (von engl.: greedy = gierig, gefräßig). Dabei
geht es um ein Lösungsprinzip für Aufgaben der diskreten Optimierung, das darin besteht, schrittweise
immer das aktuell beste Element zu wählen:
Greedy-Prinzip am Beispiel
• Bogen := B (Bogenmenge des Graphen); Grst := ∅;
• Solange Grst kein vollständiges Gerüst beschreibt, entnehme und entferne aus Bogen den Bogen
k mit kleinstem c(k).
(Man nutze dazu, den im Abschnitt „Kürzeste Wege eingeführten –
Prioritätsheap)
• Verletzt die Hinzunahme dieses Bogens zu Grst nicht die Zyklenfreiheit, so wird er in Grst
aufgenommen.
Greedy-Algorithmen liefern genau dann optimale Lösungen, wenn ein so genanntes Matroid vorliegt,
was bedeutet, das über Mengen einer Familie optimiert wird, die folgende Eigenschaften haben:
1. Die leere Menge gehört zur Familie.
2. Jede Untermenge einer Menge, die zur Familie gehört, gehört ebenfalls zur Familie.
3. Alle maximalen Mengen der Familie haben die gleiche Elementanzahl.
Die Familie der zyklenfreien Bogenmengen eines Graphen bildet ein solches Matroid.
Das Problem des obigen Algorithmus bildet die effiziente Ausführung des Tests auf Zyklenfreiheit.
Der folgende Algorithmus umgeht diesen ganz.
•
•
KnMenge := {1}; Bogen := CZ(KnMenge);
solange Kandidaten ≠ ∅, wähle man aus dieser Menge den Bogen k mit kleinstem |c(k)|
(↑ Prioritätsheap);
KnMenge := KnMenge + {EKn(k)}; Kandidaten := CZ(KnMenge);
(Beweis durch vollständige Induktion.)
Die Worst-Case-Zeitkomplexität kann mit O(m⋅log(m)) abgeschätzt werden (m = Bogenanzahl), wenn
man mit einem Prioritätsheap arbeitet. Diese Zeitkomplexität ist optimal.
public double Minimalgeruest() {
int j, k; PriorHeap Kandidaten; ElementtypIR ID; double result = 0;
initT(Infinit); initStzBg(0); Kandidaten = new PriorHeap(m+1); Kandidaten.setMax(true);
Kandidaten.pushOpt(new ElementtypIR(WrzBg, 0.0));
while (!Kandidaten.istLeer()) { ID = (ElementtypIR) Kandidaten.exOpt(); k= ID.getInt();
if (k == WrzBg) j = 1; else j = EKn(k);
if (getStzBg(j) == 0) {
setStzBg(j,k); if (j != 1) result = result+c(k); k=eInzBg(j);
while (istBg(k)) { if (getStzBg(EKn(k)) == 0) Kandidaten.pushOpt(new ElementtypIR(k,c(k)));
k=nInzBg(j,k); }
}
}
return result;
}
Kapitel 2: Einfache Netzaufgaben 37
Kn2
3
c=3
c=5
Kn4
5
c=3
Kn6
12
c=4
Kn3
4
c=3
c=5
c=2
Kn1
c=6
Kn5
7
c=5
Kn7
10
c=3
c=1
c = 10
Bild 2.9.1: Ein Beispiel für den Minimalgerüst-Algorithmus
Wir demonstrieren den Algorithmus an dem im Bild 2.9 gezeigten Beispiel:
KnMenge := {Kn1}, Kandidaten := {[Kn1, Kn2], [Kn1, Kn3], [Kn1, Kn4]}, PH = {3, 4, 6}, min{PH} = 3
für k = [Kn1, Kn2];
KnMenge := {Kn1, Kn2},
Kandidaten := {[Kn1, Kn3], [Kn1, Kn4], -[Kn2, Kn4], [Kn2, Kn5]},
PH = {4, 6, 5, 5}, min{PH} = 4 für k = [Kn1, Kn3];
KnMenge := {Kn1, Kn2, Kn3}, Kandidaten := {[Kn1, Kn4], -[Kn2, Kn4], [Kn2, Kn5], [Kn3, Kn4], [Kn3,
Kn6]}, PH = {6, 5, 5, 1, 10}, min{PH} = 1 für k = [Kn3, Kn4];
KnMenge := {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4}, Kandidaten := {[Kn2, Kn5], [Kn3, Kn6], [Kn4, Kn5], -[Kn6, Kn4]},
PH = {5, 10, 2, 3}, min{PH} = 2 für k = [Kn4, Kn5];
KnMenge := {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Kn5},
Kandidaten := {[Kn3, Kn6], [Kn5, Kn6], [Kn5, Kn7], -[Kn6, Kn4]}, PH = {10, 3, 5, 3}, min{PH} = 3 für
k = -[Kn6, Kn4] - willkürliche Wahl;
KnMenge := {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Kn5, Kn6}, Kandidaten := {[Kn5, Kn7], [Kn6, Kn7]}, PH = {3, 3},
min{PH} = 3 für k = [Kn5, Kn7] - willkürliche Wahl;
KnMenge := {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Kn5, Kn6, Kn7} = K, Kandidaten = ∅ , Ende des Algorithmus,
Gesamtlänge des Gerüstes = 16.
Kn2
c=5
Kn5
c=3
c=3
c=5
Kn1
c=6
Kn4
c=2
c=3
c=5
Kn6
Kn7
c=3
c=4
Kn3
c=1
c = 10
Bild 2.9.2: Ein Beispiel für den Minimalgerüst-Algorithmus – Lösung (fett)
38 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
3.
Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
3.1
Einfache Transportkosten-Minimierung
Wir beginnen mit einer
Anwendungsaufgabe Ein Graph G modelliert ein Straßen-, Schienen- oder auch Leitungsnetz in
dem ein Transportgut bewegt wird. Einige der Knoten des Netzes sind als Quellen des Transportgutes
ausgewiesen - mit Angabe der möglichen Liefermengen. Andere Knoten sind Empfänger des Gutes
- mit feststehendem Bedarf.
Für jeden Bogen k sind drei reelle Zahlen a(k), b(k), c(k) vorgegeben:
• Die als „Transportpreise“ bezeichneten Bogenlängen c(k) geben die Kosten an, die der Transport
einer Einheit des betrachteten Transportgutes entlang der durch den Bogen k modellierten Strecke
kostet. c(k) = 0 gelte als Standard.
• a(k) ist die Mindestmenge des Transportgutes, die auf der Strecke k in einem fixierten Zeitraum
transportiert werden muss. In den meisten Fällen gilt a(k) = 0 (Standard!).
• b(k) ist die maximale Menge, die in dem fixierten Zeitraum auf der Strecke k transportiert werden
kann. Häufig gilt b(k) = ∞ (Standard!).
Gesucht ist ein Transportplan x, der bei Einhaltung aller genannten Bedingungen die Gesamtkosten
minimiert.
Zwecks besserer Modellierung ergänzen wir den Graphen G durch die zwei Knoten Q (Quelle) und S
(Senke) sowie die folgenden Bogen:
a) Ein Zusatzbogen führt von Q zu jedem Knoten des Originalgraphen, der Quelle des
Transportgutes ist. Ein solcher Bogen bekommt als untere Fluss-Schranke a den Wert Null, als
oberer Fluss-Schranke b die Lieferkapazität des Lieferanten und als Preis c den Lieferpreis dieser
Quelle, falls diese Preise in die Optimierung einbezogen werden sollen, sonst den Wert Null.
b) Ein Zusatzbogen führt von jedem Knoten des Originalgraphen, der Empfänger des Transportgutes
ist, zu S. Ein solcher Bogen bekommt als untere Fluss-Schranke a den Bedarf des Empfängers, als
oberer Fluss-Schranke b den Wert Unendlich und als Preis c den Preis, zu dem der Empfänger
bereit ist, die Ware zu übernehmen mit negativem Vorzeichen oder auch den Wert Null (vgl a)).
c) Ein Bogen, der so genannte Rückkehrbogen, führt von S nach Q. Er erhält die untere FlussSchranke Null, die obere Fluss-Schranke Unendlich und den Bogenpreis Null.
Wir unterstellen zu dem erweiterten Netz G’ einen Vektor x = (x(1), x(2), ..., x(m)), der für jeden
Bogen k einen Fluss x(k) enthält, der zwischen den Schranken. a(k) und b(k) liegt. Dieser Vektor x
der Bogenflüsse auf dem erweiterten Netz liefert offensichtlich eine zulässige Lösung des formulierten
Transportproblems:
• Die Flüsse der von Q ausgehenden Bogen geben die tatsächlichen Liefermengen der Lieferanten
an, die die Lieferkapazitäten nicht überschreiten.
• Die Flüsse der in S einmündenden Bogen geben die bei den Empfängern ankommenden Mengen
an. Diese sind kleiner/gleich den Bedarfswerten.
• Der Fluss durch den Rückkehrbogen ist gleich der Summe aller bei den Empfängern eingehenden
Mengen und außerdem gleich der Summe aller Lieferungen der Quellen.
• Die Flüsse des Originalgraphen G beschreiben den Transportplan.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 39
Aufgabe Minimalkosten-Stromproblem
Gegeben ist eine Datenstruktur vom Typ tNetz in Form eines gerichteten Graphen G = [K, B] und den
über B erklärten reellwertigen Funktionen a(k), b(k) und c(k). Für a(k) und b(k) gilt a(k) ≤ b(k).
Gesucht ist ein über B erklärter Vektor x, der folgende Bedingungen erfüllt:
1) x ist Strom in G.
2) Es gilt a(k) ≤ x(k) ≤ b(k) für k ∈ B.
3) x ist unter allen Vektoren, die die Bedingungen 1) und 2) erfüllen, einer der die Funktion
z(x) = ∑{c(k)·x(k) | k = 1, 2, ..., m} minimiert.
Für die Bogenparameter mögen folgende Standards gelten: a(k) = 0, b(k) = ∞, c(k) = 0, und im
Hinblick auf negative Bogenbenennungen gelten folgende Festlegungen: a(-k) = -b(k), b(-k) = -a(k),
x(-k) = -x(k), c(-k) = -c(k).
Das Problem kann als eine mathematische Formulierung einer Transportkosten-Minimierung
betrachtet werden, wie die obige Darlegung zeigt.
Die Aufgabe der Transportkostenoptimierung wird häufig durch ein Matrixschema gemäß Tabelle 3.1
beschrieben. Bei l Lieferanten enthält die erste Spalte die Lieferkapazitäten αi, i = 1, 2, ..., l; bei e
Empfängern enthält die erste Zeile die Bedarfszahlen βj, j = 1, 2, ..., e, und schließlich gilt für
i = 1, 2, ..., l und j = 1, 2, ..., e, dass das Matrixelement γij den Preis für den Transport einer Einheit des
betrachteten Gutes vom i-ten Lieferanten zum j-ten Empfänger darstellt. Diese Schematisierung
entsteht aus einer wie oben formulierten Anwendungsaufgabe, indem man von jedem Lieferknoten
i zu jedem Empfängerknoten j im Graphen G die Länge γij des kürzesten Wegs berechnet.
α1
α2
.
.
.
αl
β1
γ11
γ21
.
.
.
γl1
β2
γ12
γ12
.
.
.
γl2
...
...
...
βe
γ1e
γ1e
.
.
.
γle
Tabelle 3.1
Diese starke tabellarische Schematisierung schränkt die Allgemeinheit unnötig ein - z.B. dadurch,
dass die Größe einer Lieferung nicht beschränkt werden kann. Im Übrigen kann sie ihrerseits auf ein
Minimalkosten-Stromproblem abgebildet werden – Knoten für die Lieferanten, Knoten für die
Empfänger, Bogen von jedem Lieferanten zu jedem Empfänger und anschließend die Ergänzung durch
die Knoten Q und S sowie die mit ihnen verbundenen Bogen. Dabei kann die Einschränkung für die
Lieferungen von i nach j auf aij = 0 und bij = ∞, die die Matrizenformulierung implizit enthält,
aufgehoben werden vgl. Bild 3.1.
40 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
b = γij
b = αi
b = βj
Liefer1
Empfang1
Liefer2
Empfang2
Q
S
Lieferl
Empfange
c = -gross
Bild 3.1: Die klassische Transportaufgabe in Netzform
Dass das Minimalkosten-Stromproblem als Modell für Transportaufgaben wesentlich leistungsfähiger
ist als das klassische Transportschema demonstriert das folgende Beispiel:
Grundsätzlich liegt die gleiche Situation vor, wie im obigen Anwendungsbeispiel, allerdings wird die
Ware jetzt nicht direkt von den Lieferanten zu den Empfängern transportiert, sondern über eine Reihe
von r Zwischenlagern. Die Produzenten liefern an eines der Lager, und die Empfänger decken ihren
Bedarf aus den Lagerbeständen. In den Zwischenlagern entstehen natürlich Lagerkosten, und die
Lager haben nur eine begrenzte Lagerkapazität.
Zur Umformung auf ein Minimalkosten-Stromproblem werden die Knoten, in denen sich Lager
befinden, durch Hilfsbogen [Lagereingang, Lagerausgang] ersetzt. Der Knoten Lagereingang
bekommt als Eingangsbogen alle Eingangsbogen des Originalknotens und als einzigen
Ausgangsbogen den neuen Bogen. Der Knoten Lagerausgang bekommt als einzigen Eingangsbogen
den neuen Bogen und als Ausgangsbogen alle Ausgangsbogen des Originalknotens. Die Bogen
[Lagereingang, Lagerausgang] erhalten die untere Fluss-Schranke Null, als obere Fluss-Schranke die
Kapazität des Lagers und als Bogenpreis die Kosten der Lagerung einer Einheit der Ware in diesem
Lager (Lagerpreis).
Bild und Tabelle 3.2 skizzieren das so gebildete Netz mit schematischen direkten
Transportverbindungen Lieferanten→Lager und Lager → Empfänger.
Von
Q
Lieferi
LgEk
LgAk
Empfngj
S
Nach
Lieferi
LgEk
LgAk
Empfngj
S
Q
a
0
0
0
0
0
0
b
αi
∞
Lg.-Kapk
∞
βi
∞
c
0
γik
Lg.-Kost.k
γ*kj
0
-gross
Tabelle 3.2
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 41
b = Lg-Kap., c = Lg-Preis.
Liefer
1
LgE1
LgA1
Empfng
1
Liefer
2
LgE2
LgA2
Empfng
2
Q
S
LgEr
Liefe
rl
LgAr
Empfn
ge
c = -gross
Bild 3.2: Ein Modell für Transport über Zwischenlager
Anwendungsbeispiel Mehrgütertransport
In vielen praktischen Transportaufgaben werden mehrere Güter gleichzeitig betrachtet: Wir
unterstellen, dass eine Reihe von Produzenten ein Spektrum von Gütern herstellen. Die verschiedenen
Waren werden getrennt transportiert. Jeder der Produzenten hat einerseits eine beschränkte
Gesamtlieferfähigkeit und andererseits für jedes der Güter eine obere Kapazitätsschranke - z.B. ist es
denkbar, dass er einige Waren des Sortenspektrums überhaupt nicht produziert.
In dem einfachen Fall, dass sich die Mengenangaben so dimensionieren lassen, dass die
Gesamtlieferung jedes Produzenten durch die Summe der von ihm produzierten Mengen aller Sorten
gegeben ist, lässt sich die Aufgabe durch das mit Bild und Tabelle 3.3 skizzierte Netz modellieren.
Auch in diesem Fall beschränkt sich die Skizze auf schematische Liefernetze für jede Warensorte.
Jedes „Sortennetz“ Sorte k hat für jeden Produzenten i dieser Sorte einen Lieferknoten LieferSik. Alle
Lieferknoten des gleichen Produzenten i sind durch eine Konstruktion verbunden, die über einen
gemeinsamen Eingangsbogen eines Knotens Lieferi sichert, dass die Summe aller Lieferungen
kleiner/gleich der oberen Fluss-Schranke des Bogens [Q, Lieferi] ist.
Von
Q
Lieferi
LieferSik
EmpfgSjk
S
Tabelle 3.3
Nach
Lieferi
LieferSik
EmpfgSjk
Q
Q
a
0
0
0
0
0
b
Gesamtlieferkapazi
Sortenkapazik
∞
Bedarfjk
∞
c
0
0
γijk für Sk
0
-gross
42 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
LieferS11
EmpfgS11
Liefer1
LieferS l1
LieferS12
LieferS l2
EmpfgSe1
EmpfgS12
EmpfgSe2
Q
LieferS1s
Q
EmpfgS1s
Lieferl
LieferS ls
EmpfgSes
Bild 3.3: Ein Modell für Mehrgütertransport
3.2
Ergänzung der theoretischen Grundlagen
3.2.1 Ströme und Spannungen
Wir haben im Kapitel 1 kurz den Begriff Strom oder Zirkulation x eines Graphen als
Linearkombination aus Zyklusvektoren z(k) eingeführt: x = Σ ( α(k)⋅z(k) | für k Cogerüstbogen)
Man kann das auch wie folgt formulieren:
Definition Ein S t r o m ist ein Bogenvektor x, der durch die Vorgabe seiner Flüsse auf den Bogen
eines Cogerüstes eindeutig festgelegt ist. Die Komponente x(k) zum Bogen k eines Stromvektors wird
als F l u s s durch den Bogen bezeichnet.
Wir wollen jetzt zeigen, dass ein Strom folgende Eigenschaft erfüllt:
Kirchhoffscher Knotensatz Für jede Untermenge K’ der Knoten gilt: Die Summe der Flüsse ihrer
Eingangsbogen ist gleich der Summe der Flüsse ihrer Ausgangsbogen.
Σ ( x(k) | k ∈ CZ(K’) & k < 0) = Σ ( x(k) | k ∈ CZ(K’) & k > 0) oder Σ ( x(k) | k ∈ CZ(K’)) = 0.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 43
Dazu beweisen wir folgenden:
Satz Das Skalarprodukt aus einem beliebigen Zyklusvektor und einem beliebigen Cozyklusvektor ist
Null.
Beweis: Wir betrachten das folgende Bild 3.4. Es zeigt einen Zyklus Z und einen elementaren
Cozyklus CZ(K’). Die Knotenmenge K’, die den Cozyklus erzeugt, ist durch eine Umrisslinie
angedeutet. Die vier Z und CZ gemeinsamen Bogen sind fett hervorgehoben. Es ist leicht einzusehen,
dass ein Zyklus und ein Cozyklus, wenn sie überhaupt gemeinsame Bogen besitzen, eine gerade
Anzahl gemeinsamer Bogen haben: Einem gemeinsamen Bogen k, mit dem der Zyklus in einen
Knoten des Untergraphen U(K’) eintritt, folgt beim Durchlauf durch den Zyklus stets ein Bogen k’, mit
dem er den Untergraphen wieder verlässt. k und k’ sind Bogenbenennungen aus der Sicht des Zyklus.
Sollten die Originalrichtungen der beiden Bogen nicht der im Bild dargestellten
Zyklusdurchlaufrichtung entsprechen, so ändert das nichts an der folgenden Argumentation, da sich
dann das jeweilige Vorzeichen sowohl im Zyklus als auch im Cozyklus ändert: Die
Zykluskomponenten beider Bogen sind Eins. Die Cozykluskomponenten jedoch sind +1 bzw. -1,
folglich gilt im Skalarprodukt 1×1 + 1×(-1) = 0.
k
k’
Bild 3.4: Durchschnitt von Zyklus und Cozyklus
Parallel zum Begriff Strom haben wir im Kapitel 1 den Begriff Spannung als Linearkombination aus
Cozyklusvektoren eingeführt: y = Σ(β(k)⋅cz(k) | für k Gerüstbogen)
Analog zum Strom formulieren wir wie folgt:
Satz Eine Spannung ist durch die Vorgabe ihrer Werte auf den Bogen eines Gerüstes eindeutig
festgelegt.
Gemäß dem Satz, dass jeder Zyklusvektor orthogonal zu jedem Cozyklusvektor ist, erfüllt eine
Spannung folgende Eigenschaft:
Kirchhoffscher Maschensatz Für jeden Zyklus gilt: Die Summe
Spannungskomponente und Richtungsfaktor aller seiner Bogen ist Null.
Σ ( y(k) | k ∈ Z & k < 0) = Σ ( y(k) | k ∈ Z & k > 0) oder Σ ( y(k) | k ∈ Z) = 0.
der Produkte aus
Die charakteristischen Eigenschaften einer Spannung sind deutlicher zu erkennen, wenn man den
Begriff des Potentials hinzunimmt, den wir im Kapitel 2 im Zusammenhang mit Wegaufgaben für
44 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
einen Knotenvektor eingeführt haben. Ist t ein Potential, so bezeichnen wir für eine Bogenbenennung
k die Potentialdifferenz durch y(k) = t(EKn(k)) - t(AKn(k)). Es gilt folgender Satz:
Satz Zu einer Spannung y = (y(1), y(2), ..., y(m)) kann ein Potential t so angegeben werden, dass für
jeden Bogen k y(k) die Potentialdifferenz des Bogens ist.
Ein solches der Spannung z u g e o r d n e t e P o t e n t i a l ist bis auf p frei wählbare Werte
eindeutig bestimmt, wobei p die Anzahl der zusammenhängenden Komponenten des Graphen ist.
Umgekehrt erzeugen die Potentialdifferenzen jedes Potentials eine Spannung.
Der Beweis dieses Satzes ist sehr einfach: Für die erste Aussage geben wir den Wurzelknoten des
Gerüstes, das die Spannung erzeugt, einen beliebigen Potentialwert und bestimmen dann sukzessive
die Potentialwerte der Knoten, die noch keinen Potentialwert haben aber mit einem der Knoten, dem
bereits ein Potentialwert zugewiesen ist, durch einen Gerüstbogen verbunden sind.
In umgekehrter Richtung betrachten wir einen Zyklus als Folge von Bogenbenennungen [k1, k2, …, kr].
Mit der Eigenschaft AKn(ki+1) = EKn(ki) für i = 1, 2, …,r – 1 und EKn(kr) = AKn(k1). Für die Summe der
Potentialdifferenzen längs des Zyklus gilt folglich,
y(k1) + y(k2) + … + y(kr)
= (t(EKn(k1)) - t(AKn(k1))) + (t(EKn(k2)) - t(EKn(k1))) + … + (t(AKn(k1)) - t(EKn(kr-1))) = 0, was zu
beweisen war.
3.2.2 Lösbarkeit des Minimalkosten-Stromproblems
Betrachten wir die Kirchhoffsche Strombedingung und schätzen die Flüsse der Bogen aus EBg(K’)
durch ihre unteren Schranken a(k) und die der Bogen aus ABg(K’) durch ihre oberen Schranken b(k)
ab, so muss gelten:
∑{x(k) | k ∈ ABg(K´ )} = ∑{ x(k) | k ∈ EBg(K´ )} ⇒ ∑{a(k) | k ∈ ABg(K´ )} ≤ ∑{ b(k) | k ∈ EBg(K´ )}.
⇒ ∑{b(k) | k ∈ ABg(K´ )} ≥ ∑{ a(k) | k ∈ EBg(K´ )}.
Oder auch unter Berücksichtigung der Vorzeichenregeln, die unmittelbar einleuchtende Formulierung:
Satz Ein Minimalkosten-Stromproblem ist genau dann lösbar, wenn für jede Knotenmenge K´ gilt,
∑{a(k) | k ∈ InzBg(K´ )} ≤ ∑{ b(k) | k ∈ InzBg(K´ )}.
Die Notwendigkeit dieser Existenzbedingung erkennt man aus
∑{a(k) | k ∈ InzBg(K´ )} ≤ ∑{ x(k) | k ∈ InzBg(K´ )} ≤ ∑{ b(k) | k ∈ InzBg(K´
)}. Sie ist auch
hinreichend – ohne Beweis.
Zur Verdeutlichung der Bedingung ein Blick auf die einfache Transportaufgabe: Die Summe aller
Bedarfszahlen muss kleiner oder gleich der Summe der möglichen Liefermengen sein, damit das
Problem eine Lösung besitzt. Diese Aussage entsteht, wenn wir die Formel auf die Menge K’
anwenden, die aus allen Lieferanten- und allen Empfängerknoten besteht.
Aus der Existenzbedingung ersehen wir, dass eine Lösung, nämliche die triviale Lösung x = 0, immer
dann existiert, wenn a = 0 gilt, d.h., wenn alle unteren Flussschranken Null sind. Bei der Formulierung
praktischer Aufgaben kann man Existenzfragen folglich auszuweichen, wenn man versucht, untere
Schranken zu vermeiden:
• So sollte man die einfache Transportaufgabe besser so formulieren, dass die Bedarfszahlen obere
Flussschranken sind (b = β und a = 0 auf den Bogen zur Senke S), und eine maximale
Bedarfsdeckung dadurch bewirkt wird, dass auf dem Rückkehrbogen als Bogenpreis ein negativer
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 45
•
Wert - also ein Gewinn - angesetzt wird, dessen Betrag genügend groß sein muss, nämlich größer
als das Maximum der Summen der Bogenpreise längs aller Wege von der Quelle Q zur Senke S –
wodurch jeder Weg von Q nach S Gewinn bringt.
Die Wirkung, die ein negativer c-Wert des Rückkehrbogens erzielt, erreicht man auch mit
negativen c-Werten auf den Bogen zur Senke S. Solche negativen Preise kann man überdies
sinnvoll als Preise interpretieren, zu denen die Empfänger einkaufen. Bei diesem Ansatz ist auch
einzusehen, dass der Bedarf als obere Schranke angesetzt wird, nämlich als Schranke für die
Gültigkeit des Kaufpreises, der sich beim Überschreiten dieser Schranke ändert. Modelliert man in
dieser Weise, so erhält man in jedem Fall eine Lösung, die allerdings im Falle zu geringer
Gesamtliefermenge bei einigen Empfängern den Bedarf nicht deckt. Es sind natürlich diejenigen,
zu denen die Lieferkosten vergleichsweise groß sind.
Auch am einzelnen Bogen k kann man Existenzschwierigkeiten umgehen, wenn man a(k) = 0 setzt
und in dem zusätzlichen Bereich 0 ≤ x(k) ≤ a_orig (k). den Bogenpreis c_neu(k) = -gross setzt,
wobei gross eine positive große Zahl meint. Damit führt man Strafkosten gross·(a_orig(k) - x(k))
ein (denn die konstanten Kosten gross·a_orig (k) kann man vernachlässigen) und stimuliert somit
die Einhaltung der Bedingung a_orig(k) ≤ x(k): Ist gross ausreichend groß gewählt, so kann man
sicher sein, dass in der existierenden optimalen Lösung a_orig(k) ≤ x(k) gilt – Kostenminimierung
– sofern die Bedingung überhaupt einhaltbar ist.
3.2.3 Grundlagen des Lösungsalgorithmus für das Minimalkosten-Stromproblem
Das Minimalkosten-Stromproblem ist oben klar als lineare Optimierungsaufgabe formuliert. In der
Theorie der linearen Optimierung spielt der Begriff der Basis- oder Eckpunktlösung eine große
Rolle, auf den wir uns im Folgenden stützen wollen, denn eine Grunderkenntnis der Theorie der
linearen Optimierung besagt:
Falls ein Problem überhaupt eine Lösung besitzt, so gibt es auch eine Basislösung, die optimale
Lösung ist.
Ist die Optimallösung nicht eindeutig, so ist jede konvexe Linearkombination aus optimalen
Eckpunktlösungen x1, x2, ... d.h., jeder Vektor λ1 x1+ λ 2 x2+ ... mit 0 ≤ λ 1, λ 2, ... und
λ 1 + λ 2 + ... = 1 wieder optimale Lösung.
Es ist möglich und günstig, die optimale Lösung unter den optimalen Basislösungen zu suchen.
Von einer Ecke des zulässigen Bereiches, der in unserem Fall durch die Forderungen 1) und 2) der
obigen Problemdefinition gegeben ist, spricht man, wenn eine zulässige Lösung x eindeutige Lösung
eines aus den Restriktionen abgeleiteten Gleichungssystems ist, d.h. wenn man aus den gegebenen
Ungleichungen eine Teilmenge so auswählen und als Gleichungen ansetzen kann, dass dieses
Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt und diese Lösung überdies die übrigen
Ungleichungen erfüllt.
Das Restriktionssystem 1), 2) besteht aus den Strombedingungen (etwa in Form der Kirchhoffschen
Knotenbedingungen), die Gleichungsform haben und den Forderungen 2) nach Einhaltung der
Flussschranken. Aus den letzteren müssen wir einen Satz so auswählen und als Gleichungen
behandeln, dass diese, zusammen mit den Strombedingungen, eindeutig einen Bogenvektor x
festlegen. Dabei hilft uns die Eigenschaft von Strömen:
• Wir legen auf den Bogen k eines Cogerüstes x(k) = a(k) oder x(k) = b(k) fest und bilden den
zugehörigen Strom.
• Falls der so erzeugte Vektor x auch auf den Gerüstbogen seinen Flussschranken genügt, stellt er
eine Basislösung des Problems dar.
Definition Eine B a s i s l ö s u n g des Minimalkosten-Stromproblems ist ein zulässiger Strom, der
für k ∈ B\B’ x(k) = a(k) oder x(k) = b(k) erfüllt. Dabei bezeichnet B’ die Bogenmenge eines Gerüstes
im Graphen G = [K, B].
46 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
Der folgende Satz, der so genannte Dualitätssatz der linearen Optimierung, ist die Basis des
Lösungsalgorithmus für das Minimalkosten-Stromproblem. Auf die Wiedergabe eines Beweises
wollen wir verzichten.
Satz Gegeben sei eine Basislösung x des Minimalkosten-Stromproblems mit dem Gerüst G’ = [K, B’].
Auf G’ definieren wir eine Spannung durch y(k) = c(k) für k∈ B’.
x ist genau dann optimale Lösung, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Für k ∈ B\B’ gilt: Falls x(k) = a(k), so ist y(k) ≤ c(k) und, falls x(k) = b(k), so ist y(k) ≥ c(k).
Legende:
i
t(i)
c=4
x=0
L1
10
b = 8, c =
10
0
Q
E1
13
c=2
x=3
b = 5, c = 12
x=5
b = 6, c = -13
x=4
S
0
c=1
L2
12
a = 1, c = 3
x=1
E2
12
b = 4, c = -13
x=4
c=0
x=8
Bild 3.5: Transportaufgabe mit optimaler Lösung
Beispiel Bild und Tabelle 3.5 beschreiben eine einfache Transportaufgabe und deren optimale Lösung.
Für die Lieferanten wurden Lieferpreise c(1) und c(2) angesetzt und negative Preise c(7) und c(8)
(Gewinne) bei den Empfängern.
Im Bild ist ein Gerüst durch fett gezeichnete Bogen markiert (Tabellenzeilen schattiert). Auf den
Bogen dieses Gerüstes wird eine Spannung bzw. ein Potential aus deren c-Werten bestimmt.
Auf den Cogerüstbogen werden die Werte eines Stroms aus den Schranken bestimmt (x = 0 oder
x = b).
Dieser Strom ist auch auf den Gerüstbogen zulässig, und Strom und Potential genügen den im
Dualitätssatz genannten Bedingungen auf den Cogerüstbogen (Tabellezeilen unschattiert). Folglich
liegt eine optimale Lösung vor.
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Von
Q
Q
L1
L1
L2
L2
E1
E2
S
Nach
L1
L2
E1
E2
E1
E2
S
S
Q
a(k)
0
0
0
0
0
1
0
0
0
x(k)
3
5
0
3
4
1
4
4
8
b(k)
8
5
∞
∞
∞
∞
6
4
∞
y(k)
10
12
3
2
1
0
-13
-12
0
c(k)
10
12
4
2
1
3
-13
-13
0
Tabelle 3.5
Für die Aussage des Dualitätssatzes gibt es eine ökonomische Plausibilitätserklärung, die wir an
dem obigen Beispiel erläutern wollen: Zunächst ist festzustellen, dass die Werte t(i) des Potentials die
gleiche Dimension besitzen wie die Werte c(k), also in unserem Beispiel Geldeinheiten. Der
Potentialwert t(i) lässt sich als Abgabepreis der Ware an ein oder mehrere Transportunternehmen im
Knoten i deuten. Wenn z.B. c([Q, Li]) der Herstellungspreis der Ware beim Lieferanten Li ist, so muss
der Abgabepreis t(Li) größer/gleich c([Q, Li]) sein. Insbesondere kann t(Li) > c([Q, Li]) gelten, ohne dass
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 47
ein Lieferplan aus dem Gleichgewicht geriete, wenn x([Q, Li]) = b([Q, Li]) gilt, d.h., wenn Li
(kurzfristig) nicht in der Lage ist, noch mehr zu liefern.
Unterstellen wir, dass der Transport von einem oder mehreren Unternehmen ausgeführt wird. Ist c(k)
der Preis, den ein Transportunternehmen für den Transport einer Wareneinheit entlang der Strecke k
beanspruchen kann, und nehmen wir an, dass ein Transportunternehmen die Ware im Knoten
i = AKn(k) zum Preis t(i) kauft und sie im Knoten j = EKn(k) zum Preis t(j) wieder verkauft, so muss
y(k) = c(k) mindestens auf den Strecken gelten, auf denen ein Transportplan a(k) < x(k) < b(k) vorsieht.
Gilt für eine Strecke k die Beziehung y(k) > c(k), so erzielt das Transportunternehmen, das eine solche
Strecke bedient, einen außerplanmäßigen Gewinn der Größe x(k)⋅(y(k) - c(k)). Es wird also bestrebt
sein, auf dieser Strecke viel zu transportieren, d.h., ein Transportplan muss in diesem Fall x(k) = b(k)
erzwingen. Im obigen Beispiel tritt y(k) > c(k) nur für k = 8 ein, also für den Bogen, der dem
Empfänger E2 zugeordnet ist. Dies bedeutet, dass E2 mehr Gewinn erzielt als vorgesehen (er kauft
zum Preis 12 statt zum kalkulierten Preis 13). Unter diesen Bedingungen ordert er natürlich die
maximale Menge b(8) = 4. Andererseits ist b(8) die Grenze seines Aufnahmeinteresses.
In gleicher Weise ist denkbar, dass für eine Strecke y(k) < c(k) gilt. Ein Transportunternehmen, das
eine solche Strecke bedient, macht Verlust in Höhe von x(k)⋅(c(k) - y(k)), sodass ein Transportplan auf
einer solchen Strecke die Mindestmenge x(k) = a(k) erzwingen muss (z.B. durch Subventionen). Dieser
Fall tritt in unserem Beispiel 3.5 für den Bogen 6 ein (0 < 3). Dort gilt die untere Flussschranke
a(6) = 1. Sie kann als technisch oder traditionell bedingte Lieferbeziehung gedeutet werden, und
y(6) < c(6) sagt, dass es aus ökonomischer Sicht unsinnig ist, sie einzuhalten. Dieser Transport muss
also extra stimuliert werden.
Im Übrigen zeigt sich, dass der Bedarf von E1 nicht gedeckt wird, weil 2 Einheiten über den Weg
Q → L1→ E1 herangeführt werden müssten, der mit der Länge 14 teurer ist als der Gewinn 13.
Durch den Dualitätssatz wird für den Fall der Optimalität zu jedem Bogen k eine Abbildung,
y(k) = Char(x(k)), aus der Menge der zulässigen Werte x(k) in die Menge der zulässigen Werte y(k)
definiert. Das Bild 3.6 zeigt diese Abbildung als Treppenfunktion im (x(k), y(k))-Koordinatensystem.
Sie wird als Charakteristik oder Gleichgewichtsgraph des Bogens k bezeichnet.
Im rechten Teil der Abbildung ist die Charakteristik auf den Bereich 0 ≤ x(k) ≤ b(k) erweitert worden,
indem bei y(k) = -gross eine Stufe eingefügt wurde. Dies entspricht der oben, im Abschnitt 3.2.2,
geführten Diskussion um zulässige Lösungen.
y(k)
y(k)
c(k)
c(k)
x(k)
a(k)
x(k)
a_orig(k)
b(k
)
b(k)
-gross
Bild 3.6: Gleichgewichtsgraph oder Charakteristik eines Bogens k – rechts erweitert
Definition Gilt für einen Strom x, eine Spannung y und einen Bogen k y(k) = Char(x(k)), so wollen
wir sagen, k liegt auf seiner C h a r a k t e r i s t i k oder auch: k befindet sich in einem seiner
Gleichgewichtszustände.
Andernfalls sagen wir, der Bogen ist o u t - o f - k i l t e r (außerhalb seines Gleichgewichts).
48 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
Mit diesem Begriff kann der Dualitätssatz auch wie folgt formuliert werden:
Dualitätssatz Ein Strom x ist genau dann optimale Lösung des Minimalkosten-Stromproblems, wenn
zu ihm eine Spannung y derart existiert, dass sich jeder Bogen des Graphen in einem seiner
Gleichgewichtszustände befindet.
3.2.4
Gleichgewichts-Algorithmus zur Lösung des Minimalkosten-Stromproblems
1. Vorbereitung
1.1 Gerüst aufstellen, so dass der Fluss x durch x(k) = a(k) oder x(k) = b(k) für die Cogerüstbogen k
bestimmt ist. Im Folgenden – unter der Annahme a(k) = 0 für alle k: x = 0.
1.2 Wir bestimmen über das Gerüst ein zugehöriges Potential so, dass y(k) = c(k) auf jedem
Gerüstbogen gilt.
Im Folgenden: Dijkstra-Algorithmus der kürzesten Wege mit Start = EKn(Rückkehrbogen),
falls ein Rückkehrbogen existiert - in den meisten Transportmodellen.
2. Test, ob es einen Bogen k gibt, der bezüglich seiner Charakteristik out-of-kilter ist. Gibt es einen
solchen Bogen kOut – andernfalls ist x eine optimale Lösung - so werden folgende Schritte
ausgeführt:
Solange ook(kOut) = true:
2.1 Bildung von z(kOut) (= Basiszyklus zum Cogerüstbogen kOut) und
dx = Min{b(k) – x(k): k ∈ z(kOut)}; kFlusskrit sei ein Bogen, der das Minimum annimmt;
x := x + dx⋅z(kOut));
Ist kFlusskrit ≠ kOut, so
2.2 Bildung von cz(kFlusskrit) (= Basiscozyklus zum Gerüstbogen kFlusskrit);
dy = Min{c(k) – y(k): k ∈ cz(kFlusskrit) & (x(k) = a(k)) & ⌐ook(k)};
y := y +dy⋅cz(kFlusskrit));
kSpannkrit sei ein Bogen, der das Minimum annimmt.
2.3 Ist kSpannkrit ≠ kFlusskrit, so wird im Gerüst kFlusskrit durch kSpannkrit ersetzt.
kOut
kSpannkrit
dx
dy
z(kOut)
kFlusskrit
Bild 3.7: Schema zum Gleichgewichtsalgorithmus
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 49
Beispiel Bild 3.8 zeigt ein kleines Netz vom Typ tNetz. An den Bogen sind die Zahlen a, b und c
angegeben, sofern sie nicht Standartwerte haben. Für Bogen k = [Kn2, Kn3] ist a(k) = 3, was gemäß der
oben geführten Diskussion um die Lösbarkeit – vgl. Bild 3.6 – mit c(k) = -100 für b(k) = 3 und
c(k) = 3 für b(k) = ∞ umschrieben ist.
Die Lösung der Aufgabe beginnt mit dem Dijkstra-Algorithmus der Kürzesten Wege, gestartet vom
Knoten Kn1, der die in den Knoten des Bilds 3.8.1 angegebenen Potentialwerte t(i) und das Gerüst (fett
gezeichnete Bogen) liefert. x = 0.
Die Bogen [Kn2, Kn3] und [Kn4, Kn1] sind out-of-kilter (3 - 5 > -100 bzw. 0 - 7 > -100). Wir wählen
kOut = [Kn4, Kn1] für den Start der Rechnung:
z(kOut) = [[Kn4, Kn1], [Kn1, Kn3], [Kn3, Kn4]]; maximale Flussvergrößerung in diesem Zyklus dx = 4
bei kFlusskrit = [Kn1, Kn3];
cz(kFlusskrit) = -CZ({Kn3, Kn4}) = [[Kn1, Kn3], [Kn2, Kn3], [Kn2, Kn4], -[Kn4, Kn1]}; maximale
Spannungssenkung für kOut in diesem Cozyklus ist dy = 4 bei kSpannkrit = [Kn2, Kn4];
Austausch kFlusskrit gegen kSpannkrit im Gerüst – wir erreichen den im Bild 3.8.2 gezeigten Zustand.
