Grundlagen Mathematik - 1. Vektorrechnung und Geometrie

Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik
GRUNDLAGEN MATHEMATIK
1. Vektorrechnung und Geometrie
Prof. Dr. Gunar Matthies
Wintersemester 2015/16
Mengenbegriff
Definition (Naiver Mengenbegriff nach Georg Cantor)
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten, wohlunterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte der Menge werden Elemente
der Menge genannt.
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Häufig auftretende Mengen
N = Menge der natürlichen Zahlen
N0 = N ∪ {0} = Menge der natürlichen Zahlen und 0
Q = Menge der rationalen Zahlen (=Brüche)
R = Menge der reellen Zahlen
R+ = Menge der positiven reellen Zahlen
R+
0 = Menge der nichtnegativen reellen Zahlen
R− = Menge der negativen Zahlen
R−
0 = Menge der nichtpositiven Zahlen
Z = Menge der ganzen Zahlen
Zusammenhang
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
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Intervalle und Halbgeraden
Seien a, b ∈ R mit a ≤ b. Dann setzen wir
• Intervalle
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
(abgeschlossen)
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}
(offen)
[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}
(rechts halboffen)
(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}
(links halboffen)
• Halbgeraden oder Strahlen
[a, ∞) := {x ∈ R : a ≤ x} (abgeschlossene Halbgerade)
(−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b} (abgeschlossene Halbgerade)
(a, ∞) := {x ∈ R : a < x} (offene Halbgerade)
(−∞, b) := {x ∈ R : x < b} (offene Halbgerade)
andere Schreibweise:
(a, b) =]a, b[
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Kartesisches Koordinatensystem
z
pz
P
py
y
px
x
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Punkte und Vektoren I
Zu je zwei verschiedenen Punkten P und Q des Raumes gibt es
genau eine Parallelverschiebung des Raumes, die P auf Q abbildet.
# »
Diese Parallelverschiebung wird mit dem Pfeil PQ bezeichnet. Der
# »
Pfeil PQ mit
P = (px , py , pz ),
Q = (qx , qy , qz )
legt mittels
 


vx
qx − px
#»
v = vy  := qy − py 
vz
qz − pz
einen Vektor #»
v fest. Der Vektorpfeil wird später auch weggelassen.
Der Pfeil stellt eine Realisierung des Vektors dar. Zwei gleich lange
und gleich gerichtetete Pfeile stellen den gleichen Vektor dar.
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6/53
Punkte und Vektoren II
#»
Ein spezieller Vektor ist der Nullvektor 0 . Er enstpricht der Nichtverschiebung des Raumes.
Der zu #»
v gleich lange, aber entgegengesetzte Vektor wird mit − #»
v
#»
bezeichnet. Es macht die durch v bewirkte Verschiebung wieder
rückgängig.
Definition
Die Menge aller Vektoren des dreidimensionalen Raumes bezeichnen wir mit R3 . Die Menge aller Vektoren der Ebene bezeichnen
wir mit R2 .
Die Vektoren der Ebene R2 können als Vektoren des Raum R3
aufgefasst werden, indem die dritte Komponente auf 0 gesetzt
wird.
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Ortsvektoren und geometrische Grundbegriffe
Definition
# »
Die Pfeile OP mit dem Koordinatenursprung O heißen Ortspfeile
# »
oder Ortsvektoren. Der durch OP dargestellte Vektor #»
r hat als
Komponenten die Koordinaten von P.
P = (px , py , pz )
←→
 
p
# »  x
#»
r = OP = py
pz
Definition
• Zwei Vektoren #»
u und #»
v heißen kollinear, wenn sie, jeweils im
Koordinatenursprung O angetragen, auf einer Gerade liegen.
#» heißen komplanar, wenn sie, jeweils im
• Drei Vektoren #»
u , #»
v,w
Koordinatenursprung O angetragen, in einer Ebene liegen.
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Summe, Differenz und Skalarmultiplikation
Definition  
 
ux
vx
Seien #»
u = uy , #»
v = vy  zwei Vektoren des R3 und λ ∈ R.
uz
vz
Dann definieren wir durch




ux − vx
ux + vx
#»
#»
u − #»
v := uy − vy 
u + #»
v := uy + vy  ,
uz − vz
uz + vz
die Summe und die Differenz. Das skalare Vielfache ist durch


