Seminararbeit
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Funktionsweise der Finanzmärkte und theoretische Modelle Srecko Mihaljevic 28. Februar 2014 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Statistische Eigenschaften 2.1 Definition der Renditen . . . . . . . . 2.1.1 Einfache Renditen . . . . . . . 2.1.2 Logaritmische Renditen . . . . 2.2 Stylized facts . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Höhere Momente einer Zufallsvariable . . . . . 3 3 3 4 5 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Funktionsweise der Finanzmärkte 3.1 Quote-driven und Order-driven Markt . . 3.2 Orderbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Komponenten des Bid-Ask Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . 9 . 10 . 10 . 11 4 Mandelbrot Modell 12 4.1 Stabile Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Clarks Subordination Modell 15 5.1 Dichte der Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6 Mikrostrukturmodell für Informationseingang 17 7 EKO Modell 7.1 Basis des Modells . . . . . . . 7.1.1 Uninformierte Händler 7.1.2 Informierte Händler . 7.1.3 Simulation . . . . . . 7.1.4 Preisprozess . . . . . . 21 21 21 21 22 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Einleitung Die Forscher und Fachleute, die sich im Alltag mit der Modellierung der Finanzmärkte beschäftigen, wissen bereits, dass die Dichtefunktion der Vermögensrenditen keine echte Glockenform hat, die eine Normalverteilung implizieren würde. Trotzdem basieren sich noch viele gängige Modelle auf der Annahme der Normalverteilung. Dies liegt teilweise an der Einfachheit der auf Normalverteilung basierenden Modelle und andererseits an mangelndem Verständnis der Problematik. Missbrauch der Gaußschen Modelle kann sehr gefährlich werden und beispielsweise zu einer falschen Wahl des Portfolios, Unterschätzung der extremen Verluste oder riesig fehlbewerteten Derivaten führen. Seit mehr als vierzig Jahren ist bekannt, dass die Vermögensrenditen nicht normalverteilt sind. Der Annahme der Normalverteilung sprechen etliche Fakten aus der Praxis wider. Erstens sind die empirischen, beobachteten Dichten durch dickere Tails gekennzeichnet und dazu noch linksschief. Dies hat zu Folge, dass extrem negative Werte öfters auftreten, was eine Rolle bei Risikomanagement und Portfoliosteuerung spielt. Zweitens sind die Renditen zeitabhängig. Quadrierte Renditen, absolute Renditen und alle Maße und Vertreter der Volatilität weisen eine hohe Korellation auf. Dieses Phänomen ist heutzutage bekannt unter dem Namen volatility clustering oder conditional heteroskedasticity. Ziel dieser Seminararbeit ist einen Einblick in die historische Entwicklung der NichtGaußmodelle zu bieten und die Theorie hinter den Basismodellen zu erklären. Die Arbeit basiert sich dabei stark auf dem Buch Financial Modeling under Non-Gaussian Distributions. 2 Statistische Eigenschaften der Finanzmarktdaten In diesem Abschnitt wollen wir zuerst die mathematischen Grundlagen schaffen, indem wir erklären welche statistische Größen und Eigenschaften des Finanzmarkts uns interessieren. 2.1 Definition der Renditen Obwohl wir in einem Finanzmarkt die Preise beobachten, konzentrieren sich die meisten empirischen Untersuchungen nicht auf die Preise, sondern auf die Renditen. Denn, im Allgemeinen, die Preise nicht stationär und die Renditen stationär sind. Es gibt mehrere Definitonen der Renditen. Im Folgenden definieren wir die einfachen und logaritmischen Renditen. 2.1.1 Einfache Renditen Die einfache Rendite in einer Periode, in der wir ein Asset halten, ist definiert als: Pt − Pt−1 Pt−1 Pt = Pt−1 (1 + Rt ) Rt = (1) (2) Dabei ist Pt der Preis des Assets (Dividende enthalten) zur Zeit t und Rt ist die einfache Rendite in einer Periode im Zeitraum [t − 1, t]. Halten wir das Asset für k Perioden (t−k bis t), arbeiten wir mit der einfachen Rendite in k Perioden: Pt − Pt−k Pt−k Pt = Pt−k (1 + Rt [k]) = Pt−k (1 + Rt−k+1 ) × · · · × (1 + Rt ) Rt [k] = (3) (4) Also, die Einperioden- und Multiperioden-Rendite stehen in einer nichtlinearen Beziehung: 1 + Rt [k] = k−1 Y (1 + Rt−j ) (5) j=0 Schließlich ist erwähnenswert, dass die einfache Rendite eines Portfolios p mit N Assets eine Linearkombination von den einzelnen Renditen ist. Dabei ist ωi das