Kn2
Legende:
i
t(i)
b = 9, c = 6
x=0
5
Kn4
7+dy
b = 8, c = 5
b = 3 / ∞, c = -100 / 3
x=0
x=0
Kn1
0
b = 8, c = 4
x = dx
b = 4, c = 3
x = dx ≤ 4!
Kn3
3+dy
c = -100
x = dx
Bild 3.8.1: Demonstration des Lösungsalgorithmus
Bild 3.8.2: [Kn4, Kn1] ist weiterhin out-of-kilter (0 - 11 > -100); kOut = [Kn4, Kn1]:
z(kOut) = [[Kn4, Kn1], [Kn1, Kn2], [Kn2, Kn4]]; maximale Flussvergrößerung in diesem Zyklus dx = 8
bei kFlusskrit = [Kn1, Kn2];
cz(kFlusskrit) = -CZ({Kn2, Kn3, Kn4}) = {[Kn1, Kn2], [Kn1, Kn3], -[Kn4, Kn1]}; maximale
Spannungssenkung für kOut in diesem Cozyklus ist dy = 89 bei kSpannkrit = kOut = [Kn4, Kn1];
Austausch kFlusskrit gegen kSpannkrit im Gerüst – wir erreichen den im Bild 3.8.3 gezeigten Zustand.
Kn2
5
b = 8, c = 5
x = dx ≤ 8!
Kn1
0
b = 9, c = 6
x = dx
Kn4
11+dy
b = 3, c = -100
x=0
b = 8, c = 4
x=4
b = 4, c = 3
x=4
Kn3
7+dy
c = -100
x = 4 + dx
Bild 3.8.2: Demonstration des Lösungsalgorithmus
50 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
Bild 3.8.3: [Kn4, Kn1] ist im Gleichgewicht, aber [Kn2, Kn3] ist weiterhin out-of-kilter
(94 - 96 > -100); kOut = [Kn2, Kn3]; z(kOut) = [[Kn2, Kn3], [Kn3, Kn4], -[Kn2, Kn4]]; maximale
Flussvergrößerung in diesem Zyklus dx = 3 bei kFlusskrit = kOut = [Kn2, Kn3].
Kn2
94
b = 8, c = 5
x=8
Kn1
0
b = 9, c = 6
x = 8 -dx
b = 3, c = -100
x = dx ≤ 3!
b = 4, c = 3
x=4
Kn4
100+dy
b = 8, c = 4
x = 4 + dx
Kn3
96+d
y
c = -100
x = 12
Bild 3.8.3: Demonstration des Lösungsalgorithmus
Jetzt sind alle Bogen im Gleichgewicht, d.h. die optimale Lösung ist gefunden - Bild 3.8.4.
Kn2
94
b = 8, c = 5
x=8
Kn1
0
b = 9, c = 6
x=5
Kn4
100
b = ∞, c = 3
x=3
b = 8, c = 4
x=7
b = 4, c = 3
x=4
Kn3
96
c = -100
x = 12
Bild 3.8.4: Demonstration des Lösungsalgorithmus – optimale Lösung
Abschließend ein Blick auf den Fall, dass die Originalaufgabe keine zulässige Lösung besitzt: Wir
unterstellen, dass die Aufgabe, wie im Abschnitt 3.2.2 dargelegt, so erweitert wurde, dass zulässige
Lösungen existieren, und betrachten den Fall, dass die optimale Lösung nicht die Originalaufgabe löst.
Wie können wir erkennen, dass es keine zulässige Lösung der Originalaufgabe gibt?
Wir betrachten zunächst ein triviales Beispiel – Bild 3.9: Für den Bogen [Kn1, Kn2] wird x ≥ 5
gefordert und im Widerspruch dazu für den anschließenden Bogen x([Kn2, Kn3]) ≤ 3:
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 51
Kn1
0
b = 5 / ∞, c = -1 / 0
x = dx
Kn2
-1
b = 3, c = 0
x = dx ≤ 3!
Kn3
-1+dy
Kn2
-1
b = 3, c = 0
x=3
Kn3
1
c = -1
x = dx
Kn1
0
b = 5, c = -1
x=3
c = -1
x=3
Bild 3.9: Eine unlösbare Aufgabe
Ausgehend von der Kürzeste-Wege-Berechnung erhalten wir kOut = [Kn3, Kn1] (0 – (-1) > -1).
Im Zyklus z(kOut) = [[Kn3, Kn1], [Kn1, Kn2], [Kn2, Kn3]] Stromänderung mit maximalem dx = 3 für
kFlusskrit = [Kn2, Kn3]; im Cozyklus -CZ({Kn3}) = {[Kn2, Kn3], -[Kn3, Kn1]} ist ein maximales dy = 2
möglich, wobei kSpannkrit = kOut = [Kn3, Kn1]. Da nun alle Bogen im Gleichgewicht sind, liegt die
optimale Lösung vor, die jedoch nicht die Originalforderung a[Kn1, Kn2] = 5 ≤ x([Kn1, Kn2]) = 3
erfüllt.
Im Beispiel, wie im allgemeinen Fall, muss die optimale Lösung auf Zulässigkeit überprüft werden:
Sie ist genau dann unzulässig, wenn für mindestens einen Bogen k* mit a_orig(k*) > 0
a_orig(k*) < x(k*) gilt. Existiert ein solcher Bogen, so sollten die Ursachen dieser Unzulässigkeit
genauer untersucht werden: Es erhebt sich die Frage, ob x(k*) maximal ist. Zu dieser Frage nach dem
maximalen Fluss durch einen Bogen k* zunächst ein paar Vorbetrachtungen:
Definition CZ sei ein beliebiger Cozyklus. S(k*) = CZ \ {-k*} für k* mit -k* ∈CZ.
Kap(S(k*)) = Σ(b(k) | k ∈S(k*)} heißt die K a p a z i t ä t des Schnittes S(k*).
Aus Σ( x(k) | k ∈CZ ) = 0 folgt x(k*) = Σ( x(k) | k ∈CZ \ {k*} ≤ Σ( b(k) | k ∈CZ \ {k*} oder
x(k*) ≤ Kap(S(k*)).
In Worten:
Satz von Ford und Fulkerson Der maximale Fluss durch einen Bogen ist höchstens so groß, wie das
Minimum der Kapazitäten aller Schnitte zu ihm.
Wenn wir einen Strom x und einen Schnitt {-k*, S(k*) haben, so dass für sämtliche
Bogenbenennungen von S(k*) x die obere Schranke annimmt (- die untere Schranke für negatives k),
so gilt x(k*) = Kap(S(k*)) und damit sind wir sicher, dass
a) x(k*) der maximale Fluss durch den Bogen k* ist
b) Kap(S(k*)) das Minimum der Kapazitäten aller Schnitte durch k* darstellt.
52 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
Kn2
b=6
Kn4
b=8
a = 3, b = 10
b = 10
Kn1
b=9
Kn3
Bild 3.10.1: Ein Beispiel zum Satz von Ford und Fulkerson
Beispiel – Bild 3.10.1:
Sc1 = S1([Kn4, Kn1]) = CZ({Kn1}) \ {-[Kn4, Kn1]} = {[Kn1, Kn2], [Kn1, Kn3]}, Kap(Sc1) = 8 + 9 = 17;
Sc2 = S2([Kn4, Kn1]) = CZ({Kn1, Kn2}) \ {[Kn4, Kn1]} = {[Kn1, Kn3], [Kn2, Kn3] , [Kn2, Kn4]},
Kap(Sc2) = 9 + 10 + 6 = 25;
Sc3 = S3([Kn4, Kn1]) = CZ({Kn1, Kn2, Kn3}) \ {[Kn4, Kn1]} = {[Kn2, Kn4], [Kn3, Kn4] },
Kap(Sc3) = 6 + 10 = 16;
Sc4 = S4([Kn4, Kn1]) = CZ({Kn1, Kn3}) \ {[Kn4, Kn1]} = {[Kn1, Kn2], -[Kn2, Kn3] , [Kn3, Kn4] },
Kap(Sc4) = 8 – 3 + 10 = 15.
Das Minimum dieser 4 Kapazitäten ist Kap(Sc4) = 15, d.h. max(x(Kn4, Kn1])) = 15.
Kn2
90
b = 8, c = 5
x=8
Kn1
0
b = 6, c = 10
x=5
Kn4
100
a = 3, b = 10, c = 1
x=3
b = 10, c = 8
x = 10
b = 9, c = 12
Kn3
x=7
12
c = -100
x = 15
Bild 3.10.2: Ein Beispiel zum Satz von Ford und Fulkerson
Im Bild 3.10.2 ist der Strom x, der diesen maximalen Fluss realisiert eingetragen, die Bogen des
zugehörigen Schnitts Sc4 sind schwach gezeichnet, und mit den verbleibenden Bogen, die ein Gerüst
bilden (fett gezeichnet), wurde zu den hinzugefügten Kostenwerten c(k) ein Potential t erzeugt.
Da der Fluss einer optimalen Lösung einer solchen Transportaufgabe, der durch den Rückkehrbogen
fließt, sicher maximal ist (bei genügend großem gross), muss umgekehrt, sofern der den maximalen
Fluss realisierende Strom eindeutig ist, dieser die optimale Lösung sein. Dies wird im Bild 3.10.2
demonstriert: Der angegebene Strom x und sein zugehöriges Potential t bilden die optimale Lösung
der Minimalkosten-Stromaufgabe.
Aus diesen Zusammenhängen können wir für die Analyse von Unzulässigkeiten im MinimalkostenStromproblem Folgendes schlussfolgern:
Für einen Bogen k*, für den in der optimalen Lösung x(k*) < a_orig(k*) gilt, muss y(k*) ≤ -gross gelten,
denn er befindet sich im Gleichgewicht – vgl. Bild 3.6. Falls diese Unzulässigkeit nicht behebbar ist –
d.h. falls gross genügend groß gewählt war – besteht sie auch, wenn man gross weiter vergrößert.
Wir unterstellen dass k* Gerüstbogen ist und betrachten den Basiscozyklus cz(k*): Wenn es möglich
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 53
ist, gross um ein beliebiges dgross zu vergrößern, so muss für k ∈ cz(k*), k > 0, x(k) = b(k) und für
k ∈ cz(k*), k < 0, x(k) = 0 gelten – vgl. Bild 3.6. Mit S(k*) = cz(k*) \ {k*} gilt folglich x(k*) = Kap(S(k*))
d.h., wie oben ausgeführt, x(k*) ist maximal.
S(k*)
t0
k*
t0-gross
t
-dgross
Bild 3.11: Zur Analyse unzulässiger Lösungen
Zusammenfassend können wir festhalten: Wird festgestellt, dass in der optimalen Lösung einer
Minimalkosten-Stromaufgabe für einen Gerüstbogen k* x(k*) < a_orig(k*) gilt, so sollte der Schnitt
zum Basiscozyklus von k*, S(k*) = cz(k*) \ {k*}, eine Kapazität besitzen, die kleiner als a_orig(k*) ist.
Ist dies der Fall, so ist die Unlösbarkeit der Originalaufgabe klar aufgezeigt. Andernfalls muss die
Stimulierungsgröße gross vergrößert werden.
Beispiel 1 Das letzte Netz im Bild 3.9 enthält die optimale Lösung eines unlösbaren Trivialbeispiels.
Der Fluss des Gerüstbogens [Kn1, Kn2] erfüllt nicht die an ihn gestellten Bedingungen:
a_orig([Kn1, Kn2]) = 5 > x([Kn1, Kn2]) = 3. Zu ihm gehört der Schnitt S([Kn1, Kn2]) = {x([Kn2, Kn3])},
der eine Kapazität Kap(S([Kn1, Kn2])) = 3 besitzt, folglich kann [Kn1, Kn2] keinen größeren
Durchfluss als 3 haben. Zwischen den Bedingungen a([Kn1, Kn2]) = 5 und b([Kn1, Kn2]) = 3 besteht
ein offensichtlicher Widerspruch.
Beispiel 2 Wir betrachten das Beispiel im Bild 3.12: Für den Bogen [Kn2, Kn3] besteht die untere
Schranke a([Kn2, Kn3]) = 3, deren Einhaltung durch c([Kn2, Kn3]) = -1 für 0 ≤ x([Kn2, Kn3]) ≤ 3
stimuliert wird. Bild 3.12 zeigt eine optimale Lösung, die x([Kn2, Kn3]) ≥ 3 nicht einhält. Allerdings
besitzt der zum Basiscozyklus gehörende Schnitt S([Kn2, Kn3]) = {[Kn1, Kn2], -[Kn2, Kn4]} die
Kapazität 8, und eine Veränderung der Stimulierung c([Kn2, Kn3]) = -1 auf weniger als -10 würde das
System aus dem Gleichgewicht bringen: c([Kn2, Kn3]) < -10 ⇒ t(Kn2) > 10 ⇒ y([Kn2, Kn4]) < 0, im
Widerspruch zu x([Kn2, Kn4]) = b([Kn2, Kn4]). Die Stimulierung wurde also zu schwach gewählt.
(Man vgl. auch Beispiel 3.13, insbesondere Bild 3.13.5.)
54 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
Kn2
1
b=8
x=8
Kn1
0
b=6
x=6
b = 3 / 10, c = -1 / 0
x=2
b=9
x=8
Kn4
10
b = 10
x = 10
Kn3
0
c = -10
x = 16
Bild 3.12: Beispiel für einen Stimulierungsfehler
Abschließend zu diesen Abschnitt noch folgende Bemerkungen:
1. Der hier vorgestellte Gleichgewichts-Algorithmus ist ein simplexartiger Algorithmus. Er sollte
nicht mit dem im Allgemeinen in der Literatur dargelegten „Out-of-kilter-Algorithmus“
verwechselt werden. Der Out-of-kilter-Algorithmus kennt den Begriff der Basislösung nicht. Er
arbeitet mit einem zulässigen, manchmal auch mit einem beliebigen, Ausgangsstrom x und einer
passenden Spannung; sucht (wie hier) einen Bogen kOut im Out-of-kilter-Zustand und versucht
dessen Fluss mit dem Maximalfluss-Algorithmus von Ford und Fulkerson zu maximieren. Der
letztgenannte Algorithmus ist eine Tiefensuche, die entweder einen Zyklus liefert über den der
existierend Strom so verändert werden kann, dass x(kOut) wächst oder – falls keiner existiert –
einen Cozyklus, über den die Spannung bezüglich der Charakteristik von kOut verbessert werden
kann.
2. Viele Transportmodelle besitzen einen Rückkehrbogen, auf den durch einen großen Gewinn
(c(k) = -gross) ein maximaler Fluss stimuliert wird. Wie im Beispiel 3.10 erwähnt, ist folglich die
optimale Lösung einer Minimalkosten-Stromaufgabe durch einen minimalen Schnitt zum
Rückkehrbogen bestimmt. Allerdings gibt es im allgemeinen Fall viele solche Schnitte minimaler
Kapazität, sodass unter ihnen der billigste ermittelt werden muss.
3. Das Maximalflussproblem ist ein Spezialfall des Minimalkosten-Stromproblems. Wie schon
erwähnt, wird es im Allgemeinen mit einem speziellen Algorithmus gelöst und dient mit diesem
der Lösung allgemeiner Minimalkosten-Stromprobleme (Out-of-kilter-Algorithmus). Wir halten
den hier angegebenen Algorithmus zur Lösung von Minimalkosten-Stromproblemen für besser
und empfehlen, ihn auch zur Lösung des Maximalflussproblems einzusetzen, wenn ein solches
isoliert auftritt.
Zur Demonstration betrachten wir das Beispiel aus Bild 3.10 – vgl. Bilder 3.13:
Gestartet wird mit x = 0, t = 0 und einem beliebigen Gerüst, das den Bogen, dessen maximaler
Fluss bestimmt werden soll, nicht enthält.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 55
Kn2
0
b=8
x = dx
Kn1
0
b=6
x=0
b = 3 / 10, c = -10 / 0
x = dx
b=9
x = -dx ≥ 0!
Kn4
0
b = 10
x=0
Kn3
0 - dy
c = -1
x=0
Bild 3.13.1: Beispiel für eine Maximalflussberechnung
Kn2
0
b=8
x=0
Kn1
0
b=6
x = -dx ≥ 0!
Kn4
0 - dy
b = 3, c = -10
x = dx ≤ 3!
b = 10
x = dx
b=9
x=0
Kn3
0-dy
c = -1
x=0
Bild 3.13.2: Beispiel für eine Maximalflussberechnung
Kn2
0
b=8
x = dx
Kn1
0
b=6
x=0
Kn4
-10 + dy
b = 3, c = -10
x = dx ≤ 3!
b=9
x=0
b = 10
x = dx
Kn3
-10 + dy
c = -1
x = dx
Bild 3.13.3: Beispiel für eine Maximalflussberechnung
56 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
Kn2
0 + dy
b=8
x = 3 + dx ≤ 8!
Kn1
0
b=6
x = dx
b = 3, c = -10
x=3
b=9
x=0
Kn4
0 + dy
b = 10
x= 3
Kn3
0 + dy
c = -1
x = 3 + dx
Bild 3.13.4: Beispiel für eine Maximalflussberechnung
Kn2
0 + dy
b=8
x=8
Kn1
0
b = 3, c = -10
x=3
b=9
x = 0 + dx
b=6
x=5
Kn4
0 + dy
b = 10
x = 3 + dx ≤ 10!
Kn3
0
c = -1
x = 8 + dx
Bild 3.13.5: Beispiel für eine Maximalflussberechnung
Kn2
100
b=8
x=8
Kn1
0
b=9
x=7
b=6
x=5
b = 3, c = -10
x=3
Kn4
100
b = 10
x = 10
Kn3
0
c = -1
x = 15
Bild 3.13.5: Beispiel für eine Maximalflussberechnung – optimale Lösung
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 57
3.2.5
Anwendungsbeispiel Tourenproblem
Zum Schluss noch ein Blick auf ein Problem, bei dem das Minimalkosten-Stromproblem Hilfsproblem
ist.
Aufgabe Gegeben ein Netz vom Typ eNetz, in dem einige Knoten (Orte) als Stützstellen einer Tour
(Rundreise) benannt sind. Gesucht ist die kürzeste Tour, die ausgehend von einer als Ausgangspunkt
fixierten Stützstelle alle anderen Stützstellen genau einmal durchläuft und zur Ausgangsstelle
zurückführt – „Rundreise“.
Das Rundreiseproblem – auch unter der englischen Bezeichnung Traveling-Salesman-Problem
bekannt - ist der klassische Untersuchungsgegenstand für schwierige Probleme (NP-schwierig). Neben
vielfältigen theoretischen Ergebnissen liegen zahlreiche Näherungsverfahren vor, die allerdings zum
großen Teil auf symmetrische Probleme orientiert sind. Es gibt keinen wirklich befriedigenden
exakten Algorithmus, weil theoretisch fast sicher ist, dass der Bearbeitungsaufwand exponentiell mit
der Problemgröße wächst – vorausgesetzt, es gilt P = NP, wovon jeder überzeugt ist, was jedoch noch
nicht bewiesen ist. Wir werfen im Folgenden einen kurzen Blick auf dieses Problem, weil es als
Minimalkosten-Stromproblem mit Zusatzbedingungen modellierbar ist, womit das MinimalkostenStromproblem als Ersatzproblem genutzt werden kann. Das Rundreiseproblem ist außerdem
Ausgangspunkt für viele praktische Probleme der Tourenplanung, für deren Behandlung die
Modellierung mittels des Minimalkosten-Stromproblems sehr hilfreich sein kann.
O1
O1
O2
O3
O2
O3
Bild 3.14: Modellierung von Tourenproblemen
Modellierung eines Tourenproblems als Minimalkosten-Stromproblem: Wir ändern das Netz,
indem wir die Stützstellen durch Bogen ersetzen, und zwar so, dass alle in den Knoten
hineinführenden Bogen Eingangsbogen des Anfangsknotens des Ortsbogens und alle aus dem Ort
herausführenden Bogen Ausgangsbogen des Endknotens des Ortsbogens sind – vgl. Bild 3.14. Ein
Ortsbogen bekommt die Parameter a = 0, b = 1, c = -gross.
Leider wird in den meisten Fällen die optimale Lösung dieser Minimalkosten-Stromaufgabe
Kurzzyklen enthalten, d.h. sie wird in mehrere Teiltouren zerfallen.
58 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
Beispiel für ein Tourenproblem –Die Abbildung ist nur eine Skizze.
/nach
von
O1
O2
O3
O4
O5
O1
O2
O3
O4
O5
OE1
∞
5
0
8
8
14
∞
7
0
0
12
4
∞
0
16
0
12
11
∞
1
10
0
9
14
∞
b = 1, c = -100
OA1
c=5
OA2
OE2
c=0
Tabelle 3.6.1
OA3
OE3
c=8
OA4
OE4
c=8
OE5
OA5
Bild 3.15: Skizze des Netzes zur Tabelle
Im Bild 3.15 ist zu dem durch die Tabelle beschriebenen Tourenproblem das Netz der zugehörigen
Minimalkosten-Stromaufgabe skizziert. Zwecks Übersichtlichkeit wurden nur die Bogen zu O1, also
von den Ortsausgängen OAi zum Ortseingang OE1 gezeichnet.
Löst man die Aufgabe, so erhält man die optimale Lösung O1 → O4 → O3 → O1 und
O2 → O5 → O2, die Kosten = 0 verursacht. Leider handelt es sich nicht um eine Rundreise, sondern
um zwei Kurzzyklen. Man kann nun ein so genanntes Branch-and-Bound-Verfahren ansetzen, bei
dem man im
• im Branch- /Verzweigungsteil den zulässigen Bereiches in zwei Teilbereiche zerlegt:
o Teilbereich 1 besteht aus allen Rundreisen, die einen fixierten Bogen [OAi, OEj] enthalten.
o Teilbereich 2 besteht aus allen Rundreisen, die den fixierten Bogen [OAi, OEj] nicht
enthalten.
• im Bound- /Schrankenteil eine untere Schranke für den Wert der Zielfunktion für jeden der
Teilbereiche ermittelt. Mit ihrer Hilfe wählt man den Teilbereich, den man als nächsten weiter
verzweigt.
In der hier betrachteten Anwendung des Branch-and-Bound-Verfahren findet man die
Zielfunktionsabschätzung des durch Lösung des Ersatzproblems, nämlich des zugeordneten
Minimalkosten-Stromproblems: Eine Rundreise des aktuellen Teilbereichs kostet mindestens so viele
wie die optimale Lösung des Ersatzproblems. Falls das Ersatzproblem eine Rundreise liefert, so ist
dies auch eine obere Schranke für den Zielfunktionswert des Rundreisproblems, mit der alle Bereiche
deren Bound größer/gleich ist, ausgeschlossen werden können.
In jedem Fall wählt man zur Fortsetzung einen Bereich mit kleinstem Bound und wiederholt – bis kein
zulässiger nicht leerer Teilbereich mehr existiert.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 59
Im Beispiel Fixierung des Bogens [OA2, OE5]:
o Teilbereich 1 enthält [OA2, OE5]; das zugehörige Ersatzproblem zeigt Tabelle 3.6.2.
/ nach
Von
O1
O2
O3
O4
O5
O1
O2
O3
O4
O5
∞
∞
0
8
8
14
∞
7
0
∞
12
∞
∞
0
16
0
∞
11
∞
1
10
0
9
14
∞
Tabelle 3.6.2
Wir erhalten die optimale Lösung: O1 → O3 → O1 und
O2 → O5 → O4 → O2, die
Kosten = 13 verursacht. Da Lösung eindeutig und keine Rundreise ist, können wir auf den
Bound = 14 schließen, d.h., in diesem Teilbereich kostet eine Rundreise mindestens 14.
o
Teilbereich 2 enthält [OA2, OE5] nicht; das zugehörige Ersatzproblem zeigt Tabelle 3.6.3.
/ nach
von
O1
O2
O3
O4
O5
O1
O2
O3
O4
O5
∞
5
0
8
8
14
∞
7
0
0
12
4
∞
0
16
0
12
11
∞
1
10
∞
9
14
∞
Tabelle 3.6.3
Wir erhalten die optimale Lösung: O1 → O4 → O3 → O5 → O2 → O1, die Kosten = 14
verursacht und eine Rundreise ist.
Damit ist klar, dass keine Rundreise weniger als 14 kostet und, da wir eine Rundreise mit diesen
Mindestkosten haben, ist diese eine optimale Lösung des Rundreiseproblems.
3.2.5
Das Minimalkosten-Stromproblem mit einem freien Parameter
Die mathematische Modellierung eines Problems der Praxis ist meist aufwendig und geschieht selten
mit dem Ziel, eine einzelne Berechnung anzustellen, sondern ihr Ziel ist die gedankliche
Durchdringung der Praxisproblematik und die Erstellung von Werkzeugen zur Simulation möglicher
Varianten zukünftigen Handelns, um Entscheidungshilfen zu bekommen.
Betrachten wir die gewöhnliche Transportaufgaben in Bild und Tabelle 3.5. Einer der Beteiligten, also
ein Lieferant oder ein Transportunternehmer oder ein Empfänger, möge Kalkulationen anstellen, in die
er Verhaltensvarianten seiner Konkurrenten einbeziehen möchte; z.B., was geschieht, wenn ein
Konkurrent billiger liefert oder wenn durch Streckensperrung erhöhte Transportkosten entstehen usw.
Um solche Überlegungen durch ein Softwarewerkzeug zu unterstützen, ist folgende Aufgabe zu lösen:
Parametrisches Minimalkosten-Stromproblem:
Gegeben sind ein Graph G = [K, B] und zu jedem seiner Bogen k ϵ B sechs relle Zahlen a(k), da(k),
b(k), db(k), c(k), dc(k). Es gelte a(k) ≤ b(k).
Gesucht ist für λ ≥ 0 ein m-dimensionaler Vektor x(λ), m = |B|, der folgende Bedingungen erfüllt:
1) x(λ) ist Strom in G.
2) Es gilt a(k) + λ·da(k) ≤ X(k, λ) ≤ b(k) + λ·db(k) für k ϵ B.
60 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
3) x(λ) minimiert die Funktion z(λ, x(λ)) = ∑{(c(k) + λ·cb(k))·X(k, λ) | k = 1, 2, …, m}.
Für jeden festen Wert von λ ist die Aufgabe die uns bekannte Minimalkosten-Stromaufgabe. Neu ist
nur, dass wir folgende Fragen stellen wollen:
1) Gegeben sei eine optimale Basislösung x(λ0). Gesucht ist der maximale Wert λ1, λ1 ≥ λ0, für den
x(λ0) stabil ist.
2) ZOp(λ) = z(λ, x(λ)) sei der optimale Wert der Zielfunktion in Abhängigkeit von λ. Gefragt sind der
Definitionsbereich und der Verlauf dieser Optimalwertfunktion.
Als Stabilitätsintervall einer optimalen Basislösung x(λ) wollen wir das Intervall [λ0, λ1] bezeichnen
in dem das die Lösung definierende Gerüst unverändert bleibt.
Beispiel
k
1
2
3
4
5
6
Tabelle 3.7
AKn(k)
Kn1
Kn1
Kn2
Kn2
Kn3
Kn4
EKn(k)
Kn2
Kn3
Kn3
Kn4
Kn4
Kn1
a(k)
1
1
0
0
0
0
da(k)
1
2
0
0
0
0
b(k)
5
10
3
8
-
db(k)
1
1
0
1
0
0
c(k)
4
2
0
5
3
-100
dc(k)
1
2
0
0
0
0
Für das durch Tabelle 3.7 beschriebene Zahlenbeispiel geben die Bilder 3.16.1 – 3.16.3 eine Folge
stabiler Basislösungen. Bild 3.16.4 zeigt den Graphen der Optimalwertfunktion.
Kn2
4+λ
x = 3+λ
Kn4
100
y = 4+λ
x=0
x= 8
Kn1
0
y = 2+2λ
Kn3
2+2λ
y = -100
Bild 3.16.1: Optimale Lösung für 0 ≤ λ ≤ 2. Für λ > 2 wird [Kn2, Kn3] instabil.
Kn2
2+2λ
x = 3+λ
Kn4
100
x = 5+λ
y=0
x= 8
Kn1
0
y = 2+2λ
Kn3
2+2λ
y = -100
Bild 3.16.2: Optimale Lösung für 2 ≤ λ ≤ 2,5. Für λ > 2,5 wird [Kn1, Kn3] instabil
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 61
Kn2
4+λ
x = 3+λ
Kn4
100
y = 4+λ
y=0
x= 8
Kn1
0
x = 1+2λ
y = -100
Kn3
4+λ
Bild 3.16.3: Optimale Lösung für 2,5 ≤ λ ≤ 3,5. Für λ > 3,5 wird x([Kn1, Kn3]) unzulässig.
ZOp(λ) -100(11+λ)
177
142
127
λ
67
1
2
2,5
3
3,5
Bild 3.16.4: Optimalwertfunktion im Definitionsbereich [0, 3.5].
Wir vereinbaren folgende Hilfsbegriffe:
A(λ, k) = a(k) + λ·da(k),
X(λ, k) = x(k) + λ·dx(k),
Y(λ, k) = y(k) + λ·dy(k),
T(λ, i) = t(i) + λ·dt(i),
B(λ, k) = b(k) + λ·db(k),
C(λ, k) = c(k) + λ·dc(k),
dy(k) = dt(EKn(k)) – dt(AKn(k)),
und erweitern wieder die Definition der Parameter auf negative Bogenbenennungen:
a(-k) = -b(k), b(-k) = -a(k), c(-k) = -c(k), da(-k) = -db(k), db(-k) = -da(k), dc(-k) = -dc(k), x(-k) = -x(k),
dx(-k) = -dx(k),
sodass auch Folgendes gilt:
A(λ, -k) = -B(λ, k), B(λ, -k) = -A(λ, k), X(λ, -k) = -X(λ, k), C(λ, -k) = -C(λ, k), Y(λ, -k) = -Y(λ, k).
Betrachtungen zum Definitionsbereich der Optimalwertfunktion
In der Aufgabenstellung haben wir formuliert, dass das Problem für λ ≥ 0 gelöst werden soll. Es
könnte natürlich der Fall eintreten, dass das Problem für λ = 0 keine Lösung besitzt. Da wir jedoch
durch Bereichserweiterung einen leeren Aufgabenbereich vermeiden, gibt es auch keine Probleme von
einer Lösung x(0) auszugehen, die nicht die Originalaufgabe löst.
62 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
Für den rechten Rand des Definitionsbereichs der Optimalwertfunktion können wir folgende obere
Schranke angeben: Für jedes λ und jeden Bogen k muss die Ungleichung A(λ, k) ≤ B(λ, k) erfüllt sein.
Aus ihr folgt:
Regel 1
λ wird durch folgende Bedingung global beschränkt:
λ ≤ maxλ = min{(b(k) – a(k))/(da(k) – db(k)) | für k ϵ B und da(k) – db(k) > 0.
Gibt es keinen Bogen k für den da(k) - db(k) >0 ist, so gilt maxλ = ∞.
Im obigen Beispiel ergibt für den Bogen [Kn1, Kn3] maxλ = 9.
Berechnung des rechten Randes des Stabilitätsintervalls einer gegebenen Basislösung x(λ0)
a) Falls der Bogen k Gerüstbogen ist (StzRchtg(k) ≠ 0) bewirkt Vergrößerung von λ eine
Flussänderung. Somit besteht Gefahr, dass er durch Vergrößerung von λ seine Zulässigkeit,
A(λ, k) ≤ X(λ, k) ≤ B(λ, k), verliert.
Regel 2.1
Falls für einen Gerüstbogen k dx(k) – da(k) < 0 gilt, so muss λ durch die Bedingung
λ ≤ (a(k) – x(k))/(dx(k) – da(k)) beschränkt werden.
Falls für einen Gerüstbogen k dx(k) – db(k) > 0 gilt, so muss λ durch die Bedingung
λ ≤ (b(k) – x(k))/(dx(k) – db(k)) beschränkt werden.
b) Falls der Bogen k kein Gerüstbogen ist, StzRchtg(k) = 0, bewirkt Vergrößerung von λ eine
Spannungsänderung. Somit besteht Gefahr, dass er durch Vergrößerung von λ seinen
Gleichgewichtszustand verlässt:
Regel 2.2
Falls für einen Nichtgerüstbogen k
X(λ0, k) = A(λ0, k) und dy(k) – dc(k) > 0 oder X(λ0, k) = B(λ0, k) und dy(k) – dc(k) < 0
gilt, so muss λ durch die Bedingung λ ≤ (c(k) – y(k))/(dy(k) – dc(k)) beschränkt werden.
Um den rechten Rand des Stabilitätsintervalls der gegebenen Basislösung zu errmitteln, müssen wir
somit folgendes tun:
Wir durchmustern alle Bögen gemäß den in den beiden Regeln angegebenen Kriterien und ermitteln
den Minimalwert λ1 aller relevanten Schranken. Dabei bestimmen wir einen Bogen kParKrit (kritisch
gegenüber Parametervergrößerung), dessen Schranke gleich λ1 ist.
Gibt es keinen Bogen kParKrit, so ist λ1 = maxλ. Die Lösung x(λ0) ist für λ0 ≤ λ ≤ λ1 stabil.
Beispiel Wir betrachten das obige Beispiel, Bild 3.16, näher: Bild 3.16.1 enthält die optimale
Basislösung x(0), die über den Nichtgerüstbogen [Kn2, Kn4] auf x(λ) erweitert wird – verbunden mit
der Erweiterung der zugehörigen dualen Lösung (Potential) t(0) zu t(λ).
Wir durchmustern alle Bogen:
[Kn1, Kn2]: Gerüstbogen, dx(1) – da(1) = 0 → irrelevant; dx(1) – db(1) = 0 → irrelevant;
[Kn1, Kn3]: Gerüstbogen, dx(2) – da(2) = -2 → λ ≤ ( 1 – 8)/(–2) = 3,5; dx(2) – db(2) = -1 → irrelevant;
[Kn2, Kn3]: Nichtgerüstbogen, X(0, 3) = A(0, 3) und dy(3) – dc(3) = 1 → λ ≤ 2;
[Kn2, Kn4]: Nichtgerüstbogen, X(0, 4) = B(0, 4) und dy(4) – dc(4) = -1 → λ ≤ 91;
[Kn3, Kn4]: Nichtgerüstbogen, X(0, 5) = B(0, 5) und dy(5) – dc(5) = -2 → λ ≤ 47,5;
[Kn4, Kn1]: Gerüstbogen, dx(6) – da(6) = 1 → irrelevant.
Folglich gilt λ1 = Min{∞, 3.5, 2, 91, 47.5} = 2, kParKrit = 3, d.h. x(λ) ist für 0 ≤ λ ≤ 2 stabil.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 63
Fortsetzung der Optimalwertfunktion über den rechten Rand des aktuellen Stabilitäsintervalls
hinaus
Gegeben sei die Basislösung x(λ), die für λ0 ≤ λ ≤ λ1 stabil ist. Sie wird durch X(λ0, k) = A(λ0, k) oder
X(λ0, k) = B(λ0, k) auf den Bogen k eines Cogerüsts erzeugt. Die zugehörige duale Lösung T(λ0, i) wird
durch Y(λ0, k) = C(λ0, k) auf den Bogen k des zugehörigen Gerüsts erzeugt.
kParKrit sei der für λ > λ1 parameterkritische Bogen, d.h. er befindet sich für λ = λ1 in einem
Gleigewichtszustand, der einer Ecke seiner Charakteristik entspricht. Es gilt,
Y(λ1, kParKrit) =C(λ1, kParKrit)
und X(λ1, kParKrit) = A(λ1, kParKrit) oder X(λ1, kParKrit) = B(λ1, kParKrit).
Wir haben zwei Fälle zu unterscheiden:
1. kParKrit ist Nichtgerüstbogen (StzRchtg(kParKrit) = 0):
λ > λ1 würde dazu führen, dass im Fall
X(λ1, kParKrit) = A(λ1, kParKrit) Y(λ, kParKrit) > C(λ, kParKrit) gälte, und im Fall
X(λ1, kParKrit) = B(λ1, kParKrit) Y(λ, kParKrit) < C(λ, kParKrit),
sodass der Bogen aus dem Gleichgewicht geräte.
Der Ausweg besteht darin, den Bogen in das Gerüst aufzunehmen, denn dann gilt
Y(λ, kParKrit) = C(λ, kParKrit) auch bei λ-Vergrößerung.
Zur Vereinfachung treffen wir die folgende Vorzeichenfestlegung,
 -kParKrit, für X(λ1, kParKrit) = A(λ1, kParKrit)
kNeu =

 kParKrit, für X(λ1, kParKrit) = B(λ1, kParKrit)
die bedeutet, dass im Moment X(λ1, kNeu) = B(λ1, kNeu) gilt.
Die Spannung muss natürlich entsprechend transformiert werden:
Y(λ, k) := Y(λ, k) - Y(λ, kNeu) + C(λ, kNeu) für die Bogen k ϵ cz(kAlt)
- meint, dass y(k) und dy(k) demgemäß transformiert werden.
kAlt ist der Bogen, der für kNeu das Gerüst verlässt. Für den zukünftigen Nichtgerüstbogen kAlt
müssen wir X(λ, kAlt) = B(λ, kAlt) für λ ≥ λ1 sichern. Dazu ist die Transformation
X(λ, k) := X(λ, k) - X(λ, kAlt) + B(λ, kAlt) für k ϵ z(kNeu)
nötig.
Aus ihr folgt,
X(λ1, k) - X(λ1, kAlt) + B(λ1, kAlt) ≥ 0 für k ϵ z(kNeu), sodass wir ihn über die Bestimmung von
Min{X(λ1, k) - B(λ1, k) | k ϵ z(kNeu)} finden. kAlt ist ein Bogen, der dieses Minimum annimmt.
Wir demonstrieren das Verfahren am obigen Beispiel (Tabelle 3.7, Bild 3.16):
Bild 3.16.1 enthält die optimale Basislösung X(0) und die zugehörigen duale Lösung (Potential)
T(0). Wir wissen bereits, kParKrit = 2 = -kNeu. z(kNeu) = [-2, 3, 1].
{B(2, k) - X(2, k) | k ϵ z(kNeu)} = {3, ∞, 2} → kAlt = 1;
Transformation des Stroms und der Spannung, sowie Austausch Bogen gegen Bogen 3 im Gerüst
liefert den im Bild 3.17.2 gezeigten Zustand.
2. kParKrit ist Gerüstbogen (StzRchtg(kParKrit) ≠ 0):
 -kParKrit, für X(λ1, kParKrit) = A(λ1, kParKrit)
kAlt =

 kParKrit, für X(λ1, kParKrit) = B(λ1, kParKrit)
Es gilt X(λ1, kAlt) = B(λ1, kAlt), und λ > λ1 würde dazu führen, dass X(λ, kAlt) > B(λ, kAlt) gälte,
sodass der Bogen seine Zulässigkeit verlöre.
Der Ausweg besteht darin, den Bogen aus dem Gerüst zu entfernen, denn dann gilt
X(λ, kAlt) = B(λ, kAlt) auch für λ > λ1. kAlt muss im Gerüst durch einen anderen Bogen kNeu aus
dem Cozyklus cz(kAlt) ersetzt werden. Für dessen Spannung muß im Weiteren
Y(λ, kNeu) = C(λ, kNeu) gelten. Diese Spannungsanpassung
Y(λ, k) := Y(λ, k) - Y(λ , kNeu) + C(λ, k) muss für k ϵ cz(kAlt)
ausgeführt werden, woraus folgt, wir bestimmen
Min { C(λ1, k) - Y(λ1, k) | k ϵ cz(kAlt), X(λ1, k) = A(λ1, k) }
64 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
und wählen als kNeu einen Bogen, der dieses Minimum annimmt. Anschließend transformieren
wir die Spannung für k ϵ cz(kAlt) sowie den Strom gemäß
X(λ, k) := X(λ, k) - X(λ, kAlt) + B(λ, kAlt) für k ϵ z(kNeu)}
und tauschen im Gerüst kAlt gegen kNeu.
