Grundlagen der Computertechnik
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Grundlagen der Computertechnik Aufbau von Computersystemen und Grundlagen des Rechnens Walter Haas PROLOG WS2012 Automation Systems Group E183-1 Institute of Computer Aided Automation Vienna University of Technology email: [email protected] Grundfragen Auf der Suche nach dem Grundbaustein der Information 2 Was ist Information? Information ist Information Information ist weder Materie noch Energie Informationsmenge „Erkenntnisinteresse“ des Empfängers „Überraschungswert“ einer Nachricht Beseitigen oder Verkleinern von Ungewissheit Klassische Informationstheorie Claude E. Shannon (1916-2001) A Mathematical Theory of Communication Shannon (1948), Untersuchungen zum Informationstransport über einen Nachrichtenkanal Informationsgehalt eines Zeichens Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Zeichens in einer Nachricht Folge unabhängiger Zeichen Informationssumme der Einzelzeichen => Informationsgehalt der Nachricht 3 Wie kann man Information messen ? Entscheidung zwischen zwei Alternativen Einfachste Grundsituation im Informationsaustausch Per Definition Grundeinheit der Information Bit („Binary Digit“) 1 Bit entspricht dem Informationsgehalt einer Entscheidung zwischen 2 Alternativen („Ja-Nein-Entscheidung“). Jede Information ist als Folge von „binären“ Entscheidungen darstellbar Jedes zusätzliche Bit Information verdoppelt John W. Tukey (1915-2000) die Anzahl der Alternativen. Synonyme Zuordnungen: 1 - 0, Ja - Nein, Ein - Aus, Wahr - Falsch, High - Low, … 4 Technik der Informationsdarstellung Notwendig: Eindeutig unterscheidbare Zustände Mit 2 Zuständen einfach realisierbar! Relais Transistor ElektronenRöhre Schalter Lochstreifen Lochkarte Ringkernspeicher Strich-Code 5 Schaltalgebra Logik als Basis der Computerkonstruktion 6 Boolesche Algebra „Algebra der Logik“ (1847) Grundlage, um Logik formal auszudrücken Operationen mit „Aussagevariablen“ Aussagevariablen, Platzhalter für log. Aussagen Variable mit wahr oder falsch belegt. „Zweierschritt“ => 1 Bit Information George Boole (1815-1865) Weiterentwicklung durch Shannon (1938) => „Schaltalgebra“ Mathematische Behandlung komplexer elektrischer Systeme Schaltungen aus Relais und Schaltkontakten Struktur dargestellt durch mathematische Gleichungen 7 Logische Grundfunktionen Ein einfaches Modell für Aussagevariablen: Ventil / Schalter A in der linken Stellung • Aussage A ist wahr • Wasser / Strom fließt A=1 Logische Funktionen können durch Verknüpfen mehrerer Aussagevariablen gebildet werden! Ventil / Schalter A in der rechten Stellung • Aussage A ist falsch • Wasser / Strom gesperrt. A=0 8 Möglichkeit 1: Serienschaltung Gesamtaussage ist WAHR (1), wenn A UND B WAHR (1) sind! A B Wahrheitstabelle A B AB 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 9 Möglichkeit 2: Parallelschaltung Gesamtaussage ist WAHR (1), wenn A ODER B WAHR (1) ist oder beide WAHR (1) sind! A B Wahrheitstabelle A B AB 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 10 Möglichkeit 3: Negation Aussage NICHT A ist WAHR (1) wenn A FALSCH (0) ist! A Wahrheitstabelle A ¬A 1 