Originalprüfung 2007 Niedersachsen

Originalklausur
mit Musterlösung
Abitur Physik
Aufgabe I:
Aufgabe II:
Experimente mit Elektronen
Abklingprozesse
In den Aufgabenstellungen werden unterschiedliche Operatoren (Arbeitsanweisungen) verwendet; sie weisen auf unterschiedliche Anforderungsbereiche
(Schwierigkeitsgrade) hin und bedeuten, dass unterschiedlich viele Punkte
erzielt werden können. Die Lösungen zeigen beispielhaft, welche Antworten
die verschiedenen Operatoren erfordern.
Alles Wissenswerte rund um die Abiprüfung finden Sie im Buch im Kapitel
„Prüfungsratgeber und Prüfungsaufgaben“.
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Für die Fächer Deutsch, Englisch, Mathematik, Geschichte,
Biologie, Chemie, Physik sowie Politik und Wirtschaft
Zentralabitur 2007
Physik
Aufgabe I
LK
Schülermaterial
Bearbeitungszeit: 300 min
Thema: Experimente mit Elektronen
Aufgabenstellung
Bei den in der ersten Aufgabe angesprochenen Fragestellungen zum Hall-Effekt werden
Elektronen als Teilchen betrachtet. Bei der Bearbeitung der Aufgaben 2 und 3 wird das
Wellenmerkmal von Elektronen herangezogen, um Experimente auszuwerten, bei denen
Elektronen an einer Oberfläche mit Gitterstruktur reflektiert werden.
Aufgabe 1
Mit Hilfe einer Hall-Sonde können Magnetfelder untersucht werden. Die Funktionsweise der Sonde
beruht auf dem Hall-Effekt.
1.1
In einem ersten Versuch wird eine Hall-Sonde in ein Magnetfeld mit der magnetischen
Flussdichte B gebracht. Bei verschiedenen Stromstärken I wird die Hall-Spannung UH
gemessen. In einem zweiten Versuch werden nacheinander fünf Hall-Sonden
verschiedener Dicke d im selben Magnetfeld verwendet, um bei jeweils gleicher
Stromstärke I die Hall-Spannung UH zu messen. Alle verwendeten Hall-Sonden bestehen
aus dem gleichen Halbleitermaterial. Die Messergebnisse sind in Tabelle 1 und Tabelle 2
dargestellt.
Ermitteln Sie für jede Messreihe den jeweiligen funktionalen Zusammenhang.
Formulieren Sie unter Berücksichtigung aller Messwerte ein beide Messreihen erfassendes
Gesamtergebnis für die Hall-Spannung UH in Abhängigkeit von der Sondenstromstärke I
und der Sondendicke d ( UH = f(I, d) ) .
Hinweis: Die Bedeutung von I und d ergibt sich aus Abb. 1. Die magnetische Flussdichte B wird
manchmal auch als magnetische Feldstärke B bezeichnet.
1.2
Erläutern Sie unter Zuhilfenahme einer geeigneten Skizze den Hall-Effekt.
1.3
Leiten Sie begründet die Gleichung für die Hall-Spannung her: UH =
B I
⋅ .
n ⋅e d
Hinweis: n ist die Ladungsträgerdichte (Anzahl der Ladungen pro Volumen), e ist die
Elementarladung.
1.4
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihres Gesamtergebnisses aus Aufg. 1.1 und der Gleichung aus
Aufg. 1.3 die Ladungsträgerdichte n der im Versuch verwendeten Hall-Sonde.
1.5
Leiter haben im Gegensatz zu Halbleitern eine größere Ladungsträgerdichte n.
Erläutern Sie, weshalb man als Hallsondenmaterial in der Regel Halbleiter verwendet.