λux
λ #»
u := λuy 
λuz
erklärt. Insbesondere gilt: (−1) #»
u = − #»
u.
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Geometrische Interpretation
#»
u + #»
v
#»
v
#»
v
#»
u
#»
v
#»
u − #»
v
#»
u
u
− 12 #»
2 #»
u
#»
u
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Rechenregeln für die Vektoraddition
#» ∈ R3 und alle λ, µ ∈ R gelten
Für alle #»
u , #»
v,w
#» = #»
#»)
1. ( #»
u + #»
v)+w
u + ( #»
v +w
(Assoziativgesetz)
2. #»
u + #»
v = #»
v + #»
u
(Kommutativgesetz)
3. Zu jedem Paar #»
u , #»
v ∈ R3 gibt es genau einen Vektor #»
z ∈ R3
mit #»
u + #»
z = #»
v . Dies ist #»
z = #»
v − #»
u.
4. (λµ) #»
u = λ(µ #»
u)
(skalares Assoziativgesetz)
5. λ( #»
u + #»
v ) = λ #»
u + λ #»
v
(Distributivgesetz)
6. (λ + µ) #»
u = λ #»
u + µ #»
u
(Distributivgesetz)
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Länge oder Betrag eines Vektors
z
vz
#»
v
vy
y
vx
x
| #»
v | :=
G. Matthies
q
vx2 + vy2 + vz2
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Rechenregeln für Beträge von Vektoren
Für alle #»
u , #»
v ∈ R3 und alle λ ∈ R gelten:
1. |λ #»
u | = |λ| | #»
u|
 
0
#»
#»

2. | u | = 0 ⇔ u = 0
0
3. | #»
u + #»
v | ≤ | #»
u | + | #»
v|
(Dreiecksungleichung)
#»
u + #»
v
#»
v
#»
u
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Koordinateneinheitsvektoren
Koordinateneinheitsvektoren im dreidimensionalen Raum R3
 
 
 
1
0
0
#»
#»
#»
e#»x = e#»1 = i = 0 , e#»y = e#»2 = j = 1 , e#»z = e#»3 = k = 0
0
0
1
Darstellung von Vektoren
 
ux
#»