Wir demonstrieren das Verfahren wieder am obigen Beispiel (Tabelle 3.7, Bild 3.16):
Bild 3.16.2 enthält die optimale Basislösung X(2) und die zugehörigen duale Lösung (Potential)
T(2). Wir durchmustern zunächst alle Bogen, um kParKrit zu finden:
[Kn1, Kn2]: Nichtgerüstbogen, X(2, 1) = B(2, 1), dy(1) – dc(1) = 1 → irrelevant;
[Kn1, Kn3]: Gerüstbogen, dx(2) – da(2) = -2 → λ ≤ (1 – 6)/(–2) = 2,5;
dx(2) – db(2) = -1 → irrelevant;
[Kn2, Kn3]: Nichtgerüstbogen, X(2, 3) = A(2,3) und dy(3) – dc(3) = 0 → irrelevant;
[Kn2, Kn4]: Gerüstbogen, dx(4) – da(4) = 1; dx(4) – db(4) = 0 → irrelevant;
[Kn3, Kn4]: Nichtgerüstbogen, X(2, 5) = B(2,5) und dy(5) – dc(5) = -2 → λ ≤ 46,5;
[Kn4, Kn1]: Gerüstbogen, dx(6) – da(6) = 1 → irrelevant.
Folglich gilt λ1 = Min{∞, 2.5, ∞, ∞, 46.5, ∞} = 2.5, d.h. x(λ) ist für 2 ≤ λ ≤ 2,5 stabil,
kParKrit = 2 = -kAlt,
cz(kAlt) = {-1, -2, 4, 5}, Min{0.5, ∞, ∞, ∞} = 0.5 für kNeu = -1.
Transformation des Stroms für k ϵ z(-1) = [-1, 2, -3] und der Spannung, sowie
Austausch Bogen 2 gegen Bogen 1 im Gerüst
liefert den im Bild 3.16.3 gezeigten Zustand.
Bestimmung von kParKrit in diesem Zustand:
[Kn1, Kn2]: Gerüstbogen, dx(1) - da(1) = -2 → λ ≤ (1 – 10)/(–2) = 4,5;
dx(1) - db(1) = 0 → irrelevant;
[Kn1, Kn3]: Nichtgerüstbogen, X(2.5, 2) = A(2.5, 2) und dy(2) – dc(2) = 0 → irrelevant;
[Kn2, Kn3]: Gerüstbogen, dx(3) - da(3) = -2 → λ ≤ (0 – 7)/(–2) = 3,5;
dx(3) - db(3) = -2 → irrelevant;
[Kn2, Kn4]: Nichtgerüstbogen, X(2.5, 4) = B(2.5, 4) und dy(4) – dc(4) = -1 → λ ≤ 96;
[Kn3, Kn4]: Nichtgerüstbogen, X(2.5, 5) = B(2.5, 5) und dy(5) – dc(5) = -1 → λ ≤ 96;
[Kn4, Kn1]: Gerüstbogen, dx(6) – da(6) = 1 → irrelevant.
Folglich gilt λ1 = Min{4.5, ∞, 3.5, 96, 96, ∞} = 3.5, d.h. x(λ) ist für 2,5 ≤ λ ≤ 3,5 stabil,
kParKrit = 3 = -kNeu, cz(-3) = {-3, -2, 5}, Min{∞, ∞, ∞} = ∞, d.h. eine Änderung der Basis ist nicht
möglich. Die Optimalwertfunktion ist nicht fortsetzbar.
(λ-Vergrößerung würde zu negativen Fluss durch Bogen 3 führen.)
Zusammenfassung: Um die Optimalwertfunktion über den rechten Rand λ1 eines Stabilitätsintervals
hinaus fortzusetzen, sind Bogen kAlt und kNeu zu bestimmen, von denen einer gleich ±kParKrit - ist
- kParKrit der parameterkritische Bogen. Es sind folgende Transformationen auszuführen:
X(λ, k) := X(λ, k) - X(λ, kAlt) + B(λ, kAlt) für k ϵ z(kNeu),
Y(λ, k) := Y(λ, k) - Y(λ, kNeu) + C(λ, kNeu) für k ϵ cz(kAlt).
Anschließend ist der Bogen kAlt im Gerüst durch kNeu zu ersetzen.
Eigenschaften der Optimalwertfunktion ZOp(λ)
Aus der Theorie der parametrischen Optimierung (vgl. z.B: [Noz]) ist Folgendes bekannt:
1) Ist der zulässigeBereich des Problems unabhängig vom freien Parameter λ (da(k) = db(k) = 0 für
alle k), so ist die Optimalwertfunktion ZOp(λ) konvex und in jedem Stabilitätsintervall linear.
2) Ist die Zielfunktion des Problems unabhängig von λ (dc(k) = 0 für alle k), so ist die ZOp(λ) konkav
und in jedem Stabilitätsintervall linear.
In unserem allgemeinen Fall gilt:
Satz ZOp(λ) ist in jedem Stabilitätsintervall eine lineare oder quadratische (parabolische) Funktion.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 65
Beweis: ZOp(λ) = z(λ, x(λ)) = ∑{(c(k) + λ·cb(k))·X(k, λ) | k = 1, 2, …, m}. Wählen wir die Vorzeichen
der Benennungen der Basisbogen l (StzRchtg(l) = 0) so dass l > 0 gilt, wenn X(l, λ) = X(l, λ), so können
wir x(λ) = ∑{(b(l) + λ·db(l))·z(l) | l mit StzRchtg(l) = 0} notieren, also X(l, λ) = x(l) + λ·dx(l)), woraus die
Behauptung folgt.
Satz Ist die Optimalwertfunktion über den rechten Rand λ1 eines ihrer Stabilitätsintervalle hinaus
erklärt, so gibt es für zwei verschiedene optimale Lösungen x(λ1) und x*(λ1) mindestens jedoch zwei
verschiedene Basisdarstellungen der Lösung x(λ1).
Beweis: Bei der Ermittlung von λ1 haben wir gesehen, dass es ein Wert ist, für den (X(k, λ1), Y(k, λ1))
eine Eckpunktlage der Charakteristik des Bogens k = kParKrit beschreibt. Im Austausch mit einem
geigneten Bogen kann somit die Lösung durch X(kParKrit, λ) := B(kParKrit, λ) oder durch
Y(kParKrit, λ) := C(kParKrit, λ) determiniert werden. Ändert bei diesem Austausch X(kParKrit, λ1)
seinen Wert, so gewinnen wir eine neue Lösung x*(λ1), die den gleichen Wert ZOp(λ1) besitzt,
andernfalls nur eine andere Basisdarstellung der Lösung.
Beispiel Man betrachte Bild 3.16.1 und Bild 3.16.2: Bild 3.16.1 beschreibt für λ = 2 die optimale
Basislösung x(2) = (5, 8, 0, 5, 8, 13) mit Zopt(2) = 127. Bild 3.16.1 beschreibt für λ = 2 die optimale
Basislösung x*(2) = (7, 6, 2, 5, 8, 13) mit dem gleichen Zielfunktionswert Zopt(2) = 127.
Vergleicht man die Ergebnisse in den Bildern 3.16.2 und Bild 3.16.3, so sieht man, das Bild 3.16.2 für
λ = 2,5 die optimale Basislösung x(2) = (7.5, 6, 2, 5.5, 8, 13) mit Zopt(2.5) = 142,5. Bild 3.16.3
beschreibt für λ = 2,5 die gleiche optimale Basislösung aber eben in anderer Weise, so dass die Lösung
auch für λ > 2,5 zulässig ist.
66 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
3.3
Das Minimalkosten-Spannungsproblem
3.3.1
Grundlagen
Es liegt nahe, ein zum Minimalkosten-Stromproblem analoges Minimalkosten-Spannungsproblem zu
betrachten:
Minimalkosten-Spannungsproblem
Gegeben ist eine Datenstruktur vom Typ tNetz in Form eines gerichteten Graphen G = [K, B] und den
über B erklärten reellwertigen Funktionen a(k), b(k) und c(k). Für a(k) und b(k) gilt a(k) ≤ b(k).
Gesucht ist ein über B erklärter Vektor y, der folgende Bedingungen erfüllt:
4) y ist Spannung in G.
5) Es gilt a(k) ≤ y(k) ≤ b(k) für k ∈ B.
6) y ist unter allen Vektoren, die die Bedingungen 1) und 2) erfüllen, einer der die Funktion
z(y) = ∑{c(k)·y(k) | k = 1, 2, ..., m} minimiert.
Für die Bogenparameter mögen auch hier die im Abschnitt 3.1 eingeführten Standards und
Festlegungen gelten: a(k) = 0, b(k) = ∞, c(k) = 0; a(-k) = -b(k), b(-k) = -a(k), y(-k) = -y(k), c(-k) = -c(k).
Ein Anwendungsfall für dieses Problem ist die kostenoptimale Kürzung des kritischen Weges
eines Aktivitätspfeilnetzes der Netzplantechnik. Wir haben das entsprechende Netzplanmodell im
Abschnitt 2.2 über längste Wege eingeführt:
Die Bogen des Netzplans stellen Teilprozesse – genannt Aktivitäten oder Vorgänge – eines
Gesamtprozesses dar. Die Knoten repräsentieren wichtige Zeitpunkte im Ablauf – genannt Ereignisse.
Über diese Ereignisse werden Abhängigkeiten zwischen den Aktivitäten realisiert: Kann die Aktivität
Aj erst beginnen, wenn die Aktivität Ai beendet ist. (Beispiel: Die Dachkonstruktion kann erst
begonnen werden, wenn ihre Stützkonstruktion fertig ist.), so ist das Ereignis „Ende der Aktivität Ai“
identisch mit dem Ereignis „Begin der Aktivität Aj“. Das Netz bekommt genau einen Eingang Start
und genau einen Ausgang Ende. Start ist Anfangsknoten aller Bogen der Aktivitäten, die ohne
Vorbedingung begonnen werden können. Start ist Anfangsknoten aller Bogen der Aktivitäten, die
ohne Vorbedingung begonnen werden können.
Setzen wir für das Ereignis Start den Eintrittstermin auf 0, ordnen der Aktivität Ai eine Dauer d(i) zu
und unterstellen, dass jede Aktivität ohne Unterbrechung bearbeitet wird (et(i) = at(i) + d(i)), so können
wir für jeden Knoten i einen Relativtermin t(i) – relativ zum Start-Ereignis – berechnen, wobei
insbesondere der Termin t(Ende) die Dauer des Gesamtprozesses angibt. Da am Ende jede Aktivität
ausgeführt sein muss, ist t(Ende) die Länge des längsten Weges vom Start zum Ende.
Wir wollen in diesem Abschnitt unterstellen, dass die Dauer d(i) der Aktivität Ai kostenabhängig
variiert werden kann:
Aufgabe Für jede Aktivität Ai gibt es
• eine Normaldauer normD(i), die verkürzt werden kann bis auf
• eine Minimaldauer minD(i).
• Die Kürzung von normD(i) um eine Zeiteinheit kostet cD(i) Geldeinheiten - Kürzungspreis:
Ist d(i), minD(i) ≤ d(i) ≤ normD(i), die gewählte Dauer, so entstehen (Zusatz-)Kosten in Höhe von
cD(i)·(normD(i) - d(i)) Geldeinheiten.
Gesucht ist ein System d = (d(1), d(2), …, d(n)) so, dass ∑{cD(i)·(normD(i) - d(i)) | i = 1, 2, …, n)}
minimal ist.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 67
Die Lösung der Aufgabe kann mit einem Algorithmus zur kostenoptimalen Kürzung der
kritischen Weges nach Kelley erfolgen, der sich unmittelbar aus unserem Algorithmus zur Lösung
des Minimalkosten-Stromproblems ableiten lässt. Wir wollen das nachfolgend demonstrieren.
Wie beim Minimalkosten-Stromproblems wollen wir eine Eckpunktlösung ermitteln:
Definition Eine E c k p u n k t – oder B a s i s l ö s u n g des Minimalkosten-Spannungsproblems
ist ein zulässiges Potential t, das für k ∈ B’
t(EKn(k)) - t(AKn(k)) = a(k) oder t(EKn(k)) - t(AKn(k)) = b(k) erfüllt.
Dabei bezeichnet B’ die Bogenmenge eines Gerüstes im Graphen G = [K, B].
Im Folgenden bezeichnet y(k) die Potentialdifferenz: y(k) = t(EKn(k)) - t(AKn(k)).
Der Dualitätssatz der linearen Optimierung ist auch für diesen Fall die Grundlage des
Lösungsalgorithmus:
Satz (Dualitätssatz ) Gegeben sei eine Basislösung t des Minimalkosten-Spannungsproblems mit dem
Gerüst G’ = [K, B’]. Auf dem Cogerüst zu G’ definieren wir einen Strom durch x(k) = c(k) für
k∈ B\B’. t ist genau dann optimale Lösung, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Für k ∈ B’ gilt: Falls y(k) = a(k), so ist x(k) ≤ c(k) und, falls y(k) = b(k), so ist x(k) ≥ c(k).
Durch den Dualitätssatz wird für den Fall der Optimalität zu jedem Bogen k eine Abbildung,
x(k) = Char(y(k)), aus der Menge der zulässigen Werte y(k) in die Menge der zulässigen Werte x(k)
definiert. Man beachte, dass wir hier und im Folgenden zu Gunsten der Beibehaltung der
Bezeichnungen x für Strom und y für Spannung y als Abszisse und x als Ordinate sehen. Bild 3.17
zeigt
die
Abbildung
x(k)
=
Char(y(k))
als
Treppenfunktion
im
gedrehten
(y(k), x(k))-Koordinatensystem. Sie wird wieder als Charakteristik oder Gleichgewichtsgraph des
Bogens k bezeichnet.
Im rechten Teil der Abbildung ist die Charakteristik auf den Bereich 0 ≤ y(k) ≤ b(k) erweitert worden,
indem bei x(k) = -gross eine Stufe eingefügt wurde. Dies entspricht der im Abschnitt 3.2.2 geführten
Diskussion um zulässige Lösungen.
y(k)
y(k)
b(k)
b(k)
a_orig(k)
a(k)
x(k)
c(k)
x(k)
-gross
c(k)
Bild 3.17: Gleichgewichtsgraph oder Charakteristik eines Bogens k – rechts
erweitert
Definition Gilt für eine Lösung t des Minimalkosten-Spannungsproblems, einen Strom x und einen
Bogen k x(k) = Char(y(k)), so wollen wir sagen, k liegt auf seiner C h a r a k t e r i s t i k oder auch:
k befindet sich in einem Gleichgewichtszustand.
Andernfalls sagen wir, der Bogen ist o u t - o f - k i l t e r (außerhalb seines Gleichgewichts).
68 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
Mit diesem Begriff kann der Dualitätssatz wieder wie folgt formuliert werden:
Dualitätssatz
Ein Potential t ist genau dann optimale Lösung des MinimalkostenSpannungsproblems, wenn zu ihm eine Strom x derart existiert, dass jeder Bogen des Graphen auf
seiner Charakteristik liegt.
3.3.2
Gleichgewichts-Algorithmus zur Lösung des Problems der Kürzung des kritischen Wegs
Wir wollen uns im Weiteren auf den Anwendungsfall der kostenminimalen Kürzung des kritischen
Wegs beschränken: Das Netz sei also ein Aktivitätspfeilnetz; jeder seiner Bogen sei eine Aktivität für
die eine Charakteristik gilt, wie sie Bild 3.18.1 zeigt. Man beachte, dass auch weiterhin zu Gunsten der
Bezeichnung x für Strom und y für Spannung die Umkehrfunktion gezeigt wird. Die Spannung eines
Aktivitätsbogens muss mindestens gleich minD(i) sein, sie kann jedoch größer als normD(i) sein. Die
Kostenbewertung ist negativ,
∑{cD(i)·(normD(i) - d(i)) | i=1, 2, …, n} = const. + ∑{-cD(i)·d(i) | i=1, 2, …, n}.
Wird y(i) = t(EKn(i)) – t(AKn(i)) größer als normD(i), so sind die (Zusatz-)Kosten für Dauerkürzung an
der Aktivität gleich Null.
Wir fügen dem Netz einen Bogen vom Start-Knoten zum End-Knoten hinzu – den so genannten
Netzbogen. Diesem geben wir die im Bild 3.18.2 gezeigte Charakteristik.
y(i)
etN
pEtN
normD(i)
minD(i)
x(i)
xN
-cD(i)
Bild 3.18.1: Charakteristik der Aktivität
Bild 3.18.2: Charakteristik des Netzbogens
Algorithmus zur kostenoptimalen Kürzung des kritischen Weges nach Kelley:
a) Vorbereitungsschritt: Im Abschnitt 2.2 wurde erläutert, dass wir das Netz als kreisfrei
voraussetzen können. Folglich können wir problemlos eine Längste-Wege-Berechnung nach
Dantzig ausführen, wobei wir für jeden Bogen i als Bogenlänge normD(i) ansetzen. Diese
Rechnung liefert uns zur Lösung t ein Gerüst – das der längsten Wege – und sie kann durch den
Kostenstrom x = 0 ergänzt werden. Damit haben wir eine zulässige Lösung der Aufgabe, und
zwar die, die den längsten kritischen Weg hat, dafür aber die geringsten Kosten = 0. Alle Bogen,
einschließlich des Netzbogens, sind im Gleichgewicht.
b) Kürzungsschritt:
Im Sinne einer parametrischer Optimierung (vgl. Abschnitt 3.2.5) stören wir das Gleichgewicht
des Netzes, indem wir die Charakteristik des Netzbogens dadurch ändern, dass wir uns einen
geplanten Endtermin, pEtN, für das Netz vorgegeben denken. Dieser gedachte Vorgabe
entspricht im Bild 3.18.2 die gestrichelt gezeichnete Horizontale. Wenn wir unterstellen, dass der
errechnete Endtermin für das Netz, etN, oberhalb der gedachten Planvorgabe liegt, etN < pEtN, so
ist der Netzbogen nicht mehr in einem Gleichgewichtszustand, wenn wir die Vorgabe einhalten
wollen. Wir korrigieren daher die gegebene Lösung wie folgt:
• Wir maximieren den Fluss durch den Basiszyklus zum Netzbogen, unter den Bedingungen
–cD(i) ≤ x(i) für alle Aktivitäten Ai. kFlusskrit sei der Bogen, der das Maximum bestimmt.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 69
•
Wir minimieren die y(kFlusskrit) im Basiscozyklus zu kFlusskrit. kSpannkrit sei der
Bogen, der das Minimum bestimmt.
• kFlusskrit wird aus dem Gerüst entfernt, kSpannkrit wir in das Gerüst aufgenommen.
• Der Prozess wird solange wiederholt bis es keine Beschränkung für den Fluss durch den
Netzbogen mehr existiert.
Erläuterung: Der aktuelle Basiscozyklus zu kFlusskrit ist der aktuell billigste Schnitt durch das
Netz – Schnitt kleinster Kapazität zum Netzbogen, Kapazität = ∑{cD(i) | Ai im Schnitt}. Seine
Kapazität ist nach dem Satz von Ford und Fulkerson (vgl. Abschnitt 3.2.4) gleich dem maximalen
Fluss durch den Netzbogen, so dass der Fluss x(Netzbogen) den aktuellen Netzkürzungspreis
angibt.
Wir demonstrieren den Algorithmus an dem folgenden Beispiel – Tabelle 3.8 und Bild 3.19.
Aktivität
A1
A2
A3
A4
A5
Voraussetzung
A1
A1 und A2
A4
normD
8
6
10
5
4
minD
5
4
6
3
2
cD
4
3
6
1
8
Tabelle 3.8
1
8d = 8,
cD = 4, x = -4
Start
0
d = 10,
cD = 6, x = -4
d = 0, x = 0
Ende
18-
d = 6,
cD = 3, x = 0
d = 4,
cD = 8, x = 0
2
8d = 5,
cD = 1, x = 0
3
13-
x=4
Bild 3.19.1: Beispiel für die kostenminimale Kürzung des kritischen Wegs
Im Bild 3.19.1 ist der Vorbereitungsschritt ausgeführt und es wurde die erste Flussmaximierung längs
des Zyklus [[Start, Ende], [-1, Ende], -[Start, 1]] vorgenommen; x([Start, Ende]) = 4, d.h. die Kürzung
von t(Ende) = 18 kostet 4 Geldeinheiten pro Zeiteinheit: Um zu kürzen, kann man den Schnitt
S([Start, Ende]) = {[Start, 1], [Start, 2]} kürzen. Die Kürzung von [Start, 1] kostet 4 Geldeinheiten pro
Zeiteinheit, [Start, 2] hat 2 Zeiteinheiten Puffer, dessen Kürzung keine Kosten verursacht.
70 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
1
6d = 10,
cD = 6, x = -4
d = 6,
cD = 4, x = -4
Start
0
d = 0, x = 0
Ende
16-
d = 6,
cD = 3, x = 0
d = 4,
cD = 8, x = 0
2
6
d = 5,
cD = 1, x = 0
3
11
x=4
Bild 3.19.2: Beispiel für die kostenminimale Kürzung des kritischen Wegs
In dem geänderten Netz, Bild 3.19.2, lässt sich x([Start, Ende]) = 4 zunächst nicht erhöhen, denn in
seinem Basiszylus liegt -[1, 2]. Die so genannte Scheinaktivität [1, 2] ist nötig, um die Vorbedingungen
der Aktivität A3 zu sichern. Man vergleiche zu diesem Thema das folgende Kapitel 5.1. Für eine
Scheinaktivität gilt normD = minD = 0 und damit hat sie die gleiche Charakteristik wie der Netzbogen.
x([1, 2]) ≤ 0 und damit kFlusskrit = -[1, 2]. Die billigste Kürzung erfolgt im Schnitt
Das bedeutet,
S([Start, Ende]) = {[Start, 1], -[1, 2], [2, Ende]}. Gekürzt wird auch der Puffer von
[3, Ende] = kSpannkrit.
1
5d = 5,
cD = 4, x = -4
Start
0
d = 10,
cD = 6, x = -4
d = 0, x = 0
Ende
15-
d = 6,
cD = 3, x = -1
d = 4,
cD = 8, x = -1
2
6
d = 5,
cD = 1, x = -1
3
11-
x=5
Bild 3.19.3: Beispiel für die kostenminimale Kürzung des kritischen Wegs
In
der
neuen
Situation
-
Bild
3.19.3 konnte x([Start, Ende]) längs des Zyklus
[[Start, Ende], [Start, 2], [2, 3], [3, Ende]] auf 5 erhöht werden; kFlusskrit = [2, 3],
S([Start, Ende]) = {[Start, 1], -[1, 2], [2, 3]}; Kürzungsmöglichkeit gleich 0, bei kSpannkrit = [Start, 1];
A1 hat minD = 5 erreicht.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 71
1
5
d = 10,
cD = 6, x = -6
d = 5,
cD = 4, x = -6
Start
0
d = 0, x = 0
Ende
15-
d = 6,
cD = 3, x = -1
d = 4,
cD = 8, x = -1
2
6
d = 4,
cD = 1, x = -1
3
10-
x=7
Bild 3.19.4: Beispiel für die kostenminimale Kürzung des kritischen Wegs
In der Situation Bild 3.19.4 wurde x([Start, Ende]) auf 7 längs des kritischen Wegs
[[Start, 1], [1, Ende]] erhöht; kFlusskrit = [1, Ende], S([Start, Ende]) = {[1, Ende], [2, 3]};
Kürzungsmöglichkeit gleich 2, bei kSpannkrit = [2, 3]; A4 erreicht minD(4) = 3.
1
5
d = 5,
cD = 4, x = -6
Start
0
d = 8,
cD = 6, x = -6
d = 0, x = 0
Ende
13-
d = 6,
cD = 3, x = -3
d = 4,
cD = 8, x = -3
2
6d = 3,
cD = 1, x = -3
3
9-
x=9
Bild 3.19.5: Beispiel für die kostenminimale Kürzung des kritischen Wegs
In der Situation Bild 3.19.5 wurde x([Start, Ende]) auf 9 über den kritischen Weg
[[Start, 2], [2, 3], [3, Ende]] erhöht; kFlusskrit = [Start, 2],
S([Start, Ende]) = {[1, Ende], [1, 2], [Start, 2]}; Kürzungsmöglichkeit
kSpannkrit = [1, 2].
gleich 1, bei
72 Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung
1
5
d = 7,
cD = 6, x = -6
d = 5,
cD = 4, x = -11
Start
0
d = 0, x = -5
Ende
12-
d = 5,
cD = 3, x = -3
d = 4,
cD = 8, x = -8
2
5
d = 3,
cD = 1, x = -8
3
8
x = 14
Bild 3.19.6: Beispiel für die kostenminimale Kürzung des kritischen Wegs
In der Situation Bild 3.19.6 wurde x([Start, Ende]) auf 14 über den kritischen Weg
[[Start, 1], [1, 2], [2, 3], [3, Ende]] erhöht; kFlusskrit = [3, Ende],
S([Start, Ende]) = {[1, Ende], [3, Ende]}; Kürzungsmöglichkeit gleich 1, bei kSpannkrit = [1, Ende];
A3 erreicht minD(2) = 6.
1
5
d = 5,
cD = 4, x = -6 + λ
Start
0
d = 6,
cD = 6, x = -6 + λ
d = 0, x = 0
Ende
11
d = 5,
cD = 3, x = -8
2
5
d = 3,
cD = 1, x = -8
d = 3,
cD = 8, x = -8
3
x = 14 + λ
Bild 3.18.7: Beispiel für die kostenminimale Kürzung des kritischen Wegs
In der Situation Bild 3.19.7 kann x([Start, Ende]) über den kritischen Weg
[[Start, 1], [1, Ende]] beliebig erhöht werden, λ ≥ 0, d.h., der kritische Weg kann nicht weiter verkürzt
werden, 11 ist die minimale Projektdauer.
Man kann die Ergebnisse des Kürzungsprozesses in der Projektdauer-Kosten-Funktion
zusammenfassen, deren Graph Bild 3.19.8 zeigt.
Kapitel 3: Minimalkosten-Strom- und Spannungsoptimierung 73
Kürzungskosten
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Projektdauer
11 12 13 14 15 16 17 18
Bild 3.19.7: Projektdauer-Kosten-Funktion
Diese Funktion ist ein nahezu ideales Instrument für Planungen: Mit ihr kann der Projektausführende
in Verhandlungen mit seinem Auftraggeber gehen und zu jedem Wunsch bezüglich Ausführungsdauer
sofort den Preis nennen – hinter dem ein ausführbarer Ablaufplan steht.
Leider sind die realen Verhältnisse selten so ideal: Die Dauer einer Aktivität ist in der Regel von der
Menge der zum Einsatz kommenden Ressourcen (Arbeitskräfte, Maschinen usw.) abhängig. Dieselben
Arbeitskräfte und Maschinen, die eine fixierte Aktivität ausführen, führen in der Regel aber auch
weitere Aktivitäten aus, so dass die Einsatzkosten nicht so einfach auf eine Aktivität umgeschlagen
werden können. Folglich stehen die hier vorausgesetzten Dauer-Kosten-Funktionen für jede einzelne
Aktivität in der Regel nicht zur Verfügung.
Mit den Problemen des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen beschäftigt sich Kapitel 5.
74 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
4.
Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
4.1
Motivierung und Aufgabenstellung
Zur Motivierung der folgenden mathematischen Untersuchungen betrachten wir eine
Anwendungsaufgabe aus dem Bereich zeitabhängiger Produktionsmengenplanungen:
Gegeben sind
1. eine Anzahl gleichartiger Anlagen, die in „Rüstzustände“ Z1, Z2, …, Zm gebracht werden können
2. Vorgaben pit für die Produktion der Anlagen, i = 1, 2, …, m in Zeitabschnitten t = 1, 2, …, T.
Bei den Anlagen könnte es sich z.B. um so genannte „numerisch gesteuerte Werkzeugmaschinen“
handeln, die per Programm zu ganz verschiedenen Produktionen fähig sind, die hier als Rüstzustände
Zi bezeichnet werden. Zi symbolisiert also ein produziertes Warenprofil und pit sei eine zugehörige
Mengenangabe - wie etwa, eine Anlage produziert im Zustand Zi während einer ProduktionsZeiteinheit (Tag, Woche, Monat, …) 100 Werkstücke der Sorte Wi.
Eine Vorgabe pit bezieht sich auf den vorgesehenen Absatz der Produktion und somit auf
Produktmengen. Im Sinne der Vereinfachung der Modellierung wollen wir die Vorgabe pit durch die
Anzahl der Anlagen messen, deren Produktion im Rüstzustand Zi am Ende der t-ten ProduktionsZeiteinheit geliefert werden soll. Zu Beginn des Betrachtungszeitraums mögen vi der insgesamt
verfügbaren Anlagen im Rüstzustand Zi, i = 1, 2, …, m, sein.
Wir modellieren die Aufgabe als ein Minimalkosten-Stromproblem – vgl. Bild 4.1 – bei dem Anlagen
von einem Rüstzustand in einen anderen und von einer Produktions-Zeiteinheit zur nächsten „fließen“:
• In dem matrixartigen Schema Bild 4.1 stellen die Zeilen mit den Knoten Ait und Eit bei fixiertem
i = 1, 2, …, m die Zustände Zi dar und ein Bogen [Ait, Eit] die Produktions-Zeiteinheit t = 1, 2, …, T;
Ait steht für Anfang und Eit für Ende der Produktions-Zeiteinheit t.
• x([Q, Ei0]) ≤ vi Anlagen gehen mit dem Rüstzustand Zi in den Produktionskreislauf. An den Knoten
Eit kann diese Anzahl korrigiert werden, indem ein Teil dieser Anlagen in einen anderen
Rüstzustand umgerüstet wird – Flüsse x([Eit, Aj(t+1)]), j ≠ i – oder indem Anlagen, die sich in einem
anderen Rüstzustand befinden, auf Zi umgerüstet werden – Flüsse x([Ejt, Ai(t+1)]), j ≠ i.
Umrüsten ist mit Kosten verbunden, die entsprechend als c-Werte zu diesen Bogen gehören.
• Die Anlagen, die sich zu Beginn der t-ten Produktions-Zeiteinheit im Rüstzustand Zi befinden,
können entweder produzieren – Fluss x([Ait, Eit]Prod) – oder still stehen – Fluss x([Ait, Eit]).
Die tiefgestellte Bezeichnung an einer rechten Bogenklammer ist als Zusatz zur
Bogenbezeichnung zu verstehen, mit der parallele Bogen unterschieden werden.
• Die Produktionsergebnisse können gemäß Plan pit ausgeliefert oder auch gelagert werden.
Lagerung verursacht Lagerkosten.
Um Auslieferung und Lagerung zu modellieren, erzeugen wir zu dem Hauptnetz eine Reihe von
Hilfsnetzen, die mit dem Hauptnetz verbunden werden müssen:
• Zu jedem der Bogen x([Ait, Eit]Prod gehört ein zusätzliches Netz, das im Bild 4.1 für x([A12, E12])Prod
stellvertretend skizziert ist und folgendes modellieren soll: Es sei x([Q12, S12]Lager) die Menge an
produzierter Ware aus dem Rüstzustand Z1, die in der Produktions-Zeiteinheit 1 ( allgemein in
einer früheren Produktions-Zeiteinheit) produziert und während der Produktionszeiteinheit 2
gelagert wurde. Unter der Voraussetzung, x([Q12, S12]Prod) = x([A12, E12]Prod)
ist x([Q12, S12]Prod) + x([Q12, S12]Lager) die verfügbare Ware des Profils Z1 am Ende der ProduktionsZeiteinheit 2.
Diese Menge wird neu aufgeteilt in Ware, die gemäß Plan ausgeliefert werden muss – p12
Einheiten – und solche, die in der nächsten Produktions-Zeiteinheit gelagert
wird
– x([S12, Q12]Lager).
Es muss also gelten, x([Q12, S12]Lager) = x([S11, Q11]Lager), x([Q13, S13]Lager) = x([S12, Q12]Lager) usw.
Zu den mit „Lager“ gekennzeichneten Bogen gehören Lagerhaltungskosten (c-Werte), die Sortenund Zeit-abhängig sein können. Zu den nicht weiter gekennzeichneten Bogen [S12, Q12], die die
Auslieferung von Waren repräsentieren, gehören die zu erwartenden Gewinne / Preise (negative
c-Werte) oder c = -gross, wobei gross eine große Zahl ist, die zur Produktionsstimulierung dient.
Die mit Prod gekennzeichneten Bogen könnten die Produktionskosten als c-Werte erhalten, die
ebenso wie die Umrüst- und Lagerkosten sowohl Sorten- als auch Zeit-abhängig sein können.
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 75
Das Netz, das die Aufgabe modelliert, besteht aus m·T+1 zusammenhängende Komponenten. In ihm
ist ein Minimalkosten-Stromproblem zu lösen, das allerdings die Zusatzforderungen, Flüsse in Bogen
mit dem gleichen Kennzeichen sind gleich, erfüllen muss – im Bild wurden den Kennzeichen Prod
und Lager noch Bogenidentifikationen angefügt.
A11
E10
E11
A12
Prod11
E12
Prod12
b = v1
Q
b = v2
E21
A21
E20
E22
A22
Prod21
Prod22
b = v3
A31
E30
E31
A32
E32
Prod32
Prod31
b=n
Prod11
S11
Q11
Lager12
b = p11, c = -gross
Prod12
Q12
Lager12
S12
Lager13
b = p12, c = -gross
Bild 4.1: Ein Modell der zeitabhängigen Produktionsmengenplanung
Wir verallgemeinern den Bedarf an Modellierungsinstrumentarien, den das Beispiel zeigt, zu der
folgenden Aufgabenstellung:
76 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen
Gegeben ist eine Datenstruktur vom Typ tNetz, bestehend aus einem gerichteten Graphen G = [K, B]
und über B erklärten Funktionen a(k), b(k), c(k), Partner(k) und f(k). a(k), b(k), c(k) und f(k) sind reell,
während Partner(k) ∈ {1, 2, …, m}. Für a(k) und b(k) gilt a(k) ≤ b(k).
Gesucht ist ein über B erklärter Vektor x, der folgende Bedingungen erfüllt:
7) x ist Strom in G.
8) Es gilt a(k) ≤ x(k) ≤ b(k) für k ∈ B.
9) x ist unter allen Vektoren, die die Bedingungen 1) und 2) erfüllen, einer, der die Funktion
z(x) = ∑{ c(k)·x(k) | k = 1, 2, ..., m} minimiert.
10) Es gilt Partner(Partner(k)) = k und f(k)·x(k) = f(Partner(k))·x(Partner(k)) für k ∈ B.
Folgende Festlegungen ergänzen diese Aufgabestellung:
•
Standard für die Kopplung ist, Partner(k) = k, f(k) = ½. Bogen, für die dieser Standard gilt, nennen
wir ungekoppelt.
•
Partner(-k) = -Partner(k), f(-k) = f(k).
In vielen Anwendungen besteht der Wunsch drei und mehr Bögen miteinander zu koppeln. Das ist
sehr leicht möglich, indem man den Bogen k = [AKn, EKn] in die aufeinander folgenden Bogen
k1 = [AKn, HKn1], …, ke = [HKne, EKn] zerlegt. Auf Grund der Strombedingung gilt,
x(k) = x(k1) = x(k2) = …. Man kann nun k1, k2, … verschiedene Partner geben, und es gilt,
f(k)·x(k) = f(Partner(k1))·x(Partner(k1)) = f(Partner(k2))·x(Partner(k2)) = …, d.h., alle diese Partner sind
mit k gekoppelt.
Die Kopplung von Bogen durch die Auflage, dass ihre Flüsse proportional sind, ermöglicht es, einer
Minimalkosten-Stromaufgabe beliebige lineare Nebenbedingungen hinzuzufügen:
Gegeben seien ein gewöhnliches Minimalkosten-Stromproblem und dazu die folgende
Zusatzbedingung: Für die Flüsse der Bogen k1, k2, …, kr besteht die Forderung,
a1(k1) ·x(k1) + a2(k2) ·x(k2) + … + ar(kr) ·x(kr) ≤ bN.
Um die Forderung zu realisieren fügen wir dem bestehende Netz eine zweite zusammenhängende
Komponente hinzu – vgl. Bild 4.2: Diese besitzt die Knoten QN und SN, r parallele Bogen [QN, SN]i
für i = 1, 2, …, r sowie den Rückkehrbogen [SN, QN].
1
2
QN
SN
r
b = bN
Bild 4.2: Zusatznetz für eine lineare Ungleichung als Zusatzbedingung
Für Bogen ki gilt, Partner(ki) = [QN, SN]i, f(ki) = ai(ki);
für Bogen [QN, SN]i gilt, Partner([QN, SN]i) = ki, f([QN, SN]i) = 1.
Folglich gilt für den Rückkehrbogen,
x[SN, QN] = ∑{x([QN, SN]i) | i = 1, 2, …, r} = ∑{ai(ki) ·x(ki) | i = 1, 2, …, r} und über die Flussschranke
b([SN, QN]) = bN realisieren wir die Zusatzforderung.
In ähnlicher Weise können wir ein vollständiges lineares Optimierungsproblem auf ein
Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen abbilden:
Wir erzeugen ein Hauptnetz, das für jede Variable xj, j = 1, 2, …, r einen Weg aus m Bogen enthält
– vgl. Bild 4.3. Jeder dieser Bogen [Knji, Knj(i+1)] wird von dem Fluss xj durchflossen:
x([Knji, Knj(i+1)]) = xj.
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 77
Nun wird für jede Nebenbedingung ai1·x1 + ai2·x2 + … + ain·xn ≤ bi ein Zusatznetz nach dem oben
gegeben Schema – Bild 4.2 – angelegt, mit den Knoten QNi, SNi, i = 1, 2, …, m.
Kopplung: Partner([Knji, Knj(i+1)]) = [QNi, SNi]j), f([Knji, Knj(i+1)]) = aij,
Partner([QNi, SNi]j)
= [Knji, Knj(i+1)], f([QNi, SNi]j)
= 1.
Folglich gilt, aij·x[Knji, Knj(i+1)]) = [QNi, SNi]j) oder aij·xj = x[QNi, SNi]j).
Damit folgt aus der Strombedingung ∑{x([QNi, SNi]j) | j = 1, 2, …, n} = x[SNi, QNi] folgt
∑{ aij·xj | j = 1, 2, …, n} = x[SNi, QNi], für i = 1, 2, …, m.
Mit dem im Bild 4.3 angegebenen Zielfunktionskoeffizienten ergibt sich die
Minimierung der Funktion ∑{cj·xj | j = 1, 2, …, n}
unter den Bedingungen
∑{aij·xj | j = 1, 2, …, n} ≤ bi, für i = 1, 2, …, m ,
xj ≥ für j = 1, 2, …, n.
Kn11
Kn12
Kn1(n+1)
Kn21
Kn22
Kn2(n+1)
c = c1
Q
c = c2
Q
c = cn
Knm1
Knm2
Knm(n+1)
n
c = -gross
Bild 4.3: Hauptnetz für die Modellierung einer linearen Optimierungsaufgabe
Natürlich kann es nicht Sinn und Zweck dieser Betrachtungen sein, jede lineare Optimierungsaufgabe
als Aufgabe vom Typ Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen bearbeiten zu wollen.
Aber die klassische Transportaufgabe ist eine lineare Optimierungsaufgabe, die sich auf Grund ihrer
Struktur besonders leicht und elegant lösen lässt. Es geht also darum, auszuloten, wie weit sich diese
Leichtigkeit und Eleganz für etwas komplexere Aufgaben retten lässt. Die Möglichkeit der
Modellierung jeder linearen Optimierungsaufgabe als Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
demonstriert die Stärke des Modells und gibt dem Modellierer
• zum einen die Sicherheit: Falls er glaubt, eine solche Problemmodellierung sei zweckmäßig, so
gelingt sie auch
• zum anderen das Wissen, dass die algorithmische Leichtigkeit der Lösung des originalen
Minimalkosten-Stromproblems sich sicher nicht beliebig auf allgemeine Probleme mit Kopplung
ausdehnen lässt, sondern ihre Grenzen dort findet, wo die Verflechtung der Variablen in
allgemeinen linearen Restriktionen zu stark wird.
Ein besonderer, leichter Fall – im Sinne der Nähe zum Problem ohne Kopplung - ist die Modellierung
von Sammlern und Verteilern:
Ein Sammlerknoten – kurz: Sammler – ist ein Knoten, dessen Eingangsflüsse in definierten
Proportionen zum Ausgangsfluss stehen. Beispielsweise in einem Modell für den Transport von
Frischbeton, in dem auch der Transport der Materialien Sand und Zement mitoptimiert wird, müsste
man die Betonmischstation mit einem Eingang für Sand und einem Eingang für Zement versehen und
die eingehenden Flüsse in ein Verhältnis setzen, das dem durchschnittlichen Mischverhältnis
entspricht – z.B. 1:5: Es soll, bezogen auf Bild 4.4, für vorgegebene Werte s1, s2, …, se-1 gelten:
x([E1, SE]) = 1/s1·x([SE, SA]), x([E2, SE]) = 1/s2·x([SE, SA]), …, x([Ee-1, SE]) = 1/se-1·x([SE, SA]).