Gewicht der Anlage ins Asset i (es gilt also N P ωi = 1). i=1 Rp,t = N X ωi Ri,t (6) i=1 2.1.2 Logaritmische Renditen Die logaritmische Rendite (log-return) ist definiert als: rt = log(Pt ) − log(Pt−1 ) = pt − pt − 1, (7) wo pt = log(Pt ) der Log-Preis ist. Der Hauptvorteil der Log-Rendite ist die Tatsache, dass die Multiperioden Rendite einfach die Summe der Einperioden Renditen ist. rt [k] = log(1 + Rt [k]) = k−1 X log(1 + Rt−j ) = j=0 k−1 X rt−j . (8) j=0 Leider trifft so eine Eigenschaft auf die Log-Rendite eines Portfolios p nicht zu. N X rp,t = log( i=1 ri,t ωi e ) 6= N X i=1 ri,t (9) 2.2 Stylized facts Auf den ersten Blick findet man keinen Grund, wieso die Warenpreise, Aktienpreise oder Wechselkurse einem bestimmten Verhalten folgen würden. Viele empirische Untersuchungen haben jedoch in Finanzmarktdaten eine Menge gemeinsamer Eigenschaften identifiziert. Diese Eigenschaften nennt man stylized facts. 1. Fat tails: die unbedingte Dichte der Renditen hat dickere Tails als die Tails einer Normalverteilung. Dies bedeutet, wenn wir die Renditen mit einer Normalverteilung modelieren unterschätzen wir gleichzeitig die Anzahl und Größe der Kräche und Booms. 2. Assymetry: die unbedingte Dichte ist negativ schief - extrem negative Werte sind haüfiger als extrem positive Werte. 3. Aggregated normality: mit Verlängerung der Frequenz nähert sich die Verteilungsfunktion der Renditen einer Normalverteilung. 4. Absence of serial correlation: Renditen weisen keine serienmäßige Korrelation auf, außer im Falle hoher Frequenz. 5. Volatility clustering: Volatilität der Renditen ist serienmäßig korreliert. Großer (positiven oder negativen) Rendite folgt eine andere große (positive oder negative) Rendite. 6. Time-varying cross-correlation: Korrelation zwischen Assets und Assetrenditen steigt während Perioden hoher Volatilität. 2.3 Höhere Momente einer Zufallsvariable In dieser Seminararbeit behandeln wir hauptsächlich nicht-Gaußsche Verteilungen, deren höhere Momente existieren (Grad > 2). Für eine Zufallsvariable X und ihre stetige Dichtefunktion ist das k-te nicht-zentrale Moment (für k = 1, 2, . . . ) definiert als: k +∞ Z xk fX (x)dx mk = E[X ] = (10) −∞ Wie schon bekannt ist das erste nicht-zentrale Moment der Erwartungswert (m1 = E[X] = µ). Mithilfe dessen definiert man dann die zentralen Momente: k +∞ Z xk fX (x)dx mk = E[X ] = −∞ (11) Abbildung 1: Evolution und Histogramm der täglichen Log-Renditen Zweites zentrales Moment ist die Varianz von X (V [X] = µ2 = m2 − m21 = σ 2 ). Der Erwartungswert und die Varianz sind die definierende Größen einer Normalverteilung. Das normierte dritte zentrale Moment ist die Schiefe (engl. Skewness). Die Schiefe beschreibt die Neigungsstärke einer Verteilung. Sie zeigt an, ob und wie stark die Verteilung nach rechts (positive Schiefe) oder nach links (negative Schiefe) geneigt ist. Jede nicht symmetrische Verteilung nennt man schief. Die Normalverteilung ist eine symmetrische Verteilung im Gegensatz zu der empirischen Verteilung der Renditen - die ist negativ schief. Das normierte vierte zentrale Moment heißt Wölbung oder Kurtosis (engl. Kurtosis). Die Wölbung ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. Spitzigkeit einer (eingipfligen) Verteilungsfunktion. Verteilungen mit geringer Wölbung streuen relativ gleichmäßig. Bei Verteilungen mit hoher Wölbung resultiert die Streuung mehr aus extremen, aber seltenen Ereignissen. Man kann auch sagen, dass die Wölbung ein Maß für die Dicke der Tails ist. Die Wölbung einer Normalverteilung ist gleich 3. Der Exzess (auch Überkurtosis) ist dann definiert als die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung einer Normalverteilung. Verteilungen werden dann entsprechend ihrem Exzess eingeteilt in: normalgipflige oder mesokurtische (γ = 0), steilgipflige oder leptokurtische (γ > 0) und flachgipflige oder platykurtische (γ < 0). " s = Sk[X] = E " κ = Ku[X] = E X −µ σ 3 # X −µ σ 4 # γ = Ku[X] − 3 = µ3 σ3 (12) = µ4 σ4 (13) (14) Abbildung 2: Vergleich der Normalverteilung mit Verteilungen anderer Schiefe und Kurtosis. 3 Funktionsweise der Finanzmärkte Viele verschiedene Typen von Assets existieren (Aktien, Währungen, Derivate, Anleihen, Swaps...) und dazu noch fast genausoviele Handelssysteme sind verfügbar. Es gibt auch viele kleine Details, in denen sich zwei Marktformen unterscheiden. Hier betrachten wir nur die globale definierende Eigenschaften eines Finanzmarkts. 