⇔
u = uy 
uz
⇔
⇔
G. Matthies
#»
u = ux e#»x + uy e#»y + uz e#»z
#»
u = ux e#»1 + uy e#»2 + uz e#»3
#»
#»
#»
#»
u =u i +u j +u k
x
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y
z
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Winkel zwischen Vektoren
Definition
Trägt man in einem Punkt P zwei vom Nullvektor verschiedene
Vektoren #»
u und #»
v an, so nennt man den kleineren der beiden positiv gemessenen Winkel, die die Pfeile #»
u und #»
v im Scheitel P bil#»
#»
den, den Winkel zwischen u und v . Kurz schreiben wir ^( #»
u , #»
v ).
#»
v
^( #»
u , #»
v ) ∈ [0, π]
#»
u
Definition
Zwei Vektoren #»
u und #»
v heißen orthogonal oder senkrecht, wenn
#»
#»
^( u , v ) = π/2 gilt. Aus praktischen Überlegungen legen wir zusätzlich fest, dass der Nullvektor orthogonal zu jedem beliebigen
Vektor #»
u ∈ R3 ist.
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Skalarprodukt
Definition
Seien #»
u , #»
v ∈ R3 Vektoren. Dann nennen wir
#»
u · #»
v := | #»
u | | #»
v | cos ^( #»
u , #»
v)
Skalarprodukt (oder inneres Produkt) der Vektoren #»
u und #»
v.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl (ein Skalar).
Folgerung
#»
Für #»
u , #»
v ∈ R3 \ { 0 } gelten
• #»
u · #»
v > 0, falls ϕ ∈ [0, π/2),
• #»
u · #»
v = 0, falls ϕ = π/2,
• #»
u · #»
v < 0, falls ϕ ∈ (π/2, π],
wobei ϕ = ^( #»
u , #»
v ) ist.
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Rechenregeln für Skalarprodukte I
Folgerung
Die Vektoren #»
u und #»
v stehen genau dann senkrecht aufeinander,
#»
#»
wenn u · v = 0 gilt.
#» ∈ R3 und λ ∈ R gelten:
Für #»
u , #»
v,w
1. #»
u · #»
v = #»
v · #»
u
#» = #»
#» +
2. ( #»
u + #»
v)·w
u ·w
3. λ( #»
u · #»
v ) = (λ #»
u ) · #»
v =
4. #»
u · #»
u = | #»
u |2
G. Matthies
#»
#»
v ·w
#»
u · (λ #»
v)
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17/53
Rechenregeln für Skalarprodukte II
Bemerkung
#» ∈ R3
• Im Allgemeinen gilt für Vektoren #»
u , #»
v,w
#» 6= #»
#»).
( #»
u · #»
v )w
u ( #»
v ·w
• Es gilt
#»
#»
#» #»
#» #»
( #»
a + b ) · ( #»
c + d ) = #»
a · #»
c + #»
a · d + b · #»
c +b·d
#»
#»
für alle #»
a , b , #»
c , d ∈ R3
Bemerkung
In einigen Büchern wird statt #»
u · #»
v nur #»
u #»
v geschrieben, was aber
ungenau ist und zu Missverständnissen führen kann.
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18/53
Geometrische Interpretation I
ϕ
#»
v
#»
u
#»
u · #»
v = | #»
u | | #»
v | cos(ϕ)
#»
#»
= |u ||p|
#»
p
#»
v
#»
p
π−ϕ
#»
u
#»
u · #»
v = | #»
u | | #»
v | cos(ϕ)
#»
= −| u | | #»
v | cos(π − ϕ)
= −| #»
u | | #»
p|
Der Vektor #»
p ist die orthogonale Projektion des Vektors #»
v auf
#»
den Vektor u . Unter Beachtung der Orientierung (Vorzeichen!)
lässt sich das Skalarprodukt #»
u · #»
v aus dem Produkt der Beträge
#»
#»
von u und p berechnen.
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19/53
Geometrische Interpretation II
Bemerkung
Es gibt keine Umkehrung des Skalarprodukts, d. h., es ist nicht
möglich, aus der Kenntnis des Vektors #»
u und des Skalarproduktes
#»
u · #»
v auf einen eindeutigen Vektor #»
v zu schließen.
#»
w
#»
v
#»
u
#»
p
#»
#»
u · #»
v = | #»
u | | #»
p | = #»
u ·w
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20/53
Berechung des Skalarprodukts
Geometrische Überlegungen liefern für die Koordinateneinheitsvektoren
e#»x · e#»x = e#»y · e#»y = e#»z · e#»z = 1
und
e#»x · e#»y = e#»y · e#»z = e#»z · e#»x = 0.
Damit ergibt sich für
 
