Seminararbeit

Funktionsweise der Finanzmärkte und
theoretische Modelle
Srecko Mihaljevic
28. Februar 2014
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Statistische Eigenschaften
2.1 Definition der Renditen . . . . . . . .
2.1.1 Einfache Renditen . . . . . . .
2.1.2 Logaritmische Renditen . . . .
2.2 Stylized facts . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Höhere Momente einer Zufallsvariable
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3
3
3
4
5
5
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3 Funktionsweise der Finanzmärkte
3.1 Quote-driven und Order-driven Markt . .
3.2 Orderbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Komponenten des Bid-Ask Spreads
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9
. 9
. 10
. 10
. 11
4 Mandelbrot Modell
12
4.1 Stabile Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Clarks Subordination Modell
15
5.1 Dichte der Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Mikrostrukturmodell für Informationseingang
17
7 EKO Modell
7.1 Basis des Modells . . . . . . .
7.1.1 Uninformierte Händler
7.1.2 Informierte Händler .
7.1.3 Simulation . . . . . .
7.1.4 Preisprozess . . . . . .
21
21
21
21
22
23
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1 Einleitung
Die Forscher und Fachleute, die sich im Alltag mit der Modellierung der Finanzmärkte
beschäftigen, wissen bereits, dass die Dichtefunktion der Vermögensrenditen keine echte
Glockenform hat, die eine Normalverteilung implizieren würde. Trotzdem basieren sich
noch viele gängige Modelle auf der Annahme der Normalverteilung. Dies liegt teilweise an der Einfachheit der auf Normalverteilung basierenden Modelle und andererseits
an mangelndem Verständnis der Problematik. Missbrauch der Gaußschen Modelle kann
sehr gefährlich werden und beispielsweise zu einer falschen Wahl des Portfolios, Unterschätzung der extremen Verluste oder riesig fehlbewerteten Derivaten führen.
Seit mehr als vierzig Jahren ist bekannt, dass die Vermögensrenditen nicht normalverteilt sind. Der Annahme der Normalverteilung sprechen etliche Fakten aus der Praxis
wider. Erstens sind die empirischen, beobachteten Dichten durch dickere Tails gekennzeichnet und dazu noch linksschief. Dies hat zu Folge, dass extrem negative Werte öfters
auftreten, was eine Rolle bei Risikomanagement und Portfoliosteuerung spielt. Zweitens
sind die Renditen zeitabhängig. Quadrierte Renditen, absolute Renditen und alle Maße und Vertreter der Volatilität weisen eine hohe Korellation auf. Dieses Phänomen ist
heutzutage bekannt unter dem Namen volatility clustering oder conditional heteroskedasticity.
Ziel dieser Seminararbeit ist einen Einblick in die historische Entwicklung der NichtGaußmodelle zu bieten und die Theorie hinter den Basismodellen zu erklären. Die Arbeit
basiert sich dabei stark auf dem Buch Financial Modeling under Non-Gaussian Distributions.
2 Statistische Eigenschaften der Finanzmarktdaten
In diesem Abschnitt wollen wir zuerst die mathematischen Grundlagen schaffen, indem
wir erklären welche statistische Größen und Eigenschaften des Finanzmarkts uns interessieren.
2.1 Definition der Renditen
Obwohl wir in einem Finanzmarkt die Preise beobachten, konzentrieren sich die meisten
empirischen Untersuchungen nicht auf die Preise, sondern auf die Renditen. Denn, im
Allgemeinen, die Preise nicht stationär und die Renditen stationär sind. Es gibt mehrere
Definitonen der Renditen. Im Folgenden definieren wir die einfachen und logaritmischen
Renditen.
2.1.1 Einfache Renditen
Die einfache Rendite in einer Periode, in der wir ein Asset halten, ist definiert als:
Pt − Pt−1
Pt−1
Pt = Pt−1 (1 + Rt )
Rt =
(1)
(2)
Dabei ist Pt der Preis des Assets (Dividende enthalten) zur Zeit t und Rt ist die einfache Rendite in einer Periode im Zeitraum [t − 1, t].
Halten wir das Asset für k Perioden (t−k bis t), arbeiten wir mit der einfachen Rendite
in k Perioden:
Pt − Pt−k
Pt−k
Pt = Pt−k (1 + Rt [k]) = Pt−k (1 + Rt−k+1 ) × · · · × (1 + Rt )
Rt [k] =
(3)
(4)
Also, die Einperioden- und Multiperioden-Rendite stehen in einer nichtlinearen Beziehung:
1 + Rt [k] =
k−1
Y
(1 + Rt−j )
(5)
j=0
Schließlich ist erwähnenswert, dass die einfache Rendite eines Portfolios p mit N Assets
eine Linearkombination von den einzelnen Renditen ist. Dabei ist ωi das Gewicht der
Anlage ins Asset i (es gilt also
N
P
ωi = 1).
i=1
Rp,t =
N
X
ωi Ri,t
(6)
i=1
2.1.2 Logaritmische Renditen
Die logaritmische Rendite (log-return) ist definiert als:
rt = log(Pt ) − log(Pt−1 ) = pt − pt − 1,
(7)
wo pt = log(Pt ) der Log-Preis ist.
Der Hauptvorteil der Log-Rendite ist die Tatsache, dass die Multiperioden Rendite
einfach die Summe der Einperioden Renditen ist.
rt [k] = log(1 + Rt [k]) =
k−1
X
log(1 + Rt−j ) =
j=0
k−1
X
rt−j .