3.1 Quote-driven und Order-driven Markt Zuerst wird zwischen einem quote-driven Markt und einem order-driven Markt unterschieden. In einem quote-driven Markt existiert ein Dealer. Unter dem Begriff eines Dealers versteht man eine Person oder Institution, die den Preis angibt, zu dem sie bereit ist, eine Menge eines Assets zu verkaufen (ask price) oder zu kaufen (bid price). Wenn ein Investor ein Asset kaufen oder verkaufen will, muss er zuerst an (s)einen Broker wenden, der wiederum den Dealer kontaktiert um den Handel durchzuführen. Dabei können die Preise, die der Dealer angibt, entweder fest oder indikativ sein. In einem order-driven Markt handeln Investoren direkt miteinander. Alle Orders werden in ein elektronisches System eingetragen. Dabei existieren verschiedene Typen der Orders. Die sogenannte Market-Order bedeutet eine sofortige Ausführung (Kauf oder Verkauf des Assets) zu dem besten momentan erhältlichen Preis. Andererseits äußert der Investor im Falle einer Limit-Order seine Bereitschaft, von ihm angegebene Menge eines Assets zu von ihm angegebenem Preis zu kaufen bzw. zu verkaufen. In vielen Märkten ist möglich, zusätzliche Information dazuzugeben, wie z.B. die Zeitdauer, während der die Order gültig ist. Klarerweise kann jederzeit eine der Limit-Orders gekündigt werden. Eine größere Order kann in kleinere Orders aufgeteilt werden, sodass die Absichten eines großen Händlers verborgen bleiben. Gewisse Märkte lassen sogar verborgene Orders zu. Limit-Orders können sogar von Ereignissen abhängen. Order können grob in zwei Kategorien unterteilt werden: es gibt Orders, die gleich ausgeführt werden, und Orders, deren zukünftige Ausführung durch bestimmte Ereignisse bedingt ist. Nun möchten wir uns mit der ersten Kategorie befassen - die Orders, die gleich ausgeführt werden sollten. Die allgemeinste Order aus dieser Kategorie ist die Market-Order. Bei einem Market-Order kauft/verkauft man eine Menge des Assets zu dem bestmöglichen Preis. Es kann passieren, dass die Anzahl der Assets, die zu kaufen oder zu verkaufen sind, größer als die Anzahl der erhältlichen Assets ist (order runs the order book). Um so was zu vermeiden, kann sich der Händler für eine all-or-none Order entscheiden, bei der die Order nur dann ausgeführt wird, wenn alle Assets zum besten Preis gekauft bzw. verkauft werden können. In der zweiten Kategorie finden wir bedingte Orders, wie zum Beispiel die Limit-Order zum Marktpreis. Passiert bei dieser Order, dass die Anzahl der erhältlichen bzw. verkaufbaren Assets zu bestem Preis zu klein ist - werden nur die gekauft bzw. verkauft, die zum besten Preis erhältlich bzw. verkauf- bar sind. Zu den anderen Limit-Orders gehört auch die Day-Order, eine Order die nur während des Eingangstages gültig sind. Am Ende des Tages werden solche Orders aus dem Orderbuch gelöscht. Es gibt noch andere wie good-till-cancelled und good-till-date Orders, deren Namen schon selbsterklärend sind. 3.2 Orderbuch Allgemein sind Assetpreise diskrete Zahlen. Die kleinstmögliche Differenz zwischen zwei Preisen nennt man tick size. Die Differenz zwischen dem Bid- und Ask-Preis heißt Spread. Betrachten wir die Entwicklung eines Orderbuchs kommen wir zum Schluss, dass die Preise unter anderem auch von den durchgeführten Orders abhängen. Will z.B. ein institutioneller Händler eine große Menge Assets kaufen, spielt die Steigung der Preise an der Ask-Seite eine wichtige Rolle. Diese Steigung heißt Markttiefe (market depth). Je tiefer der Markt, desto größer ist die Wirkung einer großen Order auf den Markt. Natürlich interessieren große Händler nicht nur die besten Preise sondern auch die Markttiefe, welche bei kleinen Händlern unwichtig bleibt. 