 
ux
vx
#»
u = uy  = ux e#»x + uy e#»y + uz e#»z , #»
v = vy  = vx e#»x + vy e#»y + vz e#»z
uz
vz
das Skalarprodukt
#»
u · #»
v = ux vx + uy vy + uz vz ,
was der Summe der Produkte der Komponenten entspricht.
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21/53
Winkelberechnung
Durch Umstellen der Definitionsformel für das Skalarprodukt erhalten wir
#»
u · #»
v
cos ^( #»
u , #»
v ) = #» #» ,
|u ||v |
#»
#»
#»
#»
falls u 6= 0 und v 6= 0 gilt.
Bemerkung
Ist mindestens einer der beiden Vektoren #»
u und #»
v gleich dem
#»
Nullvektor 0 , dann kann kein Winkel definiert werden.
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22/53
Richtungskosinus
Einen Vektor #»
e ∈ R3 mit | #»
e | = 1 nennen wir Einheitsvektor.
z
vz
#»
v
γ
α β
e#»x · #»
v
vx
= #»
#»
|v |
|v |
e#»y · #»
v
vy
cos(β) = #» = #»
|v |
|v |
vz
e#»z · #»
v
cos(γ) = #» = #»
|v |
|v |
y
cos(α) =
vy
vx
x
#»
Ist v ein Einheitsvektor, dann gilt
cos(α) = vx , cos(β) = vy ,
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cos(γ) = vz .
23/53
Einheitsvektoren
Definition
Einen Vektor #»
e ∈ R3 mit | #»
e | = 1 nennen wir Einheitsvektor.
#»
Sei #»
a ∈ R3 \ { 0 } ein beliebiger vom Nullvektor verschiedener
Vektor. Dann ist
1 #»
#»
e #»
a := #» a
|a|
#»
der in Richtung a weisende Einheitsvektor.
#»
Jeder Vektor #»
a ∈ R3 \ { 0 } lässt sich durch seine Länge | #»
a | und
#»
#»
seine Richtung e a gemäß
#»
a = | #»
a | #»
e #»
a
darstellen.
#»
Dem Nullvektor 0 kann keine Richtung zugeordnet werden.
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24/53
Rechtssystem
Definition
#»
#»
Das Tripel ( #»
a , b , #»
p ) von Vektoren #»
a , b , #»
p ∈ R3 wird Rechts#»
#»
system genannt, wenn sich die Vektoren a , b und #»
p in dieser
Reihenfolge dem Daumen, dem Zeigefinger und dem Mittelfinger
der rechten Hand zu ordnen lassen, also der Rechte-Hand-Regel
genügen.
Bemerkung
Die Vektoren (e#»x , e#»y , e#»z ) bilden ein Rechtssystem.
Die Vektoren (e#»x , e#»z , e#»y ) bilden kein Rechtssystem.
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Vektorprodukt
Definition
#»
#»
Seien #»
a , b ∈ R3 zwei vom Nullvektor 0 verschiedene, nicht kollineare Vektoren. Dann ist das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt
#»
oder äußeres Produkt) #»
a × b der Vektor des R3 , der
#»
1. zu #»
a und b orthogonal ist,
2. einen Betrag besitzt, der dem Flächeninhalt des von #»
a und
#»
b aufgespanntem Parallelogramms enspricht,
#»
#»
3. das Tripel ( #»
a , b , #»
a × b ) zum Rechtssystem macht.
#» #»
#»
#»
Ist #»
a = 0 oder b = 0 oder sind #»
a und b Vielfache voneinander,
#»
#»
dann wird #»
a × b = 0 gesetzt.
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26/53
Geometrische Interpretation
F
#»
b
ϕ
Es gilt:
G. Matthies
h
#»
a
#» #»
F = #»
a × b = #»
a b sin(ϕ)
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27/53
Rechenregeln für Vektorprodukte I
#» ∈ R3 und alle λ ∈ R gelten:
Für alle #»
u , #»
v,w
1. #»
u × #»
v = − #»
v × #»
u
(Antikommutativität)
#») = #»
#»
2. #»
u × ( #»
v +w
u × #»
v + #»
u ×w
(Distributivität)
3. λ( #»
u × #»
v ) = (λ #»
u ) × #»
v = #»
u × (λ #»
v)
#»
#» #» #»
#»
4. #»
u × #»
u = 0 , #»
u × 0 = 0 , 0 × #»
u = 0
5. | #»
u × #»
v |2 = | #»
u |2 | #»
v |2 − ( #»
u · #»
v )2
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28/53
Rechenregeln für Vektorprodukte II
Folgerung
#»
#»
Für Vektoren #»
a , b , #»
c , d ∈ R3 gelten
#»
#»
• ( #»
a + b ) × #»
c = #»
a × #»
c + b × #»
c
#»
#»
#» #»
#» #»
#»
#»
#»
#»
• ( a + b ) × ( c + d ) = a × c + #»
a × d + b × #»
c +b×d
Bemerkung
Im Allgemeinen gilt
#»
#») 6= ( #»
#».
u × ( #»
v ×w
u × #»
v)×w
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29/53
Berechnung des Vektorprodukts
Geometrische Überlegungen liefern für die Koordinateneinheitsvektoren
e#»x × e#»y = e#»z ,
e#» × e#» = −e#»,
y
x
z
e#»y × e#»z = e#»x ,
e#» × e#» = −e#»,
z
y
x
e#»z × e#»x = e#»y ,
e#» × e#» = −e#»
x
z
y
Unter Ausnutzung der Rechenregeln erhalten wir für
 
