9. Übungsblatt
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KFU Graz TU Graz V. Mader, W. Schweiger D. Berger, A. Glowatschnig Lineare Algebra (für PhysikerInnen) WS 11/12 9. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 12.1.2012) Aufgabe 64: Im Würfel W mit den 8 Ecken (±1, ±1, ±1) sind auf den Würfelkanten 4 Punkte ausgewählt (−1 ≤ a, b ≤ 1): A = (1, a, −1), B = (b, 1, −1), C = (−1, −a, 1) und D = (−b, −1, 1). a) Zeigen Sie, dass diese 4 Punkte in einer Ebene liegen, indem Sie zeigen, ~ AC ~ und AD ~ nicht linear unabhängig sind. dass die 3 Vekoren AB, b) Zeigen Sie, dass ABCD stets ein Parallelogramm ist und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Parallelogramms. c) Wie müssen a und b gewählt werden, damit es eine Raute (Diagonalen stehen normal aufeinander) ist? c) Wie müssen a und b gewählt werden, damit es eine Quadrat ist? Hinweis: Machen Sie eine Skizze. Aufgabe 65: Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welches durch die beiden Vektoren −3 −2 ~ −2 −3 ~a = b= 1 −1 aufgespannt wird. Aufgabe 66: Gegeben sind folgende Vektoren: 1 7 ~ ~a = 2 , b = 8 , 3 12 5 ~c = 2 . 8 Finden Sie einen neuen Vektor, welcher in der durch ~b und ~c aufgespannten Ebene liegt und normal auf ~a steht mittels doppeltem Vektorprodukt. Aufgabe 67: Es seien ~i, ~j, ~k orthogonale Einheitsvektoren. Berechnen Sie mittels Spatprodukt (V = |~a · (~b × ~c)|) das Volumen des Parallelepipeds mit den Seitenvektoren ~a = 2~i − ~j − ~k , ~b = 2~i − 3~j + ~k , 18 ~c = ~j + ~k . Aufgabe 68: Kennt man einen Normalvektor ~n auf eine Ebene ǫ und den Orts−→ vektor ~r0 = OP eine Punktes in der Ebene, so ist die implizite Form der Ebenengleichung (Hesse’sche Normalform) durch x (~r − ~r0 ) · ~n = 0 gegeben, wobei ~r = y . z Bestimmen Sie die implizite Form der Ebenengleichung für die Ebenen, welche durch folgende Daten gegeben sind: a) 5 Normalvektor ~n = −6 7 3 und Ortsvektor ~r0 = 4 , −2 a) durch die drei Punkte in der Ebene mit Ortsvektoren 2 3 −1 −1 2 3 , ~r1 = , ~r2 = , ~r3 = 1 −1 2 b) durch 2 Richtungsvektoren und 1 Punkt in der Ebene −1 2 −1 ~a = 4 , ~b = 1 , ~r0 = −1 . 3 0 −1 Aufgabe 69: Die Ebene ε stehe normal auf die Gerade g (die in Parameterform gegeben ist) und schneide diese im Punkt mit der x-Koordinate x = 5. Bestimmen Sie die Ebenengleichung. 1 1 g : ~r(t) = ~r0 + t ~a mit ~r0 = −4 und ~a = 2 0 2 Aufgabe 70: Gegeben sind die beiden Ebenen ǫ1 : 3x + 2y − z = 13, ǫ2 : 5x − 4y + 2z = 1. a) Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen? b) Unter welchem Minimalwinkel schneidet ǫ1 die x–Achse? Aufgabe 71: Finden Sie den kürzesten Abstand der beiden Geraden 0 2 1 2 g1 : ~r(λ) = 0 +λ 4 g2 : ~r(µ) = 17 +µ −1 . 0 3 −4 0 (Die Strecke mit kürzestem Abstand steht senkrecht auf beide Richtungsvektoren!) 19