(8)
j=0
Leider trifft so eine Eigenschaft auf die Log-Rendite eines Portfolios p nicht zu.
N
X
rp,t = log(
i=1
ri,t
ωi e
) 6=
N
X
i=1
ri,t
(9)
2.2 Stylized facts
Auf den ersten Blick findet man keinen Grund, wieso die Warenpreise, Aktienpreise
oder Wechselkurse einem bestimmten Verhalten folgen würden. Viele empirische Untersuchungen haben jedoch in Finanzmarktdaten eine Menge gemeinsamer Eigenschaften
identifiziert. Diese Eigenschaften nennt man stylized facts.
1. Fat tails: die unbedingte Dichte der Renditen hat dickere Tails als die Tails einer
Normalverteilung. Dies bedeutet, wenn wir die Renditen mit einer Normalverteilung modelieren unterschätzen wir gleichzeitig die Anzahl und Größe der Kräche
und Booms.
2. Assymetry: die unbedingte Dichte ist negativ schief - extrem negative Werte sind
haüfiger als extrem positive Werte.
3. Aggregated normality: mit Verlängerung der Frequenz nähert sich die Verteilungsfunktion der Renditen einer Normalverteilung.
4. Absence of serial correlation: Renditen weisen keine serienmäßige Korrelation auf,
außer im Falle hoher Frequenz.
5. Volatility clustering: Volatilität der Renditen ist serienmäßig korreliert. Großer
(positiven oder negativen) Rendite folgt eine andere große (positive oder negative)
Rendite.
6. Time-varying cross-correlation: Korrelation zwischen Assets und Assetrenditen
steigt während Perioden hoher Volatilität.
2.3 Höhere Momente einer Zufallsvariable
In dieser Seminararbeit behandeln wir hauptsächlich nicht-Gaußsche Verteilungen, deren
höhere Momente existieren (Grad > 2). Für eine Zufallsvariable X und ihre stetige
Dichtefunktion ist das k-te nicht-zentrale Moment (für k = 1, 2, . . . ) definiert als:
k
+∞
Z
xk fX (x)dx
mk = E[X ] =
(10)
−∞
Wie schon bekannt ist das erste nicht-zentrale Moment der Erwartungswert (m1 =
E[X] = µ). Mithilfe dessen definiert man dann die zentralen Momente:
k
+∞
Z
xk fX (x)dx
mk = E[X ] =
−∞
(11)
Abbildung 1: Evolution und Histogramm der täglichen Log-Renditen
Zweites zentrales Moment ist die Varianz von X (V [X] = µ2 = m2 − m21 = σ 2 ). Der
Erwartungswert und die Varianz sind die definierende Größen einer Normalverteilung.
Das normierte dritte zentrale Moment ist die Schiefe (engl. Skewness). Die Schiefe beschreibt die Neigungsstärke einer Verteilung. Sie zeigt an, ob und wie stark die Verteilung
nach rechts (positive Schiefe) oder nach links (negative Schiefe) geneigt ist. Jede nicht
symmetrische Verteilung nennt man schief. Die Normalverteilung ist eine symmetrische
Verteilung im Gegensatz zu der empirischen Verteilung der Renditen - die ist negativ
schief.
Das normierte vierte zentrale Moment heißt Wölbung oder Kurtosis (engl. Kurtosis).
Die Wölbung ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. Spitzigkeit einer (eingipfligen) Verteilungsfunktion. Verteilungen mit geringer Wölbung streuen relativ gleichmäßig. Bei
Verteilungen mit hoher Wölbung resultiert die Streuung mehr aus extremen, aber seltenen Ereignissen. Man kann auch sagen, dass die Wölbung ein Maß für die Dicke der Tails
ist. Die Wölbung einer Normalverteilung ist gleich 3. Der Exzess (auch Überkurtosis)
ist dann definiert als die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung
einer Normalverteilung. Verteilungen werden dann entsprechend ihrem Exzess eingeteilt
in: normalgipflige oder mesokurtische (γ = 0), steilgipflige oder leptokurtische (γ > 0)
und flachgipflige oder platykurtische (γ < 0).
"
s = Sk[X] = E
"
κ = Ku[X] = E
X −µ
σ
3 #
X −µ
σ
4 #
γ = Ku[X] − 3
=
µ3
σ3
(12)
=
µ4
σ4
(13)
(14)
Abbildung 2: Vergleich der Normalverteilung mit Verteilungen anderer Schiefe und
Kurtosis.
3 Funktionsweise der Finanzmärkte
Viele verschiedene Typen von Assets existieren (Aktien, Währungen, Derivate, Anleihen,
Swaps...) und dazu noch fast genausoviele Handelssysteme sind verfügbar. Es gibt auch
viele kleine Details, in denen sich zwei Marktformen unterscheiden. Hier betrachten wir
nur die globale definierende Eigenschaften eines Finanzmarkts.
3.1 Quote-driven und Order-driven Markt
Zuerst wird zwischen einem quote-driven Markt und einem order-driven Markt unterschieden.
