¨Ubungen zur Vorlesung: Theoretische Elektrodynamik

Prof. Dr. R. Egger
Dr. A. Zazunov
WS 10/11
Blatt 5
Übungen zur Vorlesung: Theoretische Elektrodynamik
Übungstermin: Mo, 29. November 2010
Abgabe bis Fr, 26. November 2010, 12:00 Uhr
Aufgabe 13:
Solenoid
4 Punkte
Betrachten Sie ein endliches Solenoid der Länge 2L mit Radius R (R L), dessen Enden bei z = −L
und z = L liegen. Das Solenoid habe n Windungen pro Längeneinheit und werde von dem Gleichstrom
I durchflossen. Zeigen Sie, dass das erzeugte Magnetfeld auf der z-Achse gegeben ist durch
2πnI
~
B(z)
=
c
L+z
L−z
p
+p 2
2
2
R + (L − z)
R + (L + z)2
!
~ez .
[Hinweis: Das Magnetfeld des Solenoid folgt aus der Superposition der Magnetfelder der einzelnen stromdurchflossenen Kreisringe.]
Aufgabe 14:
Geladene rotierende Kugel
4 Punkte + 2 Extrapunkte
Eine Kugel mit Radius R und Ladungsdichte ρ(~r) rotiere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit
ω
~ um eine Achse durch ihren Mittelpunkt.
~ her:
1) Leiten Sie den folgenden Ausdruck für das Vektorpotential A
~
~ r) = ω
A(~
×
c
Z
(1 Punkt)
d3~r 0 ρ(~r 0 ) 0
~r .
|~r − ~r 0 |
~ innerhalb und außerhalb der Kugel für eine auf der Oberfläche
2) Berechnen Sie das Vektorpotential A
gleichmäßig verteilte Ladung q.
(3 Punkte)
[Hinweis:
Z
√
√
dx x
2
= − 2 (2a + bx) a − bx ,
3b
a − bx
wobei a, b Konstanten sind.]
3) Zusatzaufgabe (freiwillig):
~ und diskutieren Sie das Resultat.
Berechnen Sie daraus die magnetische Induktion B
(2 Extrapunkte)
1
Übungen zur Vorlesung: Theoretische Elektrodynamik, Blatt 5
Aufgabe 15:
Eichtransformationen
4 Punkte
Betrachten Sie eine allgemeine Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale,
ϕ0 = ϕ −
∂
Λ,
∂t
~0 = A
~ + c∇Λ
~ .
A
1) Wie muß Λ gewählt werden, damit die Lorentzeichung gilt? Sind die Potentiale dann eindeutig?
2) Wie muß Λ bei der Coulombeichung gewählt werden? Sind die Potentiale eindeutig?
3) Betrachten Sie die axiale Eichung Az = 0. Wie muß Λ gewählt werden, damit dies gilt? Wie sehen
dann die inhomogenen Maxwellgleichungen (für die Potentiale) aus?
~ = 0 und ϕ = 0] gewählt werden? Ist dies immer
4) Wie muß Λ in der Strahlungseichung [div A
möglich?
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