Formelsammlung Elektronik – Elektrotechnik von Stephan Senn Einige wichtige abgeleitete Einheiten Grösse: Raumwinkel Aktivität Druck, mechanische Spannung Arbeit, Energiemenge Leistung, Energiestrom Energiedosis elektr. Ladungsmenge elektr. Spannung elektr. Kapazität elektr. Leitwert magnet. Fluss magnet. Flussdichte Induktivität Lichtstrom Beleuchtungsstärke elektr. Feldstärke Name: Steriant Becquerel Pascal Zeichen: sr Bq Pa Beziehung: 1sr = 1m2/m2 1Bq = 1s-1 1Pa = 1N/m2 Joule Watt Gray Coulomb Volt Farad Siemens Weber Tesla Henry Lumen Lux - J W Gy C V F S Wb T H lm lx - 1J = 1Nm = 1 Ws 1W = 1J/s 1Gy = 1 J/kg 1C = 1As 1V = 1J/C 1F = 1C/V 1S = 1Ω-1 1Wb = 1Vs = Nm/A 1T = 1Wb/m2 = 1Vs/m2 = 1N/Am 1H = 1Wb/A 1lm = cd.sr 1lx = 1lm/m2 1N/C = 1V/m SI-Vorsätze Zehnerpotenz 10x: -24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 9 12 15 18 21 24 Stephan Senn Name: Yocto Zepto Atto Femto Piko Nano Mikro Milli Zenti Dezi Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa Zetta Yotta Abkürzung: y z a f p n µ m c d da h k M G T P E Z Y -1- 22.12.02 Elektronik • • Ohm’sches Gesetz: U = R ⋅ I Stromstärke: r r dQ I= I = ∫ S ⋅ dA dt I = S ⋅ A (Nur in drahtförmigen Leitern anwendbar!) S: Stromdichte in [A/m2] • • Spannung: W U= ∆Q 2 r r W U 12 = ϕ1 − ϕ 2 = ∫ E ⋅ d s = 12 Q 1 Widerstand: l R = ρ⋅ A L R = ρ ⋅∫ 0 dl A(l) κ= 1 ρ ϕ1 ϕ2 1 2 U12 R T = R 20 + α ⋅ R 20 ⋅ (∆T − 20) ρ: spezifischer elektrischer Widerstand in [Ωm] α: Temperaturbeiwert in [K-1] κ: elektrische Leitfähigkeit in [1/Ωm] • Leitwert: 1 G= R [G] = S • Kapazität und Induktivität: • Energie: t2 t2 t1 t1 (S: Siemens) W = ∫ p( t ) ⋅ dt = ∫ v( t ) ⋅ i( t ) ⋅ dt • Verhältnisse von Leistungen und Spannungen in Dezibel [dB]: v = 10.log(P1/P2) v = 20.log(U1/U2) • Lautstärke in Dezibel (dB): J P J= L = 10 log A J0 J 0 = 10 −12 W m2 J0: Sensitivitätsgrenze des menschl. Ohrs A: Fläche Stephan Senn -2- 22.12.02 Serie- und Parallelschaltung von Widerständen • • Serieschaltung: U1 R 1 R tot = R 1 + R 2 + ... + R n = U2 R 2 Parallelschaltung: I1 R 2 = I2 R1 R tot 1 1 1 = + + ... + R n R1 R 2 −1 DC-Anteil ermitteln DC: Direct Current, Gleichstrom AC: Alternating Current, Wechselstrom • • Reine Wechselspannung, reiner Wechselstrom: T T 1 1 ⋅ u ( t )dt = 0 ⋅ i( t )dt = 0 T ∫0 T ∫0 Mischspannung, Mischstrom: Die Gesamtspannung bzw. der Gesamtstrom besteht aus AC- und DC-Anteilen. T T 1 ⋅ u ( t )dt = u = T ∫0 1 ⋅ i( t )dt = i = T ∫0 u( t ) = u = + u ~ i( t ) = i = + i ~ u=: Gleichspannungsanteil i=: Gleichstromanteil u~: Wechselspannungsanteil i~: Wechselstromanteil Leistungsbetrachtungen • • Für lineare Betrachtungen gilt: U2 P = U⋅I P= P = R ⋅ I2 R