 
ux
vx
#»
#»
u = uy  ,
v = vy 
uz
vz
die Darstellung


uy vz − uz vy
#»
u × #»
v =  uz vx − ux vz  .
ux vy − uy vx
G. Matthies
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30/53
Regel von Sarrus


uy vz − uz vy
#»
u × #»
v =  uz vx − ux vz 
ux vy − uy vx
= (uy vz −uz vy )e#»x + (uz vx −ux vz )e#»y + (ux vy −uy vx )e#»z
e#»x
e#»y
e#»z
e#»x
e#»y
ux
uy
uz
ux
uy
vx
vy
vz
vx
vy
Produkte entlang der roten Linien mit positvem Vorzeichen und
Produkte entlang der blauen Linien mit negativem Vorzeichen versehen und aufaddieren.
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31/53
Spatprodukt
Definition
#»
Für je drei Vektoren #»
a , b , #»
c ∈ R3 ist durch
#»
#»
[ #»
a , b , #»
c ] := ( #»
a × b ) · #»
c
das Spatprodukt definiert.
#»
#»
a ×b
h
#»
c
#»
b
#»
a
G. Matthies
F
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32/53
Eigenschaften des Spatprodukts
#»
#»
• Für die Koordinateneinheitsvektoren e#»
x , ey und ez stellt der
Spat einen Würfel mit Kantenlänge 1 dar. Es gilt
[e#»x , e#»y , e#»z ] = (e#»x × e#»y ) · e#»z = e#»z · e#»z = 1.
• Da ( #»
u × #»
v ) zu #»
u und #»
v orthogonal ist, gilt
[ #»
u , #»
v , #»
u ] = ( #»
u × #»
v )· #»
u = 0,
[ #»
u , #»
v , #»
v ] = ( #»
u × #»
v )· #»
v = 0.
#» ∈ R3 gelten
• Für beliebige Vektoren #»
u , #»
v,w
#»] = [ #»
#», #»
#», #»
[ #»
u , #»
v,w
v,w
u ] = [w
u , #»
v ] (zyklisches Vertauschen)
und
• VSpat
G. Matthies
#»] = −[ #»
#», #»
[ #»
u , #»
v,w
u,w
v ].
1 #» #» #» #»], V
[u , v , w]
= [ #»
u , #»
v,w
Tetraeder =
6
Grundlagen Mathematik
33/53
Geraden im Raum I
Gegeben seien ein Punkt P0 = (ax , ay , az ) mit zugehörigem Orts# »
vektor #»
r 0 = OP0 und ein Vektor
 