0 0 1 11 Beispiel: Gasthaus „Zum Scharfen Eck“ 4 Kriterien müssen erfüllt sein, damit ein Gast willkommen ist: Der Gast ist nicht betrunken ¬ A Der Gast ist hungrig B C oder durstig Der Gast zahlt bar D Wahrheitstafel A B C D ¬ A BC ¬A(BC)D 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 12 Rechenregeln der Booleschen Algebra Assoziativgesetz (A B) C = A (B C) Kommutativgesetz AB=BA AB=BA Distributivgesetz A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) Weitere Umformungsregeln A0=0 A1=A AA=A A ¬A = 0 A0=A A1=1 AA=A A ¬A = 1 13 Berechnen der Schaltung aus der Wahrheitstafel 1. Schritt: „Auslesen“ der 1en… (¬A B C D) (¬A B ¬C D) (¬A ¬B C D) 2. Schritt: Distributivgesetz ¬A [(B C) (B ¬C) (¬B C)] D 3. Schritt: Assoziativ- und Distributivgesetz ¬A {[B (C ¬ C)] (¬B C)] D 4. Schritt: A ¬A = 1 ¬A {[B 1] (¬B C)} D 5. Schritt: A 1 = A ¬A [B (¬B C)] D 6. Schritt: Distributivgesetz + Vereinfachen ¬A [(B ¬B) (B C)] D 7. Schritt: A ¬A = 1 und A 1 = A ¬A (B C) D A BCD 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 F(A,B,C,D) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 14 Bauelemente Relais Zuse Z3 (1941) ca. 2000 Relais Harvard Mark II (1947) 15 Bauelemente Relais Zuse Z3 (1941) ca. 2000 Relais Harvard Mark II (1947) Elektronenröhre Colossus (1943), ca. 2500 Röhren ENIAC (1946) ca. 17 000 Röhren, 7000 Dioden, 1500 Relais 16 Bauelemente Relais Zuse Z3 (1941) ca. 2000 Relais Harvard Mark II (1947) Elektronenröhre Colossus (1943), ca. 2500 Röhren ENIAC (1946) ca. 17 000 Röhren, 7000 Dioden, 1500 Relais Transistor TRADIC (1955) ca. 700 Transistoren, 10 000 Dioden Mailüfterl (1958), ca. 3000 Transistoren, 5000 Dioden 0 nicht leitend leitend 1 17 Bauelemente Relais Zuse Z3 (1941) ca. 2000 Relais Harvard Mark II (1947) Elektronenröhre Colossus (1943), ca. 2500 Röhren ENIAC (1946) ca. 17 000 Röhren, 7000 Dioden, 1500 Relais Transistor TRADIC (1955) ca. 700 Transistoren, 10 000 Dioden Mailüfterl (1958), ca. 3000 Transistoren, 5000 Dioden Integrierte Schaltungen (ab 1961) IBM/360 Serie (ab 1964) Mikroprozessoren Intel 4004 (1971) ca. 2300 Transistoren Texas Instruments TMS1000 (1974) 18 Schaltsymbole (1) Logikgatter – Logische Grundfunktionen als Bauteile Beispiel: UND-Funktion Eingänge 0 oder 1 & Ausgang der Gesamtschaltung: • 0 (nicht leitend) • 1 (leitend) 19 Schaltsymbole (2) Grundfunktionen Negation (NOT-Gate) Konjunktion (AND-Gate) A A 1 & AB ≥1 AB =1 AB B Disjunktion (OR-Gate) A B ¬A Exklusives ODER (XOR): A B AB 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 A B A B = (A ¬B) (¬A B) 20 Schaltsymbole (3) Zutrittsfunktion „Zum Scharfen Eck“… A …als Gatterschaltung realisiert B 1 ≥1 & C D 21 Wurzeln des Rechnens Zahlensysteme und Rechenschaltungen 22 Dezimalsystem Positionssystem (Stellenwertsystem) Wertigkeit einer Ziffer abhängig von der Position innerhalb der Zahl Wertigkeiten sind Vielfache der Basis 10 Zeichenvorrat (Ziffernzeichen) 0, 1,…, 9 Sonderstellung der Ziffer 0 „...gilt allein nichts, außer wenn sie anderen Ziffern nachgesetzt wird, so erhöht sie deren Wert…“ Beispiel: zehntel hundertstel 7 8 9 5.3 1 tausend hundert zehn eins Adam Ries (1492 - 1559) = + + + + + 7 x 1000 8 x 100 9 x 10 5x1 3 x 1/10 1 x 1/100 (103) (102) (101) (100) (10-1) (10-2) 23 Alternative Zahlensysteme (1) „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.