Formelsammlung: Netzwerke und Schaltungen I

Formelsammlung
Elektronik – Elektrotechnik
von Stephan Senn
Einige wichtige abgeleitete Einheiten
Grösse:
Raumwinkel
Aktivität
Druck, mechanische
Spannung
Arbeit, Energiemenge
Leistung, Energiestrom
Energiedosis
elektr. Ladungsmenge
elektr. Spannung
elektr. Kapazität
elektr. Leitwert
magnet. Fluss
magnet. Flussdichte
Induktivität
Lichtstrom
Beleuchtungsstärke
elektr. Feldstärke
Name:
Steriant
Becquerel
Pascal
Zeichen:
sr
Bq
Pa
Beziehung:
1sr = 1m2/m2
1Bq = 1s-1
1Pa = 1N/m2
Joule
Watt
Gray
Coulomb
Volt
Farad
Siemens
Weber
Tesla
Henry
Lumen
Lux
-
J
W
Gy
C
V
F
S
Wb
T
H
lm
lx
-
1J = 1Nm = 1 Ws
1W = 1J/s
1Gy = 1 J/kg
1C = 1As
1V = 1J/C
1F = 1C/V
1S = 1Ω-1
1Wb = 1Vs = Nm/A
1T = 1Wb/m2 = 1Vs/m2 = 1N/Am
1H = 1Wb/A
1lm = cd.sr
1lx = 1lm/m2
1N/C = 1V/m
SI-Vorsätze
Zehnerpotenz 10x:
-24
-21
-18
-15
-12
-9
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
9
12
15
18
21
24
Stephan Senn
Name:
Yocto
Zepto
Atto
Femto
Piko
Nano
Mikro
Milli
Zenti
Dezi
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zetta
Yotta
Abkürzung:
y
z
a
f
p
n
µ
m
c
d
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
-1-
22.12.02
Elektronik
•
•
Ohm’sches Gesetz: U = R ⋅ I
Stromstärke:
r r
dQ
I=
I = ∫ S ⋅ dA
dt
I = S ⋅ A (Nur in drahtförmigen Leitern anwendbar!)
S: Stromdichte in [A/m2]
•
•
Spannung:
W
U=
∆Q
2 r
r W
U 12 = ϕ1 − ϕ 2 = ∫ E ⋅ d s = 12
Q
1
Widerstand:
l
R = ρ⋅
A
L
R = ρ ⋅∫
0
dl
A(l)
κ=
1
ρ
ϕ1
ϕ2
1
2
U12
R T = R 20 + α ⋅ R 20 ⋅ (∆T − 20)
ρ: spezifischer elektrischer Widerstand in [Ωm]
α: Temperaturbeiwert in [K-1]
κ: elektrische Leitfähigkeit in [1/Ωm]
•
Leitwert:
1
G=
R
[G] = S
•
Kapazität und Induktivität:
•
Energie:
t2
t2
t1
t1
(S: Siemens)
W = ∫ p( t ) ⋅ dt = ∫ v( t ) ⋅ i( t ) ⋅ dt
•
Verhältnisse von Leistungen und Spannungen in Dezibel [dB]:
v = 10.log(P1/P2)
v = 20.log(U1/U2)
•
Lautstärke in Dezibel (dB):
 J 
P
J=
L = 10 log 
A
 J0 
J 0 = 10 −12
W
m2
J0: Sensitivitätsgrenze des menschl. Ohrs
A: Fläche
Stephan Senn
-2-
22.12.02
Serie- und Parallelschaltung von Widerständen
•
•
Serieschaltung:
U1 R 1
R tot = R 1 + R 2 + ... + R n
=
U2 R 2
Parallelschaltung:
I1 R 2
=
I2 R1
R tot
 1
1
1 