3.2.1 Beispiel Jetzt wollen wir ein paar Worten über das Orderbuch sagen. Betrachten wir jetzt den Fall wo der Händler eine Menge eines Assets kaufen will. Sehe das Orderbuch so aus: Bid Seite Ask Seite Preis Menge Preis Menge 99.5 10 100.0 75 99.0 35 100.5 35 98.5 16 101.0 115 Falls die Order eine at-market-price Order ist, wird nur die Menge gehandelt, die zum besten Preis erhältlich ist. Wünscht sich der Händler 25 Einheiten zum Markt-Preis, dann, weil 75 Einheiten zu diesem Preis verfügbar sind, bekommt er sie für 100.0. Nach dem Geschäft würde das Orderbuch so aussehen: Bid Seite Ask Seite Preis Menge Preis Menge 99.5 10 100.0 55 99.0 35 100.5 35 98.5 16 101.0 115 Will der Händler stattdessen 80 Einheiten kaufen, wird er nur 75 bekommen. Die restlichen 5 Einheiten werden dann an der Bid-Seite registriert - d.h. der Händler ist bereit, 5 Einheiten zum Preis 100 zu kaufen: Bid Seite Ask Seite Preis Menge Preis Menge 99.5 10 100.5 35 99.0 35 101.0 115 98.5 16 100 5 Falls die Order eine Market-Order ist, dann bekommt der Händler 75 Einheiten zum Preis von 100.0 und 5 Einheiten zum Preis von 100.5, d.h. das Orderbuch sieht dann so aus: Bid Seite Ask Seite Preis Menge Preis Menge 99.5 10 100.5 30 99.0 35 101.0 115 98.5 16 Anhand eines Beispiels wollen wir die Markttiefe erklären. Sei dazu das Orderbuch von folgender Gestalt: Bid Seite Ask Seite Preis Menge Preis Menge 99.5 10 100 100 99.0 35 200 200 98.5 16 800 900 Die Steigung dee Ask-Seite ist offensichtlich sehr groß. Kauft jetzt ein großer Händler 300 Assets, der neue Assetpreis ist 800. 3.2.2 Komponenten des Bid-Ask Spreads Wir unterscheiden drei Komponenten des Bid-Ask Spreads. Die erste ist die Inventar-Komponente: hält der Händler eine Menge eines Assets und werden ungünstige Nachricthen veröffentlicht, verliert das Inventar an Wert. Die Inventar-Komponente dient als Schutz dagegen. In Finanzmärkten höherer Preisvolatilität ist dann die Inventar-Komponente größer. Klarerweise ist diese Komponente wichtiger in einem Dealers Markt, weil Dealers sehr viele Assets. Zweite Komponente ist die Transaktionskosten-Komponente. Jeder Händler in einem Finanzmarkt muss für die Existenz der Markt zahlen. Diese Kosten können verschiedene Formen annehmen. Zuletzt erwähnen wir die Komponente der asymmetrischen Information. Die Händler wurden in der Theorie in verschiedene Kategorien unterteilt. Der ersten Kategorie gehören die sogenannte uninformierte Händler (noise traders, liquidity traders). Sie sind z.B. Händler, die ein Asset verkaufen um ein anderes Asset zu kaufen (beispielsweise Aktien verkaufen um ein Auto zu kaufen). Ihr Grund für Handel ist also total zufällig. Die zweite Kategorie besteht aus informierten Händlern. Sie handeln basierend z.B auf Nachrichten und Ihrer Bewertung. Der Begriff sollte nicht mit insider Trading verwechselt werden. Keine Information ist in diesem Fall illegal erhalten. 4 Mandelbrot Modell Sei durch Pt,∆i der Aktienpreis am Tag t zum Zeitpunkt ∆i (i = 1 . . . M ) gegeben. Dann ist der Eröffnungspreis am Tag t gleich Pt,0 . Die Renditen innerhalb eines Tages definiert man als: ρt,i = log Pt,∆i ! Pt,∆(i−1) (15) Die gesamte Tagesrendite ist damit gleich: rt = M X ρt,i (16) i=1 Unter dem ZGVS könnten wir dann erwarten, dass, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind, die Tagesrenditen asymptotisch normalverteilt sind. Da es viele Versionen des ZGVSes gibt, formulieren wir die Voraussetzungen qualitativ. Seien also die Renditen ähnlich verteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 , und die Inkremente nicht zu abhängig. Es gilt dann laut dem ZGVS (⇒ bezeichnet Konvergenz in Verteilung): 1 √ σ/ M M 1 X ρt,i − µ M i=1 ! ⇒ N (0, 1) rt ⇒ N (M µ, M σ 2 ) (17) (18) Wie schon bekannt ist die empirische Verteilung der Renditen keine Normalverteilung. Durch die Geschichte wurden verschiedene Ansätze genommen, um das mathematisch zu erklären. Der erste, der eine Erklärung angeboten hat, war Benoit Mandelbrot. Weil de ZGVS für die Verteilungen nicht gilt, impliziert das, dass eine der Voraussetzungen des Satzes verletzt ist. In seiner Arbeit The Variation of Certain Speculative Prices (1963), in der er Baumwollpreise betrachtet hat, hat er vorgeschlagen, dass die Voraussetzung des endlichen zweiten Moments verletzt ist. In anderen Worten, er wollte die Renditenverteilungen mithilfe von Verteilungen, deren Varianz nicht existiert, modellieren. Dabei hat er sich für die Familie der stabilen Verteilungen entschieden. Klarerweise ist dieser Ansatz ziemlich gewagt, er hat aber den Beiträgen von Lévy den Weg geebnet. 