“ Art und Weise des Zählens Zahlendarstellung => Künstlich geschaffenes System In unabhängigen Kulturen unabhängig entwickelt Leopold Kronecker (1823 - 1891) Zählen im Dezimalsystem Historisch gewachsen Wahl der Basis 10 ist willkürlich „Zahl“ ist nur eine Abstraktion für eine „Anzahl von Dingen“ Rechnen = Zusammenrechen 24 Alternative Zahlensysteme (2) Allgemeines Positionssystem mit Basis b > 1 Ziffernzeichen ai : 0 ... (b-1) (... a3 a2 a1 a0 a-1 ...)b = ... + a3 b3 + a2 b2 + a1 b1 + a0 b0 + a-1 b-1 + ... Binärsystem (Basis b = 2) 2 Ziffernzeichen: 0 und 1 Beispiel: (1010.1)2 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 1 x 2-1 Hexadezimalsystem (Basis b = 16) 16 Ziffernzeichen: 0 ... 9, A ... F Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) Beispiel: (A9.E)16 = 10 x 161 + 9 x 160 + 14 x 16-1 25 Rechnen im Binärsystem Rechenvorschriften analog zum Dezimalsystem Stellenweise, rechts beginnen, bei Bedarf Übertrag auf nächste Stelle Addition 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1 + 1 = 10 Übertrag 1 11011 1010 1 1 0 1 0 Übertrag 100101 Subtraktion 0 -0=0 1 -0=1 10 - 1 = 1, Übertrag 1 1 -1=0 10001 - 1010 1 1 1 0 Übertrag 00111 26 Konstruktion eines Addierers für Binärzahlen Logische Schaltung zum Addieren einer Stelle zweier Binärzahlen Eingänge ai und bi für die Summanden Ausgang für die Summe si Ausgang für den Übertrag ci bi + ai si ci Übertragen der Rechenregeln in eine Wahrheitstabelle 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1 + 1 = 10 Übertrag 1 ai bi si ci 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 27 Konstruktion eines Addierers für Binärzahlen (2) Auslesen der 1en aus der Wahrheitstabelle ai bi si ci si = (ai ¬bi) (¬ai bi) = ai bi ci = ai bi 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 Fertige Addier-Schaltung ai bi si ci 28 Addition mehrstelliger Binärzahlen Problem: Was passiert mit Übertrag ci-1? ai bi HA ai bi ci-1 ci-1 bi ai ci si „Halbaddierer“ HA HA s‘ c‘ si ≥1 ci VA ci si „Volladdierer“ Beispiel: 4 Bit Addierer 29 Zahlendarstellungen Grundlagen der Computerarithmetik 30 Die Welt der Zahlen Negative Zahlen? -1, -2,… , ,… Rationale Die Welt besteht Zahlen? nicht nur aus positiven ganzen Wie lassen sich Zahlen!!! Reelle Zahlen? , solche Zahlen in einem Computer mit „0“ und „1“ darstellen? 31 Negative Zahlen Wie lassen sich positive und negative Zahlen unterscheiden? Vorzeichen: + 11 7 - 11 7 + positiv - negativ Vorzeichen Betrag Darstellung in 0 und 1 Idee: Reservieren 1 Bit mit fester Position für Vorzeichen! (1110101)2 = (117)10 • 0 => positiv (+) • 1 => negativ (-) 1 1 1 1 0 1 0 1 = (-117)10 Feste Wortlänge (!) 