¨Ubung zur Einführung in die Stochastische Finanzmathematik Blatt 3

Prof. Dr. Christoph Kühn
SoSe 2015
Übung zur Einführung in die Stochastische
Finanzmathematik
Blatt 3
Abgabe Freitag, 15.5.2015 vor der Vorlesung
Aufgabe 6 [Modell mit Transaktionskosten] (5 Punkte) Betrachten Sie einen
Finanzmarkt bestehend aus einem risikolosen Bond mit Preisprozess B = 1 und
einer risikobehafteten Aktie, die einen Kaufpreisprozess S und einen Verkaufspreisprozess S besitzt mit S ≤ S. Für den Kauf einer Aktie zum Zeitpunkt t
werden also S t e fällig, während der Verkauf nur S t e einbringt (die Differenz
kann als (doppelte) Transaktionskosten oder auch als Bid-Ask-Spread interpretiert werden). Ein vorhersehbarer Prozess (ϕ0t , ϕ1t )t=0,1,...,T +1 heißt selbstfinanzierende Handelsstrategie, wenn
ϕ0t −ϕ0t−1 +max{ϕ1t −ϕ1t−1 , 0}S t−1 −max{−(ϕ1t −ϕ1t−1 ), 0}S t−1 = 0,
∀t = 1, . . . , T +1.
(Das Portfolio kann also letztmalig zu den Preisen zum Zeitpunkt T umgeschichtet werden, was bei der Modellierung ohne Transaktionskosten nicht berücksichtigt werden muss)
Eine Arbitrage in diesem Modell ist eine selbstfinanzierende Handelsstrategie
(ϕ0t , ϕ1t )t=0,1,...,T +1 mit ϕ00 = ϕ10 = ϕ1T +1 = 0, P (ϕ0T +1 ≥ 0) = 1 und P (ϕ0T +1 >
0) > 0.
(i)
(ii)
Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
Wenn es einen Prozess S mit S ≤ S ≤ S und ein Maß Q ∼ P gibt, so dass
S ein Q-Martingal ist, dann ist der Markt arbitragefrei.
Analog zu oben ist eine Einperiodenarbitrage in der Periode t ∈ {1, . . . , T }
definiert als eine selbstfinanzierende Handelsstrategie (ϕ0 , ϕ1 ) mit ϕ0t−1 =
ϕ1t−1 = ϕ1t+1 = 0, P (ϕ0t+1 ≥ 0) = 1 und P (ϕ0t+1 > 0) > 0.
Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
Wenn es in dem Markt in keiner Periode eine Einperiodenarbitrage gibt,
dann ist der Markt arbitragefrei.
Bitte wenden
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Aufgabe 7 (7 Punkte)
Im Markt (S 0 , S 1 ) mit Endzeitpunkt 1 seien S00

 x1 , falls ω
x2 , falls ω
S11 (ω) =

x3 falls ω
= S10 = S01 = 1 und
= ω1 ,
= ω2 .
= ω3
mit p1 := P ({ω1 }) > 0, p2 := P ({ω2 }) > 0, p3 := P ({ω3 }) = 1 − p1 − p2 > 0 und
x1 < x2 < x3 .
(i)
Unter welchen zusätzlichen Bedingungen an x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 ist der Markt
arbitragfrei?
(ii) Bestimmen Sie die Menge der ÄMM, wenn S 0 als Numeraire gewählt wird.
(iii) Bestimmen Sie die Menge der ÄMM, wenn S 1 als Numeraire gewählt wird.
(iv) Seien die Parameter so gewählt, dass der Markt (S 0 , S 1 ) arbitragefrei ist.
Sei S 2 der Preisprozess einer Call-Option mit Strike K ∈ (x1 , x2 ), also
S12 = (S11 − K)+ . Bestimme die Menge der arbitragefreien Preise S02 des
Calls
Sei H ein Claim. Der Superhedgingpreis von H wird definiert als
v(H) = inf{v |∃ϕ selbstfinanzierend s.d. P (v + ϕ • ST ≥ H) = 1}
Eine selbstfinanzierende Handelsstrategie ϕ heißt Superhedgingstrategie, wenn
P (v(H) + ϕ • ST ≥ H) = 1.
(v)
Wir betrachten eine Call-Option mit Strikepreis K = 3. Es seien x3 =
5, x2 = 4, x1 = 0.5. Bestimmen Sie den Superhedging-Preis dieser CallOption.
(vi) Was gilt für die Superhedgingstrategie, wenn man die Call-Option aus (v)
betrachtet, aber x3 = 5, x2 = x1 = 0.5?
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