Zufallsgrößen – Übungen Lektion 08 1. Bei einer Lotterie enthält die

Zufallsgrößen – Übungen
Lektion 08
1. Bei einer Lotterie enthält die Lostrommel 100 Lose; darunter sind der Hauptgewinn von 20
€, 15 Gewinne von 2 € und 25 Gewinne von 1 € die restlichen 59 Lose sind Nieten.
Wie groß ist der "mittlere Gewinn" für eine Los, d.h. mit welchem Gewinn kann man bei
dieser Lotterie durchschnittlich rechnen ?
2. Zwei Spieler vereinbaren das folgende Spiel: Spieler A wirft dreimal eine Münze; für jeden
Wurf mit dem Ergebnis w erhält er 1 €; fällt dagegen dreimal z, so muß er 8 € an den
Spieler B zahlen.
Kann der Spieler A auf lange Sicht mit einem Gewinn rechnen ?
Wieviel € müsste der Spieler A an den Spieler B bei dreimal z zahlen, damit das Spiel fair
ist ?
3. Für Geldspielautomaten schreibt der Gesetzgeber vor, dass bei einer Spieldauer von
höchstens 30 Sekunden der Erwartungswert des Spielgewinnes mindestens 60 % des
Einsatzes betragen muss.
Der Einsatz pro Spiel betrage 20 Ct. Zahlreiche Beobachtungen über jeweils höchstens 30
Sekunden ergaben folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten:
Gewinn in €
Wahrscheinlichkeit
0,2
0,1
0,5
0,05
1
0,03
2
0,01
0
0,81
Sind die Vorschriften erfüllt ?
4. Ein Glücksmünze wird mit den Zahlen 2 und z überklebt.
Welche Zahl muss man für z einsetzen, wenn die Summe der Zahlen aus 3 Würfen den
Erwartungswert 12 haben soll ?
Berechne in diesem Fall die Varianz und die Standardabweichung.
5. Ein Glücksrad erzeugt die Zahlen 2 und 5 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,7 bzw. 0,3.
a) Ein Zufallsexperiment besteht darin, das Glücksrad dreimal zu drehen und die Summe
der Zahlen festzustellen. Die Zufallsgröße Y beschreibe diese Summe.
Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von Y.
b) Das Glücksrad wird nun so oft gedreht, bis die Summe der Zahlen mindestens 8 beträgt.
Erstelle ein Baumdiagramm mit Angabe aller Wahrscheinlichkeiten.
Wie oft muss im Mittel gedreht werden ?
c) Ein Glücksrad mit der Wahrscheinlichkeit p für die Zahl 2 und der Wahrscheinlichkeit 1-p
für die Zahl 5 wird bei einem Glücksspiel verwendet.
Der Einsatz beträgt 1 €. Das Rad wird zweimal gedreht. Erscheint zweimal die Zahl 5,
so erhält der Spieler 2 € ausbezahlt, erscheint zweimal die Zahl 2, so erhält der Spieler
1 € ausbezahlt. In den anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
Wie groß muss p gewählt werden, damit das Spiel fair ist ?
Lösungen
1. X: Gewinn bei diesem Spiel
k
P (X=k)
E( X )= 200 ⋅
20
1
100
2
15
100
1
25
100
0
59
100
2
3
8
3
1
8
1
15
25
59
+ 2⋅
+ 1⋅
+ 0⋅
= 0, 75(€)
100
100
100
100
2. X: Gewinn des Spielers A
k
P (X=k)
-8
1
8
1
3
8
1
3
3
1
E( X )= −8 ⋅ + 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ = 0,375(€)
8
8
8
8
1
3
3
1
E( X )= − z ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ = 0
8
8
8
8
liefert z = 12
3. X: Gewinn
E (X) = 0,2 ⋅ 0,1 + 0,5 ⋅ 0,05 + 1 ⋅ 0,03 + 2 ⋅ 0,01 + 0 ⋅ 0,81 = 0,095 (= 9,5 Ct.) = 46,5 % von
20 Ct., d.h. Vorschrift nicht erfüllt.
4. X: Summe
k
P (X=k)
E( X ) =
6
1
8
2+2z
3
8
4+z
3
8
3z
1
8
12
3 ⋅ 0, 7 ⋅ 0,32
15
0,33
12 z + 26
8
E ( X ) = 12 liefert z = 6
V (X) = ...
σ (X) = ...
5. a)
yi
P (Y=yi)
E (Y) = 8,7
6
0, 73
V (Y) = 5,67
9
3 ⋅ 0, 7 2 ⋅ 0,3
b) X: Anzahl Drehungen bis Summe=8
Baum zeichnen
k
P (X=k)
2
0,33
3
2 ⋅ 0, 7 ⋅ 0,3 + 0,3 ⋅ 0, 7 2
4
0, 73
1
(1 − p ) 2
0
p2
-1
2 p ⋅ (1 − p )
2
E (X) = 3,253
c) Z: Gewinn
k
P (Z=k)
E(Z)= 3p2 –4p +1
E(Z) = 0 liefert p1 = 1 (kein Glücksspiel) und p2 = 1/3