4.1 Stabile Verteilungen Stabile Verteilungen wurden von Paul Lévy im Jahr 1920 entwickelt. Seien X1 , X2 zwei identisch verteilte unabhängige Zufallsvariablen Die definierende Eigenschaft der stabilen Verteilungen ist: ∀c1 , c2 ∈ R ∃c ∈ R : c1 X1 + c2 X2 = cX (19) wo X dieselbe Verteilung als X1 , X2 hat. Die Definition der stabilen Verteilung ist gegeben mithilfe ihrer charakteristischen Funktion. Sei ϕ(u) die char. Funktion. Aus (19) folgt dann für ϕ(u): ϕ(c1 u)ϕ(c2 u) = ϕ(cu). (20) Moderne Definition charakteristischer Funktion einer stabilen Verteilung lautet: ψα,β = exp −|u| α πα 1 − iβ tan( ) sgn(u) 2 (21) Der Parameter β ist frei wählbar und heißt Schiefeparameter. Endliche Varianz existiert nur für α = 2. Für α = 2 und β = 0 kriegt man die charakteristische Funktion einer Normalverteilung. Für α ∈ (1, 2] hat die Verteilung den Erwartungswert 0, für α ≤ 1 existiert kein Erwartungswert. Eigentlich folgt aus dieser Definition, dass: cα = cα1 + cα2 (22) Deswegen werden diese Verteilungen auch α-stabil genannt. Die Abbildung (3) zeigt, wie sich die Dichtefunktion verhält bei verschiedener Wahl von Parametern. Erinnern wir uns kurz an die Stylized Facts. Wie ersichtlich, lässt sich die Dichtefunktion durch geeignete Wahl der Parameter so anpassen, dass sie dickere Tails hat und negativ schief wird. Ein Beispiel dafür ist die geeignete Cauchy Verteilung. Obwohl Mandelbrots Modell eine Erklärung für die nichtnormale Renditenverteilung anbot, stieß es auf Skepsis. Erstens würde mit der Annahme der unendlichen Varianz ein großer Teil der modernen Finanztheorie entfallen. Zweitens ist die charakteristische Funktion im Allgemeinen nicht invertierbar, was heißt, dass eine geschlossene Form für die Dichtefunktion nicht existiert. Drittens hat William H. DuMouchel in seiner Arbeit On the Asymptotic Normality of the Maximum-Likelihood Estimate when Sampling from a Stable Distribution (1973) mithilfe der Extremwerttheorie gezeigt, dass die Tails der Renditen i.A. endliche zweite und sogar dritte Momente haben sollten. Letzendlich haben sich im Laufe der Zeit andere Methoden entwickelt. Abbildung 3: α-stabile Verteilungen für unterschiedliche Parameter 5 Clarks Subordination Modell Wegen vieler Schwierigkeiten verbunden mit der Theorie des Mandelbrots Modells war eine alternative Erklärung eine Frage der Zeit. Eine alternative Erklärung hat Peter K. Clark in seiner Arbeit A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for Speculative Prices (1973) gegeben. Clark nimmt an, dass es Tage gibt, an denen mehr Nachrichten veröffentlicht werden als an anderen. Die Tage mit mehr veröffentlichen Nachrichten sollen dann größere Volatilität zeigen. Sei pt = log(Pt ) der Log-Preisprozess. Wir nehmen an, dass die Zeit stetige Werte annehmen kann, also t ∈ R. Der Index t steht für die Kalenderzeit. Clark führt einen neuen stochastischen Prozess T (t) : R+ → R+ ein, den er Directing Prozess nennt. Dieser Prozess ist streng monoton steigend im Sinne, dass für t < s ⇒ T (t) ≤ T (s). Dies kann als eine Abbildung der Kalenderzeit in die Ereigniszeit (event time) gesehen werden. Die Annahme, dass mit der Zeit mehr Information verfügbar wird, ist analog dazu, dass T (t) eine wachsende Funktion der Kalenderzeit ist. Clark nimmt weiter an, dass der Log-Preisprozess gegeben ist durch: pt = µT (t) + σWT (t) (23) wo Wt eine Brownsche Bewegung bezeichnet. Dann heißt pt subordiniert zum Wt . Der Prozess T (t) heißt Directing Prozess. Betrachten wir jetzt die Log-Preisinkremente über dem Zeitraum Länge ∆: rt = pt − pt−∆ = µ(T (t) − T (t − ∆)) + σ(WT (t) − WT (t−∆) ) (24) Inkremente der Brownschen Bewegung sind normalverteilt. Mit der Notation It = T (t) − T (t − ∆) bekommen wir: rt ∼ N (µIt , σ 2 It ) (25) Also ist die Verteilung von rt bedingt durch It eine Normalverteilung, was bedeutet, dass die Renditen über einen Zeitraum von Aktivität in dem Zeitraum abhängen. Rendite über jedem Zeitraum hat, abhängig von Aktivität im Zeitraum, eine andere Verteilung. Deswegen wird Clarks Modell auch Hypothese der Mischverteilung (mixture of distributions hypothesis) genannt. Jetzt können wir verschiedene Wege gehen, um die Aktivitätsvariable It zu modellieren. Wir nehmen den Ansatz, den Clark in seiner Arbeit beschrieben hat. 5.1 Dichte der Renditen Um mehr Information über die Aktivitätsvariable It zu gewinnen, können wir einfach annehmen, dass der