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Physik
Aufgabe I
LK
Schülermaterial
Bearbeitungszeit: 300 min
Aufgabe 2
Ein Elektronenstrahl einheitlicher Energie trifft auf die Oberfläche eines Kristalls und wird dort
gestreut. Die gestreuten Elektronen werden mit einem Detektor registriert, der auf einem
Kreisbogen um den Auftreffpunkt der Strahlung geschwenkt werden kann (siehe Abb. 2 und
Abb. 3). Die Zählrate wird in Abhängigkeit vom Streuwinkel ϕ gemessen. Dabei liegt ϕ zwischen
5°und 80°. Es werden nur solche Elektronen registriert, deren Energie sich bei der Streuung nicht
verändert.
2.1
Erläutern Sie mit Hilfe des Wellen- oder des Zeigermodells, wie der in Abb. 4 dargestellte
Kurvenverlauf zustande kommt.
Hinweis: Es soll angenommen werden, dass die Elektronen nur an der äußeren Atomlage gestreut
werden (siehe Abb. 3). Ersetzt man den Elektronenstrahl durch einen Laserstrahl und den Kristall
durch ein optisches Reflexionsgitter, erhält man ein ähnliches Ergebnis.
2.2
Skizzieren Sie den Aufbau eines Experimentes, das zeigt, dass Elektronen ein
Wellenmerkmal zugeordnet werden kann.
Beschreiben Sie die Durchführung und die für die Zuordnung dieses Wellenmerkmals
wesentliche Beobachtung.
2.3
Gehen Sie stark vereinfachend davon aus, dass die auf den Kristall treffenden Elektronen
ausschließlich von den Atomen der Kristalloberfläche gestreut werden.
Leiten Sie mit Hilfe der Abb. 3 die Näherungsgleichung k ⋅ λ ≈ g ⋅ sin ϕ (k = 1, 2, 3, …) zur
Bestimmung der Wellenlänge λ begründet her.
Hinweis: g ist der Abstand zweier Atome in der Kristalloberfläche.
2.4
Nehmen Sie an, dass es sich bei der Darstellung in der Abb. 4 um das Maximum erster
Ordnung handelt.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Näherungsgleichung aus Aufgabe 2.3 die Wellenlänge λ, die
den Elektronen in diesem Experiment zuzuordnen ist ( g = 2,15 ⋅ 10 −10 m ).
Begründen Sie, dass bei diesem Experiment kein weiteres Maximum zu registrieren ist.
2.5
Das Experiment soll mit Elektronenstrahlung größerer Energie unter sonst gleichen
Bedingungen wiederholt werden, um auch das Maximum zweiter Ordnung beobachten zu
können.
Berechnen Sie, bei welchem Winkel ϕ2 das Maximum zweiter Ordnung aufzufinden wäre,
wenn das erste bei ϕ1 = 29° angenommen wird.
Erläutern Sie Ihre Überlegungen.
Aufgabe 3
Zur Erzeugung der Elektronenstrahlung im Experiment aus der Aufg. 2 werden Elektronen im
elektrischen Feld zwischen einer geheizten Kathode und einer Anode beschleunigt.
3.1
In dem zu Abb. 4 gehörenden Fall betrug die Beschleunigungsspannung 54 V.
Berechnen Sie aus dieser Angabe den Impuls und die Wellenlänge λ der Elektronen.
Vergleichen Sie das Ergebnis für die Wellenlänge λ mit der in Aufgabe 2.3 ermittelten
Wellenlänge.
3.2
Beschreiben Sie ein Experiment, mit dem die plancksche Konstante h bestimmt werden
kann.
Erläutern Sie die für die Bestimmung von h wesentlichen Gedankengänge.
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Physik
Aufgabe I
LK
Schülermaterial
Bearbeitungszeit: 300 min
Material
Für die nachfolgenden Messreihen ist die Hallsonde so angeordnet, dass sich jeweils maximale
Hallspannungen UH ergeben.
