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Algebraische Topologie Vorlesung 11 02.06.2005 Dieses Dokument wurde von der Homepage www.sigma-mathematics.de runtergeladen. Es darf zu nichtkommerziellen Zwecken verwendet und frei weitergegeben werden. Jeglicher Mißbrauch ist untersagt. Ich hafte nicht für eventuelle Schäden, die durch Verwendung dieses Dokuments auftreten. Sollte das Dokument Fehler enthalten, so melden Sie diese bitte an [email protected]. G topologische Gruppe, G operiert auf X, X einfach zusammenhängend. Zu jedem x ∈ X existiert U ⊆ X Umgebung von x mit U ∩ gU = ∅ für alle 1 6= g ∈ G ⇒ G ∼ = π1 (X/G). (2.58) Beispiel. (a) Die Operation von Z auf R, z.x := z + x, z ∈ Z, x ∈ R (vgl. (2.47)) erfüllt die ≈ Voraussetzungen von (2.57). ⇒ Z ∼ = π1 (S 1 ), da S 1 ≈ R/Z nach (2.49). π : R → R/Z → = π1 (R/Z) ∼ S 1 , x 7→ x + Z 7→ e2πix . Sei x0 = 0 ∈ R, 1.x0 = 1. Sei f : [0, 1] → R, t 7→ t Weg von x0 nach 1.x0 . π(x0 ) = π(1) = e2πi0 = 1 ∈ S 1 ⊆ C. ⇒ π ◦ f : [0, 1] → S 1 , t 7→ e2πit π1 (S 1 ) = ht 7→ e2πit i. (2.57) ⇒ Φ(1) = (t 7→ e2πit ), (b) Die Operation von Z/2Z = {En , −En } aus S n−1 (n ≥ 3) aus (2.47) erfüllt die Voraussetzung aus (2.57) (2.49),(2.57) ⇒ Z/2Z ∼ = π1 (Pn−1 (R)). III Homologie (vgl. Buch von W. Lück [1]) §1 Die Axiome einer Homologietheorie Allgemeine Einführung von Homologietheorie für T2 (sogenannte relative Homologietheorie). Erinnerung: T2 ist f die Kategorie der Raumpaare, Obj T2 : (X, A), X topologischer Raum, A ⊆ X, Mor T2 : (X, A) −→ (Y, B) :⇔ f stetig, f (A) ⊆ B (vgl. (1.34)). Abkürzung: X := (X, ∅) ∈ Obj T2 . (3.1) Definition. (vgl. (2.1) und (2.11)) Seien (X, A), (Y, B) ∈ T2 und f, g : (X, A) → (Y, B) ∈ Mor T2 . f, g heißen homotop, geschrieben f ≃ g, falls eine stetige Abbildung F : X × [0, 1] → Y existiert mit F0 = f , F1 = g und Ft ∈ Mor((X, A), (Y, B)) für alle t ∈ [0, 1]. Grundvoraussetzung: R kommutativer Ring mit 1, z.B. R = Z, Fp := Z/pZ, Q. (3.2) Definition. (a) R−Mod: Kategorie der R-Moduln, Objekte: R-Moduln, Morphismen R-lineare Abbildungen HomR (A, B) (b) R−ModZ : Kategorie der Z-graduierten R-Moduln, Obj R−ModZ : (Mn )n∈Z mit Mn ∈ Obj R−Mod für alle f n, Mor R−ModZ : (Ln )n∈Z −→ (Mn )n∈Z :⇔ f = (fn )n∈Z , fn ∈ HomR (Ln , Mn ) für alle n. (c) Shift-Funktor: r ∈ Z: Shr : R−ModZ −→ R−ModZ , Shr (Mn )n∈Z := (Mn+r )n∈Z , analog für Morphismen. Notationen: I : T2 −→ T2 , (X, A) 7→ (A, ∅), {•}: topologischer Raum, der genau einen Punkt enthält. 