constraint - Semantic-Web

Teil 4
Constraintprogrammierung
Zitat
 “Constraint programming represents one of the
closest approaches computer science has yet made
to the Holy Grail of programming: the user states the
problem, the computer solves it.”
Eugene C. Freuder, Constraints, April 1997
Was sind Constraints?
 constraint (engl.) = Beschränkung, Einschränkung
 hier: Aussage darüber, welche Lösungen eines
Problems (ausgedrückt durch Belegung von
Variablen) verboten/erlaubt sind
 Also: constraints schränken die zulässigen
Lösungen ein
 verschiedene Beschreibungsarten:
 extensional (durch Aufzählung):
(X,Y,Z) ∈ {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
 intensional (durch Formeln, die erfüllt sein müssen)
X+Y+Z = 1
Constraint Satisfaction Problem
  CP = Ein Programm erstellt ein CSP zu einem Problem
  Ein CSP besteht aus:
 einer endlichen Menge von Variablen X={x1,…,xn}
 Domänen D1,...,Dn dieser Variablen
(endliche Mengen möglicher Werte)
 einer Menge von Constraints
Beispiel:
 X::{1,2}, Y::{1,2}, Z::{1,2}
 X = Y, X ≠ Z, Y > Z
  Lösung eines CSPs:
 Zuweisung eines Wertes an jede Variable aus ihrer
Domäne Beispiel:
 X=2, Y=2, Z=1
Was ist CP?
 Eine Methode, um kombinatorische Probleme
zu lösen
 Beispiel: SEND+MORE=MONEY
 Menge von Variablen {S,E,N,D,M,O,R,Y}
 Domänen (Wertebereiche) für Variablen
E,N,D,O,R,Y::0..9,
S,M::1..9
 Constraints (Einschränkungsbedingungen)
schränken den Wertebereich von Variablen ein
+
= 10000*M
1000*S
+100*E
+10*N
+D
1000*M
+100*O
+10*R
+E
+1000*O
+100*N
+10*E
+Y
 Aufgabe: Finde einen Wert für jede Variable, so
dass alle Constraints erfüllt sind.
CP und der ''Heilige Gral"
 Modellierung auf „natürliche“ Weise
(verglichen mit „normalen“ Programmiersprachen)
 Beispiel: Send+More=Money in Prolog:
definiere Variablen
send_more_money :und Domänen
[S,E,N,D,M,O,R,Y] :: [0..9],
1000*S
+100*E
+10*N
+D
1000*M
+100*O
+10*R
+E
= 10000*M +1000*O
+100*N
+10*E
+Y
+
Constraints?
CP und der ''Heilige Gral"
 Modellierung auf „natürliche“ Weise
(verglichen mit „normalen“ Programmiersprachen)
 Beispiel: Send+More=Money in Prolog:
definiere Variablen
send_more_money :und Domänen
[S,E,N,D,M,O,R,Y] :: [0..9],
S #\= 0, M #\= 0,
alldifferent([S,E,N,D,M,O,R,Y]),
1000*S+100*E+10*N+D + 1000*M+100*O+10*R+E
#= 10000*M+1000*O+100*N+10*E+Y,
labeling([S,E,N,D,M,O,R,Y]).
Constraints
starte Suche
 Das System sucht und findet automatisch eine Lösung
 Intelligenz ist eingebaut
Beispiel: Sudoku
Beispiel: Sudoku
 Modellierung (Problemformulierung)
 zu belegende Variablen bilden ein 9x9-Array: n(i,j)
 jede Variable kann Wert zwischen 1 und 9 annehmen:
n(i,j)::{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
 Constraints:
  alle Zahlen in einer Spalte verschieden:
j ≠ k  n(i,j) ≠ n(i,k)
  alle Zahlen in einer Zeile verschieden:
j ≠ k  n(j,i) ≠ n(k,i)
  alle Zahlen in einem Teilquadrat verschieden:
h div 3 = i div 3, j div 3 = k div 3, (h ≠ i oder j ≠ k)  n(h,j) ≠ n(i,k)
Kurzer Überblick über CP
 Modellierung
 Ein Problem der realen Welt wird mittels
Constraintprogrammierung beschrieben
 Suche einer Instanz (labeling)
 mittels der bekannten Techniken der KI
 Propagierung (domain filtering)
 Inkonsistenzen werden im Voraus entfernt
Systematische Suche
  Durchsuchung des gesamten Lösungsraumes
  vollständig und korrekt
  Effizienzprobleme (sehr aufwendig)
Grundlegende Techniken:
  Generieren & Testen (GT)
  Backtracking (BT)
betrachte Unterräume
betrachte
einzelne Belegungen
Z
X
Y
Erschöpfende Suche
 Generiere und Teste (GT)
 Erzeuge systematisch einen Lösungskandidaten
 Teste, ob alle Constraints erfüllt sind
 Beispiel:
 X::{1,2}, Y::{1,2}, Z::{1,2}
 X = Y, X ≠ Z, Y > Z
Probleme:
 der Generator ist „blind“
 generiere Lösungskandidaten intelligent
 Probleme (Inkonsistenzen) werden zu spät erkannt
 teste Constraints bei Instanziierung der beteiligten Variablen
Backtracking (BT)
  Erweitert eine Teillösung inkrementell zu einer
vollständigen Lösung
  Algorithmus:
A1
weise einer Variablen einen Wert zu
teste auf Konsistenz
B
wiederhole, bis alle Variablen belegt sind 1
  Tiefensuche (komplexe Rücksetzung)
C
1
  Nachteile:
D
 thrashing
2
2
1 2 1 2
1
1
√
 unnötige Wiederholungen (Redundanz)
 Konflikte werden spät erkannt
A = D, B ≠ D, A+C < 4
GT & BT - Beispiel
  Problem:
X::{1,2}, Y::{1,2}, Z::{1,2}
X = Y, X ≠ Z, Y > Z
Generiere & Teste
Backtracking
Konsistenztechniken
  entfernen inkonsistenter Werte aus den Domänen der
Variablen
  Repräsentierung eines CSPs als Graph
 nur binäre und unäre Constraints
(n-äre Constraints sind kein Problem!)