In einem quote-driven Markt existiert ein Dealer. Unter dem Begriff eines Dealers
versteht man eine Person oder Institution, die den Preis angibt, zu dem sie bereit ist,
eine Menge eines Assets zu verkaufen (ask price) oder zu kaufen (bid price). Wenn ein
Investor ein Asset kaufen oder verkaufen will, muss er zuerst an (s)einen Broker wenden,
der wiederum den Dealer kontaktiert um den Handel durchzuführen. Dabei können die
Preise, die der Dealer angibt, entweder fest oder indikativ sein.
In einem order-driven Markt handeln Investoren direkt miteinander. Alle Orders werden in ein elektronisches System eingetragen. Dabei existieren verschiedene Typen der
Orders. Die sogenannte Market-Order bedeutet eine sofortige Ausführung (Kauf oder
Verkauf des Assets) zu dem besten momentan erhältlichen Preis. Andererseits äußert
der Investor im Falle einer Limit-Order seine Bereitschaft, von ihm angegebene Menge
eines Assets zu von ihm angegebenem Preis zu kaufen bzw. zu verkaufen. In vielen Märkten ist möglich, zusätzliche Information dazuzugeben, wie z.B. die Zeitdauer, während
der die Order gültig ist.
Klarerweise kann jederzeit eine der Limit-Orders gekündigt werden. Eine größere Order kann in kleinere Orders aufgeteilt werden, sodass die Absichten eines großen Händlers verborgen bleiben. Gewisse Märkte lassen sogar verborgene Orders zu. Limit-Orders
können sogar von Ereignissen abhängen.
Order können grob in zwei Kategorien unterteilt werden: es gibt Orders, die gleich
ausgeführt werden, und Orders, deren zukünftige Ausführung durch bestimmte Ereignisse bedingt ist. Nun möchten wir uns mit der ersten Kategorie befassen - die Orders,
die gleich ausgeführt werden sollten. Die allgemeinste Order aus dieser Kategorie ist die
Market-Order. Bei einem Market-Order kauft/verkauft man eine Menge des Assets zu
dem bestmöglichen Preis. Es kann passieren, dass die Anzahl der Assets, die zu kaufen
oder zu verkaufen sind, größer als die Anzahl der erhältlichen Assets ist (order runs the
order book). Um so was zu vermeiden, kann sich der Händler für eine all-or-none Order
entscheiden, bei der die Order nur dann ausgeführt wird, wenn alle Assets zum besten
Preis gekauft bzw. verkauft werden können. In der zweiten Kategorie finden wir bedingte Orders, wie zum Beispiel die Limit-Order zum Marktpreis. Passiert bei dieser Order,
dass die Anzahl der erhältlichen bzw. verkaufbaren Assets zu bestem Preis zu klein ist
- werden nur die gekauft bzw. verkauft, die zum besten Preis erhältlich bzw. verkauf-
bar sind. Zu den anderen Limit-Orders gehört auch die Day-Order, eine Order die nur
während des Eingangstages gültig sind. Am Ende des Tages werden solche Orders aus
dem Orderbuch gelöscht. Es gibt noch andere wie good-till-cancelled und good-till-date
Orders, deren Namen schon selbsterklärend sind.
3.2 Orderbuch
Allgemein sind Assetpreise diskrete Zahlen. Die kleinstmögliche Differenz zwischen zwei
Preisen nennt man tick size. Die Differenz zwischen dem Bid- und Ask-Preis heißt Spread.
Betrachten wir die Entwicklung eines Orderbuchs kommen wir zum Schluss, dass die
Preise unter anderem auch von den durchgeführten Orders abhängen. Will z.B. ein institutioneller Händler eine große Menge Assets kaufen, spielt die Steigung der Preise an
der Ask-Seite eine wichtige Rolle. Diese Steigung heißt Markttiefe (market depth). Je
tiefer der Markt, desto größer ist die Wirkung einer großen Order auf den Markt. Natürlich interessieren große Händler nicht nur die besten Preise sondern auch die Markttiefe,
welche bei kleinen Händlern unwichtig bleibt.
3.2.1 Beispiel
Jetzt wollen wir ein paar Worten über das Orderbuch sagen. Betrachten wir jetzt den
Fall wo der Händler eine Menge eines Assets kaufen will. Sehe das Orderbuch so aus:
Bid Seite
Ask Seite
Preis
Menge
Preis
Menge
99.5
10
100.0
75
99.0
35
100.5
35
98.5
16
101.0
115
Falls die Order eine at-market-price Order ist, wird nur die Menge gehandelt, die zum
besten Preis erhältlich ist.
Wünscht sich der Händler 25 Einheiten zum Markt-Preis, dann, weil 75 Einheiten zu
diesem Preis verfügbar sind, bekommt er sie für 100.0. Nach dem Geschäft würde das
Orderbuch so aussehen:
Bid Seite
Ask Seite
Preis
Menge
Preis
Menge
99.5
10
100.0
55
99.0
35
100.5
35
98.5
16
101.0
115
Will der Händler stattdessen 80 Einheiten kaufen, wird er nur 75 bekommen. Die
restlichen 5 Einheiten werden dann an der Bid-Seite registriert - d.h. der Händler ist
bereit, 5 Einheiten zum Preis 100 zu kaufen:
Bid Seite
Ask Seite
Preis
Menge
Preis
Menge
99.5
10
100.5
35
99.0
35
101.0
115
98.5
16
100
5
Falls die Order eine Market-Order ist, dann bekommt der Händler 75 Einheiten zum
Preis von 100.0 und 5 Einheiten zum Preis von 100.5, d.h. das Orderbuch sieht dann so
aus:
Bid Seite
Ask Seite
Preis
Menge
Preis
Menge
99.5
10
100.5
30
99.0
35
101.0
115
98.5
16
Anhand eines Beispiels wollen wir die Markttiefe erklären. Sei dazu das Orderbuch
von folgender Gestalt:
Bid Seite
Ask Seite
Preis
Menge
Preis
Menge
99.5
10
100
100
99.0
35
200
200
98.5
16
800
900
Die Steigung dee Ask-Seite ist offensichtlich sehr groß. Kauft jetzt ein großer Händler
300 Assets, der neue Assetpreis ist 800.
3.2.2 Komponenten des Bid-Ask Spreads
Wir unterscheiden drei Komponenten des Bid-Ask Spreads.