Tabelle 1
B = 60 mT , d = 1,0 mm
I in mA
10
15
UH in mV
0,7
1,1
20
1,4
25
1,8
30
2,2
35
2,5
40
2,9
______________________________________________________________________________
Tabelle 2
B = 60 mT , I = 35 mA
d in mm
1
UH in mV
2,5
1,5
1,7
2
1,3
2,5
1,0
3
0,8
______________________________________________________________________________
I
b
d
B
Abb. 1: Prinzipskizze einer Hall-Sonde
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Physik
Aufgabe I
LK
Schülermaterial
Bearbeitungszeit: 300 min
Richtung der
einfallenden
Elektronen
Elektronenquelle
Elektronendetektor
Zum Elektronendetektor
ϕ
ϕ
Kristalloberfläche
g
Kristall
g = 2,15 ⋅ 10 −10 m
Abb. 2: Prinzipskizze des Versuchsaufbaus
Abb. 3: Detailansicht der Kristalloberfläche
______________________________________________________________________________
90
Zählrate in
willkürlichen 80
Einheiten
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Winkel ϕ in °
Abb. 4: Ergebnis des Streuexperiments mit Elektronen
______________________________________________________________________________
Hilfsmittel
• Eine für das Abitur 2007 zugelassene physikalische Formelsammlung
• Taschenrechner
• Mathematische Formelsammlung
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Zentralabitur 2007
Physik
Aufgabe II
LK
Schülermaterial
Bearbeitungszeit: 300 min
Thema: Abklingprozesse
Aufgabenstellung
In den folgenden Aufgaben werden anhand des radioaktiven Zerfalls und der gedämpften
elektromagnetischen Schwingung zwei Abklingprozesse betrachtet.
Außerdem werden die Vorgänge im Halbleiterdetektor und im elektromagnetischen Schwingkreis
untersucht.
Aufgabe 1:
Bei der Untersuchung des Zerfalls eines radioaktiven Nuklids wird ein Halbleiterdetektor als
Nachweisgerät verwendet. Dabei wird der Halbleiterdetektor im Experiment als Zählgerät
eingesetzt. Man erhält den Messgraphen der Abb. 1.
1.1
Bestimmen Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen der Zählrate R und der Zeit t
[ R = f (t ) ] sowie die Halbwertszeit t H des in dem Präparat enthaltenen Nuklids.
1.2
Erläutern Sie die Funktionsweise eines Halbleiterdetektors als Zählraten- und
Energiemessgerät zur Untersuchung von Kernstrahlung.
1.3
Das Nuklid aus Aufg. 1.1 wird ersetzt durch
1.3.1 ein Nuklid mit doppelter Halbwertszeit bei gleicher Aktivität,
1.3.2 ein Nuklid mit halber Aktivität bei gleicher Halbwertszeit.
Zeichnen Sie für beide Fälle in die Abb. 1 je eine hypothetische Messkurve ein.
Erläutern Sie Ihr Vorgehen.
Aufgabe 2:
In dem elektromagnetischen Schwingkreis nach Abb. 2 wird der Kondensator in Schalterstellung
(1) aufgeladen. Anschließend wird in Schalterstellung (2) die Spannung UC am Kondensator in
Abhängigkeit von der Zeit t aufgezeichnet.
2.1
Skizzieren Sie den Verlauf der Spannung UC in Abhängigkeit von der Zeit t für den Fall
einer ungedämpften elektromagnetischen Schwingung; benutzen Sie dabei folgende Werte:
Periodendauer T = 60 ms, Ladespannung U = 45 V.
Erklären Sie qualitativ mit Hilfe energetischer Betrachtungen, wie es zur Entstehung einer
elektromagnetischen Schwingung kommt.
Hinweis: Beschränken Sie sich auf eine Periode und den ungedämpften Fall.
2.2
In den Schwingkreis nach Abb. 2 wird ein zusätzlicher Widerstand in Reihe zur Spule
eingebaut. Abb. 3 zeigt den bei einer Messung ermittelten Graphen für den zeitlichen
Verlauf der Kondensatorspannung.
Zeichnen Sie in diese Abbildung näherungsweise den zeitlichen Verlauf der Stromstärke I
im Schwingkreis ein.
Begründen Sie den Verlauf des Graphen.