Directing Prozess einer bestimmten Verteilung folgt. Der Nachteil dieser Methode ist, dass Renditen unabhängig sind, was im Widerspruch zu den Stylized Facts steht. Clark hat sich in seiner Arbeit, strikt aus empirischen Gründen, für die Log-Normalverteilung entschieden. Sei f (t) die Dichte der Renditen rt und g(t) die Dichte des Directing Prozesses It . Dann gilt: Z f (rt |It )g(It )dIt rt = (26) It ∈R+ Aus (25) folgt, dass f (rt |It ) Dichte einer Normalverteilung ist. Nehmen wir jetzt an, dass It log-normalverteilt ist mit Parametern µ und m2 . Dann gilt: log(It ) ∼ N (µ, m2 ) Z f (rt ) = p It ∈R+ (27) 1 1 (rt − µr It exp − 2 2 σr2 It 2πσr It 1 1 (log(It ) − µ)2 ×√ exp − 2 m2 2πm2 It )2 ! ! dIt (28) Die Abbildung (4) zeigt, was für Formen, die Dichtefunktion f (rt ) durch geeignete Wahl der Parameter annehmen kann. Model 1 ist das Referenzmodell. Erhöhen wir die Varianz der Renditen, kommen wir zum Modell 2 - die Dichte wird breiter. Als nächstes schauen wir, was passiert, wenn wir das durchschnittliche Nachrichtenniveau erhöhen. Dies entspricht dem Modell 3. Wie ersichtlich verschiebt sich der Mittelwert nach rechts und die Dichte wird breiter. Zuletzt erhöhen wir die Varianz der Log-Normalverteilung m2 . Dies resultiert in besonders dicken Tails. Tabelle 1: Parameter der verschiedenen Modelle √ Modell µr σr µ m2 1 1 1 1 1 2 1 1.5 1 1 3 1 1 2 1 4 1 1 1 2 Abbildung 4: Dichten der Modelle 1, 2, 3 und 4. 6 Mikrostrukturmodell für Informationseingang Nun gehen wir einen Schritt weiter und untersuchen, wie Informationseingang nicht nur die Renditen sondern auch das Handelsvolumen beeinflusst. Das Modell von Tauchen und Pitts (1983) ist einfach aber aufschlussreich. Ihre Arbeit erklärt nicht nur, wie sich die Volatilität mit steigender Anzahl der Händler verhält, sondern auch das empirische Ergebnis von Clark, dass Volumen keine gute Proxy-Variable für Informationseingang ist. Die definierenden Annahmen des Modells von Tauchen und Pitts sind: • Es gibt J Händler und diese Anzahl ist exogen gegeben. Der Index j = 1, . . . , J entspricht den verschiedenen Händlern. • Während des Übergangs von einem Preisgleichgewichtszustand in den anderen kann sich jeder Händler für eine Long- oder Shortposition entscheiden. Dies bedeutet natürlich, dass dieses Modell geeigneter für Futures-Märkte. • Jeden Tag gibt es I Geschäfte, wobei jedes Geschäft durch einen Index i = 1 . . . I gekennzeichnet ist. Wenn eine Transaktion stattfindet, jeder Händler hat seinen Reservationspreis p∗ij . Sei pi der aktuelle Preis. Dann ist die Nachfrage des Händlers j gegeben durch: Qij = λ(p∗ij − pi ) (29) Der Parameter λ ist positiv und konstant. Diese einfache Angebots-NachfrageFunktion sollte das Modell möglichst einfach machen. Klarerweise will der Händler das Asset kaufen, wenn Qij > 0, und verkaufen, wenn Qij < 0. Schließlich, wenn Qij , ist es nicht in Händlers Interesse zu handeln. Die Reservationspreise sollten die Erwartungen der einzelnen Händler widerspiegeln. Dies resultiert darin, dass es kein Handel abwickelt, wenn alle den selben Reservationspreis haben (derselben Meinung sind). Verkaufen einzige Händler Ihre Assets, dann müssen die anderen dieselbe Assets kaufen, was die folgende Gleichung ergibt: J X Qij = 0 (30) j=1 Direkt daraus folgt: J 1X pi = p∗ J j=1 ij (31) Der beobachtete Preis in einem Preisgleichgewichtszustand ist also gleich dem Durchschnitt der Reservationspreise aller Händler. Intuitiv entspricht dieser Sachverhalt der Praxis. Betrachten wir jetzt das gesamte Handelsvolumen zwischen zwei Zeiträumen. Erstens befassen uns mit dem folgenden Beispiel: Händler Ti−1 Ti ∆Qij 1 3 1 ∆Qi1 = −2 2 4 5 ∆Qi1 = +1 3 2 3 ∆Qi1 = +1 In der ersten Spalte steht der Händlersindex. In der zweiten und dritten Spalten befindet sich die Anzahl eines Assets bevor und nach dem i-ten Geschäft. Die letzte Spalte enthält die Differenzen. Wie aus der Tabelle ersichtlich ist das Nettovolumen gleich 2 - eine Hälfte des Betrags der total gehandelten Assets. Somit gilt für das gesamte Volumen beim Geschäft i: vi = J J 1X λX |Qij − Qi−1,j | = |∆p∗ij − ∆pi | 2 j=1 2 j=1 (32) Das Handelsvolumen ist eine Folge der durchschnittliche Änderung in Reservationspreisen einzelner Händler. Analog zu dem Fall des beobachteten Preises merken wir, dass