Die erste ist die Inventar-Komponente: hält der Händler eine Menge eines Assets
und werden ungünstige Nachricthen veröffentlicht, verliert das Inventar an Wert. Die
Inventar-Komponente dient als Schutz dagegen. In Finanzmärkten höherer Preisvolatilität ist dann die Inventar-Komponente größer. Klarerweise ist diese Komponente wichtiger in einem Dealers Markt, weil Dealers sehr viele Assets.
Zweite Komponente ist die Transaktionskosten-Komponente. Jeder Händler in einem
Finanzmarkt muss für die Existenz der Markt zahlen. Diese Kosten können verschiedene
Formen annehmen.
Zuletzt erwähnen wir die Komponente der asymmetrischen Information. Die Händler
wurden in der Theorie in verschiedene Kategorien unterteilt. Der ersten Kategorie gehören die sogenannte uninformierte Händler (noise traders, liquidity traders). Sie sind z.B.
Händler, die ein Asset verkaufen um ein anderes Asset zu kaufen (beispielsweise Aktien
verkaufen um ein Auto zu kaufen). Ihr Grund für Handel ist also total zufällig. Die zweite
Kategorie besteht aus informierten Händlern. Sie handeln basierend z.B auf Nachrichten
und Ihrer Bewertung. Der Begriff sollte nicht mit insider Trading verwechselt werden.
Keine Information ist in diesem Fall illegal erhalten.
4 Mandelbrot Modell
Sei durch Pt,∆i der Aktienpreis am Tag t zum Zeitpunkt ∆i (i = 1 . . . M ) gegeben. Dann
ist der Eröffnungspreis am Tag t gleich Pt,0 . Die Renditen innerhalb eines Tages definiert
man als:
ρt,i = log
Pt,∆i
!
Pt,∆(i−1)
(15)
Die gesamte Tagesrendite ist damit gleich:
rt =
M
X
ρt,i
(16)
i=1
Unter dem ZGVS könnten wir dann erwarten, dass, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind, die Tagesrenditen asymptotisch normalverteilt sind. Da es viele Versionen des
ZGVSes gibt, formulieren wir die Voraussetzungen qualitativ. Seien also die Renditen
ähnlich verteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 , und die Inkremente nicht zu
abhängig. Es gilt dann laut dem ZGVS (⇒ bezeichnet Konvergenz in Verteilung):
1
√
σ/ M
M
1 X
ρt,i − µ
M i=1
!
⇒ N (0, 1)
rt ⇒ N (M µ, M σ 2 )
(17)
(18)
Wie schon bekannt ist die empirische Verteilung der Renditen keine Normalverteilung.
Durch die Geschichte wurden verschiedene Ansätze genommen, um das mathematisch
zu erklären.
Der erste, der eine Erklärung angeboten hat, war Benoit Mandelbrot. Weil de ZGVS
für die Verteilungen nicht gilt, impliziert das, dass eine der Voraussetzungen des Satzes verletzt ist. In seiner Arbeit The Variation of Certain Speculative Prices (1963), in
der er Baumwollpreise betrachtet hat, hat er vorgeschlagen, dass die Voraussetzung des
endlichen zweiten Moments verletzt ist. In anderen Worten, er wollte die Renditenverteilungen mithilfe von Verteilungen, deren Varianz nicht existiert, modellieren. Dabei
hat er sich für die Familie der stabilen Verteilungen entschieden. Klarerweise ist dieser
Ansatz ziemlich gewagt, er hat aber den Beiträgen von Lévy den Weg geebnet.
4.1 Stabile Verteilungen
Stabile Verteilungen wurden von Paul Lévy im Jahr 1920 entwickelt. Seien X1 , X2 zwei
identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen Die definierende Eigenschaft der stabilen
Verteilungen ist:
∀c1 , c2 ∈ R ∃c ∈ R : c1 X1 + c2 X2 = cX
(19)
wo X dieselbe Verteilung als X1 , X2 hat.
Die Definition der stabilen Verteilung ist gegeben mithilfe ihrer charakteristischen
Funktion. Sei ϕ(u) die char. Funktion. Aus (19) folgt dann für ϕ(u):
ϕ(c1 u)ϕ(c2 u) = ϕ(cu).
