¨Ubungen zur Vorlesung Randomisierte Algorithmen Blatt 3

Universität Heidelberg
Institut für Informatik
Wolfgang Merkle
21. Mai 2015
Übungen zur Vorlesung
Randomisierte Algorithmen
Blatt 3
Aufgabe 1 (8 Punkte)
Bei dem in der Vorlesung besprochenen randomisierten Protokoll für das Problem der Byzantinischen
Generäle wird vorausgesetzt, dass höchstens ein Anteil von 1/8 der insgesamt n Prozessoren schlecht ist.
In jeder Runde wird einer der beiden Schwellenwerte t0 = 5n/8 und t1 = 6n/8 zufällig gewählt, zusätzlich
gibt es noch einen festen Schwellenwert t2 = 7n/8.
Skizzieren Sie, an welchen Stellen in der Verifikation des randomisierten Protokolls die folgenden Ungleichungen verwendet werden:
(i) n − t2 ≥
n
,
8
(ii) t2 − t1 ≥
n
,
8
(iii) t1 − t0 ≥
n
,
8
(iv) t0 >
n
.
2
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Sei X eine endliche Menge. Eine Färbung von X mit k Farben ist eine Abbildung von X nach {1, . . . , k}.
Eine Mengenfamilie über X ist eine Teilmenge der Potenzmenge von X. Eine Mengenfamilie F über X
heißt zweifärbbar, falls es eine Färbung von X mit zwei Farben gibt, so dass jede Menge in F zwei
verschieden gefärbte Elemente enthält.
(a) Beweisen Sie, dass eine Mengenfamilie F über X zweifärbbar ist, falls für eine Konstante d ≥ 2
jede Menge in F mindestens d Elemente hat und F echt weniger als 2d−1 Mengen enthält.
(b) Gilt die Folgerung von Teil a auch noch, wenn die Voraussetzung dahingehend abgeschwächt wird,
dass F höchstens 2d−1 Mengen enthält?
Hinweis: Betrachten Sie eine zufällige Färbung von X.
Bitte wenden.
Aufgabe 3 (6 Punkte)
In der Vorlesung wurde mit einem probabilistischen Argument gezeigt, dass jede nichtleere endliche
Menge Z von ganzen Zahlen eine summenfreie Teilmenge der Größe echt größer |Z|/3 enthält. Im Beweis
dieses Resultats wird eine Primzahl q gewählt, von der nur gefordert wird, dass sie von der Form q = 3k+2
für k ≥ 1 ist und keine der Zahlen in Z teilt.
(a) Skizzieren Sie einen randomisierten Algorithmus, welcher bei Eingabe einer nichtleeren endlichen
Menge Z von ganzen Zahlen eine summenfreie Teilmenge von Z berechnet, deren Größe einen
Erwartungswert von mindestens |Z|/3 hat.
(b) Wenden Sie die Methode der trivialen Derandomisierung auf den randomisierten Algorithmus aus
Teil a an, um ein deterministisches Verfahren zu erhalten, welches bei Eingabe einer nichtleeren endlichen Menge Z von ganzen Zahlen eine summenfreie Teilmenge von Z der Größe mindestens |Z|/3
berechnet.
(c) (Nicht abzugeben, wird als Präsenzaufgabe in der Übung besprochen).
Zeigen Sie, dass das deterministische Verfahren aus Teil b in dem Sinne effizient gewählt werden
kann, dass bezogen auf die Größe der Darstellung der Eingabe die anfängliche Berechnung einer
Primzahl q mit den geforderten Eigenschaften in polynomieller Zeit möglich ist, und danach die
auftretenden Schleifen nur polynomiell oft durchlaufen werden und jeder Schleifendurchlauf nur
polynomielle Rechenzeit erfordert.
Hinweis zu Teil c: Zu einer nichtleeren Menge Z von ganzen Zahlen sei m = max{max Z, − min Z} der
maximale Betrag einer Zahl in Z und es sei t = |Z|dlog me. Es sei eine Kodierung der Eingabe gewählt,
für deren Länge ` gilt O(`) = O(t), d.h., es gilt ` ∈ O(t) und t ∈ O(`).
Die Zahlen in Z haben insgesamt höchstens t Primteiler, unter den ersten t+1 Primzahlen der Form 3k+2
gibt es also eine Primzahl q wie gefordert. Aus bekannten Aussagen über die Dichte von Primzahlen folgt
dann, dass für hinreichend großes t ein solches q unter den ersten (t + 1)2 natürlichen Zahlen gefunden
werden kann, wobei man für eine natürliche Zahl effizient entscheiden kann, ob diese prim ist.
Das Übungsblatt ist bis Montag, den 8. Juni, 14 Uhr, abzugeben.
Geben Sie die Aufgabenblätter bitte in der Vorlesung oder den Übungen ab oder in den Briefkästen im
Foyer im EG der Angewandten Mathematik (INF 294).
Am Donnerstag, den 28. Mai, findet anstelle der Vorlesung eine Übung statt.
Übungsblätter können unter der folgenden www-Seite abgerufen werden
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ss15/randalgo ss15.html