Zufallsgrößen – Übungen Lektion 08 1. Bei einer Lotterie enthält die Lostrommel 100 Lose; darunter sind der Hauptgewinn von 20 €, 15 Gewinne von 2 € und 25 Gewinne von 1 € die restlichen 59 Lose sind Nieten. Wie groß ist der "mittlere Gewinn" für eine Los, d.h. mit welchem Gewinn kann man bei dieser Lotterie durchschnittlich rechnen ? 2. Zwei Spieler vereinbaren das folgende Spiel: Spieler A wirft dreimal eine Münze; für jeden Wurf mit dem Ergebnis w erhält er 1 €; fällt dagegen dreimal z, so muß er 8 € an den Spieler B zahlen. Kann der Spieler A auf lange Sicht mit einem Gewinn rechnen ? Wieviel € müsste der Spieler A an den Spieler B bei dreimal z zahlen, damit das Spiel fair ist ? 3. Für Geldspielautomaten schreibt der Gesetzgeber vor, dass bei einer Spieldauer von höchstens 30 Sekunden der Erwartungswert des Spielgewinnes mindestens 60 % des Einsatzes betragen muss. Der Einsatz pro Spiel betrage 20 Ct. Zahlreiche Beobachtungen über jeweils höchstens 30 Sekunden ergaben folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten: Gewinn in € Wahrscheinlichkeit 0,2 0,1 0,5 0,05 1 0,03 2 0,01 0 0,81 Sind die Vorschriften erfüllt ? 4. Ein Glücksmünze wird mit den Zahlen 2 und z überklebt. Welche Zahl muss man für z einsetzen, wenn die Summe der Zahlen aus 3 Würfen den Erwartungswert 12 haben soll ? Berechne in diesem Fall die Varianz und die Standardabweichung. 5. Ein Glücksrad erzeugt die Zahlen 2 und 5 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,7 bzw. 0,3. a) Ein Zufallsexperiment besteht darin, das Glücksrad dreimal zu drehen und die Summe der Zahlen festzustellen. Die Zufallsgröße Y beschreibe diese Summe. Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von Y. b) Das Glücksrad wird nun so oft gedreht, bis die Summe der Zahlen mindestens 8 beträgt. Erstelle ein Baumdiagramm mit Angabe aller Wahrscheinlichkeiten. Wie oft muss im Mittel gedreht werden ? c) Ein Glücksrad mit der Wahrscheinlichkeit p für die Zahl 2 und der Wahrscheinlichkeit 1-p für die Zahl 5 wird bei einem Glücksspiel verwendet. Der Einsatz beträgt 1 €. Das Rad wird zweimal gedreht. Erscheint zweimal die Zahl 5, so erhält der Spieler 2 € ausbezahlt, erscheint zweimal die Zahl 2, so erhält der Spieler 1 € ausbezahlt. In den anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung. Wie groß muss p gewählt werden, damit das Spiel fair ist ? Lösungen 1. X: Gewinn bei diesem Spiel k P (X=k) E( X )= 200 ⋅ 20 1 100 2 15 100 1 25 100 0 59 100 2 3 8 3 1 8 1 15 25 59 + 2⋅ + 1⋅ + 0⋅ = 0, 75(€) 100 100 100 100 2. X: Gewinn des Spielers A k P (X=k) -8 1 8 1 3 8 1 3 3 1 E( X )= −8 ⋅ + 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ = 0,375(€) 8 8 8 8 1 3 3 1 E( X )= − z ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ = 0 8 8 8 8 liefert z = 12 3. X: Gewinn E (X) = 0,2 ⋅ 0,1 + 0,5 ⋅ 0,05 + 1 ⋅ 0,03 + 2 ⋅ 0,01 + 0 ⋅ 0,81 = 0,095 (= 9,5 Ct.) = 46,5 % von 20 Ct., d.h. Vorschrift nicht erfüllt. 4. X: Summe k P (X=k) E( X ) = 6 1 8 2+2z 3 8 4+z 3 8 3z 1 8 12 3 ⋅ 0, 7 ⋅ 0,32 15 0,33 12 z + 26 8 E ( X ) = 12 liefert z = 6 V (X) = ... σ (X) = ... 5. a) yi P (Y=yi) E (Y) = 8,7 6 0, 73 V (Y) = 5,67 9 3 ⋅ 0, 7 2 ⋅ 0,3 b) X: Anzahl Drehungen bis Summe=8 Baum zeichnen k P (X=k) 2 0,33 3 2 ⋅ 0, 7 ⋅ 0,3 + 0,3 ⋅ 0, 7 2 4 0, 73 1 (1 − p ) 2 0 p2 -1 2 p ⋅ (1 − p ) 2 E (X) = 3,253 c) Z: Gewinn k P (Z=k) E(Z)= 3p2 –4p +1 E(Z) = 0 liefert p1 = 1 (kein Glücksspiel) und p2 = 1/3