(20)
Moderne Definition charakteristischer Funktion einer stabilen Verteilung lautet:
ψα,β = exp −|u|
α
πα
1 − iβ tan( ) sgn(u)
2
(21)
Der Parameter β ist frei wählbar und heißt Schiefeparameter. Endliche Varianz existiert nur für α = 2. Für α = 2 und β = 0 kriegt man die charakteristische Funktion einer
Normalverteilung. Für α ∈ (1, 2] hat die Verteilung den Erwartungswert 0, für α ≤ 1
existiert kein Erwartungswert. Eigentlich folgt aus dieser Definition, dass:
cα = cα1 + cα2
(22)
Deswegen werden diese Verteilungen auch α-stabil genannt. Die Abbildung (3) zeigt,
wie sich die Dichtefunktion verhält bei verschiedener Wahl von Parametern. Erinnern
wir uns kurz an die Stylized Facts. Wie ersichtlich, lässt sich die Dichtefunktion durch
geeignete Wahl der Parameter so anpassen, dass sie dickere Tails hat und negativ schief
wird. Ein Beispiel dafür ist die geeignete Cauchy Verteilung.
Obwohl Mandelbrots Modell eine Erklärung für die nichtnormale Renditenverteilung
anbot, stieß es auf Skepsis. Erstens würde mit der Annahme der unendlichen Varianz
ein großer Teil der modernen Finanztheorie entfallen. Zweitens ist die charakteristische
Funktion im Allgemeinen nicht invertierbar, was heißt, dass eine geschlossene Form für
die Dichtefunktion nicht existiert. Drittens hat William H. DuMouchel in seiner Arbeit
On the Asymptotic Normality of the Maximum-Likelihood Estimate when Sampling from
a Stable Distribution (1973) mithilfe der Extremwerttheorie gezeigt, dass die Tails der
Renditen i.A. endliche zweite und sogar dritte Momente haben sollten. Letzendlich haben
sich im Laufe der Zeit andere Methoden entwickelt.
Abbildung 3: α-stabile Verteilungen für unterschiedliche Parameter
5 Clarks Subordination Modell
Wegen vieler Schwierigkeiten verbunden mit der Theorie des Mandelbrots Modells war
eine alternative Erklärung eine Frage der Zeit. Eine alternative Erklärung hat Peter K.
Clark in seiner Arbeit A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for
Speculative Prices (1973) gegeben.
Clark nimmt an, dass es Tage gibt, an denen mehr Nachrichten veröffentlicht werden
als an anderen. Die Tage mit mehr veröffentlichen Nachrichten sollen dann größere Volatilität zeigen.
Sei pt = log(Pt ) der Log-Preisprozess. Wir nehmen an, dass die Zeit stetige Werte
annehmen kann, also t ∈ R. Der Index t steht für die Kalenderzeit. Clark führt einen
neuen stochastischen Prozess T (t) : R+ → R+ ein, den er Directing Prozess nennt. Dieser
Prozess ist streng monoton steigend im Sinne, dass für t < s ⇒ T (t) ≤ T (s). Dies kann
als eine Abbildung der Kalenderzeit in die Ereigniszeit (event time) gesehen werden. Die
Annahme, dass mit der Zeit mehr Information verfügbar wird, ist analog dazu, dass T (t)
eine wachsende Funktion der Kalenderzeit ist.
Clark nimmt weiter an, dass der Log-Preisprozess gegeben ist durch:
pt = µT (t) + σWT (t)
(23)
wo Wt eine Brownsche Bewegung bezeichnet. Dann heißt pt subordiniert zum Wt . Der
Prozess T (t) heißt Directing Prozess. Betrachten wir jetzt die Log-Preisinkremente über
dem Zeitraum Länge ∆:
rt = pt − pt−∆ = µ(T (t) − T (t − ∆)) + σ(WT (t) − WT (t−∆) )
(24)
Inkremente der Brownschen Bewegung sind normalverteilt. Mit der Notation It =
T (t) − T (t − ∆) bekommen wir:
rt ∼ N (µIt , σ 2 It )
(25)
Also ist die Verteilung von rt bedingt durch It eine Normalverteilung, was bedeutet, dass die Renditen über einen Zeitraum von Aktivität in dem Zeitraum abhängen.
Rendite über jedem Zeitraum hat, abhängig von Aktivität im Zeitraum, eine andere
Verteilung. Deswegen wird Clarks Modell auch Hypothese der Mischverteilung (mixture
of distributions hypothesis) genannt.
Jetzt können wir verschiedene Wege gehen, um die Aktivitätsvariable It zu modellieren. Wir nehmen den Ansatz, den Clark in seiner Arbeit beschrieben hat.
5.1 Dichte der Renditen
Um mehr Information über die Aktivitätsvariable It zu gewinnen, können wir einfach
annehmen, dass der Directing Prozess einer bestimmten Verteilung folgt. Der Nachteil
dieser Methode ist, dass Renditen unabhängig sind, was im Widerspruch zu den Stylized
Facts steht. Clark hat sich in seiner Arbeit, strikt aus empirischen Gründen, für die
Log-Normalverteilung entschieden.
Sei f (t) die Dichte der Renditen rt und g(t) die Dichte des Directing Prozesses It .
Dann gilt:
Z
f (rt |It )g(It )dIt
rt =
(26)
It ∈R+
Aus (25) folgt, dass f (rt |It ) Dichte einer Normalverteilung ist. Nehmen wir jetzt an,
dass It log-normalverteilt ist mit Parametern µ und m2 . Dann gilt:
log(It ) ∼ N (µ, m2 )
Z
f (rt ) =
p
It ∈R+
(27)
1
1 (rt − µr It
exp −
2
2
σr2 It
2πσr It
1
1 (log(It ) − µ)2
×√
exp −
2
m2
2πm2 It
)2
!