 Knoten = Variablen
 Kanten = Constraints
A>5
  Knotenkonsistenz (NC) (node consistency)
A
  Kantenkonsistenz (AC) (arc consistency)
A<C
A≠B
  Pfadkonsistenz (PC)
  (starke) k-Konsistenz
C
B
B=C
Kantenkonsistenz AC
 Constraint = Kante im Constraint-Graphen
 Definition:
 Kante(i,j) ist kantenkonsistent gdw. es für jeden Wert
in einen kompatiblen Wert in gibt. (gerichtet!)
 Ein CSP ist kantenkonsistent gdw. es für alle Kanten
kantenkonsistent ist (in beiden Richtungen).
nicht kantenkonsistent
(A,B) konsistent
(A,B) und (B,A) konsistent
 Erreichen der Kantenkonsistenz:
 Einschränkungen solange wiederholen bis sich keine
Domänen mehr ändern
AC - Beispiel II
  Problem:
X::{1,2}, Y::{1,2}, Z::{1,2}
X = Y, X ≠ Z, Y > Z
1
1
Y
2
X
1
x
x1
2
X
2
2
Y
1
2
1 x
2
Z
Z
 AC ist die am meisten verbreitete Konsistenztechnik
 viele Algorithmen mit unterschiedlichen Leistungsmerkmalen
Ist AC ausreichend?
  leere Domäne → Inkonsistenz gefunden, keine Lösung
  Kardinalität aller Domänen ist 1 → Lösung gefunden
  Problem:
X::{1,2}, Y::{1,2}, Z::{1,2}
X ≠ Y, X ≠ Z, Y ≠ Z
1
Y
1
X
2
2
1
2
Z
Pfadkonsistenz (PC)
 nur Konsistenz entlang von Pfaden
V2
V0
V1
V3
V4
V5
???
 es genügt, Pfade der Länge 2 zu untersuchen
 Vor- und Nachteile
+ findet mehr Inkonsistenzen als AC
- extensionale Repräsentation der constraints
- verändert die Konnektivität des Graphen
 gerichtete PC, eingeschränkte PC
k-Konsistenz
 k-Konsistenz
 konsistente Belegung von (k-1) Variablen kann auf
die k-te Variable erweitert werden
 starke k-Konsistenz
≡ j-Konsistenz für jedes j≤k
 NC ≡ starke 1-Konsistenz
 AC ≡ starke 2-Konsistenz
 PC ≡ starke 3-Konsistenz
Vollständige Konsistenz
  starke n-Konsistenz eines Constraint Graphen mit n Knoten
→ Lösung
  starke k-Konsistenz eines Constraint Graphen mit n Knoten
(k<n) → ???
