Zahlenromantik numerus

Zahlenromantik
Christine Weissenbacher
26.11.2014
1 Zahlen in Wörtern
1.1 der Zusammenhang von Sprache und Zahlen
Durch die gesamte Geschichte hatten Zahlen einen gewaltigen Einfluss auf unsere Kultur
und vor allem auf unsere Sprache. Viele Wörter hängen offensichtlich mit Zahlen zusammen.
Hier sind nun einige Beispiele:
• ein Monolog ist eine Rede, die von 1 Person gehalten wird
• ein Bimetall ist ein Werkstoff aus 2 verschiedenen Metallen
• Triumvirat ist ein Bündnis von 3 Männern
• ein Oktopus hat 8 Tentakel
• ein Nonagon hat 9 Ecken
Leider sind aber in vielen Fällen die einstmals deutlichen Zusammenhänge im Laufe der
Zeit verblasst.
numerus
ist das lateinische Wort für Zahl. Nun schauen wir uns die sprachlichen Zusammenhänge
genauer an
• in der deutschen Sprache ”Nummer”
• in der englischen Sprache ”number”
• ‘Anteil´, da es sich ursprünglich um Landaufteilung handelte
• ‘Nemesis´ Göttin der Vergeltung des Übermuts
• ‘nemein´ bedeutet zuteilen (von Weideland)
1
1.2 Hickory, Dickory, Dock - Eene, Meene, Mu...
Es gibt einige Wortgefüge für Zahlen, die an abgelegenen Orten (zum Beispiel Nordengland)
für spezielle Zwecke erhalten geblieben sind. Diese speziellen Abfolgen von Wörtern ändern
sich natürlich in Abhängigkeit vom Landesteil und dem Verwendungszweck. So wurde in
Nordengland von den Schäfern ein bestimmtes System verwendet um ihre Schafe zu zählen:
wan, twan, tethera, methera, pimp, sethera, lethera,
hovera, dovera, dick, wanadick, twanadick,........
oder wie es oft in heimischen Spielen vorkommt:
Eene, Meene, Mu....
1.3 Zählen in unterschiedlichen Sprachen
• Walisisch
18: deunaw = 2 · 9 (2: dau, 9: naw)
70: trigainadeg = 60 + 10 (60: trigain, 10: deg)
50: hannercant =
1
2
· 100( 12 : hanner, 100: cant)
• Französisch
92: quatre − vingt − douze = 4 · 20 + 12 (4: quatre, 20: vingt, 12: douze)
• Deutsch
92: zweiundneunzig = 2 + 90
Das dänische Zahlensystem
Die Dänen wechseln ab der Zahl 50 (bis einschließlich 99) von der herkömmlichen dezimalen
in eine vigesimale Zählweise. Das vigesimale Zahlensystem ist ein Zahlensystem, das als
Basis die Zahl 20 verwendet. Aber nun zu den ungewohnten dänischen Zahlenwerten:
• Halvtreds = halv − tresindetyve = 2 21 · 20 = 50 (halb-drei mal zwanzig)
• Nioghalvfems = nioghalv − f emsindetyve = 9 + 4 12 · 20 = 99 (neun und halb fünf
mal zwanzig)
2
Die numeralen Worte halb-drei, halb-vier bzw. halb-fünf dieses Systems bedeuten jedoch
nicht etwa die Hälfte von drei, vier bzw. fünf, sondern zweieinhalb, dreieinhalb bzw. viereinhalb.
1.4 Wörter in Verbindung mit speziellen Zahlen
Die Zahl EINS
• monos
Das griechische ‘monos´ (allein) kommt in vielen Wörtern vor.
‘Monopol´ hat seine ursprüngliche Bedeutung ‘Recht des Alleinhandels´ beibehalten.
Das Wort ‘Mönch´geht auf das griechische ‘monachos´ zurück was ‘einzeln, allein
lebend´ bedeutet.
Ein ‘Monolith´ ist eine Säule bzw. ein Denkmal aus einem einzigen großen Steinblock.
Ein ´Monogramm´ ist eine Verschlingung mehrerer Buchstaben zu einem.
Abschließend um den Absatz abzuschließen noch das Wort ‘monoton´.
Die Zahl ZWEI
• ‘zw´
Viele deutsche Wörter die mit ‘zw´ beginnen hängen mit der Zahl 2 zusammen.