Momentane Leistung (Augenblicksleistung): Bei sinusförmigem Kuvenverlauf gilt: Û ⋅ Î ⋅ (cos(φ ) − cos(2ωt − φ ) ) 2 φ = 0: Wirkwiderstand (Strom und Spannung in Phase) φ > 0: kapazitiver Widerstand (Voreilen der Spannung) φ < 0: induktiver Widerstand (Voreilen des Stromes) p( t ) = u( t ) ⋅ i( t ) = Û ⋅ sin(ωt ) ⋅ Î ⋅ sin(ωt − φ ) = • • Effektivwert eines Wechselstromes oder einer Wechselspannung bei beliebiger Kurvenform: 1 T 1 T I eff = ⋅ ∫ i 2 dt U eff = ⋅ ∫ u 2 dt T 0 T 0 Effektivwerte bei sinusförmiger Kurvenform: Î Û I eff = U eff = (oft auch nur mit Grossbuchstaben gekennzeichnet) 2 2 Stephan Senn -3- 22.12.02 • Leistung P in Phasordarstellung (Komplexer Leistungsbegriff): P = u ⋅ i* = Û ⋅ Î ⋅ e jφ u ⋅ e − jφ i = Û ⋅ Î ⋅ e jφ u − jφ i u: komplexe Spannung i*: komplex konjugierter Strom P: komplexe Leistung Wirkleistung: p W = Re{P} Blindleistung: p B = Im{P} Scheinleistung: pS = P Diese Darstellungsform gilt nur bei sinusförmigem Kurvenverlauf. • Mittlere Leistungen: Mittlere Wirkleistung: pW = I eff ⋅ U eff ⋅ cos(φ ) Mittlere Blindleistung: p B = I eff ⋅ U eff ⋅ sin(φ ) Mittlere Scheinleistung: 2 pS = I eff ⋅ U eff = pW + p B (oft mit P abgekürzt) (oft mit Q abgekürzt) 2 (oft mit S abgekürzt) φ bezeichnet die Phasenverschiebung. • Leistungsanpassungsgesetz: Die Impedanz der Last ZL und die Innenimpedanz der Quelle ZQ müssen folgende Bedingung erfüllen: Z L = Z Q (Die komplexe Impedanz ZL ist gleich der komplex konjugierten Impedanz ZQ.) Elektrostatik • • • • Ladung: Q = n ⋅ e Q = C⋅U elektrische Feldstärke (allgemein): r r r Q r F E= E= ⋅ 3 4 ⋅ π ⋅ ε0 r Q r r E = ρ ⋅S r2 U = ∫ E( r )dr r1 elektrische Feldstärke im homogenen Feld: U E= d Coulomb’sches Gesetz: r Q1 ⋅ Q 2 r F= ⋅e 2 4 ⋅ π ⋅ r ⋅ ε0 Stephan Senn -4- 22.12.02 Serie- und Parallelschaltung von Kondensatoren • Serieschaltung von Kondensatoren: −1 Ladung: konstant Spannung: variabel Parallelschaltung von Kondensatoren: C tot = C1 + C 2 + ... + C n Ladung: variabel Spannung: konstant C tot • 1 1 1 = + + ... + Cn C1 C 2 Energiebetrachtungen im elektrischen Feld • • • Allgemein gilt: 2 r r C ⋅ U2 W= W12 = Q ⋅ ∫ E ⋅ d s 1 2 Im homogenen Feld gilt: Q ⋅Q W= 0 ⋅d ε0 ⋅ A Im radialsymmetrischen Feld gilt: W= Q0 ⋅ Q 4 ⋅ π ⋅ ε0 1 1 ⋅ − r1 r2 Elektromagnetismus • • • • • • • Biot-Savart-Kraft: r F = I ⋅ (d l × B) Lorenzkraft: r r r F = q ⋅ ( v × B) + q ⋅ E magnetischer Fluss: φ = L⋅I Energie im magnetischen Feld: L ⋅ I2 W= 2 magnetische Flussdichte und induzierte Spannung in einem geraden Leiter: I U ind = − v ⋅ B ⋅ l ⋅ sin(α ) B= ⋅ µ 0 (unendlich lang) 2⋅π⋅r induzierte Spannung: dφ U ind = − dt Induktivität und magnetische Flussdichte einer