!
dIt
(28)
Die Abbildung (4) zeigt, was für Formen, die Dichtefunktion f (rt ) durch geeignete
Wahl der Parameter annehmen kann. Model 1 ist das Referenzmodell. Erhöhen wir die
Varianz der Renditen, kommen wir zum Modell 2 - die Dichte wird breiter. Als nächstes
schauen wir, was passiert, wenn wir das durchschnittliche Nachrichtenniveau erhöhen.
Dies entspricht dem Modell 3. Wie ersichtlich verschiebt sich der Mittelwert nach rechts
und die Dichte wird breiter. Zuletzt erhöhen wir die Varianz der Log-Normalverteilung
m2 . Dies resultiert in besonders dicken Tails.
Tabelle 1: Parameter der verschiedenen Modelle
√
Modell µr σr µ
m2
1
1
1
1
1
2
1
1.5
1
1
3
1
1
2
1
4
1
1
1
2
Abbildung 4: Dichten der Modelle 1, 2, 3 und 4.
6 Mikrostrukturmodell für Informationseingang
Nun gehen wir einen Schritt weiter und untersuchen, wie Informationseingang nicht nur
die Renditen sondern auch das Handelsvolumen beeinflusst. Das Modell von Tauchen
und Pitts (1983) ist einfach aber aufschlussreich. Ihre Arbeit erklärt nicht nur, wie sich
die Volatilität mit steigender Anzahl der Händler verhält, sondern auch das empirische
Ergebnis von Clark, dass Volumen keine gute Proxy-Variable für Informationseingang ist.
Die definierenden Annahmen des Modells von Tauchen und Pitts sind:
• Es gibt J Händler und diese Anzahl ist exogen gegeben. Der Index j = 1, . . . , J
entspricht den verschiedenen Händlern.
• Während des Übergangs von einem Preisgleichgewichtszustand in den anderen
kann sich jeder Händler für eine Long- oder Shortposition entscheiden. Dies bedeutet natürlich, dass dieses Modell geeigneter für Futures-Märkte.
• Jeden Tag gibt es I Geschäfte, wobei jedes Geschäft durch einen Index i = 1 . . . I
gekennzeichnet ist. Wenn eine Transaktion stattfindet, jeder Händler hat seinen
Reservationspreis p∗ij . Sei pi der aktuelle Preis. Dann ist die Nachfrage des Händlers
j gegeben durch:
Qij = λ(p∗ij − pi )
(29)
Der Parameter λ ist positiv und konstant. Diese einfache Angebots-NachfrageFunktion sollte das Modell möglichst einfach machen.
Klarerweise will der Händler das Asset kaufen, wenn Qij > 0, und verkaufen, wenn
Qij < 0. Schließlich, wenn Qij , ist es nicht in Händlers Interesse zu handeln. Die Reservationspreise sollten die Erwartungen der einzelnen Händler widerspiegeln. Dies resultiert
darin, dass es kein Handel abwickelt, wenn alle den selben Reservationspreis haben (derselben Meinung sind).
Verkaufen einzige Händler Ihre Assets, dann müssen die anderen dieselbe Assets kaufen, was die folgende Gleichung ergibt:
J
X
Qij = 0
(30)
j=1
Direkt daraus folgt:
J
1X
pi =
p∗
J j=1 ij
(31)
Der beobachtete Preis in einem Preisgleichgewichtszustand ist also gleich dem Durchschnitt der Reservationspreise aller Händler. Intuitiv entspricht dieser Sachverhalt der
Praxis.
Betrachten wir jetzt das gesamte Handelsvolumen zwischen zwei Zeiträumen. Erstens
befassen uns mit dem folgenden Beispiel:
Händler
Ti−1
Ti
∆Qij
1
3
1
∆Qi1 = −2
2
4
5
∆Qi1 = +1
3
2
3
∆Qi1 = +1
In der ersten Spalte steht der Händlersindex. In der zweiten und dritten Spalten
befindet sich die Anzahl eines Assets bevor und nach dem i-ten Geschäft. Die letzte
Spalte enthält die Differenzen. Wie aus der Tabelle ersichtlich ist das Nettovolumen
gleich 2 - eine Hälfte des Betrags der total gehandelten Assets. Somit gilt für das gesamte
Volumen beim Geschäft i:
vi =
J
J
1X
λX
|Qij − Qi−1,j | =
|∆p∗ij − ∆pi |
2 j=1
2 j=1
(32)
Das Handelsvolumen ist eine Folge der durchschnittliche Änderung in Reservationspreisen einzelner Händler. Analog zu dem Fall des beobachteten Preises merken wir, dass
es kein Volumen geben muss, wenn alle Händler gleiche Erwartungen haben.
Tauchen and Pitts nehmen in ihrem Modell weiter an, dass die Änderungen der Reservationspreise eine Folge der globalen und händlerspezifischen Information:
∆pij = φi + ψij
(33)
Die erste Komponente φi entspricht der globalen Information zum Zeitpunkt des Geschäfts i. Die zweite Komponente ist die Information, über die der Händler j zu demselben Zeitpunkt verfügt. Weiters wird angenommen, dass:
E[φi ] = E[ψij ] = 0
V [φi ] =
V [ψij ] =
(34)
σφ2
σψ2
(35)
(36)
wo φi und ψij unabhängig sind. Wir führen die durchschnittliche individuelle Information ein und formen die Ausdrücke um:
J
1X
ψij
J j=1
(37)
ri = ∆pi = φi + ψ̄i
(38)
ψ̄i =
vi =
J
λX
|ψij − ψ̄i |
2 j=1
(39)
Die Gleichung (38) zeigt uns, dass beide Arten der Information die Preisänderung
beeinflussen. Die individuelle Information eines Händlers beiträgt dabei nur mit dem
Faktor J1 zur Änderung. Aus (39) sieht man, dass das Handelsvolumen von Heterogenität
der Ansichten abhängt.