32 Darstellung mit Vorzeichen und Betrag Zahlenkreis 1111 15 -7 1110 Positive Zahlen 0000 0 0001 1 2 -6 14 1101 3 0011 -5 13 -4 1100 12 4 Negative Zahlen 0100 5 0101 -3 1011 11 1010 0010 -2 10 6 9-1 1001 -0 8 1000 7 0110 0111 33 Einerkomplement Positive Zahlen Betrag als Dualzahl 1111 -0 1110 Negative Zahlen Invertieren der Bits des Betrags 0 => 1 1 => 0 0000 0 0001 1 2 -1 1101 3 0011 -2 1100 -3 4 0 1 0 1 = (5)10 1010 0100 5 0101 1011 -4 Beispiel: 0010 6 -5 -6 1001 -7 1000 7 0110 0111 1 0 1 0 = (-5)10 34 Zweierkomplement Positive Zahlen Betrag als Dualzahl 1111 Negative Zahlen Einerkomplement + 1 0 0001 1 2 -2 1101 Beispiel: -1 1110 0000 0010 3 0011 -3 1100 -4 4 0100 0 1 0 1 = (5)10 5 0101 1011 -5 1010 +0001 Einerkomplement 1 0 1 1 = (-5)10 1010 6 -6 -7 1001 -8 1000 7 0110 0111 35 Rechnen im Zweierkomplement Vorteil der Zweierkomplementdarstellung: Algebraische Vorzeichenregeln ergeben sich auf natürliche Weise! Keine separate Subtraktion notwendig. Beispiel: (7)10 – (4)10 (4 Bit Darstellung) 1.Schritt: Zweierkomplement (4)10 = (0100)2 0100 Einerkomplement 1011 +0 0 0 1 1100 = (-4)10 2.Schritt: Addition 0111 + 1100 1 1 0 0 Übertrag 0011 Führende 1 durch begrenzte Wortbreite verloren 36 Rationale und Reelle Zahlen Numerische Berechnungen Oft sind Berechnungen mit „gebrochenen“ Zahlen notwendig Erforderlich => Darstellung reeller Zahlen in Computern Naheliegende Idee: „Festpunkt-Zahlensystem“ Feste Unterteilung der Stellen Vorkommastellen Nachkommastellen Vorzeichen (0 ⇒positiv, 1 ⇒negativ) Gesamtlänge VZ 1 Bit Vorkommateil (g) Nachkommateil (n) „Binärpunkt“ oder „Dezimalpunkt“ 37 Vorteile-/Nachteile der Festpunktdarstellung Vorteile Für den Menschen leicht verständlich Addition/Subtraktion einfach Multiplikation/Division mit Skalierungsfaktor möglich Nachteile Intervall zwischen größter und kleinster darstellbarer Zahl klein Position des Binärpunktes fix Keine flexible Aufteilung zwischen Vorkomma-/Nachkommateil Wünschenswert: Große Zahlen mit wenigen Nachkommastellen Kleine Zahlen mit vielen Nachkommastellen Lösung: Gleitpunkt-Darstellung 38 Gleitpunktdarstellung (1) Grundidee Jede Zahl erhält einen individuellen Skalierungsfaktor Wahl des Skalierungsfaktors: bk (abhängig von Basis b) bk entspricht Verschieben des Binär-/Dezimalpunktes um k Stellen Anpassung der Genauigkeit an Größenordnung der Zahl Große Zahlen, weniger Nachkommastellen Kleine Zahlen, mehr Nachkommastellen Beispiele (dezimal): 123 10 123000000000 123 10 0.000000123 39 Gleitpunktdarstellung (2) Mehrdeutigkeit der Darstellung Mit verschiedenen Skalierungsfaktoren mehrere Darstellungen für die selbe Zahl Beispiel (dezimal): 123 10 12.3 10 0.123 10 123000000000 Lösung: Normalisierte Form der Darstellung Eingeschränkte Wahl der Skalierung Position des Binärpunktes so, dass erste Ziffer immer ungleich 0 ! Beispiele (dezimal): 1.23 10 123000000000 1.23 10 0.000000123 40 Codierung einer Binären Gleitpunktzahl Reserviere in einer Folge von Binärziffern Felder fester Länge für Vorzeichenbit (0 ⇒positiv, 1 ⇒ negativ) Exponent ohne Basis ( Stellen) Mantisse = Ziffern der Zahl Stellen) VZ Exponent Mantisse Indizierung Bitnummer msb lsb 1 Bit 41 Rechnen mit Gleitpunktzahlen Beispiel: Addition 1.23 10 ≡ 123000 2.00 10 ≡ 2000 Addition Schritt 1: Angleichen der Exponenten „Rechtsschieben“ der Zahl mit dem kleineren Exponenten 1.23 10 0.02 10 Addition Schritt 2: Addieren der Mantissen 1.23 0.02 10 1.25 10 Addition Schritt 3: Normalisieren des Ergebnisses Wenn Vorkommateil 0 oder mehrstellig (>9) ist! Im Beispiel ist das Ergebnis bereits normalisiert. 