Vektorrechnung

Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorrechnung
Fakultät Grundlagen
Juli 2015
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Übersicht
1
Grundsätzliches
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
2
Produkte
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
3
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnittaufgaben
Abstandsprobleme
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Vektorrechnung
Folie: 2
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Vorbemerkung
Bishere haben wir uns mit mathematischen Größen beschäftigt, die
sich durch Zahlenwerte beschreiben lassen. Zahlenwerte lassen sich
auf der Skala eines Messinstruments ablesen; man bezeichnet sie
deshalb als Skalare. Beispiele: Temperatur, Zeit, Masse, Arbeit,
Spannung, etc.
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Vektorrechnung
Folie: 3
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Vorbemerkung
Bishere haben wir uns mit mathematischen Größen beschäftigt, die
sich durch Zahlenwerte beschreiben lassen. Zahlenwerte lassen sich
auf der Skala eines Messinstruments ablesen; man bezeichnet sie
deshalb als Skalare. Beispiele: Temperatur, Zeit, Masse, Arbeit,
Spannung, etc.
Bei Größen wie Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung spielt
jedoch auch Richtung und Orientierung eine Rolle; so ist bei einer
Kraft neben der Angabe 5.3 Newton auch noch die Richtung und
Orientierung wichtig. Solche Größen nennt man Vektoren.
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Vektorrechnung
Folie: 3
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Vorbemerkung
Bishere haben wir uns mit mathematischen Größen beschäftigt, die
sich durch Zahlenwerte beschreiben lassen. Zahlenwerte lassen sich
auf der Skala eines Messinstruments ablesen; man bezeichnet sie
deshalb als Skalare. Beispiele: Temperatur, Zeit, Masse, Arbeit,
Spannung, etc.
Bei Größen wie Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung spielt
jedoch auch Richtung und Orientierung eine Rolle; so ist bei einer
Kraft neben der Angabe 5.3 Newton auch noch die Richtung und
Orientierung wichtig. Solche Größen nennt man Vektoren.
Wir unterscheiden deshalb streng zwischen skalaren und
vektoriellen Größen. Deshalb benutzen wir stets unterschiedliche
Darstellungsweisen!
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Folie: 3
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Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Vektor
Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im
Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile” als gleich angesehen, die
”
durch Parallelverschiebung ineinander übergehen.
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Folie: 4
Grundsätzliches
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Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Vektor
Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im
Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile” als gleich angesehen, die
”
durch Parallelverschiebung ineinander übergehen.
Bezeichnung: ~a .
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Vektor
Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im
Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile” als gleich angesehen, die
”
durch Parallelverschiebung ineinander übergehen.
Bezeichnung: ~a .
Vektoren besitzen Länge (Betrag),
Richtung und Orientierung.
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~a
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Folie: 4
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Vektor
Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im
Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile” als gleich angesehen, die
”
durch Parallelverschiebung ineinander übergehen.
Bezeichnung: ~a .
Vektoren besitzen Länge (Betrag),
Richtung und Orientierung.
Zwei Vektoren sind gleich, wenn
sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen.
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~a
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Vektor
Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im
Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile” als gleich angesehen, die
”
durch Parallelverschiebung ineinander übergehen.
Bezeichnung: ~a .
Vektoren besitzen Länge (Betrag),
Richtung und Orientierung.
Zwei Vektoren sind gleich, wenn
sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen.
Der Vektor mit dem Betrag Null
heißt Nullvektor o~ .
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~a
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Vektor
Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im
Raum. Dabei werden diejenigen Pfeile” als gleich angesehen, die
”
durch Parallelverschiebung ineinander übergehen.
Bezeichnung: ~a .
Vektoren besitzen Länge (Betrag),
Richtung und Orientierung.
Zwei Vektoren sind gleich, wenn
sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen.
Der Vektor mit dem Betrag Null
heißt Nullvektor o~ .
~a
Definiert werden hier sogenannte freie“ Vektoren; der
”
Anfangspunkt des Pfeils ist beliebig!
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Folie: 4
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten I
Vorbild: Kräfte (Kräfteparallelogramm), Geschwindigkeiten
Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt
des einen Vektors im Endpunkt des
anderen Vektors anhängt. Der Vektor
−~a hat Betrag und Richtung von ~a,
aber entgegengesetzte Orientierung.
~a
~b
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Folie: 5
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten I
Vorbild: Kräfte (Kräfteparallelogramm), Geschwindigkeiten
Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt
des einen Vektors im Endpunkt des
anderen Vektors anhängt. Der Vektor
−~a hat Betrag und Richtung von ~a,
aber entgegengesetzte Orientierung.
~b
~a
~a
~b
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Folie: 5
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Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten I
Vorbild: Kräfte (Kräfteparallelogramm), Geschwindigkeiten
Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt
des einen Vektors im Endpunkt des
anderen Vektors anhängt. Der Vektor
−~a hat Betrag und Richtung von ~a,
aber entgegengesetzte Orientierung.
~b
~a + ~b
~a
~a
~b
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Folie: 5
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten I
Vorbild: Kräfte (Kräfteparallelogramm), Geschwindigkeiten
Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt
des einen Vektors im Endpunkt des
anderen Vektors anhängt. Der Vektor
−~a hat Betrag und Richtung von ~a,
aber entgegengesetzte Orientierung.
Unter der Differenz ~a − ~b versteht
man ~a + (−~b).
Fakultät Grundlagen
~b
~a + ~b
~a − ~b
~a
Vektorrechnung
~a
~b
Folie: 5
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten I
Vorbild: Kräfte (Kräfteparallelogramm), Geschwindigkeiten
Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt
des einen Vektors im Endpunkt des
anderen Vektors anhängt. Der Vektor
−~a hat Betrag und Richtung von ~a,
aber entgegengesetzte Orientierung.
Unter der Differenz ~a − ~b versteht
man ~a + (−~b).
Definition: Unter s · ~a mit s > 0 verstehen wir einen Vektor, dessen Richtung und Orientierung mit ~a übereinstimmt, aber mit der s-fachen Länge.
Fakultät Grundlagen
~b
~a + ~b
~a − ~b
~a
Vektorrechnung
~a
~b
~a
Folie: 5
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten I
Vorbild: Kräfte (Kräfteparallelogramm), Geschwindigkeiten
Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt
des einen Vektors im Endpunkt des
anderen Vektors anhängt. Der Vektor
−~a hat Betrag und Richtung von ~a,
aber entgegengesetzte Orientierung.
Unter der Differenz ~a − ~b versteht
man ~a + (−~b).
Definition: Unter s · ~a mit s > 0 verstehen wir einen Vektor, dessen Richtung und Orientierung mit ~a übereinstimmt, aber mit der s-fachen Länge.
Fakultät Grundlagen
~b
~a + ~b
~a − ~b
~a
Vektorrechnung
~a
~b
3~a
~a
Folie: 5
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten I
Vorbild: Kräfte (Kräfteparallelogramm), Geschwindigkeiten
Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt
des einen Vektors im Endpunkt des
anderen Vektors anhängt. Der Vektor
−~a hat Betrag und Richtung von ~a,
aber entgegengesetzte Orientierung.
Unter der Differenz ~a − ~b versteht
man ~a + (−~b).
Definition: Unter s · ~a mit s > 0 verstehen wir einen Vektor, dessen Richtung und Orientierung mit ~a übereinstimmt, aber mit der s-fachen Länge.
Ist s negativ, so dreht sich noch die
Orientierung um.
Fakultät Grundlagen
~b
~a + ~b
~a − ~b
~a
Vektorrechnung
~a
~b
3~a
~a
Folie: 5
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten II
Die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten auch hier:
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Folie: 6
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten II
Die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten auch hier:
~a + ~b = ~b + ~a
Fakultät Grundlagen
Kommutativgeetz
Vektorrechnung
Folie: 6
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Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten II
Die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten auch hier:
~a + ~b = ~b + ~a
Kommutativgeetz
s · (t · ~a) = (s · t) · ~a
Assoziativgesetz
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Folie: 6
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Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten II
Die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten auch hier:
~a + ~b = ~b + ~a
Kommutativgeetz
s · (t · ~a) = (s · t) · ~a
Assoziativgesetz
s(~a + ~b) = s~a + s ~b
Distributivgesetz I
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Folie: 6
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Grundrechenarten II
Die üblichen Rechenregeln der Algebra gelten auch hier:
~a + ~b = ~b + ~a
Kommutativgeetz
s · (t · ~a) = (s · t) · ~a
Assoziativgesetz
s(~a + ~b) = s~a + s ~b
Distributivgesetz I
(s + t)~a =
s~a + t~a
Fakultät Grundlagen
Distributivgesetz II
Vektorrechnung
Folie: 6
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Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung
Kartesisches Koordinatensystem;
x3
~a
x1
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Vektorrechnung
x2
Folie: 7
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Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung
Kartesisches Koordinatensystem;
Dazu wählen wir drei Vektoren
e~1 , e~2 , e~3 der Länge 1 aus, die
paarweise aufeinander orthogonal
stehen.
Orientierung mit Rechte-Hand”
Regel“!
x3
~a
e~3
e~1
x1
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Vektorrechnung
e~2
x2
Folie: 7
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Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung
Kartesisches Koordinatensystem;
Dazu wählen wir drei Vektoren
e~1 , e~2 , e~3 der Länge 1 aus, die
paarweise aufeinander orthogonal
stehen.
Orientierung mit Rechte-Hand”
Regel“!
Alle Vektoren können als Linearkombination der Einheitsvektoren
dargestellt werden.
~a = a1 e~1 + a2 e~2 + a3 e~3
x3
a3
~a
a1
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
a2
x2
Folie: 7
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung
Kartesisches Koordinatensystem;
Dazu wählen wir drei Vektoren
e~1 , e~2 , e~3 der Länge 1 aus, die
paarweise aufeinander orthogonal
stehen.
Orientierung mit Rechte-Hand”
Regel“!
Alle Vektoren können als Linearkombination der Einheitsvektoren
dargestellt werden.
~a = a1 e~1 + a2 e~2 + a3 e~3
x3
a3 e~3
~a
a1 e~1
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
a2 e~2
x2
Folie: 7
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Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung
Kartesisches Koordinatensystem;
Dazu wählen wir drei Vektoren
e~1 , e~2 , e~3 der Länge 1 aus, die
paarweise aufeinander orthogonal
stehen.
Orientierung mit Rechte-Hand”
Regel“!
Alle Vektoren können als Linearkombination der Einheitsvektoren
dargestellt werden.
~a = a1 e~1 + a2 e~2 + a3 e~3
x3
a3 e~3
~a
a1 e~1
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
a2 e~2
x2
Folie: 7
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Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung
Kartesisches Koordinatensystem;
Dazu wählen wir drei Vektoren
e~1 , e~2 , e~3 der Länge 1 aus, die
paarweise aufeinander orthogonal
stehen.
Orientierung mit Rechte-Hand”
Regel“!
Alle Vektoren können als Linearkombination der Einheitsvektoren
dargestellt werden.
~a = a1 e~1 + a2 e~2 + a3 e~3