sx
#»
s = sy  .
sz
Wir betrachten die Gerade durch P0 in Richtung #»
s . Wenn P ein
beliebiger Punkt auf der Gerade ist, dann gilt für den zugehörigen
# »
Ortsvektor #»
r = OP, dass es einen reellen Parameter λ derart gibt,
dass
#»
r = r#»0 + λ #»
s
gilt. Wir nennen r#» den Aufpunkt und #»
s die Richtung der Geraden.
0
Diese Geradendarstellung wird als Punkt-Richtungsform bezeichnet.
G. Matthies
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34/53
Geraden im Raum II
Gegeben seien zwei verschieden Punkte P0 und P1 einer Gera# »
den. Dann lässt sich die Richtung durch P0 P1 festlegen. Für einen
beliebigen Punkt P mit zugehörigem Ortsvektor #»
r gilt dann
# »
#»
r = r#»0 + λP0 P1
mit dem reellen Parameter λ. Dies ist die Zwei-Punkte-Form der
Geradengleichung.
G. Matthies
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35/53
Geradengleichung
P
P0
g
#»
s
#»
r
r#»0
O
# »
# »
g : #»
r = r#»0 + λ #»
s = OP0 + λP0 P1 ,
λ∈R
Eine Veränderung des Aufpunktes bewirkt eine Parallelverschiebung der Geraden. Ändert sich die Richtung, so wird die Gerade
gedreht, wobei P0 bzw. r#»0 fest bleibt.
G. Matthies
Grundlagen Mathematik
36/53
Lot auf eine Gerade I
P1
P∗
P0
#»
s
g
r#»1
#»
r∗
r#»0
O
G. Matthies
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37/53
Lot auf eine Gerade II
Gegeben: Punkt P1 , Gerade g
Gesucht: Fußpunkt P ∗ des Lots von P1 auf g
Lösung:
# » ∗
#»∗
• P1 hat Ortsvektor r#»
1 = OP1 , P den Ortsvektor r
# »
• #»
r = r#»0 + λ #»
s , λ ∈ R mit Richtungsvektor #»
s und r#»0 = OP0
# »
• für kürzesten Abstand: P ∗ P1 senkrecht zu #»
s
# »
=⇒ 0 = (P ∗ P1 ) · #»
s = (r#»1 − #»
r ∗ ) · #»
s
• da P ∗ in g : es gibt Parameter λ∗ mit
# »
#»
r ∗ = OP ∗ = r#»0 + λ∗ #»
s
• Einsetzen: 0 = ( #»
r 1 −( #»
r 0 +λ∗ #»
s ))· #»
s = (r#»1 − r#»0 )· #»
s −λ∗ #»
s · #»
s
(r#»1 − r#»0 ) · #»
s
• Umstellen und #»
s · #»
s = | #»
s |2 nutzen: λ∗ =
#» 2
• #»
r ∗ durch Einsetzen von λ∗ bestimmen
G. Matthies
Grundlagen Mathematik
|s |
38/53
Abstand zu einer Geraden I
P1
r#»1 − r#»0
d
g
#»
s
P0
r#»0
r#»1
O
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39/53
Abstand zu einer Geraden II
Darstellung der Fläche F des Parallelogramms
• Betrag des Vektorprodukts
# »
F = P0 P1 × #»
s
• Produkt aus der Höhe d und der Länge der Grundseite #»
s
F = d | #»
s|
Gleichsetzen liefert
# »
d | #»
s | = P0 P1 × #»
s ,
was zu
# »
s
P0 P1 × #»
|(r#»1 − r#»0 ) × #»
s|
d=
=
#»
#»
|s |
|s |
führt
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Lage von Geraden zueinander
Gegeben: Gerade g1 : #»
r = r#»1 + λs#»1 , λ ∈ R,
#»
Gerade g2 : r = r#»2 + µs#»2 , µ ∈ R
Gesucht: gegenseitige Lage der beiden Geraden
Lösung:
• s#»1 und s#»2 sind kollinear
* r#»1 ∈ g2 =⇒ g1 und g2 sind identisch
* r#» 6∈ g =⇒ g und g sind parallel, aber nicht identisch
1
2
1
2
• s#»1 und s#»2 sind nicht kollinear
* Die Geraden g1 und g2 schneiden sich
=⇒ Es gibt Parameter λ, µ ∈ R mit
r#»1 + λs#»1 = r#»2 + µs#»2
* Die Geraden g1 und g2 sind zueinander windschief
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Abstand zweier Geraden
Gegeben: Gerade g1 : #»
r = r#»1 + λs#»1 , λ ∈ R,
#»
Gerade g2 : r = r#»2 + µs#»2 , µ ∈ R
Gesucht: Abstand der beiden Geraden
Lösung:
• s#»1 und s#»2 sind kollinear
* r#» ∈ g
1
2
=⇒ Abstand ist 0
* r#»1 6∈ g2
=⇒ Abstand gleich Abstand eines beliebigen Punktes
von g2 zu g1
