¨Ubungen zur Vorlesung Formale Sprachen und Automatentheorie

Universität Heidelberg
Institut für Informatik
PD Dr. Wolfgang Merkle
8. Dezember 2014
Übungen zur Vorlesung
Formale Sprachen und Automatentheorie
Blatt 8
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Das Längenspektrum einer Sprache L ist die Menge S(L) = {|w| : w ∈ L}.
(a) Zeigen Sie, dass es zu jeder unendlichen kontextfreien Sprache L eine Konstante d gibt, so dass für
jede natürliche Zahl i gilt
S(L) ∩ {i · d, i · d + 1, . . . , (i + 1) · d − 1} =
6 ∅.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung von Teil (a), dass die folgenden Sprachen nicht kontextfrei sind
Q = {w ∈ {0}∗ : |w| ist Quadratzahl},
P = {w ∈ {0}∗ : |w| ist Primzahl}.
Hinweis: Nach dem Primzahlsatz gibt es für große n ungefähr n/ ln n Primzahlen kleiner oder
gleich n, und insbesondere geht mit wachsendem n der Anteil der Primzahlen unter den Zahlen
kleiner oder gleich n gegen null.
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Die Sprache {am bm an |m, n ≥ 1} wird von einer kontextfreien Grammatik G in Chomsky-Normalform
erzeugt, die folgende Regeln enthält:
(i) S → LR,
(ii) L → AZ,
(iii) Z → LB,
(v) R → RA,
(vi) A → a,
(vii) B → b,
(iv) L → AB,
(viii) R → a.
Wenden Sie den Algorithmus von Cocke, Kasami und Younger auf die Grammatik G und die folgenden
Wörter an:
w1 = a2 b2 a3 ,
w2 = a2 b3 a2 ,
w3 = aba2 b2 .
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist abgeschlossen unter Homomorphismen, d. h., ist L kontextfreie
Sprache über einem Alphabet Σ und ist h Homomorphismus auf Σ, so ist das Bild h[L] = {h(w) : w ∈ L}
von L unter h kontextfrei. Den Abschluss der kontextfreien Sprachen unter Homomorphismen kann
man zum Beispiel durch folgende Konstruktion zeigen: zu einer gegebenen kontextfreien Grammatik und
einem gegebenen Homomorphismus h ersetze auf der rechten Seite jeder Regel der Grammatik jedes
Terminalsymbol a durch dessen Bild h(a).
(a) Ein Homomorphismus h auf einem Alphabet Σ heißt nichtlöschend, falls für alle Zeichen a aus Σ das
Bild h(a) ungleich dem leeren Wort ist. Zeigen Sie, dass die Klasse der kontextsensitiven Sprachen
unter nichtlöschenden Homomorphismen abgeschlossen ist
(b) Warum ist die oben genannte Konstruktion für kontextfreie Sprachen ungeeignet, den Abschluss
der kontextsensitiven Sprachen unter nichtlöschenden Homomorphismen zu zeigen?
Abgabe: Bis Montag, den 15. Dezember 2014, 14 Uhr.
Für die Abgabe können Sie die Kästen im Erdgeschoss des Gebäudes INF 294 (Angewandte Mathematik)
benutzen. Die Übungsblätter sind im PDF-Format abrufbar unter
http://math.uni-heidelberg.de/logic/ws14/formsprach ws14.html .