Gehen wir jetzt noch einen Schritt weiter und annehmen, dass φi ∼ N (0, σφ2 ) und
ψij ∼ N (0, σψ2 ), kommen wir zu den folgenden Ergebnissen:
mr = E[ri ] = 0
σr2 = V [ri ] = σφ2 +
(40)
σψ2
λJ
λJ
E[|ψij − ψ̄i |] =
2
2
2
λ
σv2 = V [vi ] =
V [|ψij − ψ̄i |]
2
mv = E[vi ] =
(41)
J
r
2
σψ
π
J −1
J
1
2
(42)
(43)
Nun sehen wir, falls die Anzahl der Händler steigt, kann auch das erwartete Volumen
mv damit steigen, aber die Varianz der Preisänderung verringert sich. Dies entspricht
der Eigenschaften eines Finanzmarkts. Die letzten zwei Gleichungen zeigen, dass die
Heterogenität der Ansichten als Folge größeres Volumen und Varianz des Volumens hat.
Mithilfe dieses Modells können wir auch einen bestimmten Moment eines Tages betrachten, an dem die Anzahl der Händler J konstant sein sollte. Während des Tages
beobachten wir I Preisgleichgewichtszustände. Unter dem Begriff wird gemeint, dass
ein Geschäft passiert ist. Deswegen wählen wir als Proxy-Variable für die Anzahl der
Gleichgewichtszustände die Anzahl der Geschäfte. Somit bekommen wir:
r=
v=
I
X
i=1
I
X
ri
(44)
vi
(45)
i=1
wo I der Directing Prozess ist. Die zwei Prozesse r, v sind dann die zu I subordinierte
Prozesse. Bedingt durch I und mit der Annahme der Normalverteilung folgt:
r ∼ N (0, Iσr2 )
v∼
Umgeschrieben bedeutet das:
√
r = Iσr zr
√
v = Imv + Iσv zv
(46)
N (Imv , Iσv2 )
(47)
zr ∼ N (0, 1)
(48)
zv ∼ N (0, 1)
(49)
(48) und (49) sind ausgezeichnete Anfangspunkte für empirische Untersuchungen. Wir
merken auch, dass Volumen aus zwei Komponenten besteht. Neben der ersten Komponente √
Imv , die die Anzahl der Informationseingänge vertritt, gibt es noch eine Komponente Izv . Daraus folgt, dass Volumen keine gute Proxy-Variable für Informationseingang ist.
7 EKO Modell
EKO Modell, entwickelt von Easley, Kiefer und O´Hara in 1997, versucht das Preisverhalten in einem quote driven Markt zu erklären. Das Modell setzt Existenz eines
Marktmachers voraus, d.h. einer Person oder Institution, die die Marktpreise bestimmt
und risikoneutral ist. Theoretisch bedeutet dies, dass die Preise in diesem Modell den
Erwartungswerten entsprechen.
7.1 Basis des Modells
Wir unterteilen die Händler wiederum in informierte und uninformierte.
7.1.1 Uninformierte Händler
Da die uninformierte Händler über keine Information über den echten Wert eines Assets
verfügen, entweder verkaufen sie oder kaufen mit der Wahrscheinlichkeit 2 . Es ist auch
möglich, dass sie überhaupt nicht handeln mit Wahrscheinlichkeit (1 − ).
Abbildung 5: Mögliche Entscheidungen eines uninformierten Händlers im EKO Modell
7.1.2 Informierte Händler
Wenn wir von informierten Händler reden, reden wir von Händler, die basierend auf
Nachrichten und anderen Signale handeln. Im EKO Modell wird dieser Sachverhalt durch
positive und negative Signale, die ein Asset betreffen, modelliert. Sei V der Wert eines
Assets.
Eine Information über das Asset kann mit Wahrscheinlichkeit α freigegeben werden,
muss aber nicht. Falls die Information freigegeben wurde, kann das entweder ein negatives oder positives Signal für den Assetswert sein, mit Wahrscheinlichkeit δ bzw. (1 − δ).
Wenn ein positives Signal vorliegt, wird der aktuelle Assetwert V zu einem höheren
Wert V . Analog wird bei einem negativen Signal der Assetwert zu V . Nach dem Informationseingang kann sich der informierte Händler für Handel mit Wahrscheinlichkeit µ
entscheiden. Die untenstehende Abbildung soll das ganze EKO Ereignisbaum darstellen:
Abbildung 6: EKO Ereignisbaum mit Wahrscheinlichkeiten
7.1.3 Simulation
Wegen seines Aufbaus ist das EKO Modell sehr geeignet für Simulation. Mit Parametern
α = 0.6
δ = 0.5
= 0.5
führen wir eine Simulation durch. Simuliert werden 10 Tage mit jeweils 100 Geschäfte
pro Tag. Das Symbol × steht für eine Kauforder, für eine Verkaufsorder und Punkt
für kein Handel im gegebenen Zeitraum.