a1
Identifikation: ~a =  a2 
a3
Fakultät Grundlagen
x3
a3 e~3
~a
a1 e~1
x1
Vektorrechnung
a2 e~2
x2
Folie: 7
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung; Rechengesetze
In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit ~i, ~, ~k
bezeichnet.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 8
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Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung; Rechengesetze
In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit ~i, ~, ~k
bezeichnet.
Grundrechenoperationen übertragen sich auf die Koordinaten:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 8
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung; Rechengesetze
In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit ~i, ~, ~k
bezeichnet.
Grundrechenoperationen übertragen sich auf die Koordinaten:
Gleichheit von Vektoren
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 8
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Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung; Rechengesetze
In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit ~i, ~, ~k
bezeichnet.
Grundrechenoperationen übertragen sich auf die Koordinaten:
Gleichheit von Vektoren




a1 = b1
b1
a1
 a2  =  b2 
a2 = b2
⇐⇒
a3 = b3
b3
a3
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Vektorrechnung
Folie: 8
Grundsätzliches
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Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung; Rechengesetze
In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit ~i, ~, ~k
bezeichnet.
Grundrechenoperationen übertragen sich auf die Koordinaten:
Gleichheit von Vektoren




a1 = b1
b1
a1
 a2  =  b2 
a2 = b2
⇐⇒
a3 = b3
b3
a3
Addition und Subtraktion
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Vektorrechnung
Folie: 8
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Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung; Rechengesetze
In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit ~i, ~, ~k
bezeichnet.
Grundrechenoperationen übertragen sich auf die Koordinaten:
Gleichheit von Vektoren




a1 = b1
b1
a1
 a2  =  b2 
a2 = b2
⇐⇒
a3 = b3
b3
a3
Addition und

 
a1
 a2  ±
a3
Subtraktion
 

b1
a1 ± b1
b2  =  a2 ± b2 
b3
a3 ± b3
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 8
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung; Rechengesetze
In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit ~i, ~, ~k
bezeichnet.
Grundrechenoperationen übertragen sich auf die Koordinaten:
Gleichheit von Vektoren




a1 = b1
b1
a1
 a2  =  b2 
a2 = b2
⇐⇒
a3 = b3
b3
a3
Addition und

 
a1
 a2  ±
a3
Subtraktion
 

b1
a1 ± b1
b2  =  a2 ± b2 
b3
a3 ± b3
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
s-Multiplikation
Folie: 8
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Algebraisierung; Rechengesetze
In der Technik werden die Basisvektoren häufig mit ~i, ~, ~k
bezeichnet.
Grundrechenoperationen übertragen sich auf die Koordinaten:
Gleichheit von Vektoren




a1 = b1
b1
a1
 a2  =  b2 
a2 = b2
⇐⇒
a3 = b3
b3
a3
Addition und

 
a1
 a2  ±
a3
Subtraktion
 

b1
a1 ± b1
b2  =  a2 ± b2 
b3
a3 ± b3
Fakultät Grundlagen
s-Multiplikation

 

a1
s · a1
s· a2  =  s · a2 
a3
s · a3
Vektorrechnung
Folie: 8
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Länge, Betrag
x3
~a
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
x2
Folie: 9
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Länge, Betrag
x3
a3
~a
a1
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
a2
x2
Folie: 9
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Länge, Betrag
|~a∗ |
x3
q
=
a12 + a22
rechtwinkliges Dreieck in (x, y )-Ebene
a3
~a
a1
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
a2
x2
Folie: 9
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Länge, Betrag
|~a∗ |
x3
q
=
a12 + a22
rechtwinkliges Dreieck in (x, y )-Ebene
q
|~a| =
|~a∗ |2 + a32
a3
~a
rechtwinkliges Dreieck ⊥ (x, y )-Ebene
a1
a2
~∗
a
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
x2
Folie: 9
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Länge, Betrag
|~a∗ |
x3
q
=
a12 + a22
rechtwinkliges Dreieck in (x, y )-Ebene
q
|~a| =
|~a∗ |2 + a32
a3
~a
rechtwinkliges Dreieck ⊥ (x, y )-Ebene
q
=
a12 + a22 + a32
a1
a2
~∗
a
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
x2
Folie: 9
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Länge, Betrag
|~a∗ |
x3
q
=
a12 + a22
rechtwinkliges Dreieck in (x, y )-Ebene
q
|~a| =
|~a∗ |2 + a32
a3
~a
rechtwinkliges Dreieck ⊥ (x, y )-Ebene
q
=
a12 + a22 + a32
Normierung eines Vektors auf die
Länge 1; Einsvektor in Richtung ~a.
a1
a2
~∗
a
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
x2
Folie: 9
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Länge, Betrag
|~a∗ |
x3
q
=
a12 + a22
rechtwinkliges Dreieck in (x, y )-Ebene
q
|~a| =
|~a∗ |2 + a32
a3
~a
rechtwinkliges Dreieck ⊥ (x, y )-Ebene
q
=
a12 + a22 + a32
Normierung eines Vektors auf die
Länge 1; Einsvektor in Richtung ~a.
a1
e~~a = ~a
|~a|
a2
~∗
a
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
x2
Folie: 9
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Vektorbegriff
Algebraisierung der Vektorrechnung
Betrag
Länge, Betrag
|~a∗ |
x3
q
=
a12 + a22
rechtwinkliges Dreieck in (x, y )-Ebene
q
|~a| =
|~a∗ |2 + a32
a3
~a
rechtwinkliges Dreieck ⊥ (x, y )-Ebene
q
=
a12 + a22 + a32
Normierung eines Vektors auf die
Länge 1; Einsvektor in Richtung ~a.
a1
e~~a = ~a
|~a|
Vektor der Länge 1 mit Richtung
und Orientierung wie ~a
Fakultät Grundlagen
a2
~∗
a
x1
Vektorrechnung
x2
Folie: 9
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Produktmöglichkeiten
In der Vektorrechnung gibt es zwei Typen von Objekten:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 10
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Produktmöglichkeiten
In der Vektorrechnung gibt es zwei Typen von Objekten:
Vektoren: ~a, ~b
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 10
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Produktmöglichkeiten
In der Vektorrechnung gibt es zwei Typen von Objekten:
Vektoren: ~a, ~b
Skalare (Zahlen): 2, 4, s
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 10
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Produktmöglichkeiten
In der Vektorrechnung gibt es zwei Typen von Objekten:
Vektoren: ~a, ~b
Skalare (Zahlen): 2, 4, s
Bei der bereits eingeführten s-Multiplikation wurden verknüpft:
Skalar ?
Fakultät Grundlagen
Vektor
Vektorrechnung
Folie: 10
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Produktmöglichkeiten
In der Vektorrechnung gibt es zwei Typen von Objekten:
Vektoren: ~a, ~b
Skalare (Zahlen): 2, 4, s
Bei der bereits eingeführten s-Multiplikation wurden verknüpft:
Skalar ?
Vektor
Nun erklären wir Verknüpfungen:
Vektor ?
Vektor
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 10
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Produktmöglichkeiten
In der Vektorrechnung gibt es zwei Typen von Objekten:
Vektoren: ~a, ~b
Skalare (Zahlen): 2, 4, s
Bei der bereits eingeführten s-Multiplikation wurden verknüpft:
Skalar ?
Vektor
Nun erklären wir Verknüpfungen:
Vektor ?
Vektor
Das Ergebnis einer solchen Verknüpfung kann wieder ein Vektor
oder ein Skalar sein!
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 10
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Physikalisches Vorbild: Arbeit, die längs
einer Strecke ~s von der Kraft F~ geleistet
wird.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 11
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Physikalisches Vorbild: Arbeit, die längs
einer Strecke ~s von der Kraft F~ geleistet
wird.
Nur der Anteil der Kraft längs des Weges
ist relevant.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
F~
ϕ
~s
Folie: 11
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Physikalisches Vorbild: Arbeit, die längs
einer Strecke ~s von der Kraft F~ geleistet
wird.
Nur der Anteil der Kraft längs des Weges
ist relevant.
A = |F~ | · |~s | · cos ϕ
Fakultät Grundlagen
F~
ϕ
~
F · cos ϕ
Vektorrechnung
~s
Folie: 11
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Physikalisches Vorbild: Arbeit, die längs
einer Strecke ~s von der Kraft F~ geleistet
wird.
Nur der Anteil der Kraft längs des Weges
ist relevant.
A = |F~ | · |~s | · cos ϕ
F~
ϕ
~
F · cos ϕ
~s
Definition: Unter dem Skalarprodukt der
Vektoren ~a und ~b versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren ~a und ~b, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenenWinkels.
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 11
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Physikalisches Vorbild: Arbeit, die längs
einer Strecke ~s von der Kraft F~ geleistet
wird.
Nur der Anteil der Kraft längs des Weges
ist relevant.
A = |F~ | · |~s | · cos ϕ
Definition: Unter dem Skalarprodukt der
Vektoren ~a und ~b versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren ~a und ~b, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenenWinkels.
F~
ϕ
~
F · cos ϕ
~a · ~b > 0 0 ≤ ϕ <
~s
π
2
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 11
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Physikalisches Vorbild: Arbeit, die längs
einer Strecke ~s von der Kraft F~ geleistet
wird.
Nur der Anteil der Kraft längs des Weges
ist relevant.
A = |F~ | · |~s | · cos ϕ
Definition: Unter dem Skalarprodukt der
Vektoren ~a und ~b versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren ~a und ~b, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenenWinkels.
F~
ϕ
~
F · cos ϕ
~s
~a · ~b > 0 0 ≤ ϕ <
~a · ~b < 0
π
2
π
2
<ϕ≤π
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 11
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Physikalisches Vorbild: Arbeit, die längs
einer Strecke ~s von der Kraft F~ geleistet
wird.
Nur der Anteil der Kraft längs des Weges
ist relevant.
A = |F~ | · |~s | · cos ϕ
Definition: Unter dem Skalarprodukt der
Vektoren ~a und ~b versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren ~a und ~b, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenenWinkels.
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
Fakultät Grundlagen
F~
ϕ
~
F · cos ϕ
~s
~a · ~b > 0 0 ≤ ϕ <
~a · ~b < 0
~a · ~b = 0
Vektorrechnung
π
2
π
2
<ϕ≤π
ϕ=
π
2
Folie: 11
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
~a · (~b + ~c ) = ~a · ~b + ~a · ~c
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
~a · (~b + ~c ) = ~a · ~b + ~a · ~c
s · (~a · ~b) = (s · ~a) · ~b = ~a · (s · ~b)
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
~a · (~b + ~c ) = ~a · ~b + ~a · ~c
s · (~a · ~b) = (s · ~a) · ~b = ~a · (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
~a · (~b · ~c )
6=
(~a · ~b) · ~c .
| {z }
| {z }
Vektor in Richtung ~a
Vektor in Richtung ~c
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
~a · (~b + ~c ) = ~a · ~b + ~a · ~c
s · (~a · ~b) = (s · ~a) · ~b = ~a · (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
Aus
~a · ~b = 0
~a · (~b · ~c )
6=
(~a · ~b) · ~c .
| {z }
| {z }
Vektor in Richtung ~a
Vektor in Richtung ~c
folgt
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
~a · (~b + ~c ) = ~a · ~b + ~a · ~c
s · (~a · ~b) = (s · ~a) · ~b = ~a · (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
~a · (~b · ~c )
6=
(~a · ~b) · ~c .
| {z }
| {z }
Vektor in Richtung ~a
Vektor in Richtung ~c
1) ~a = o~
Aus
~a · ~b = 0
folgt
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
~a · (~b + ~c ) = ~a · ~b + ~a · ~c
s · (~a · ~b) = (s · ~a) · ~b = ~a · (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
Aus
~a · ~b = 0
~a · (~b · ~c )
6=
(~a · ~b) · ~c .
| {z }
| {z }
Vektor in Richtung ~a
Vektor in Richtung ~c
folgt
Fakultät Grundlagen
1) ~a = o~
oder 2) ~b = o~
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
~a · (~b + ~c ) = ~a · ~b + ~a · ~c
s · (~a · ~b) = (s · ~a) · ~b = ~a · (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
Aus
~a · ~b = 0
~a · (~b · ~c )
6=
(~a · ~b) · ~c .
| {z }
| {z }
Vektor in Richtung ~a
Vektor in Richtung ~c
folgt
Fakultät Grundlagen
1) ~a = o~
oder 2) ~b = o~
oder 3) ~a ⊥ ~b
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
~a · (~b + ~c ) = ~a · ~b + ~a · ~c
s · (~a · ~b) = (s · ~a) · ~b = ~a · (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
Aus
~a · ~b = 0
~a · (~b · ~c )
6=
(~a · ~b) · ~c .
| {z }
| {z }
Vektor in Richtung ~a
Vektor in Richtung ~c
folgt
1) ~a = o~
oder 2) ~b = o~
oder 3) ~a ⊥ ~b
Es gibt keine Umkehrung des Skalarprodukts
~x
~a · ~x = b
~a
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a · ~b = ~b · ~a
~a · (~b + ~c ) = ~a · ~b + ~a · ~c
s · (~a · ~b) = (s · ~a) · ~b = ~a · (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
Aus
~a · ~b = 0
~a · (~b · ~c )
6=
(~a · ~b) · ~c .
| {z }
| {z }
Vektor in Richtung ~a
Vektor in Richtung ~c
folgt
1) ~a = o~
oder 2) ~b = o~
oder 3) ~a ⊥ ~b
Es gibt keine Umkehrung des Skalarprodukts
~x
~a · ~x = b
~a
Alle ~x besitzen dieselbe Projektion auf ~a !
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 12
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung

 

a1
b1
 a2  ·  b2 
a3
b3
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 13
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung

 

a1
b1
 a2  ·  b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
a3
b3
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 13
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung

 

a1
b1
 a2  ·  b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
a3
b3
Winkel zwischen den beiden Vektoren bei bekannten Koordinaten
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 13
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung

 

a1
b1
 a2  ·  b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
a3
b3
Winkel zwischen den beiden Vektoren bei bekannten Koordinaten
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 13
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung

 

a1
b1
 a2  ·  b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
a3
b3
Winkel zwischen den beiden Vektoren bei bekannten Koordinaten
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
cos ϕ =
a1 b1 + a2 bq
~a · ~b = q
2 + a3 b3
2
2
2
|~a| · |~b|
a1 + a2 + a3 · b12 + b22 + b32
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 13
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung

 

a1
b1
 a2  ·  b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
a3
b3
Winkel zwischen den beiden Vektoren bei bekannten Koordinaten
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
cos ϕ =
a1 b1 + a2 bq
~a · ~b = q
2 + a3 b3
2
2
2
|~a| · |~b|
a1 + a2 + a3 · b12 + b22 + b32
Speziell: Richtungswinkel α, β, γ zu den Koordinatenachsen
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 13
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung

 

a1
b1
 a2  ·  b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
a3
b3
Winkel zwischen den beiden Vektoren bei bekannten Koordinaten
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
cos ϕ =
a1 b1 + a2 bq
~a · ~b = q
2 + a3 b3
2
2
2
|~a| · |~b|
a1 + a2 + a3 · b12 + b22 + b32
Speziell: Richtungswinkel α, β, γ zu den Koordinatenachsen
cos α =
a1
|~a|
cos β =
Fakultät Grundlagen
a2
|~a|
Vektorrechnung
cos γ =
a3
|~a|
Folie: 13
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung

 

