Durchmesser und Eigenwerte - Institut für Mathematik Potsdam

Seminar Geometrie, Sommersemester 2010
bei Prof. Dr. C. Bär
Institut für Mathematik der Universität Potsdam
Durchmesser und Eigenwerte
Matthias Lowin, 16. Juni 2010
De…nition 1 Ist v ein Knoten eines Graphen G = (V; E),
dann nennt man die Zahl
dv = #fe 2 E j v 2 eg
den Grad von v.
De…nition 2 Es sei G ein Graph, v seien die Knoten von G
und dv sei der Grad von v. Dann heiß
t
P
volG = dv
v
das Volumen von G.
De…nition 3 Es sei G ein Graph und u und v Knoten in G,
dann bezeichnet d(u; v) den Abstand zwischen u und v.
Dieser ist de…niert durch den kürzesten Weg, der u und v verbindet.
De…nition 4 Der Durchmesser eines Graphen G, bezeichnet durch D(G),
ist der maximale Abstand von allen Paaren von Knoten in G.
De…nition 5 Seien X und Y Teilmengen in V (G).
Dann bezeichnet
d(X; Y ) = minfd(x; y) : x 2 X; y 2 Y g
den Abstand zwischen X und Y .
Vereinbarung Sei X das Komplement einer Menge X in V (G).
1
Theorem 6 Sei G ein Graph und X; Y
V (G),
Dann gilt:
r
2
volXvolY
6 log volXvolY
d(X; Y ) 6
6
6 log n 1 + 1
6
n 1
mit d(X; Y )
2.
3
7
7
7
7
7
1
Korollar 7 Sei G ein regulärer, nicht vollständiger Graph.
Dann gilt:
2
3
D(G)
6 log(n 1) 7
6
7
6
7
6 log n 1 + 1 7
6
7
n 1
1
Theorem 8 Sei G ein nicht vollständiger Graph, sowie X; Y
und X 6= Y . Dann gilt:
r
2
3
volXvolY
1
6 cosh
volXvolY 7
7
d(X; Y ) 6
6
7
6 cosh 1 n 1 + 1 7
6
7
n 1
Lemma 9 Für alle X
=
2
(
n 1
1
V (G), gilt
vol X
volX
,wobei
1
+
Korollar 10 Für X
Graph ist, gilt
1)
1
(1
)2
volX
)2 +
volX
(1
.
V (G) mit volX
volX, wobei G kein vollständiger
vol X
volX
,wobei
=
2
(
n
V (G)
1
1+
1)
.
Literatur
[1] F. Chung: Spectral Graph Theory, Amer. Math. Soc. 1997
2