Zwischen . . . weist auf die Lage eines Gegenstandes des in Beziehung zu zwei
anderen hin
Zweifel . . . bedeutet Ungewissheit bei zweifacher Möglichkeit
Zwielicht . . . ist das Zwischenlicht das die Nacht vom Tage trennt
Zweig . . . der Aus-zwei-Bestehende
• ‘bi´
Bizeps . . . ist der zweiköpfige Oberarmmuskel
Binokel . . . ist ein Gerät das für das Sehen mit beiden Augen bestimmt ist
Billion . . . Verschmelzung von zwei und Million, bedeutet aber nicht ‘zwei Millionen´
Di Zahl DREI
• ‘tri´
Triumph-zug . . . ist ein Umzug im Stile der alten bacchantischen Prozessionen,
zu denen Musik im Dreitakt gespielt wurde.
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trivium . . . ist ein Ort, wo drei Wege zusammenstoßen
Trimester . . . Zeit von drei Monaten
2 Millionen, Billionen und sonstige Zillionen
2.1 Entstehung der Million
Die Italiener fügten an mille (lateinisch ‘tausend´) ein Vergrößerungssuffix und erhielten millione (‘großes Tausend´), woraus dann milione wurde. Es wurde generell
für eine sehr große Zahl verwendet. Hiervon leitet sich auch unser Wort ‘Million´
ab, welches aber erst ab dem 17. Jahrhundert seine konkrete heutige Bedeutung
´1.000.000´ erhielt.
2.2 Zählen ohne Millionen
Bevor die Million verwendet wurde, behalf man sich mit der Zahl tausend. Da es ja
ursprünglich die größte bekannte Zahl war. In einem Beleg von 1525 (Link am Ende)
wird folgende Aussprache von Zahlen empfohlen:
86789325178
ist sechs und achtzig tausend tausend mal tausend / siebenhundert tausend mal tausend/ neun und achtzig tausend mal tausend / drei hundert tausend fünf und zwanzig
tausend / ein hundert und acht und siebzig
Warum diese Zahl auf jene Weise ausgesprochen wurde soll die nachfolgende Tabelle
erklären:
Mrd. Mio. Tsd. Hdt.
0 86
000
000
000
000
000
000
700
0 89
000
000
000
000
000
000
300
0 25
000
000
000
000
000
000
178
Heute sagen wir sechsundachtzig Milliarden siebenhundertneunundachtzig Millionen
dreihundertfünfundzwanzigtausend einhundertachtundsiebzig
4
2.3 Exkurs in die Schule - Auswirkung auf die Schule beziehungsweise auf die
Kinder
Sogenannte Zahlendreher sind ein großes Problem vor allem bei Kindern in der
Grundschule bzw. Unterstufe. In der deutschen Sprache spricht man eine Zahl anders
aus als es geschrieben wird. So zum Beispiel die Zahl 54381. Beim Lesen der Zahl
etwa springen wir von der zweiten Ziffer zur ersten, dann zur dritten, zur fünften
und enden mit der vierten. Eine Studie mit Züricher Schulkindern ergab, dass vor
allem Kinder die zweisprachig aufwachsen Schwierigkeiten haben den Umgang mit
Zahlen zu lernen. Es ergab sich sogar, dass deren Rechenleistungen im Alter von
sieben Jahren im internationalen Vergleich nur noch von einer Stichprobe aus der
brasilianischen Unterschicht unterboten wurden. Nun ist es fraglich ob jenes System
sogar zur Misere der Pisa-Leistung beiträgt?
In Norwegen zum Beispiel wurde 1951 ein Gesetz ausgesprochen, dass die Bewohner dazu auffordert die Zahlen in korrekter Abfolge auszusprechen, also die Zehner
werden vor den Einern ausgesprochen.
2.4 Die Bi-Tri-Quadr-Quint-......-illionen
Um 1520 erschienen in einem Buch von Emil de la Roche die Wörter Billion, Trillion,....,Nonillion, welche von N. Chuquet geprägt wurden. Diese Arithmetiker setzten
die Präfixe: b, tr, quadr, quint, sext, sept, oct und non vor ‘illion´ und bezeichneten
damit die 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8. und 9. Potenz einer Million
Billion 10000002
(1)
T rillion 10000003
(2)
Quadrillion 10000004
(3)
Quintillion 10000005
(4)
Sextillion 10000006
(5)
Septillion 10000007
(6)
5
Octillion 10000008
(7)
N onillion 10000009
(8)
Etwa ein hundert Jahre später schloss man die Lücke zwischen der Million und Billion
mit der Milliarde. Dieser Wortschatzerweiterung ging aber kausal eine Erweiterung
der Finanzen des deutschen Reichs voran: Nach dem Deutsch-Französischen Krieg
gab es eine Kriegsentschädigung in Höhe von 5 Milliarden Goldfrancs für Deutschland. Und für diese große Zahl musste man natürlich einen Ausdruck finden, also die
Erfindung des Wortes Milliarde!