= 
+
+ ... +
R n 
 R1 R 2
−1
DC-Anteil ermitteln
DC: Direct Current, Gleichstrom
AC: Alternating Current, Wechselstrom
•
•
Reine Wechselspannung, reiner Wechselstrom:
T
T
1
1
⋅ u ( t )dt = 0
⋅ i( t )dt = 0
T ∫0
T ∫0
Mischspannung, Mischstrom:
Die Gesamtspannung bzw. der Gesamtstrom besteht aus AC- und DC-Anteilen.
T
T
1
⋅ u ( t )dt = u =
T ∫0
1
⋅ i( t )dt = i =
T ∫0
u( t ) = u = + u ~
i( t ) = i = + i ~
u=: Gleichspannungsanteil
i=: Gleichstromanteil
u~: Wechselspannungsanteil
i~: Wechselstromanteil
Leistungsbetrachtungen
•
•
Für lineare Betrachtungen gilt:
U2
P = U⋅I
P=
P = R ⋅ I2
R
Momentane Leistung (Augenblicksleistung):
Bei sinusförmigem Kuvenverlauf gilt:
Û ⋅ Î
⋅ (cos(φ ) − cos(2ωt − φ ) )
2
φ = 0: Wirkwiderstand (Strom und Spannung in Phase)
φ > 0: kapazitiver Widerstand (Voreilen der Spannung)
φ < 0: induktiver Widerstand (Voreilen des Stromes)
p( t ) = u( t ) ⋅ i( t ) = Û ⋅ sin(ωt ) ⋅ Î ⋅ sin(ωt − φ ) =
•
•
Effektivwert eines Wechselstromes oder einer Wechselspannung bei beliebiger
Kurvenform:


1 T
1 T
I eff =  ⋅ ∫ i 2 dt 
U eff =  ⋅ ∫ u 2 dt 


T 0
T 0
Effektivwerte bei sinusförmiger Kurvenform:
Î
Û
I eff =
U eff =
(oft auch nur mit Grossbuchstaben gekennzeichnet)
2
2
Stephan Senn
-3-
22.12.02
•
Leistung P in Phasordarstellung (Komplexer Leistungsbegriff):
P = u ⋅ i* = Û ⋅ Î ⋅ e jφ u ⋅ e − jφ i = Û ⋅ Î ⋅ e jφ u − jφ i
u: komplexe Spannung
i*: komplex konjugierter Strom
P: komplexe Leistung
Wirkleistung:
p W = Re{P}
Blindleistung:
p B = Im{P}
Scheinleistung:
pS = P
Diese Darstellungsform gilt nur bei sinusförmigem Kurvenverlauf.
•
Mittlere Leistungen:
Mittlere Wirkleistung:
pW = I eff ⋅ U eff ⋅ cos(φ )
Mittlere Blindleistung:
p B = I eff ⋅ U eff ⋅ sin(φ )
Mittlere Scheinleistung:
2
pS = I eff ⋅ U eff = pW + p B
(oft mit P abgekürzt)
(oft mit Q abgekürzt)
2
(oft mit S abgekürzt)
φ bezeichnet die Phasenverschiebung.
•
Leistungsanpassungsgesetz:
Die Impedanz der Last ZL und die Innenimpedanz der Quelle ZQ müssen folgende
Bedingung erfüllen: Z L = Z Q
(Die komplexe Impedanz ZL ist gleich der komplex konjugierten Impedanz ZQ.)
Elektrostatik
•
•
•
•
Ladung: Q = n ⋅ e
Q = C⋅U
elektrische Feldstärke (allgemein):
r
r
r
Q
r
F
E=
E=
⋅ 3
4 ⋅ π ⋅ ε0 r
Q
r
r
E = ρ ⋅S
r2
U = ∫ E( r )dr
r1
elektrische Feldstärke im homogenen Feld:
U
E=
d
Coulomb’sches Gesetz:
r
Q1 ⋅ Q 2
r
F=
⋅e
2
4 ⋅ π ⋅ r ⋅ ε0
Stephan Senn
-4-
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Serie- und Parallelschaltung von Kondensatoren
•
Serieschaltung von Kondensatoren:



−1
Ladung: konstant
Spannung: variabel
Parallelschaltung von Kondensatoren:
C tot = C1 + C 2 + ... + C n
Ladung: variabel
Spannung: konstant
C tot
•
 1
1
1
=  +
+ ... +
Cn
 C1 C 2
Energiebetrachtungen im elektrischen Feld
•
•
•
Allgemein gilt:
2 r
r
C ⋅ U2
W=
W12 = Q ⋅ ∫ E ⋅ d s
1
2
Im homogenen Feld gilt:
Q ⋅Q
W= 0
⋅d
ε0 ⋅ A
Im radialsymmetrischen Feld gilt:
W=
Q0 ⋅ Q
4 ⋅ π ⋅ ε0
1 1
⋅  − 
 r1 r2 
Elektromagnetismus
•
•
•
•
•
•
•
Biot-Savart-Kraft:
r
F = I ⋅ (d l × B)
Lorenzkraft:
r
r r
F = q ⋅ ( v × B) + q ⋅ E
magnetischer Fluss:
φ = L⋅I
Energie im magnetischen Feld:
L ⋅ I2
W=
2
magnetische Flussdichte und induzierte Spannung in einem geraden Leiter:
I
U ind = − v ⋅ B ⋅ l ⋅ sin(α )
B=
⋅ µ 0 (unendlich lang)
2⋅π⋅r
induzierte Spannung:
 dφ 
U ind = − 
 dt 
Induktivität und magnetische Flussdichte einer langen Spulen:
I⋅n
n2
B=
⋅ µ0 ⋅ µr
L ≈ µ0 ⋅ µ r ⋅ ⋅ A
l
l
n: Windungen
l: Länge
Stephan Senn
A: Querschnitt
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22.12.02
Konstanten und Umrechnungen
ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12
g = 9.81
C2
Nm 2
µ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7
m
s2
J S = 10
W
m2
W
m2
m3
kgs 2
e = 1.6022.10-19C
1Phon = 1
1kWh = 3.6 ⋅ 10 6 J
0°C = 273.16K
π
180
γ = 6.67 ⋅ 10 −11
1Å = 10-8cm
1PS = 0.736kW
α rad = α grad ⋅
N
A2
k = 1.3807 ⋅ 10 −23 ⋅
VAs
K
α = tan(α) = sin(α) (α < 10%)
ω = 2⋅π⋅f
IS: Schmerzgrenze des menschl. Gehörs
k: Boltzmann-Konstante
e: Elementarladung
Elektronische Bauteile
Shockley Modell der Diode
I D = I S ⋅ (e
UD
UT
− 1)
UT =
k⋅T
e
UT(T=20°C) = 0.0252631V
Is: Sperrstrom
UT: Temperaturspannung
T: absolute Temperatur (in Kelvin)
k: Boltzmann-Konstante
e: Elementarladung (Betrag der Ladung eines Elektrons)
Grundschaltungen von Transistoren
Verstärkerschaltung
• Phasendrehung des Signals um 180° (negative Übertragungsfunktion)
• Verstärkungsfaktor grösser als 1
• hohe Ausgangsimpedanz (im kΩ-Bereich)
Bufferschaltung
• Verstärkungsfaktor kleiner als 1
• keine Phasendrehung (positive Übertragungsfunktion)
• tiefe Ausgangsimpedanz (im Ω-Bereich)
Stephan Senn
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Bipolartransistor
C: Kollektor
B: Basis
E: Emitter
IC: Kollektorstrom
IB: Basisstrom
IE: Emitterstrom
IE = IC + IB
IC0 = B.IB
U CE
) ⋅ B ⋅ IB
UA
Ebers-Moll-Gleichungen in Basisschaltung
I C = (1 +
i e = −I ES ⋅ (e
− Veb
VT
i c = α F ⋅ I ES ⋅ (e
− 1) + α R ⋅ I CS ⋅ (e
− Veb
VT
− 1) + I CS ⋅ (e
− Vcb
VT
− Vcb
VT
UA: Early-Spannung
− 1)
− 1)
αF: Vorwärts-Transportfaktor (ca. 1)
IES: Sperrstrom der BE-Diode
ICS: Sperrstrom der BC-Diode
αR: Rückwärts-Transportfaktor (ca. 0,7-0,8)
VT: Thermosspannung (26mV bei Raumtemperatur)
Ebers-Moll-Gleichungen in Emitterschaltung
ib = (1 − α F ) ⋅ I ES ⋅ ( e
ic = α F ⋅ I ES ⋅ ( e
Vbe
VT
Vbe
VT
− 1) + (1 − α R ) ⋅ I CS ⋅ ( e
− 1) + I CS ⋅ ( e
Vbe −Vce
VT
Vbe −Vce
VT
− 1)
− 1)
αF: Vorwärts-Transportfaktor (ca. 1)
IES: Sperrstrom der BE-Diode
ICS: Sperrstrom der BC-Diode
αR: Rückwärts-Transportfaktor (ca. 0,7-0,8)
VT: Thermosspannung (26mV bei Raumtemperatur)
Kennlinien
NPN-Bipolartransistor, vbe-ib-Kennlinie
Stephan Senn
-7-
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NPN-Bipolartransistor, vce-ic-Kennlinie in Abhängigkeit von ib
1) Sättigungsbereich
2) Vorwärtsaktiver Bereich
Ersatzschaltbild für NPN- und PNP-Bipolartransistoren
PNP-Bipolartransistor, vbe-ib-Kennlinie
Stephan Senn
-8-
22.12.02
NPN-Bipolartransistor, vce-ic-Kennlinie in Abhängigkeit von ib
1) Sättigungsbereich
2) Vorwärtsaktiver Bereich
Ersatzschaltbild für Bipolartransistoren
Feldeffekttransistor
Es gilt:
ig = 01
VP = vgs - Vth
Fallunterscheidungen
cut-off-Bereich (Sperrbereich):
vgs < Vth
id = is = 0
Sättigungsbereich: vgs > Vth und vds > VP
1
i d = i s = ⋅ K ⋅ ( v gs − Vth ) 2
2
ohm’scher Bereich: vgs > Vth und vds < VP
1
2
i d = i s = K ⋅ (( v gs − Vth ) ⋅ v ds − ⋅ v ds )
2
1
VP: pinch-off-Spannung
Vth: Threshold-Spannung
vgs: Gate-Source-Spannung
vds: Drain-Source-Spannung
K: Konstante
Gilt auch beim Kleinsignalverhalten!
Stephan Senn
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Kennlinien
Allgemein
N-MOS-Transistor
P-MOS-Transistor
Ersatzschaltbild für Feldeffekttransistoren
Stephan Senn
-10-
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Ersatzschaltbild für N- und P-MOS-Feldeffekttransistors
Sättigungsbereich:
ohm’scher Bereich:
Kondensator
Plattenkondensator aus n Metallplatten
A