a1
b1
 a2  ·  b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
a3
b3
Winkel zwischen den beiden Vektoren bei bekannten Koordinaten
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
cos ϕ =
a1 b1 + a2 bq
~a · ~b = q
2 + a3 b3
2
2
2
|~a| · |~b|
a1 + a2 + a3 · b12 + b22 + b32
Speziell: Richtungswinkel α, β, γ zu den Koordinatenachsen
a1
cos β = a2
|~a|
|~a|
2
2
2
Es gilt: cos α + cos β + cos γ = 1
cos α =
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
cos γ =
a3
|~a|
Folie: 13
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Projektion
Projektion des Vektors ~a auf die
Richtung von ~b:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 14
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Projektion
Projektion des Vektors ~a auf die
Richtung von ~b:
~a
skalar:
~b
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 14
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Projektion
Projektion des Vektors ~a auf die
Richtung von ~b:
~
a~b = ~a · b
skalar:
~
|b|
~a
a~b
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
~b
Folie: 14
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Projektion
Projektion des Vektors ~a auf die
Richtung von ~b:
~
a~b = ~a · b
skalar:
~
|b|
~a
vektoriell:
~b
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 14
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Projektion
Projektion des Vektors ~a auf die
Richtung von ~b:
~
a~b = ~a · b
skalar:
~
|b|
vektoriell:
~a
~ ~
~a~b = ~a · b
·b
~
|b|2
~a~b
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
~b
Folie: 14
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Projektion
Projektion des Vektors ~a auf die
Richtung von ~b:
~
a~b = ~a · b
skalar:
~
|b|
vektoriell:
~a
~ ~
~a~b = ~a · b
·b
~
|b|2
~a~b
~b
Dabei ist a~b die mit einem Vorzeichen versehene Länge von ~a~b .
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 14
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Projektion
Projektion des Vektors ~a auf die
Richtung von ~b:
~
a~b = ~a · b
skalar:
~
|b|
vektoriell:
~a
~ ~
~a~b = ~a · b
·b
~
|b|2
~a~b
~b
Dabei ist a~b die mit einem Vorzeichen versehene Länge von ~a~b .
Es gilt a~b = ~a~b , wenn ~a~b die gleiche Orientierung hat wie ~b, und
a~b = −~a~b , wenn ~a~b zu ~b entgegengesetzt orientiert ist.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 14
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Motivation: Bewegte elektrische Ladung im
Magnetfeld; Drehmoment in der Mechanik
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 15
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Motivation: Bewegte elektrische Ladung im
Magnetfeld; Drehmoment in der Mechanik
Definition: Das mit ~a×~b bezeichnete Vektorprodukt (Kreuzprodukt) steht senkrecht auf
den Vektoren ~a und ~b , bildet mit ~a, ~b in der
Reihenfolge ~a , ~b , ~a × ~b ein Rechtssystem
~b
~a
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 15
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Motivation: Bewegte elektrische Ladung im
Magnetfeld; Drehmoment in der Mechanik
Definition: Das mit ~a×~b bezeichnete Vektorprodukt (Kreuzprodukt) steht senkrecht auf
den Vektoren ~a und ~b , bildet mit ~a, ~b in der
Reihenfolge ~a , ~b , ~a × ~b ein Rechtssystem
~a × ~b
~b
~a
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 15
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Motivation: Bewegte elektrische Ladung im
Magnetfeld; Drehmoment in der Mechanik
Definition: Das mit ~a×~b bezeichnete Vektorprodukt (Kreuzprodukt) steht senkrecht auf
den Vektoren ~a und ~b , bildet mit ~a, ~b in der
Reihenfolge ~a , ~b , ~a × ~b ein Rechtssystem
und hat den Betrag
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · | sin ϕ| ,
ϕ = ](~a, ~b) .
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
~a × ~b
~b
~a
Folie: 15
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Motivation: Bewegte elektrische Ladung im
Magnetfeld; Drehmoment in der Mechanik
Definition: Das mit ~a×~b bezeichnete Vektorprodukt (Kreuzprodukt) steht senkrecht auf
den Vektoren ~a und ~b , bildet mit ~a, ~b in der
Reihenfolge ~a , ~b , ~a × ~b ein Rechtssystem
und hat den Betrag
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · | sin ϕ| ,
ϕ = ](~a, ~b) .
~b
|~b| · sin ϕ
ϕ
~a × ~b
~b
~a
Der Betrag |~a × ~b| kann als die
Maßzahl der von den Vektoren
~a , ~b aufgespannten Parallelogrammfläche gedeutet werden.
~a
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 15
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Motivation: Bewegte elektrische Ladung im
Magnetfeld; Drehmoment in der Mechanik
Definition: Das mit ~a×~b bezeichnete Vektorprodukt (Kreuzprodukt) steht senkrecht auf
den Vektoren ~a und ~b , bildet mit ~a, ~b in der
Reihenfolge ~a , ~b , ~a × ~b ein Rechtssystem
und hat den Betrag
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · | sin ϕ| ,
ϕ = ](~a, ~b) .
~b
|~b| · sin ϕ
ϕ
~a
Fakultät Grundlagen
~a × ~b
~b
~a
Der Betrag |~a × ~b| kann als die
Maßzahl der von den Vektoren
~a , ~b aufgespannten Parallelogrammfläche gedeutet werden.
~a ⊥ ~b
|~a × ~b| = |~a| · |~b|
Vektorrechnung
Folie: 15
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
~a × (~b × ~c ) 6= (~a × ~b) × ~c .
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
Aus
~a × ~b = o~
~a × (~b × ~c ) 6= (~a × ~b) × ~c .
folgt
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
Aus
~a × ~b = o~
~a × (~b × ~c ) 6= (~a × ~b) × ~c .
1) ~a =
folgt
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
o~
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
Aus
~a × ~b = o~
~a × (~b × ~c ) 6= (~a × ~b) × ~c .
1) ~a =
oder 2) ~b =
folgt
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
o~
o~
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
Im Allgemeinen gilt:
Aus
~a × ~b = o~
~a × (~b × ~c ) 6= (~a × ~b) × ~c .
1) ~a = o~
oder 2) ~b = o~
folgt
oder 3) ~a k ~b .
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
~a × (~b × ~c ) 6= (~a × ~b) × ~c .
1) ~a = o~
oder 2) ~b = o~
Aus ~a × ~b = o~
folgt
oder 3) ~a k ~b .
Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts,
Im Allgemeinen gilt:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
~a × (~b × ~c ) 6= (~a × ~b) × ~c .
1) ~a = o~
oder 2) ~b = o~
Aus ~a × ~b = o~
folgt
oder 3) ~a k ~b .
Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts, d. h., die Beziehung
Im Allgemeinen gilt:
~a × ~x = ~b
lässt sich nicht nach ~x auflösen.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
~a × (~b × ~c ) 6= (~a × ~b) × ~c .
1) ~a = o~
oder 2) ~b = o~
Aus ~a × ~b = o~
folgt
oder 3) ~a k ~b .
Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts, d. h., die Beziehung
~x
Im Allgemeinen gilt:
~a × ~x = ~b
~a
lässt sich nicht nach ~x auflösen.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
~a × ~b = −~b × ~a
~a × (~b + ~c ) = ~a × ~b + ~a × ~c
s · (~a × ~b) = (s · ~a) × ~b = ~a × (s · ~b)
~a × (~b × ~c ) 6= (~a × ~b) × ~c .
1) ~a = o~
oder 2) ~b = o~
Aus ~a × ~b = o~
folgt
oder 3) ~a k ~b .
Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts, d. h., die Beziehung
~x
Im Allgemeinen gilt:
~a × ~x = ~b
~a
lässt sich nicht nach ~x auflösen.
Alle ~x besitzen dieselbe Projektion auf die Senkrechte von ~a !
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 16
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung
~a × ~b
=
(a1 · e~1 + a2 · e~2 + a3 · e~3 ) × (b1 · e~1 + b2 · e~2 + b3 · e~3 )
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 17
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung
~a × ~b
=
(a1 · e~1 + a2 · e~2 + a3 · e~3 ) × (b1 · e~1 + b2 · e~2 + b3 · e~3 )
=
a1 b1 e~1 × e~1 + a1 b2 e~1 × e~2 + a1 b3 e~1 × e~3 + . . .
| {z }
| {z }
| {z }
a2 b1 e~2 × e~1 + a2 b2 e~2 × e~2 + a2 b3 e~2 × e~3 + . . .
| {z }
| {z }
| {z }
a3 b1 e~3 × e~1 + a3 b2 e~3 × e~2 + a3 b3 e~3 × e~3
| {z }
| {z }
| {z }
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 17
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung
~a × ~b
=
(a1 · e~1 + a2 · e~2 + a3 · e~3 ) × (b1 · e~1 + b2 · e~2 + b3 · e~3 )
=
a1 b1 e~1 × e~1 + a1 b2 e~1 × e~2 + a1 b3 e~1 × e~3 + . . .
| {z }
| {z }
| {z }
= o~
= e~3
= −~
e2
a2 b1 e~2 × e~1 + a2 b2 e~2 × e~2 + a2 b3 e~2 × e~3 + . . .
| {z }
| {z }
| {z }
= −~
e3
= o~
= e~1
a3 b1 e~3 × e~1 + a3 b2 e~3 × e~2 + a3 b3 e~3 × e~3
| {z }
| {z }
| {z }
= e~2
= −~
e1
= o~
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 17
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung
~a × ~b
=
(a1 · e~1 + a2 · e~2 + a3 · e~3 ) × (b1 · e~1 + b2 · e~2 + b3 · e~3 )
=
a1 b1 e~1 × e~1 + a1 b2 e~1 × e~2 + a1 b3 e~1 × e~3 + . . .
| {z }
| {z }
| {z }
= o~
= e~3
= −~
e2
a2 b1 e~2 × e~1 + a2 b2 e~2 × e~2 + a2 b3 e~2 × e~3 + . . .
| {z }
| {z }
| {z }
= −~
e3
= o~
= e~1
a3 b1 e~3 × e~1 + a3 b2 e~3 × e~2 + a3 b3 e~3 × e~3
| {z }
| {z }
| {z }
= e~2
= −~
e1
= o~
(a2 b3 − a3 b2 )~
e1 + (a3 b1 − a1 b3 )~
e2 + (a1 b2 − a2 b1 )~
e3
=
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 17
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung
~a × ~b
=
(a1 · e~1 + a2 · e~2 + a3 · e~3 ) × (b1 · e~1 + b2 · e~2 + b3 · e~3 )

oder





a1
b1
a2 b3 − a3 b2
 a2  ×  b2  =  a3 b1 − a1 b3 
a3
b3
a1 b2 − a2 b1
=
(a2 b3 − a3 b2 )~
e1 + (a3 b1 − a1 b3 )~
e2 + (a1 b2 − a2 b1 )~
e3
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 17
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung
~a × ~b
=
(a1 · e~1 + a2 · e~2 + a3 · e~3 ) × (b1 · e~1 + b2 · e~2 + b3 · e~3 )

oder





a1
b1
a2 b3 − a3 b2
 a2  ×  b2  =  a3 b1 − a1 b3 
a3
b3
a1 b2 − a2 b1
= (a2 b3 − a3 b2 )~
e1 + (a3 b1 − a1 b3 )~
e2 + (a1 b2 − a2 b1 )~
e3
e~1 e~2 e~3 a1 a2 a3 = e~1 · a2 a3 − e~2 · a1 a3 + e~3 · a1 a2 b1 b3 b1 b2 b2 b3 b1 b2 b3 | {z }
| {z }
| {z }
a2 b3 −a3 b2
Fakultät Grundlagen
a1 b3 −a3 b1
Vektorrechnung
a1 b2 −a2 b1
Folie: 17
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Spatprodukt
Wird das Vektorprodukt von zwei
Vektoren ~b × ~c mit dem Vektor ~a
skalar multipliziert, so nennt man
diese Kombination Spatprodukt.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 18
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Spatprodukt
Wird das Vektorprodukt von zwei
Vektoren ~b × ~c mit dem Vektor ~a
skalar multipliziert, so nennt man
diese Kombination Spatprodukt.
Schreibweise: [ ~a, ~b, ~c ] = ~a ·(~b ×~c )
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 18
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Spatprodukt
Wird das Vektorprodukt von zwei
Vektoren ~b × ~c mit dem Vektor ~a
skalar multipliziert, so nennt man
diese Kombination Spatprodukt.
Schreibweise: [ ~a, ~b, ~c ] = ~a ·(~b ×~c )
Das Spatprodukt lässt sich als (orientiertes) Volumen des von den drei
Vektoren aufgespannten Spats interpretieren.
~b × ~c
~a
~c
~b
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 18
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Definition
Spatprodukt
Wird das Vektorprodukt von zwei
Vektoren ~b × ~c mit dem Vektor ~a
skalar multipliziert, so nennt man
diese Kombination Spatprodukt.
Schreibweise: [ ~a, ~b, ~c ] = ~a ·(~b ×~c )
Das Spatprodukt lässt sich als (orientiertes) Volumen des von den drei
Vektoren aufgespannten Spats interpretieren.
|~a · (~b × ~c )| = |~b × ~c | · |~a| · | cos ϕ|
| {z } | {z }
AP
h
mit ϕ = ](~a, ~b × ~c ) .
Fakultät Grundlagen
~b × ~c
~a
h
ϕ
~c
Ap
~b
Vektorrechnung
Folie: 18
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
Eigenschaften des Spatprodukts:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 19
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
Eigenschaften des Spatprodukts:
Die Eigenschaft [ ~a, ~b, ~c ] = 0 ist gleichwertig dazu, dass
alle Vektoren in einer Ebene liegen.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 19
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
Eigenschaften des Spatprodukts:
Die Eigenschaft [ ~a, ~b, ~c ] = 0 ist gleichwertig dazu, dass
alle Vektoren in einer Ebene liegen.
[ ~a, ~b, ~c ] > 0 ⇔
ein Rechtssystem.
~a , ~b , ~c bilden (in dieser Reihenfolge)
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 19
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
Eigenschaften des Spatprodukts:
Die Eigenschaft [ ~a, ~b, ~c ] = 0 ist gleichwertig dazu, dass
alle Vektoren in einer Ebene liegen.
[ ~a, ~b, ~c ] > 0 ⇔
ein Rechtssystem.
~a , ~b , ~c bilden (in dieser Reihenfolge)
Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektoren
verändert, so kann sich höchstens das Vorzeichen ändern.
Speziell gilt:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 19
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
Eigenschaften des Spatprodukts:
Die Eigenschaft [ ~a, ~b, ~c ] = 0 ist gleichwertig dazu, dass
alle Vektoren in einer Ebene liegen.
[ ~a, ~b, ~c ] > 0 ⇔
ein Rechtssystem.
~a , ~b , ~c bilden (in dieser Reihenfolge)
Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektoren
verändert, so kann sich höchstens das Vorzeichen ändern.
Speziell gilt:
Werden zwei Vektoren vertauscht (dritter Vektor bleibt auf
seiner Position), so ändert sich das Vorzeichen.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 19
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Eigenschaften
Eigenschaften des Spatprodukts:
Die Eigenschaft [ ~a, ~b, ~c ] = 0 ist gleichwertig dazu, dass
alle Vektoren in einer Ebene liegen.
[ ~a, ~b, ~c ] > 0 ⇔
ein Rechtssystem.
~a , ~b , ~c bilden (in dieser Reihenfolge)
Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektoren
verändert, so kann sich höchstens das Vorzeichen ändern.
Speziell gilt:
Werden zwei Vektoren vertauscht (dritter Vektor bleibt auf
seiner Position), so ändert sich das Vorzeichen.
Bei zyklischer Vertauschung“ bleibt das Vorzeichen erhalten.
”
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 19
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung
Koordinatendarstellung des Spatprodukts:
~a · (~b × ~c ) =
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 20
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung
Koordinatendarstellung des Spatprodukts:

 

a1
b2 c3 − b3 c2
~a · (~b × ~c ) =  a2  ·  b3 c1 − b1 c3 
a3
b1 c2 − b2 c1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 20
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung
Koordinatendarstellung des Spatprodukts:

 

a1
b2 c3 − b3 c2
~a · (~b × ~c ) =  a2  ·  b3 c1 − b1 c3 
a3
b1 c2 − b2 c1
= a1 (b2 c3 − b3 c2 ) + a2 (b3 c1 − b1 c3 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 )
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 20
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Spatprodukt
Koordinatendarstellung
Koordinatendarstellung des Spatprodukts:

 

a1
b2 c3 − b3 c2
~a · (~b × ~c ) =  a2  ·  b3 c1 − b1 c3 
a3
b1 c2 − b2 c1
= a1 (b2 c3 − b3 c2 ) + a2 (b3 c1 − b1 c3 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 )
a1 a2 a3 = b1 b2 b3 c1 c2 c3 Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 20
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Vektoren und Punkte
Grundsätzliches zur Beziehung zwischen Vektorraum“ und
”
Punktraum“.
”
Vektorraum:
Punktraum:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 21
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Vektoren und Punkte
Grundsätzliches zur Beziehung zwischen Vektorraum“ und
”
Punktraum“.
”
Vektorraum: Menge der Vektoren, Pfeilklassen“; Pfeile können
”
beliebig parallel verschoben werden.
Punktraum:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 21
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Vektoren und Punkte
Grundsätzliches zur Beziehung zwischen Vektorraum“ und
”
Punktraum“.
”
Vektorraum: Menge der Vektoren, Pfeilklassen“; Pfeile können
”
beliebig parallel verschoben werden.
Punktraum: Menge der Punkte im Raum.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 21
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Vektoren und Punkte
Grundsätzliches zur Beziehung zwischen Vektorraum“ und
”
Punktraum“.
”
Vektorraum: Menge der Vektoren, Pfeilklassen“; Pfeile können
”
beliebig parallel verschoben werden.
Punktraum: Menge der Punkte im Raum.
Denken wir uns im Punktraum ein kartesisches Koordinatensystem
vorgegeben und hängen“ im Koordinatenursprung sämtliche
”
Vektoren (Pfeile) des Vektorraums an, so weist zu jedem Punkt P
des Raumes ein Vektor.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 21
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Vektoren und Punkte
Grundsätzliches zur Beziehung zwischen Vektorraum“ und
”
Punktraum“.
”
Vektorraum: Menge der Vektoren, Pfeilklassen“; Pfeile können
”
beliebig parallel verschoben werden.
Punktraum: Menge der Punkte im Raum.
Denken wir uns im Punktraum ein kartesisches Koordinatensystem
vorgegeben und hängen“ im Koordinatenursprung sämtliche
”
Vektoren (Pfeile) des Vektorraums an, so weist zu jedem Punkt P
des Raumes ein Vektor. Wir nennen diesen Vektor p~ Ortsvektor
des Punktes P.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 21
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Vektoren und Punkte
Grundsätzliches zur Beziehung zwischen Vektorraum“ und
”
Punktraum“.
”
Vektorraum: Menge der Vektoren, Pfeilklassen“; Pfeile können
”
beliebig parallel verschoben werden.
Punktraum: Menge der Punkte im Raum.
Denken wir uns im Punktraum ein kartesisches Koordinatensystem
vorgegeben und hängen“ im Koordinatenursprung sämtliche
”
Vektoren (Pfeile) des Vektorraums an, so weist zu jedem Punkt P
des Raumes ein Vektor. Wir nennen diesen Vektor p~ Ortsvektor
des Punktes P.
In den folgenden geometrischen Aufgabenstellungen wird nicht
mehr zwischen Punkt und Ortsvektor unterschieden.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 21
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Gerade; Parameterdarstellung
Geraden im Anschauungsraum
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 22
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Gerade; Parameterdarstellung
Geraden im Anschauungsraum
g
~x
g:
~x =
Punkt“
”
+
Richtung“
”
x3
x1
x2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 22
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Gerade; Parameterdarstellung
Geraden im Anschauungsraum
Aufpunkt: ~x0
g
~x0
~x
g:
~x = ~x0
Punkt“
”
+
Richtung“
”
x3
x1
x2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 22
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Gerade; Parameterdarstellung
Geraden im Anschauungsraum
Aufpunkt: ~x0
Richtungsvektor: u~
u~
g
~x0
~x
g:
~x = ~x0
Punkt“
”
+
Richtung“
”
x3
x1
x2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 22
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Gerade; Parameterdarstellung
Geraden im Anschauungsraum
Aufpunkt: ~x0
Richtungsvektor: u~
λ · u~
g
~x0
~x
g:
~x = ~x0 + λ~
u
Punkt“
”
+
Richtung“
”
x3
x1
x2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 22
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Gerade; Parameterdarstellung
Geraden im Anschauungsraum
Aufpunkt: ~x0
Richtungsvektor: u~
λ · u~
g
~x0
~x
g:
~x = ~x0 + λ~
u
Punkt“
”
+
(λ ∈ IR)
Richtung“
”
x3
x1
x2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 22
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Gerade; Parameterdarstellung
Geraden im Anschauungsraum
Aufpunkt: ~x0
Richtungsvektor: u~
λ · u~
g
~x0
~x
~x = ~x0 + λ~
u
(λ ∈ IR)
Punkt“ +
Richtung“
”
”
Durchläuft λ alle reellen Zahlen,
so durchläuft ~x alle Punkte der
Gerade.
x3
x1
g:
x2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 22
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Gerade; Parameterdarstellung
Geraden im Anschauungsraum
Aufpunkt: ~x0
Richtungsvektor: u~
λ · u~
g
~x0
~x
x3
x1
x2
g:
~x = ~x0 + λ~
u
(λ ∈ IR)
Punkt“ +
Richtung“
”
”
Durchläuft λ alle reellen Zahlen,
so durchläuft ~x alle Punkte der
Gerade.


 
 
x1
1
2
~x =  x2  =  2  + λ 2 
x3
3
1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 22
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; Parameterdarstellung
E
~x
x3
x1
E:

x2

x1
~x =  x2 
x3
~x =
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 23
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; Parameterdarstellung
Aufpunkt: ~x0
E
~x
x3
~x0
x1
E:

x2
  
x1
1



~x = x2 = −1 
1
x3
~x = ~x0
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 23
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; Parameterdarstellung
Aufpunkt: ~x0
~v
E
~x
u~
x3
~x0
x1
E:
Richtungsvektoren: u~, ~v

x2
  
x1
1



~x = x2 = −1 
1
x3
~x = ~x0
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 23
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; Parameterdarstellung
Aufpunkt: ~x0
Richtungsvektoren: u~, ~v
E
~x
x3
~x0
x1
E:

x2
  
x1
1



~x = x2 = −1 
1
x3
~x = ~x0
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 23
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; Parameterdarstellung
Aufpunkt: ~x0
µ · ~v
Richtungsvektoren: u~, ~v
E
λ · u~
x3
x1
E:
~x
~x0

x2
  
 
 
x1
1
1
1







~x = x2 = −1 + λ 2 + µ −2 
1
3
−2
x3
~x = ~x0 + λ~
u + µ~v
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 23
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; Parameterdarstellung
Aufpunkt: ~x0
µ · ~v
Richtungsvektoren: u~, ~v
E
λ · u~
x3
E:
Punkt“
”
~x0

x2
x1
~x
  
 
 
x1
1
1
1







~x = x2 = −1 + λ 2 + µ −2 
1
3
−2
x3
~x = ~x0 + λ~
u + µ~v
+
(λ, µ ∈ IR)
zwei Richtungen“
”
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 23
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; lineare Gleichung
~v
E
u~
~x
~x0
~x = ~x0 + λ~
u + µ~v
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 24
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; lineare Gleichung
n~
~v
E
u~
~x
~x0
~x = ~x0 + λ~
u + µ~v | · n~ = u~ × ~v
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 24
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; lineare Gleichung
n~
n~
~v
E
u~
~x
~x0
~x = ~x0 + λ~
u + µ~v | · n~ = u~ × ~v
n~ · ~x = n~ · ~x0 = d (= konstant )
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 24
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Ebene; lineare Gleichung
n~
n~
~v
E
u~
~x
~x0
~x = ~x0 + λ~
u + µ~v | · n~ = u~ × ~v
n~ · ~x = n~ · ~x0 = d (= konstant )

 

x1
n1
 x2  ·  n2  = n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = d
x3
n3
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 24
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt Ebene – Gerade
g




1
1
g : ~x =  0  + λ 1 
1
−2
n~
E
E:
x1 + 2x2 + x3 = 3
u~
x3
~x0
x1
g:
x2
~x = ~x0 + λ~
u
E : n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = d
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 25
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt Ebene – Gerade
g

g:
x1
x2
x3
E:



1
1
~x =  0  + λ 1 
1
−2
= 1 + λ
= λ
= 1 − 2λ
x1 + 2x2 + x3 = 3
n~
E
u~
x3
~x0
x1
g:
x2
~x = ~x0 + λ~
u
E : n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = d
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 25
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt Ebene – Gerade
g




1
1
g : ~x =  0  + λ 1 
1
−2
x1 = 1 + λ
x2 = λ
x3 = 1 − 2λ
E : x1 + 2x2 + x3 = 3
(1 + λ) + 2λ + (1 − 2λ) = 3
λ=1
n~
E
u~
x3
~x0
x1
g:
x2
~x = ~x0 + λ~
u
E : n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = d
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 25
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt Ebene – Gerade
g




1
1
g : ~x =  0  + λ 1 
1
−2
x1 = 1 + λ
x2 = λ
x3 = 1 − 2λ
E : x1 + 2x2 + x3 = 3
(1 + λ) + 2λ + (1 − 2λ) = 3
λ=1





n~
E
u~
x3

1
1
2
~s =  0  + 1 ·  1  =  1 
1
−2
−1
S
~x0
x1
g:
x2
~x = ~x0 + λ~
u
E : n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = d
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 25
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt Ebene – Gerade
g