Um die Mitte des 17. Jahrhunderts wurden die obigen Ausdrücke dann aber von
anderen französischen Arithmetikern zur Bezeichnung der 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9. und
10. Potenz von Tausend verwendet.
Billion 10003
(9)
T rillion 10004 ..........usw.
(10)
Das heißt die alte Milliarde wurde durch die neue Billion sozusagen ersetzt und obwohl dieses Veränderung als völlig ‘irrsinnig´ bezeichnet wurde, ist der neuere Sprachgebrauch heute in den USA der Standard. Der ältere Sprachgebrauch ist dagegen in
Großbritannien und auch auf dem europäischen Kontinent erhalten geblieben. Die
Erklärung für die Änderung seitens der Arithmetiker ist folgende:
Subsequently the application of the word was changed by French arithmeticians, figures being divided in numeration into groups of threes, instead of sixes ...
Die ganze Erklärung dazu findet man schlussendlich in den Begriffen Kurze und
Lange Leiter wieder.
2.5 Lange Leiter und Kurze Leiter
Länder mit dem älteren System ( lange Leiter, Europa) nehmen die Benennung der
Zahlen nach Millionen vor (Sechsergruppen). Eine Billion ist daher 1M io2 , eine
Trillion 1M io3 , und so weiter.
Länder mit dem jüngeren System ( kurze Leiter, wie in Frankreich im 18. Jhdt.)
nehmen die Bennung nach Tausendern vor (Dreiergruppen). Eine Billion ist daher
1000 · 10002 , eine Trillion 1000 · 10003 , und so weiter.
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Das heißt das kurzleitrige System benennt alle entstehenden Zahlen kontinuierlich
mit -illion, also ab der billion wird einfach weitergezählt mit tri-, quadri-, quinti-,
sexti-,...
Beim langleitrigen System hingegen hat man immer einen Zwischenschritt: auf eine
-on folgt eine -arde mit dem selben Anfang: Million, Milliarde, Billion, Billiarde
usw.
Im Zuge der fortschreitenden Wissenschaft waren die Menschen gezwungen noch
mehr Namen für diese Zahlen zu finden. Somit kommen wir zum nächsten Abschnitt.
2.6 Nomenklatur für Zahlen ab 1 000 000
Wie setzt sich die Reihe der Wörter nach den bekannten ’Trillion, Trilliarde und Quillion´weiter? Um die N-te Zillion zu berechnen wurde im amerikanischen Standard
(Billion = Milliarde) 103N +3 oder im britischen bzw. europäischen Standard (Billion
= Billion) 106N eingeführt. Die ersten neun Zillionen beginnend bei Millionen und
endend bei Nonillion haben wir ja bereits kennen gelernt. Für die hundertste Zillion
ist Zentillion ein bereits feststehender Ausdruck.
(Nicht-Kombinationspräfixe)
(Kombinations-Präfixe)
mi
bi
tri
quadri
quinti
sexti
septi
okti
noni
un
duo
tre(s)
quattuor
quinqua
se(s)(x)
septe(m)(n)
okto
nove(m)(n)
Zehner
Hunderter
dezi
zenti
(m)(s)viginti
(n)duzenti
(n)(s)triginta
(n)(s)trezenti
(n)(s)quadraginta (n)(s)quadringenti
(n)(s)quinquaginta
(n)(s)quingenti
(n)sexaginta
(n)seszenti
(n)septuaginta
(n)septingenti
(m)(x)oktoginta
(m)(x)oktingenti
nonaginta
nongenti
Diese Präfixe lassen sich nach folgender Reihenfolge lesen: Einer+Zehner+Hunderter.
Um aus diesen Präfixen ein Zahlwort zu bilden, muss man die Endung -llion anfügen.
Die gebildete Zahl entspricht 10n6 (n steht dabei für den Wert des gebildeten Präfixes;
z.B. treszenti- = 103). Hängt man zu dem Präfix die Endung -lliarde dran (nach
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Jacques Peletier du Mans), wird die Nullenanzahl um 3 Nullen größer, als die Nullenanzahl des Zahlwortes mit der Endung -llion.
Beispiel:
• Zentillion = 10100·6 = 10600
• Zentilliarde = 10600+3
2.7 Nomenklatur für Zahlen ab 6000 Nullen
Die Bildung der Präfixe einer Zahl mit 6000 und mehr Nullen funktioniert so:
Um das Zahlwort mit dem Wert 106000 zu bilden,
1. wird die Potenz genommen (6000)
2. wird diese durch 6 geteilt (1000)
3. wird diese in Dreier-Gruppen geteilt
Mi-“ ist das Nicht-Kombinationspräfix für eine allein stehende 1.
”
lli-“ gilt als Abstand für die nächste Dreier-Gruppe.
”
ni-“ steht für Tausender (falls es allein steht, dann ohne eine bestimmte An”
zahl).