Berechnen Sie die im Schwingkreis vorhandene Energie für die in der Abb. 3
gekennzeichneten Punkte A und C.
Erläutern Sie die Unterschiede der Energiebilanzen für die Punkte A und C.
Stellen Sie für den Punkt B eine qualitative Energiebetrachtung an.
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Physik
Aufgabe II
LK
2.3
Schülermaterial
Bearbeitungszeit: 300 min
Ermitteln Sie die Schwingungsfrequenz f aus dem Messgraphen in Abb. 3.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihres Ergebnisses die Induktivität L der Spule im Schwingkreis.
Hinweis: Es wird der Kondensator aus Abb. 2 verwendet. Die Dämpfung der Schwingung braucht für
diese Berechnung nicht berücksichtigt zu werden.
Aufgabe 3:
Die Periodendauer T des betrachteten Schwingkreises kann durch Verwendung von
Kondensatoren unterschiedlicher Kapazität C variiert werden. Die zugehörigen Messungen werden
ohne den in Aufg. 2.2 zusätzlich eingebauten Widerstand vorgenommen. Man erhält die
Messwerte in Tabelle 1.
3.1
Stellen Sie die Messwerte aus Tabelle 1 graphisch dar.
3.2
Ermitteln Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen der Periodendauer T und der
Kapazität C [ T = f(C) ].
Der Hersteller der Kondensatoren garantiert die Einhaltung der jeweils aufgedruckten
Kapazität mit einer Genauigkeit von besser als 30%.
Beurteilen Sie auf der Grundlage des in Aufg. 3.1 erstellten Diagramms und der Messwerte
in der Tabelle 1 die Qualitätsangabe des Herstellers.
3.3
Bestimmen Sie mit dem in Aufg. 3.2 gefundenen funktionalen Zusammenhang die
Induktivität L der Spule.
3.4
In einem Schwingkreis können anstelle von Kondensatoren auch spezielle Halbleiterdioden
verwendet werden. Eine Halbleiterdiode wirkt, wenn sie in Sperrrichtung geschaltet ist, wie
ein Kondensator mit einer Kapazität C.
Erläutern Sie diese Eigenschaft der Halbleiterdiode.
Begründen Sie, dass die Kapazität der Halbleiterdiode durch Änderung der angelegten
Spannung geändert werden kann.
3.5
Die Halbleiterdioden im Halbleiterdetektor werden in Sperrrichtung betrieben, daher kann
man sie auch hier als Kondensatoren auffassen. Die Abb. 4 zeigt, dass das Eintreffen eines
Alphateilchens im Halbleiterdetektor einen Schwingungsvorgang im System aus
Halbleiterdiode und Zuleitungen auslöst. Die Anfangsenergie der Schwingung wird dabei
dem schwingenden System auf andere Weise zugeführt als im Schwingkreis in Aufg. 2.
Stellen Sie die beiden Vorgänge der Energiezuführung im Vergleich zueinander dar.
Hinweis: Die Schwingungsvorgänge selbst brauchen hier nicht betrachtet zu werden.
Messungen mit dem Halbleiterdetektor werden ungenau, wenn die Aktivität des
untersuchten Strahlers zu hoch ist.
Leiten Sie aus der Abb. 4 eine mögliche Begründung für diese Feststellung ab.
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Physik
Aufgabe II
LK
Schülermaterial
Bearbeitungszeit: 300 min
Material
R in s-1
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
t in s
Abb. 1: Zählrate in Abhängigkeit von der Zeit
Hinweis: Der Nulleffekt ist bereits berücksichtigt.
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Aufgabe II
LK
Schülermaterial
Bearbeitungszeit: 300 min
Abb. 2: Schaltbild des Versuchsaufbaus aus Spule und Kondensator
______________________________________________________________________________
UC
in V
A
B
C
t in ms
Abb. 3: Messgraph der Spannung am Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit
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Aufgabe II
LK
Schülermaterial
Bearbeitungszeit: 300 min
Tabelle 1: Periodendauer T in Abhängigkeit von der Kapazität des Kondensators C
Verwendet wurden handelsübliche Kondensatoren oder Parallelschaltungen von je
zwei dieser Kondensatoren.