C = (n − 1) ⋅  ε 0 ⋅ ε r ⋅ 
d

Kugelkondensator
E=
Q0
ε0 ⋅ εr ⋅ A
E=
Q0
ε0 ⋅ εr ⋅ r 2 ⋅ 4 ⋅ π
−1
1 1
C = 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅  − 
 r1 r2 
Ladung / Entladung eines Kondensators
• Ladung: U C ( t ) = − U q ⋅ e
−
t
R ⋅C
• Entladung: U C ( t ) = U q ⋅ e
+ Uq
t
−
R ⋅C
τ = R ⋅ C (Abschnitt auf der Zeit-Achse)
Uq: Quellenspannung
R: Vorwiderstand
C: Kapazität des Kondensators
Operationsverstärker
Stephan Senn
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Transformator
Für einen idealen Transformator gilt:
UP nP
IP nS
=
=
US n S
IS n P
Literaturangabe
Diese Zusammenfassung beinhaltet Bilder und Quellen der Vorlesung Netzwerke und
Schaltungen I von Prof. Fröhlich sowie der Vorlesung Netzwerke und Schaltungen II von
Prof. Jäckel. Zudem enthält sie Bilder und Quellen des Taschenbuches Elektrotechnik und
Elektronik, erschienen im Fachbuchverlag Leipzig.
Stephan Senn
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Inhaltsverzeichnis
Einige wichtige abgeleitete Einheiten ___________________________________________ 1
SI-Vorsätze ________________________________________________________________ 1
Elektronik _________________________________________________________________ 2
Serie- und Parallelschaltung von Widerständen __________________________________ 3
DC-Anteil ermitteln _________________________________________________________ 3
Leistungsbetrachtungen______________________________________________________ 3
Elektrostatik _______________________________________________________________ 4
Serie- und Parallelschaltung von Kondensatoren _________________________________ 5
Energiebetrachtungen im elektrischen Feld ______________________________________ 5
Elektromagnetismus_________________________________________________________ 5
Konstanten und Umrechnungen _______________________________________________ 6
Elektronische Bauteile _______________________________________________________ 6
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