Durch reine Beobachtung der Geschäfte, die an bestimmten Tag stattgefunden haben,
können wir auf das Signal, das an dem Tag freigegeben wurde, schließen. Zum Beispiel,
am Tag 1 (unterste Zeile) finden sehr viele Geschäfte statt, fast alle von denen sind Kauforders. Dies bedeutet, dass an diesem Tag positives Signal freigegeben wurde. Deswegen
waren informierte Händler sehr aktiv. Betrachten wir jetzt den Tag 2, merken wir, dass
Abbildung 7: Simulation 1 mithilfe des EKO Modells
sehr wenig gehandelt wurde und kein Muster erkennbar ist. Daraus folgt, dass keine
Information veröffentlicht wurde. Nur die uninformierten Händler haben gehandelt.
Es ist ja klar, dass der Handelsstrom die Schlüsselkomponente dieses Modells ist.
7.1.4 Preisprozess
Eine noch interessantere Eigenschaft des EKO Modells ist die Tatsache, dass es mithilfe dessen ein plausibeler Preisprozess herleiten lässt. Wie bereits erwähnt, legt der
Marktmacher die aktuelle Preise fest, bedingt dadurch, ob sie Kauf- oder Verkaufspreise
sind. Jeder Preis ist dann einfach der Erwartungswert bedingt dadurch, ob das nächste
Geschäft ein Kauf oder ein Verkauf ist.
Im Weiteren bezeichnet B Anzahl der Kaufperioden, V Anzahl der Verkaufsperioden
und N Anzahl der Perioden ohne Handel. Ψ bezeichnet das Signal: ∅ kein Signal, H pos.
Signal, L neg. Signal.
Wir beginnen mit den Preisen bei Marktöffnung:
E[V |S] = V P [V = V |S] + V P [V = V |S]
Jetzt, falls Ψ = ∅:
(50)
P [V = V , Ψ = ∅, Ψ = H, Ψ = L, S]
P [S]
= P [V = V , Ψ = ∅, S] × P [Ψ = ∅|S]
P [V = V |S] =
+ P [V = V , Ψ = H, S] × P [Ψ = H|S]
+ P [V = V , Ψ = L, S] × P [Ψ = L|S]
= δ × P [Ψ = ∅|S] + 1 × P [Ψ = L|S]
(51)
Die erste Zeile ist Folge davon, dass Ψ nur drei Werte annehmen kann. Weile diese drei
Werte ausschließlich sind, kommen wir zu der zweiten Zeile. Rest folgt aus der Struktur
des Ereignisbaums.
Um die übriggebliebenen Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, wenden wir die Bayes
Formel nochmal an. X bezeichne generisch die Werte ∅, H, L.
P [Ψ = X|S] =
P [S|Ψ = X] × P [Ψ = X]
P [S]
(52)
wo
P [S] = P [S|Ψ = ∅] × P [Ψ = ∅]
+ P [S|Ψ = H] × P [Ψ = H]
+ P [S|Ψ = L] × P [Ψ = L]
(53)
Die genauen Werte bekommen wir schließlich mithilfe des Baumes:
(1 − α)/2
P [S]
(µ + (1 − µ)/2)αδ
P [Ψ = L|S] =
P [S]
(1 − αµ)(1 − δ)/2
P [Ψ = H|S] =
P [S]
P [S] = µαδ + (1 − µα)/2
P [Ψ = ∅|S] =
(54)
(55)
(56)
(57)
Jetzt können wir den Bid- und Ask-Preis von Marktmacher ausdrücken als:
δV (αµ + x) + (1 − δ)V x
δαµ + x
δV x + (1 − δ)V (αµ(1 − αµ) + x)
a1 = E[V |B1 ] =
(1 − δ)αµ + x
wo x = (1 − αµ)/2
b1 = E[V |S1 ] =
(58)
(59)
Während des Tages wird der Marktmacher die Preise zu den verfügbaren Informationen anpassen.Bezeichnen wir mit B, S, N die Anzahl der Käufe, Verkäufe bzw. Intervalle
ohne Handel bis zum Zeitpunkt i lässt sich der Preis zur Zeit i definieren als:
bi+1 = E[V |B, S + 1, N ]
(60)
ai+1 = E[V |B + 1, S, N ]
(61)
Nochmal zeigt sich das EKO Modell geeignet für Simulationen. Jetzt können wir die
Preisentwicklung simulieren. In unterer Abbildung (8) befindet sich die Preisentwicklung
für die Tage 10 und 9 unterstehender Simulation. Wie man leicht sehen kann, gab es
an diesem Tag fast keine Geschäfte und die, die es gab, waren zufällig. Daraus schließen
wir, dass hauptsächlich uninformierte Händler gehandelt haben. Wobei am Tag 9, am
meistens Kauforders stattfinden - positives Signal wurde freigegeben.
Abbildung 8: Simulation 2 mithilfe des EKO Modells
Abbildung 9: Bid- und Ask-Preisentwicklung am Tag 10
Abbildung 10: Bid- und Ask-Preisentwicklung am Tag 9
Literatur
[1] Eric Jondeau, Ser-Huang Poon, Michael Rockinger Financial Modeling under NonGaussian Distributions 2004.
[2] Wikipedia http://www.wikipedia.org, Aufrufsdatum 24.2.2014