C in µF
22
47
100
147
220
440
470
940
1000
T in s
0,026
0,041
0,058
0,074
0,090
0,122
0,141
0,168
0,170
______________________________________________________________________________
Abb. 4: Spannungsverlauf am Halbleiterdetektor nach Eintreffen eines Alphateilchens,
Darstellung mit hoher zeitlicher Auflösung
Hilfsmittel
• Eine für das Abitur 2007 zugelassene physikalische Formelsammlung
• Taschenrechner
• Mathematische Formelsammlung
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Musterlösung für die
Prüfungsaufgaben Abitur
Prüfungsfach:
Physik (Niedersachsen 2007, Aufgabenstellung II)
Autor:
Dr. Rainer Reichwald
Hinweis: Die gesamte Abiturprüfung besteht aus Aufgabe I und Aufgabe II, zwischen denen
zu wählen ist. Hier wird die Lösung der Aufgabe II beschrieben.
Aufgabe 1
1.1
Es handelt sich vermutlich um eine Exponentialfunktion der Form R(t ) = R0 ⋅ e −kt .
Eine Entscheidung kann z.B. über eine grafische Darstellung erfolgen.
Wenn R(t ) = R0 ⋅ e −kt , so gilt l n R(t ) = ln R0 − kt . Somit muss der Graph im t-ln R(t)-Diagramm
eine Gerade ergeben. Aus dem Diagramm werden einige Wertepaare abgelesen, dann wird
ln R berechnet.
R(t) in 1/s
12,5
9
4,8
2
ln R(t)
4,8
4,5
3,9
3
t in s
15
30
60
120
© Dudenverlag, Bibliografisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 2008
1
Die grafische Darstellung der Messwerte im t-ln R(t)-Diagramm stellt in guter Näherung eine
Gerade dar. Abweichungen sind durch Messfehler zu erklären. Somit hat sich die Vermutung
bestätigt, dass der Zerfall der radioaktiven Nuklide exponentiell mit der Zeit abnimmt. Es gilt
R(t ) = R0 ⋅ e −kt . Aus der grafischen Darstellung ist durch Extrapolation
ln R0 ≈ 0,5 ⇒ R0 ≈ 16 bestimmbar. Die Halbwertszeit lässt sich nun aus der Abb. 1 der
Aufgabenstellung leicht ablesen: tH ≈ 35s . Der Anstieg der linearen Funktion ist die
Zerfallskonstante k =
Δ ln R(t )
= 0,02s −1 .
Δt
1.2
Ein Halbleiterdetektor ist eine Halbleiterdiode, deren pn-Grenzschicht (hier fehlen bewegliche
Ladungsträger) besonders breit ist. Die Diode ist für die Messung in Sperrrichtung
geschaltet. Treffen nun ionisierende Strahlung in die Grenzschicht ein, werden (bei
geeigneter Energie der Strahlung) Elektronen und Defektelektronen erzeugt. Diese
Ladungsträger bewegen sich gerichtet durch das angelegte Feld und rufen somit einen
kurzzeitigen Stromfluss und Spannungsimpuls hervor. Dies kann gemessen werden.
Die Anzahl der freigesetzten Ladungsträger ist durch die geringen Energieverluste bei deren
Erzeugung relativ groß. Deshalb hat ein Halbleiterdetektor eine hohe Energieauflösung.
1.3
Da die Zählrate R die Anzahl der gemessenen Impulse pro Zeiteinheit darstellt, ist die
Zählrate der Aktivität direkt proportional.