es kein Volumen geben muss, wenn alle Händler gleiche Erwartungen haben. Tauchen and Pitts nehmen in ihrem Modell weiter an, dass die Änderungen der Reservationspreise eine Folge der globalen und händlerspezifischen Information: ∆pij = φi + ψij (33) Die erste Komponente φi entspricht der globalen Information zum Zeitpunkt des Geschäfts i. Die zweite Komponente ist die Information, über die der Händler j zu demselben Zeitpunkt verfügt. Weiters wird angenommen, dass: E[φi ] = E[ψij ] = 0 V [φi ] = V [ψij ] = (34) σφ2 σψ2 (35) (36) wo φi und ψij unabhängig sind. Wir führen die durchschnittliche individuelle Information ein und formen die Ausdrücke um: J 1X ψij J j=1 (37) ri = ∆pi = φi + ψ̄i (38) ψ̄i = vi = J λX |ψij − ψ̄i | 2 j=1 (39) Die Gleichung (38) zeigt uns, dass beide Arten der Information die Preisänderung beeinflussen. Die individuelle Information eines Händlers beiträgt dabei nur mit dem Faktor J1 zur Änderung. Aus (39) sieht man, dass das Handelsvolumen von Heterogenität der Ansichten abhängt. Gehen wir jetzt noch einen Schritt weiter und annehmen, dass φi ∼ N (0, σφ2 ) und ψij ∼ N (0, σψ2 ), kommen wir zu den folgenden Ergebnissen: mr = E[ri ] = 0 σr2 = V [ri ] = σφ2 + (40) σψ2 λJ λJ E[|ψij − ψ̄i |] = 2 2 2 λ σv2 = V [vi ] = V [|ψij − ψ̄i |] 2 mv = E[vi ] = (41) J r 2 σψ π J −1 J 1 2 (42) (43) Nun sehen wir, falls die Anzahl der Händler steigt, kann auch das erwartete Volumen mv damit steigen, aber die Varianz der Preisänderung verringert sich. Dies entspricht der Eigenschaften eines Finanzmarkts. Die letzten zwei Gleichungen zeigen, dass die Heterogenität der Ansichten als Folge größeres Volumen und Varianz des Volumens hat. Mithilfe dieses Modells können wir auch einen bestimmten Moment eines Tages betrachten, an dem die Anzahl der Händler J konstant sein sollte. Während des Tages beobachten wir I Preisgleichgewichtszustände. Unter dem Begriff wird gemeint, dass ein Geschäft passiert ist. Deswegen wählen wir als Proxy-Variable für die Anzahl der Gleichgewichtszustände die Anzahl der Geschäfte. Somit bekommen wir: r= v= I X i=1 I X ri (44) vi (45) i=1 wo I der Directing Prozess ist. Die zwei Prozesse r, v sind dann die zu I subordinierte Prozesse. Bedingt durch I und mit der Annahme der Normalverteilung folgt: r ∼ N (0, Iσr2 ) v∼ Umgeschrieben bedeutet das: √ r = Iσr zr √ v = Imv + Iσv zv (46) N (Imv , Iσv2 ) (47) zr ∼ N (0, 1) (48) zv ∼ N (0, 1) (49) (48) und (49) sind ausgezeichnete Anfangspunkte für empirische Untersuchungen. Wir merken auch, dass Volumen aus zwei Komponenten besteht. Neben der ersten Komponente √ Imv , die die Anzahl der Informationseingänge vertritt, gibt es noch eine Komponente Izv . Daraus folgt, dass Volumen keine gute Proxy-Variable für Informationseingang ist. 7 EKO Modell EKO Modell, entwickelt von Easley, Kiefer und O´Hara in 1997, versucht das Preisverhalten in einem quote driven Markt zu erklären. Das Modell setzt Existenz eines Marktmachers voraus, d.h. einer Person oder Institution, die die Marktpreise bestimmt und risikoneutral ist. Theoretisch bedeutet dies, dass die Preise in diesem Modell den Erwartungswerten entsprechen. 7.1 Basis des Modells Wir unterteilen die Händler wiederum in informierte und uninformierte. 7.1.1 Uninformierte Händler Da die uninformierte Händler über keine Information über den echten Wert eines Assets verfügen, entweder verkaufen sie oder kaufen mit der Wahrscheinlichkeit 2 . Es ist auch möglich, dass sie überhaupt nicht handeln mit Wahrscheinlichkeit (1 − ). Abbildung 5: Mögliche Entscheidungen eines uninformierten Händlers im EKO Modell 7.1.2 Informierte Händler Wenn wir von informierten Händler reden, reden wir von Händler, die basierend auf Nachrichten und anderen Signale handeln. Im EKO Modell wird dieser Sachverhalt durch positive und negative Signale, die ein Asset betreffen, modelliert. Sei V der Wert eines Assets. Eine Information über das Asset kann mit Wahrscheinlichkeit α freigegeben werden, muss aber nicht. Falls die Information freigegeben wurde, kann das entweder ein negatives oder positives Signal für den Assetswert sein, mit Wahrscheinlichkeit δ bzw. (1 − δ). Wenn ein positives Signal vorliegt, wird der aktuelle Assetwert V zu einem höheren Wert V . Analog wird bei einem negativen Signal der Assetwert zu V . Nach