Gesetzmäßig gilt dann x([Ee, SE]) = (1 - 1/s1 – 1/s2 - … - 1/se-1)·x([SE, SA]).
Um das zu erreichen muss [SE, SA] durch einen Weg aus Hilfsbogen ersetzt werden,
[SE, H1], [H1, H2], …, [He-1, SA], und die Bogen dieses Weges werden wie folgt gekoppelt:
Partner([SE, H1]) = [E1, SE], f([SE, H1]) = s1, f([E1, SE]) =1,
Partner([H1, H2]) = [E2, SE], f([H1, H2]) = s2, f([E2, SE]) =1,
…,
Partner([He-2, He-1]) = [Ee-1, SE], f([He-2, He-1]) = se-1, f([Ee-1, SE]) = 1.
78 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
Analog ist ein Verteilerknoten – kurz: Verteiler – ein Knoten, dessen Ausgangsflüsse in definierten
Proportionen zum Eingangsfluss stehen müssen.
E1
A1
1:s1
v1:1
1:s2
E2
A2
v2:1
SE
SA
VA
VE
Ee
Ae
Bild 4.4: Modell für einen Sammler und für einen Verteiler
Wir demonstrieren die Zusammenhänge an einem einfachen Zahlenbeispiel – vgl. Bild 4.5: Im Knoten
Verteiler soll die Hälfte des ankommenden Flusses zum Knoten Kn4 gehen und die andere Hälfte zu
gleichen Teilen nach den Knoten Kn2 und Kn3.
Im Knoten Sammler soll je ein Drittel des abgehenden Flusses von den Knoten Kn1, Kn2 und Kn3
kommen.
Die Kopplungen Partner([Kn1, H]) = [Verteiler, Kn2], f([Kn1, H]) = 4, f([Verteiler, Kn2]) = 1,
und Partner([H1, Verteiler]) = [Verteiler, Kn4], f([H, Verteiler]) = 2, f([Verteiler, Kn2]) = 1,
bzw. Partner([Kn1, Sammler]) = [Sammler, Kn4], f([Kn1, Sammler]) = 1, f([Sammler, Kn4]) = 3
leisten das, wobei berücksichtigt wurde, dass die Flüsse x([Kn2, Sammler]) und x([Kn3, Sammler])
gleich sind (je ¼x([Verteiler, Kn4])), sodass aus
x([Kn1, Sammler]) + x([Kn2, Sammler]) + x([Kn1, Sammler]) = x([Sammler, Kn4]) und
3x([Kn1, Sammler]) = x([Sammler, Kn4]) auch 3x([Kn2, Sammler]) = x([Sammler, Kn4]) und
3x([Kn3, Sammler]) = x([Sammler, Kn4]) folgen.
2:1
Kn1
Verteiler
H
Kn4
4:1
Kn3
Kn2
Sammler
3:1
Bild 4.5: Beispiel mit einem Verteiler und einem Sammler
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 79
4.2
Theoretische Grundlagen für die Lösung des Minimalkosten-Stromproblems mit
Kopplungen
Das Ziel der folgenden Ausführungen ist es, die mathematischen und algorithmischen Erkenntnisse
auf das neue Problem so zu übertragen, dass das gewöhnliche Minimalkosten-Stromproblem
automatisch als Sonderfall erscheint.
Zunächst halten wir fest, dass durch die Kopplung der Flüsse auch deren Schanken gekoppelt sind:
f(k)⋅a(k) = f(Partner(k))⋅a(Partner(k)) und f(k)⋅b(k) = f(Partner(k))⋅b(Partner(k)) sind sinnvolle
Voraussetzungen an diese Parameter, weil damit aus a(k) ≤ x(k) ≤ b(k) auch
a(Partner(k)) ≤ x(Partner(k)) ≤ b(Partner(k)) folgt.
Der Begriff der Basislösung, auf den wir den Algorithmus wieder abstützen wollen, überträgt sich wie
folgt:
Definition Eine B a s i s l ö s u n g des Minimalkosten-Stromproblems mit Kopplungen ist ein
zulässiger Strom, der durch Vorgaben x(k) = a(k) oder x(k) = b(k) oder
x(k) = f(Partner(k))⋅x(Partner(k)) / f(k) für k ∈ B\B’ eindeutig bestimmt ist, wobei B’ die
Bogenmenge eines Gerüstes im Graphen G = [K, B] bezeichnet.
B’ darf von jedem Paar gekoppelter Bogen höchstens einen Bogen enthalten.
Bei dieser Übertragung ist der letzte Satz wichtig, der sich einfach ergibt, weil zwischen gekoppelten
Bogen die Flussgleichung besteht, deren Einhaltung sich auf die Menge der Cogerüstbogen, die
Gleichungs-Restriktionen repräsentieren, auswirkt.
Der zweite wichtige theoretische Zusammenhang ist der Dualitätssatz. Im Dualitätssatz treten die
beiden gekoppelten Bogen gemeinsam auf. Wir bilden dazu folgende Größen:
C(k) = f(Partner(k))⋅c(k) + f(k)⋅c(Partner(k))
Y(k) = f(Partner(k))⋅y(k) + f(k)⋅y(Partner(k)).
Man beachte, dass neben C(Partner(k)) = C(k) und Y(Partner(k)) = Y(k) für alle Bogen, für
ungekoppelte Bogen, d.h. für Partner(k) = k und f(k) = 1/2, C(k) = c(k) und Y(k) = y(k) gelten.
Mit den Größen C(k) und Y(k) lautet der Dualitätssatz – ohne Beweis:
Dualitätssatz Gegeben sei eine Basislösung x des Minimalkosten-Stromproblems mit Kopplungen
zu der das Gerüst G’ = [K, B’] gehört. Auf G’ definieren wir eine Spannung durch Y(k) = C(k) für
k∈ B’.
x ist genau dann optimale Lösung, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Für k ∈ B\B’ gilt: Falls x(k) = a(k), so ist Y(k) ≤ C(k) und, falls x(k) = b(k), so ist Y(k) ≥ C(k).
Die Formulierung des Satzes besticht durch die Analogie zum einfachen Ausgangsproblem. Die
Einfachheit täuscht jedoch etwas, was man schon erkennt, wenn man ein zu einem Gerüst
„zugehöriges“ Potential – wie wir im Kapitel 3 formuliert haben – bilden will. Wir betrachten dazu
das folgende
Beispiel Dem Graphen im Bild 4.5 fügen wir die Standardparameter – a(k) = 0, b(k) = ∞,
c(k) = 0 – hinzu, mit den Ausnahmen, b([Kn4, Kn1])) = 50, c([Kn4, Kn1])) = -1.
Nun wählen wir die Ausgangslösung x = 0 und ein beliebiges Gerüst – vgl. Bild 4.6. Die Bestimmung
des zum Gerüst (fette Bogen) zugehörigen Potentials x, auf dessen Bogen also Y(k) = C(k) erfüllt ist,
verläuft beispielsweise wie folgt:
80 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
t(Kn1) = 0; t(Kn4) = 1 wegen t(Kn4) – t(Kn1) = -1;
t(Sammler) = 3/2 wegen 3(t(Kn4) – t(Sammler)) + t(Sammler) – t(Kn1) = 0;
t(Kn2) = t(Kn3) = 3/2;
t(Verteiler) = 3/2 und t(H) = 0 wegen 4t(H) + (3/2 - 3/2) = 0.
Es zeigt sich, dass bei diesem Beispiel alle Bogen außer Bogen [H, Verteiler] und [Verteiler, Kn4] in die
Potentialberechnung einbezogen sind. Dieses Bogenpaar ist out-of-kilter:
Y([H, Verteiler]) = 5, C([H, Verteiler]) = 0, ¬(Y([H, Verteiler]) ≤ C([H, Verteiler])) obwohl
x([H, Verteiler]) = 0.
2:1
Kn1
0
H
0
Kn4
1
Verteiler
3/2
4:1
Kn2
3/2
Kn3
3/2
Sammler
3/2
1:3
b = 50, c = -1
Bild 4.6: Beispiel für die Bestimmung eines zugehörigen Potentials
Zum Abschluss der theoretischen Betrachtungen ein Blick auf die Frage nach der Lösbarkeit einer
konkreten Aufgabe:
Ein Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen ist zunächst ein Minimalkosten-Stromproblem und
unterliegt als solches den im Kapitel 2 genannten Lösungsbedingungen. Dort wurde empfohlen in der
Lösungspraxis alle Lösbarkeitsprobleme zunächst zu umgehen, indem man an Stelle positiver unterer
Fluss-Schranken erweiterte Preisfunktionen benutzt, also die Einhaltung der original gegebenen
unteren Schranken nur zu stimulieren statt zu fordern. Wir unterstellen, dass auch die hier betrachtete
erweiterte Aufgabenstellung so gehandhabt wird. Da das zusätzliche System aus
Kopplungsgleichungen ein homogenes Gleichungssystem ist, besitzt es immer mindestens die triviale
Lösung x = 0, und somit enthält der zulässige Bereich jeder konkreten Aufgabe auch im Fall des
Minimalkosten-Stromproblems mit Kopplungen die Lösung x = 0. Die Aufgabe ist also zunächst
lösbar, und Einschränkungen können an Hand der optimalen Lösung mit Bezug auf Datenfehler
diskutiert werden.
Satz Ein Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen ist genau dann lösbar, wenn das zugrunde
liegende gewöhnliche Minimalkosten-Stromproblem lösbar ist.
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 81
4.3
Ein Lösungsalgorithmus für das Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen (MKSK)
Wie schon gesagt, sind wir bestrebt, den im Abschnitt 3.2.4 angegebenen Algorithmus auf die neuen
Bedingungen zu übertragen. Wir zitieren deshalb den dort angegeben Algorithmus:
1. Vorbereitung
1.3 Gerüst aufstellen, so dass für die Cogerüstbogen k der Fluss x(k) durch a(k) oder b(k) bestimmt
ist. Im Folgenden: x = 0.
1.4 Wir bestimmen über das Gerüst ein zugehöriges Potential so, dass y(k) = c(k) auf jedem
Gerüstbogen gilt.
Im Folgenden: Dijkstra-Algorithmus der kürzesten Wege mit Start = EKn(Rückkehrbogen),
falls ein Rückkehrbogen existiert – in den meisten Transportmodellen.
3. Test, ob es einen Bogen k gibt, der bezüglich seiner Charakteristik out-of-kilter ist. Gibt es einen
solchen Bogen kOut – andernfalls ist x eine optimale Lösung – so werden folgende Schritte
ausgeführt:
Solange ook(kOut) = true:
2.1 Bildung von z(kOut) (= Basiszyklus zum Cogerüstbogen kOut) und
dx = Min{b(k) – x(k): k ∈ z(kOut)}; kFlusskrit sei ein Bogen, der das Minimum annimmt;
x := x + dx⋅z(kOut));
Ist kFlusskrit ≠ kOut, so
2.2 Bildung von cz(kFlusskrit) (= Basiscozyklus zum Gerüstbogen kFlusskrit);
dy = Min{c(k) – y(k): k ∈ cz(kFlusskrit) & (x(k) = a(k)) & ⌐ook(k)};
y := y +dy⋅cz(kFlusskrit));
kSpannkrit sei ein Bogen, der das Minimum annimmt.
3.1 Ist kSpannkrit ≠ kFlusskrit, so wird im Gerüst kFlusskrit durch kSpannkrit ersetzt.
Zu 1. Vorbereitung: Im vorherigen Abschnitt haben wir bereits gesehen, dass nicht jedes Gerüst für
eine Basislösung des Minimalkosten-Stromproblems mit Kopplungen geeignet ist, sondern in einem
geeigneten Gerüst darf von jedem Paar gekoppelter Bogen höchstens ein Bogen vertreten sein. Im
Zusammenhang damit muss neben x(k) = a(k) und x(k) = b(k) jetzt auch x(k) = x(Partner(k)) als
Bedingungsgleichung eingesetzt werden – für gekoppelte Bogen. Außerdem wird das zugehörige
Potential jetzt über die Bedingungen Y(k) = C(k) bestimmt.
Wir brauchen also einen Algorithmus zur Bestimmung eines Gerüsts zur Startlösung x = 0 und des zu
diesem Gerüst bezüglich der Bedingungen Y(k) = C(k) gehörenden Potentials t. Diese Aufgabe kann
sehr gut ein dem Dijkstra-Algorithmus der Bestimmung der kürzesten Wege ähnlicher Algorithmus
leisten:
4.3.1 Algorithmus zur Bestimmung eines Gerüsts zur Startlösung x = 0 und des zugehörigen
Potentials
•
•
Kn1 sei der Endknoten des Rückkehrbogens, sofern die Aufgabe einen Rückkehrbogen besitzt,
andernfalls ein beliebiger Knoten: setT(Kn1, 0) = 0; initStzBg(Kn1) und K’ = {Kn1};
bilde CZ(K’) und ermittle für k ∈ CZ(K'):
o falls Partner(k) = k: t(EKn(k)) = t(AKn(k)) + c(k); K’ = K’ + {EKn(k)}; setStzBg(EKn(k), k);
wiederhole solange K’ ≠ K;
o falls (Partner(k) ≠ k) & (EKn(k) = AKn(Partner(k)) & (StzBg(EKn(Partner(k))) ≠ 0)
& (f(k) ≠ f(Partner(k)):
t(EKn(k)) = (C(k) + f(Partner(k))·t(AKn(k)) – f(k)·t(EKn(Partner(k)))) / (f(k) - f(Partner(k));
K’ = K’ + {EKn(k)}; setStzBg(EKn(k), k);
wiederhole solange K’ ≠ K;
falls (Partner(k) ≠ k) & (EKn(k) = EKn(Partner(k)) & (StzBg(AKn(Partner(k))) ≠ 0):
t(EKn(k) = (C(k) - f(Partner(k))·t(AKn(k)) + f(k)·t(AKn(Partner(k)))) / (f(k) + f(Partner(k));
K’ = K’ + {EKn(k)}; setStzBg(EKn(k), k);
wiederhole solange K’ ≠ K;
falls (Partner(k) ≠ k) & (StzBg(AKn(Partner(k))) ≠ 0) & (StzBg(EKn(Partner(k))) ≠ 0):
t(EKn(k) = t(AKn(k) + (C(k) - f(k)·y(Partner(k))) / f(Partner(k));
82 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
K’ = K’ + {EKn(k)}; setStzBg(EKn(k), k);
wiederhole solange K’ ≠ K;
Beispiel Wir betrachten das Beispiel aus Bild 4.6:
t(Kn1) = 0; K’ = {Kn1};
k = [Kn4, Kn1]; da Partner(k) = k: t(Kn4) = -1; StzBg(Kn4) = [Kn4, Kn1]; K’ = {Kn1};
-[Kn1, Sammler] ∈ CZ(K') & Partner([Kn1, Sammler]) = [Sammler, Kn4]
& (EKn([Kn1, Sammler]) = AKn([Sammler, Kn4])) & (StzBg(Kn4) ≠ 0):
t(Sammler) = 3/2; StzBg(Sammler) = [Kn1, Sammler]; K’ = {Kn1, Kn4, Sammler};
-[Kn2, Sammler] ∈ CZ(K') & Partner([Kn2, Sammler]) = [Kn2, Sammler]:
t(Kn2) = 3/2; StzBg(Kn2) = -[Kn2, Sammler]; K’ = {Kn1, Kn2, Kn4, Sammler};
-[Kn3, Sammler] ∈ CZ(K') & Partner([Kn3, Sammler]) = [Kn3, Sammler]:
t(Kn3) = 3/2; StzBg(Kn3) = -[Kn3, Sammler]; K’ = {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Sammler};
-[Verteiler,Kn3] ∈ CZ(K') & Partner([Verteiler,Kn3]) = [Verteiler,Kn3]:
t(Verteiler) = 3/2; StzBg(Verteiler)) = -[ Verteiler), Kn3];
K’ = {Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Sammler, Verteiler};
-[Kn1, H] ∈ CZ(K') & Partner([Kn1, H]) = [Verteiler,Kn2]
& (StzBg(Verteiler) ≠ 0) & (StzBg(Kn2) ≠ 0):
t(H) = 0; StzBg(H) = -[Kn1, H]; K’ = {H, Kn1, Kn2, Kn3, Kn4, Sammler, Verteiler} = K;
Ende des Algorithmus, es wurde das im Bild 4.6 gezeigte Gerüst und das zugehörige Potential
gefunden.
Es bleibt noch die Frage offen, ob der Algorithmus zum Ende kommt, d.h., ob nicht der Fall eintreten
könnte, dass ∀ k ∈ CZ(K') gilt,
Partner(k) ≠ k und StzBg(AKn(Partner(k))) = StzBg(EKn(Partner(k))) = 0
2:1
Kn1
0
H
Kn4
1
Verteiler
4:1
Kn3
1:3
Kn2
H2
Sammler
1:3
b = 50, c = -1
Bild 4.7: Beispiel für das Versagen des Start-Algorithmus bei Kopplung
Als Beispiel betrachten wir wieder die Aufgabe aus Bild 4.5, der wir jetzt aber die überflüssige
Kopplung Partner([Kn3, Sammer]) = [Sammler, Kn4] mit f([Kn3, Sammler]) = 3, f([Sammler, Kn4]) = 1
- natürlich über einen Hilfsknoten H2 - hinzugefügt haben.
In diesem Beispiel tritt nach t(Kn1) = 0; t(Kn4) = 1; die Situation ein, dass alle Bogen aus
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 83
CZ({Kn1, Kn4}) = {[Kn1, H], [Kn1, Sammler], -[H2, Kn4], -[Verteiler, Kn4]} Partner haben, deren
Spannung jedoch in dieser Situation auch noch nicht bestimmt ist, sodass sie für die
Potentialbestimmung nicht brauchbar sind.
Man kann diesen Stillstand des Algorithmus überwinden, indem dieser in einer solchen Situation
einfach einen Hilfsbogen k* parallel zu irgendeinem k ∈ CZ(K’) einfügt. k* bekommt die
Bogenparameter a(k*) = 0, b(k*) = ∞, c(k*) = gross. Damit sollte in der optimalen Lösung x(k*) = 0
gelten, aber der Bogen wird zunächst durch den Algorithmus in das Startgerüst aufgenommen,
wodurch die Stillstandssituation aufgelöst wird.
Im Beispiel – vgl. Bild 4.7 wählen wir etwa k* = [Kn1, Sammler]2. (Die Bezeichnung ]2 soll wieder
eine einfache Markierung für parallele Bogen sein – zweites Exemplar.) Der neue Bogen k* kommt ins
Gerüst: K’ = {Kn1, Kn4, Sammler}; t(Sammler) = gross; dadurch ist jetzt [Kn2, Sammler] ∈ CZ(K’) und
wird ins Gerüst aufgenommen usw.
Es ergibt sich ein ähnliches Gerüst wie das aus Bild 4.6 und die gleiche Fortsetzung: Das Bogenpaar
[H, Verteiler] und [Verteiler, Kn4] ist out-of-kilter, kOut = [H, Verteiler],
(2(3 - gross – (3 - 2gross)/4) + (1 – (3 – gross)) = 5/2 /≤ 0).
2:1
Kn1
0
Kn4
1
Verteiler
3-gross
H
(3-2gross)/4
4:1
Kn3
3-gross
Kn2
gross
1:3
H2
2/3gross
c = gross
Sammler
gross
1:3
b = 50, c = -1
Bild 4.8: Beispiel für den erweiterten Start-Algorithmus
ext.
4.3.2 Gleichgewicht für den Out-of-Kilter-Bogen
Kehren wir zum allgemeinen Lösungsalgorithmus für das Minimalkosten-Stromproblem mit
Kopplung zurück:
Die veränderte Vorbereitung im Punkt 1 liefert zur Basislösung x = 0 ein Gerüst und ein zugehöriges
Potential t.
Schritt 2 – wie beim gewöhnlichen Minimalkosten-Stromproblem:
Test, ob es einen Bogen k gibt, der bezüglich seiner Charakteristik out-of-kilter ist.
Gibt es einen solchen Bogen kOut – andernfalls ist x eine optimale Lösung – so werden
folgende Schritte 2.1 und 2.2 ausgeführt, solange kOut out-of-kilter ist:
Schritt 2.1 – abweichend vom gewöhnlichen Minimalkosten-Stromproblem:
Bildung eines Strom-Transformationsvektors dx(kOut) der Basislösung, mit dessen Hilfe die
aktuelle Lösung x so transformiert werden kann, dass x := x + p⋅dx weniger stark von einem
Gleichgewichtszustand abweicht; Bestimmung des maximalen Wertes von p und des Bogens
kFlusskrit, der diesen maximalen Wert bestimmt.
84 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
Erläuterung: Beim gewöhnlichen Minimalkosten-Stromproblem erzeugt der Cogerüstbogen kOut
einen Basiszyklus z(kOut) – wir setzen zur Vereinfachung Zyklus und seine vektorielle Beschreibung
gleich – und man kann den Vektor p·z(kOut), für gewisse p einfach zur Lösung x addieren, um wieder
eine zulässige Lösung zu erhalten. Es gilt also, dx = z(kOut).
Im allgemeinen Fall der Minimalkosten-Stromaufgabe mit Kopplung sind die Verhältnisse etwas
komplizierter, weil
1. ein Bogenpaar kOut, Partner(kOut) out-of-kilter sein kann, so dass wir mindestens
dx = z(kOut) + (f(kOut)/ f(Partner(kOut)))·z(Partner(kOut))
einsetzen müssen, um x zu transformieren
2. im Zyklus z(kOut) ein Bogen k liegen kann, der einen Partner, Partner(k), besitzt. Wenn x(k) um
p·z(kOut, k) geändert wird, muss x(Partner(k)) um (f(k)/f(Partner(k)))·z(kOut, Partner(k))·p
geändert werden, folglich muss statt z(kOut)
dx = z(kOut) + (f(k)/f(Partner(k)))·z(kOut, Partner(k))·z(Partner(k))
einsetzt werden, um x zu transformieren.
Die aufgezeigten Komplikationen sind jedoch nur der Anfang: In jedem Zyklus-Vektor, den man in
den Strom-Transformationsvektor dx aufnimmt, können mehrere Bogen liegen, die einen Partner
haben, und der Basisvektor jedes dieser Partner muss zwecks Einhaltung der Kopplungsbedingungen
im Strom-Transformationsvektor enthalten sein.
Definition Strom-Transformationsvektor dx zur Basislösung eines MKSK ist eine
Linearkombination aus Basiszyklusvektoren zum aktuellen Cogerüst, die so beschaffen ist,
dass
• dx(ook)
= 1, d.h. Stromänderung um einen noch zu
bestimmenden Wert p bei ook
• f(k)·dx(k) – f(Partner(k))·dx(Partner(k)) = 0 für Bogen mit Partner(k) ≠ k und dx(k) ≠ 0
gilt.
Man kann sich die Verhältnisse auch über einen Hilfsgraphen verdeutlichen:
Im Hilfsgraphen wird jeder Basiszyklus zi einer Basislösung x durch einen Knoten repräsentiert. Von
einem Knoten zi führt ein Bogen zum Knoten zj, wenn im Zyklus zi ein Gerüstbogen k enthalten ist,
dessen Partner (- ein Cogerüstbogen) im Zyklus zj liegt.
Wir demonstrieren dies im Bild 4.9 an dem Beispiel aus Bild 4.6:
Z2
2
Z3
1/4
dx1
=1
2dx1 – dx2
=0
dx2 – 4dx3
=0
(-dx1 + dx2
+dx4 ) – 3dx4 = 0
dx1 = 1, dx2 = 2, dx3 = ½, dx4 = ½
dx = z1 + 2z2 + ½z3 + 1/3z4
Z1
1/2
-1
Z4
1/3
Bild 4.9: Hilfsgraph zur Bildung eines Strom-Transformationsvektors
Es gibt vier Basiszyklen:
z1 = [[Verteiler, Kn4], -[Sammler, Kn4], -[Kn3, Sammler], -[Verteiler, Kn3]],
z2 = [[H, Verteiler] , [Verteiler, Kn3], [Kn3, Sammler], [Sammler, Kn4], [Kn4, Kn1], [Kn1, H]],
z3 = [[Verteiler, Kn2], [Kn2, Sammler], -[Kn3, Sammler], -[Verteiler, Kn3]],
z4 = [[Kn1, Sammler], [Sammler, Kn4], [Kn4, Kn1]].
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 85
Ein Fluss der Stärke 1 durch z1 impliziert neue Flüsse, nämlich einen Fluss der Stärke 2 durch seinen
Partner-Bogen [H, Verteiler] und einen Fluss der Stärke -1/3 durch den Bogen [Kn1, Sammler]. Ein
Fluss durch den Bogen [H, Verteiler] fordert einen entsprechenden Fluss durch z2, und der Fluss durch
den Bogen [Kn1, Sammler] fordert einen entsprechenden Fluss durch z4. Ein Fluss der Stärke 2 durch
z2 impliziert weitere Flüsse, nämlich einen Fluss der Stärke 2/3 durch den Bogen [Kn1, Sammler], d.h.
durch z4, und einen Fluss der Stärke 1/2 durch den Bogen [Verteiler, Kn2] , d.h. durch z3.
Aus dem Graphen ergibt sich das nebenstehende Gleichungssystem zur Bestimmung der
Koeffizienten, mit denen die Zyklenvektoren im Strom-Transformationsvektor auftreten. Führen wir
mit diesem Strom-Transformationsvektor eine Strom-Transformation x = x + p⋅dx aus, die bezüglich
x(kOut) maximal ist (kOut = [Verteiler, Kn4]), so ist der Bogen [Kn4, Kn1] für diese Transformation
flusskritisch: x(kFlusskrit) = 2,5p ≤ 50 oder p ≤ 20, und wir erhalten den im Bild 4.10.1 gezeigten
Strom.
2:1
Kn1
0
x = 40
H
0
Verteiler
3/2
x = 40
Kn4
1
x = 20
x = 10
4:1
x = 10
x = 10
Kn3
3/2
x = 30
Kn2
3/2
x = 10
x = 10
Sammler
3/2
1:3
x = b = 50, c = -1
Bild 4.10.1: Maximaler Fluss durch den Bogen [Kn4, Kn1]
ext.
Falls die Flussverstärkung p⋅dx nicht ausreicht, kOut in einen Gleichgewichtszustand zu überführen,
d.h., falls kFlusskrit ≠ kOut, kommen wir zum nächsten Schritt des Lösungsalgorithmus:
Schritt 2.2: Bildung eines Spannungs-Transformationsvektor der Basislösung dy(kFlusskrit), mit
dessen Hilfe die aktuelle duale Lösung y so transformiert werden kann, dass y = y + q⋅dy(kOut)
weniger stark von einem Gleichgewichtszustand abweicht; Bestimmung des maximalen Wertes von q
und des Bogens kSpannkrit, der diesen maximalen Wert bestimmt.
Erläuterung: Im Fall der gewöhnlichen Minimalkosten-Stromaufgabe wäre dy = cz(kFlusskrit), der
Basiscozyklusvektor zum Gerüstbogen kFlusskrit. Wir betrachten das Beispiel im Bild 4.10.1:
kFlusskrit = [Kn4, Kn1], cz(kFlusskrit) = cz1 = CZ({Kn2, Kn3, Kn4, Sammler, Verteiler}) – bezogen auf
die Knotenmenge. Eine Potentialänderung der Größe -dt1 in den erzeugenden Knoten stört das
Gleichgewicht des Bogenpaares [Kn1, Sammler] und [Sammler, Kn4] und impliziert somit eine weitere
Potentialänderung -dt2 in den Knoten, die
cz([Sammler, Kn4]) = cz2 = CZ({Kn2, Kn3, Sammler, Verteiler}) erzeugen, also
dy = dt1·cz(kFlusskrit) + dt2·cz([Kn3, Sammler]) und es muss gelten,
dt1
= 1,
(-dt1 - dt2) + 3dt2 = 0,
dt1 = 1, dt2 = ½.
86 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
Mit dem Transformationsvektor dy = cz1 + 1/2cz2 können wir das Bogenpaar [H, Verteiler] und
[Verteiler, Kn4] in einen Gleichgewichtszustand überführen ohne die bestehenden
Gleichgewichtszustände zu stören: y = y + q⋅dy, liefert bei q = 1 das Potential t = 0, mit dem
trivialerweise alle Kopplungsbedingungen erfüllt sind - Bild 4.10.2. In dieser Lösung sind alle Bogen
bzw. Bogenpaare in einem Gleichgewichtszustand, folglich handelt es sich um die optimale Lösung.
Definition Spannungs-Transformationsvektor dy der Basislösung eines NMKP ist eine
Linearkombination aus Basiscozyklusvektoren zum aktuellen Gerüst, die so beschaffen ist,
dass
• dy(ook)
= 1, d.h. Spannungsänderung um ein noch zu bestimmenden Wert q bei ook
• f(Partner(k)·dy(k) + f(k)·dy(Partner(k)) = 0 für Bogen mit Partner(k) ≠ k, gilt.
Im Anschluss an Schritt 2.2 muss noch der Schritt 2.3 ausgeführt werden:
Schritt 2.3: Im Gerüst ist kFlusskrit durch kSpannkrit zu ersetzen.
Auch dieser Schritt verläuft im Fall der Kopplung nicht ganz so einfach wie im Fall der gewöhnlichen
Aufgabe, denn kFlusskrit und kSpannkrit liegen jetzt im Allgemeinen nicht mehr in einem Zyklus- vgl.
Bild 4.11. Man kann den Austausch wie folgt vollziehen:
• Suche im Basiszyklus z(kSpankrit) nach kFlusskrit oder einen Bogen k mit Partner(k) ≠ 0.
• Tausche im Gerüst kFlusskrit gegen k und setze, falls k ≠ kFlusskrit, kSpannkrit := Partner(k).
• Wiederhole den Prozess solange k ≠ kFlusskrit.
spannKrit
k1
k1
k2
k2
flussKrit
Bild 4.11: Änderung des Gerüsts nach Änderung der Basislösung - schematisch
Schritt 2.3 an unserem Beispiel: Ausgehend von dem Zustand im Bild 4.10.1 durchmustern wir
z1 = z(kSpannkrit) = [[Verteiler, Kn4], -[Sammler, Kn4], -[Kn3, Sammler], -[Verteiler, Kn3]], ob er
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 87
kSpannkrit enthält (hier: kOut = kSpannkrit = [Verteiler, Kn4]). Da dies nicht der Fall ist, tauschen wir
die Gerüstzugehörigkeit von kSpannkrit gegen die von [Sammler, Kn4] und setzen
kSpannkrit := Partner([Sammler, Kn4]) = [Kn1, Sammler] und wiederholen: Durchmusterung von
z(kSpannkrit) = [[Kn1, Sammler], -[Kn3, Sammler], -[Verteiler, Kn3], [Verteiler, Kn4], [Kn4, Kn1]]. Da
wir diesmal kFlusskrit = [Kn4, Kn1] finden, endet nach dem Austausch [Kn1, Sammler] im Gerüst
gegen kFlusskrit der Prozess, und wir haben im Bild 4.10.2 die optimale Basislösung vorliegen.
2:1
Kn1
0
x = 40
H
0
Verteiler
0
x = 40
Kn4
0
x = 20
x = 10
4:1
x = 10
x = 10
Kn3
0
x = 30
Kn2
0
x = 10
x = 10
Sammler
0
1:3
x = b = 50, c = -1
Bild 4.10.2: Maximaler Fluss durch den Bogen [Kn4, Kn1] – optimalen Lösung
ext.
4.3.3
Softwaretechnische Realisierung des Algorithmus
Neben der veränderten Erzeugung einer Startlösung:
Die in einer Software realisierte algorithmische Erzeugung eines SpannungsTransformationsvektors dy erfolgt mit einem Objekt GlgSystem zur Aufstellung und Lösung
des angegebenen Gleichungssystems wie folgt:
• Mit dem Konstruktor public GlgSystem(int varNr) wird die Gleichung dy(ook) = 1 angelegt.
• Die Methode public void addOrKorrGlchg(int varNr1, int varNr2, double koeff)
o sucht, ob es schon eine zu varNr1 gehörende Gleichung gibt
o gibt es eine varNr1 zugeordnete Gleichung, so wird deren varNr2 zugeordnetes
Glied gesucht und um koeff vergrößert
o gibt es noch keine varNr1 zugeordnete Gleichung, so wird das Gleichungssystem
um eine neue Gleichung mit den beiden Variablen varNr1 (Koeffizient 1) sowie
varNr2 (Koeffizient koeff) ergänzt.
• Die Methode public void loeseGlgSystem() berechnet die Lösung des einfachen
Gleichungssystems nach dem Gaußschen Algorithmus. Anschließend können mit der
Methode public IntDouble getItem(Gleichung r) jeweils varNr und wert abgefragt werden.
Nach der Initialisierung von GlgSystem werden in einer Schleife die zu dem wachsenden
Gleichungssystem gehörenden varN-ummer-n bestimmt und cz(varNr) erzeugt - varNr ist die
Nummern eines kritischen Bogens. Nun wird für alle Bogen (= varNr1) mit Partner geprüft, ob
sie kritisch sind und ob ihr partner (= varNr2) zum Cozyklus gehört. Ist beides der Fall, wird
88 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
GlgSystem.addOrKorrGlchg(varNr1, varNr2, cz(varNr,
varNr2)*v(varNr1))
aufgerufen.
Bricht der Prozess ab, so wird mit der Lösung
koeff = (koeff(varNr1), koeff(varNr2), …, koeff(varNrE)) die Linearkombination
dy = koeff(varNr1)* cz(varNr1) + koeff(varNr2)* cz(varNr2) + …+ koeff(varNr1)* cz(varNr)
gebildet, mit der eine neue Basislösung erzeugt werden kann.
4.3.4
Beispiele für das Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen
4.3.4.1 Ein Zahlenbeispiel für die zeitabhängige Produktionsmengenplanungen
Im Folgenden soll das motivierende Einführungsbeispiel dieses Kapitels (Abschnitt 4.1) durch ein
Zahlenbeispiel ergänzt werden:
Q1
0
b = 5, c = -10
E10
0
b=3
A11
0
S1
10
E11
-10
A12
-10
E12
0
c=1
c=1
Q
0
S
0
b=2
c=1
c=1
E20
0
A21
0
E21
-10
A22
-10
E22
0
Q2
10
b = 5, c = -10
S2
0
Bild 4.12.1: Zahlenbeispiel für die zeitabhängige Produktionsmengenplanung - Anfangslösung
Wir wählen 5 Anlagen, die während zwei Zeitabschnitten in zwei möglichen Rüstzuständen
produzieren sollen. Anfangs befinden sich drei der Anlagen im Rüstzustand 1, die beiden anderen im
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 89
Rüstzustand 2. Das Umrüsten einer Anlage kostet in jedem Fall 1 Geldeinheit. Der Erlös aus der
Produktion einer Anlage während 1 Zeiteinheit beträgt 10 Geldeinheiten, unabhängig von der Zeit und
dem Rüstzustand. Es werden am Ende des zweiten Zeitabschnittes die Produktionen von je 5 Anlagen
in jeden der beiden Rüstzustände benötigt.
Bild 4.12.1 skizziert das vereinfachte Modell bestehend aus dem Hauptnetz und zwei Hilfsnetzen, die
über Kopplung die Produktionsauflage realisieren:
x([Q1, S1]links) = x([A11, E11]), x([Q1, S1]rechts) = x([A12, E12]) → x([A11, E11]) + x([A12, E12]) ≤ 5;
x([Q2, S2]links) = x([A21, E21]), x([Q2, S2]rechts) = x([A22, E22]) → x([A21, E21]) + x([A22, E22]) ≤ 5.
In das Bild 4.12.1 ist zur Anfangslösung x = 0 ein Gerüst eingetragen. Es sind genau die Paare
([Q1, S1]rechts, [A12, E12]) und ([Q2, S2]rechts, [A22, E22]) out-of-kilter.
Wir wählen gleichgroße Flussverstärkung p über die Zyklen z([Q1, S1]rechts) und z([A12, E12]). Der
letztgenannte Zyklus impliziert üben den Bogen [A11, E11] eine gleichgroße Flussverstärkung im
Zyklus z([Q1, S1]links). Es ergibt sich kFlusskrit = [S1, Q1] mit p = 2,5.
Spannungsänderung um 1 über die Cozyklen cz([S1, Q1]) und cz([A11, E11]) mit
kSpannkrit = [A12, E12] (bzw. seinem Partner [Q1, S1]rechts). Im Gerüst muss [S1, Q1] durch [A12, E12]
ersetzt werden, verbunden mit dem Ersatz [A11, E11] durch [Q1, S1]links Es ergibt sich der Zustand im
Bild 4.12.2.
Q1
0
x = 2,5
b = 5, c = -10,
x= 5
E10
0
b=3
A11
0
x = 2,5
S1
9
E11
-9
c=1
A12
-9
x = 2,5
E12
0
c=1
Q
0
S
0
b=2
c=1
c=1
E20
0
A21
0
E21
-10
A22
-10
E22
0
Q2
0
x=0
b = 5, c = -10
S2
10
Bild 4.12.2: Zahlenbeispiel für die zeitabhängige Produktionsmengenplanung
- 1. Zwischenlösung
90 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
Das Paar ([Q1, S1]rechts, [A12, E12]) ist weiter out-of-kilter: Gleichgroße Flussverstärkung p über die
Zyklen z([Q1, S1]rechts) und z([A12, E12]); der erstgenannte Zyklus impliziert über den Bogen
-[Q1, S1]links eine gleichgroße Flusssenkung im Zyklus z([A11, E11]); die Zyklen z([A12, E12]) und
z([A11, E11]) implizieren über den Bogen [A21, E21] eine Flussverstärkung im Zyklus
z([Q2, S2]links) mit dem Faktor 2; bei p = 1 ergibt sich der Strom im Bild 4.12.3 bei
kFlusskrit = [Q, E20].
Spannungsänderung über die Cozyklen cz([Q, E20]) und cz([Q1, S1]links); kSpannkrit = [E10, A21].
Im Gerüst muss [Q, E20] durch [E10, A21] ersetzt werden. Es ergibt sich der Zustand im Bild 4.12.3.
Q1
0
x = 3,5
b = 5, c = -10,
x= 5
E10
0
b=3
A11
0
x = 1,5
S1
8
E11
-8
c=1
A12
-8
x = 3,5
E12
0
c=1
Q
0
S
0
b = 2, x = 2
c=1
c=1
E20
1
A21
1
E21
-9
A22
-9
x=0
E22
0
Q2
0
x=2
b = 5, c = -10,
x=2
S2
10
Bild 4.12.3: Zahlenbeispiel für die zeitabhängige Produktionsmengenplanung
- 2. Zwischenlösung
Das Paar ([Q1, S1]rechts, [A12, E12]) ist weiter out-of-kilter: Gleichgroße Flussverstärkung p über die
Zyklen z([Q1, S1]rechts) und z([A12, E12]); der erstgenannte Zyklus impliziert über den Bogen
-[Q1, S1]links eine gleichgroße Flusssenkung im Zyklus z([A11, E11]); die Zyklen z([A12, E12]) und
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 91
z([A11, E11]) implizieren über den Bogen [A21, E21] eine Flussverstärkung im Zyklus
z([Q2, S2]links) mit dem Faktor 2; bei p = 1,5 ergibt sich der Strom im Bild 4.12.4; kFlusskrit = [S2, Q2]
(eine von mehreren Möglichkeiten).
Spannungsänderung über die Cozyklen cz([S2, Q2]), cz([A21, E21]) und cz([Q1, S1]rechts);
kSpannkrit = kOut = [A12, E12].
Im Gerüst muss [Q, E20] durch [E10, A12] ersetzt werden. Es ergibt sich der Zustand im Bild 4.12.4.
Q1
0
x=5
b = 5, c = -10,
x= 5
E10
0
b=3
A11
0
x=0
Q1
0
E11
0
A12
0
E12
0
c=1
c=1
Q
0
S
0
x=2=b
c=1
c=1
E20
1
A21
1
x=5
E21
-1
A22
-1
x=0
E22
0
Q2
0
x=0
b = 5, c = -10,
x=5
S2
2
Bild 4.12.4: Zahlenbeispiel für die zeitabhängige Produktionsmengenplanung
- 3. Zwischenlösung
Jetzt ist nur noch das Paar ([Q2, S2]rechts, [A22, E22]) out-of-kilter: Gleichgroße Flussverstärkung p
über die Zyklen z([Q2, S2]rechts) und z([A22, E22]); der erstgenannte Zyklus impliziert über den Bogen
-[Q2, S2]links eine gleichgroße Flusssenkung im Zyklus z([A21, E21]); diese Senkung impliziert über
den Bogen [A12, E12] eine gleichgroße Flusssenkung im Zyklus z([Q1, S1]rechts) wodurch über
[Q1, S1]links auch der Zyklus z([A11, E11]) in die Operation einbezogen wird; bei p = 2,5 ergibt sich
schließlich der Strom im Bild 4.12.5; kFlusskrit = [A21, A12].