42 Genauigkeit von Fließpunktzahlen (1) Endliche Stellenanzahl der Computerzahlen Endlicher Vorrat an Fließpunktzahlen Die Zahlengerade weist Lücken auf Nur wenige Reelle Zahlen sind genau darstellbar! -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Beschränkte Menge von Fließpunktzahlen Selbst einfache (Dezimal-)Zahlen lassen sich binär nicht genau angeben! Ergebnis einer Rechenoperation fällt nicht immer genau auf eine darstellbare Fließpunktzahl. Zahlen und Rechenergebnisse müssen gerundet werden Runden = Abbildung auf Menge der darstellbaren Fließpunktzahlen Konsequenz: Rechnungen sind mit Ungenauigkeiten behaftet! 43 Genauigkeit von Fließpunktzahlen (2) Beispiel: Umwandeln von (0.1)10 ins Binärsystem 0.1 x 2 = 0.2 0 0.2 x 2 = 0.4 0 0.4 x 2 = 0.8 0 0.8 x 2 = 1.6 1 0.6 x 2 = 1.2 1 0.2 x 2 = 0.4 0 … … Ergebnis ist eine periodische Binärzahl: 0.0001100110011001100110011… Wie groß ist der Rundungsfehler? Angenommen: Nur 5 Nachkommastellen darstellbar, restliche Stellen werden abgeschnitten Rückrechnung: 0.00011 2 2 0.0625 0.03125 Absoluter Rundungsfehler: 0.1 0.09375 0.00625 0.09375 44 Auswirkung von Rundungsfehlern Algebraische Gesetze teilweise nicht mehr gültig Assoziativgesetz: 1.23 0.0153 0.456 (Kaufm. Runden auf 3 Stellen) 1.23 0.0153 1.2453 1.25 0.0153 0.456 0.456 1.706 0.4713 0.471 0.471 1.701 1.23 1.25 1.71 1.70 Fehler pflanzen sich fort Instabilitäten bei numerischen Berechnungen Mangelnde Zuverlässigkeit von Ergebnissen Extremfall: Auslöschungseffekt Beispiel: 3.34 4 1.22 2.28(Kaufm. Runden auf 3 Stellen) 3.34 11.1556 11.2 4 1.22 2.28 11.1264 11.1 Ergebnis mit Rundungsfehler: 11.2 Exaktes Ergebnis: 0.0292 11.1 0.1 45 Zusammenfassung Information Minimaler Informationsgehalt => Entscheidung zwischen 2 Alternativen Klassische Informationstheorie von Shannon 1 Bit als kleinste Informationseinheit Schaltalgebra Logik als Grundlage der Computerkonstruktion (Boolesche Algebra) Grundfunktionen: UND, ODER und Negation Ermöglicht Systematische Berechnung von Schaltfunktionen Zahlensysteme Unterscheidung Zahl und Zahlendarstellung Positionssystem als verallgemeinerte Darstellung Binäre Zahlendarstellung im Computer Darstellung negativer Zahlen durch Zweierkomplement Darstellung Reeller Zahlen durch Gleitpunktdarstellung 46 Quellenangaben Charles Petzold CODE, The Hidden Language of Computer Hardware and Software Microsoft Press 2000 H. R. Wieland Computergeschichte(n) – nicht nur für Geeks. Von Antikythera zur Cloud Galileo Computing, 2011 Friedrich L. Bauer Historische Notizen zur Informatik Springer Verlag, 2009 Walter R. Fuchs Knaurs Buch der Denkmaschinen Droemer Knaur, 1968 David Goldberg What Every Computer Scientist Should Know About Floating Point Arithmetic ACM Computing Surveys, Vol. 23, No. 1, March 1991 WIKIPEDIA www.wikipedia.org Computer History Museum www.computerhistory.org The Antique Chip Collectors Page www.antiquetech.com The MacTutor History of Mathematics Archive www.history.mcs.st-andrews.ac.uk ORACLE ThinkQuest – Computer History http://library.thinkquest.org/18268/History/ 47