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Abstand zweier Geraden
Gegeben: Gerade g1 : #»
r = r#»1 + λs#»1 , λ ∈ R,
#»
Gerade g2 : r = r#»2 + µs#»2 , µ ∈ R
Gesucht: Abstand der beiden Geraden
Lösung:
• s#» und s#» sind nicht kollinear
1
2
* Der kürzeste Abstand liegt dann vor, wenn wir #»
u ∈ g1
#»
und v ∈ g2 derart gefunden haben, dass die Verbinu − #»
v senkrecht auf den beiden Richtungsdungsstrecke #»
#»
vektoren s1 und s#»2 steht.
#»
* Da #»
c := s#»1 × s#»2 6= 0 nach der Definition des Vektorprodukts senkrecht auf s#»1 und s#»2 steht, muss #»
u − #»
v ein
Vielfaches von c sein.
* Es muss also
#»
u − #»
v = (r#»1 + λs#»1 ) − (r#»2 + µs#»2 ) = ν #»
c
gelten (LGS für λ, µ und ν).
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Abstand zweier windschiefer Geraden I
s#»1
r#»1 − r#»2
g1
d
r#»1
s#»1
s#»2
g2
r#»2
O
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Abstand zweier windschiefer Geraden II
Darstellung des Spatvolumenns V
• Spatprodukt
V = [s#»1 , s#»2 , r#»1 − r#»2 ]
• Produkt aus der Höhe d und dem Inhalt F der Grundfläche
V = F d = |s#»1 × s#»2 | d
Gleichsetzen und Umstellen liefert
#» #» #» #» [s1 , s2 , r1 − r2 ]
d=
|s#»1 × s#»2 |
Mit dieser Methode kann der Abstand direkt bestimmt werden.
Allerdings erfordert das Bestimmen der Punkte, die den kürzesten
Abstand vermitteln, weitere Rechnungen.
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Ebenen im Raum
Gegeben:
Gesucht:
Lösung:
Gegeben:
Gesucht:
Lösung:
G. Matthies
# »
Punkt P0 mit Ortsvektor r#»0 = OP0 ,
#»
zwei nicht kollineare Vektoren #»
a , b ∈ R3
Ortsvektor #»
r eines beliebigen Punktes P der Ebene
#»
durch P0 , die von #»
a und b aufgespannt wird
#»
E : #»
r = r#»0 + λ #»
a + µ b , λ, µ ∈ R
Punkte P1 , P2 , P3 , die nicht auf einer Geraden liegen
Ebene E durch diese drei Punkte
#»
E : #»
r = r#»1 + λ #»
a + µ b , λ, µ ∈ R
# »
#» # »
# »
mit #»
a = P1 P2 , b = P1 P3 , r#»1 = OP1
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Normalenvektor
Definition
#»
Jeder Vektor #»
n 6= 0 , der senkrecht auf den beiden Richtungs#»
vektoren #»
a und b der Ebene E steht, heißt Normalenvektor der
Ebene E . Ein Normalenvektor #»
n mit | #»
n | = 1 heißt Einheitsnormalenvektor oder Normaleneinheitsvektor.
Bemerkung
#»
Nach den Eigenschaften des Vektorprodukts ist #»
a × b ein Nor#»
malenvektor jeder Ebene E , die durch #»
a und b aufgespannt wird.
Es lässt sich zeigen, dass jeder Normalenvektor von E ein Vielfa#»
ches von #»
a × b ist.
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Hessesche Normalform I
%
#»
n
#»
r
ϕ
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E
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Hessesche Normalform II
Ebene E : #»
r = r#»0 + λs#»1 + µs#»2 , λ, µ ∈ R mit Normaleneinheitsvektor #»
n
Nach der Definition des Normalenvektors gilt
Gegeben:
#»
r · #»
n = (r#»0 + λs#»1 + µs#»2 ) · #»
n
#»
#»
#»
#»
= r0 · n + λ s1 · n +µ s#»2 · #»
n
| {z }
| {z }
=0
=0
= r#»0 · #»
n
Der Normaleneinheitsvektor n sei so gewählt, dass es vom Ursprung zur Ebene zeigt. Dann gilt für #»
r ∈ E:
% = #»
r · #»
n = | #»
r | | #»
n | cos(ϕ) = | #»
r | cos(ϕ) ≥ 0
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Hessesche Normalform III
Hessesche Normalform der Ebene E :
#»
n · #»
r = % bzw. nx x + ny y + nz z = %
mit
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 
nx
#»