Spannungsänderung über die Cozyklen cz([E21, A12]) und cz([S2, Q2]rechts );
92 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
kSpannkrit = kOut = [A22, E22].
Im Gerüst muss [E21, A12] durch [A22, E22] ersetzt werden. Es ergibt sich der optimale Zustand im
Bild 4.12.5.
Q1
0
x = 2,5
b = 5, c = -10,
x= 5
E10
0
b=3
A11
0
x = 2,5
Q1
0,5
E11
0
A12
0
E12
0
c=1
c=1
Q
0
S
0
b = 2, x = 2
c=1
c=1
E20
1
A21
1
x = 2,5
E21
0,5
A22
0,5
E22
0
x=5
Q2
0
x = 2,5
b = 5, c = -10,
x=5
S2
0,5
Bild 4.12.5: Zahlenbeispiel für die zeitabhängige Produktionsmengenplanung
– optimale Lösung
Auswertung: Wenn man sich mit dem zunächst vielleicht komplex erscheinenden Modell etwas
vertraut gemacht hat, erkennt man, dass die optimale Lösung trivial ist: Minimierung des
Umrüstaufwandes – das Minimum wird erreicht, wenn man eine halbe Anlage vom Zustand 1 in den
Zustand 2 umrüstet. Andererseits gewinnt man einen guten Einblick in die Arbeitsweise des
Algorithmus und eben auch in die Problematik der Ganzzahligkeit: Man kann nicht mehr – wie beim
einfachen Minimalkosten-Stromproblem – ganzzahlige Lösungen erwarten. Falls die Ganzzahligkeit
wichtig ist, muss man mit Methoden der ganzzahligen Optimierung arbeiten, z.B. mit einem Branchand-Bound-Verfahren. Dabei kann man das stetige Problem als Hilfsproblem benutzen. Am hier
betrachten Beispiel könnte man nach der eben demonstrierten Lösung versuchen, über eine
Fallunterscheidung – Fall 1: x([E10, A21]) = 0, Fall 2: x([E10, A21]) ≥ 1 – Klarheit zu gewinnen. Dies
wird auch in der folgenden Anwendung demonstriert.
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 93
Am Beispiel würde die optimale Lösung des Falls 1 x([E11, A22]) = 1 liefern, also eine Lösung, die
ersichtlich für die ganzzahlig Aufgabenstellung optimal ist, was man auch daran erkennen kann, dass
sie nur 0,5 Geldeinheiten teurer ist, als das stetige Optimum.
4.3.3.2 Das Knappsackproblem als Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen
Betrachtet wird folgendes Knappsackproblem:
Gegenstand-Nr.
1
2
3
4
5
Gewicht
Wert
Tabelle 4.1
2
23
8
12
4
4
1
13
9
3
Im Abschnitt 2.2 haben wir dieses ganzzahlig lineare Optimierungsproblem in ein Längste-WegeProblem überführt. Hier wollen wir das konkrete Zahlenbeispiel nutzen, um die Überführung einer
linearen Optimierungsaufgabe in ein Minimalkosten-Stromproblem mit Kopplungen zu
demonstrieren.
Als lineares Optimierungsproblem lautet die Aufgabe:
Minimiere die Zielfunktion 23x1 + 12x2 + 4x3 + 13x4 + 3x5
unten folgenden Bedingungen:
•
•
xi ∈ {0, 1} für i = 1, 2, 3, 4, 5
2x1 + 8x2 + 4x3 + x4 + 9x5 ≤ 10.
Es soll nach dem Branch-and-Bound-Verfahren gelöst werden, wobei das zugehörige stetige lineare
Optimierungsproblem (0 ≤ xi ≤ 1 statt xi ∈ {0, 1}) auf ein Minimalkosten-Stromproblem mit
Kopplungen abgebildet wird:
In der folgenden Abbildung 4.13.1 steht das Netz links oben – Netz 0 – für die Zielfunktion, während
das Netz rechts unten – Netz 1 – die Nebenbedingung darstellt. An den Bogen ist eine Nummerierung
„i:“ angebracht, die der obigen Variablennummerierung entspricht und die Bogenkopplung definiert:
Mit xik = Fluss im Bogen i des Netzes k gilt für Bogen mit gleicher Nummer fi1·xi0 = xi1.
Im Netz 0 gilt bi = 1 für alle i, alle anderen nicht explizit angegeben Parameter entsprechen den
vereinbarten Standards.
Die Anfangslösung ist: t = 0, x = 0, [S0, Q0] und [S1, Q1] bilden das Gerüst.
Alle Bogenpaare sind out-of-kilter:
[Q0, S0]1, [Q1, S1]1: x10 =1, x11 = 2, ist für das erste Bogenpaar ein Gleichgewichtszustand;
[Q0, S0]4, [Q1, S1]4: x40 =1, x41 = 1, ist für das vierte Bogenpaar ein Gleichgewichtszustand;
[Q0, S0]2, [Q1, S1]2: x20 =7/8, x21 = 7, ist für das zweite Bogenpaar ein Gleichgewichtszustand, wobei
x21 = 7 durch die Schranke b([S1, Q1]) = 10 bestimmt wird, was erfordert, dass [S1, Q1] im Gerüst
gegen [Q1, S1]2 ausgetauscht wird. Dabei ergibt sich aus Y([Q1, S1]1) = C([Q1, S1]1) bzw. aus
0 + 8y21 = -12 y21 = -3/2, womit alle Bogenpaare im Gleichgewicht sind (2(-3/2) ≥ -23, 4(-3/2) ≤ -4,
1(-3/2) ≥ -13, 9(-3/2) ≤ -3). Bild 4.13.1 zeigt diese optimale Lösung, die wegen x2 = x20 = 7/8,
Gewinn = 46,5, nicht die originale Knappsackaufgabe löst.
94 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
1: f = 2, c = -23, x = 1
2: f = 8, c = -12, x = 7/8
Q0
0
3: f = 4, c = -4
S0
0
4: f = 1, c = -13, x = 1
5: f = 9, c = -3
1: x = 2
2: x = 7
Q1
3/2
3: x = 0
S1
0
4: x = 1
5: x = 0
b = 10, x = 10
Bild 5.13.1: Das Netzmodell für die Knappsackaufgabe in Tabelle 5.1, erste Lösung
Es wird eine Verzweigung („branch“) nach x2 = 0 oder x2 = 0 notwendig, und es folgt eine
Wiederholung der Flussoptimierung in den Teilbereichen.
a) x2 = 0: x1 = 1, x3 = 1, x4 = 1 und x5 = 1/3, Gewinn = 41, da die Lösung eindeutig ist, ist der
Bound < 41 und ganzzahlig, also = 40 – vgl. Bild 4.13.2.
b) x2 = 1: x1 = 1/2, x4 = 1, Gewinn = 36,5.
Der Teilbereich a) enthält den Gitterpunkt x1 = 1, x3 = 1, x4 = 1, Gewinn = 40, folglich kann der
Teilbereich b) ausgeschlossen werden, und der genannte Gitterpunkt ist die optimale Lösung.
1: f = 2, c = -23, x = 1
Q0
0
3: f = 4, c = -4, x = 1
S0
0
4: f = 1, c = -13, x = 1
5: f = 9, c = -3, x = 1/3
1: x = 2
Q1
1/3
3: x = 4
S1
0
4: x = 1
5: x = 3
b = 10, x = 10
Bild 5.13.2: Das Netzmodell für die Knappsackaufgabe in Tabelle 5.1, Lösung für x2 = 0
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 95
4.4
Das Mehrsorten-Stromproblem
Im Abschnitt 3.1 haben wir bereits ein einfaches Mehrsorten-Stromproblem kennen gelernt:
Warenproduzenten erzeugen mehrere Güter, die getrennt an die Empfänger ausgeliefert werden. Die
Gesamtproduktionskapazität eines Warenproduzenten wird verglichen mit der Summe der
produzierten Mengen der einzelnen Sorten, indem im graphischen Modell – vgl. Bild 3.3 – durch die
Bogen [Q, Lieferi] alle von Lieferi produzierten Warensorten fließen und somit in ihrer Summe durch
die Gesamtlieferkapazi = b([Q, Lieferi]) beschränkt werden. Von den Knoten Lieferi aus fließen die
Güter dann über sortenreine Teilnetze zu den Empfängern EmpfgSjk - Empfängern j der Sorte k.
Mit Hilfe der Kopplungsmöglichkeit lässt sich dieses Modell auf lineare Beziehungen zwischen den
verschiedenen Warensorten, die ein Produzent liefert, verallgemeinern: Gilt
∑{αk·x([Lieferi, LieferSik]) | k = 1, 2, …,s} ≤ Gesamtlieferkapazi,
so lassen wir die Beschränkung der Bogen [Q, Lieferi] fallen und fügen stattdessen für jeden
Lieferanten ein Zusatznetz für diese lineare Ungleichung gemäß Bild 4.2 hinzu, dessen Bogen mit den
Bogen [Lieferi, LieferSik] gekoppelt sind.
Generell bietet die Kopplung vielfältige Möglichkeiten, an sich getrennte Kommunikationsnetze durch
„gemeinsame“ Bogen zu verbinden. Die Detailmodellierung wird jedoch mühselig, wenn die Anzahl
der Bogen, die von mehreren Sorten durchströmt werden, sehr groß ist. Wir bieten daher im Folgenden
ein Modell, bei dem umgekehrt jeder Bogen a priori von allen möglichen Sorten gleichzeitig
durchströmt wird und der sortenreine Bogen eine Ausnahme ist – vgl. [DA J. Müller].
Aufgabe Mehrsortentransport Gegeben sei ein Netz N = [K, B, a, b, c] durch
• einen gerichteten Graphen G = [K, B] und
• Funktionen a(k), b(k), c(k) für k ∈ B.
B ist die Vereinigung der paarweise disjunkten Bogenmengen B und Bs für s = 1, 2, …, sAnz;
in K sind Teilmengen Qs (Quellen des Sortenstroms der Sorte s) und Ss (Senken des Sortenstroms der
Sorte s) für s = 1, 2, …, sAnz definiert.
Gesucht sind Vektoren x(s) = (x(1, s), x(2, s), …, x(ms, s)), ms = |Bs| = |B U Bs| und s = 1, 2, …, sAnz,
die die folgenden Bedingungen erfüllen:
• x(s) ist Strom auf dem Untergraphen Gs = U(Ks) = [Ks, Bs] von G, der alle Bogen der Bogenmenge
Bs = B U Bs enthält.
• Es gilt a(k) ≤ x(k, s) ≤ b(k) für k ∈ Bs und mit x(k) = ∑{x(k, s) | s = 1, 2, …, sAnz} auch für
k ∈ B.
• ∑{∑{c(k, s)·x(k, s) | s = 1, 2, …, sAnz} k = 1, 2, …, m} ist minimal unter diesen Bedingungen.
Erläuterung:
Bs sind die Mengen der sortenreinen Bogen – Sorte s, Sortenanzahl sAnz.
B ist die Menge, der Bogen, die von allen Sorten durchströmt werden können. Entsprechend ist der
Fluss durch einen Bogen k ∈ B ein Vektor x(k) = (x(k, 1), x(k, 2), …, x(k, sAnz)), während der Fluss
durch einen sortenreinen Bogen k ∈ Bs eine Zahl ist, x(k) = x(k, s). Dasselbe gilt für die Preise: Für
k ∈ Bs ist c(k) eine Zahl, für k ∈ B ist c(k) = (c(k, 1), c(k, 2), …, c(k, sAnz)) ein Vektor. Die
Flussbeschränkungen in den Bogen von k ∈ B betreffen die Summe ∑{x(k, s) | s = 1, 2, …, sAnz} =
x(k) aller Sortenflüsse durch den Bogen.
Bild 4.11 skizziert (3-dimensional) das Transportmodell auf dessen Bearbeitung die Aufgabe
zugeschnitten ist: Der graue elliptische Bereich soll das allen Sorten gemeinsame Netz G = [K, B]
darstellen. Zu den Knoten i ∈ Qs führen Bogen [qus, i] ∈ Bs und ebenso Bogen [j, ses] ∈ Bs aus
Knoten j ∈ Ss.
Ks = {qus, ses}, qus – Quelle des Sortennetzes Gs = [Ks, Bs] und ses Senke des Sortennetzes Gs; qus
und ses sind durch einen Rückkehrbogen [ses, qus] verbunden, Ks ist die Knotenmenge des
Untergraphen, Gs = U(Ks) = [Ks, Bs], der alle Bogen der Bogenmenge Bs = B U Bs enthält.
96 Kapitel5: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen
Q1
Rückkehrbogen
m1 der Sorte 1
QsAnz
S1
Rückkehrbogen
msAnz der Sorte sAnz
SsAnz
G = [K, B]
Bild 4.14: Skizze für ein Mehrsortentransportnetz
Beispiel 1 Eine Aufgabe zu Leerfahrtenminimierung – vgl. Bild 4.12: Ein Fuhrunternehmen verfügt
über eine Reihe von Fahrzeugen, die zwei Fahrzeugdepots, D1 und D2, zugeordnet sind. Die
Fahrtenplanung für den nächsten Tag möge fünf Touren, T1, T2, T3, T4, T5, vorsehen. Die Tour T1 muss
mit einem Fahrzeug aus Depot D1 ausgeführt werden, und die Tour T5 mit einem Fahrzeug aus Depot
D2. An die Tour T1 kann man die Tour T2 oder auch die Tour T3 anschließen; an die Tour T2 die
Touren T3 oder T5; an T3 die Tour T5 und schließlich an T4 die Tour T5. Es ist wegen der Entfernung
nicht sinnvoll, die Tour T4 aus Depot D1 zu starten.
Gesucht ist ein Tourenplan mit möglichst wenigen Leerfahrten.
TA1
DA1
TE1
DE1
TA2
TE2
TA3
TE3
TA4
TE4
DA2
DE2
TA5
TE5
Bild 4.15: Skizze einer Leerfahrtenminimierung
Bild 4.15 skizziert das Modell: Die beiden Depots sind jeweils durch die Knoten DA1 und DE1 bzw.
DA2 und DE2 sowie durch die Rückkehrbogen [DE1, DA1] und [DE2, DA2] vertreten, die fünf
Kapitel 4: Das Minimalkosten-Stromproblem mit gekoppelten Flüssen 97
vorgesehenen Touren durch die Bogen [TAi, TEi], i = 1, 2, 3, 4, 5. Die Bogen [DAi, TAj] stehen für die
Ausfahrt eines Fahrzeuges aus Depot Di um die Tour Tj zu starten, entsprechend stehen die Bogen
[TEj, DEi] für die Rückkehr eines Fahrzeuges in Depot Di nach Beendigung der Tour Tj. Schließlich
repräsentieren die Bogen [Tj, Tk] die unmittelbare Ausführung der Tour Tk nach Beendigung der Tour.
98 Kapitel 5: Netzplantechnik
5
Netzplantechnik
5.1
Einfache Netzplanmodelle
Als historisch erstes Netzplanmodell für die Planung zeitlicher Abläufe entstand um 1957 das so
genannte Aktivitätspfeilnetz. Es entstand aus einer Notsituation – großer Zeitverzug bei der
Entwicklung der Polaris-Raketen. Das eingesetzte Operation-Research-Team definierte Teilaufgaben
des Gesamtprojektes als „Aktivitäten“ und bildete jede Aktivität auf einen Bogen / Pfeil eines
gerichteten Graphen ab.
Dabei wurde die noch heute gültige Festlegung (Definition) getroffen, dass eine Aktivität ein
Arbeitsprozess ist, der, sofern die Voraussetzungen für seine Realisierung erfüllt sind, ohne
Unterbrechung in einer vorbestimmten Dauer abläuft.
Setzt die Aktivität [i, j] – i und j sind Knoten- oder „Ereignis-Nummern im Netzplan – voraus, dass sie
erst beginnen kann, wenn gewisse andere Aktivitäten ausgeführt sind, so müssen die Bogen dieser
anderen „Vorläufer“-Aktivitäten den Knoten i als Endknoten haben – vgl. Bild 5.1.
i
Vorläufer-Aktivitäten
Aktivität
j
Bild 5.1: Realisierung zeitlicher Abhängigkeiten in Aktivitäts-Pfeilnetz
Der Graph der Aktivitäten – auch Netzplan genannt – wird ergänzt durch einen Eingangsknoten
Projekt-„Start“, der Anfangsknoten aller der Aktivitäten ist, die bei Projektbeginn ohne Voraussetzung
begonnen werden können, und durch einen Ausgangsknoten Projekt-„Ende“, der Endknoten aller der
Aktivitäten ist, die von keiner anderen Aktivität vorausgesetzt werden.
Beispiel
Aktivität
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
Voraussetzung
A1
A1
A1
A2 und A3
A3 und A4
A7
Dauer
2
4
3
2
2
1
4
2
Tabelle 5.1
Beispiel Aus den Angaben in Tabelle 5.1 entsteht der Graph des Bildes 5.2. Er enthält mit den Bogen
[2, 3] und [2, 4] zwei Bogen, die keine Aktivitäten darstellen, sondern notwendig sind, um die
Ablauflogik des Projektes richtig darzustellen: A6 kann erst ausgeführt werden, wenn A2 und A3 fertig
sind, während A7 voraussetzt, dass A3 und A4 fertig sind. A6 und A7 setzten also beide A3 voraus, aber
außerdem hat jede der beiden Aktivitäten auch eine andere Voraussetzung.
Kapitel5: Netzplantechnik 99
3
A6: d = 1
A2: d = 4
2
A7: d = 4
4
A8: d = 2
5
Ende
Start
A3: d = 3
A4: d = 2
A1: d = 2
A5: d = 2
1
Bild 5.2.1: Ein Aktivitätspfeilnetz – Beispiel Tabelle 5.1, vgl. Bild 5.2.2
Solche so genannten Schein- oder Dummyaktivitäten sind typisch für Aktivitätspfeilnetze und bilden
eine gewisse Problematik bei der Erzeugung solcher Netze:
Die Dauer der Aktivitäten kann auch Zufallsgröße sein; dann entsteht das PERT-Modell (Program
Evaluation and Review Technique).
Die Planung eines Prozesses beginnt in der Regel mit einem „Leistungsverzeichnis“. Dieses enthält
Arbeitsumfangsangaben; z.B. bei einem Bauprojekt eine Anzahl von Kubikmeter auszuhebenden
Erdreichs oder eine Anzahl von Kubikmeter zu errichtenden Mauerwerks und ähnliche Angaben. Aus
diesen „Leistungen“ (nach dem physikalischen Begriffssystem handelt es sich um Arbeiten) werden
Aktivitäten abgeleitet, z.B. eine Aktivität „Erdaushub“, und anschließend werden die Abhängigkeiten
zwischen den definierten Aktivitäten analysiert. Setzt man auf vereinfachte Zusammenhänge, nämlich
dass eine Abhängigkeit bedeutet, Aktivität Aj kann frühestens beginnen, wenn Aktivität Ai fertig ist, so
entsteht bei der Abhängigkeitsanalyse eine Tabelle der Art, wie sie Tabelle 5.1 zeigt. Eine solche
Tabelle kann problemlos auf ein Aktivitätsknotennetz abgebildet werden: Man ordne jeder Aktivität
einen Knoten (Rechtecksymbol) eines gerichteten Graphen zu und jeder Abhängigkeit einen Bogen:
Setzt Aj Ai voraus, so verbinde man die Knoten Ai und Ai durch einen Bogen [Ai, Ai]. Man füge dem
Netz noch die Ereignisknoten (Kreissymbol) Projekt-„Start“ und Projekt-„Ende“ hinzu, wobei vom
Start-Knoten zu jedem Aktivitätsknoten, der keinen Eingang hat ein Bogen geführt wird und in
ähnlicher Weise von jedem Aktivitätsknoten, der keinen Ausgang hat, ein Bogen zum Ende-Knoten,
und der Netzplan ist fertig. Bild 5.2.2 zeigt das Aktivitätsknotennnetz zum Beispiel Tabelle 5.1.
A2
A6
A3
A7
Start
A1
A4
A8
A5
Bild 5.2.2: Ein Aktivitätsknotennetz – Beispiel Tabelle 5.1, vgl. Bild 5.1.1
Ende
100 Kapitel 5: Netzplantechnik
Die im historischen Prozess vorgebrachten Einwände gegen das Aktivitätsknotennetz betrafen vor
allem die Anschaulichkeit: Man verbindet mit einem ablaufenden Prozess, der eine gewisse Dauer
besitzt, lieber den Pfeil als den theoretisch punktförmigen Knoten. Der Knoten steht für Zeitpunkte,
die in der Ablaufplanung auch Ereignisse genannt werden.
Der einfache Zusammenhang zwischen dem analytischen Ergebnis Netzplan-Tabelle und deren
graphischen Bild hat aber dazu geführt, dass sich das Aktivitätsknotennetz als Netzplan durchgesetzt
hat. Zur Entkräftung des Darstellungseinwandes kann man sagen, wenn man den Knoten als längliches
Rechteck darstellt, hat man hinreichenden Bezug zur zeitlichen Ausdehnung, und als
Hauptgegenargument gegen das Aktivitätspfeilnetz wirkt die Problematik der Scheinaktivitäten: Wie
schon gesagt, sind sie notwendig, um die Ablauflogik richtig darzustellen, aber sie sind in der Regel
nicht eindeutig: Den Übergang von dem zuerst vorhandenen Aktivitätsknotennetz – bzw. seinem
Äquivalent, der Abhängigkeitstabelle – könnte man so vollziehen, dass man im Aktivitätsknotennetz
alle Bogen zu Scheinaktivitäten macht und alle Aktivitätsrechtecke durch Bogen ersetzt – man
vergleiche die im Bild 5.3 skizzierte Transformation.
A
A
Bild 5.3: Transformation Aktivitätsknoten in Aktivitätspfeil
Anschließend beginnt man überflüssige Scheinaktivitäten zu eliminieren mit dem Ziel, ihre Anzahl zu
minimieren. Man kann zeigen, dass diese Optimierung NP-schwierig ist. Es gibt also keinen optimalen
Algorithmus, und der Prozess ist nicht trivial; folglich vermeidet man ihn möglichst und bleibt beim
Aktivitätsknotennetz, zumal der Rechenprozess, den man auf einem Netzplan ausführen will, die
Terminberechnung, im Aktivitätsknotennetz ähnlich einfach auszuführen ist wie im
Aktivitätspfeilnetz.
In der UML – Unified Modeling Language – einer graphischen Notation im Paradigma der
objektorientierten Softwareentwicklung, gibt es auch ein Aktivitätsdiagramm, nämlich für
Aktivitäten im Softwareentwicklungsprozess. Dieses Diagramm ist einerseits praktisch das
Aktivitätsknotennetz – allerdings verwendet man als Aktivitätssymbol ein Rechteck mit abgerundeten
Ecken – aber andererseits werden eindeutige Bedingungen gefordert und durch so genannte
„Aufteilungen“ bzw. „Zusammenführungen“ von Abhängigkeitspfeilen erzeugt. Bild 5.2.3 zeigt das
Aktivitätsdiagramm für das Beispiel Tabelle 5.1: Im Unterschied zum Aktivitätsknotennetz (Bild
5.2.2) sind jetzt die Balken 1, 2 (Aufteilungen) und 3, 4 (Zusammenführungen) eingefügt. Mit ihrer
Hilfe kann man unmittelbar zum Aktivitätspfeilnetz (Bild 5.2.1) transformieren: Die Balken werden
zusammen mit den schon vorhandenen Start- und Ende-Ereignis zu Ereignisknoten. Zwischen zwei
Ereignisknoten liegt jeweils eindeutig eine Aktivität, und die beiden Bogen [2, 4] sowie [2, 3] im Bild
5.2.3 sind notwendige Scheinaktivitäten – vgl. Bild 5.2.1.
4
A6
A2
2
1
Start
A3
3
A7
A1
A8
A4
A5
Bild 5.2.3: Ein Aktivitätsdiagramm nach UML – Beispiel Tabelle 5.1, vgl. Bild 5.2.2
Ende
Kapitel5: Netzplantechnik 101
Man sieht, dass das Aktivitätsdiagramm nach UML das nahezu ideale Verbindungsglied zwischen den
beiden Netzplanformen ist.
Mit Hilfe des Netzplans werden für ein zu planendes Projekt Termine für wichtige Ereignisse
berechnet, indem man vom Start-Ereignis aus die längsten Wege berechnet – vgl. Abschnitt 2.2:
Im Aktivitätspfeilnetz setzt man für jede Aktivität die Dauer d(A) als Bogenlänge. Scheinaktivitäten
haben die Dauer Null. Die Ereignistermine haben dann unmittelbaren Bezug zum frühest-möglichen
Anfangstermin at(A) bzw. frühest-möglichen Endtermin et(A) der mit ihnen inzidenten Aktivitäten.
Im Aktivitätsknotennetz haben die Bogen die Länge Null und den Knoten werden zwei Termine
zugeordnet, der Anfangstermine at(A) der Aktivität und ihr Endtermin et(A) wobei wir
et(A) = at(A) + d(A) unterstellen – Ausführung der Aktivität ohne Unterbrechung.
Bild 5.2.4 zeigt die Ergebnisse der Rechnung zum Beispiel aus Tabelle 5.1. Die Bogen des Gerüstes
der längsten Wege sind fett gezeichnet.
Der längste Weg zu einer Aktivität wird auch als der für sie kritische Weg bezeichnet und der längste
Weg durch das Netz – vom Start-Ereignis zum Ende-Ereignis – als der kritische Weg des Projektes.
Die Bezeichnung „kritisch“ ist als Mahnung an die Projektausführung gedacht, mit dem Sinn, dass
jede Verzögerung einer auf dem kritischen Weg liegenden Aktivität den frühest-möglichen Endtermin
des Projektes gefährdet.
Man kann alle Bogen im Netz umkehren und eine Längste-Wege-Berechnung vom Ende-Ereignis zum
Start-Ereignis ausführen. Anschließend subtrahiert man die so erhaltenen Ereignistermine von einem
gewünschten Projektendtermin, zum Beispiel von dem vorher berechneten frühest-möglichen
Endtermin. Man erhält spätest-mögliche Termine im Bezug auf den gewünschten Projektendtermin
Ai
at(i) d(i) et(i)
A2 0 4
4
A6 5 1
A3 2 3
6
5
A7 5 4 9
A1 0 2
2
A4 2 2
4
A8 9 2 11
Start
0
A5 2 2 4
Ende
11
Bild 5.2.4: Terminberechnung für Beispiel Tabelle 5.1, vgl. Bild 5.2.1
5.2
Erweitertes Netzplanmodell
5.2.1. Grundlagen
An den klassischen Modellen der Netzplantechnik ist folgende ernsthafte Kritik vorzunehmen: Am
Beginn der Planung ist die Dauer d(i) einer Aktivität meistens keine feste Größe, wie allgemein
unterstellt, sondern vielmehr Gegenstand der Planung, also Variable; denn das Leistungsverzeichnis
als Ausgangspunkt der Planung enthält, wie schon erwähnt, nur Arbeitsumfangsangaben, z.B. eine
Anzahl von Kubikmeter auszuhebenden Erdreichs oder eine Anzahl von Kubikmetern zu errichtenden
Mauerwerks und ähnliche Angaben. Aus diesen „Leistungen“ werden die Aktivitäten abgeleitet und
wie lange deren Ausführung dauert, hängt insbesondere davon ab, mit welcher Intensität sie
ausgeführt werden, d.h., wie viele Maschinen und Arbeitskräfte für ihre Ausführung eingesetzt
werden. Der Arbeitskräfte- und Maschineneinsatz hängt jedoch häufig von der Betrachtung aller
Aktivitäten ab, die das gleiche Gewerke bzw. die gleiche Maschinenart nutzen: Eine Aktivität
102 Kapitel 5: Netzplantechnik
„Erdarbeit“ wird von Baggern ausgeführt. Wir kennen ihren Arbeitsumfang, also die Anzahl
Baggerstunden, die zu leisten sind. Stehen ohnehin zwei Bagger zur Verfügung, wird man beide
einsetzen, während man zögert, wenn es Mühe macht einen zweiten Bagger zusätzlich zu beschaffen.
Im Weiteren wird der Begriff Ressource als Sammelbezeichnung für Gewerke und Maschinenarten
benutzt, und wir gehen von folgender Prämisse aus:
Die Arbeitskräfte- und Maschineneinsatzplanung und damit auch die Festlegung der Dauer der
betroffenen Aktivitäten ist Gegenstand der Ablaufplanung, wobei folgende Regeln gelten:
•
•
•
Die Dauer d(i) einer Aktivität Ai kann sicher nicht beliebig variieren. Im Allgemeinen gibt es eine
effiziente Einsatzgröße für die ausführende(n) Ressource(n). Die daraus resultierende Dauer
wollen wir als
Normaldauer, normDi, bezeichnen. Durch erhöhten Einsatz von Ressourcen kann diese
Normaldauer verkürzt werden, wobei es für diese Verkürzung ein technologisch sinnvolles
Minimum gibt, das wir als
Minimaldauer, minDi, bezeichnen wollen. Wir unterstellen, dass im Weiteren gilt:
minDi ≤ d(i) ≤ normDi
Wie schon angedeutet hängt die Wahl der Aktivitätsdauer mit dem Einsatz der Arbeitskräfte und
anderer Ressourcen bei der Ausführung der Aktivität zusammen. Das sehr breite Gebiet der
Ressourcen-Einsatzoptimierung verschieben wir auf Kapitel 6 und betrachten zunächst den Fall,
dass die Wahl der Aktivitätsdauer durch Kosten stimuliert wird. Das ist dann ein sinnvoller Ansatz,
wenn man unterstellt, dass der Ressourceneinsatz nur aus der Sicht der betrachteten Aktivität erfolgt;
also sicher dann, wenn es um die Planung einer höheren Leitungsebene geht, in der eine Aktivität etwa
die Errichtung eines ganzen Bauwerkes beinhaltet und der Ressourceneinsatz nicht detailliert zu
planen ist.
• Wir unterstellen für jede Aktivität i einen Preis cD(i), der zu den Kosten cD(i)·(normD(i) - d(i))
führt, mit dem also die Dauerkürzung bewertet wird.
Bevor wir uns mit algorithmischen Details dieser Aufgabenstellung beschäftigen können, müssen wir
jedoch noch die Vorgaben für den Abstand zwischen zwei Aktivitäten präzisieren:
Abstand zwischen zwei Aktivitäten meint eine Zeitvorgabe zwischen den Anfangs- oder / und
Endereignissen der beiden Aktivitäten. Diese Vorgabe hängt in vielen Fällen von der Dauer der
beiden Aktivitäten ab, die, wie betont, variabel ist, so dass v(i, j)·d(i) + v(i, j)·d(j) + w(i, j) ein sinnvoller
Ansatz für das Maß dieser Vorgabe ist.
Dabei gelte:
• v(i, j), v(i, j) und w(i, j) bezeichnen vorgegebene reelle Zahlen, wobei für v(i, j) und v(i, j) die
•
•
Bereichsvorgabe 0 ≤ v(i, j), v(i, j) ≤ 1 sinnvoll ist, denn diese Zahlen beschreiben
Fertigstellungsgrade der Aktivitäten Ai bzw. Aj.
at(i) bezeichnet den Anfangstermin der Aktivität Ai
et(i) = at(i) + d(i) sei der End- bzw. Fertigstellungstermin der Aktivität Ai
Im Netzplan
• wird jede Aktivität durch einen Knoten repräsentiert, der als Rechteck dargestellt wird
(Aktivitätsknotennetz).
• Jede Abstandsvorgabe wird entweder durch einen Bogen [Ai, Aj] vom Knoten Ai zum Knoten Aj
oder durch einen Bogen [Aj, Ai] von Aj nach Ai dargestellt, dem ein Tripel [Typ, V, W], mit
0 ≤ V ≤ 100, V ganzzahlig, zugeordnet ist. V steht für 100·v(i, j) oder 100·v(i, j); W für w(i, j).
Dabei setzen wir voraus, dass in einer konkreten Abstandsvorgabe, wenn überhaupt, entweder nur
0 < v(i, j) < 1 oder nur 0 < v(i, j) < 1 gilt. Den in der Praxis äußerst seltenen Fall, in dem beides
auftritt, kann man durch eine Hilfskonstruktion auf zwei einfachere Abstandsforderungen
zurückführen.
Damit können wir die Abstandsvorgabe, die mit dem Netzplanbogen [Ai, Aj] verbunden ist, so
interpretieren, dass die Aktivität Aj die Aktivität Ai als Vorläufer-Aktivität besitzt, zu der sie
einen zeitlichen Abstand einhalten muss, wobei folgende Abstandstypen möglich sind:
•
•
Typ = 0: at(j) - at(i) ≥ V/100·d(i) + W
Typ = 1: at(j) - at(i) ≤ V/100·d(i) + W
(oder at(i) - at(j) ≥ – V/100·d(i) – W )
Kapitel5: Netzplantechnik 103
•
•
•
•
Typ = 2:
Typ = 3
Typ = 4:
Typ = 5
at(j) - at(i) = V/100·d(i) + W (Typ=0 und Typ=1 gleichzeitig)
et(j) - at(i) ≥ V/100·d(i) + W
et(j) - at(i) ≤ V/100·d(i) + W (oder at(i) - et(j) ≥ – V/100·d(i) – W )
et(j) - at(i) = V/100·d(i) + W (Typ=3 und Typ=4 gleichzeitig).
Das folgende Bild zeigt die Eingabeschablone für eine Aktivität in einer Software, die dieses
Netzplan-Modell realisiert. Insbesondere werden Abhängigkeiten durch Nennung von VorläuferAktivitäten eingegeben und zwar so, dass die Schlüsselnummer (Synonym für i) der VorläuferAktivität über eine „Listbox“ eingetragen wird. Dadurch können nur solche Aktivitäten als Vorläufer
genannt werden, die schon vorher eingegeben wurden. Die Eingabereihenfolge sollte möglichst eine
toplogische Ordnung (vgl. Abschnitt 2.2 – Längste Wege) sein.
Bild 5.4: Eingabeschablone aus einer Software für eine Aktivität
In einem gezeichneten Netzplan können die Abstandsvorgaben in anschaulicher Weise so dargestellt
werden, dass eine Beschriftung des Bogens mit der Zahl W die Abstandsforderung ausreichend
beschreibt, wenn dazu bei Typ = 0 oder Typ = 3 – der Unterschied wird durch den Bogenbeginn
sichtbar – ein ≥-Zeichen vor die Zahl W gesetzt wird, während bei Typ = 1 oder Typ = 4 ein ≤ vor der
Zahl W steht. W = 0 gilt als Standard:
Beispiele
a) Als Standardtyp des Abstandes bezeichnet man den praktisch häufigsten Fall: A1 muss beendet
sein, damit A2 beginnen kann: Typ = 0, V = 100, W = 0, also at(1) + d(1) = et(1) ≤ at(2).
Bild 5.5.1: Standardtyp des Abstands
A1
A2
b) Abstandsforderung, spätestens wenn A1 fertig ist, muss A2 beginnen: [A1, A2] mit Typ = 1,
V = 100, W = 0, also at(2) ≤ at(1) + d(1) = et(1).
Bild 5.5.2: Abstands-Typ 1, V = 100, W = 0
A1
≤0
A2
c) Bild 5.5.3 zeigt einen Netzplan, der aus den beiden Aktivitäten A1 und A2 besteht, beide haben
normD = 20 und minD = 10. Der eine Bogen von A1 zu A2 stellt den Standardtyp des Abstandes
104 Kapitel 5: Netzplantechnik
dar. Der zweite Bogen ist deutlich vom Anfang von A1 zum Ende von A2 geführt und mit ≤ 30
beschriftet. Er symbolisiert die Abstandsforderung et(2) - at(1) ≤ 30, d.h., beide Aktivitäten sollen
nach spätestens 30 Zeiteinheiten fertig sein.
A1
10 - 20
A2
10 - 20
Bild 5.5.3: Dauerbeschränkung zweier
Aktivitäten
≤ 30
Da der Aktivitätsknoten einem Prozess entspricht, wollen wir den linken Rand seines Rechtecks
mit AKn (Anfangsknoten) und den rechten Rand seines Rechtecks mit EKn (Endknoten)
bezeichnen. Kehrt man im Bild 5.5.3 den Bogen [AKn(1), EKn(2)] um, so entsteht ein Kreis aus
Abstands- und Aktivitätsbögen, dessen Spannungssumme Lg = d(1) + d(2) - 30 nicht positiv sein
darf (Kreisbedingung), d(1) + d(2) ≤ 30. In der Tat würde z.B. d(1) = d(2) = 20, Lg = 10, zu einer
unmöglichen Situation führen, denn ein Prozess, der 40 Tage dauert, kann nicht nach 30 Tagen
beendet werden. Damit veranschaulicht das Beispiel, dass eine Terminrechnung in dem hier
betrachteten Netzplanmodell die Festlegung der Aktivitätsdauer mit einbeziehen muss.
Abstandskreise, längs denen die Summe der unteren Schranken positiv ist, werden in diesem
Modell als Terminkreise bezeichnet. Sie stellen Widersprüche dar.
d) Das Bild 5.5.4 zeigt einen Netzplan aus den drei Aktivitäten A1, A2, A3. Die beiden oberen Bögen
fordern, dass et(3) ≥ et(2) ≥ et(1) gilt. Die beiden unteren Bögen repräsentieren die
Abstandsforderungen at(2) ≥ at(1) + 1 und at(3) ≥ at(2) + 1.
Das folgende System aus Anfangs- und Endterminen erfüllt alle Forderungen:
at(1) = 0,
at(2) = 1 = at(1) + 1,
at(3) = 2 = at(2) + 1,
A1
et(1) = normD(1) = 10;
et(2) = et(1)
= 10;
et(3) = et(2)
= 10.
A2
10
3 - 10
≥1
A3
5 - 10
≥1
Bild 5.5.4: Ein überraschendes Resultat von Abstandsvorgaben
Die im Bild fett gezeichneten Linien beschreiben die kritischen Vorgaben der angegebenen
Lösung, nämlich die, bei denen die untere Schranke als gültig festgelegt wurde (im Sinne
Basislösung). Dagegen folgen d(2) = et(2) - at(2) = 8 und d(3) = et(3) - at(3) = 9 aus diesen
Vorgaben. Das Überraschende an diesem Beispiel ist wohl, dass die kürzeste Gesamtdauer 10 des
Netzes sich nicht ergibt, wenn jede Aktivität so schnell wie möglich erledigt wird, sondern bei
längerer Dauer von A2 und A3. Die Minimaldauer d(2) = 3 und die Minimaldauer d(3) = 5 würden
zur Projektdauer 13 führen mit at(2) = 7.
e) Die Bögen in dem Netzplan Bild 5.5.5 repräsentieren folgende Restriktionen:
at(2) - at(1) ≥ 1/3d(1) der untere Bogen und
at(1) - et(2) ≥ 2/3d(1) oder et(2) ≤ at(1) + 2/3D(1) der rechte Bogen.
67%
Bild 5.5.5: Ausführung von A2 im
mittleren Drittel von A1
A1
A2
33%
Beide Restriktionen zusammen besagen, dass A2 innerhalb des zweiten Drittels der
Ausführungszeit von A1 realisiert werden muss. Die Spannungssumme Lg des Zyklus aus den
beiden Abstands- und den beiden Aktivitätsbogen (Aktivitätsrechteck als Bogen gesehen)
berechnet sich zu Lg = d(1)/3 + d(2) - 2d(1)/3. Aus Lg ≤ 0 (Kreisbedingung) folgt d(2) ≤ d(1)/3, die
triviale Bedingung für die Ausführbarkeit der Vorgabe.
Kapitel5: Netzplantechnik 105
f) Das Bild 5.5.6 zeigt einen Netzplan des erweiterten Netzplanmodells, in dem folgende
Abstandsrestriktionen formuliert sind:
at(2) ≥ at(1) + 0,4d(1),
at(3) ≥ at(2) + 0,8d(2),
at(3) ≥ et(2),
at(3) ≤ et(1) + 1,
at(4) ≤ at(1) + 0,9d(1) + 10.