1 2 www.sigma-mathematics.de/semester5/algtop/vorlesungen/vorlesung11.pdf (3.3) Definition. (Homologietheorie) Eine Homologietheorie H∗ = (H∗ , ∂∗ ) mit Werten in R−Mod, ist ein kovarianter Funktor H∗ : T2 −→ R−ModZ , zusammen mit einer natürlichen Transformation (vgl. (1.43)) ∂∗ : H∗ Sh−1 ◦H∗ ◦ I, so dass folgende Axiome erfüllt sind (oder eine Teilmenge davon): (H1) Homotopie-Invarianz: Seien f, g : (X, A) → (Y, B) homotop in T2 . Dann gilt H∗ (f ) = H∗ (g), d.h. Hn (f ) = Hn (g) : H∗ (X, A) −→ H∗ (X, B) für alle n ∈ Z. Schreibweisen: H∗ (X, A) = (Hn (X, A))n∈Z , H∗ (f ) = (Hn (f ))n∈Z . (H2) Lange exakte Sequenz von Paaren: Seien (X, A) ∈ Obj T2 und seien i : (A, ∅) → (X, ∅) und j : (X, ∅) → (X, A) die Inklusionen. Dann ist die folgende (nach beiden Seiten unendlich lange Sequenz exakt): ··· ∂n+1 (X,A) −→ Hn (i) Hn (j) Hn−1 (i) ∂n (X,A) Hn−1 (j) Hn (A) −→ Hn (X) −→ Hn (X, A) −→ Hn−1 (A) −→ Hn−1 (X) −→ . . . fn fn−1 ∂n (X, A) heißt verbindender Homomorphismus oder Randoperator. (Eine Sequenz . . . −→ Mn −→ Mn−1 −→ Mn−2 −→ . . . von R-Moduln und Homomorphismen heißt exakt, wenn Bild(fn ) = Kern(fn−1 ) für alle n ∈ Z.) (H3) Ausschneidung: Seien A ⊆ B ⊆ X, X topologischer Raum, so dass A ⊆ B̊ ist, und sei i : (X \ A, B \ A) → (X, B) die Inklusion. Dann ist Hn (i) : Hn (X \ A, B \ A) → Hn (X, B) ein Isomorphismus für alle n ∈ Z (H∗ (i) ist Isomorphismus in R−ModZ .) (H4) Dimensionsaxiom: ( R, Hn (•) = {0}, n = 0, sonst. (H5) Disjunkte Vereinigung: ` Sei I eineLIndexmenge und Räume. Sei ji : Xi → i∈I Xi die Inklusion (vgl. (1.23)(a)). ` L Xi , i ∈ I topologische Dann i∈I Hn (Xi ) → Hn ( i∈I Xi ) ist ein Isomorphismus für alle n ∈ Z. (Hn (jk ) : Hn (Xk ) → `ist i∈I Hn (ji ) : Hn ( i∈I Xi )). §2 Folgerungen aus den Axiomen R kommutativer Ring mit 1, H∗ = (H∗ , ∂∗ ) sei eine Homologietheorie mit Werten in R−Mod, die (H1), (H2) und (H3) erfüllt. Ein Raumtripel ist ein Tripel (X, B, A) mit: X topologischer Raum, A ⊆ B ⊆ X. j i (3.4) Hilfssatz. Sei (X, B, A) ein Raumtripel und (B, A) −→ (X, A) −→ (X, B) die Inklusionen. Dann existiert eine natürliche lange exakte Sequenz ··· ∂n+1 (X,B,A) −→ Hn (i) Hn (j) Hn (B, A) −→ Hn (X, A) −→ Hn (X, B) ∂n (X,B,A) −→ Hn−1 (i) Hn−1 (B, A) −→ . . . Beweis. Sei k : B = (B, ∅) → (B, A) die Inklusion. Sei ∂n (X, B, A) die Komposition ∂n (X, B, A) : Hn (X, B) ∂n (X,B) −→ Hn−1 (B) Hn−1 (k) −→ Hn−1 (B, A). Damit sind die Abbildungen der Sequenz definiert. Zum Beweis der Exaktheit betrachten wir die exakten Sequenzen aus (H2) für die Paare (B, A), (X, A) und (X, B) (grün, orange, blau). ∂n+1 (X,B,A) ∂n (B,A) ---Hn (B, A) Hn−1 (A) Hn+1 (X, B) Hn−1 (X) MMM M M 9 9 8 8 p77 M M q r p M M q r p M∂Mn+1 MMHMn (i) MMM ∂n (X,A)qq p rr p MMM(X,B) q r p M M q r MMM MMM q r pp MM&& && ppp && qqq rrr Hn (X, A) Hn−1 (B) Hn (B) NNN 88 88 LLL MMM q q88 q q q q NNN LLL MMHMn (j) ∂n (X,B)qq qq qq q q q NNN L M q q q L M q q q LL%% MM&& NN'' qqq qqq qqq ∂ (X,B,A) n Hn (A) H (X, B) H 11 Hn (X) 11 n 11 n−1 (B, A) Alle Maschen dieses Zopfes kommutieren, wegen (i) Definition von ∂∗ (X, B, A), (ii) Funktorialität von H∗ , (iii) „Natürlichkeit“ von ∂∗ .
