Mathematische Modelle in Angewand- ten
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Mathematische Modelle in Angewandten Wissenschaften LVA 405.880 C. Fuchs Inhaltsübersicht 19.01.2016 Inhaltsübersicht Diese Lehrveranstaltung dient zur Finalisierung der mathematischen Ausbildung im Lehramtsstudium UF Mathematik. Es werden ausgewählte Themen behandelt, welche eine Brücke zwischen theoretischen Konzepten und Anwendungen darstellen. Gelegentlich werden dabei einige Begriffe wiederholt bzw. neu eingeführt und diskutiert. Der Fokus der Lehrveranstaltung im WS15/16 liegt dabei auf diskreten Modellen. Aspekte, welche Methoden aus der Analysis, der Geometrie oder der Stochastik benötigen, werden hier nicht weiter betrachtet. Hingegen werden Methoden der Algebra, Zahlentheorie und der diskreten Mathematik (insbesondere der Graphentheorie) eingesetzt, um Probleme der realen Welt zu beschreiben (modellieren), zu analysieren und zu bearbeiten. Die Vorlesung behandelt (voraussichtlich) die folgenden Themen: §1. Phasenfolgen and durch Ampeln geregelte Kreuzungen §2. Projektplanung mittels CPM §3. Gleichgewicht in soziologischen Strukturen §4. Abstimmungsverfahren bei Wahlen §5. Analysis und Entwurf von elektrischen Schaltungen §6. Das DNS-Protein-Codierungsproblem §7. Elemente der Automatentheorie §8. Formale Sprachen und ein Beispiel aus der Biologie §9. Melodien für Glockenspiele §10. Heiratssysteme §11. Kristallographische Gruppen §12. Zähltheorie und Anwendungen §13. Ausbeutung von Tierpopulationen §14. Simulation von Epidemien Bei Fragen oder Bemerkungen (speziell Hinweise auf Fehler aller Art sind willkommen; Tippfehler ausgenommen) schicken Sie ein Email an [email protected]. 1 §1. Phasenfolge und durch Ampeln geregelte Kreuzungen 1.1 Grundsätzliches zur Fragestellung Beispiel 1.2 Phase, optimale Phase Beispiel 1.3 Modell=Graph, Phase=vollständiger Teilgraph, optimale Phase=optimaler Teilgraph Beispiel 1.4 Lexikographische Ordnung 1.5 Verfahren zur Suche nach einem optimalen Teilgraphen mit erstem Knoten i1 1.6 Verfahren zur Bestimmung aller optimalen Teilgraphen Beispiel 1.7 Bemerkungen §2. Projektplanung mittels CPM 2.1 Grundsätzliches 2.2 Modell 2.3 Ereignisse, Scheinvorgänge 2.4 Zusammenführungsregeln, (CPM)-Netzplan Beispiel 2.5 Sortierung der Knoten, Start- und Zielknoten 2.6 Zeitplanung 2.7 kritischer Vorgang, kritischer Weg 2.8 Folgerungen und Verfahren zu Bestimmung der kritischen Wege Beispiel §3. Gleichgewicht in soziologischen Strukturen 3.1 Grundsätzliches 3.2 Modell Beispiel 3.3 Graphen mit Vorzeichen, Kantenfolgen, Kreise, soziologische Interpretation Beispiel 2 3.4 Gleichgewicht, Stabiltät 3.5 Satz ::::: Beispiel 3.6 Bemerkungen §4. Abstimmungsverfahren bei Wahlen 4.1 Grundsätzliches (HO, Hasse-Diagramm) 4.2 Präferenzrelationen 4.3 Beispiele 4.4 Satz ::::: 4.5 Satz: Sei (H, ≤) eine Halbordnung. Gibt es eine Abbildung h : H → Z mit a < b ⇔ h(a) < ::::: h(b), so ist (H, ≤) eine Präferenzordnung. 4.6 Modell für Wahlenentscheidungen 4.7 Beispiele 4.8 Forderungen an ein gerechtes Wahlverfahren 4.9 Satz ::::: 4.10 Weitere Bemerkungen §5. Analyse und Entwurf von elektrischen Schaltungen 5.1 Boolesche Algebra, Boolesche Funktion 5.2 Zweipolserienparallelschaltung: ... sind elektrische Netzwerke mit zwei Endpunkten (Polen), welche sich aus Schaltern durch Anwendung der Grundoperationen “Hintereinanderschaltungünd “Parallelschaltungäufbauen lassen. Schalter, welche stets denselben Zustand (also geöffnet oder geschlossen) haben, werden mit demselben Buchstaben bezeichnet. Schalter, welche genau dann geöffnet sind, wenn ein Schalter X geschlossen ist, wird mit X 0 bezeichnet. 