Somit ergeben sich für den
1. Graphen R1(t ) mit tH,1 = 2tH = 70s und R0,1 = 16 und für den
2.Graphen R2 (t ) mit tH ,2 = tH = 35s und R0,2 = 8 folgende hypothetische Messkurven:
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2
Aufgabe 2
2.1
Mit dem gegebenen Werten erhält man folgenden Graphen:
Energetische Betrachtungen:
Die Gesamtenergie bleibt zu jeden beliebigen Zeitpunkt erhalten. Es gilt Eges = konstant, da
keine Energie (nach Voraussetzung) vom Schwingkreis abgegeben wird.
Zum Zeitpunkt t0 = 0 s:
Zu diesem Zeitpunkt ist der Kondensator mit der maximalen Spannung U = 45 V aufgeladen.
Es fließt kein Strom. Die gesamte Energie des Schwingkreises ist im elektrischen Feld des
1
2
Plattenkondensator gespeichert (Eges = Eelektr = C ⋅ U 2 ).
Im Zeitintervall 0 > t >
T
:
4
Während der Entladung des Kondensators fließt ein von Null anwachsender Strom auch
durch die Spule. Dadurch baut die Spule ein Magnetfeld auf. Diese magnetische Feldenergie
der Spule nimmt im gleichen Maße zu, wie die Energie des Kondensators abnimmt.
Es gilt Eges = Eelektr + Emagnetisch .
Zum Zeitpunkt t =
T
:
4
Der Kondensator ist vollständig entladen. Die gesamte Energie des Schwingkreises ist im
1
2
Magnetfeld der Spule gespeichert (Eges = Emagn = L ⋅ I 2 ). Durch die Selbstinduktion ist zu
diesem Zeitpunkt der Stromfluss durch die Spule am größten.
Im Zeitintervall
T
T
>t > :
4
2
Durch die Selbstinduktion fließt der Strom weiter und lädt den Kondensator mit umgekehrter
Polung auf. Die Energie des Magnetfeldes nimmt ab und im gleichen Maße nimmt die
elektrische Energie des Plattenkondensators zu. Es gilt Eges = Eelektr + Emagnetisch .
Zum Zeitpunkt t =
T
:
2
Der Kondensator ist mit umgekehrter Polarität vollständig aufgeladen.
1
2
Es gilt Eges = Eelektr = C ⋅ U 2 .
Nun beginnt der Vorgang (mit umgekehrter Polarität) von vorne. Nach t = T ist der
Ausgangszustand wieder erreicht.
© Dudenverlag, Bibliografisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 2008
3
2.2
Graph mit I(t):
Bei der periodischen Umwandlung Eelektr in Emagnetisch und umgekehrt fließt auch ein Strom
durch den ohmschen Widerstand. Dadurch wird ein Teil der Energie des Schwingkreises in
thermische Energie umgewandelt und steht dem Schwingkreis nicht mehr zur Verfügung.
Somit wird die Schwingung gedämpft. Dabei bleibt die Schwingungsdauer konstant.
Die Phasenverschiebung zwischen I und Uc von
π
2
ergibt sich aus der Induktivität der Spule
im Schwingkreis. Für die Induktionsspannung gilt Uind = –L · I ⇒ Uind ∝ I . Demzufolge
existieren zu bestimmten Zeitpunkten Spannungsmaxima, und zwar dort, wo auch die
zeitliche Änderung des Stromflusses am größten ist. Dies ist zu den Zeitpunkten der Fall, zu
denen der Graph I(t) die Zeitachse schneidet und I(t) = 0 ist. Im Graph ist dies durch den
Anstieg von I(t) erkennbar. Zu den Zeitpunkten, wo die Spannung Null ist, hat der Strom ein
Maximum, und es ist I = 0. Der Anstieg des Graphen I(t) ist an diesen Stellen Null.
Berechnen der Schwingkreisenergie in den Punkten A und C
1
2
Aus dem Diagramm ergibt sich U A = 17 V , UC = −10 V .
In den Punkten A und C gilt Eges = Eelektrisch = C ⋅ U 2 , da I(t) = 0.