A1
40%
6
≤ 10
≤1
90%
2
-1
A2
12
4
-1
A3
10 6
-1
A4
5
3
-1
80%
Bild 5.5.6: Allgemeine Abstandsvorgaben
Im Bild 5.5.6 sind zu jeder Aktivität normD und minD angegeben. Die Kürzungspreise zu den
normD(i)-Werten betragen alle 1 (cD(i) = 1 für i = 1, 2, 3, 4).
Gesucht ist der Ablaufplan (d.h. at(i) und d(i) für i = 1, 2, 3, 4), der die Summe aller
Abweichungen von der Normaldauer minimiert.
Das willkürlich gewählte Zahlenbeispiel soll demonstrieren, dass praktische Anwendungen dieses
allgemeinen Modells durchaus zu numerisch wenig eleganten Rechnungen führen können.
5.2.2 Umsetzung des Netzplans in ein Modell des Minimalkosten-Potentialproblems
Mit der Zielstellung, als mathematisches Modell ein Minimalkosten-Potentialproblems zu entwickeln,
wandeln wir innerhalb einer Datenstruktur Netzplan, die ein Aktivitätsknotennetz beschreibt, jeden
Aktivitätsknoten Ai in einen Aktivitätsbogen [AKn(i), EKn(i)] um und ordnen diesem Bogen k
(Die Bogennummer k ist seine Platznummer in einer von 1 bis m indizierten Bogenliste.) folgendes
zu:
• Funktionen y(k), a(k), b(k) für seine Spannung und deren untere bzw. obere Schranke
• sowie eine Bewertungsgröße c(k).
Diese sind für den Aktivitätsbogen zur Aktivität Ai so zu initialisieren, dass
a(k) = minD(i), b(k) = normD(i), y(k) = d(i) und c(k) = cD(i)
gilt.
106 Kapitel 5: Netzplantechnik
et(i) ≤ pet(i) | 0, pet(i) < et(i) < set(i) | cT(i)
AKn(i)
minD(i)
minD(i)≤≤d(i)
d(i)≤≤normD(j),
normD, cD(i)
cD(i)
EKn(i)
at(i)
et(i)
etN – et(i) ≥ 0
= (V/100)·d(i)
at(i) ≥ fat(i)
0
EKnN
Hij
AKnN
(V/100)·d(i)
etN
at(j) ≥ fat(j)
≥W
AKn(j)
minD(j) ≤ d(j) ≤ normD(j) | cD(j)
at(j)
etN – et(j) ≥ 0
EKn(j)
et(j)
et(j) ≤ pet(j) | 0, pet(j) < et(j) < set(j) | cT(j)
Netzbogen: etN ≤ petN | 0, petN < etN < setN | cTN
Bild 5.6: Der Netzplan als Modell eines Minimalkosten-Potentialproblems
Die Menge der Aktivitätsbogen wird wie folgt zu einem zusammenhängenden Netz ergänzt – vgl.
Bild 5.6:
• Ein Quellknoten AKnN, repräsentiert den Start des Gesamtablaufs.
• Ein Zielknoten EKnN, repräsentiert das Ende des Gesamtablaufs.
• Ein Bogen [AKnN, AKn(i)] verbindet AKnN mit den Anfangsknoten der Aktivität Ai bei den
Aktivitäten, zu denen kein Abstandsbogen führt oder für die eine Vorgabe – frühestmöglicher Start- / Anfangstermin, fat(i) – bezüglich des Beginns der Aktivität besteht.
Es gilt für die untere Bogenschranke a(k), a(k) = 0 bzw. a(k) = fat(i); b(k) = ∞, für einen
solchen Bogen k.
• Bogen [EKn(i), EKnN] verbinden die Endknoten aller Aktivitäten mit EKnN.
Es gilt, a(k) = 0, b(k) = ∞ für einen solchen Bogen k.
• Ein Bogen [AKnN, EKnN] genannt Netzbogen repräsentiert Daten für den Gesamtprozess.
Das Modell kann sinnvoll ergänzt werden durch
• geplante Endtermine pet(i)
• Preise cT(i) für deren Überschreitung und
• Vorgaben set(i), spätester Endtermin, für den Endtermin einer Aktivitäten Ai.
Diese Parameter können wir über Terminbogen [AKnN, EKn(i)] in unser Modell einfließen lassen.
Für einen Terminbogen k gilt: a(k) = pe(i), b(k) = set(i), c(k) = cT(i).
Der Netzbogen [AKnN, EKnN], bekommt die Nummer 1. Ihm kann, ein geplanter Endtermin, petN,
und ein spätester Endtermin, setN, für das Gesamtnetz zugeordnet werden:
a(1) = petN, b(1) = setN, c(1) = cTN.
Die Transformation eines Abstandsbogens [Ai, Aj] des Netzplans in einen Bogen des mathematischen
Modells ist einfach, wenn V = 0 oder V = 100 gilt: Der transformierte Bogen k führt gemäß folgender
Übersicht entweder von AKn(i) oder von EKn(i) des Aktivitätsbogens für Ai zu AKn(j) oder EKn(j) des
Aktivitätsbogens für Aj oder in umgekehrter Richtung. Es wird ihm die untere Spannungsschranke
a(k) = W oder a(k) = -W zugewiesen.
Typ = 0, V = 0 → [AKn(i), AKn(j)], a(k) = W
Typ = 0, V = 100 → [EKn(i), AKn(j)], a(k) = W
Kapitel5: Netzplantechnik 107
Typ = 1, V = 0
Typ = 1, V = 100
Typ = 3, V = 0
Typ = 3, V = 100
Typ = 4, V = 0
Typ = 4, V = 100
→
→
→
→
→
→
[AKn(j), AKn(i)], a(k) = -W
[AKn(j), EKn(i)], a(k) = -W
[AKn(i), EKn(j)], a(k) = W
[EKn(i), EKn(j)], a(k) = W
[EKn(j), AKn(i)]. a(k) = -W
[EKn(i), EKn(i)] a(k) = -W
Alle Abstandsbögen k erhalten die obere Spannungsschranke
b(k) = ∞.
Komplizierter wird das Modell, wenn 0 < V < 1 gilt: In jedem dieser Fälle denken wir uns den
Abstandsbogen, z.B. [AKn(i), AKn(j)], des Netzplans durch zwei aufeinander folgende Bögen im
mathematischen Modell ersetzt, z.B. [AKn(i), Hij] und [Hij, AKn(j)] – vgl. Bild 5.6:
• [AKn(i), Hij] koppeln wir mit dem Aktivitätsbogen, von dessen Dauer der Abstand abhängt. Wir
bezeichnen die gekoppelten Bogen als Partner und definieren die Bogenfunktion Partner(k) zur
Bogennummer k.
Sind die Bögen k und l, gekoppelt, l = Partner(k), k = Partner(l), so bedeutet dass, wie im Kapitel
4, f(k)·y(k) = f(l)·y(l);
beispielsweise im Fall Typ = 0: k = [AKn(i), Hij]; y(k) = f(k)·y([AKn(i), EKn(i)]) = f(k)·d(i) mit
f(k) = (V/100).
•
Der zweite Bogen der Bogenfolge [AKn(i), Hij] und [Hij, AKn(j)] ist ein nicht gekoppelter Bogen, der
als untere Abstandsschranke den konstanten Teil W der Abstandsforderung erhält, also z.B.
a([Hij, AKn(j)]) = W .
Die Bogenzerlegung ist zur Klärung der theoretischen Zusammenhänge bei der Bogenkopplung
notwendig. Wir wollen sie jedoch nur nutzen, um die Eigenschaften der originalen Abstandsbogen
[Ai, Aj] des Netzplans zu studieren. Im Weiteren wollen wir auch im mathematischen Modell mit
ungeteilten Abstandsbogen wie folgt operieren:
Typ
Bedeutung
Realisierung durch Bogen im mathematischen Modell
0: at >=
at(j) - at(i) ≥ f(k)·d(i) + W
[AKn(i), AKn(j)]
1: at <=
mit f(k) = (V/100), a(k) = W, partner = i
at(j) - at(i) ≤ f(k)·d(i) + W [AKn(j), AKn(i)] mit f(k) = -(V/100), a(k) = -W, partner = i
3: et >=
et(j) - at(i) ≥ f(k)·d(i) + W
[AKn(i), EKn(j)] mit f(k) = (V/100), a(k) = W, partner = i
4: et <=
et(j) - at(i) ≤ f(k)·d(i) + W
[EKn(j), AKn(i)] mit f(k) = -(V/100), a(k) = -W, partner = i
Tabelle 5.2
Man beachte zunächst, dass im mathematischen Modell durch eventuelle Umkehrung der
Bogenrichtung gesichert wird, dass alle Abstandsbogen untere Spannungsschranken repräsentieren! –
vgl. in der Tabelle 5.2 die Typen 1 und 3.
Ferner ordnen im Sinne der Einheitlichkeit, wie im Kapitel 4, jedem Abstandsbogen k Werte
Partner(k) und f(k) zu (u. z. dem ungeteilten Abstandsbogen), wobei im Regelfall Partner(k) = f(k) = 0
gilt. Der dem Bogen im Sinne der Terminologie aus Kapitel 4 zugeordnete Kopplungsfaktor f(k) hat,
wenn 0 < V < 1 gilt, den Wert f(k) = (V/100) bzw. f(k) = -(V/100). Der Partner(k) ist, sofern nicht Null,
ein Aktivitätsbogen l = [AKn(i), EKn(i)]. Zur besseren Übersicht nennen wir als Partner nicht den
Aktivitätsbogen, sondern einfach die Aktivitätsnummer und verdeutlichen das durch partner(k) = i.
Die Menge aller Abstandsbögen k, für die partner(k) = i ≠ 0 gilt, und den Aktivitätsbogen
[AKn(i), EKn(i)] bezeichnen wir als Menge miteinander gekoppelter Bogen. Im Unterschied zu
Kapitel 4 wollen wir hier mit diesen Mengen arbeiten und nicht (durch Zerlegung des betreffenden
Aktivitätsbogens) die Kopplung auf Paare gekoppelter Bogen reduzieren.
108 Kapitel 5: Netzplantechnik
5.3
Ein Lösungsalgorithmus für das Netzplan-Minimalkosten-Potentialproblem (NMKP)
5.3.1
Basislösung
Eine Eckpunkt- oder Basislösung des formulierten Netzplan-Minimalkosten-Potentialproblems
(NMKP) kann wie folgt charakterisiert werden:
Ein Potential t = (t(1), t(2), …, t(n)) bzw. die aus ihm durch y(k) = t(EKn(k)) - t(AKn(k)) erzeugte
Spannung y = (y(1), y(2), …, y(m)) bildet eine Eckpunktlösung des NMKP, wenn dazu ein Gerüst der
Art existiert, dass y(k) = a(k) oder y(k) = b(k) auf den Gerüstbögen und a(k) ≤ y(k) ≤ b(k) auf den
Cogerüstbögen gilt.
Die Gerüstbogen werden auch als kritische Bogen (der aktuellen Lösung) bezeichnet: In einem zu
realisierenden Zeitplan darf auf kritischen Bogen (wegen y(k) = a(k)) keine Verzögerung eintreten.
Betrachten wir einen gekoppelten Abstandsbogen [AKn(i), AKn(j)] in der Zerlegung [AKn(i), Hij] und
[Hij, AKn(j)] und seinen Partner-Aktivitätsbogen [AKn(i), EKn(i)]:
Wegen y([AKn(i), Hij]) = f(k)·y([Akn(i), EKn(i)] = f(k)·d(i) muss entweder er selbst oder sein Partner
[AKn(i), EKn(i)] im Gerüst sein. Bei d(i) ϵ {minD(i), normD(i)} müssen in der Regel beide im Gerüst
sein. Falls sich der Abstand aus d(i) bestimmt (at(j) - at(i):= f(k)·d(i) + W), sind [AKn(i), Hij] und
[Hij, AKn(i)] im Gerüst.
Wir wollen das Gesetz, von einem gekoppelten Bogenpaar [AKn(i), Hij] und [AKn(i), EKn(i)] muss
mindestens ein Bogen wegen der Kopplungsgleichung im Gerüst sein, zu der folgenden Forderung
verschärfen:
Forderung Ein Aktivitätsbogen ist genau dann im Gerüst, wenn d(i) ϵ {minD(i), normD(i)} gilt.
Das bedeutet, dass der Fall, der Aktivitätsbogen ist im Gerüst, weil sich die Aktivitätsdauer aus einem
Abstand ergibt, durch einen Wechsel, Aktivitätsbogen aus dem Gerüst, Abstandsbogen in das Gerüst,
aufgelöst werden muss. Das ist nicht immer problemlos möglich, denn zu jedem Cogerüstbogen
gehört bekanntlich ein Basiszyklus aus kritischen Bogen (vgl. Kapitel 1), und die Skizze Bild 5.7
zeigt, dass die beiden Bogen, die ihre Rolle tauschen sollen, nicht im selben Basiszyklus liegen
müssen. In einem solchen Fall muss dann vor dem Rollentausch der Abstandsbogen [AKn(i), AKn(j)] in
den Abstandsbogen [EKn(i), AKn(j)] transformiert werden. Dazu muss gleichzeitig V:= 100 - V gesetzt
werden – vgl. Bild 5.7.
Kapitel5: Netzplantechnik 109
Aktivitätsbogen
Aktivitätsbogen
100
:
(V – 100)
100
:
V
Abstandsbogen
Abstandsbogen
Bild 5.7: Transformation eines Abstandsbogens
Wir kennen bereits den Dualitätssatz in seiner allgemeinen Form: Eine Lösung ist genau dann
optimal, wenn jeder Bogen im Bezug auf seine Charakteristik im Gleichgewicht ist.
Mit Blick auf diesen Satz können wir zu einer gegebenen Basislösung t bzw. y einen „zugehörigen
Kosten-Strom“ x = (x(1), x(2), …, x(m)) so erzeugen, dass x(k) = c(k) auf allen Cogerüstbogen gilt.
Dann sind für dieses y und dieses x alle Cogerüstbogen im Gleichgewicht.
Gilt nun für die Gerüstbögen,
• falls y(k) = a(k), so ist x(k) ≤ c(k) und,
• falls y(k) = b(k), so ist x(k) ≥ c(k),
d.h., sind auch sie im Gleichgewicht, so liegt eine optimale Basislösung y vor.
Wir betrachten die Charakteristiken der einzelnen Bogenarten, wobei wir (wie im Abschnitt 3.3) die
vertikale Achse für die Spannungskomponente y(k) verwenden und die horizontale Achse für den
Fluss x(k), obwohl für die Spannungsaufgabe y(k) die unabhängig variierende Größe und x(k) die
abhängig variierende Größe ist. Wir können aber die Charakteristik einfach als Menge der
Gleichgewichtspunkte des Bogens auffassen, {(x(k), y(k))}.
y(k) = at(i)
a(k) = fat(i)
x(k)
Bild 5.8.1: Charakteristik des Bogens k = [AKnN, AKn(i)], c(k) = 0
110 Kapitel 5: Netzplantechnik
y(k) = etN - et(i)
x(k)
Bild 5.8.2: Charakteristik des Bogens k = [EKn(i), EKnN] , c(k) = 0
Die Treppenform der Charakteristik mit mehreren Stufen, wie sie Bild 5.8.3 zeigt, kennen wir bereits
aus Abschnitt 3.2.3. Sie bedeutet nur, wie wir wissen, dass die Größen a(k), b(k), c(k) in Abhängigkeit
von y(k) ihre Werte ändern, was für die algorithmische Behandlung keine größere Bedeutung hat.
y(k) = et(i)
b(k) = set(i)
a(k) = pet(i)
x(k)
c(k) = cT(i)
Bild 5.8.3: Charakteristik eines Terminbogens k = [AKnN, EKn(i)]
Die Bogenkopplung hat die folgende Auswirkung auf die Menge miteinander gekoppelter Bögen: Ihre
dualen Kostenflüsse x(k) werden gemeinsam zu einer der Aktivität Ai zuzuordnenden Größe x*(i)
zusammengefasst:
x*(i) = x([AKn(i), EKn(i)]) + ∑{f(k)·x(k] | für Bogen k mit partner(k) = i}
x([AKn(i), EKn(i)]) ist der Durchfluss durch den Aktivitätsbogen.
Für (x*(i), y([AKn(i), EKn(i)])) gilt die Aktivitätscharakteristik, die Bild 5.8.4 zeigt.
Kapitel5: Netzplantechnik 111
y(k)
b(k)=normD(i)
a(k)=minD(i)
x*(i)
c(k) = -cD(i)
Bild 5.8.4: Charakteristik des Aktivitätsbogens k = [AKn(i), EKn(i)] bzw. der Aktivität Ai
Für jeden Abstandsbogen existiert eine Charakteristik der folgenden Art – Bild 5.8.5 – bei der die
Dauer seiner Partneraktivität in die Schranke eingeht:
y(k) = at(j) – at(i)
a(k) = f(k)·d(i) + W
x(k)
Bild 5.8.5: Charakteristik des Abstandsbogens k = [AKn(i), AKn(j)] – Typ = 0, c(k) = 0
5.3.2 Ermittlung einer Startlösung
Die Lösung der Aufgabe, Gewinnung einer optimalen Basislösung des Systems aus Zeitvorgaben und
Kostenfunktionen, die ein konkretes verallgemeinertes Netzplanmodell darstellt, erfolgt prinzipiell mit
den Mitteln, die wir von den anderen Aufgaben der Netzoptimierung kennen: Es wird eine erste nicht
notwendig zulässige Lösung erzeugt, die die Struktur einer Basislösung besitzt – die Startlösung. Für
diese wird ein Bogen gesucht, der nicht im Gleichgewicht („out-of-kilter“) ist, und so in einen seiner
Gleichgewichtszustände überführt, dass keiner der Bogen, die sich schon im Gleichgewicht befinden,
seine Charakteristik verlässt.
Eine optimale Lösung liegt genau dann vor, wenn sich alle Bogen des Netzes in einem
Gleichgewichtszustand befinden.
Zur Erzeugung der Startlösung wird folgender Prozess ausgeführt:
• Vom Knoten mit der Nummer 1, AKnN, aus wird eine Längste-Wege-Berechnung nach dem
Dantzig-Algorithmus durchgeführt, für die unterstellt wird, dass die interne Knotennummerierung
(von 1 bis n) eine topologische Ordnung des Netzes darstellt.
• Für diese Rechnung gelten folgende Festsetzungen für die Bogenlängen lg(k):
• lg([AKn(i), EKn(i)]) = d(i) := normD(i) für alle i
• lg([AKnN, EKn(i)]) = 0 auf den Terminbögen (bei x(k) = 0; vgl. Bild 5.8.3)
• lg(k) = a(k) für alle übrigen Bogen.
• Der Terminvektor t dieser Startlösung wird durch den dualen Kostenstromvektor x = 0 ergänzt,
was der Festlegung, x(k) = 0 auf allen Cogerüstbogen entspricht.
Im Zusammenhang mit der Dateneingabeschablone für Aktivitäten wurde darauf
hingewiesen, dass im Regelfall (Es existieren nur Abhängigkeiten der Typen 0 und 3, und das
Netz ist kreisfrei.) das Netz so aufgebaut wird, dass die Numerierung der Aktivitäten eine topologische
Ordnung ist. Das bedeutet, dass in der durch den Dantzig-Algorithmus gewonnenen Startlösung t
112 Kapitel 5: Netzplantechnik
höchsten für Abstandsbogen der Abstandstypen 1 oder 4 (bzw. auch 2 oder 5), die eine negative
Bogenlänge lg(k) = a(k) ≤ 0 haben, y(k) ≥ lg(k) nicht erfüllt ist. Für alle Aktivitätsbogen gilt
y(k) = normD(i), sie sind kritisch (d.h. im Gerüst).
Folglich können nur Terminbogen, [AKnN, EKn(i)] und [AKnN, EKnN], sowie die schon genannten
Abstandsbogen der Abstandstypen 1 oder 4 (bzw. auch 2 oder 5) unzulässig sein. Tritt eine
Unzulässigkeit auf, so denkt man sich die zugehörige Charakteristik so abgewandelt, dass die
Unzulässigkeit in einen Out-of-kilter-Zustand übergeht:
Das nachfolgende Beispiel (Bild 5.9) ist das Modellierungsbeispiel aus Bild 5.5.6. An ihm soll die
Erzeugung einer zulässigen Anfangslösung für weitere Optimierungen demonstriert werden:
Da wir im mathematischen Modell operieren, wurden im Bild 5.9
• die Abstandsvorgabe [A1, A3] mit den Parametern (1, 100, 1) in den Bogen [AKn(3), EKn(1)] mit
den Parametern (partner = 0, f = 0, W = -1)
• die Abstandsvorgabe [A1, A4] mit den Parametern (1, 90, 10) in den Bogen [AKn(4), AKn(1)] mit
den Parametern (partner = 1, f = -0.9, W = -10)
• die Abstandsvorgabe [A1, A2] in den Bogen [AKn(1), AKn(2)] mit den Parametern
•
(partner = 1, f = 0.4, W = 0)
die Abstandsvorgabe [A2, A3] in den Bogen
(partner = 2, f = 0.8, W = 0)
[AKn(2), AKn(3)] mit den Parametern
transformiert.
Die einfache Längste-Wege-Berechnung erbringt eine unzulässige Lösung: Die Abstände der Bogen
[AKn(3), EKn(1)] und [AKn(4), AKn(1)] sind nicht eingehalten:
et(1) - at(3) /≥ -1 und at(1) – (at(4) – 0,9·d(1)) /≥ -10.
Für die Charakteristik dieser Bogen gilt Bild 5.8.5 (bei f(k) = 0, bzw. f(k) = -0,9). Wir werden
sukzessive für beide versuchen durch Flussverkleinerung (x → -∞) und Spannungserhöhung einen
Gleichgewichtszustand für sie zu erreichen.
Legende:
Ai normD(i)
at(i)
minD(i)
-cD(i)
et(i)
x*(i)
W = -1
partner = 1, f = -0.9, W = -10
A1
6
2
-1
0
6
0
f = 0.4
4
-1
A3 10 6
-1
2,4 12,4
0
12 18
0
A2 12
A4
5
3
22 27
-1
0
f = 0.8
Bild 5.9: Beispiel zur Terminoptimierung –Anfangslösung: Unzulässige Startlösung
5.3.3 Die Prozedur „Gleichgewicht“
Das generelle algorithmisches Vorgehen der folgende Optimierungen besteht darin, zu einer StartBasislösung y und den zugehörigen Kostenstrom x einen Bogen zu suchen, der „out-of-kilter“, d.h.
nicht im Gleichgewicht ist. Ist ook ein solcher Bogen, so wird er durch Spannungs- und
Stromänderungen in einen seiner Gleichgewichtszustände überführt. Die Änderungen sind so
beschaffen, dass alle Bögen k, die sich schon in einem Gleichgewichtszustand befinden, im
Gleichgewicht bleiben, d.h. der Punkt (x(k), y(k)) eines solchen Bogens wird auf der
Bogencharakteristik bewegt. Für diesen Algorithmus benötigt man einen Spannungs- bzw. StromTransformationsvektor der Basislösung eines NMKP – vgl. Abschnitt 4.3: Ist ein Gerüst
gegeben, so erzeugt bekanntlich jeder seiner Bogen einen Basiscozyklus. Bei einer gewöhnlichen
Kapitel5: Netzplantechnik 113
Potentialaufgabe liefert ein solcher Basiscozyklus einen Vektor, den man einfach zur gegebenen
zulässigen Lösung y addieren kann, um wieder eine zulässige Lösung zu erhalten: Vorgesehen sei die
Spannungs- / Potentialtransformation y := y - p·dy, ook sei Gerüstbogen.
Im Fall einer einfachen Minimalkosten-Potentialaufgabe ohne Kopplung gilt dy = cz(ook), wobei
cz(ook) = (cz(ook, 1), cz(ook, 2), …, cz(ook, m)) der zum Gerüstbogen ook gehörende BasiscozyklusVektor ist. Sei akt eine Aktivität, deren Aktivitätsbogen in diesem Cozyklus liegt, so ist im hier
betrachteten Modell mit Bogenkopplung zu beachten, dass mit der Änderung der Aktivitätsdauer
d(akt) um ein dd(akt) sich die Schranke a(k) aller Abstandsbogen k, die mit akt gekoppelt sind
(partner(k) = akt) ändert: a(k) := a(k) + f(k)·dd(akt)). Dies betrifft auch Bogen, die nicht im Cozyklus
liegen, sondern kritisch sind. Folglich muss das y(k) eines solchen Bogens, das gleich a(k) ist,
ebenfalls um dy(k) = da(k) = f(k)·dd(akt) geändert werden. Da die Spannungsänderung eines kritischen
Bogens k über seinen Basiscozyklus cz(k) vollzogen werden muss, ergibt sich
dy = cz(ook) + da(k)·cz(k). Dieser neue Transformations-Vektor kann jedoch zu ähnlichen
Komplikationen führen. Folglich ist zu definieren:
Spannungs-Transformationsvektor dy der Basislösung eines NMKP ist eine Linearkombination
aus Basiscozyklusvektoren zum aktuellen Gerüst, die so beschaffen ist, dass
• dy(ook)
= 1, d.h. Spannungsänderung um ein noch zu bestimmenden Wert q bei ook
• dy(k) - da(k) = 0 für Bogen mit partner(k) ≠ 0, k kritisch und da(k) ≠ 0.
gilt.
Ist der Spannungs-Transformationsvektor dy ermittelt, muss der maximal mögliche Wert von q für
die Transformationsgleichung y := y - q·dy bestimmt werden: Dazu untersucht man alle im
Gleichgewicht befindlichen Bogen mit dy(k) ≠ 0, und wählt unter ihnen denjenigen, der p am meisten
einschränkt – er möge mit spannKrit bezeichnet werden.
Gilt ook = spannKrit, so sind wir fertig, ook befindet sich nach y := y - q·dy im Gleichgewicht.
Andernfalls suchen wir einen Strom-Transformationsvektor dx so, dass x := x - p·dx zugehöriger
Kosten-Strom für dass neue y ist. Dazu wird dx in ähnlicher Weise wie dy aus Basiszyklen zum
Gerüst erzeugt: Ausgangspunkt ist der Basiszyklus zum Cogerüstbogen spannKrit, denn dieser Bogen
geht in einen neuen Gleichgewichtszustand über. Der Zyklus kann einen Abstandsbogen k mit
partner(k) = i ≠ 0 enthalten, dessen Partneraktivität Ai kritisch ist, sodass die Flussänderung dx(k) dass
Gleichgewicht stört und durch eine weitere Flussänderung über den Basiszyklus z([AKn(i), EKn(i)])
ausgeglichen werden muss. Da weitere analoge Komplikationen möglich sind, definieren wir:
Strom-Transformationsvektor dx der Basislösung eines NMKP ist eine Linearkombination aus
Basiszyklusvektoren zum aktuellen Cogerüst, die so beschaffen ist, dass
• dx(ook)
= 1, d.h. Stromänderung um ein noch zu bestimmenden Wert p bei ook
• dx(k) – dx*(i) = 0 für Bogen mit partner(k) = i ≠ 0 und dx*(i) ≠ 0.
•
gilt.
Ist dx ermittelt, so wird ein maximales q bestimmt, das durch seine Einschränkung auf einem
stromKrit genannten Bogen definiert ist.
Die in einer Software realisierte algorithmische Erzeugung eines SpannungsTransformationsvektors dy erfolgt mit einem Objekt GlgSystem zur Aufstellung und Lösung des
angegebenen Gleichungssystems wie folgt:
• Mit dem Konstruktor public GlgSystem(int varNr) wird die Gleichung dy(ook) = 1 angelegt.
• Die Methode public void addOrKorrGlchg(int varNr1, int varNr2, double koeff)
o sucht, ob es schon eine zu varNr1 gehörende Gleichung gibt
114 Kapitel 5: Netzplantechnik
gibt es eine varNr1 zugeordnete Gleichung, so wird deren varNr2 zugeordnetes Glied
gesucht und um koeff vergrößert
o gibt es noch keine varNr1 zugeordnete Gleichung, so wird das Gleichungssystem um
eine neue Gleichung mit den beiden Variablen varNr1 (Koeffizient 1) sowie varNr2
(Koeffizient koeff) ergänzt.
Die Methode public void loeseGlgSystem() berechnet die Lösung des einfachen
Gleichungssystems mit dem Gaußschen Algorithmus. Anschließend können mit der Methode
public IntDouble getItem(Gleichung r) jeweils varNr und wert abgefragt werden.
o
•
Nach der Initialisierung von GlgSystem werden in einer Schleife die zu dem wachsenden
Gleichungssystem gehörenden varN-ummer-n bestimmt und cz(varNr) erzeugt - varNr ist die
Nummern eines kritischen Bogens. Nun wird für alle Bogen (= varNr1) mit Partner geprüft, ob sie
kritisch sind und ob ihr partner (= varNr2) zum Cozyklus gehört. Ist beides der Fall, wird
GlgSystem.addOrKorrGlchg(varNr1, varNr2, cz(varNr, varNr2)*v(varNr1)) aufgerufen.
Bricht der Prozess ab, so wird mit der Lösung
koeff = (koeff(varNr1), koeff(varNr2), …, koeff(varNrE)) die Linearkombination
dy = koeff(varNr1)* cz(varNr1) + koeff(varNr2)* cz(varNr2) + …+ koeff(varNr1)* cz(varNr)
gebildet, mit der eine neue Basislösung erzeugt werden kann.
ook
ook
stromKrit
k1
stromKrit
k1
k2
spannKrit
k2
spannKrit
Bild 5.10: Änderung des Gerüsts nach Änderung der Basislösung
Das Gerüst zur neuen Basislösung geht aus dem Gerüst zur alten Basislösung durch den Austausch
des „spannungskritischen“ Bogens spannKrit gegen den „flusskritischen“ Bogen stromKrit hervor. Im
allgemeinen Fall werden spannKrit und stromKrit nicht beide in einem Zyklus liegen. In diesem Fall
liegt im Basiszyklus zu spannKrit mindestens ein gekoppelter kritischer Bogen, dessen Partneraktivität
k1 (Nummer ihres Aktivitätsbogens) nicht kritisch ist, sodass der zu ihr gehörende Basiscozyklus
cz(k1) zum Transformationsvektor dy gehört. Auch cz(k1) kann einen gekoppelten kritischen Bogen
enthalten, dessen Partneraktivität k2 nicht kritisch ist usw. Bild 5.10 veranschaulicht die denkbare
Situation (linke Skizze). Der Austausch spannKrit gegen stromKrit im Gerüst, könnte so erfolgen, dass
spannKrit gegen k1, part(k1) gegen k2 und part(k2) gegen stromKrit ausgetauscht werden. Wegen der
oben getroffenen Festlegung, dass Aktivitätsbögen nur dann in das Gerüst aufgenommen werden,
Kapitel5: Netzplantechnik 115
wenn ihre Dauer einen kritischen Wert hat (minD oder normD), werden statt des Austauschs part(k1)
gegen k2 bzw. part(k2) gegen stromKrit, der Anfangsknoten von part(k1) zusammen mit f(part(k1))
bzw. der Anfangsknoten von part(k2) zusammen mit f(part(k2)) geändert (rechte Skizze) – vgl. auch
Bild 5.7.
Wir verdeutlichen die eventuell notwendige Abstandsbogen-Transformation an einem Beispiel – vgl.
Bild 5.11: Das Bild 5.11.1 zeigt ein Netz aus drei Aktivitäten mit einer Basislösung und den
zugehörigen Kostenstrom bei cTN = 2.
A1 20 10
0 20
-1
-1,5
A2 12 8
10 20
50%
AKnN
-1
-1
0
EKnN
20
A3 15 6
0 15
-1
0
x=0
x=2
Legende:
Ai normD(i)
at(i)
minD(i)
-cD(i)
et(i)
x*(i)
Bild 5.11.1: Transformation einer Basislösung
Aktivität A1 ist out-of-kilter, denn bei d(1) = normD(1) = 20 müsste x*(1) ≥ -1 gelten, im Widerspruch
zu x*(1) = -1 + 0,5(-1) = -1,5. Der Basiscozyklus zum Out-of-kilter-Bogen [AKn(1), EKn(1)] ist durch
die schraffierte Linie beschrieben:
cz(1) = {[AKn(1), EKn(1)], [AKn(3), EKn(3)], [EKn(3), EKnN], [AKnN, EKnN]}. Ändert man über diesen
Cozyklus die gegebene Spannung, so ändert man mit der Dauer d(1) auch den Mindestabstand auf
[AKn(1), AKn(2)]. Folglich ist dy = cz([AKn(1), EKn(1)]) – 0,5·cz([AKn(1), AKn(2)]) der SpannungsTransformationsvektor der vorliegenden Basislösung, und y := y - 4dy gibt eine neue zulässige
Basislösung, die Bild 5.11.2 zeigt.
A1 20 10
0 16
-1
-1
50%
A2 12 8
8 16
AKnN
0
-1
-2
EKnN
16
A3 15 6
0 15
-1
0
x=0
x=2
Bild 5.11.2: Die neue Basislösung
116 Kapitel 5: Netzplantechnik
Beispiel zur Terminoptimierung – Bild 5.12: Wir greifen das Beispiel aus Abschnitt 5.3.2 (Bild 5.9)
wieder auf, um die Unzulässigkeit der Lösung zu beseitigen.
Legende:
Ai normD(i)
at(i)
minD(i)
-cD(i)
et(i)
x*(i)
W = -1
x = -p
A1
6
2
-1
0
6
0.6p
partner = 1, f = 0.4
A2 12
partner = 1, f = -0.9, W = -10
4
-1
2,4 12,4 -0.8p
A3 10 6
-1
12 18
0
A4
5
3
22 27
-1
0/0
partner = 2, f = 0.8
Bild 5.12.1: Beispiel zur Terminoptimierung – Startlösung – vgl. Bild 5.9
Für dieses Ziel wählen wir [AKn(3), EKn(1)] als Out-of-Kilter-Bogen. Um ihn ins Gleichgewicht zu
bringen schicken wir einen Fluss der Stärke –p durch ihn. (Für p = -∞ würde der Bogen als im
Gleichgewicht befindlich gelten.): Für p ≥ 1, 25 würde [AKn(2), EKn(2)] wegen
x*([AKn(2), EKn(2)]) ≥ -1 oder -0,8p ≥ -1 aus dem Gleichgewicht geraden. Es muss
d(2) ≤ normD(2) = 12 gelten. Mit p ≥ 1,125 und d(2) berechnet aus at(3) – et(2) = 1 zu d(2) = 5,75
ergibt sich die Lösung, die Bild 5.12.2 zeigt. Der Bogen [AKn(3), EKn(1)] muss im Austausch gegen
den nicht mehr kritischen Aktivitätsbogen [AKn(2), EKn(2)] in das Gerüst. Dabei stoßen wir auf eine
Situation wie sie oben – vergleiche Bild 5.7 – diskutiert wurde: Es entstünde ein Zyklus aus kritischen
Bogen. Daher wird der Bogen [AKn(2), AKn(3)] in den Bogen [EKn(2), AKn(3)] transformiert –
verbunden mit der Überführung seines Parameters f = 0,8 in f:= -1 + 0,8 = -0,2.
W = -1
partner = 1, f = -0.9, W = -10
x = -p
A1 6 2
0 6
-1
0,75 - p
partner = 1, f = 0,4
(x = -1,25)
A2 12
4
-1
2,4 8,15
-1
A3 10 6 -1
7 13
-p
A4
5
3 -1
17 22
0
partner = 2, f = -0,2
(x = -1,25)
Bild 5.12.2: Beispiel zur Terminoptimierung: - weiter unzulässig
Die Lösung ist noch immer unzulässig. Zwar wird der mit dem Bogen [AKn(3), EKn(1)] geforderte
Abstand jetzt eingehalten aber der Bogen ook = [AKn(4), AKn(1)] ist weiterhin out-of-kilter. Mit dem
gleichen Vorgehen wie eben ändern wir den Strom durch die Vorgabe x(ook) = -p über den
Basiszyklus
[[AKn(4), AKn(1)], [AKn(1), EKn(1)], -[AKn(3), EKn(1)], [AKn(3), EKn(3)], [EKn(2), AKn(4)]].
Bei p > 1 würde A3 in einen Out-of-kilter-Zustand geraden: Es muss d(3) ≤ normD(3) = 10 gelten. Mit
p = 1 und d(3) berechnet aus 0,9·d(1) – (0,4·d(1) + 0,8·d(2) + d(3)) = -10 zu d(3) = 8,4 ergibt sich die
Lösung, die Bild 5.12.3 zeigt.
Kapitel5: Netzplantechnik 117
W = -1
(x = -0,25)
A1 6 2
-1
0 6
0,65
A2 12
partner = 1, f = 0,4
(x = -1,25)
4 -1
2,4 8,15
-1
partner = 1, f = -0.9, W = -10
(x = -1)
A3 10 6 -1
7 15,4 -1
A4
5
3
-1
15,4 20,4 0 / 0
partner = 2, f = -0,2
(x = -1,25)
Bild 5.12.3: Beispiel zur Terminoptimierung – zulässige Anfangslösung
5.4
Projekt-Kosten in Abhängigkeit von der Projektdauer
Nehmen wir an – dies ist der Regelfall – die pet(i)-Werte seien so groß, dass sie praktisch nicht
existieren. Dann stellt die zuläsige Anfangslösung, die von d(i) = normD(i) für alle Aktivitäten Ai
ausgeht und bei cTN = 0 nur notwendige Kürzungen enthält, die billigste Lösung dar, allerdings auch
die mit der längsten Gesamtdauer (etN). Es interessiert die Frage wie man diese Lösung mit möglichst
geringen Kosten kürzen kann.
Wir haben die Problematik schon im Abschnitt 3.3.2 für klassische Vorgangspfeilnetze behandelt, und
wie dort lösen wir diese Aufgabe über eine parametrische Optimierung, indem wir petN = 0 setzen
und die Überschreitung mit einem Parameter cTN = λ bewerten.
Für die Anfangslösung gilt λ = 0.
Der Netzbogen [AKnN, EKnN] (im Programm der Bogen mit der Nummer 1) ist in der Anfangslösung
Cogerüstbogen. Über seinen Basiszyklusvektor z(1) kann der Parameter λ in den Kostenstrom x
eingefügt werden: x(λ):= x + λ ·z(1).
• Man berechne für jeden relevanten Bogen k bei welchem Wert λ(k) ≥ 0 er aus seinem
Gleichgewicht geraden würde. Der Bogen mit dem kleinsten λ(k) möge Parameter-kritisch
heißen, wir bezeichnen ihn mit ook: min{ λ(k) | λ(k) ≥ 0) = λ(ook).
Falls λ(ook) < ∞:
• Man ermittle für den Gerüstbogen ook ausgehend von cz(ook) den SpannungsTransformationsvektor dy(ook).
Die bestehende Spannung y soll so geändert werden (y := y + q·dy(ook)), dass kein Bogen sein
Gleichgewicht verliert, aber der Bogen 1 möglichst stark gekürzt wird: Der Bogen, den q–Wert
für die maximale Änderungsmöglichkeit bestimmt, heiße Spannungs-kritisch, spannKrit.
•
y := y + q·cz(ook)
Falls spannKrit ≠ ook:
•
•
Der Cogerüstbogen spannKrit wird Gerüstbogen, der Gerüstbogen ook wird Cogerüstbogen.
Man ermittle für den Cogerüstbogen ook ausgehend von z(ook) den Strom-Transformationsvektor
dx(ook): Der bestehende Strom x muss an den geändert Gleichgewichtszustand von ook angepasst
werden, wobei kein Bogen sein Gleichgewicht verlieren darf.
•
x := x + p·dx(ook) mit p das
den Gleichgewichtszustand des Bogens ook sichert.
Für das schon zur Demonstration der Herstellung einer Anfangslösung oben genutzte Beispiel 1 (vgl.