1
1
g : ~x =  0  + λ 1 
1
−2
x1 = 1 + λ
x2 = λ
x3 = 1 − 2λ
E : x1 + 2x2 + x3 = 3
(1 + λ) + 2λ + (1 − 2λ) = 3
λ=1





n~
u~
π
2
S
x3

1
1
2
~s =  0  + 1 ·  1  =  1 
1
−2
−1
cos
α
E
~x0
x1
− α = sin(α) = n~ · u~
|~
n · |~
u|
g:
x2
~x = ~x0 + λ~
u
E : n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = d
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 25
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt Ebene – Gerade
g




1
1
g : ~x =  0  + λ 1 
1
−2
x1 = 1 + λ
x2 = λ
x3 = 1 − 2λ
E : x1 + 2x2 + x3 = 3
(1 + λ) + 2λ + (1 − 2λ) = 3
λ=1





n~
u~
π
2
− α = sin(α) = n~ · u~
|~
n · |~
u|

 


sin(α) =
1
1
1  · 2 
−2
1
√ √
6· 6
= 1
6
S
x3

1
1
2
~s =  0  + 1 ·  1  =  1 
1
−2
−1
cos
α
E
~x0
x1
g:
x2
~x = ~x0 + λ~
u
E : n1 · x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = d
α = 0.1674 . . .
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 25
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Ebenen
Die Ebenen E1 , E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.
E1 :
E2 :
x1 + 2x2 + x3 = 3
4x1 − x2 + 2x3 = 3
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 26
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Ebenen
Die Ebenen E1 , E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige
Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.
E1 :
x1 + 2x2 + x3 = 3
E2 :
4x1 − x2 + 2x3 = 3
1 2 1 3
4 −1 2 3
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 26
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Ebenen
Die Ebenen E1 , E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige
Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.
E1 :
x1 + 2x2 + x3 = 3
E2 :
4x1 − x2 + 2x3 = 3
1 2 1 3
1 2
1
3
∼
4 −1 2 3
0 −9 −2 −9
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 26
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Ebenen
Die Ebenen E1 , E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige
Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.
E1 :
x1 + 2x2 + x3 = 3
E2 :
4x1 − x2 + 2x3 = 3
x3 kann
1 2 1 3
1 2
1
3
∼
frei gewählt
4 −1 2 3
0 −9 −2 −9
werden!
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 26
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Ebenen
Die Ebenen E1 , E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige
Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.
E1 :
x1 + 2x2 + x3 = 3
E2 :
4x1 − x2 + 2x3 = 3
x3 kann
1 2 1 3
1 2
1
3
∼
frei gewählt
4 −1 2 3
0 −9 −2 −9
werden!
x3 =
9λ
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 26
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Ebenen
Die Ebenen E1 , E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige
Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.
E1 :
x1 + 2x2 + x3 = 3
E2 :
4x1 − x2 + 2x3 = 3
x3 kann
1 2 1 3
1 2
1
3
∼
frei gewählt
4 −1 2 3
0 −9 −2 −9
werden!
x2 = 1 − 2λ
x3 =
9λ
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 26
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Ebenen
Die Ebenen E1 , E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige
Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.
E1 :
x1 + 2x2 + x3 = 3
E2 :
4x1 − x2 + 2x3 = 3
x3 kann
1 2 1 3
1 2
1
3
∼
frei gewählt
4 −1 2 3
0 −9 −2 −9
werden!
x1 = 1 − 5λ
x2 = 1 − 2λ
x3 =
9λ
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 26
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Ebenen
Die Ebenen E1 , E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eine einparametrige
Lösung, d. h. die Parameterdarstellung der Schnittgeraden.
E1 :
x1 + 2x2 + x3 = 3
E2 :
4x1 − x2 + 2x3 = 3
x3 kann
1 2 1 3
1 2
1
3
∼
frei gewählt
4 −1 2 3
0 −9 −2 −9
werden!
x1 = 1 − 5λ
x2 = 1 − 2λ
x3 =
9λ
 


1
−5
~x =  1  + λ −2  ( λ ∈ IR ) Schnittgerade
0
9
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 26
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnittwinkel zweier Ebenen
E1
ϕ
ϕ
E2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 27
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zwischen zwei
Ebenen ist derselbe wie der Winkel
zwischen den zugehörigen Normalenvektoren n~1 und n~2 .
n~1
ϕ
n~2
E1
ϕ
ϕ
E2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 27
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zwischen zwei
Ebenen ist derselbe wie der Winkel
zwischen den zugehörigen Normalenvektoren n~1 und n~2 .
cos ϕ = n~1 · n~2
|~
n1 | · |~
n2 |
n~1
ϕ
n~2
E1
ϕ
ϕ
E2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 27
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zwischen zwei
Ebenen ist derselbe wie der Winkel
zwischen den zugehörigen Normalenvektoren n~1 und n~2 .
cos ϕ = n~1 · n~2
|~
n1 | · |~
n2 |
E1 :
E2 :
n~1
ϕ
E1
ϕ
ϕ
x1 + 2x2 + x3 = 3
4x1 − x2 + 2x3 = 3
Fakultät Grundlagen
n~2
Vektorrechnung
E2
Folie: 27
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zwischen zwei
Ebenen ist derselbe wie der Winkel
zwischen den zugehörigen Normalenvektoren n~1 und n~2 .
cos ϕ = n~1 · n~2
|~
n1 | · |~
n2 |
E1 :
E2 :
cos ϕ =
x1
4x1

1
 2
1
n~1
ϕ
n~2
E1
ϕ
ϕ
+ 2x2 + x3 = 3
− x2 + 2x3 = 3
 

4
 · −1 
2
E2
√ √
6· 21
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 27
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zwischen zwei
Ebenen ist derselbe wie der Winkel
zwischen den zugehörigen Normalenvektoren n~1 und n~2 .
cos ϕ = n~1 · n~2
|~
n1 | · |~
n2 |
E1 :
E2 :
cos ϕ =
x1
4x1

1
 2
1
n~1
ϕ
E1
ϕ
ϕ
+ 2x2 + x3 = 3
− x2 + 2x3 = 3
 

4
 · −1 
2
√ √
= 3·√4 14
6· 21
Fakultät Grundlagen
n~2
Vektorrechnung
E2
Folie: 27
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zwischen zwei
Ebenen ist derselbe wie der Winkel
zwischen den zugehörigen Normalenvektoren n~1 und n~2 .
cos ϕ = n~1 · n~2
|~
n1 | · |~
n2 |
E1 :
E2 :
cos ϕ =
x1
4x1

1
 2
1
n~1
ϕ
E1
ϕ
ϕ
+ 2x2 + x3 = 3
− x2 + 2x3 = 3
 

4
 · −1 
2
√ √
= 3·√4 14
6· 21
Fakultät Grundlagen
n~2
E2
ϕ ≈ 1.206
Vektorrechnung
[≈69.124o ]
Folie: 27
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1




1
1



~
2
2 ;
x=
+ λ1
4
3
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Kriterium: Spatprodukt = 0 !
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Kriterium: Spatprodukt = 0 ! [~
u1 , u~2 , (~x02 − ~x01 )]
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Kriterium: Spatprodukt = 0 ! [~
u1 , u~2 , (~x02 − ~x01 )]
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
1
= 2
4
2
1
−1
3
1
−3
=0
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Kriterium: Spatprodukt = 0 ! [~
u1 , u~2 , (~x02 − ~x01 )]
1
= 2
4
2
1
−1
3
1
−3
=0
Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen ergibt ein
lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Kriterium: Spatprodukt = 0 ! [~
u1 , u~2 , (~x02 − ~x01 )]
1
= 2
4
2
1
−1
3
1
−3
=0
Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen ergibt ein
lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter.








1
1
5
2
 2  + λ1  2  =  1  + λ2  1 
4
3
1
1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Kriterium: Spatprodukt = 0 ! [~
u1 , u~2 , (~x02 − ~x01 )]
1
= 2
4
2
1
−1
3
1
−3
=0
Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen ergibt ein
lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter.








1
1
5
2
 2  + λ1  2  =  1  + λ2  1 
4
3
1
1
Fakultät Grundlagen

1
 2
3
Vektorrechnung
−2
−1
−1

4
−1  ∼
−3
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Kriterium: Spatprodukt = 0 ! [~
u1 , u~2 , (~x02 − ~x01 )]
1
= 2
4
2
1
−1
3
1
−3
=0
Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen ergibt ein
lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter.








1
1
5
2
 2  + λ1  2  =  1  + λ2  1 
4
3
1
1


1 −2
4
 0
1
−3 
0
0
0
Fakultät Grundlagen

1
 2
3
Vektorrechnung
−2
−1
−1

4
−1  ∼
−3
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Kriterium: Spatprodukt = 0 ! [~
u1 , u~2 , (~x02 − ~x01 )]
1
= 2
4
2
1
−1
3
1
−3
=0
Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen ergibt ein
lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter.








1
1
5
2
 2  + λ1  2  =  1  + λ2  1 
4
3
1
1


1 −2
4
λ1 = −2
 0
1
−3 
λ2 = −3
0
0
0
Fakultät Grundlagen

1
 2
3
Vektorrechnung
−2
−1
−1

4
−1  ∼
−3
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt zweier Geraden
g1 : ~x = ~x01 + λ1 · u~1
g2 : ~x = ~x02 + λ2 · u~2








1
1
5
2







~
2
2
1
1 
x=
+ λ1
; ~
x=
+ λ2
4
3
1
1
Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,
wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind.
Kriterium: Spatprodukt = 0 ! [~
u1 , u~2 , (~x02 − ~x01 )]
1
= 2
4
2
1
−1
3
1
−3
=0
Das Gleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen ergibt ein
lineares Gleichungssystem für die beiden Parameter.