1
2
Daraus erhält man Eges,A = C ⋅ U 2 = 5 ⋅ 10−5 F ⋅ 2,89 ⋅ 102 V 2 = 1,5 ⋅ 10−2
EC =
AS 2
⋅ V = 0,015 J und
V
1
AS 2
C ⋅ U 2 = 5 ⋅ 10−5 F ⋅ 102 V 2 = 0,5 ⋅ 10−3
⋅ V = 0,005 J .
2
V
Die Schwingkreisenergie nimmt ständig ab, da durch den ohmschen Widerstand elektrische
Energie in thermische Energie umgewandelt wird. Diese wird als Wärme an die Umgebung
abgegeben und steht dem Schwingkreis nicht mehr zur Verfügung.
Im Punkt B liegt die gesamte Energie des Schwingkreises als Energie des Magnetfeldes der
Spule vor. Der Kondensator ist zu diesem Zeitpunkt völlig entladen. Es gilt Eges = Emagn .
© Dudenverlag, Bibliografisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 2008
4
2.3
Das Ablesen der Schwingungsdauer aus der Abb. 3 ergibt T ≈ 60ms und damit
f=
1
1
=
≈ 16,7 Hz.
T 60 10 3 s
Da die Dämpfung und somit der ohmsche Widerstand nicht berücksichtigt wird, gilt für die
Eigenfrequenz die thomsonsche Schwingungsgleichung f =
L=
1
4π ⋅ f ⋅ C
2
2
. Mit C = 100 μ F folgt L =
1
2π ⋅ L ⋅ C
1
4 ⋅ 9,9 ⋅ 2,9 ⋅ 102 s −2 ⋅ 10 −4 F
und nach L umgestellt:
≈ 0,9H.
Aufgabe 3
3.1
Graph
3.2
Der Kurvenverlauf lässt vermuten, dass es sich um eine Wurzelfunktion handelt. Eine
Entscheidung kann über ein C-T²-Diagramm getroffen werden.
Messwerte
C in μF
22
47
100
147
220
440
470
940
1000
T²
0,000676
0,001681
0,003364
0,005476
0,0081
0,014884
0,019881
0,028224
0,0289
T in s
0,026
0,041
0,058
0,074
0,09
0,122
0,141
0,168
0,17
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5
Grafische Darstellung des C-T²-Diagramms:
Die Messwerte liegen (fast) alle relativ dicht an der Ausgleichsgeraden, Die Gerade geht
auch durch den Ursprung. Somit kann in guter Näherung auf T 2 ∼ C oder T ∼ C
geschlossen werden. Der Proportionalitätsfaktor ergibt sich aus T (C ) = k ⋅ C zu k =
T
C
.
Mit einem Messwertepaar (es sollte nah an der Ausgleichgeraden liegen,
z.B. [0,122 s/ 440 μF]) ergibt sich k =
0,122s
440μF
≈ 5,8 ⋅
s
F
(die Maßeinheiten wurden nicht
weiter zusammengefasst); somit erhält man als funktionalen Zusammenhang
T (C ) = 5,8 ⋅
s
F
⋅ C.
Bei genauerer Betrachtung der Messwerte ist die größte Abweichung bei einem Kapazitätswert von 470 μF festzustellen. Geht man davon aus, dass die Zeitmessung einen sehr
geringen Fehler besitzt, kann man den „wirklichen“ Wert der Kapazität mit dem berechneten
k-Wert bestimmen.
Aus T = 5,8 ⋅
C=
s
F
⋅ C ergibt sich C =
T2
F
und mit T = 0,141 s
⋅
(5,8)2 s 2
0,019 s2 F
⋅
≈ 590μF.
33,64 s2
Demzufolge beträgt die Differenz zwischen angegebenem Wert (470 μF) und „wirklichem“
Wert (590 μF) etwa 120 μF.
Da 30% Abweichung vom „wirklichen“ Wert etwa 180 μF entsprechen, sind die Angaben des
Herstellers korrekt; die Abweichung liegt unter 30%.