langen Spulen: I⋅n n2 B= ⋅ µ0 ⋅ µr L ≈ µ0 ⋅ µ r ⋅ ⋅ A l l n: Windungen l: Länge Stephan Senn A: Querschnitt -5- 22.12.02 Konstanten und Umrechnungen ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12 g = 9.81 C2 Nm 2 µ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 −7 m s2 J S = 10 W m2 W m2 m3 kgs 2 e = 1.6022.10-19C 1Phon = 1 1kWh = 3.6 ⋅ 10 6 J 0°C = 273.16K π 180 γ = 6.67 ⋅ 10 −11 1Å = 10-8cm 1PS = 0.736kW α rad = α grad ⋅ N A2 k = 1.3807 ⋅ 10 −23 ⋅ VAs K α = tan(α) = sin(α) (α < 10%) ω = 2⋅π⋅f IS: Schmerzgrenze des menschl. Gehörs k: Boltzmann-Konstante e: Elementarladung Elektronische Bauteile Shockley Modell der Diode I D = I S ⋅ (e UD UT − 1) UT = k⋅T e UT(T=20°C) = 0.0252631V Is: Sperrstrom UT: Temperaturspannung T: absolute Temperatur (in Kelvin) k: Boltzmann-Konstante e: Elementarladung (Betrag der Ladung eines Elektrons) Grundschaltungen von Transistoren Verstärkerschaltung • Phasendrehung des Signals um 180° (negative Übertragungsfunktion) • Verstärkungsfaktor grösser als 1 • hohe Ausgangsimpedanz (im kΩ-Bereich) Bufferschaltung • Verstärkungsfaktor kleiner als 1 • keine Phasendrehung (positive Übertragungsfunktion) • tiefe Ausgangsimpedanz (im Ω-Bereich) Stephan Senn -6- 22.12.02 Bipolartransistor C: Kollektor B: Basis E: Emitter IC: Kollektorstrom IB: Basisstrom IE: Emitterstrom IE = IC + IB IC0 = B.IB U CE ) ⋅ B ⋅ IB UA Ebers-Moll-Gleichungen in Basisschaltung I C = (1 + i e = −I ES ⋅ (e − Veb VT i c = α F ⋅ I ES ⋅ (e − 1) + α R ⋅ I CS ⋅ (e − Veb VT − 1) + I CS ⋅ (e − Vcb VT − Vcb VT UA: Early-Spannung − 1) − 1) αF: Vorwärts-Transportfaktor (ca. 1) IES: Sperrstrom der BE-Diode ICS: Sperrstrom der BC-Diode αR: Rückwärts-Transportfaktor (ca. 0,7-0,8) VT: Thermosspannung (26mV bei Raumtemperatur) Ebers-Moll-Gleichungen in Emitterschaltung ib = (1 − α F ) ⋅ I ES ⋅ ( e ic = α F ⋅ I ES ⋅ ( e Vbe VT Vbe VT − 1) + (1 − α R ) ⋅ I CS ⋅ ( e − 1) + I CS ⋅ ( e Vbe −Vce VT Vbe −Vce VT − 1) − 1) αF: Vorwärts-Transportfaktor (ca. 1) IES: Sperrstrom der BE-Diode ICS: Sperrstrom der BC-Diode αR: Rückwärts-Transportfaktor (ca. 0,7-0,8) VT: Thermosspannung (26mV bei Raumtemperatur) Kennlinien NPN-Bipolartransistor, vbe-ib-Kennlinie Stephan Senn -7- 22.12.02 NPN-Bipolartransistor, vce-ic-Kennlinie in Abhängigkeit von ib 1) Sättigungsbereich 2) Vorwärtsaktiver Bereich Ersatzschaltbild für NPN- und PNP-Bipolartransistoren PNP-Bipolartransistor, vbe-ib-Kennlinie Stephan Senn -8- 22.12.02 NPN-Bipolartransistor, vce-ic-Kennlinie in Abhängigkeit von ib 1) Sättigungsbereich 2) Vorwärtsaktiver Bereich Ersatzschaltbild für Bipolartransistoren Feldeffekttransistor Es gilt: ig = 01 VP = vgs - Vth Fallunterscheidungen cut-off-Bereich (Sperrbereich): vgs < Vth id = is = 0 Sättigungsbereich: vgs > Vth und vds > VP 1 i d = i s = ⋅ K ⋅ ( v gs − Vth ) 2 2 ohm’scher Bereich: vgs > Vth und vds < VP 1 2 i d = i s = K ⋅ (( v gs − Vth ) ⋅ v ds − ⋅ v ds ) 2 1 VP: pinch-off-Spannung Vth: Threshold-Spannung vgs: Gate-Source-Spannung vds: Drain-Source-Spannung K: Konstante Gilt auch beim Kleinsignalverhalten! Stephan Senn -9- 22.12.02 Kennlinien Allgemein N-MOS-Transistor P-MOS-Transistor Ersatzschaltbild für Feldeffekttransistoren Stephan Senn -10- 22.12.02 Ersatzschaltbild für N- und P-MOS-Feldeffekttransistors Sättigungsbereich: ohm’scher Bereich: Kondensator Plattenkondensator aus n Metallplatten A C = (n − 1) ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ d Kugelkondensator E= Q0 ε0 ⋅ εr ⋅ A E= Q0 ε0 ⋅ εr ⋅ r 2 ⋅ 4 ⋅ π −1 1 1 C = 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ − r1 r2 Ladung / Entladung eines Kondensators • Ladung: U C ( t ) = − U q ⋅ e − t R ⋅C • Entladung: U C ( t ) = U q ⋅ e + Uq t − R ⋅C τ = R ⋅ C (Abschnitt auf der Zeit-Achse) Uq: Quellenspannung R: Vorwiderstand C: Kapazität des Kondensators Operationsverstärker Stephan Senn -11- 22.12.02 Transformator Für einen idealen Transformator gilt: UP nP IP nS = = US n S IS n P Literaturangabe Diese Zusammenfassung beinhaltet Bilder und Quellen der Vorlesung Netzwerke und Schaltungen I von Prof. Fröhlich sowie der Vorlesung Netzwerke und Schaltungen II von Prof. Jäckel. Zudem enthält sie Bilder und Quellen des Taschenbuches Elektrotechnik und Elektronik, erschienen im Fachbuchverlag Leipzig. Stephan Senn -12- 22.12.02 Inhaltsverzeichnis Einige wichtige abgeleitete Einheiten ___________________________________________ 1 SI-Vorsätze ________________________________________________________________ 1 Elektronik _________________________________________________________________ 2 Serie- und Parallelschaltung von Widerständen __________________________________ 3 DC-Anteil ermitteln _________________________________________________________ 3 Leistungsbetrachtungen______________________________________________________ 3 Elektrostatik _______________________________________________________________ 4 Serie- und Parallelschaltung von Kondensatoren _________________________________ 5 Energiebetrachtungen im elektrischen Feld ______________________________________ 5 Elektromagnetismus_________________________________________________________ 5 Konstanten und Umrechnungen _______________________________________________ 6 Elektronische Bauteile _______________________________________________________ 6 Stephan Senn -13- 22.12.02