dem Informationseingang kann sich der informierte Händler für Handel mit Wahrscheinlichkeit µ entscheiden. Die untenstehende Abbildung soll das ganze EKO Ereignisbaum darstellen: Abbildung 6: EKO Ereignisbaum mit Wahrscheinlichkeiten 7.1.3 Simulation Wegen seines Aufbaus ist das EKO Modell sehr geeignet für Simulation. Mit Parametern α = 0.6 δ = 0.5 = 0.5 führen wir eine Simulation durch. Simuliert werden 10 Tage mit jeweils 100 Geschäfte pro Tag. Das Symbol × steht für eine Kauforder, für eine Verkaufsorder und Punkt für kein Handel im gegebenen Zeitraum. Durch reine Beobachtung der Geschäfte, die an bestimmten Tag stattgefunden haben, können wir auf das Signal, das an dem Tag freigegeben wurde, schließen. Zum Beispiel, am Tag 1 (unterste Zeile) finden sehr viele Geschäfte statt, fast alle von denen sind Kauforders. Dies bedeutet, dass an diesem Tag positives Signal freigegeben wurde. Deswegen waren informierte Händler sehr aktiv. Betrachten wir jetzt den Tag 2, merken wir, dass Abbildung 7: Simulation 1 mithilfe des EKO Modells sehr wenig gehandelt wurde und kein Muster erkennbar ist. Daraus folgt, dass keine Information veröffentlicht wurde. Nur die uninformierten Händler haben gehandelt. Es ist ja klar, dass der Handelsstrom die Schlüsselkomponente dieses Modells ist. 7.1.4 Preisprozess Eine noch interessantere Eigenschaft des EKO Modells ist die Tatsache, dass es mithilfe dessen ein plausibeler Preisprozess herleiten lässt. Wie bereits erwähnt, legt der Marktmacher die aktuelle Preise fest, bedingt dadurch, ob sie Kauf- oder Verkaufspreise sind. Jeder Preis ist dann einfach der Erwartungswert bedingt dadurch, ob das nächste Geschäft ein Kauf oder ein Verkauf ist. Im Weiteren bezeichnet B Anzahl der Kaufperioden, V Anzahl der Verkaufsperioden und N Anzahl der Perioden ohne Handel. Ψ bezeichnet das Signal: ∅ kein Signal, H pos. Signal, L neg. Signal. Wir beginnen mit den Preisen bei Marktöffnung: E[V |S] = V P [V = V |S] + V P [V = V |S] Jetzt, falls Ψ = ∅: (50) P [V = V , Ψ = ∅, Ψ = H, Ψ = L, S] P [S] = P [V = V , Ψ = ∅, S] × P [Ψ = ∅|S] P [V = V |S] = + P [V = V , Ψ = H, S] × P [Ψ = H|S] + P [V = V , Ψ = L, S] × P [Ψ = L|S] = δ × P [Ψ = ∅|S] + 1 × P [Ψ = L|S] (51) Die erste Zeile ist Folge davon, dass Ψ nur drei Werte annehmen kann. Weile diese drei Werte ausschließlich sind, kommen wir zu der zweiten Zeile. Rest folgt aus der Struktur des Ereignisbaums. Um die übriggebliebenen Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, wenden wir die Bayes Formel nochmal an. X bezeichne generisch die Werte ∅, H, L. P [Ψ = X|S] = P [S|Ψ = X] × P [Ψ = X] P [S] (52) wo P [S] = P [S|Ψ = ∅] × P [Ψ = ∅] + P [S|Ψ = H] × P [Ψ = H] + P [S|Ψ = L] × P [Ψ = L] (53) Die genauen Werte bekommen wir schließlich mithilfe des Baumes: (1 − α)/2 P [S] (µ + (1 − µ)/2)αδ P [Ψ = L|S] = P [S] (1 − αµ)(1 − δ)/2 P [Ψ = H|S] = P [S] P [S] = µαδ + (1 − µα)/2 P [Ψ = ∅|S] = (54) (55) (56) (57) Jetzt können wir den Bid- und Ask-Preis von Marktmacher ausdrücken als: δV (αµ + x) + (1 − δ)V x δαµ + x δV x + (1 − δ)V (αµ(1 − αµ) + x) a1 = E[V |B1 ] = (1 − δ)αµ + x wo x = (1 − αµ)/2 b1 = E[V |S1 ] = (58) (59) Während des Tages wird der Marktmacher die Preise zu den verfügbaren Informationen anpassen.Bezeichnen wir mit B, S, N die Anzahl der Käufe, Verkäufe bzw. Intervalle ohne Handel bis zum Zeitpunkt i lässt sich der Preis zur Zeit i definieren als: bi+1 = E[V |B, S + 1, N ] (60) ai+1 = E[V |B + 1, S, N ] (61) Nochmal zeigt sich das EKO Modell geeignet für Simulationen. Jetzt können wir die Preisentwicklung simulieren. In unterer Abbildung (8) befindet sich die Preisentwicklung für die Tage 10 und 9 unterstehender Simulation. Wie man leicht sehen kann, gab es an diesem Tag fast keine Geschäfte und die, die es gab, waren zufällig. Daraus schließen wir, dass hauptsächlich uninformierte Händler gehandelt haben. Wobei am Tag 9, am meistens Kauforders stattfinden - positives Signal wurde freigegeben. Abbildung 8: Simulation 2 mithilfe des EKO Modells Abbildung 9: Bid- und Ask-Preisentwicklung am Tag 10 Abbildung 10: Bid- und Ask-Preisentwicklung am Tag 9 Literatur [1] Eric Jondeau, Ser-Huang Poon, Michael Rockinger Financial Modeling under NonGaussian Distributions 2004. [2] Wikipedia http://www.wikipedia.org, Aufrufsdatum 24.2.2014