3.3
Mit dem gefunden funktionalen Zusammenhang T (C ) = 5,8 ⋅
s
F
⋅ C und der thomsonschen
Schwingungsgleichung T = 2π ⋅ L ⋅ C kann L bestimmt werden. Es ergibt sich durch
Gleichsetzung 2π L ⋅ C = 5,8 ⋅
s
F
⋅ C . Daraus folgt 4π 2 ⋅ L ⋅ C = (5,8)2 ⋅
© Dudenverlag, Bibliografisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 2008
s2
⋅C
F
6
und somit L =
(5,8)2 s2
⋅
≈ 0,9 H. Dieser Wert stimmt gut mit dem Ergebnis aus der Aufgabe
4π 2 F
2.3 überein.
3.4
Eine Halbleiterdiode besteht aus p- und n-leitenden Halbleitern mit einer dazwischen
liegenden Grenzschicht, dem pn-Übergang. In dieser Grenzschicht sind aufgrund von
Rekombinationen (fast) keine positiven (Defektelektronen) und negativen Ladungsträger
(Elektronen) vorhanden. Im pn-Übergang entsteht ein elektrisches Feld (Diffusionsfeld) durch
die Ladungsträger in der p- und n-Schicht. Dies ist zu vergleichen mit dem elektrischen Feld
eines Kondensators. Dabei können die Ränder der Sperrschicht als die Platten eines
Kondensators aufgefasst werden. Die Ladungsträgerverteilung an den Rändern der
Sperrschicht entspricht so der Ladungsverteilung beim Kondensator. Das Material der
Grenzschicht wirkt als Dielektrikum. Die Größe dieser Grenzschicht ist von der angelegten
Spannung abhängig. Eine Polung in Sperrrichtung vergrößert sowohl die Grenzschicht als
auch die Anzahl der Ladungsträger an den Rändern der Grenzschicht. Somit wird auch das
elektrische Feld in der Grenzschicht größer und damit auch die Kapazität der Diode.
3.5
Energiezufuhr bei einem Schwingkreis entsprechend Aufgabe 2:
Durch das Anlegen einer Spannung am Kondensator fließt ein Ladestrom. Der Kondensator
wird aufgeladen und die Anfangsenergie für die Schwingung liegt als Energie des
elektrischen Feldes des geladenen Kondensators vor.
Energiezufuhr für ein schwingungsfähiges System mit Halbleiterdetektor:
Tritt ein α-Teilchen in die Grenzschicht des Halbleiterdetektors ein, so erzeugt es freie Paare
von Ladungsträgern (Elektronen und Defektelektronen). Man kann dies bei einer
Analogiebetrachtung als eine Änderung der Ladung des „Kondensators“ interpretieren.
Durch das äußere elektrische Feld bewegen sich die Ladungsträger gerichtet und rufen
einen kurzzeitigen Stromfluss und Spannungsimpuls hervor.
Genauigkeit der Messungen
Jedes α-Teilchen erzeugt einen bestimmten Spannungsimpuls, der eine gedämpfte
Schwingung auslöst. Ist die Aktivität des Strahlers zu hoch, so können zwei oder mehr
α-Teilchen innerhalb der sehr kurzen Abklingzeit der Schwingung in der pn-Grenzschicht
freie Ladungsträger erzeugen und somit einen Spannungsimpuls auslösen. Der gemessene
Spannungsimpuls ist dann die Summe der von den einzelnen α-Teilchen erzeugten
Spannungsimpulse. Damit werden die Messungen z. B. bzgl. der Aktivität des Strahlers
ungenau.
© Dudenverlag, Bibliografisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 2008
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Die hier abgedruckten Lösungsvorschläge sind nicht die amtlichen Lösungen des
zuständigen Kultusministeriums.
Impressum:
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UrhG ergeben, nicht gestattet.
© Dudenverlag, Bibliografisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim 2008
Autor: Dr. Rainer Reichwald
Redaktion: Heike Krüger-Beer, Christa Becker
© Dudenverlag, Bibliografisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim, 2008
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