Bild 5.12) wird nachfolgend der Prozess demonstriert. Er liefert die Projektdauer-Kosten-Funktion
Bild 5.13.1, von der wir mit Bild 5.12.3 den ersten Punkt ermittelt haben, nämlich die Anfangslösung
mit etN = 20,4 und
Kürzungskosten = (normD(2) – d(2)) + (normD(3) – d(3)) = (12 – 5,75) + (10 – 8,4) = 7,85 ≈ 8
118 Kapitel 5: Netzplantechnik
Kürzungskosten
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
etN
7
13
22
14
15
16
17
18
19
20
Bild 5.13.1: Projekt-Dauer-Kosten-Funktion für Beispiel 1
W = -1
(x = -0,25)
A1 6 2
-1
0 6 0,65-0,9λ
A2 12
partner = 1, f = -0.9, W = -10
(x = -1 + λ)
4
-1
2,4 8,15
-1
A3 10 6
7 15,4
-1
-1
A4
5
3 -1
15,4 20,4 -λ
partner = 2, f = -0,2
(x = -1,25)
partner = 1, f = 0,4
x = -1,25
x=λ
Bild 5.13.2: Beispiel 1 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
Bild 5.13.2 zeigt die Anfangslösung aus Bild 5.12.3, allerdings wurde das Netz jetzt durch einen
Netzbogen ergänzt, der (vereinfacht) AKn(1) mit verbindet EKn(1). Ihm wurde x(1) = λ zugewiesen,
und über den Zyklus z(1) = [1, -[AKn(4), EKn(4)], -[AKn(4), AKn(1)]] wurde der Strom des Netzes
entsprechend geändert. A4 würde für λ > 1 wegen x*(4) = -λ < -1 in einen Out-of-kilter-Zustand
geraden, was durch Kürzung verhindert wird: d(4):= minD(4) = 3:
ook = spannKrit = [AKn(4), EKn(4)], A4 bleibt kritisch – siehe Bild 5.13.3. Die neue Lösung liefert den
Punkt (et(4), Kürzungskosten) = (18.4, 10.85) der Projekt-Dauer-Kosten-Funktion – siehe Bild 5.13.1.
Kapitel5: Netzplantechnik 119
W = -1
x = -0,25
A1 6 2
-1
0 6 0,25/0,65-0,9λ
A2 12
4
partner = 1, f = -0.9, W = -10
x = -1 + λ
A3 10 6
-1
2,4 8,15 -1,25 / -1
-1
7 15,4 -1 / -1
partner = 2, f = -0,2
x = -1,25
partner = 1, f = 0,4
x = -1,25
A4
5
3
-1
15,4 18,4 -λ / -λ
x = -1
x=p
Bild 5.13.3: Beispiel 1 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
Die neue Lösung ist nur für λ = 1 stabil, aber für λ > 1 gerät der Bogen [AKn(4), AKn(1)] = ook aus
dem Gleichgewicht. Gemäß Charakteristik (vgl. Bild 5.8.5) muss seine Spannung über
cz(ook) = {ook, -[AKn(3), EKn(3)], [AKn(1), EKn(3)]} vergrößert werden.
spannKrit = [AKn(3), EKn(3)], die Aktivität A3 erreicht minD(3) = 6; im Gerüst wird ook gegen
spannKrit ausgetauscht; über den Zyklus
z(ook) = [ook, [AKn(1), EKn(1)], -[EKn(1), AKn(3)], [AKn(3), EKn(3)], [EKn(3), AKn(4)]]
ändern wir den Strom so, dass x(ook) = 0 gilt; – siehe Bild 5.13.4.
(et(4), Kürzungskosten) = (16, 12.25)
W = -1
x = -1,25 +λ
A1 6 2
-1
0 6 1,25-λ /0,75-λ
A2 12
4
-1
2,4 8,15 -1,25 / -1
partner = 1, f = -0.9, W = -10
x=0
A3 10 6
A4
7 13 -λ / -λ
partner = 2, f = -0,2
x = -1,25
partner = 1, f = 0,4
x = -1,25
-1
5
3
13 16
-1
-λ / -λ
x = -λ
x=λ
Bild 5.13.4: Beispiel 1 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
Der neue Zustand ist für -1,25 + λ ≤ 0, also für 1 ≤ λ ≤ 1,25 stabil, dann gerät [AKn(3), EKn(1)] aus
dem Gleichgewicht, und seine Spannung muss größer als -1 werden: ook = [AKn(3), EKn(1)]; die
Spannungsänderung geschieht über
cz(ook) = {ook, -[AKn(2), EKn(2)], [AKn(4), AKn(1)], -[AKn(1), EKn(4)]};
dieser enthält [AKn(2), EKn(2)], also muss auf Grund der Kopplung
cz([EKn(2), AKN(3)]) = {[EKn(2), AKn(3)], -[AKn(2), EKn(2)]} in den Transformationsvektor dy
einbezogen werden:
dy(ook) = 1, dy([EKn(2), AKn(3)]) + 0,2·(dy(ook) + dy([EKn(2), AKn(3)])) = 0;
Lösung: dy(ook) = 1, dy([EKn(2), AKn(3)]) = 0,25;
y := y + q·(cz(ook) + 0,25·cz([EKn(2), AKn(3)])); für q = 1,4 erreichen wir die maximale Änderung,
y(pannKrit) = d(2) := 4, spannKrit = [AKn(2), EKn(2)]; im Gerüst wird ook gegen spannKrit getauscht;
x(ook) := 0, es ergibt sich der Netzzustand, den Bild 5.13.5 zeigt.
(et(4) = 14.6, Kürzungskosten = 14).
120 Kapitel 5: Netzplantechnik
W = -1
x =0
A1 6 2
-1
0 6 0 / -0,4λ
A2 12
partner = 1, f = -0.9, W = -10
x=0
4
-1
2,4 6,4 -λ / -0,8λ
A3 10 6
-1
5,6 11,6 -λ / -λ
5
3
-1
11,6 14,6 -λ / -λ
x = -λ
partner = 2, f = -0,2
x = -λ
partner = 1, f = 0,4
x = -λ
A4
x=λ
Bild 5.13.5: Beispiel 1 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
Die neue Lösung ist für 1,25 ≤ λ ≤ 2,5 stabil. Für λ > 2,5 gerät A1 aus dem Gleichgewicht. Es muss
gekürzt werden.
Der Verlauf ist formal wie folgt zu protokollieren: ook = [AKn(1), EKn(1)];
cz(ook) = {[ook, -[AKn(3), EKn(1)]}; auf Grund der Kopplung muss
cz([AKn(1), AKn(2)]) = {[AKn(1), AKn(2)], -[AKn(3), EKn(1)], -[AKn(4), AKn(1)], [AKn(1), EKn(4)]} in
den Transformationsvektor dy einbezogen werden:
dy(ook) = 1, dy([AKn(1), AKn(2)]) - 0,4dy(ook) = 0;
Lösung: dy(ook) = 1, dy([AKn(1), AKn(2)]) = 0,4;
y := y - q·(cz(ook) + 0,4·cz([AKn(1), AKN(2)])); für q = 2,3 erreichen wir die maximale Änderung,
y(pannKrit) := -1, spannKrit = [AKn(3), EKn(1)]; ook wird im Gerüst durch spannKrit ersetzt;
x*(1) := -1: Stromänderung über den Zyklus z(ook) = [ook, -[AKn(3), EKn(1)], -[EKn(2), AKn(3)],
-[AKn(2), EKn(2)], -[AKn(1), AKn(2)]] um p ändert x*(1) := -0,4·λ + p – 0,4·p,
p = -1,7 + 0,7·λ. Es ergibt sich der Netzzustand, den Bild 5.13.6 zeigt;
(et(4) = 13.7, Kürzungskosten = 16,3).
Die neue Lösung ist für λ ≥ 2,5 stabil und die kürzeste aber auch teuerste Lösung.
W = -1
x = 1,7 - 0,7λ
A1 6 2
-1
0 3,7-1,7+0,7λ / -1
A2 12
4
partner = 1, f = -0.9, W = -10
x=0
-1
1,5 5,5 -λ / -0,8λ
A3 10 6
A4
4,7 10,7 -λ / -λ
partner = 2, f = -0,2
x = 1,7(1 - λ)
partner = 1, f = 0,4
x = 1,7(1 - λ)
-1
5
3
-1
10,7 13,7 -λ / -λ
x = -p
x=λ
Bild 5.13.6: Beispiel 1 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
Als Beispiel 2 wollen wir das Beispiel d) aus Abschnitt 5.2 betrachten (vgl. Bild 5.5.4). Die folgende
Rechnung liefert die Projektdauer-Kosten-Funktion Bild 5.14.1.
Startpunkt ist der Terminplan mit d(1) = normD(1) = 10, d(2) = normD(2) = 10; etN = 12,
Kürzungskosten = 0 – vgl. Bild 5.14.2. x = λ auf dem Netzbogen stimuliert die Kürzung: Bei λ > 1
würde A3 aus dem Gleichgewicht geraden, deshalb Kürzung um 1, dann wird [EKn(2), EKn(3)]
kritisch – vgl. Bild 5.14.3. Der Strom mit x*(3) = -1 bewirkt, dass A2 bei λ > 2 aus dem
Gleichgewicht geraden würde, deshalb Kürzung von A2 und A3 um jeweils 1, dann wird
kritisch – vgl. Bild 5.14.4. Die neue Lösung ist für λ ≥ 2 stabil, also die
Lösung mit der kürzesten Gesamtdauer.
[EKn(1), EKn(2)]
Kapitel5: Netzplantechnik 121
Kürzungskosten
3
2
1
etN
0
10
11
12
Bild 5.14.1: Projekt-Dauer-Kosten-Funktion für Beispiel 2
A1 10 10
0
10
A2 10
0/-
3
1 11
x = -λ, y ≥ 1
-1
A3
0/0
10
5
2
12
-1
-λ / -λ
x = -λ, y ≥ 1
x=λ
Bild 5.14.2: Beispiel 2 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
x = -λ + 1
A1 10 10
0
10
A2
0/-
10
3
1
11
x = -λ, y ≥ 1
-1
A3
-λ + 1 / -λ + 1
10
5
2
11
-1
-1 / -1
x = -1, y ≥ 1
x=λ
Bild 5.14.3: Beispiel 2 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
x = -λ + 1
x = -λ + 2
A2
A1 10 10
0
10
-λ / -
x = -2, y ≥ 1
10
3
1
10
-1
-1 / -1
x = -1, y ≥ 1
x=λ
Bild 5.14.4: Beispiel 2 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
A3
10
5
2
10
-1
-1 / -1
122 Kapitel 5: Netzplantechnik
Wir betrachten abschließend ein weiteres Beispiel 3. Es handelt sich um das Bespiel, das schon mit
dem Beispiel im Abschnitt 5.3.3, Bild 5.11 angesprochen wurde. Das relativ triviale Beispiel ist durch
die Kopplung des Abstandsbogens mit der Aktivität 1 nicht ganz uninteressant, aber vor allem soll es
im nächsten Kapitel als Beispiel für Ressourceneinsatz-Planung dienen. Die zu entwickelnde Lösung
wird als Ausgangslösung (minimale Projektdauer) für ein übersichtliches Beispiel zur
Ressourceneinsatz-Optimierung dienen.
Bild 5.15.1 enthält die Startlösung, die mit Dauer etN = 22 und Kürzungskosten = 0 in diesem Fall für
x([AKnN, EKnN]) ≤ 1 optimal ist und die „Normaldauer“ des Projekts realisiert.
A1 20 10
-1
0 20
-0.5λ
f = 0.5
A2 12 8
AKnN
0
10 22
A3 15 6
-1
-λ
EKnN
22
-1
x=0
0 15
0/0
x=λ
Bild 5.15.1: Beispiel 3 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
x([AKnN, EKnN]) = λ; für λ > 1 gerät A2 aus dem Gleichgewicht: Kürzung der Aktivität A2 um 2
Zeiteinheiten - führt zur Netzdauer etN = 20, d(2) = 10 und Kürzungskosten = 2 – vgl. Bild 5.15.2.
A1
20 10
-1
0 20
-0.5 - λ
f = 0.5
A2 12 8
AKnN
0
10 20
A3 15 6
-1
0 15
0
-1
-1
EKnN
20
x=0
x=1+λ
Bild 5.15.2: Beispiel 3 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
Für λ > 0,5 gerät A1 aus dem Gleichgewicht: Kürzung der Aktivität A1 um 4 Zeiteinheiten und der
Aktivität A2 um 2 Zeiteinheiten führt zur Netzdauer etN = 16 und Kürzungskosten = 2 + 4·1,5 = 8.
Zu beachten ist, dass der Cozyklus zum flusskritischen Bogen [AKn(1), EKn(1)] wegen der Kopplung mit
einem Cozyklus zum Abstandsbogen [AKn(1), AKn(2)] zu verbinden ist – vgl. Bild 5.15.3.
Kapitel5: Netzplantechnik 123
A1
20 10
-1
0 16
-1
f = 0.5
A2 12
AKnN
0
8
A3 15 6
-1
0 15
0
8
-1
EKnN
16
16 -1 - 2λ
x=0
x =1,5+ λ
Bild 5.15.3: Beispiel 3 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
Für λ > 0,5 gerät [EKn(1), EKnN] aus dem Gleichgewicht (x([EKn(1), EKnN]) = λ - 0,5): Die Kürzung
von A1 ist zu verbinden mit einer Kürzung im Cozyklus zu [AKn(1), AKn(2)]: Dauer etN = 15 bei
Kürzungskosten = 8+1·2 = 10 – vgl. Bild 5.15.4.
Der Austausch von [EKn(1), AKnN] gegen [EKn(3), EKnN] im Gerüst muss mit einer Änderung des
Bogens [AKn(1), AKn(2)] zu [EKn(1), AKn(2)] verbunden werden (f = 0,5 ändert sich zu f = -0,5).
A1
20 10
-1
0 14
-1
x=0
f = -0.5
AKnN
0
A3
15
6
-1
0
15
-λ
A2 12
8
-1
7
15
-2
EKnN
15
x=2+λ
Bild 5.15.4: Beispiel 3 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
Für λ > 1 ist Aktivität A3 zu kürzen - um 2 Zeiteinheiten und Aktivität A1 um 4 Zeiteinheiten. Wir
erhalten die minimalen Projektdauer etN = 13, die mit den Kürzungskosten = 10 + 2 + 4 = 16 zu
realisieren ist - vgl. Bild 5.15.5. Sie ist für λ > 0 stabil.
A1
20 10
-1
x=0
0 10 -1- 0,5λ
f = -0.5
AKnN
0
A3
15
6
-1
0
13
-1
A2 12
8
5
13
x=3+λ
Bild 5.15.5: Beispiel 3 zur Projekt-Dauer-Kosten-Optimierung
-1
-2 -λ
EKnN
13
124 Kapitel 5: Netzplantechnik
Bild 5.15.6 zeigt die resultierende Projekt-Dauer-Kosten-Funktion.
Kürzungskosten
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
etN
0
13
14
15
16
17
18
19
20
Bild 5.15.6: Projekt-Dauer-Kosten-Funktion für Beispiel 3
21
22
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 125
6
Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
6.1
Grundlagen
In der Einführung zu Kapitel 5 wurde bereits ausgeführt, dass Ablaufplanung im Allgemeinen von
einem Verzeichnis ausgeht, das die zu leistenden Arbeiten aufzählt - Leistungsverzeichnis. In diesem
Verzeichnis werden zu den aufgeführten Arbeiten Umfangsangaben gemacht, z.B. eine Anzahl von
Kubikmeter auszuhebenden Erdreichs oder eine Anzahl von Kubikmeter zu errichtenden Mauerwerks
und ähnliche. Bei der Durchführungsplanung werden aus den im Leistungsverzeichnis genannten
„Leistungen“ Aktivitäten oder Vorgänge gebildet. Die Dauer einer solchen Aktivität hängt dann davon
ab, mit welcher Intensität die zugehörige Arbeit ausgeführt wird, d.h., wie viele Arbeitskräfte und/oder
Maschinen (z.B. Bagger) für ihre Durchführung eingesetzt werden. Der Planung des Einsatzes solcher
ausführenden Arbeitskräfte und Maschinen ist dieses Kapitel gewidmet. Wir begeben uns damit in ein
breites Gebiet, das mit Begriffen wie „Scheduling“, „Resource Allocation“, Maschineneinsatzplanung, … zu den wichtigsten Gebieten der Operations Research gehört.
Den Begriff Ressource (Hilfsquelle) benutzen wir im Folgenden als Sammelbezeichnung für alle
Hilfsmittel, die im zu planenden Prozess eine Rolle spielen. Ressourcen sind also,
1. finanzielle Mittel
2. alle möglichen Materialien
3. Arbeitkräfte, geordnet nach Gewerken
4. Maschinen der verschiedensten Zweckbestimmung – Maschinenarten
5. Räumlichkeiten bzw. Flächen.
Nach der Art ihrer Nutzbarkeit müssen wir zwischen
• Verbrauchsressourcen – finanzielle Mittel und Material sowie
• erneuerbaren Ressourcen – Arbeitkräfte, Maschinen, Räume / Flächen
unterscheiden.
6.1.1 Verbrauchsressourcen
Materialien, Energie, Finanzmittel, ... sind im Allgemeinen mit einem Betrag um(i, r) zur Verfügung
zu stellen, der meist zu Beginn der Bearbeitung einer Aktivität Ai benötigt wird (- um wie Umfang der
Belastung der Ressource Rr). Dieser Betrag ist unabhängig von der Ausführungsdauer der Aktivität.
Auf der Basis des mit Terminen versehenen Ablaufplans berechnet man aus diesen Angaben
Bereitstellungspläne: Wann wie viel von einem fixierten Material benötigt wird.
Es kann allerdings auch die Situationen geben, in denen ein gleichmäßiger Bereitstellungsstrom
solcher Ressourcen zu planen ist. Dieses Problem kann analog zum folgenden Planungsproblem der
erneuerbaren Ressourcen gelöst werden.
6.1.2 Erneuerbare Ressourcen
„Erneuerbar“ heißt eine Ressource, wenn sie nach ihrer Nutzung durch eine Aktivität, in gleicher
Weise von einer anderen genutzt werden kann – nachdem ein Bagger eine Grube ausgehoben hat,
kann er eine zweite ausheben; im Unterschied zu Ziegelsteinen, die, wenn verbaut, nicht von einem
weiteren Vorgang genutzt werden können.
Die Eigenschaft der Erneuerbarkeit deckt sich mit der mathematischen Stromeigenschaft:
Arbeitskräfte / Maschinen, die man von verschiedenen Seiten zusammengeführt hat, damit sie
gemeinsam eine Aktivität ausführen, können, wenn sie das erledigt haben, ohne Verlust, zu
verschiedenen anderen Aktivitäten weitergeleitet werden.
Für erneuerbare Ressourcen ergeben sich einige Aufgaben der Einsatzoptimierung, z. B. die
klassischen Optimierungsaufgaben:
• „Minimiere bei vorgegebener Ablaufdauer die Anzahl der benötigten Einheiten einer bestimmten
Ressourcenart“ oder
• „Minimiere die Dauer des Gesamtablaufes bei vorgegebener Anzahl der in ihm eingesetzten
Ressourceneinheiten einer oder auch mehrerer Ressourcenarten“.
126 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
Um solche Aufgaben genauer betrachten zu können bedarf es einiger Präzisierungen: Es ist sinnvoll zu
unterstellen, dass für eine Aktivität Ai ein Arbeits-„Umfang“ um(i, r) vorgegeben ist, den die
Ressourcenart Rr für sie zu erbringen hat. Ist lstg(i, r) die Leistung der Ressource Rr während der
Bearbeitung von Ai, so ist der Ansatz, lstg(i, r) ≈ um(i, r) / d(i) (Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit)
bzw. d(i) ≈ um(i, r) / lstg(i, r) (je stärker die Leistung, desto schneller die Ausführung des Prozesses),
sinnvoll. Wir unterstellen im Folgenden:
Für minD(i) ≤ d(i) ≤ normD(i) möge die Gleichung
Genauigkeit gelten.
d(i) = um(i, r) / lstg(i, r) mit hinreichender
Die Schranken minD(i) und normD(i) werden somit als Gültigkeitsbereich der Gleichung
d(i) = um(i, r) / lstg(i, r) definiert.
Im allgemeinen Fall benötigt eine Aktivität mehrere Ressourcenarten Rr zu ihrer Ausführung. Die
Gleichungen d(i) = um(i, r) / lstg(i, r) für verschiedene r könnten in einem solchen Fall verschiedene
Werte von d(i) liefern. Dem begegnen wir, indem wir abgestimmte (parallele) Arbeit der ausführenden
Ressourcen Rr am Prozess Ai unterstellen, also,
d(i) = max{um(i, r) / lstg(i, r) | für r mit um(i, r) > 0 und Rr erneuerbar}.
Diese Festlegung führt praktisch dahin, dass eine Ressource die Aktivitätsdauer d(i) definiert, und aus
diesem Ergebnis folgen über lstg(i, r) = um(i, r) / d(i) die Leistungen der anderen am Vorgang
beteiligten Ressourcen für seine Ausführung. Die Ressource, die die Aktivitätsdauer definiert, wird
von einigen Autoren auch als „Leitressource“ bezeichnet.
Der Hyperbelzweig, x(i, i, r) = lstg(i, r) = um(i, r) / d(i), minD(i) ≤ d(i) ≤ normD(i), in einem d-x–System,
lässt sich leicht linear nähern. Es ist z. B. sinnvoll, wie es Bild 6.1 für das Beispiel um(i, r) = 80,
minD(i) = 10,
normD(i) = 20 zeigt, die ganzzahligen Werte von x(i, i, r) als Stützstellen einer
stückweise linearen Näherung zu verwenden. Im Beispiel gilt,
für 16 ≤ d(i) ≤ 20 x(i, i, r) = 9 - 1/4d(i),
für 13,3 ≤ d(i) ≤ 16
x(i, i, r) = 11 - 3/8d(i),
für 11,4 ≤ d(i) ≤ 13,3 x(i, i, r) = 13 - 21/40d(i),
für 10 ≤ d(i) ≤ 11,4 x(i, i, r) = 15 - 7/10d(i).
x(i, i, k)
9
8
7
6
5
4
3
d(i)
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Bild 6.1: Lineare Näherung der Kopplungsgleichung x(i, i, r) = um(i, r) / d(i) - beispielhaft
Wir formalisieren diese lineare Abhängigkeit durch x(i, i, r, d(i)) = gw(I, r, d(i)) – f(i, r, d(i))·d(i), mit
• gw(i, r, d(i)) Grundwert
Faktor
• f(i, r, d(i))
- beide von d(i) abhängig.
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 127
An den inneren Eckwerten von d(i) – im Beispiel Bild 6.1 die Werte d(i) = 11,4; 13,3 und 16 – sind
gw(i, r, d(i)) und f(i, r, d(i)) nicht eindeutig, weshalb im Folgenden gelegentlich gw(i, r, d(i) - ε) und
f(i, r, d(i) + ε) für eine kleine Größe ε ≥ 0 herangezogen werden.
Es existieren auch erneuerbare Ressourcen, für die die Leistung lstg(i, r) unabhängig von der
Aktivitätsdauer ist und direkt vorgegeben wird, anstatt sie über die Vorgabe eines Arbeitsvolumens
um(i, r) zu bestimmen. Das gilt z. B. für Raumnutzung: Ist etwa eine Aktivität Ai eine
Unterrichtseinheit, die einen Unterrichtsraum benötigt, so ist für die Ressource Raum nur die Angabe,
lstg(i, Raum) = 1 sinnvoll.
Wie schon gesagt, können erneuerbare Ressourcen in einem Ressourcennetz als Strom dargestellt
werden. Das Ressourcennetz einer erneuerbare Ressource Rr hat dann folgenden Aufbau. Es
existieren:
• ein Quellknoten Q(r) mit Bogen [Q(r), AKn(i)] und den Flüssen x(0, i, r) für jedes i mit um(i, r) > 0
• ein Senkenknoten S(r) mit Bogen [EKn(i), S(r)] und den Flüssen x(i, 0, r) für jedes i mit um(i, r) > 0
• ein Rückkehrbogen [S(r), Q(r)] mit dem Fluss x(0, 0, r)
• zu jedem i mit um(i, r) > 0 der Fluss x(i, i, r) = lstg(i, r) = um(i, r) / d(i)
• Umsetzbogen [EKn(i), AKn(j)]r mit den Flüssen x(i, j, r) – vgl. Bild 6.2.
AKn(i1)
x(0, i1, r)
x(i1, i1, r)
EKn(i1)
x(i2, i1, r)
x(i1, 0, r)
EKn(i2)
AKn(i2)
Q(r)
S(r)
AKn(ie)
EKn(ie)
x(0, 0, r)
Bild 6.2: Ressourcennetz - schematisch
Die Maßeinheiten der Ressourcenflüsse werden wir als Ressourceneinheiten bezeichnen; es handelt
sich um Arbeitskräfte, Maschinenanzahlen, Räume und dergleichen, also um Größen, die im
Allgemeinen ganze Zahlen sein sollten. Die Forderung der Ganzzahligkeit werden wir jedoch nicht in
die Aufgabenstellung einbringen, weil sich die Werte aus Umfangsangaben ergeben, die durch die
Leistung geteilt werden, so dass z.B. die Angabe 1,5 Mann als 1 Mann interpretiert werden kann, der
mit höherer als der normalen Leistung arbeiten muss, oder aber als 2 Mann, deren normale
Leistungsfähigkeit nicht ausgeschöpft wird.
Die Ressourcennetze (Bild 6.2) sind Zusätze zum Netzplan, den wir in diesem Zusammenhang auch
als Zeitnetz bezeichnen wollen. Das Gesamtnetz besteht aus dem Zeitnetz und allen
Ressourcennetzen.
Zeitnetz und Ressourcennetze haben gemeinsame Knoten aber keine gemeinsamen Bogen. Stattdessen
sind sie über Bogen gekoppelt, die jeweils einer Aktivität zuzuordnen sind: Der Fluss x(i, i, r) im
Bogen [EKn(i), AKn(i)]r des Ressourcennetzes zur Ressource Rr ist, gemäß der linearen Näherung von
x(i, i, r) = um(i, r) / d(i) nach Bild 6.1, linear abhängig von der Spannung y(i, i) = d(i) des
Aktivitätsbogens [EKn(i), AKn(i)] des Zeitnetzes – zum Beispiel gilt für 16 ≤ d(i) ≤ 20
x(i, i, r) = 9 - 1/4d(i). Durch die stückweise lineare Näherung ist diese Abhängigkeit aber noch
zusätzlich von d(i) abhängig (vgl. oben, Beispiel Bild 6.1).
128 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
6.2
Kostenminimierung zeitabhängiger Ressourcenströme
6.2.1
Einführung
Die im folgenden Abschnitt betrachtete allgemeine Ressourceneinsatz-Optimierung ist eine
Kostenminimierung, die folgende Kostenarten berücksichtigen kann:
• Planendtermin-Überschreitungskosten (mit Preisen cT(i) und cTN )
• Kapazitäts-Überschreitungskosten der erneuerbaren Ressourcen (mit Preisen cK(r)) sowie
• Stillstandskosten der erneuerbaren Ressourcen (mit Preisen cS(r)).
Zusätzlich könnten problemlos Umrüst- oder/und Umsetzkosten für die erneuerbaren Ressourcen
berücksichtigt werden, worauf wir jedoch im Interesse der übersichtlicheren Darstellung nicht
detailliert eingehen.
Im Weiteren beziehen wir uns ausschließlich auf erneuerbare Ressourcen, weshalb wir vereinfachend
auf das „erneuerbar“ verzichten.
Unterstellen wir, dass für die Gesamtleistung, lstg(r) = x(0, 0, r), einer Ressource Rr eine Vorgabe
kap(r) („Kapazität“ der Ressource) existiert, deren Überschreitung Kosten von cK(r) Geldeinheiten
je Ressourceneinheit verursacht, so fallen auf den Rückkehrbogen eines Ressourcennetzes die Kosten
cK(r)⋅(x(0, 0, r) - kap(r)) an, falls für den Fluss des Rückkehrbogens x(0, 0, r) > kap(r) gilt. Bild 6.3
skizziert die Charakteristik eines solchen Rückkehrbogens.
y(0, 0, r)
cK(r)
x(0, 0, r)
kap(r)
Bild 6.3: Charakteristik des Rückkehrbogens eines Ressourcennetzes
Zusammen mit den Planendtermin-Überschreitungskosten cTN·(etN – petN) bewerten KapazitätsÜberschreitungskosten die Abweichung der Ressourcenbedarfslinie, die im Bild 6.4 skizziert ist, von
deren Rechteckform etN⋅x(0, 0, r).
bed(t, r)
x(0, 0, r)
kap(r)
t
petN
Bild 6.4: Ressourcenbedarfslinie - schematisch
etN
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 129
Die Ressourcenbedarfslinie bed(t, r) gibt die Anzahl der benötigten Ressourceneinheiten der
Ressource Rr zum Zeitpunkt t an. Für ihre Berechnung beachte man, dass sich der Ressourcenbedarf
einer Aktivität Ai als Rechteck über der Zeitachse darstellt, dessen linker und rechter Rand bei at(i)
bzw. et(i) liegen (Breite also = d(i)) und dessen Höhe lstg(i, r) Einheiten der Ressource Rr beträgt
(lstg(i, r)·d(i) = um(i, r)). Die Lage dieses Rechtecks in Richtung der bed(t, r)-Achse ist nicht festgelegt;
wir wollen jedoch unterstellen, dass die Rechtecke so tief, wie ohne Überdeckung möglich, in der
t-bed(t, r)-Ebene gelagert sind. Die Bilder 6.5.1.2, 6.5.2.2 und 6.5.7.2 mögen als Veranschaulichung
gelten.
Die Resourcenbedarfslinie ist eine Treppenfunktion.
• Das Integral unter dieser Kurve ist gleich U(r) = ∑{um(i, r) | für alle i}, also gleich der
Gesamtarbeit, die die Ressource Rr zu leisten hat.
• Der maximale Wert von bed(t, r) ist die Anzahl von Ressourceneinheiten, die mindestens
zeitweilig zur Verfügung gestellt werden müssen. Er ist der Wert des Flusses x(0, 0, r) im
Rückkehrbogen des Ressourcennetzes.
Gilt bed(t, r) = const. zu allen Zeitpunkten des Realisierungszeitraums des Projekts, so liegt ein
gewisser Idealfall vor, den die Ressourceneinsatz-Optimierung anstrebt, nämlich gleichmäßiger
Ressourceneinsatz. In der Regel besitzt die Kurve jedoch Stufen, die an ihrem Anfang und Ende von
der Praxis gebilligt werden, während die im Bild 6.4 schraffierten Lücken im Inneren des
Arbeitszeitraums als weniger akzeptabel empfunden werden, denn sie stellen Ressourcenstillstand
dar: erneuerbare Ressourcen, die im Allgemeinen bereitgestellt aber nicht genutzt werden. Diese
verursachen Kosten, z.B. notwendige Lohnzahlungen. Folglich sind den Ressourcennetzen
Ressourcenstillstands-, Umrüst- oder/und Umsetz-Kosten zuzuordnen:
Wie schon ausgeführt, können im Netz einer Ressource Rr Umsetzbogen [EKn(i), AKn(j)]r existieren,
in denen Flüsse x(i, j, r) aus Ressourceneinheiten (Arbeitskräfte, Maschinen usw.) fließen.
Offensichtlich ist dabei x(i, j, r) > 0 nur sinnvoll, wenn at(j) ≥ et(i) gilt: Sollen x(i, j, r)
Ressourceneinheiten von Ai nach Aj umgesetzt werden, so muss im Zeitnetz eine Abhängigkeit, diese
Forderung vertreten. Die Forderung kann eventuell auch zu at(j) ≥ et(i) + umstZ(i, j, r) erweitert
werden, falls Umsetzzeiten (umstZ) für die Vorbereitung und Durchführung des Umsetzvorgangs
bzw. für den Transport der Ressourceneinheiten zu berücksichtigen sind. Beispielsweise könnten die
Ressourceneinheiten Maschinen sein, die an der Aktivität Aj andersartige Arbeiten ausführen als an
der Aktivität Ai, sodass sie „umgerüstet“ werden müssen, oder ein mobiler Kran wird von einer
Baustelle auf eine andere „umgesetzt“. Wir verbinden daher mit einem Fluss x(i, j, r) Kosten in Höhe
von cS(r)⋅(at(j) - et(i))⋅x(i, j, r), wobei cS(r) der Stillstandspreis der Ressource Rr heißen möge. Der
Stillstandspreis beinhalte alle Kosten, die bei Nichtnutzung einer Einheit der erneuerbaren Ressource
Rr während einer Zeiteinheit entstehen, insbesondere Lohnkosten für Arbeitskräfte bzw. Amortisation
für Maschinen. Zu den durch das Umsetzen verursachten Stillstandskosten können Umrüst- oder/und
Umsetzkosten kommen.
Die nichtlinearen Kosten cS(r)⋅y(i, j)⋅x(i, j, r) (mit y(i, j) = at(j) - et(i)) sind bilinear in dem Sinne, dass sie
linear sowohl im Zeitnetz, als auch in den Ressourcennetzen auftreten, wenn man eines der Netze
isoliert, also Zeit oder Ressourceneinsatz als festgelegt, betrachtet. Sie können auch grob durch
cS(r)⋅(y(i, j) + x(i, j, r)) linear angenähert werden, so dass man im Zeitnetz cS(r)⋅y(i, j) und im
Ressourcennetz cS(r)⋅x(i, j, r) berücksichtigen kann.
Zusammengefasst erhalten wir ein bilineares Problem der Kostenminimierung von
Ressourcenströmen, die über die Aktivitätsbögen mit der Zeitspannung gekoppelt sind.
Wir halten noch einmal fest, wenn man von festen Ressourcennetzen oder einem festen Zeitnetz
ausgeht, hat man – die angegebenen linearen Näherungen vorausgesetzt – eine lineare
Optimierungsaufgabe vor sich. Diese Aufgabe lässt sich mit dem algorithmischen Material des
Minimalkosten-Strom- sowie des Minimalkosten-Potentialproblems gut lösen. Insbesondere gilt für
sie der übliche Dualitätssatz des Minimalkosten-Strom- bzw. des Minimalkosten-Potential-Problems,
der besagt, dass eine Lösung genau dann optimal ist, wenn sich jeder Bogen in einem seiner
Gleichgewichtszustände befindet. Die Menge der Gleichgewichtszustände eines Bogens ist durch
seine Charakteristik beschrieben. Im Falle der Kopplung von Bogen existiert für die Menge der
gekoppelten Bogen nur eine gemeinsame Charakteristik. Im hier betrachteten Fall ist zu beachten, dass
die Menge der im Zeitnetz gekoppelten Bogen einer Aktivität um die Bogen [AKn(i), EKn(i)]r der
130 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
Ressourcennetze erweitert ist. Folglich gilt für die Aktivitätscharakteristiken mit den nachfolgenden
Festlegungen der Satz:
Satz Die Menge der Gleichgewichtszustände einer der Aktivität Ai ist durch folgende Beziehungen
gegeben:
y*(i, normD(i)) ≤
y*(i, d(i) - ε)
≤
•
•
•
x*(i)
x*(i) ≤ y*(i, d(i) + ε),
x*(i) ≤ y*(i, minD(i)),
x(k) - dualer Kostenfluss des Bogens mit der Nummer k im Zeitnetz
y(i, i, r) - duale Spannung des Bogens [AKn(i), EKn(i)]r im Ressourcennetz der Ressource Rr
f(i, r, d(i)) – siehe oben: Kopplungsfaktor für Bogen [AKn(i), EKn(i)]r im Netz der Ressource Rr, mit
dem dieser aktuell an den Aktivitätsbogen des Zeitnetzes gekoppelt ist; also der Faktor, mit dem
gemäß der aktuellen linearen Näherung von x(i, i, r) = um(i, r) / d(i), x(i, i, r) mit d(i) verbunden ist:
x(i, i, r, d(i)) = gw(i, r, d(i)) - f(i, r, d(i))·d(i)
•
•
(Beispiel – vgl. Bild 6.1: Für d(i) = 20 gilt, x(i, i, r, 20) = 9 – 1/4·d(i), also f(i, r, 20) = 1/4.)
x*(i) = x([AKn(i), EKn(i)]) + ∑{f(k)⋅x(k) | für Bogen k des Zeitnetzes, mit partner(k) = i},
(vgl. Abschnitt 5.3.1, S. 110)
y*(i, d(i)) = ∑{f(i, r, d(i))⋅y(i, i, r) | für r mit um(i, r) > 0}:
Das Fehlen expliziter Kosten in der Restriktion ergibt sich aus cD(i) = 0 für alle Aktivitäten, denn es ist
in den meisten Fällen nicht sinnvoll, die Variation der Aktivitätsdauer explizit zusätzlich zu der
Stimulation, die sich aus den Ressourcennutzungskosten indirekt ergibt, zu stimulieren,
Eine Basislösung im Gesamtnetz ist durch ein Gerüst des Zeitnetzes und Cogerüste der
Ressourcennetze gekennzeichnet. Wir bezeichnen die Bogen dieses Gerüsts im Zeitnetz und die
Bogen dieser Cogerüste der Ressourcennetze als primal aktiv und alle anderen (nicht primal aktiven
oder primal passiven) Bogen als dual aktiv.
Satz Eine Basislösung der Aufgabe wird durch eine Gerüst-Cogerüst-Struktur im Gesamtnetz
beschrieben, die folgende Eigenschaft besitzt:
Höchstens einer der Bogen aus jeder Menge gekoppelter Bogen zur Aktivität Ai,
{[AKn(i), EKn(i)]} U {[AKn(i), AKn(j)] | für Bogen k = [AKn(i), AKn(j)] des Zeitnetzes, mit partner(k) = i}
U {[EKn(i), AKn(i)]r | für r mit um(i, r) > 0}),
kann dual aktiv (bzw. primal passiv) sein.
Das ergibt sich, weil über die Kopplungsgleichungen sowohl d(i) als auch y(i, i, r) und alle x(k)
bestimmt sind, sofern nur eine der den Bogen zugeordneten Variablen festgelegt ist; also nur einer
dieser Werte kann sich aus anderen Zusammenhängen ergeben – der entsprechende Bogen ist primal
passiv, alle anderen sind primal aktiv.
Aus diesem Satz ergibt sich die Bildung der Strom- und Spannungs-Transformationsvektoren einer
Basislösung, die man jetzt besser als primale bzw. duale Transformationsvektoren bezeichnet:
• Ausgehend von einem Bogen out der sich nicht im Gleichgewicht befindet, wird für eine sinnvolle
Stromänderung der Basiszyklus (falls out Cogerüstbogen ist) bzw. der Basiscozyklus (falls out
Gerüstbogen ist) als Ausgangsvektor v festgelegt.
• Enthält v einen gekoppelten Bogen k, so wird der von ihm erzeugte Basisvektor bv(k) zu v
hinzugenommen: v := v + α(k)·bv(k).
• Für die Wertzuweisung zu den α(k) wird ein Gleichungssystem aufgestellt.
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 131
Zur Demonstration folgt ein Beispiel, dass vor allem die Wirkung der lokalen Strom-SpannungsOptimierung zeigen soll.
Beispiel Das Beispiel ist das dritte Demonstrationsbeispiel für die Dauer-Kosten-Optimierung aus
Abschnitt 5.4. Bild 6.5.1.0 zeigt das Netz mit dem Terminzustand, den auch Bild 5.15.5 zeigt, d.h. wir
wählen als Anfangslösung der Optimierung die Lösung mit der „normalen“ Projektdauer (kürzeste
Projektdauer bei minimaler Gesamtkürzung der Dauer der Aktivitäten; cD(i) = 1 für i = 1, 2, …, n,
petN = 0, cTN =1). Der duale Kosten-Strom folgt aus cTN = 1; beachte
x*(i) = f([AKn(1), AKn(2)])·x([AKn(1), AKn(2)]) = 0,5·(-1) = -0,5.
Legende:
Ai
normD(i)
at(i)
A1 20 16
0
20
-0,25/ -0,5 / ∞
f = 0.5
15
0
et(i)
um(i, 1)
y*(i,d(i)-ε) / -x*(i) / y*(i, d(i)+ ε)
80
AKnN
0
A3
minD(i)
10
x=0
A2
12
8
24
10
22
-0,25/ -1 / ∞
EKnN
22
30
15 -0,2/ 0 / ∞
x=0
x=1
Bild 6.5.1.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
Wir müssen zunächst die Ressourcenkosten hinzufügen indem wir ein Ressourcennetz – vgl. Bild
6.5.1.1 - „ankoppeln“.