-llion“ ist die Endung, damit aus dem Präfix ein Zahlwort wird.
”
Das Zahlwort für 106000 lautet folglich: Millinillion.
Das System von John Horton Conway und Allan
Wechsler
Name
Millinillinillion
Oktillioktooktogintaoktingentillion
Quintilliquinquaquinquagintaquingentillion
8
Anzahl Nullen
1000000 · 6
8888 · 6
5555 · 6
Anzahl Nullen
6000000
53328
33330
3 Zahlen zu anderen Basen
• Dezimalsystem zur Basis 10 ist hindu-arabisches System
• Sexagesimalsystem zur Basis 60 ist babylonisches System
• Binärsystem zur Basis 2 ist Computersystem
• Oktalsystem zur Basis 8
• Hexadezimalsystem zur Basis 16
• Vigesimalsystem zur Basis 20
b-adische Darstellung
Satz Es sei b ≥ 2 eine natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl n 6= 0
eine natürliche Zahl k und Zahlen ai , 0 ≤ ai ≤ b − 1, i = 0, . . . , (k − 1), ak−1 6= 0,
mit
n = ak−1 · bk−1 + ak−2 · bk−2 + · · · + a1 · b1 + a0 · b0
Die Zahlen k und ak−1 , ak−2 , ......, a1 , a0 sind eindeutig bestimmt.
Definition
Man spricht von dem Zahlensystem zur Basis b. Die Zahlen 0, ..., b − 1 heißen die
Ziffern des Zahlensystems. Die Darstellung der Zahl n im Satz oben heißt auch die
b-adische Darstellung der Zahl n oder die Darstellung der Zahl n zur Basis b. Die
Zahl k heißt die Stellenzahl von n und die Zahlen ak−1 , ak−2 , . . . , a1 , a0 die Ziffern der
Zahl n zur Basis b.
Beweis Existenz
Es sei k die kleinste natürliche Zahl, so dass bk > n, das heißt bk > n, aber bk−1 ≤ n.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach k.
Induktionsanfang k = 1: Dann gilt 0 < n < b. Wir setzen a0 := n.
Dann gilt
n = n · 1 = a0 · b 0
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Induktionsschritt (k − 1) → k: Es sei k > 1 und die Aussage sei richtig für Zahlen n
mit bk−1 > n. Zunächst teilen wir n durch bk−1 mit Rest:
n = ak−1 · bk−1 + n‘ mit 0 ≤ n < bk−1 .
Dann ist ak−1 > 0, denn sonst wäre n = n‘ < bk−1 , im Widerspruch zur Wahl von
k.
Außerdem ist ak−1 < b, denn sonst wäre n ≥ b · bk−1 = bk , was erneut im Widerspruch zur Wahl von k steht.
Ist n‘ = 0, so sind wir fertig.
Ansonsten können wir auf n‘ die Induktions annahme anwenden.
Danach gibt es Zahlen ai , 0 ≤ ai ≤ b − 1, i = 0, . . . , k − 2, mit
n‘ = ak−2 · bk−2 + · · · + a1 · b1 + a0 · b0 .
Zusammen folgt n = ak−1 · bk−1 + ak−2 · bk−2 + · · · + a1 · b1 + a0 · b0 .
Eindeutigkeit: Angenommen,
n = ak−1 ·bk−1 +ak−2 ·bk−2 + . . . +a1 ·b1 +a0 ·b0 = c`−1 ·b`−1 +c`−2 ·b`−2 +· · ·+c1 ·b1 +c0 ·b0 ,
wobei ak−1 6= 0 und c`−1 6= 0.
Dann folgt bk > n ≥ bk−1 und b` > n ≥ b`−1 .
Daraus folgt k = `.
Nun subtrahieren wir die beiden Darstellungen von n voneinander:
0 = (ak−1 − ck−1 ) · bk−1 + (ak−2 − ck−2 ) · bk−2 + · · · + (a1 − c1 ) · b1 + (a0 − c0 ) · b0 .
Wegen (ak−2 − ck−2 ) · bk−2 + · · · + (a1 − c1 ) · b1 + (a0 − c0 ) · b0 < bk−1
muss
ak−1 − ck−1 = 0, also ak−1 = ck−1 gelten. Weiter schliesst man entsprechend
ak−2 = ck−2 , usw., bis man schließlich zu a0 = c0 gelangt.
4 Literatur, Links
http://de.wikipedia.org
http://woerterbuchnetz.de/DWB/?lemma=million
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http://www.sprachlog.de/2012/12/04/milliarden-vs-billionen-grose-zahlen/
http://www.sueddeutsche.de/kultur/gedanken-ueber-geld-null-und-wichtig-1.485368
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