1
1
5
2
1 −2
4
 2  + λ1  2  =  1  + λ2  1 
 2 −1 −1  ∼
4
3
1
1
3 −1 −3





 

1 −2
4
1
1
−1
λ
=
−2
1
 0
~s =  2  + (−2) 2  =  −2 
1
−3 
λ2 = −3
0
0
0
4
3
−2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 28
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt dreier Ebenen
Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen
repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die
Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 29
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt dreier Ebenen
Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen
repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die
Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus.
eindeutige Lösung:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 29
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt dreier Ebenen
Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen
repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die
Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus.
eindeutige Lösung:
Ebenen in allgemeiner Lage haben
einen Schnittpunkt
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 29
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt dreier Ebenen
Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen
repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die
Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus.
eindeutige Lösung:
Ebenen in allgemeiner Lage haben
einen Schnittpunkt
einparametrige Lösung:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 29
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt dreier Ebenen
Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen
repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die
Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus.
eindeutige Lösung:
Ebenen in allgemeiner Lage haben
einen Schnittpunkt
einparametrige Lösung:
Bündel von drei Ebenen um eine
Gerade
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 29
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt dreier Ebenen
Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen
repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die
Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus.
eindeutige Lösung:
Ebenen in allgemeiner Lage haben
einen Schnittpunkt
einparametrige Lösung:
Bündel von drei Ebenen um eine
Gerade
keine Lösung:
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 29
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt dreier Ebenen
Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen
repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die
Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus.
eindeutige Lösung:
einparametrige Lösung:
keine Lösung:
Ebenen in allgemeiner Lage haben
einen Schnittpunkt
Bündel von drei Ebenen um eine
Gerade
eine Ebene ist parallel zur Schnittgerade der beiden anderen Ebenen
oder alle drei Ebenen sind parallel.
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 29
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt dreier Ebenen
Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen
repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die
Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus.
eindeutige Lösung:
einparametrige Lösung:
keine Lösung:
Ebenen in allgemeiner Lage haben
einen Schnittpunkt
Bündel von drei Ebenen um eine
Gerade
eine Ebene ist parallel zur Schnittgerade der beiden anderen Ebenen
oder alle drei Ebenen sind parallel.
E1 : x1 + 2x2 + x3 = 3
E2 : 4x1 − x2 + 2x3 = 3
E3 : x1 + x2 + 7x3 = −2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 29
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Schnitt dreier Ebenen
Die drei Ebenen werden durch drei lineare Gleichungen
repräsentiert. Die Suche nach einem Schnittpunkt läuft auf die
Diskussion dieses Gleichungssystems hinaus.
eindeutige Lösung:
einparametrige Lösung:
keine Lösung:
E1 : x1 + 2x2 + x3 = 3
E2 : 4x1 − x2 + 2x3 = 3
E3 : x1 + x2 + 7x3 = −2
Ebenen in allgemeiner Lage haben
einen Schnittpunkt
Bündel von drei Ebenen um eine
Gerade
eine Ebene ist parallel zur Schnittgerade der beiden anderen Ebenen
oder alle drei Ebenen sind parallel.


1 2 1 3
 4 −1 2 3 
1 1 7 −2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
...
Folie: 29
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
P
n~
E
x3
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
x2
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L.
P
p~
n~
n~
E
x3
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
g⊥
x2
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L.
p~
n~
n~
L
E
~l
x3
x1
Fakultät Grundlagen
P
Vektorrechnung
g⊥
x2
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand
Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den
Abstand Punkt – Ebene.
p~
n~
n~
L
E
~l
x3
x1
Fakultät Grundlagen
P
Vektorrechnung
g⊥
x2
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand
Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den
Abstand Punkt – Ebene.
E : x1 + 2x2 + x3 = 3 ; P(3|5|2)
p~
n~
n~
L
E
~l
x3
x1
Fakultät Grundlagen
P
Vektorrechnung
g⊥
x2
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand
Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den
Abstand Punkt – Ebene.
E : x1 + 2x2 + x3 = 3 ; P(3|5|2)
p~
g⊥ :


n~
n~
L
E
~l
x3
x1

P
g⊥
x2

3
1
~
x =  5  + λ 2 
2
1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand
Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den
Abstand Punkt – Ebene.
p~
E
g⊥ :


3
1
~
x =  5  + λ 2 
2
1
⇐⇒
Fakultät Grundlagen
~l
x3
x1

n~
n~
L
E : x1 + 2x2 + x3 = 3 ; P(3|5|2)

P
x1
x2
x3
=
=
=
Vektorrechnung
g⊥
x2
3+λ
5 + 2λ
2+λ
Folie: 30
Grundsätzliches
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Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand
Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den
Abstand Punkt – Ebene.
p~
E
g⊥ :


3
1
~
x =  5  + λ 2 
2
1
⇐⇒
(3 + λ) + 2(5 + 2λ) + (2 + λ) = 3
Fakultät Grundlagen
~l
x3
x1

n~
n~
L
E : x1 + 2x2 + x3 = 3 ; P(3|5|2)

P
x1
x2
x3
=
=
=
g⊥
x2
3+λ
5 + 2λ
2+λ
λ = −2
Vektorrechnung
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand
Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den
Abstand Punkt – Ebene.
p~
E
g⊥ :


3
1
~
x =  5  + λ 2 
2
1
⇐⇒
(3 + λ) + 2(5 + 2λ) + (2 + λ) = 3






3
1
1
~l =  5  − 2 2  =  1 
2
1
0
Fakultät Grundlagen
~l
x3
x1

n~
n~
L
E : x1 + 2x2 + x3 = 3 ; P(3|5|2)

P
x1
x2
x3
=
=
=
g⊥
x2
3+λ
5 + 2λ
2+λ
λ = −2
Vektorrechnung
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand
Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den
Abstand Punkt – Ebene.
p~
E
g⊥ :


3
1
~
x =  5  + λ 2 
2
1
⇐⇒
(3 + λ) + 2(5 + 2λ) + (2 + λ) = 3






3
1
1
~l =  5  − 2 2  =  1 
2
1
0
Fakultät Grundlagen
~l
x3
x1

n~
n~
L
E : x1 + 2x2 + x3 = 3 ; P(3|5|2)

P
x1
x2
x3
=
=
=
g⊥
x2
3+λ
5 + 2λ
2+λ
λ = −2






3
1
2
~ = 5  − 1  = 4 
LP
2
0
2
Vektorrechnung
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Ebene; Lotfußpunkt
Die Gerade durch den Punkt P mit
dem Richtungsvektor n~ schneidet die
Ebene im Lotfußpunkt L. Der Abstand
Punkt-Lotfußpunkt ergibt auch den
Abstand Punkt – Ebene.
p~
g⊥ :



3
1
~
x =  5  + λ 2 
2
1
⇐⇒
(3 + λ) + 2(5 + 2λ) + (2 + λ) = 3






3
1
1
~l =  5  − 2 2  =  1 
2
1
0
Fakultät Grundlagen
n~
n~
L
E
E : x1 + 2x2 + x3 = 3 ; P(3|5|2)
√
~ = 2 6
d = |LP|

P
~l
x3
x1
x1
x2
x3
=
=
=
g⊥
x2
3+λ
5 + 2λ
2+λ
λ = −2






3
1
2
~ = 5  − 1  = 4 
LP
2
0
2
Vektorrechnung
Folie: 30
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
u~
P
x3
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
~x0
g
x2
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
u~
P
x3
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
~x0
L
E⊥
g
x2
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
Der Abstand PL ergibt auch den Abstand
Punkt – Gerade.
u~
P
E⊥
p~
~l
x3
x1
Fakultät Grundlagen
L
Vektorrechnung
~x0
g
x2
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
Der Abstand PL ergibt auch den Abstand
Punkt – Gerade.
P(1|1|6)

g:

 
2
1
~x =  1  + λ 2 
1
3
u~
P
E⊥
p~
~l
x3
x1
Fakultät Grundlagen
L
Vektorrechnung
~x0
g
x2
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
Der Abstand PL ergibt auch den Abstand
Punkt – Gerade.
P(1|1|6)

g:

 
2
1
~x =  1  + λ 2 
1
3
u~
P
Fakultät Grundlagen
E⊥
p~
~l
x3
x1
E⊥ : 1x1 +2x2 +3x3
L
Vektorrechnung
~x0
g
x2
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
Der Abstand PL ergibt auch den Abstand
Punkt – Gerade.
P(1|1|6)
P

 
2
1
~x =  1  + λ 2 
1
3
· 1 + 3 · 6}
E⊥ : 1x1 +2x2 +3x3 = |1 · 1 + 2{z
L
E⊥
p~
~l
x3

g:
u~
x1
~x0
g
x2
=21
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
Der Abstand PL ergibt auch den Abstand
Punkt – Gerade.
P(1|1|6)

 
2
1
~x =  1  + λ 2 
1
3
· 1 + 3 · 6}
E⊥ : 1x1 +2x2 +3x3 = |1 · 1 + 2{z
x1
x2
x3
=
=
=
2+λ
1 + 2λ
1 + 3λ
P
L
E⊥
p~
~l
x3

g:
u~
x1
~x0
g
x2
=21
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
Der Abstand PL ergibt auch den Abstand
Punkt – Gerade.
P(1|1|6)

 
2
1
~x =  1  + λ 2 
1
3
· 1 + 3 · 6}
E⊥ : 1x1 +2x2 +3x3 = |1 · 1 + 2{z
x1
x2
x3
=
=
=
2+λ
1 + 2λ
1 + 3λ
P
L
E⊥
p~
~l
x3

g:
u~
x1
~x0
g
x2
=21
(2 + λ) + 2(1 + 2λ) + 3(1 + 3λ) = 21
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
λ=1
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
Der Abstand PL ergibt auch den Abstand
Punkt – Gerade.
P(1|1|6)
P

 
2
1
~x =  1  + λ 2 
1
3
· 1 + 3 · 6}
E⊥ : 1x1 +2x2 +3x3 = |1 · 1 + 2{z
x1
E⊥
~l
~x0
Vektorrechnung
g
x2
=21
= 2+λ
= 1 + 2λ
(2 + λ) + 2(1 + 2λ) + 3(1 + 3λ) = 21
= 1 + 3λ
 
 

2
1
3
~l =  1 +  2  =  3 ;
1
3
4
x1
x2
x3

Fakultät Grundlagen
L
p~
x3

g:
u~
λ=1
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
Der Abstand PL ergibt auch den Abstand
Punkt – Gerade.
P(1|1|6)
P

 
2
1
~x =  1  + λ 2 
1
3
· 1 + 3 · 6}
E⊥ : 1x1 +2x2 +3x3 = |1 · 1 + 2{z
x1
E⊥
~l
~x0
Vektorrechnung
g
x2
=21
= 2+λ
= 1 + 2λ
(2 + λ) + 2(1 + 2λ) + 3(1 + 3λ) = 21
= 1 + 3λ

 
 

 
 

2
1
3
1
3
−2
~l =  1 +  2  =  3 ; LP
~ =  1 −  3  =  −2  ;
1
3
4
6
4
2
x1
x2
x3

Fakultät Grundlagen
L
p~
x3

g:
u~
λ=1
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade I
Die Ebene ⊥ g durch den Punkt P schneidet die Gerade in L.
Der Abstand PL ergibt auch den Abstand
Punkt – Gerade.
P(1|1|6)
P

 
2
1
~x =  1  + λ 2 
1
3
· 1 + 3 · 6}
E⊥ : 1x1 +2x2 +3x3 = |1 · 1 + 2{z
L
E⊥
p~
~l
x3

g:
u~
x1
~x0
g
x2
=21
= 2+λ
= 1 + 2λ
(2 + λ) + 2(1 + 2λ) + 3(1 + 3λ) = 21
λ=1
= 1 + 3λ