AKn(1)
0
Q(1)
0
AKn(2)
0
AKn(3)
0
x(1, 1, 1) = 4;
f = 0,25
x(2, 2, 1) = 2;
f = 0,25
x(3, 3, 1) = 2;
f = 0,2
EKn(1)
-1
EKn(2)
-1
Q(1)
-1
EKn(3)
-1
y(0, 0, 1) = 1, x(0, 0, 1) = 8
Bild 6.5.1.1: Ressourcennetz zum Zeitnetz 6.5.1.0
cD(i)-Kosten spielen, wie schon erwähnt, keine sinnvolle Rolle mehr, also cD(i) = 0 für i = 1, 2, …, n;
stattdessen wird jetzt eine Ressource R1 betrachtet, die an den Aktivitäten Arbeiten der angegebenen
Umfänge zu leisten hat. Von ihrer Leistung an einer Aktivität hängt deren Dauer ab. Wir setzen
kap(1) = 0, cK(1) = 1. Für die Kopplungen zwischen den Bogen [AKn(i), EKn(i)] und [AKn(i), EKn(i)]1
verwenden wir die nachfolgenden linearen Approximationen. (Die Approximationen ergeben sich aus
der Betrachtung aller möglichen ganzzahligen Ressourceneinsatzwerte um(i, r) / d(i).):
A1: Für 10 ≤ d(1) ≤ 11,4 gilt, x(1, 1, 1) = 15 – 0,7 d(1), f(1, 1, d(1)) = 0,7,
für 11,4 ≤ d(1) ≤ 13,3 gilt, x(1, 1, 1) = 13 – 0,525d(1), f(1, 1, d(1)) = 0,525,
f(1, 1, 11,4-ε) = 0,7, f(1, 1, 11,4+ ε) = 0,525,
für 13,3 ≤ d(1) ≤ 16 gilt, x(1, 1, 1) = 11 – 0,375d(1), f(1, 1, d(1)) = 0,357,
f(1, 1, 13,3-ε) = 0,525, f(1, 1, 13,3+ε) = 0,375,
132 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
für 16 ≤ d(1) ≤ 20
gilt, x(1, 1, 1) = 9 – 0,25 d(1), f(1, 1, d(1)) = 0,25,
f(1, 1, 16-ε) = 0,375, f(1, 1, 16+ε) = 0,25,
A2: Für 8 ≤ d(1) ≤ 12 gilt, x(2, 2, 1) =
A3: Für 6 ≤ d(1) ≤ 7,5 gilt, x(3, 3, 1) =
für 7,5 ≤ d(1) ≤ 10 gilt, x(3, 3, 1) =
für 10 ≤ d(1) ≤ 15 gilt, x(3, 3, 1) =
5 – 0,25
9 – 0,7
7 – 0,4
5 – 0,2
d(2);
d(3),
d(3),
d(3).
Mit der neuen Kostenbetrachtung korrespondiert die Angabe der Werte y*(i, d(i)-ε) und y*(i, d(i)+ε)
sowie minD(1)aktuell = 16 und minD(3)aktuell = 10 an den Aktivitäten im Bild 6.5.1.0.
Im Ressourcennetz müssen die Bogen [AKn(i), EKn(i)]1 alle primal aktiv sein, woraus das Gerüst folgt,
und aus y([Q(1), EKn(i)]) = y([AKn(i), S(1)]) = 0 sowie y(S(1), Q(1)] = cK(1) = 1 ergibt sich das
Potential im Bild 6.5.1.1. Mit diesem Potential und den aus den d(i) folgenden Kopplungsfaktoren
ergeben sich y*(1, 20) = -0,25, y*(2, 12) = -0,25 und y*(3, 15) = -0,2.
Bild 6.5.1.2 demonstriert den Ressourceneinsatz sehr anschaulich durch Rechteck-Balken für jede
Aktivität; Breite = Aktivitätsdauer, Höhe = Ressourcenbedarf pro Zeiteinheit (= aktuelle Leistung der
Ressource an der Aktivität). Es ist eine Ressourcenbedarfslinie, wie sie oben definiert wurde. Die
Gesamtkosten für dieses Netz betragen:
Gesamtkosten = (etN –petN)·cTN + (x(0, 0, 1) – kap(1))·cK(1) = 22·1 + 8·1 = 30
bed(t, 1)
9
8
7
A3
6
5
A2
4
3
A1
2
1
0
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13 14
15
16
17 18
19 20
21 22
Bild 6.5.1.2: Ressourceneinsatz zum Zeitplan gemäß Bild 6.4.1.0 - Balkendiagramm
Im Zustand von Bild 6.5.1.0 sind wegen x*(1) = -0,5 < y*(1, 20 - ε) = -0,25 und
x*(2) = -1 < y*(2, 12 - ε) = -0,25 sowohl A1 als auch A2 nicht im Gleichgewicht, sondern müssen
gekürzt werden. Wir wählen zunächst A1 und kürzen auf d(1) = 16, die aktuelle Minimaldauer
dMind(1)aktuell. Es entsteht der Zustand, den Bild 6.5.2.0 zeigt.
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 133
A1 16 13,3
80
x=0
0
16 -0,375/ -0,5 /-0,25
f = 0.5
AKnN
0
A3
15
10
A2 12
8
8
20
24
-0,25/ -1 /∞
EKnN
20
30
x=0
0
15 -0,2/ 0 / ∞
x=1
Bild 6.5.2.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
In Bild 6.5.2.0 ist A1 mit x*(1) = -0,5 bei y*(1, 20 - ε) = -0,375 weiter out-of-kilter, also weiter zu
kürzen. Die Kürzung endet bei d(1) = minD(1)aktuell = 13,3 - siehe Bild 6.5.3.0
A113,3 11,4
80
x=0
0 13,3 -0,525/-0,5 /-0,375
A2
f = 0.5
AKnN
0
12
8
24
6,7 18,7 -0,25/ -1 / ∞
A3
15
10
EKnN
18,7
30
x=0
0
15 -0,2/ 0 / ∞
x=1
Bild 6.5.3.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
Im Zustand von Bild 6.5.3.0 ist A1 im Gleichgewicht, aber A2 ist weiterhin out-of-kilter. Die
notwendige Kürzung von A2 endet mit d(2) = 8,3, weil [EKn(3), EKnN] kritisch wird – siehe Bild
6.5.4.0. A3 ist dualkritisch; weil x*(3) ≥ -0,2 gelten muss, wird hier x(1, 1, 0) = -0,2 aktiv determiniert.
A1 16 13,3
80
x=0
0 13,3
-0,525/-0,4/-0,375
f = 0.5
AKnN
0
A2
12 8
24
6,7 15 -025/ -0,8 /-0,25
A3
15
0
10
30
15 -0,2/ -0,2 /-0,2
x=1
Bild 6.5.4.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
EKnN
15
134 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
A2 ist weiterhin out-of-kilter, wird aber jetzt zusammen mit A3 gekürzt. Die Kürzung endet – siehe
Bild 6.5.5 – weil A2 seine Minimaldauer minD(2) = 8 erreicht.
A1 16 13,3
0 13,3
80
x=0
-0,525/-0,4/-0,375
f = 0.5
AKnN
0
A2
12
8
24
EKnN
14,7
6,7 14,7 -∞/ -0,8 /-0,25
A3
15
10
30
0 14,7 -0,2/ -0,2/-0,2
x=1
Bild 6.5.5.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
Die neue Lösung befindet sich im Gleichgewicht, ist also (lokal) optimal. Sie kostet
Gesamtkosten ≈ 14,7·1 + 11·1 = 25,7.
AKn(1)
0
Q(1)
0
AKn(2)
0
AKn(3)
0
x(1, 1, 1) = 6;
f = 0,525
x(2, 2, 1) = 3;
f = 0,25
x(3, 3, 1) ≈ 2;
f = 0,2
EKn(1)
-1
EKn(2)
-1
Q(1)
-1
EKn(3)
-1
y(0, 0, 1) = 1, x(0, 0, 1) ≈ 11
Bild 6.5.5.1: Ressourcennetz zum Zeitnetz 6.5.5.0
Bild 6.5.5.2 demonstriert den Ressourceneinsatz wieder anschaulich durch Rechteck-Balken für jede
Aktivität. Die Gesamtkosten für dieses Netz betragen jetzt:
Gesamtkosten = (etN –petN)·cTN + (x(0, 0, 1) – kap(1))·cK(1) ≈ 14,7·1 + 11·1 = 25,7.
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 135
bed(t, 1)
11
10
A2
9
8
7
6
A1
5
4
3
2
1
A3
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Bild 6.5.5.2: Ressourceneinsatz zum Zeitplan gemäß Bild 6.5.5.0
6.2.2
Kostenminimierung des Ressourceneinsatzes – ein heuristischer Lösungsalgorithmus
Die eigentliche Problematik des allgemeinen Ressourceneinsatzproblems besteht darin, dass
Ressourcen genau dann von einer Aktivität Ai nach einer Aktivität Aj umgesetzt werden können, wenn
at(j) ≥ et(i) gilt, aber at(j) ≥ et(i) muss im Zeitnetz nicht a priori als Restriktion vorgegeben sein.
Folglich muss allgemein eine Umsetz-Restriktion gelten, die besagt, x(i, j, r) > 0 nur, wenn
at(j) - et(i) ≥ 0 gilt:
Umsetz-Restriktion: x(i, j, r) ≥ 0 und (at(j) - et(i))⋅x(i, j, r) ≥ 0
Diese für die Zulässigkeit einer Lösung notwendige Bedingung ist nichtlinear, und es gibt keine
Möglichkeit, sie in einem konvexen oder gar linearen Modell anzunähern. Deshalb gehören Aufgaben
der im Folgenden zu betrachtenden Klasse zu den NP-schwierigen Aufgaben, also zu Aufgaben, für
die es bisher keinen befriedigenden Lösungsalgorithmus gibt. Auch wir können einen solchen
natürlich nicht bieten, sondern wollen im Folgenden einen heuristischen Algorithmus diskutieren, der
sich auf Strom-Spannungs-Optimierungen der oben beschriebene Art stützt, diese exakt löst und damit
lokale Optima der Aufgabe liefert.
Das Wesen der Heuristik besteht in der Auswahl der lokalen Optimierungen: Es wird eine geeignete
Menge von Umsetzbogen gesucht; für deren Vertreter-Bogen im Zeitnetz (der eventuell erst neu
eingeführt werden muss) wird dann at(j) ≥ et(i) gefordert, und danach werden die genauen
Abstandwerte sowie die x(i, j, r)-Werte durch die oben demonstrierte lokale, exakte Strom-SpannungsOptimierung bestimmt.
In unserem Beispiel könnte man – etwa bei der Betrachtung von Bild 6.5.5.2 – auf die Idee kommen,
die Aktivitäten A3 und A2 in dieser Reihenfolge nacheinander auszuführen. Um die Wirksamkeit dieser
Idee zu überprüfen, optimieren wir das Netz im Zustand des Bilds 6.5.5 in diesem Sinne – siehe die
Bilder 6.6:
Um x(3, 2, 1) > 0 zu realisieren, ist zunächst at(2) ≥ et(3) zu sichern, also ein neue Bogen
[EKn(3), AKn(2)] in das Zeitnetz einzufügen und wie folgt in einen Gleichgewichtszustand zu bringen:
136 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
A1
16 13,3
80
0 13,3 -0,525 /
x=0
-0,4 /
-0,375
f = -0.5
AKnN
0
A2
12
6,65
A3
15
0
10
8
24
14,65 -∞/ -0,8- λ/ -0,25
EKnN
14,65
x = -λ
30
14,65 -0,2 / -0,2 / -0,2
x=1
Bild 6.6.1.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
Der neue Bogen ist in einem unzulässigen Zustand, den wir durch x → -∞ (für y ≤ 0) wie üblich
legitimieren könnten, wozu wir dem Bogen den Fluss x = -λ zuordnen, mit dem Ziel λ zu maximieren
– siehe Bild 6.6.1.0.
Im Bogen [EKn(3), EKnN] ist x = -0,2 + λ für λ > 0,2 unzulässig, weshalb A3 über den zugehörigen
Cozyklusvektor zu verkürzen ist. Diese Transformation bricht bei den kritischen Wert d(3) = 10
zunächst ab – siehe Bild 6.6.2.0 – maximale Stromänderung über den Zyklus zum
„spannungskritschen“ Bogen [AKn(3), EKn(3)]; „flusskritisch“ ist [EKn(3), EKnN], beide Bogen werden
bezüglich Zugehörigkeit zum Gerüst getauscht.
A1
16 13,3
80
0 13,3 -0,525 /
x=0
-0,4 + 0,5λ /
-0,375
f = -0.5
AKnN
0
A2
12
6,65
A3
10
7,5
0
10
30
8
14,65
24
-∞ / -1 / -0,25
EKnN
14,65
x = -0,2 - λ
x=0
-0,4/-0,2-λ/-0,2
x=1
Bild 6.6.2.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
Der neue Zustand ist nur für 0 ≤ λ ≤ 0,05 stabil, denn für λ > 0,05 würde A1 aus seinem
Gleichgewichtszustand geraten (-0,525 ≤ -0,4 + 0,5λ ≤ -0,375), weshalb diese Aktivität über den
zugehörigen Spannungs-Transformationsvektor zu verlängern ist. Die Verlängerung endet bei
normDaktuell(1) = 16. Bild 6.6.3.0 zeigt den neuen Zustand.
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 137
A1
20 16
0 16
80
-0,375 /
-0,375+0,5λ /
-0,25
x=0
f = 0.5
AKnN
0
A3
10 7,5
A2 12
8
8
16
24
EKnN
16
-∞/ -1 / -0,25
x = -0,25 -λ
30
x=0
0
10 -0,4 /-0,25 -λ / -0,2
x=1
Bild 6.6.3.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
Im Zustand von Bild 6.6.3.0 ist A3 für 0 ≤ λ ≤ 0,15 stabil. Für λ > 0,15 Kürzung von A3 auf d(3) = 8
- liefert den Zustand, den die Bilder 6.6.4.0 und 6.6.4.1 zeigen. Er ist stabil, also (lokal) optimal, so
dass im Ressourcennetz (Bild 6.6.5.1) der Umsetzbogen [EKn(3), AKn(2)]1 eingeführt werden kann.
A1
20
0
16
16
80
-0375/
-0,3 /
-0,25
x=0
A2 12
f = 0.5
AKnN
0
8
A3
10
7,5
0
8
8
16
24
EKnN
16
-∞/ -1 / -0,25
30
x=0
-0,4 / -0,4 / -0,4
x=1
Bild 6.6.4.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
AKn(1)
0
Q(1)
0
x(1, 1, 1) = 5
f = 0,375
EKn(1)
-1
AKn(2)
0
x(2, 2, 1) = 3
f = 0,25
EKn(2)
-1
AKn(3)
0
x(3, 3, 1) = 3,75
f = 0,4
EKn(3)
-1
Q(1)
-1
y(0, 0, 1) = 1, x(0, 0, 1) = 11,75
Bild 6.6.4.1: Ressourcennetz zum Zeitnetz 6.6.4.0
Eine Flussänderung im Basiszyklus zum Out-of-kilter-Bogen [EKn(3), AKn(2)]1 und eine
anschließende Spannungsänderung über den Cozyklus zum flusskritischen Bogen [Q(1), AKn(2)]1
bringen das Gesamtnetz ins Gleichgewicht – Bilder 6.6.5.0 und 6.6.5.1.
138 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
A1
20
0
16
16
80
-0,375/
-0,3 /
-0,25
x=0
A2 12
f = 0.5
AKnN
0
8
A3
10
7,5
0
8
8
24
16
-∞/ -1 / 0
EKnN
16
30
x=0
-0,4 / -0,4 / -0,4
x=1
Bild 6.6.5.0: Ressourceneinsatzoptimierung - Zeitnetz
AKn(1)
0
AKn(2)
-1
x(2, 2, 1) = 3
f = 0,25
EKn(2)
-1
AKn(3)
0
x(3, 3, 1) = 3,75
f = 0,4
EKn(3)
-1
x=0
Q(1)
0
EKn(1)
-1
x(1, 1, 1) = 5
f = 0,375
Q(1)
-1
y(0, 0, 1) = 1, x(0, 0, 1) = 8,75
Bild 6.6.5.1: Ressourcennetz zum Zeitnetz 6.6.5.0
bed(t, 1)
9
8
7
A3
A2
6
5
4
3
A1
2
1
0
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Bild 6.6.5.2: Ressourceneinsatz zu Bild 6.6.5.0 und 6.6.5.1
Bild 6.6.5.2 zeigt den neuen Ressourceneinsatzplan in anschaulicher Form. Seine Kosten betragen,
Gesamtkosten = 16·1 + 8,75·1 = 24,75 (gegenüber 25,7 siehe oben), d.h. die Verbesserung ist nicht
allzu groß aber deutlich, sie könnte noch etwas größer sein, wenn A2 von 3 Ressouceneinheiten
ausgeführt werden könnte.
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 139
Am folgenden 2. Beispiel wird auf variable Aktivitätsdauer verzichtet, um die Umsetzproblematik
schärfer zu fokussieren. Bild 6.7.1 zeigt ein Netz aus sechs Aktivitäten, die alle die Dauer
minD = d = normD = 1 haben und alle eine Ressource R1 nutzen, aber mit verschiedenem
Leistungsanspruch. Auf die Darstellung des Ressourcennetzes haben wir verzichtet, weil sein
Informationsgehalt in diesem Fall gering ist. Wie im Beispiel 1 möge petN = 0, cTN = 1, kap(1) = 0,
cK(1) = 1 gelten. Wir gehen vom Terminsystem der frühest-möglichen Termine aus, bei dem die
Kosten 1·2 + 1·5 = 7 betragen, und betrachten die Ressourcenbedarfslinie:
Zum Zeitpunkt t = 0 haben wir den stärksten Ressourcenbedarf bed(0, 1) = 5. Um die KapazitätsÜberschreitungskosten zu senken, müsste man eine der bei t = 0 beginnenden Aktivitäten verschieben.
A1 ist dafür ungeeignet, weil mit ihr auch A4 verschoben wird und damit der Endtermin des Netzes,
wodurch die eingesparten Kapazitäts-Überschreitungskosten durch Endtermin-Überschreitungskosten
in gleicher Höhe (= 1) ersetzt würden.
Verschieben wir A2 – Bild 6.6.2 - so wird durch die Folgeverschiebung von A5 und A6 auch der
Netzendtermin um die Verschiebung verlängert, aber die Kapazitäts-Überschreitungskosten reduzieren
sich um 2. Allerdings tritt eine neue Ressourcenbedarfsspitze der Größe bed(1, 1) = 4 jetzt bei t = 1
auf; Gesamtkosten = 1·3 + 1·4 = 7, also konstant. Eine zweite Verschiebung bei t = 1 würde, falls A2
verschoben wird, etN weiter verlängern und, falls A4 verschoben wird, die KapazitätsÜberschreitungskosten nicht reduzieren.
Ai at(i) et(i) lstg(i, 1)
Legende:
A1
0
1
1
A4
bed(t, 1)
1
2
2
5
A1
4
A2
0
1
2
A5
1
2
1
A2
3
A4
2
A5
1
A3
0
1
2
A6
1
2
1
A3
A6
t
0
Bild 6.6.1: Ressourceneinsatzoptimierung - Beispiel 2
0
1
2
3
bed(t, 1)
A1
0
1
1
A4
1
2
2
5
4
A2
0
1
2
A5
1
2
1
3
A4
A1
2
A5
1
A3
0
1
2
A6
1
2
1
Bild 6.6.2.: Ressourceneinsatzoptimierung - Beispiel 2
A3
A2
A6
t
0
0
1
2
3
Verschieben man dagegen im Ausgangszustand (Bild 6.6.1) A3 – Bild 6.6.3 – so wird zwar durch die
Folgeverschiebung von A6 auch der Netzendtermin verlängert, und überdies reduzieren sich die
Kapazitäts-Überschreitungskosten nicht – Spitze bed(1, 1) = 5 jetzt bei t = 1 – aber in einem weiteren
Verschiebungsschritt (A3 → A4) kann man die Kapazitäts-Überschreitungskosten ohne weitere
140 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
Verlängerung des Netzendtermins auf 3 reduzieren, wodurch man die Gesamtkosten = 1·3 + 1·3 = 6
reduziert. Ersichtlich hat man damit das globale Optimum erreicht.
bed(t, 1)
5
4
bed(t, 1)
A4
3
3
2
A2
A3
A1
A5
2
A2
A3
A4
A1
A5
A6
1
1
A6
t
0
0
1
2
3
t
0
0
1
2
3
Bild 6.6.3: Ressourceneinsatzoptimierung - Beispiel 2
Das Beispiel ist geeignet, das Prinzip des Lösungsalgorithmus zu erkennen:
1. Ausgehend von einer Lösung der lokalen Aufgabe, werden die Ressourcenbedarfslinien von t = 0
bis t = etN aufgestellt und durchmustert:
2. Man suche die Ressource Rr* und den Zeitpunkt t*, für die bed(t*, r*) maximal ist.
3. Vorausgesetzt bed(t*, r*) > 0: Man bestimme alle Aktivitäten Ai, für die at(i) = t* gilt.
4. Unter den ausgewählten Aktivitäten lege man diejenige fest, Aj*, deren Verschiebung nach rechts
am wirkungsvollsten erscheint.
5. Man suche unter den Aktivitäten Ai, für die at(i) ≤ t* und i ≠ j* gilt, einen geeigneten Partner Ai*, so
dass Ai* → Aj* (at(j*) ≥ et(i*)) wirkungsvoll bezüglich einer Kostensenkung scheint.
6. Man installiere, sofern noch nicht vorhanden, im Zeitnetz den Bogen [EKn(i*), AKn(j*)] und in den
Ressourcennetzen die Bogen [EKn(i*), AKn(j*)]r.
7. Man löse die neue lokale Aufgabe.
Zur Verdeutlichung noch einmal der Blick auf das obige Beispiel 2: Bild 6.6.1 skizziert die optimale
Lösung der lokalen Anfangsaufgabe. Es gilt, bed(0, 1) = 5 ist maximal (t* = 0, r* = 1).
Für A1, A2 und A3 gilt at(i) = 0. A2 und A3 sind für eine Verschiebung geeigneter als A1, weil sie jeweils
zwei statt einer Ressourceneinheiten abbauen. A3 scheint geeigneter als A2, weil von ihrer
Verschiebung nur ein Nachfolger (A6) statt zwei (A5 und A6) betroffen sind. Folglich legen wir j* = 3
fest.
A1 und A2 kommen als Vorläufer in Betracht; i* = 2 erscheint, wegen des gleichen Ressourcenbedarf
wie A3, geeigneter als i* = 1. Bogen [EKn(2), AKn(3)] wird ins Zeitnetz und Bogen [EKn(2), AKn(3)]1
ins Ressourcennetz eingearbeitet – das bedeutet, A3 wird hinter A2 verschoben; es entsteht die
Situation, die das linke Teilbild von Bild 6.6.3 zeigt.
Der Algorithmus wird erneut ausgeführt: Es gilt, bed(1, 1) = 5 ist maximal (t* = 1, r* = 1).
Für A1, A3 und A4 gilt at(i) = 1. A3 und A4 sind für eine Verschiebung geeigneter als A1, weil sie jeweils
zwei statt einer Ressourceneinheiten abbauen. A4 scheint geeigneter als A3, weil von ihrer
Verschiebung kein Nachfolger betroffen ist. Folglich legen wir j* = 4 fest.
A1 und A3 kommen als Vorläufer in Betracht; i* = 3 erscheint, wegen des gleichen Ressourcenbedarfs
wie A4, geeigneter als i* = 1. Bogen [EKn(3), AKn(4)] wird ins Zeitnetz und Bogen [EKn(3), AKn(4)]1
ins Ressourcennetz eingearbeitet – das bedeutet, A4 wird hinter A3 verschoben, es entsteht die Situation
die das rechte Teilbild von Bild 6.6.3 zeigt.
Ein weiterer Abbau der ausführenden Ressourceneinheiten ist nicht sinnvoll, denn ein
Gesamtarbeitsvolumen von 9 Zeit- mal Ressourceneinheiten erfordert bei 2 Ressourceneinheiten pro
Zeiteinheit wenigstens 4,5 Zeiteinheiten, d.h. mindestens 6,5 Geldeinheiten Kosten statt der erreichten
6 Geldeinheiten. Die Lösung ist ersichtlich global optimal.
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 141
Im folgenden heuristischen Algorithmus ist es unser Ziel, durch sukzessive Einfügung jeweils einer
Umsetz-Restriktion die Ergebnisse einer lokalen Optimierung so zu verbessern, dass sie als global
optimal erkennbar sind oder zumindest den Nutzer befriedigen. Die neue Umsetz-Restriktion wird
durch Abschätzungen gemäß dem oben angegebenen Lösungsprinzip bestimmt.
Die Heuristik dieses Prinzips erkennt man schon an Formulierung wie, „…am wirkungsvollsten
erscheint …“, „…einen geeigneten Partner …“ und „…wirkungsvoll bezüglich einer Kostensenkung
scheint …“. Diese Formulierungen folgen daraus, dass man in der lokalen Situation, in der man sich
befindet, globale Einschätzung treffen möchte, aber aus Rechenzeitgründen dies nicht sinnvoll ist. Ein
Algorithmus muss natürlich präzis ausführbare Anweisungen enthalten. Dazu betrachten wir die
algorithmischen Schritte mit unscharfen Formulierungen genauer:
Zunächst halten wir fest: Das lokale Optimum, von dem wir ausgehen, ordnet jeder Aktivität Ai einen
Anfangstermin at(i) und eine Dauer d(i) zu. Diese Werte stellen insofern Minimalwerte dar, als dass
die Unterschreitung eines at(i)-Wertes, sofern sie überhaupt möglich ist, nur durch Kürzung anderer
Aktivitäten erreichbar ist, und Kürzung einer Aktivitätsdauer erhöht die Kosten der
Ressourcennutzung – wir befinden uns in einem lokalen Optimum – zu einem Zeitpunkt, der vor dem
betrachteten t* liegt. Daher werden generell nur „Rechts“-Verschiebungen von Aktivitäten betrachtet,
also Vergrößerungen der aktuellen at(i)-Werte.
Die Heuristik beginnt im Teilschritt 3, indem als Verschiebungskandidaten nur Aktivitäten
zugelassen werden, die bei t = t* beginnen. Es ist durchaus nicht sicher, dass die Rechtsverschiebung
einer Aktivität Ai mit at(i) < t* eine höhere Verschiebungen der Gesamtzeit verursacht als die der
betrachteten Aktivitäten, aber die Rechtsverschiebung einer solchen Aktivität verringert mit Sicherheit
die Ressourcenauslastung im Zeitraum [at(i), t*), woraus die Erwartung der schlechteren
Gesamtauslastung der Ressourcen folgt.
Am problematischsten ist die Entscheidung im Teilschritt 4: Unter reinem Projektzeitaspekt gilt für
die Konkurrenz zweier Aktivitäten Ai und Aj die Regel, Ai vor Aj, falls (at(i) – nl(i)) < (at(j) – nl(j)) gilt,
wobei nl(i) („Nachlauf“) die Zeit angibt, die nach Beendigung von Ai bis zum Projektende noch
mindestens erforderlich ist. Diese Zeit – die Länge eines längsten Weges vom Endknoten EKn(i) der
Aktivität Ai zum EKnN – ist leicht einmalig zu berechnen. Aber schon das obige Beispiel 2 zeigt, dass
das Kriterium nicht ausreicht: In der im Bild 6.6.1 gezeigten Situation reduzieren die
Verschiebungskandidaten A2 und A3 den lokalen Ressourcenbedarf um 2, während A1 ihn nur um 1
reduziert, so dass es sinnvoll erscheint, nur zwischen A2 und A3 zu entscheiden. Aber beide haben die
gleiche Nachlaufzeit: nl(2) = nl(3) = 1.
6.2.3
Rechentechnische Realisierung
Grundvoraussetzung für eine effiziente Ausführung des Algorithmus im Computer sind geeignete
Datenstrukturen. Die grundlegende Datenstruktur für die Aufgaben, die wir in den Kapiteln 5 und 6
behandelt haben, ist der Netzplan. Für die zuletzt behandelte Aufgabe besteht der Netzplan aus einem
„Zeitnetz“ und mehreren „Ressourcennetzen“, und auf diese Aufgabe mit dem höchsten
Allgemeinheitsgrad wollen wir die Datenstruktur auch abstimmen.
Wir haben gesehen, dass alle Teilnetze eines Netzplans eine feste Grundstruktur besitzen, nämlich
• einen Quellknoten
• einen Senkenknoten
• Anfangs- und Endknoten für jede Aktivität, die zum Netz gehört
• einen Netzbogen vom Quell- zum Senkenknoten im Zeitnetz und vom Senken- zum Quellknoten
in jedem Ressourcennetz
• zu jeder im Netz vertretenen Aktivität einen Aktivitätsbogen vom Anfangsknoten zum Endknoten
der Aktivität
• diverse Verbindungsbogen, die im Zeitnetz zeitliche Mindestabstände repräsentieren, während sie
in den Ressourcennetzen immer vom Endknoten einer Aktivität zum Anfangsknoten einer anderen
Aktivität führen und das Umsetzen von Ressourceneinheiten repräsentieren vgl. Bild 6.2.
Im Hinblick auf diese Struktur führen wir die Datenstruktur „Plannetz“, kurz: PNetz ein:
public class PNetz extends Graph { … }
142 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
Sie wird als Erweiterung der schon im Kapitel 1 gegebenen Datenstruktur Graph eingerichtet, um
deren Basisalgorithmen zu nutzen:
public PNetz(int resNr, int aktAnz, int bgAnz, Netzplan mttr) {
super(2*(aktAnz+1),4*aktAnz+1+bgAnz);
…
}
Jedes der betrachteten Netze besitzt maximal 2(aktAnz+1) Knoten, wenn aktAnz die Anzahl der in ihm
enthaltenen Aktivitäten ist. Die Anzahl der Bogen beträgt (3aktAnz+1) + bgAnz, wenn bgAnz die
Anzahl der Abhängigkeitsbogen im Zeitnetz bezeichnet, während in den Ressourcennetzen zunächst
bgAnz = 0 gilt. Während der Ressourceneinsatzoptimierung können in allen Netzen Umsetzbogen
hinzugefügt werden. Es erscheint realistisch, deren Maximalanzahl durch aktAnz abzuschätzen.
Daraus ergibt sich der oben angeführte Aufruf des von Graph geerbten Konstruktors.
Der Netzplan repräsentiert eine Verflechtung von Aktivitäten. Es ist daher nahe liegend, eine
Datenstruktur Aktivitaet einzurichten:
public class Aktivitaet extends Elementtyp {
String
schlNr, bez;
double
minD, normD, cDOrig, cD, cT,d=normD, fat, pet, set, xKopp, dxKopp;
ResAngabe[] resBed;
// Volumenangaben für r=0, ..., resAnzG-1
int
aktBg;
// Index des Aktivitätsbogens in netze[0]
int
bilRes =0;
// Index der aktuellen Bilanzress
int
bilResBg=0;
// Index des aktBg im Netz[bilRes]
public Aktivitaet(String schlNr, String bez, int normD, int minD, double cD,
int fat, int pet, double cT, int set) {
…
}
Diese
Datenstruktur
speichert
die
Parameterwerte,
die
die
Aktivität
kennzeichnen
(schlNr, bez, minD, normD, cDOrig, cT, fat, pet, set), zur Aktivität gehörende Variablen
(d, xKopp, dxKopp) und einige weitere Größen, die zur Orientierung innerhalb der Datenstruktur
Netzplan nötig sind.
Die Datenstrukturen Netzplan, Aktivitaet und andere sind für den eigentlichen Verarbeitungsprozess
nötig. Die langfristige Haltung von Datenmengen dieser Größe und Komplexität erfolgt über Files.
Ein Netzplanfile kann als spezieller Vector, genannt Netzdatei, angesehen werden. Die Elemente
dieses Vector sind vom Typ Netzdateisatz, der neben den bekannten Parameterwerten der Aktivität
ihre Abhängigkeiten von anderen Aktivitäten in Form eines Vector aus Abhaengigkeit sowie ihren
Ressourcenbedarf in Form eines Vector aus Ressourcenangaben vom Typ ResAngabe enthält:
public class Abhaengigkeit {
String vl; // Vorläufer-Schlüsselnummer
int typ=0;
int dauerProz=100;
int festAbstd=0;
public Abhaengigkeit() { }
}
public class ResAngabe {
String resNr;
double umf;
public ResAngabe() { }
}
Kapitel 6: Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen 143
Bei der Konstruktion der Datenstruktur Netzplan wird jeder Satz dieser Netzdatei (Netzdateisatz) in
eine Aktivitaet überführt; damit verbunden werden die Netze aufgebaut:
netze[r] (vom Typ PNetz) für r = 0, 1, …, bilResAnz (bilResAnz = Anzahl der zu bilanzierenden
Ressourcen). Das Netz netze[0] ist das Zeitnetz. Das Netz netze[r] einer zu bilanzierenden Ressource
r >0 enthält nur die Aktivitäten, die einen von Null verschiedenen Bedarf an der Ressource haben. Die
Teilnetze sind weitestgehend selbständig.
Die Gesamtheit aller Ressourcen wird wie der Netzplan langfristig als File – Typ Ressdatei - gehalten,
das wir als Vector aus Ressourcen ansehen können:
public class Ressource {
public String schlNr, bez, mass;
public int typ;
public double kap, cKap, cStill;
public Ressource() { }
…
}
Diese Ressdatei enthält alle in der Netzdatei genannten Ressourcen, auch die Verbrauchsressourcen.
Die Anzahl ihrer Datensätze beträgt resAnzRD (= Anzahl der in der Netzdatei genannten
Ressourcen). Die Ressourcen, die in die Optimierung einbezogen werden sollen – wir sagen auch, die
„bilanziert“ werden – werden in einem Vector bilResNrn aufgezählt. Dieser Vector wird interaktiv bei
der Auftragserteilung für die Optimierung aufgebaut. Folglich hat der Konstruktor für einen Netzplan
die folgende Gestalt:
public Netzplan(Netzdatei nd, Vector bilResNrn) { … }.
Es werden nur für die zu bilanzierenden Ressourcen Netze aufgebaut. Um der Problematik parallel
arbeitender Ressourcen aus dem Weg zu gehen, wurde in der realisierten Version der
Ressourceneinsatzoptimierung unterstellt, dass jede Aktivität höchstens eine dieser Ressourcen
beansprucht.
Aus der Sicht des Netzplans ist ein Bogen Bogen in einem der Teilnetze und muss folglich durch
einen Typ BgNr angesprochen werden:
public class BgNr {
public int netz=0; public int bg=0;
public BgNr() { }
public BgNr(int nN, int bN) { netz=nN; bg=bN; }
public boolean equals(BgNr bN) {
if (bN==null) return false;
return bN.netz==netz && bN.bg==bg;
}
}
Neben der Bogenkopplung innerhalb netze[0] kann eine Kopplung des Aktivitätsbogens aus netze[0]
mit einem Aktivitätsbogen in netze[bilRes] existieren. Um mit dieser Kopplung arbeiten zu können, ist
in der Datenstruktur Aktivitaet neben bilRes die Nummer bilResBg des Aktivitätsbogens in
netze[bilRes] vermerkt.
Das Datenstrukturproblem für die Kopplung der Aktivitätsbögen der Teilnetze wird im Sinne einer
Verkettung gelöst: An der Aktivität wird die zu bilanzierende Ressource explizit genannt: bilRes ist
ihr Index im Vector bilResNrn und bilResBg dazu die Bogennummer/Index im Netz netze[bilRes].
144 Planung des Ressourceneinsatzes in Arbeitsabläufen
5
3
4
3
9
2
5
6
7
6
4
8
1
2
4m-2
4m+1
2n+1
4m-1
4m
2n+2
1
Bild 6.7: Computerinterne Knoten- und Bogennummerierung im PNetz
Literatur 145
Literatur
[Be/Gh]
[Nä/St]
[Noz]
[Sch]
[Wa/Nä]
Berge, C.; Ghouila-Houri, A.: Programme, Spiele, Transportnetze.
Leipzig: Teubner, 1967
Nägler, G.; Stopp, F.:Graphen und Anwendungen.
Stuttgart; Leipzig: Teubner, 1996
Nožička, F.; Guddat, J.; Hollatz, H.; Bank, B.: Theorie der linearen parametrischen
Optimierung. Berlin: Akademie-Verlag, 1974
Schumann, F.: Software zur Lösung von Transportaufgaben.
Diplomarbeit, vorgelegt an der HTWK Leipzig, IMN; Leipzig 2002
Walther, H.; Nägler, G.: Graphen Algorithmen Programme.
Wien; New York: Springer, 1987
Stichwortverzeichnis
ABg(Kn)
7
adjazent
6
AKn(Bg)
6
Aktivität
66
Anfangsknoten
6
Ausgangsbogen
6
einer Knotenmenge
16
eines Knotens
6
Basiscozyklus
17
Basislösung
46, 67, 79
Basiszyklus
15
Baum
11
BFS(int Start)
20
Binärbaum
12
vollständiger
13
Blatt
Siehe Wurzelbaum, 12
Bogenliste
6
Bogenvektor
15
Branch-and-Bound-Verfahren
58
Breitensuche
20
Char(x(k))
47
Charakteristik
47, 67
Cogerüst
14
Coyzklus
16
elementarer
16
cz(k)
17
CZ(K)
16
DFS(int Start)
20
Digraph
7
Dijkstra-Algorithmus
26
Dualitätssatz
46, 67, 79
eABg(i)
8
EBg(Kn)
7
Eckpunktlösung
45, 67
eEBg(i)
8
Eingangsbogen
6
einer Knotenmenge
16
eines Knotens
6
eInzBg(i)
8
EKn(Bg)
6
Endknoten
6
eNetz
25
Ereignis
31, 66
erreichbar
11
Erreichbarkeitsbaum
20
Etage
Siehe Wurzelbaum, 12
etN
68
f(k)
76
Fluss
42
Gegenbogen
7
geplanten Endtermin
68
Gerüst
14
zur Startlösung
81
Gleichgewichtsgraph
67
Graph
8
Greedy-Prinzip
36
gross
74
Höhe
Siehe Wurzelbaum, 12
InzBg(Kn)
7
inzident
6
istBg(k)
8
Kante
7
unabhängige
22
Kapazität
eines Schnitts
51
Kette
10
alternierende
22
elementare
10
geschlossene
10
kFlusskrit
48, 69, 81
146 Sachwortverzeichnis
Kirchhoffscher Knotensatz
42
Kirchhoffscher Maschensatz
43
Knappsackproblem
34
Knoten
6
exponierter
22
innerer
Siehe Wurzelbaum, 12
Knotenliste
6
Komponente
11
stark zusammenhängende
22
zusammenhängende
21
kOut
48, 81
Kreis
10
negativer Länge
28
positiver Länge
32
kreisfrei
22
kSpannkrit
48, 69, 81
kuerzesteWege(int Start)
27
kürzeste Wege
Algorithmus
26
Aufgabe
25
Kürzungspreis
66
laengsteWege()
33
längste Wege
31
Algorithmus
31
linker Nachbarknoten
7
Maximalfluss-Algorithmus
51, 54
Maximumpaarung
22
Algorithmus
23
Mehrgütertransport
41
Minimaldauer
66
Minimalgeruest()
36
Minimalgerüst
36
Minimalkosten-Stromproblem
39
MKSK
81
nABg(k)
8
Nachbarknoten des Knotens
7
nEBg(k)
8
negative Bogenbenennungen
7
Netzplan
31
Netzplantechnik
31
nInzBg(k)
8
Normaldauer
66
Optimalwertfunktion
60
Ordnung
eines Knotens
Siehe Wurzelbaum, 12
eines Wurzelbaums
12
topologische
31
out-of-kilter
48, 67
parallele Bogen
6
Partner(k)
76
pEtN
68
Potential
25
zugehöriges
81
Prioritätsheap
27
Projektdauer-Kosten-Funktion
72
rechter Nachbarknoten
7
Rückkehrbogen
38
Rundreiseproblem
57
Sammler
77
schlicht
6
Schlinge
7
Schnitt
16
setzWrz(i))
18
Sohn
Siehe Wurzelbaum, 12
Spannung
17
Stabilitätsintervall
60
stark zusammenhängend
11
Strom
15, 42
Stützbogen
18
Stützgerüst
11
Stützrichtung
18
StzBg(i)
18
StzRchtg(k)
18
tauschStzBg(kAlt, kNeu)
18
Tiefensuche
20
tOrd()
32
Ug(K')
14
ungerichteter Graph
7
Untergraph
14
Vater
Siehe Wurzelbaum, 12
Verteiler
78
Weg
10
WrzBg
18
Wurzel
12
Wurzelbaum
11
60
X(k, λ)
x(λ)
60
Zirkulation
42
zusammenhängend
11
Zyklus
10
Sachwortverzeichnis 147