5.3 Schaltwert, Schaltfunktion (sind Abbildungen von B2n → B2 ), Schaltwerttafel 5.4 Schaltungsform, Schaltskizze 5.5 Konjunktive und disjunktive Normalform 5.6 Satz Sei h jene Abbildung, die einer Schaltungsform in X1 , . . . , Xn die zugehörige Schalt:::: funktion in der booleschen Algebra (Abb(B2n , B2 ), ∪, ∩,0 ) zuordnet. Dann ist h surjektiv und 3 erfüllt h(F1 ∨ F2 ) = h(F1 ) ∪ h(F2 ), h(F1 ∧ F2 ) = h(F1 ) ∩ h(F2 ), h(X 0 ) = h(X)0 für alle Schaltungsformen F1 , F2 und alle Schalter X. 5.7 Äquivalenz von Schaltung 5.8 Analyse und Synthese von Schaltungen 5.9 Verfahren von Quine-McCluskey 5.10 Verfahren nach Karnaugh und Veitch, Karnaugh-Diagramme §9. Melodien für Glockenspiele 9.1 Permutationsgruppe, Zyklenschreibweise, Eigenschaften (jede Permutation lässt sich als Produkt elementfremder Zyklenschreiben, jede Permutation lässt sich als Produkt von Tranpositionen schreiben), Signum, alternierende Gruppe 9.2 Transitivität, Bahnen Beispiele: {(1), (12), (34), (12)(34)} ist nicht transitiv, {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ist transitiv. 9.3 Stabilisator und Bahngleichung Beispiele 9.4 regulär 9.5 Satz Eine transitive Permutationsgruppe auf einer n-elementigen Menge ist genau dann ::::: regulär, wenn ihre Ordnung gleich n ist. 9.6 Erzeuger 9.7 Campanologie, Wechsel, Regeln, Weg einer Glocke 9.8 Modell und Darstellung 9.9 Glockenspiele mit drei Glocken 9.10 Glockenspiele mit vier Glocken §10. Heiratssysteme 10.1 Zur Fragestellung, Heiratsgesetze, Kemeny-Snell-Thompson-Heiratsgesetze Beispiel 10.2 Modellierung, Heiratsgruppe 10.3 Verwandtschaftspermutation 4 10.4 irreduzible Gesellschaften 10.5 Satz VI ist genau dann erfüllt, wenn [π, ρ] transitiv ist. ::::: 10.6 VII und Fixpunkte 10.7 Satz uber Heiratsgesetze :::::::̈::::::::::::::::::: MBT-Heiraten 10.8 Satz ::::: 10.9 Kinship-Systeme 10.10 Bestimmung aller Kinship-Systeme für vier Heiratstypen §12. Zähltheorie und Anwendungen 12.1 Gruppenaktion 12.2 Orbit/Bahn, Stabilisator 12.3 Stabilistator ist eine Untergruppe 12.4 Bahngleichung (Lemma von Burnside) 12.5 Satz :::::::::::::::::::::::::::::: 12.6 Beispiel 1: Wieviele verschiedene Halsketten kann man aus 3 weißen und 6 schwarzen Perlen knüpfen, wenn man annimmt, dass Perlen derselben Farbe voneinander nicht unterschieden werden können? 12.7 Beispiel 2: Wieviele nicht-äquivalente Serienparallelschaltungen gibt es, welche sich aus 3 Schaltern aufbauen lassen? Zwei Schaltungen, welche sich dabei nur durch eine Permutation der Schalter unterscheiden, sollen als gleich angesehen werden. 12.8 Beispiel 3: Auf wieviele Arten kann man die 8 Ecken eines Würfels einfärben, wenn man 6 Farben zur Verfügung hat. Literatur 1. D. Dorninger, W. Müller: Allgemeine Algebra und Anwendungen, Teubner, 1984 2. D. Dorninger, G. Karigl, W. Timischl: Modelle der Angewandten Wissenschaften (Diskrete Modelle), Vorlesungsskriptum, TU Wien, 1993 3. K.-H. Zimmermann: Diskrete Mathematik, Books on Demand, 2006, ISBN978-3-83345529-2 5