 
 

 
 

2
1
3
1
3
−2
√
~l =  1 +  2  =  3 ; LP
~ =  1 −  3  =  −2  ; d = |LP| = 2 3
1
3
4
6
4
2
x1
x2
x3

Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 31
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade II
g
u~
p~
~x0
P
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 32
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade II
Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u~ der Geraden und vom
Verbindungsvektor ~v = p~ − ~x0 aufgespannt.
g
u~
~v
p~
~x0
P
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 32
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade II
Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u~ der Geraden und vom
Verbindungsvektor ~v = p~ − ~x0 aufgespannt.
Dabei gilt für den Abstand d:
g
u~
d
~v
d · |~
u | = |~v × u~|
p~
~x0
P
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 32
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade II
Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u~ der Geraden und vom
Verbindungsvektor ~v = p~ − ~x0 aufgespannt.
Dabei gilt für den Abstand d:
g
u~
d
~v
d · |~
u | = |~v × u~|
d
=
|~v × u~|
|~
u|
Fakultät Grundlagen
p~
~x0
P
Vektorrechnung
Folie: 32
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade II
Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u~ der Geraden und vom
Verbindungsvektor ~v = p~ − ~x0 aufgespannt.
Dabei gilt für den Abstand d:
g
u~
d
~v
d · |~
u | = |~v × u~|
d
=
|~v × u~|
|~
u|
p~
~x0
P

g :



1
1
~
x =  0  + λ 1  ; P(0|2|−1)
1
−2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 32
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade II
Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u~ der Geraden und vom
Verbindungsvektor ~v = p~ − ~x0 aufgespannt.
Dabei gilt für den Abstand d:
g
u~
d
~v
d · |~
u | = |~v × u~|
d
=
|~v × u~|
|~
u|
p~
~x0
P




1
1
g : ~
x =  0  + λ 1  ; P(0|2|−1)
1
−2






0
1
−1
~
v = 2  − 0  = 2  ;
−1
1
−2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 32
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade II
Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u~ der Geraden und vom
Verbindungsvektor ~v = p~ − ~x0 aufgespannt.
Dabei gilt für den Abstand d:
g
u~
d
~v
d · |~
u | = |~v × u~|
d
=
|~v × u~|
|~
u|
p~
~x0
P




1
1
g : ~
x =  0  + λ 1  ; P(0|2|−1)
1
−2






e~1
0
1
−1
~
~ = −1
v = 2  − 0  = 2  ; ~
v ×u
1
−1
1
−2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
e~2
2
1
e~3
−2
−2


2
= 4 
3
Folie: 32
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade II
Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u~ der Geraden und vom
Verbindungsvektor ~v = p~ − ~x0 aufgespannt.
Dabei gilt für den Abstand d:
g
u~
d
~v
d · |~
u | = |~v × u~|
d
=
|~v × u~|
|~
u|
p~
~x0
P




1
1
g : ~
x =  0  + λ 1  ; P(0|2|−1)
1
−2






e~1
0
1
−1
~
~ = −1
v = 2  − 0  = 2  ; ~
v ×u
1
−1
1
−2
√
√
√
√
~| = 4 + 16 + 9 = 29; |~
|~
v ×u
u| = 1 + 1 + 4 = 6
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
e~2
2
1
e~3
−2
−2


2
= 4 
3
Folie: 32
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Punkt – Gerade II
Das Parallelogramm wird vom Richtungsvektor u~ der Geraden und vom
Verbindungsvektor ~v = p~ − ~x0 aufgespannt.
Dabei gilt für den Abstand d:
g
u~
d
~v
d · |~
u | = |~v × u~|
d
=
√
|~v × u~|
= √29
|~
u|
6
p~
~x0
P




1
1
g : ~
x =  0  + λ 1  ; P(0|2|−1)
1
−2






e~1
0
1
−1
~
~ = −1
v = 2  − 0  = 2  ; ~
v ×u
1
−1
1
−2
√
√
√
√
~| = 4 + 16 + 9 = 29; |~
|~
v ×u
u| = 1 + 1 + 4 = 6
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
e~2
2
1
e~3
−2
−2


2
= 4 
3
Folie: 32
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
g1
u~1
~x01
u~2
x3
~x02
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
g2
x2
Folie: 33
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
g1
u~1
Die Messrichtung“ des Abstands d
”
erhält man als Vektorprodukt von u~1 ×~
u2 .
u~1 × u~2
~x01
u~2
x3
~x02
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
g2
x2
Folie: 33
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
Die Messrichtung“ des Abstands d
”
erhält man als Vektorprodukt von u~1 ×~
u2 .
Der Abstand ergibt sich als Projektion
des Verbindungsvektors ~v = ~x01 − ~x02
auf die Richtung u~1 × u~2 :
g1
u~1
~v
d
~x01
u~2
x3
~x02
x1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
g2
x2
Folie: 33
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
Die Messrichtung“ des Abstands d
”
erhält man als Vektorprodukt von u~1 ×~
u2 .
Der Abstand ergibt sich als Projektion
des Verbindungsvektors ~v = ~x01 − ~x02
auf die Richtung u~1 × u~2 :
g1
u~1
~v
d
~x01
u~2
x
3
d
=
|v · (~
u1 × u~2 )|
|~
u1 × u~2 |
~x02
x
1
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
g2
x
2
Folie: 33
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
Die Messrichtung“ des Abstands d
”
erhält man als Vektorprodukt von u~1 ×~
u2 .
Der Abstand ergibt sich als Projektion
des Verbindungsvektors ~v = ~x01 − ~x02
auf die Richtung u~1 × u~2 :
g1
u~1
~v
d
~x01
u~2
x
3
d
=
|v · (~
u1 × u~2 )|
|~
u1 × u~2 |
~x02
x
1
g2
x
2
 


 


1
1
2
1







;
~
~
1
4
1
0
g1 : x =
+λ
; g2 : x =
+µ
0
−3
2
−2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 33
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
Die Messrichtung“ des Abstands d
”
erhält man als Vektorprodukt von u~1 ×~
u2 .
Der Abstand ergibt sich als Projektion
des Verbindungsvektors ~v = ~x01 − ~x02
auf die Richtung u~1 × u~2 :
g1
u~1
~v
d
~x01
u~2
x
3
d
=
|v · (~
u1 × u~2 )|
|~
u1 × u~2 |
~x02
x
1
g2
x
2
 


 


     
1
1
2
1
2
1
1








~
~
~
1
4
1
0
g1 : x =
+λ
; g2 : x =
+µ
; v = 1 − 1 = 0
0
−3
2
−2
2
0
2
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 33
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
Die Messrichtung“ des Abstands d
”
erhält man als Vektorprodukt von u~1 ×~
u2 .
Der Abstand ergibt sich als Projektion
des Verbindungsvektors ~v = ~x01 − ~x02
auf die Richtung u~1 × u~2 :
g1
u~1
~v
d
~x01
u~2
x
3
d
=
|v · (~
u1 × u~2 )|
|~
u1 × u~2 |
~x02
x
1
g2
x
2
 


 


     
1
1
2
1
2
1
1








~
~
~
1
4
1
0
g1 : x =
+λ
; g2 : x =
+µ
; v = 1 − 1 = 0
0
−3
2
−2
2
0
2
e~1
~1 × u
~2 = 1
u
1
e~2
4
0
e~3
−3
−2


−8
=  −1  ;
−4
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 33
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
Die Messrichtung“ des Abstands d
”
erhält man als Vektorprodukt von u~1 ×~
u2 .
Der Abstand ergibt sich als Projektion
des Verbindungsvektors ~v = ~x01 − ~x02
auf die Richtung u~1 × u~2 :
g1
u~1
~v
d
~x01
u~2
x
3
d
=
|v · (~
u1 × u~2 )|
|~
u1 × u~2 |
~x02
x
1
g2
x
2
 


 


     
1
1
2
1
2
1
1








~
~
~
1
4
1
0
g1 : x =
+λ
; g2 : x =
+µ
; v = 1 − 1 = 0
0
−3
2
−2
2
0
2
e~1
~1 × u
~2 = 1
u
1
e~2
4
0
e~3
−3
−2



 

−8
1
−8
=  −1  ; v · (~
~2 ) =  0  ·  −1  = −16
u1 × u
−4
2
−4
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 33
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
Die Messrichtung“ des Abstands d
”
erhält man als Vektorprodukt von u~1 ×~
u2 .
Der Abstand ergibt sich als Projektion
des Verbindungsvektors ~v = ~x01 − ~x02
auf die Richtung u~1 × u~2 :
g1
u~1
~v
d
~x01
u~2
x
3
d
=
|v · (~
u1 × u~2 )|
|~
u1 × u~2 |
~x02
x
1
g2
x
2
 


 


     
1
1
2
1
2
1
1








~
~
~
1
4
1
0
g1 : x =
+λ
; g2 : x =
+µ
; v = 1 − 1 = 0
0
−3
2
−2
2
0
2



 

e~1 e~2
e~3 −8
1
−8
~1 × u
~2 = 1
~2 ) =  0  ·  −1  = −16
4 −3 =  −1  ; v · (~
u
u1 × u
1
0 −2 −4
2
−4
√
~2 | = 64 + 1 + 16 = 9;
|~
u1 × u
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 33
Grundsätzliches
Produkte
Anwendungen in der Geometrie
Darstellung von Ebene und Gerade
Grundaufgaben
Abstand Gerade – Gerade
Die Messrichtung“ des Abstands d
”
erhält man als Vektorprodukt von u~1 ×~
u2 .
Der Abstand ergibt sich als Projektion
des Verbindungsvektors ~v = ~x01 − ~x02
auf die Richtung u~1 × u~2 :
g1
u~1
~v
d
~x01
u~2
x
3
d
=
|v · (~
u1 × u~2 )|
| − 16|
=
9
|~
u1 × u~2 |
~x02
x
1
g2
x
2
 


 


     
1
1
2
1
2
1
1








~
~
~
1
4
1
0
g1 : x =
+λ
; g2 : x =
+µ
; v = 1 − 1 = 0
0
−3
2
−2
2
0
2



 

e~1 e~2
e~3 −8
1
−8
~1 × u
~2 = 1
~2 ) =  0  ·  −1  = −16
4 −3 =  −1  ; v · (~
u
u1 × u
1
0 −2 −4
2
−4
√
~2 | = 64 + 1 + 16 = 9;
|~
u1 × u
Fakultät Grundlagen
Vektorrechnung
Folie: 33