Pfadkonsistent
aber keine Lösung
{1,2,3}
≠
A
≠
B
D
≠
≠
≠
≠
{1,2,3}
  spezielle Graphen
 baumartiger Graph  (D)AC ist ausreichend
 eliminiere Knoten (cycle cutset)
 fasse Knoten zusammen
{1,2,3}
C
{1,2,3}
Constraintpropagierung
  nur systematische Suche → ineffizient
  nur Sicherstellung der Konsistenz → unvollständig
  Also: Kombination von Suche (Backtracking) mit
Konsistenztechniken
  Methoden:
 look back (Wiederherstellen nach Konflikten)
 look ahead (Verhindern von Konflikten)
look
back
look
ahead
Labeling-Reihenfolge
Look Back Methoden
  intelligentes Backtracking
  Konsistenzprüfung der instanziierten Variablen
springe
hierhin
  backjumping
 Backtracking zu der Variable mit dem Konflikt
  backchecking und backmarking
 vermeidet redundante Überprüfungen von
Constraints durch das Speichern von
erfolgreichen und fehlgeschlagenen
Wertzuweisungen
a
Konflikt
b
b
auch Konflikt
b
Look Ahead Methoden
  vermeide zukünftige Konflikte durch Konsistenzüberprüfung mit noch nicht instanziierten Variablen
Instanziierte
  forward checking (FC)
 AC to mit dem direkten Nachbarn
 DAC
  (vollständiger) look ahead (LA)
 Kantenkonsistenz
 Pfadkonsistenz
Labeling-Reihenfolge
  teilweiser (partial) look ahead (PLA)
Variable
Look Ahead - Beispiel
  Problem:
X::{1,2}, Y::{1,2}, Z::{1,2}
X = Y, X ≠ Z, Y > Z
Generieren & Testen - 7 Schritte
mit Backtracking - 5 Schritte
mit Propagierung - 2 Schritte
Anwendungsfelder I
Alle Arten von schwierigen kombinatorischen Problemen
 Molekularbiologie
 Sequenzierung von DNA
 Protein-Strukturanalyse
 Interaktive Grafik
 Web-Layout
 Multimodale Ausgabe, z.B. im DynAMITE-Projekt
 Network-Management und -Konfiguration
Job Shop Scheduling
 Aufgabe bei Scheduling:
 Zuweisung von Aktivitäten an Ressourcen zu einer Zeit
 CP erlaubt die Modellierung auf „natürliche“ Weise
 Nebenbedingungen werden abgedeckt!
 Aktivitäten werden mittels Variablen beschrieben:
 Anfangszeit
 Ressourcen (wenn nötig)
 Dauer (falls variabel)
 Constraints beschreiben Beziehungen
 zwischen einzelnen Aktivitäten (Vorrang, Reihenfolge, ...)
 zwischen Aktivitäten und Ressourcen (Kapazität, ...)
 Lösungstechniken: standard Constraint-Verfahren
Temporale Constraints
 Termin-Constraints (due times)
 Fertigstellung vor einem festgelegtem Zeitpunkt
 start(A) + dauer(A) ≤ ende(A)
 Vorrang-Constraints (precedence constraints)
 Aktivität A muß einer andere Aktivität B vorangehen
(aus technologischen Gründen)
 start(A) + dauer(A) ≤ start(B)
 Zeitfenster (time windows)
 Aktivität muß während eines Zeitfensters stattfinden
 start(A) in MinStart...MaxStart
 Einricht-Zeiten (set-up times), ...
Ressourcen Constraints
 Disjunktive Constraints
 Ressource ist auf eine gleichzeitige Aktivität beschränkt
 start(A)+dauer(A)≤start(B) oder start(B)+dauer(B)≤start(A)
 globale Constraints
 serialized([start(Ai)], [dauer(Ai])
 Kapazitätsconstraints
 Ressource kann Aktivitäten mit einem gegebenen Limit
parallel bearbeiten
 deckt auch Disjunktive Constraints ab (Kapazität = 1)
 cumulative([start(Ai)], [dauer(Ai)], [verbrauch(Ai)], limit)
 Trick: Ist die Ressource an der Aktivität nicht beteiligt, dann ist ihr
Verbrauch gleich Null.
Was wurde verschwiegen?
 Techniken der lokalen Suche
nicht-systematisches Generieren und Testen
 hill-climbing, min-conflicts, random-walk, tabu search
 Probleme mit zu vielen Constraints (over-constraint)
Was ist zu tun, wenn die Constraintmenge unerfüllbar ist?
 Abschwächen des Problems (weakening, PCSP)
 Verwenden von Präferenzen (Hierarchien von Constraints)
 Optimierung
Suche nach optimalen Lösungen, gemäß einer Zielfunktion
 Branch und Bound
 Realzahlen
Methoden der numerischen Mathematik (Newton, Taylor)
Was wurde gesagt?
 Constraint Programmierung
 kommt dem Heiligen Gral der Informatik nahe
 ist relevant bei der Lösung interessanter Probleme
 Modellierung und systematische Suche
 Erschöpfende Suche ist zu aufwendig
 Verbesserungen:
 Konsistenztechniken (look ahed)
 verhindere Konflikte in der Zukunft
 Techniken zur Vermeidung von Redundanzen (look back)
 verwendet Informationen über vorangegangene Schritte
Quellen und Literatur
 Roman Barták. On-Line Guide to Constraint
Programming,
http://kti.mff.cuni.cz/~bartak/constraints. (englisch)
 Russell und Norvig: Artificial Intelligence: A
Modern Approach, Prentice Hall, 1995, 2te
Auflage, Kapitel 5 (online!)
 Roman Barták. Vortrag CPDC99. (englisch)
 N-Queens v1.0, ©1996 CyLog Software,
http://www.cylog.org/games_6.asp