n = ny  ,
nz
 
x
#»

r = y
z
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Allgemeine Koordinatenform einer Ebene
Gegeben seien a, b, c, d ∈ R mit
 
a
b  6= #»
0
c
Dann heißt
ax + by + cz = d,
allgemeine Koordinatendarstellung einer Ebene. Der Vektor
 
a
b 
c
ist Normalenvektor von E , hat aber nicht notwendig mit Länge 1.
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Lot auf eine Ebene
#»
Ebene E : #»
r = r#»0 + λ #»
a + µ b , λ, µ ∈ R,
#»
#»
c := #»
a ×b
P1
r#»1 − #»
r∗
E
r#»1
#»
r∗
P∗
O
#»
Löse LGS r#»1 − (r#»0 + λ∗ #»
a + µ∗ b ) = ν #»
c für λ∗ , µ∗ , ν ∈ R
Abstand: d = |ν #»
c|
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Abstand zu einer Ebene
Ebene in Hessescher Normalform #»
n · #»
r = %, % = #»
n · r#»0
P1 = (px , py , pz )
d
r#»1 − r#»0
#»
n
E
r#»1
r#»0
O
d = #»
n · (r#»1 − r#»0 ) = | #»
n · r#»1 − %| = |nx px + ny py + nz pz − %|
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Schnittgerade zweier Ebenen
Gegeben: zwei Ebenen in Hessescher Normalform
E1 : n#»1 · #»
r = %1 ,
E2 : n#»2 · #»
r = %2
Sind die Normaleneinheitsvektoren n#»1 und n#»2 nicht kollinear, dann
schneiden sich die beiden Ebenen E1 und E2 in einer Geraden g .
Der Richtungsvektor #»
s von g muss in E1 und E2 liegen. Damit
muss er senkrecht auf beiden Vektoren n#»1 und n#»2 stehen. Somit
lässt sich #»
s = n#»1 × n#»2 wählen.
Zur Bestimmung eines Aufpunktes wird eine beliebige Lösung (x, y , z)
des linearen Gleichungssystems
n1x x + n1y y + n1z z = %1 ,
n2x x + n2y y + n2z z = %2 ,
ermittelt.
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