Bonuszettel/Bonus Sheet

Prof. Dr. Angela Kunoth
Christian Mollet
Wissenschaftliches Rechnen II / Scientific Computing II
SS 2012
Bonuszettel/Bonus Sheet
Ausgabe/Handout Date: 28.06.2012 Abgabe/Return Date: Donnerstag/Thursday, 05.07.2012 bis/until 11:00
Aufgabe/Problem 28: (6 Punkte/points)
Berechnen Sie alle schwachen Ableitungen der folgenden Funktionen soweit sie existieren, oder zeigen Sie,
dass die schwache Ableitung nicht existiert:
Compute all weak derivatives of the following functions if they exist, or show that the weak derivative does not
exist:
a) Auf dem Intervall/on the interval I := (0, 3),



falls/if 0 < x ≤ 1,
2x2 ,
f (x) := 

3x2 − 2x + 1, falls/if 1 < x < 3.
b) Auf dem Intervall/on the interval I := (−1, 1),



falls/if − 1 < x ≤ 0,
−x
g(x) := 

1 + x, falls/if 0 < x < 1.
Aufgabe/Problem 29: (6 Punkte/points)
Betrachten Sie das folgende Neumann-Problem auf einem beschränktem Gebiet/consider the following Neumann’s problem on a bounded domain Ω ⊂ Rd
− a∆u + bu
a∇u · n
= f,
= 0,
in Ω,
auf/on ∂Ω,
(1)
(2)
wobei n der äussere Einheitsnormalenvektor an ∂Ω ist und a, b > 0 echt positive Konstanten/where n denotes the
outer unit normal vector at ∂Ω and a, b > 0 are strictly positive constants. Geben Sie die schwache Formulierung
des Problems (1), (2) an und beweisen Sie mit Hilfe des Satzes von Lax-Milgram die Existenz und Eindeutigkeit
einer Lösung./Write down the weak formulation of problem (1), (2) and prove by using the Theorem of LaxMilgram the existence and uniqueness of a solution.
Aufgabe/Problem 30: (8 Punkte/points)
Betrachten Sie die Laplace-Gleichung auf dem Einheitsintervall/consider Laplace’s equation on the unit interval Ω := (0, 1)
− u00 (x) =
u(0) = u(1)
=
f (x)
0.
für/for x ∈ (0, 1),
(3)
(4)
Das Gebiet Ω sei uniform in Teilintervalle der Länge h unterteilt, d.h./the domain is decomposed uniformly
into intervals of length h, i.e.,
[
[k h , (k + 1) h] ,
Ω=
mit/where N = h−1
k=0,...,N−1
und den inneren Knoten/and inner nodes zk := kh für/for k = 1, . . . , N − 1. Betrachten Sie als Ansatzfunktionen
die stückweise linearen Funktionen v(x) := a + bx, welche eindeutig durch die Werte an den zwei Randpunkten
der jeweiligen Teilintervalle gegeben sind./Consider as Ansatz functions the piecewise linear functions v(x) :=
a + bx which are uniquely given by the values at the nodes of the respective intervals.
a) Geben Sie die nodale Basis des so konstruierten Finite-Elemente-Raums an./Write down the nodal basis
of the respective finite element space. Das heißt, dass für die Basiselemente φk die Eigenschaft/This
means that the basis functions shall satisfy the property
φk (xi ) = δki ,
für alle/for all i, k = 1, . . . , N − 1
gelten soll.
b) Betrachten Sie die schwache Formulierung des Problems (3) und stellen Sie die resultierende Steifigkeitsmatrix auf./Write down the weak formulation of problem (3) and set up the resulting stiffness matrix.